Matematická analýza histórie. Metodické materiály Stručne k histórii vývoja matematickej analýzy

5.3 Matematická analýza

Zakladatelia modernej vedy - Kopernik, Kepler, Galileo a Newton - pristúpili k štúdiu prírody ako k matematike. Pri štúdiu pohybu vyvinuli matematici taký základný koncept ako funkcia alebo vzťah medzi premennými, napríklad d = kt2, kde d je vzdialenosť, ktorú prejde voľne padajúce teleso, a t je počet sekúnd, v ktorých sa telo nachádza. voľný pád. Pojem funkcie sa okamžite stal ústredným pre určenie rýchlosti v danom čase a zrýchlenia pohybujúceho sa telesa. Matematická náročnosť tohto problému spočívala v tom, že telo kedykoľvek prejde nulovú vzdialenosť v nulovom časovom intervale. Preto určovaním hodnoty rýchlosti v čase v čase delením dráhy časom sa dostávame k matematicky bezvýznamnému výrazu 0/0.

Problém určovania a výpočtu okamžitých rýchlostí zmeny rôznych veličín upútal pozornosť takmer všetkých matematikov 17. storočia vrátane Barrowa, Fermata, Descarta a Wallisa. Rozdielne myšlienky a metódy, ktoré navrhli, spojili do systematickej, univerzálne použiteľnej formálnej metódy Newton a G. Leibniz (1646 - 1716), tvorcovia diferenciálneho počtu. Prebiehala medzi nimi búrlivá diskusia o priorite pri vývoji tohto počtu a Newton obvinil Leibniza z plagiátorstva. Ako však ukázal výskum historikov vedy, Leibniz vytvoril matematickú analýzu nezávisle od Newtona. V dôsledku konfliktu bola výmena myšlienok medzi matematikmi kontinentálnej Európy a Anglicka na dlhé roky prerušená, a to na úkor anglickej strany. Angličtí matematici pokračovali v rozvíjaní myšlienok analýzy v geometrickom smere, zatiaľ čo matematici z kontinentálnej Európy, vrátane I. Bernoulliho (1667 - 1748), Eulera a Lagrangeho, dosiahli neporovnateľne veľký úspech podľa algebraického alebo analytického prístupu.

Základom všetkej matematickej analýzy je koncept hranice. Rýchlosť v čase je definovaná ako hranica, ku ktorej priemerná rýchlosť smeruje, keď sa hodnota t blíži nule. Diferenciálny počet poskytuje pohodlnú všeobecnú metódu na výpočet rýchlosti zmeny funkcie pre akúkoľvek hodnotu x. Táto sadzba sa nazýva derivát. Zo všeobecnosti zápisu je zrejmé, že koncept derivácie je použiteľný nielen v problémoch spojených s potrebou nájsť rýchlosť alebo zrýchlenie, ale aj vo vzťahu k akejkoľvek funkčnej závislosti, napríklad k nejakému vzťahu z ekonomického hľadiska. teória. Jednou z hlavných aplikácií diferenciálneho počtu je tzv. maximálne a minimálne úlohy; ďalším dôležitým kruhom problémov je nájdenie dotyčnice k danej krivke.

Ukázalo sa, že pomocou derivátu špeciálne vytvoreného na prácu s problémami pohybu je možné nájsť aj oblasti a objemy ohraničené krivkami a povrchmi. Metódy euklidovskej geometrie nemali potrebnú všeobecnosť a neumožnili získať požadované kvantitatívne výsledky. Snahou matematikov 17. storočia. Bolo vytvorených mnoho súkromných metód, ktoré umožnili nájsť oblasti postáv ohraničené krivkami jedného alebo druhého typu a v niektorých prípadoch bola zaznamenaná súvislosť týchto problémov s problémami nájdenia rýchlosti zmeny funkcií. Ale ako v prípade diferenciálneho počtu to boli Newton a Leibniz, kto si uvedomil všeobecnosť metódy, a tým položil základy integrálneho počtu.

Newton-Leibnizova metóda začína nahradením krivky, ktorá ohraničuje oblasť, ktorá sa má určiť, blížiacou sa sekvenciou polygonálnych čiar, rovnakým spôsobom, ako to bolo urobené pri metóde vyčerpania, ktorú vymysleli Gréci. Presná plocha sa rovná limitu súčtu plôch n obdĺžnikov, keď n ide do nekonečna. Newton ukázal, že túto hranicu je možné nájsť obrátením procesu zisťovania rýchlosti zmeny funkcie. Inverzná operácia diferenciácie sa nazýva integrácia. Tvrdenie, že súčet je možné vykonať obrátenou diferenciáciou, sa nazýva hlavná veta matematickej analýzy. Rovnako ako je diferenciácia použiteľná na oveľa širšiu triedu problémov, než je hľadanie rýchlostí a zrýchlení, integrácia je použiteľná na akýkoľvek problém súvisiaci so súčtom, napríklad s fyzickými problémami pridávania síl.

Dijkstrov algoritmus

TEÓRIA GRAFU je oblasť diskrétnej matematiky, ktorej znakom je geometrický prístup k štúdiu predmetov. Hlavným predmetom teórie grafov je graf a jeho zovšeobecnenia ...

Vynikajúci ľudia zo štatistiky. P.L. Chebyšev

Väčšina Chebyshevových prác je venovaná matematickej analýze. Vo svojej dizertačnej práci z roku 1847 za právo prednášať Chebyshev skúmal integrovateľnosť niektorých iracionálnych výrazov v algebraických funkciách a logaritmoch ...

Analyzujme učebnice algebry a začiatky matematickej analýzy od autorov ako A.N. Kolmogorov. a Mordkovich A.G. V učebnici vzdelávacích inštitúcií pre ročníky 10-11 z roku 2008, ktorú upravil A.N. Kolmogorov, ktorej autori: A.N.

Štúdium vlastností náhodných premenných, plánovanie experimentu a analýza údajov

Získajme závislosť presnosti metódy merania pevnosti od faktorov: A, C, E. Vypočítajme z0j = (zmaxj + zminj) / 2 (41)? Zj = (zmaxj - zminj) / 2 (42 ) xj = (zj - z0j) /? zj (43) Zostavme plánovaciu maticu ...

Skúmanie metódy pokračovania riešenia v parametri pre nelineárne ACS

Po analýze vyššie uvedeného grafického a testovacieho materiálu popisujúceho riešenie systémov nelineárnych algebraických rovníc metódou pokračovania riešenia podľa parametrov môžeme vyvodiť príslušné závery: 1 ...

