Napríklad pre tri snímky (3x ^ 2 + 2x-7), diskriminant sa rovná (2 ^ 2-4 cdot3 cdot (-7) \u003d 4 + 84 \u003d 88). A pre tri shots (x ^ 2-5x + 11), bude rovná ((- 5) ^ 2-4 cdot1 cdot11 \u003d 25-44 \u003d -19).

Diskriminant je označený písmenom (D) a často sa používa pri riešení. Hodnota diskriminantov možno pochopiť, ako tento plán vyzerá niečo (pozri nižšie).

Diskriminant a korene štvorcovej rovnice

Hodnota diskriminácie ukazuje počet štvorcových rovnice:
- ak je kladná - rovnica bude mať dva korene;
- ak (d) je nula - len jeden koreň;
- ak (d) je negatívne - žiadne korene.

Nie je potrebné sa naučiť, je ľahké prísť k tomuto záveru, len vedieť, že z diskriminantov (t.j. \\ t štvorcová rovnica(X_ (1) \u003d) (frac (-B + SQRT (D)) (2a)) a (X_ (2) \u003d \\ t D) (2a)). Pozrime sa na každý prípad.

Ak je diskriminant pozitívny

V tomto prípade je koreňom z nej niektoré kladné číslo, a preto (x_ (1)) a (x_ (2)) budú odlišné podľa hodnoty, pretože v prvom vzorci (SQRT (D) a v druhom odpočítaní. A máme dva rôzne korene.

Príklad : Nájdite korene rovnice (x ^ 2 + 2x-3 \u003d 0)
Rozhodnutie :

Odpoveď (x_ (1) \u003d 1); (x_ (2) \u003d - 3 \\ t

Ak je diskriminant nulová

A koľko koreňov to bude, ak je diskriminant nulová? Poďme sa rozprávať.

Koreňové vzorce vyzerajú takto: (x_ (1) \u003d \\) -B- Sqrt (D)) (2a)). A ak je diskriminant nulová, potom je koreň je tiež nula. Potom sa ukáže:

(X_ (1) \u003d) (frac (-B + Sqrt (d)) (2a)) (\u003d) \\ t \\ ((\u003d) (4a (-B + 0) (2a)) (\u003d) (frac (-B) (2a) \\ t

(X_ (2) \u003d \\) (4a (-B- sqrt (d)) (2a) \\ t \\ t \u003d \\ ((\\ t) (-b- sqrt (0)) (2a) \\ t \\ (\u003d) (\u003d Frac (-B-0) (2a)) (\u003d) (\u003d -b) (2a) \\ t

To znamená, že hodnoty koreňov rovnice sa zhodujú, pretože pridanie alebo odčítanie nula nič nezmení.

Príklad : Nájdite korene rovnice (X ^ 2-4X + 4 \u003d 0)
Rozhodnutie :

(X ^ 2-4X + 4 \u003d 0)		Vypíšeme koeficienty:
(A \u003d 1;) (b \u003d -4; \\ (c \u003d 4; \\)		Vypočítajte diskriminantov podľa vzorca (D \u003d B ^ 2-4AC)
(D \u003d (- 4) ^ 2-4 cdot1 cdot4 \u003d \\ t \(=16-16=0\)		Nájdeme korene rovnice
(x_ (1) \u003d \\ t (Frac (- (- 4) + sqrt (0)) (2 cdot1) \\ t(\u003d) (4 (4) (2)) (\u003d 2 \\ t (x_ (2) \u003d \\ t \\ (\\ Frac (- (- 4) - sqrt (0)) (2 cdot1) \\ t(\u003d) (4 (4) (2)) (\u003d 2 \\ t		Dostali dva identické korene, takže nemá zmysel napísať ich samostatne - napíšte ako jeden.