Regresia je závislosť priemernej hodnoty nejakej veličiny Y od inej veličiny X. Pojem regresie v istom zmysle zovšeobecňuje pojem funkčnej závislosti y = f (x) ...

Štúdium štatistickej závislosti tlaku v ideálnom Fermi-Diracovom plyne na jeho teplote

Lineárna regresia Na nájdenie koeficientov a a b metódou najmenších štvorcov boli vypočítané nasledujúce nevyhnutné parametre: = 3276,8479; = 495,4880; = 2580,2386; = 544,33; V našom prípade sú koeficienty a a b rovnaké :. Preto ...

Iteratívne metódy algebraickej rekonštrukcie obrazu

Pri skúmaní výpočtových údajov pre tieto problémy môžeme povedať, že pre túto metódu zohráva zásadnú úlohu počet rovníc a počet neznámych ...

Matematika a moderný svet

Akékoľvek presné vysvetlenie tohto alebo toho javu je matematické a naopak všetko, čo je presné, je matematika. Akýkoľvek presný popis je popisom v príslušnom matematickom jazyku ...

Matematické modelovanie v problémoch výpočtu a návrhu systémov automatického riadenia

Analyzujme neopravený systém pomocou Michajlovových a Hurwitzových kritérií. Nájdeme prenosovú funkciu celého systému Vytvorme Hurwitzovu maticu a0 = 1; a1 = 7,4; a2 = 19; a3 = 10; Podľa Hurwitzovho kritéria pre ...

Metóda najmenšieho štvorca

Začnime konceptom ANOVA. Analyzujme tento koncept na príklade lineárneho vzťahu. Podľa OLS môžeme reprezentovať :, kde. Druhý pomer je tu nájdená regresná rovnica, existuje náhodná premenná s priemerom ...

Minimaxová a multiobjektívna optimalizácia

Predtým, ako začneme zvažovať samotný problém optimalizácie, dohodnime sa, aký matematický aparát použijeme. Na vyriešenie problémov s jedným kritériom stačí pracovať s funkciou jednej premennej ...

Spojitá náhodná premenná

Regresná analýza je metóda modelovania nameraných údajov a štúdia ich vlastností. Údaje sa skladajú z dvojíc hodnôt pre závislú premennú (premenná reakcie) a nezávislú premennú (vysvetľujúca premenná) ...

Vlastnosti jazyka matematiky

Fenomenologický jazyk je najvhodnejší na opis času, chápaného ako čas sveta života, čas ľudskej existencie. Fenomenologický popis času a večnosti však môže používať aj matematický jazyk ...

Numerické metódy riešenia bežných diferenciálnych rovníc a systémov

Od grafického znázornenia riešenia po systém diferenciálnych rovníc prvého poriadku opisujúcich dynamiku populácií dvoch druhov, ktoré navzájom interagujú podľa typu „dravec-korisť“, a pri zohľadnení vnútrodruhovej interakcie je zrejmé, že ...

Čo však jeho objavy dlho nezverejňovalo.

Za oficiálny dátum narodenia diferenciálneho počtu je možné považovať máj, keď Leibniz publikoval prvý článok „Nová metóda vzostupov a pádov ...“... Tento článok v stručnej a neprístupnej forme stanovil princípy novej metódy nazývanej diferenciálny počet.

Leibniz a jeho študenti

Tieto definície sú vysvetlené geometricky, zatiaľ čo na obr. nekonečne malé prírastky sú zobrazené ako konečné. Posúdenie je založené na dvoch požiadavkách (axiómy). Najprv:

Je požadované, aby bolo možné brať dve veličiny, ktoré sa od seba líšia iba nekonečne malým množstvom [pri zjednodušovaní výrazov?] Bez ohľadu na to jedno alebo druhé.

Pokračovanie každej takejto priamky sa nazýva dotyčnica krivky. Lopital pri skúmaní dotyčnice prechádzajúcou bodom pripisuje hodnote veľký význam

dosahovaní extrémnych hodnôt v bodoch inflexie krivky, vzťah k nemá žiadny zvláštny význam.

Pozoruhodné je zistenie extrémnych bodov. Ak pri kontinuálnom zvyšovaní priemeru súradnica najskôr rastie a potom klesá, potom je diferenciál najskôr kladný v porovnaní s a potom záporný.

Ale akékoľvek neustále sa zvyšujúce alebo klesajúce množstvo nemôže prejsť z kladného na záporné bez toho, aby prešlo nekonečnom alebo nulou ... Z toho vyplýva, že diferenciál najväčšej a najmenšej hodnoty musí byť rovný nule alebo nekonečnu.

Táto formulácia pravdepodobne nie je bezchybná, ak si spomenieme na prvú požiadavku: povedzme, potom na základe prvej požiadavky

;

na nule je pravá strana nulová a ľavá nie. Zrejme malo byť povedané, že je možné transformovať v súlade s prvou požiadavkou tak, aby v maximálnom bode. ... V príkladoch je všetko samozrejmé a iba v teórii inflexných bodov L'Hospital píše, že sa rovná nule v maximálnom bode, pričom je delené.

Ďalej pomocou niektorých diferenciálov sú formulované podmienky pre extrém a zvažuje sa veľký počet komplexných problémov týkajúcich sa hlavne diferenciálnej geometrie v rovine. Na konci knihy, v kap. 10, uvádza to, čomu sa dnes hovorí pravidlo L'Hôpital, aj keď v neobvyklej forme. Nechajte hodnotu súradnice krivky vyjadriť ako zlomok, v ktorom čitateľ a menovateľ zmizne. Potom má bod krivky s ordinálu rovnajúcu sa pomeru diferenciálu čitateľa k diferenciálu menovateľa, vzatého na.

Podľa L'Hôpitalovej myšlienky to, čo napísal, predstavovalo prvú časť analýzy, zatiaľ čo druhá mala obsahovať integrálny počet, tj. Spôsob, ako nájsť vzťah premenných podľa známeho vzťahu ich diferenciálov. Jeho prvú expozíciu uviedol Johann Bernoulli vo svojom Matematické prednášky o integrálnej metóde... Tu je uvedený spôsob preberania väčšiny elementárnych integrálov a sú uvedené metódy pre riešenie mnohých diferenciálnych rovníc prvého rádu.

Leibniz poukázal na praktickú užitočnosť a jednoduchosť novej metódy a napísal:

To, čo môže človek zbehlý v tomto výpočte, vystihnúť správne v troch riadkoch, boli ostatní naučení muži nútení hľadať po komplikovaných obchádzkach.

Euler

Zmeny, ktoré nastali v priebehu nasledujúceho polstoročia, sa odrážajú v rozsiahlom Eulerovom pojednaní. Prezentácia analýzy otvára dvojdielny „Úvod“, ktorý obsahuje výskum rôznych reprezentácií elementárnych funkcií. Pojem „funkcia“ sa prvýkrát objavuje iba v Leibnizovi, ale do prvých rolí ho zaradil práve Euler. Pôvodná interpretácia pojmu funkcie bola taká, že funkcia je výrazom na počítanie (nemčina. Rechnungsausdrϋck) alebo analytický výraz.

Funkcia premennej veličiny je analytický výraz, ktorý je nejakým spôsobom zložený z tejto premennej veličiny a čísel alebo konštantných veličín.

Zdôrazňujúc, že „hlavný rozdiel medzi funkciami spočíva v tom, ako sa skladajú z variabilných a konštantných“, Euler uvádza akcie „pomocou ktorých je možné veličiny kombinovať a navzájom miešať; tieto akcie sú: sčítanie a odčítanie, násobenie a delenie, umocňovanie a extrakcia koreňov; to zahŕňa aj riešenie [algebraických] rovníc. Okrem týchto akcií, nazývaných algebraické, existuje mnoho ďalších, transcendentálnych, ako napríklad: exponenciálne, logaritmické a mnohé ďalšie, dodávané pomocou integrálneho počtu. “ Táto interpretácia umožnila ľahko zvládnuť viachodnotové funkcie a nevyžadovala vysvetlenie, v akom poli sa o funkcii uvažovalo: výraz pre počet bol definovaný pre komplexné hodnoty premenných, aj keď to nebolo potrebné pre posudzovaný problém. .

Operácie vo výraze boli povolené iba v konečnom počte a transcendentálno preniklo pomocou nekonečne veľkého počtu. Vo výrazoch sa toto číslo používa spolu s prirodzenými číslami. Napríklad taký výraz pre exponent sa považuje za platný

v ktorom až neskorší autori videli prechod na hranicu. Vykonali sa rôzne transformácie s analytickými výrazmi, ktoré umožnili Eulerovi nájsť z písomných vzorcov reprezentácie elementárnych funkcií vo forme sérií, nekonečných produktov atď.

Na rozdiel od L'Hôpital Euler podrobne skúma transcendentálne funkcie a najmä dve ich najštudovanejšie triedy - exponenciálnu a trigonometrickú. Zistil, že všetky atómové funkcie je možné vyjadriť pomocou aritmetiky a dvoch operácií - pričom použijeme logaritmus a exponent.

Samotný priebeh dôkazu dokonale ukazuje techniku používania nekonečne veľkého. Keď Euler určil sínus a kosínus pomocou trigonometrického kruhu, z adičných vzorcov odvodzuje nasledujúce:

Za predpokladu a dostane

vyradenie nekonečne malých množstiev väčšej objednávky. Pomocou tohto a podobného výrazu získava Euler tiež svoju slávnu formulu

Po naznačení rôznych výrazov pre funkcie, ktoré sa teraz nazývajú elementárne, Euler pokračuje v zvažovaní kriviek v rovine ťahanej voľným pohybom ruky. Podľa jeho názoru nie je možné nájsť jediný analytický výraz pre každú takú krivku (pozri tiež The String Dispute). V 19. storočí bolo toto tvrdenie na návrh Casoratiho považované za chybné: podľa Weierstrassovej vety možno akúkoľvek spojitú krivku v modernom zmysle približne opísať polynómami. V skutočnosti nebol Euler takmer presvedčený, pretože prechod na hranicu je stále potrebné prepísať pomocou symbolu.

Euler začína svoju expozíciu diferenciálneho počtu teóriou konečných rozdielov, po ktorej v tretej kapitole nasleduje filozofické vysvetlenie, že „nekonečne malá veličina je presne nula“, čo predovšetkým nevyhovovalo Eulerovým súčasníkom. Potom sa z nekonečných rozdielov v nekonečne malom prírastku vytvoria diferenciály a z Newtonovho interpolačného vzorca sa vytvorí Taylorov vzorec. Táto metóda sa v podstate vracia k práci Taylora (1715). V tomto prípade Euler vyvinie stabilný vzťah, ktorý sa však považuje za pomer dvoch nekonečne malých hodnôt. Posledné kapitoly sú venované približnému výpočtu pomocou sérií.

V trojdielnom integrálnom počte interpretuje Euler koncept integrálu nasledovne:

Funkcia, ktorej diferenciál sa nazýva jej integrál a je označená znamienkom umiestneným vpredu.

Celkovo je táto časť Eulerovho pojednania venovaná všeobecnejšiemu z moderného hľadiska problému integrácie diferenciálnych rovníc. Euler pri tom nájde množstvo integrálov a diferenciálnych rovníc, ktoré vedú k novým funkciám, napríklad k funkciám, eliptickým funkciám atď.).

Lagrange

Nasledujúce hlavné dielo, ktoré zohralo významnú úlohu vo vývoji koncepcie analýzy, bolo Teória analytických funkcií Lagrange a rozsiahle prerozprávanie Lagrangeho diela, ktoré Lacroix predviedol tak trochu eklekticky.

Lagrange, ktorý sa chcel úplne zbaviť nekonečne malého, obrátil spojenie medzi derivátmi a Taylorovou sériou. Pod analytickou funkciou Lagrange chápal ľubovoľnú funkciu skúmanú analytickými metódami. Označil samotnú funkciu, ktorá poskytuje grafický spôsob zápisu závislostí - predtým Euler spravoval iba s premennými. Na aplikáciu analytických metód je podľa Lagrangeovej nevyhnutné, aby bola funkcia rozšírená v sérii

ktorých koeficienty budú novými funkciami. Zostáva zavolať deriváciu (diferenciálny koeficient) a označiť ju ako. Pojem derivát je teda predstavený na druhej strane pojednania a bez pomoci nekonečna. Zostáva poznamenať, že

koeficient je teda dvojnásobnou deriváciou derivátu, to znamená

atď.

Tento prístup k interpretácii pojmu derivát sa používa v modernej algebre a slúžil ako základ pre vytvorenie teórie analytických Weierstrassových funkcií.