Odpoveď (X \u003d 2)

Budeme pracovať S. štvorcové rovnice. Toto sú veľmi populárne rovnice! V najobecnejšej forme vyzerá štvorcová rovnica:

Napríklad:

Tu ale =1; b. = 3; c. = -4

Tu ale =2; b. = -0,5; c. = 2,2

Tu ale =-3; b. = 6; c. = -18

No, chápané ...

Ako riešiť štvorcové rovnice? Ak máte štvorcovú rovnicu v takejto forme, potom je všetko jednoduché. Zapamätajte si magické slovo diskriminant . Zriedkavý študent strednej školy nepočul slovo! Fráza "rozhodnúť prostredníctvom diskriminantov" bude vštepiť dôveru a podporuje. Pretože nie je potrebné čakať na triky z diskriminantov! Je to jednoduché a bezproblémové v obehu. Tak, vzorec pre nájdenie koreňov štvorcovej rovnice vyzerá takto:

Výraz pod znakom koreňa - a je to rovnaké diskriminant. Ako môžete vidieť, nájsť ICA, používame len A, B as. Tí. Koeficienty štvorcovej rovnice. Len úhľadne nahradiť hodnoty a, B as V tomto vzorci a považujeme. Náhradník s vašimi znakmi! Napríklad pre prvú rovnicu ale =1; b. = 3; c. \u003d -4. Tu a napíšte:

Príklad je prakticky vyriešený:

To je všetko.

Aké prípady sú možné pri použití tohto vzorca? Celkovo tri prípady.

1. Diskriminačný pozitívny. To znamená, že je možné extrahovať koreň. Dobrý koreň je extrahovaný alebo zlý - otázka je iná. Je dôležité, aby sa v zásade extrahovala. Potom má vaša štvorcová rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminant je nulová. Potom máte jedno riešenie. Prísne povedané, toto nie je jeden koreň, ale dve identické. Ale hrá úlohu v nerovnostiach, sme podrobnejšie študovať otázku.

3. Diskriminant je negatívna. Zo záporného čísla sa odmocnina neodstráni. Dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo si myslíte, že nie je možné urobiť chybu? No, áno, ako ...
Najčastejšie chyby - zmätok s príznakmi hodnôt a, B as. Skôr, nie so svojimi znakmi (kde sa má zamieňať?), As substitúciou negatívne hodnoty Vo vzorci pre výpočet koreňov. Tu je podrobný záznam vzorca so špecifickými číslami. Ak existujú problémy s počítačom, urobiť!

Predpokladajme, že potrebujete vyriešiť tento:

Tu a \u003d -6; b \u003d -5; C \u003d -1.

Predpokladajme, že viete, že ste zriedkavo odpovedali od prvého času.

No, nenechajte sa leniví. Napíšte nadbytočnú čiaru bude trvať niekoľko sekúnd 30. A počet chýb prudko znížiť. Tu píšeme podrobne, so všetkými zátvorkami a značkami:

Zdá sa neuveriteľne ťažké, tak opatrne maľovať. Ale zdá sa to len. Skúste. Alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Tiež ťa kopám. Po chvíli zmizne tak opatrne, aby sa všetko maľoval. Bude správne. Najmä ak aplikujete praktické techniky, ktoré sú opísané tesne nižšie. Tento zlý príklad s banda mínusov bude vyriešený ľahko a bez chýb!

Tak, ako riešiť štvorcové rovnice Diskriminant sme si spomenuli. Alebo sa dozvedeli, že je to tiež dobré. Vedieť, ako správne definovať a, B as. Znalosť opatrne nahradiť ich do koreňového vzorca a opatrne počítať výsledok. Pochopili ste, že kľúčové slovo je tu - starostlivo?

Avšak, štvorcové rovnice vyzerajú mierne odlišné. Napríklad, takto:

na to nedokončené štvorcové rovnice . Môžu byť tiež vyriešené prostredníctvom diskriminantov. Je potrebné správne si predstaviť, čo sa rovná a, B as.