Lagrange pracoval na takých formálnych sériách a získal množstvo pozoruhodných viet. Zvlášť bol prvým a úplne rigorózne dokázal riešiteľnosť počiatočného problému pre bežné diferenciálne rovnice vo formálnych radoch síl.

Otázku odhadu presnosti aproximácií poskytnutých čiastkovými súčtami Taylorovho radu najskôr položil Lagrange: na konci Teória analytických funkcií odvodil to, čo sa teraz nazýva Taylorov vzorec, so zvyškom v Lagrangeovom tvare. Na rozdiel od moderných autorov však Lagrange nepovažoval za potrebné použiť tento výsledok na zdôvodnenie konvergencie Taylorovej série.

Otázka, či je možné funkcie použité v analýze skutočne rozšíriť v silových radoch, sa neskôr stala predmetom diskusie. Lagrange samozrejme vedel, že v niektorých bodoch sa elementárne funkcie nemusia v mocninovom rade rozširovať, ale v týchto bodoch nie sú v žiadnom zmysle diferencovateľné. Cauchy vo svojom Algebraická analýza dal ako protipriklad funkciu

predĺžená o nulu na nulu. Táto funkcia je všade hladká na skutočnej osi a na nule má nulovú radu Maclaurin, ktorá sa preto nekonverguje na hodnotu. Proti tomuto príkladu Poisson namietal, že Lagrange definoval funkciu ako jeden analytický výraz, zatiaľ čo v Cauchyovom príklade je funkcia daná odlišne pri nule a pri. Až na konci 19. storočia Pringsheim dokázal, že existuje nekonečne diferencovateľná funkcia daná jediným výrazom, v ktorom sa Maclaurinova séria líši. Príklad s takouto funkciou prináša výraz

Ďalší vývoj

V poslednej tretine 19. storočia Weierstrass vykonal aritmetizáciu analýzy, pričom veril, že geometrické zdôvodnenie je nedostatočné, a navrhol klasickú definíciu limitu z hľadiska jazyka ε-δ. Vytvoril tiež prvú rigoróznu teóriu súboru reálnych čísel. Pokusy o zlepšenie vety o Riemannovej integrovateľnosti zároveň viedli k vytvoreniu klasifikácie diskontinuity skutočných funkcií. Tiež boli objavené „patologické“ príklady (nikde nedefinovateľné spojité funkcie, krivky vypĺňajúce priestor). V tejto súvislosti Jordan vyvinul teóriu mier a teóriu Cantorových množín a na začiatku 20. storočia bola s ich pomocou formalizovaná matematická analýza. Ďalším dôležitým vývojom 20. storočia bol vývoj neštandardnej analýzy ako alternatívneho prístupu k analýze podloženia.

Sekcie matematickej analýzy

Metrický priestor, topologický priestor

pozri tiež

Bibliografia

Encyklopedické články

// Encyklopedický lexikón: SPb.: Typ. A. Plyushara, 1835-1841. Zväzok 1-17.

// Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona: V 86 zväzkoch (82 zväzkov a 4 ďalšie). - SPb. , 1890-1907.

Náučná literatúra

Štandardné návody

Nasledujúce učebnice sú v Rusku obľúbené už mnoho rokov:

Courant, R. Kurz diferenciálneho a integrálneho počtu (v dvoch zväzkoch). Hlavné metodologické zistenie kurzu: najskôr sa jednoducho uvedú hlavné myšlienky a potom sa im poskytnú rigorózne dôkazy. Napísal ho Courant, keď bol v 20. rokoch 20. storočia pod vplyvom Kleinových myšlienok profesorom na univerzite v Göttingene. Potom bol v 30. rokoch 20. storočia prenesený na americkú pôdu. Ruský preklad z roku 1934 a jeho dotlač dáva text pre nemecké vydanie, preklad 60. rokov (takzvané 4. vydanie) je kompiláciou z nemeckej a americkej verzie učebnice, a preto je veľmi podrobný.
Fikhtengolts G.M. Kurz diferenciálneho a integrálneho počtu (v troch zväzkoch) a kniha problémov.
Demidovich B.P. Zbierka úloh a cvičení z matematickej analýzy.
Lyashko I.I. a ďalší. Referenčná príručka pre vyššiu matematiku, v. 1-5.

Niektoré vysoké školy majú svoje vlastné analytické príručky:

Moskovská štátna univerzita, MekhMat:

Arkhipov G.I., Sadovnichy V.A., Chubarikov V.N. Prednášky z mat. analýza.
Zorich V.A. Matematická analýza. Časť I. M.: Nauka, 1981,544 s.
Zorich V.A. Matematická analýza. Časť II. Moskva: Nauka, 1984.640 s.
Kamynin L. I. Priebeh matematickej analýzy (v dvoch zväzkoch). Moskva: Moscow University Press, 2001.

V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichy, Bl. H. Sendov. Matematická analýza / Ed. A. N. Tichonova... - 3. vyd. , zrevidované a pridať. -M.: Prospect, 2006.-ISBN 5-482-00445-7

Moskovská štátna univerzita, Katedra fyziky:

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Základy matematickej analýzy (v dvoch častiach). - Moskva: Fizmatlit, 2005.- 648 s. -ISBN 5-9221-0536-1
Butuzov V.F. a ďalší. Mat. analýza otázok a úloh

Matematika na Technickej univerzite Zbierka učebníc v 21 zväzkoch.

Petrohradská štátna univerzita, Katedra fyziky:

Smirnov V.I. Vyšší kurz matematiky, v 5 zväzkoch. Moskva: Nauka, 1981 (6. vydanie), BHV-Petersburg, 2008 (24. vydanie).

NSU, mechmat:

Reshetnyak Yu. G. Priebeh matematickej analýzy. Časť I. Kniha 1. Úvod do matematickej analýzy. Diferenciálny počet funkcií jednej premennej. Novosibirsk: Vydavateľstvo Matematického ústavu, 1999.454 s ISBN 5-86134-066-8.
Reshetnyak Yu. G. Priebeh matematickej analýzy. Časť I. Kniha 2. Integrálny počet funkcií jednej premennej. Diferenciálny počet funkcií viacerých premenných. Novosibirsk: Vydavateľstvo Matematického ústavu, 1999.512 s ISBN 5-86134-067-6.
Reshetnyak Yu. G. Priebeh matematickej analýzy. Časť II. Kniha 1. Základy hladkej analýzy vo viacrozmerných priestoroch. Teória sérií. Novosibirsk: Vydavateľstvo Matematického ústavu, 2000.440 s ISBN 5-86134-086-2.
Reshetnyak Yu. G. Priebeh matematickej analýzy. Časť II. Kniha 2. Integrálny počet funkcií niekoľkých premenných. Integrálny počet na potrubiach. Externé diferenciálne formy. Novosibirsk: Vydavateľstvo Matematického ústavu, 2001.444 s ISBN 5-86134-089-7.
Shvedov I.A. Kompaktný priebeh matematickej analýzy, časť 1. Funkcie jednej premennej, časť 2. Diferenciálny počet funkcií viacerých premenných.

MIPT, Moskva

L. D. Kudryavtsev Kurz matematickej analýzy (v troch zväzkoch).

BSU, oddelenie fyziky:

Bogdanov Yu.S. Prednášky z matematickej analýzy (v dvoch častiach). - Minsk: BSU, 1974.- 357 s.

Pokročilé učebnice

Návody:

Rudin U. Základy matematickej analýzy. M., 1976 - útla kniha, napísaná veľmi jasne a stručne.

Problémové knihy zvýšenej zložitosti:

G.Polia, G. Sege, Problémy a vety z analýzy. Časť 1, časť 2, 1978. (Väčšina materiálu sa týka TFKP)
Pascal, E.(Neapol). Esercizii, 1895; 2. vydanie, 1909 // Internetový archív

Učebnice humanitných špecialít

A. M. Akhtyamov Matematika pre sociológov a ekonómov. - M .: Fizmatlit, 2004.
N. Sh. Kremer a kol. Vyššia matematika pre ekonómov. Učebnica. 3. vyd. - M .: Jednota, 2010

Problémové knihy

G. N. Berman. Zbierka úloh pre kurz matematickej analýzy: Učebnica pre univerzity. - 20. vyd. M .: Veda. Hlavné vydanie fyzikálnej a matematickej literatúry, 1985. - 384 s.
P. E. Danko, A. G. Popov, T. Ya. Kozhevnikov. Vyššia matematika v cvičeniach a problémoch. (V 2 častiach) - M.: Higher school, 1986.
GI Zaporozhets Sprievodca riešením problémov v matematickej analýze. - M.: Vysoká škola, 1966.
I. A. Kaplan. Praktické hodiny z vyššej matematiky, v 5 častiach .. - Charkov, Izd. Štát Charkov. Univerzita, 1967, 1971, 1972.
A. K. Boyarchuk, G. P. Golovach. Diferenciálne rovnice v príkladoch a problémoch. Moskva. Redakcia URSS, 2001.
A. V. Panteleev, A. S. Yakimova, A. V. Bosov. Obyčajné diferenciálne rovnice v príkladoch a problémoch. „MAI“, 2000
A. M. Samoilenko, S. A. Krivosheya, N. A. Perestyuk. Diferenciálne rovnice: príklady a problémy. VS, 1989.
K.N. Lungu, V.P. Norin, D.T. Pismenny, Yu.A. Shevchenko. Zbierka úloh vo vyššej matematike. Kurz 1. - 7. vydanie. - M.: Iris-press, 2008.
I.A. Maron. Diferenciálny a integrálny počet v príkladoch a úlohách (funkcie jednej premennej). - M., Fizmatlit, 1970.
V. D. Černenko. Vyššia matematika v príkladoch a problémoch: Učebnica pre vysoké školy. V 3 zväzkoch - Petrohrad: Polytechnic, 2003.

Referencie

Klasické diela

Eseje o histórii analýzy

Kestner, Abraham Gottgelf. Geschichte der Mathematik ... 4 zväzky, Göttingen, 1796-1800
Kantor, Moritz. Vorlesungen über geschichte der mathematik Lipsko: B. G. Teubner, -. Bd. 1, Bd. 2, Bd. 3, Bd. 4
Dejiny matematiky, editoval A.P. Yushkevich (v troch zväzkoch):

Zväzok 1 Od staroveku po začiatok modernej doby. (1970)
Zväzok 2 Matematika 17. storočia. (1970)
3. zväzok Matematika 18. storočia. (1972)

Markushevich A.I. Eseje o histórii teórie analytických funkcií. 1951
Vileitner G. Dejiny matematiky od Descarta do polovice 19. storočia. 1960

Poznámky

Porovnajte napríklad kurz Cornell Un
Newton I. Matematické práce... M, 1937.
Leibniz // Acta Eroditorum, 1684. L. M. S., zv. V, c. 220-226. Rus. per.: Uspekhi Mat. Science, zv. 3, v. 1 ods. 23, s. 166-173.
Lopital. Analýza nekonečne malého... Moskva-Leningrad: GTTI, 1935. (Ďalej: Lopital) // Mat. analýza na EqWorld
Lopital, ch. 1, ref. 2.
Lopital, ch. 4, ref. 1.
Lopital, ch. 1, požiadavka 1.
Lopital, ch. 1, požiadavka 2.
Lopital, ch. 2, ref.

Zakladatelia modernej vedy - Kopernik, Kepler, Galileo a Newton - pristúpili k štúdiu prírody ako k matematike. Pri skúmaní pohybu matematici vyvinuli taký zásadný koncept, akým je napríklad funkcia alebo vzťah medzi premennými d = kt 2, kde d je vzdialenosť, ktorú prejde voľne padajúce teleso, a t- počet sekúnd, počas ktorých je telo vo voľnom páde. Pojem funkcie sa okamžite stal ústredným pre určenie rýchlosti v danom čase a zrýchlenia pohybujúceho sa telesa. Matematická náročnosť tohto problému spočívala v tom, že telo kedykoľvek prejde nulovú vzdialenosť v nulovom časovom intervale. Preto určovaním hodnoty rýchlosti v okamihu v čase delením cesty časom, prichádzame k matematicky bezvýznamnému výrazu 0/0.

Problém určovania a výpočtu okamžitých rýchlostí zmeny rôznych veličín upútal pozornosť takmer všetkých matematikov 17. storočia vrátane Barrowa, Fermata, Descarta a Wallisa. Rôzne myšlienky a metódy, ktoré navrhli, spojili do systematickej, univerzálne použiteľnej formálnej metódy Newton a G. Leibniz (1646-1716), tvorcovia diferenciálneho počtu. Prebiehala medzi nimi búrlivá diskusia o priorite pri vývoji tohto počtu a Newton obvinil Leibniza z plagiátorstva. Ako však ukázal výskum historikov vedy, Leibniz vytvoril matematickú analýzu nezávisle od Newtona. V dôsledku konfliktu bola výmena myšlienok medzi matematikmi kontinentálnej Európy a Anglicka na dlhé roky prerušená, a to na úkor anglickej strany. Angličtí matematici pokračovali v rozvíjaní myšlienok analýzy geometrickým smerom, zatiaľ čo matematici z kontinentálnej Európy, vrátane I. Bernoulliho (1667-1748), Eulera a Lagrangeho, dosiahli neporovnateľne väčší úspech podľa algebraického alebo analytického prístupu.