Opravený? V prvom príklade a \u003d 1; b \u003d 4; ale c.? Neexistuje nikto vôbec! No, áno, správne. V matematike to znamená, že c \u003d 0. ! To je všetko. Namiesto toho nahrádzame nulový vzorec c, A všetko sa ukáže. Podobne, s druhým príkladom. Len nula tu nie z, ale b. !

Ale neúplné štvorcové rovnice možno vyriešiť oveľa jednoduchšie. Bez diskriminantov. Zvážte prvé ne. plná rovnica. Čo sa tam môže urobiť na ľavej strane? Môžete urobiť, je pre držiaky! Urobme.

A čo z toho? A skutočnosť, že práca je nula, a to len vtedy, keď niektorí z multiplikátorov sa rovná nule! Neverte? No, príďte s dvoma non-nula číslami, ktoré poskytnú nulu s množstvom!
Nefunguje? To je niečo ...
V dôsledku toho môžete s istotou napísať: x \u003d 0.alebo x \u003d 4.

Všetko. To bude korene našej rovnice. Sú vhodné. Pri nahrávaní niektorého z nich do pôvodnej rovnice získame vernú identitu 0 \u003d 0, ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako prostredníctvom diskriminantov.

Druhá rovnica môže byť tiež vyriešená. Nosíme 9 na pravej strane. Dostaneme:

Zostáva koreň, aby sa extrahoval z 9, a to je všetko. Ukázalo sa:

Tiež dva korene . x \u003d +3 a x \u003d -3.

Takže všetky neúplné štvorcové rovnice sú vyriešené. Buď pomocou konzoly, alebo jednoduchým prenosom čísla doprava, po ktorom nasleduje extrakcia koreňa.
Je mimoriadne ťažké tieto techniky zamieňať. Jednoducho preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať koreň z XCA, čo je nejako nie je jasné, a v druhom prípade nie je nič pre zátvorky ...

A teraz berú na vedomie praktické techniky, ktoré dramaticky znižujú počet chýb. Najviac z dôvodu nepozornosti. ... pre ktoré potom sa to stane zranením a zranením ...

Najprv recepcia. Nebuďte leniví pred vyriešením štvorcovej rovnice, aby ste ho priviedli do štandardného formulára. Čo to znamená?
Predpokladajme, že po všetkých transformáciach ste dostali takú rovnicu:

Nepoužívajte ponáhľať písať koreňový vzorec! Takmer pravdepodobne si zamiešte koeficienty A, B a S. Vytvorte príklad správne. Po prvé, X je na námestí, potom bez štvorca, potom bez voľného vtáka. Páči sa ti to:

A nie je opäť ponáhľať! Mínus pred IX na námestí môže byť zdravý rozrušený. Zabudnite na to jednoduché ... Zbavte sa mínus. Ako? Áno, ako sa učil v predchádzajúcej téme! Je potrebné znásobiť celú rovnicu na -1. Dostaneme:

Ale teraz môžete bezpečne zaznamenať vzorec pre korene, zvážte diskriminant a príklad. Dore sami. Musíte mať korene 2 a -1.

Sekundu. Skontrolujte korene! Na teorem. Nesúhlasím, vysvetlím všetko! Skontrolovať posledná vec rovnice. Tí. Že sme nahrali vzorec koreňov. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a \u003d 1., Skontrolujte korene ľahko. Natoľko, aby ste ich mohli znásobiť. Mal by existovať slobodný člen, t.j. V našom prípade -2. Poznámka, nie 2 a -2! Voľný péro s vaším znakom . Ak to nefungovalo, to znamená niekde, že sa nahromadili. Pozrite sa na chybu. Ak sa to stalo - je potrebné zložiť korene. Posledná a záverečná kontrola. Musí sa stať koeficientom b. z oproti podpísať. V našom prípade -1 + 2 \u003d +1. A koeficient b.ktorý je pred IX, rovný -1. Takže všetko je správne!
Je škoda, že je to tak jednoduché pre príklady, kde X je čistý, s koeficientom a \u003d 1. Ale aspoň skontrolujte v takýchto rovniciach! Bude menej chýb.

Tretinu. Ak sú vo vašej rovnici frakčné koeficienty, - zbaviť sa frakcií! Viacnásobná rovnica založená na spoločný menovateľAko je uvedené v predchádzajúcej časti. Pri práci s frakciami chyby, z nejakého dôvodu a stúpania ...

Mimochodom, som sľúbil zlý príklad s partiou mínusov na zjednodušenie. Rado sa stalo! Tu je.

Aby sa nebola zmätená v minese, rovnica na -1 je dominantná. Dostaneme:

To je všetko! Rozhodnite sa - jedno potešenie!

Takže, sumarizujte tému.

Praktické tipy:

1. Pred riešením dávame štvorcovú rovnicu na štandardný formulár, postaviť ho správny.

2. Ak negatívny koeficient stojí za negatívny koeficient pred X, odstráňte jeho násobenie celej rovnice na -1.

3. Ak frakčné koeficienty eliminujú frakciu vynásobením celej rovnice na zodpovedajúci multiplikátor.

4. Ak X je na námestí - čistý, koeficient sa rovná jednému, roztok sa dá ľahko kontrolovať podľa teoremity VieTA. Urob to!

Frakčné rovnice. Zvláštny

Pokračujeme v skúmaní rovníc. Už si uvedomujeme, ako pracovať s lineárnymi rovnicami a námestím. Posledný pohľad zostal - frakčné rovnice. Alebo sa tiež nazývajú oveľa pevnejšie - frakčné racionálne rovnice. Toto je rovnaké.

Frakčné rovnice.

Ako jasne z mena sú frakcie nevyhnutne prítomné v týchto rovniciach. Ale nie len zlomok a brarát, ktorý má neznáme v denominátori. Aspoň v jednom. Napríklad:

Dovoľte mi pripomenúť, či je len v denominátoroch číslaSú to lineárne rovnice.

Ako sa rozhodnúť frakčné rovnice? V prvom rade - zbaviť sa frakcií! Po tom, rovnica sa najčastejšie mení na lineárne alebo štvorcové. A potom vieme, čo robiť ... V niektorých prípadoch sa môže zmeniť na totožnosť, typ 5 \u003d 5 alebo nesprávny výraz, typ 7 \u003d 2. Ale zriedka sa stane. Nižšie hovorím o tom.

Ale ako sa zbaviť frakcií!? Veľmi jednoduché. Aplikovanie všetkých rovnakých konverzií identity.

Musíme znásobiť všetku rovnicu za rovnaký výraz. Takže všetci denominátori sú tiché! Všetko bude okamžite jednoduchšie. Vysvetlím na príklade. Potrebujeme vyriešiť rovnicu:

Ako ste sa naučili v juniorských stupňoch? Nosíme všetko v jednom smere, viesť k spoločnému menovateľa atď. Zabudnite na to, ako hrozný sen! Takže musíte urobiť, keď ste zložili alebo odpočítali frakčné výrazy. Alebo práca s nerovnosťami. A v rovniciach sme okamžite znásobili obidve časti na vyjadrenie, ktoré nám poskytne možnosť znížiť všetkých menovateľov (to znamená v podstate na všeobecnom menovate). A čo je tento výraz?

V ľavej časti, aby ste znížili denominátor, je potrebné násobenie x + 2. . A vpravo potrebné násobenie o 2. Takže rovnica musí byť vynásobená 2 (x + 2). Vynásobte:

Toto je obvyklé množenie frakcií, ale budem písať podrobne:

Poznámka, stále neodhalím držiak (x + 2)! Takže napíšem úplne:

V ľavej strane je úplne znížená (x + 2)a doprava 2. Čo bolo potrebné! Po rezaní sa dostaneme lineárny Rovnica:

A táto rovnica sa už rozhodne niekoho! x \u003d 2..