Základom všetkej matematickej analýzy je koncept hranice. Rýchlosť v čase je definovaná ako hranica, ku ktorej priemerná rýchlosť smeruje d/t keď hodnota t sa blíži k nule. Diferenciálny počet poskytuje pohodlnú všeobecnú metódu na výpočet rýchlosti zmeny funkcie f (X) pre akúkoľvek hodnotu NS... Táto sadzba sa nazýva derivát. Zo všeobecnosti záznamu f (X) je zrejmé, že koncept derivácie je použiteľný nielen v problémoch spojených s potrebou nájsť rýchlosť alebo zrýchlenie, ale aj vo vzťahu k akejkoľvek funkčnej závislosti, napríklad k nejakému vzťahu z ekonomickej teórie. Jednou z hlavných aplikácií diferenciálneho počtu je tzv. maximálne a minimálne úlohy; ďalším dôležitým kruhom problémov je nájdenie dotyčnice k danej krivke.

Newton-Leibnizova metóda začína nahradením krivky, ktorá ohraničuje oblasť, ktorá sa má určiť, blížiacou sa sekvenciou polygonálnych čiar, rovnakým spôsobom, ako to bolo urobené pri metóde vyčerpania, ktorú vymysleli Gréci. Presná plocha sa rovná limitu súčtu plôch n obdĺžniky, keď n ide do nekonečna. Newton ukázal, že túto hranicu je možné nájsť obrátením procesu zisťovania rýchlosti zmeny funkcie. Inverzná operácia diferenciácie sa nazýva integrácia. Tvrdenie, že súčet je možné vykonať obrátenou diferenciáciou, sa nazýva hlavná veta matematickej analýzy. Rovnako ako je diferenciácia použiteľná na oveľa širšiu triedu problémov, než je hľadanie rýchlostí a zrýchlení, integrácia je použiteľná na akýkoľvek problém súvisiaci so súčtom, napríklad s fyzickými problémami pridávania síl.

Arabčina bulharčina čínština chorvátčina čeština dánčina holandčina angličtina estónčina fínčina francúzština nemčina gréčtina hebrejčina hindčina maďarčina islandčina indonézština taliančina japončina kórejčina lotyština litovčina malgaština nórčina perzština poľština portugalčina rumunčina ruština srbčina slovenčina slovinčina španielčina švédčina thajčina turečtina vietnamčina

definícia - matematická_analýza

Vo vzdelávacom procese analýza zahŕňa:

Súčasne sú ako možnosť uvedené prvky funkčnej analýzy a teória Lebesgueovho integrálu, zatiaľ čo TFKP, variačný počet a teória diferenciálnych rovníc sa vyučujú v oddelených kurzoch. Prísnosť prezentácie nadväzuje na vzorce z konca 19. storočia a najmä používa naivnú teóriu množín.

Program analytického kurzu vyučovaného na univerzitách Ruskej federácie zhruba zodpovedá programu angloamerického kurzu „Kalkulus“.

História

Predchodcami matematickej analýzy boli starodávna metóda vyčerpania a metóda nedeliteľných. Všetky tri smery, vrátane analýzy, majú spoločnú počiatočnú myšlienku: rozklad na nekonečne malé prvky, ktorých povaha sa však autorom tejto myšlienky zdala dosť vágna. Algebraický prístup ( nekonečne malý počet) sa začína objavovať na Wallisovi, Jamesovi Gregorym a Barrowovi. Úplne nový kalkul ako systém vytvoril Newton, ktorý však svoje objavy dlho nezverejňoval.

Leibniz a jeho študenti

Tieto definície sú vysvetlené geometricky, zatiaľ čo na obr. nekonečne malé prírastky sú zobrazené ako konečné. Posúdenie je založené na dvoch požiadavkách (axiómy). Najprv:

Je požadované, aby bolo možné brať dve veličiny, ktoré sa od seba líšia iba nekonečne malým množstvom [pri zjednodušovaní výrazov?] Bez ohľadu na to jedno alebo druhé.

Pokračovanie každej takejto priamky sa nazýva dotyčnica krivky. Lopital pri skúmaní dotyčnice prechádzajúcou bodom pripisuje hodnote veľký význam

dosahovaní extrémnych hodnôt v bodoch inflexie krivky, vzťah k nemá žiadny zvláštny význam.

Ale akékoľvek neustále sa zvyšujúce alebo klesajúce množstvo nemôže prejsť z kladného na záporné bez toho, aby prešlo nekonečnom alebo nulou ... Z toho vyplýva, že diferenciál najväčšej a najmenšej hodnoty musí byť rovný nule alebo nekonečnu.

Táto formulácia pravdepodobne nie je bezchybná, ak si spomenieme na prvú požiadavku: povedzme, potom na základe prvej požiadavky

;

Leibniz poukázal na praktickú užitočnosť a jednoduchosť novej metódy a napísal:

To, čo môže človek zbehlý v tomto výpočte, vystihnúť správne v troch riadkoch, boli ostatní naučení muži nútení hľadať po komplikovaných obchádzkach.

Euler

Funkcia premennej veličiny je analytický výraz, ktorý je nejakým spôsobom zložený z tejto premennej veličiny a čísel alebo konštantných veličín.

Za predpokladu a dostane

vyradenie nekonečne malých množstiev väčšej objednávky. Pomocou tohto a podobného výrazu získava Euler tiež svoju slávnu formulu

V trojdielnom integrálnom počte interpretuje Euler koncept integrálu nasledovne:

Funkcia, ktorej diferenciál sa nazýva jej integrál a je označená znamienkom umiestneným vpredu.

Lagrange

koeficient je teda dvojnásobnou deriváciou derivátu, to znamená

atď.

Tento prístup k interpretácii pojmu derivát sa používa v modernej algebre a slúžil ako základ pre vytvorenie teórie analytických Weierstrassových funkcií.

Ďalší vývoj

Sekcie matematickej analýzy

pozri tiež

Bibliografia

Encyklopedické články

Náučná literatúra

Štandardné návody

Nasledujúce učebnice sú v Rusku obľúbené už mnoho rokov:

Niektoré vysoké školy majú svoje vlastné analytické príručky:

Matematika na Technickej univerzite Zbierka učebníc v 21 zväzkoch.

Bogdanov Yu.S. Prednášky z matematickej analýzy (v dvoch častiach). - Minsk: BSU, 1974.- 357 s.

Pokročilé učebnice

Návody:

Rudin U. Základy matematickej analýzy. M., 1976 - útla kniha, napísaná veľmi jasne a stručne.

Problémové knihy zvýšenej zložitosti:

G.Polia, G. Sege, Problémy a vety z analýzy.

19. storočie je začiatkom nového, štvrtého obdobia v histórii matematiky - obdobia modernej matematiky.

Už vieme, že jedným z hlavných smerov vývoja matematiky vo štvrtom období je posilnenie prísnosti dôkazov vo všetkej matematike, najmä reštrukturalizácia matematickej analýzy na logickom základe. V druhej polovici XVIII. Uskutočnili sa opakované pokusy o reštrukturalizáciu matematickej analýzy: zavedenie definície limitu (d'Alembert a ďalšie), definícia derivátu ako limitu pomeru (Euler a ďalší), výsledky Lagrangeovho a Carnotovho textu atď. ., ale týmto dielam chýbal systém a niekedy boli neúspešné. Pripravili však pôdu, na ktorej perestrojka v 19. storočí. by sa dalo implementovať. V XIX storočí. tento smer vývoja matematickej analýzy sa stal vedúcim. Postarali sa o to O. Koshi, B. Bolzano, K. Weierstrass a ďalší.

1. August Louis Cauchy (1789-1857) vyštudoval Ecole Polytechnique a Inštitút železníc v Paríži. Od roku 1816 člen Parížskej akadémie a profesor na Ecole Polytechnique. V rokoch 1830-1838. počas rokov republiky bol v exile kvôli svojmu monarchistickému presvedčeniu. Od roku 1848 sa Cauchy stal profesorom na Sorbonne - Parížskej univerzite. Publikoval viac ako 800 článkov o matematickej analýze, diferenciálnych rovniciach, teórii funkcií komplexnej premennej, algebre, teórii čísel, geometrii, mechanike, optike atď. Jeho hlavnými oblasťami vedeckého záujmu bola matematická analýza a teória funkcií komplexnej premennej .

Cauchy publikoval svoje prednášky o analýze na Ecole Polytechnique v troch prácach: A Course in Analysis (1821), Summaryies of Lectures on the Infinitesimal (1823), Lecture on Applications of Analysis to Geometry, 2 zväzky (1826, 1828) . v týchto knihách je matematická analýza prvýkrát založená na teórii limitov. znamenali začiatok radikálnej reštrukturalizácie matematickej analýzy.

Cauchy uvádza nasledujúcu definíciu limitu premennej: „Ak sa hodnoty konzistentne priradené tej istej premennej neobmedzene blížia k fixnej hodnote, takže sa od nej nakoniec líšia tak málo, ako je požadované, potom sa táto druhá nazýva limit všetkých ostatných “. Podstata veci je tu dobre vyjadrená, je však potrebné definovať samotné slová „ako málo“ a okrem toho sa tu formuluje definícia limitu premennej, a nie limit funkcie. Ďalej autor dokazuje rôzne vlastnosti limitov.

Potom Cauchy uvádza takú definíciu spojitosti funkcie: funkcia sa nazýva spojitá (v bode), ak nekonečne malý prírastok argumentu generuje nekonečne malý prírastok funkcie, tj. V modernom jazyku

Potom má rôzne vlastnosti spojitých funkcií.

V prvej knihe uvažuje aj o teórii radov: súčet číselných radov definuje ako hranicu jeho čiastkového súčtu, zavádza množstvo dostatočných kritérií na konvergenciu číselných radov, ako aj mocenských radov a regiónu. ich konvergencie - to všetko v skutočnej aj v komplexnej oblasti.

V druhej knihe predstavuje diferenciálny a integrálny počet.

Cauchy definuje deriváciu funkcie ako hranicu pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď prírastok argumentu má tendenciu k nule a diferenciál ako hranicu pomeru odkiaľ to vyplýva. Nasledujú obvyklé vzorce pre deriváty; autor často používa Lagrangeovu vetu o priemerných hodnotách.

V integrálnom počte bol Cauchy prvým, kto ako základný koncept predložil určitý integrál. Tiež ho prvýkrát uvádza ako hranicu integrálnych súčtov. Je tu tiež dokázaná dôležitá veta o integrovateľnosti spojitej funkcie. Jeho neurčitý integrál je definovaný ako taká funkcia argumentu, že sa tu navyše uvažuje o rozšírení funkcií v Taylorových a Maclaurinových radoch.

V druhej polovici XIX storočia. množstvo vedcov: B. Riemann, G. Darboux a ďalší našli nové podmienky pre integrovateľnosť funkcie a dokonca zmenili samotnú definíciu určitého integrálu, aby ho bolo možné použiť na integráciu niektorých diskontinuálnych funkcií.

V teórii diferenciálnych rovníc sa Cauchy zaoberal predovšetkým dokázaním zásadne dôležitých teórií existencie: existencie riešenia obyčajnej diferenciálnej rovnice, prvého a potom tretieho rádu; existencia riešenia pre lineárny systém parciálnych diferenciálnych rovníc.

V teórii funkcií komplexnej premennej je Cauchy zakladateľom; venuje sa mu mnoho jeho článkov. V XVIII storočí. Euler a D'Alembert položili základy tejto teórie. Na stredoškolskom kurze teórie funkcií komplexnej premennej sa neustále stretávame s názvom Cauchy: Cauchyho - Riemannove podmienky pre existenciu derivátu, Cauchyov integrál, Cauchyov integrálny vzorec atď .; mnoho viet o zvyškoch funkcie je tiež zásluhou Cauchyho. V tejto oblasti veľmi dôležité výsledky získali aj B. Riemann, K. Weierstrass, P. Laurent a ďalší.