Rozhodujem sa o ďalší príklad, trochu zložitejšie:

Ak si pamätáte, že 3 \u003d 3/1 a 2x \u003d 2x /1, môžete napísať:

A opäť sa zbavíme toho, čo sa mi nepáči - od frakcií.

Vidíme, že na zníženie denominátora s XA, musíte vynásobiť zlomok na (X - 2). A jednotky, ktoré nezasahujú. No, vynásobte. Všetko Ľavá časť I. všetko Správna časť:

Nad konzolmi (X - 2) Nehovorím. Pracujem s držiakom ako celok, ako keby to bolo jedno číslo! Takže by ste mali vždy urobiť, inak sa nič nezníži.

S pocitom hlbokej spokojnosti (X - 2) A dostávame rovnicu bez akýchkoľvek frakcií, v Lineshek!

Ale teraz už odhalíme zátvorky:

Dávame tieto veci, prenesieme všetko doľava a dostaneme:

Klasická štvorcová rovnica. Ale mínus dopredu nie je dobré. Vždy sa môžete zbaviť, znásobiť alebo rozdeliť na -1. Ale ak sa pozriete na príklad, môžete vidieť, že je najlepšie rozdeliť túto rovnicu na -2! Jeden rozmazanie a mínus zmiznú a koeficienty Pretterties sa stane! Delim na -2. V ľavej strane - pôda a vpravo - len nula rozdeliť na -2, nula a získajte:

Rozhodneme sa prostredníctvom diskriminantov a kontrolou VieTA teorem. Prijať x \u003d 1 a x \u003d 3. Dva korene.

Ako vidíme, v prvom prípade sa rovnica po transformácii stala lineárnou a tu je štvorcový. Stáva sa to, že po zbavení frakcií sú všetky Xers redukované. Niečo zostáva, napríklad 5 \u003d 5. Znamená to, že x môže byť akýkoľvek. Nech je to, čo je, bude to stále znížené. A to ukazuje čistá pravda, 5 \u003d 5. Ale po zbavení frakcií sa môže ukázať ako úplne nepravdivé, typu 2 \u003d 7. A to znamená Žiadne riešenia! S ľubovoľným IQA sa ukazuje nie je pravda.

Si uvedomil hlavný spôsob, ako riešiť frakčné rovnice? Je to jednoduché a logické. Zmenime pôvodný výraz, takže všetko, čo nemáme radi, je zmiznutý. Alebo zasahovať. V tomto prípade je to zlomok. Podobne prídeme so všetkými druhmi komplexných príkladov s logaritmami, sínusmi a inými hrôzami. my vždy Zbavení sa to všetko.

Ak však chcete zmeniť pôvodný výraz v smere, ktorým potrebujete podľa pravidielÁNO ... Rozvoj je prípravok na skúšku v matematike. Takže zvládneme.

Teraz sa naučíme obísť jeden z hlavné ambigu na skúške! Ale na začiatok, pozrime sa, dostanete sa do neho, alebo nie?

Analyzujeme jednoduchý príklad:

Prípad je už oboznámený, znásobujeme obe časti (X - 2)Dostaneme:

Pripomínam vám zátvorky (X - 2) Pracujeme ako s jedným, solídnym výrazom!

Už tu už som napísal jeden v denominátoroch, žiadne kolaps ... a zátvorky nezbrali v denominátoroch, existuje okrem x - 2. Nie, nemôžete kresliť. Červená ryba:

Odhalíme zátvorky, preneste všetko doľava, dajte tieto veci:

Rozhodneme sa, či skontrolujeme, dostaneme dva korene. x \u003d 2. a x \u003d 3.. Vynikajúce.

Predpokladajme, že v úlohe hovorí, že písať koreň, alebo ich sumu, ak sú korene viac ako jeden. Čo budeme písať?