Vráťme sa k základným pojmom matematickej analýzy. V druhej polovici storočia bolo zrejmé, že český vedec Bernard Bolzano (1781 - 1848) urobil v oblasti podloženia analýzy pred Cauchyom a Weiershtrassom veľa. Pred Cauchyom uviedol definície limitu, spojitosti funkcie a konvergencie číselných radov, ukázal sa ako kritérium konvergencie číselnej postupnosti a tiež dávno predtým, ako sa objavil vo Weierstrassovej vete: ak je množina čísel je ohraničený nad (nižšie), potom má presný horný (presný spodný) okraj. Uvažoval o niekoľkých vlastnostiach spojitých funkcií; Pripomeňme, že v stredoškolskom kurze matematickej analýzy existujú Bolzano -Cauchyho a Bolzano -Weierstrassove vety o funkciách, ktoré sú v segmente spojité. Bolzano tiež skúmal niektoré otázky matematickej analýzy, napríklad skonštruoval prvý príklad funkcie, ktorá je spojitá v segmente, ale v žiadnom bode segmentu nemá deriváciu. Bolzano bol počas svojho života schopný publikovať iba päť malých diel, takže o jeho výsledkoch sa dozvedelo príliš neskoro.

2. V matematickej analýze bol stále jasnejšie cítiť nedostatok jasnej definície funkcie. Francúzsky vedec Jean Fourier významne prispel k vyriešeniu sporu o tom, čo sa rozumie pod funkciou. Zaoberal sa matematickou teóriou vedenia tepla v pevných látkach a v tejto súvislosti použil goniometrické rady (Fourierove rady)

tieto série sa neskôr začali široko používať v matematickej fyzike - vede, ktorá sa zaoberá matematickými metódami štúdia parciálnych diferenciálnych rovníc nachádzajúcich sa vo fyzike. Fourier dokázal, že akúkoľvek spojitú krivku, bez ohľadu na to, z ktorých heterogénnych častí sa skladá, je možné špecifikovať jediným analytickým výrazom - trigonometrickým radom, a že to možno urobiť pre niektoré krivky s diskontinuitami. Štúdium takýchto sérií, ktoré uskutočnil Fourier, opäť vyvolalo otázku, čo sa rozumie pod funkciou. Dá sa taká krivka považovať za definíciu funkcie? (Ide o obnovu starej debaty z 18. storočia o vzťahu funkcie a vzorca na novej úrovni.)

V roku 1837 nemecký matematik P. Direchle prvýkrát uviedol modernú definíciu funkcie: „existuje funkcia premennej (v intervale, ak každá hodnota (v tomto segmente) zodpovedá úplne určitej hodnote) a bez ohľadu na to, ako je táto korešpondencia stanovená - analytickým vzorcom, grafom, tabuľkou alebo dokonca iba slovami. “Pozoruhodné je doplnenie:„ je jedno, ako bola táto korešpondencia založená. “Direhleho definícia získala všeobecné uznanie pomerne rýchlo.

3. Moderný štandard prísnosti v matematickej analýze sa prvýkrát objavil v prácach Weierstrassa (1815–1897). Dlho pôsobil ako učiteľ matematiky na stredných školách a v roku 1856 sa stal profesorom na univerzite v Berlíne. Poslucháči jeho prednášok ich postupne vydávali vo forme samostatných kníh, vďaka ktorým sa obsah Weierstrassových prednášok stal v Európe známym. Bol to Weierstrass, kto začal systematicky používať jazyk v matematickej analýze. Poskytol definíciu limitu sekvencie, definíciu limitu funkcie v jazyku (ktorá sa často nesprávne nazýva Cauchyova definícia), dôsledne dokázal vety o hraniciach a takzvaná Weierstrassova veta o limite monotónnej sekvencie: rastúca (klesajúca) sekvencia ohraničená vyššie (nižšie) má konečný limit. Začal používať koncepty presných horných a presných dolných hraníc množiny čísel, koncept limitného bodu množiny, dokázal vetu (ktorá má iného autora, Bolzana): množina obmedzených čísel má limitný bod, zvážil niektoré vlastnosti spojitých funkcií. Weierstrass venoval mnoho prác teórii funkcií komplexnej premennej a podložil ju pomocou mocenských radov. Pracoval tiež v počte variácií, diferenciálnej geometrii a lineárnej algebre.

4. Pozastavme sa nad teóriou nekonečných množín. Jeho tvorcom bol nemecký matematik Kantor. Georg Cantor (1845-1918) pôsobil mnoho rokov ako profesor na univerzite v Halle. Od roku 1870 publikoval svoje práce o teórii množín. Dokázal nespočítateľnosť množiny reálnych čísel, čím založil existenciu nerovnakých nekonečných množín, predstavil všeobecný koncept mohutnosti množiny a objasnil princípy porovnávania kardinalít. Cantor skonštruoval teóriu transfinitných „nevhodných“ čísel tak, že najnižšie a najmenšie transfinitné číslo pripisuje mohutnosti spočítateľnej množiny (konkrétne množiny prirodzených čísel), mohutnosti množiny reálnych čísel - vyššej, väčšej transfinitné číslo atď .; to mu poskytlo príležitosť zostaviť aritmetiku transfinitných čísel, podobnú obvyklej aritmetike prirodzených čísel. Cantor systematicky uplatňoval skutočné nekonečno, napríklad schopnosť úplne „vyčerpať“ prirodzený rad čísel, pričom pred ním v matematike 19. storočia. bola použitá iba potenciálna nekonečnosť.

Cantorova množina teórií, keď sa objavila, vzbudila námietky mnohých matematikov, ale postupne si získala uznanie, keď sa ukázal jej obrovský význam pre podloženie topológie a teóriu funkcií skutočnej premennej. V samotnej teórii však boli logické medzery, najmä boli odhalené paradoxy teórie množín. Tu je jeden z najznámejších paradoxov. Označme súpravou všetky tieto množiny, ktoré nie sú prvkami samy osebe. Či sa zahrnutie tiež vykoná a nie je prvkom, pretože podľa podmienky sa ako prvky zadávajú iba tie množiny, ktoré nie sú prvkami samy osebe; ak je zahrnutie podmienene vykonané, rozpor v oboch prípadoch.

Tieto paradoxy boli spojené s vnútornou nejednotnosťou niektorých súborov. Ukázalo sa, že v matematike je možné použiť nielen ľubovoľné množiny. Existenciu paradoxov prekonalo stvorenie už na začiatku 20. storočia. axiomatická teória množín (E. Zermelo, A. Frenkel, D. Neumann a i.), ktorá najmä odpovedala na otázku: aké množiny je možné použiť v matematike? Ukazuje sa, že môžete použiť prázdnu množinu, spojenie týchto množín, množinu všetkých podmnožín danej množiny atď.