Ak sa rozhodnete, že odpoveď je 5, - vy hit ambufku. A úloha sa nepočíta. Márne pracovali ... správna odpoveď je 3.

Čo sa deje?! A vyskúšate kontrolu. Nahradiť hodnoty neznámeho zdroj Príklad. A ak pre x \u003d 3. Všetci sme nádherne rastú, dostaneme 9 \u003d 9, potom, keď x \u003d 2. Bude rozdelený na nulu! Čo sa nedá vykonávať kategoricky. Tak x \u003d 2. Rozhodnutie nie je, a v reakcii sa neberie do úvahy. Toto je takzvaný cudzinec alebo prebytočný koreň. Len ho hodíme. Konečný koreň je jeden. x \u003d 3..

Ako to?! - Počujem rozhorčenie výkrikkov. Učili sme sa, že rovnica by sa mohla vynásobiť výrazom! Toto je identická konverzia!

Áno, identické. S malým podmienkam - výraz, na ktorom sa vynásobíme (rozdeliť) - plné od nuly. ALE x - 2. pre x \u003d 2. Rovnako nula! Takže všetko je úprimné.

A teraz, čo môžem urobiť?! NEPOUŽÍVAJTE výraz? Zakaždým, keď kontrolujete? Opäť nie je jasné!

Pokoj! Bez paniky!

V tejto ťažkej situácii ušetríme tri magické písmená. Viem, o čom ste si mysleli. Správny! na to Zvláštny . Oblasti prípustných hodnôt.

Square rovnice sa často objavujú pri riešení rôznych problémov fyziky a matematiky. V tomto článku sa pozrieme na tom, ako tieto rovnosti vyriešiť univerzálnym spôsobom "prostredníctvom diskriminácie". Príklady použitia získaných získaných poznatkov sú uvedené aj v článku.

O akých rovníc budeme hovoriť?

Obrázok nižšie zobrazuje vzorec, v ktorom X je neznáma premenná a latinské znaky A, B, C sú niektoré známe čísla.

Každý z týchto znakov sa nazýva koeficient. Ako môžete vidieť, číslo "A" stojí pred premennou x, postavený do námestia. Toto je maximálny stupeň výrazu, preto sa nazýva štvorcová rovnica. Často sa používa iným menom: Druhá rovnica objednávky. Hodnota A je štvorcový koeficient (stojaci pri premennej na štvorci), B je lineárny koeficient (nachádza sa vedľa premennej zvýšenej do prvého stupňa), napokon, číslo C je voľný člen.

Treba poznamenať, že forma rovnice, ktorá je uvedená na obrázku vyššie, je zdieľaným klasickým štvorcovým výrazom. Okrem toho existujú aj iné rovnice druhého poriadku, v ktorom koeficienty B, C môže byť nula.

Keď je úlohou vyriešiť príslušnú rovnosť, znamená to, že takéto hodnoty premennej X je potrebné nájsť, že by ho uspokojilo. Tu, predovšetkým, musíte si spomenúť na nasledujúcu vec: Od maximálneho stupňa IX je 2, tento typ výrazov nemôže mať viac ako 2 riešenia. To znamená, že ak sa zistili, že pri riešení rovnice sa zistili 2 x hodnoty, ktoré to spĺňa, potom je možné si byť istí, že neexistuje tretie číslo, nahradenie, že namiesto X, rovnosť by tiež pravda. Roztoky rovnice v matematike sa nazývajú jeho korene.

Metódy na riešenie rovníc druhej objednávky

Riešenia rovníc tohto typu vyžadujú vedomosti o nejakej teórii. V Školský kurz ALGEBRA Zvážte 4 rôzne metódy riešenia. Zoznam ich:

• faktorizáciou;
• použitie vzorca pre celé námestie;
• uplatnenie harmonogramu zodpovedajúceho kvadrická funkcia;
• pomocou diskriminačnej rovnice.

Plus prvej metódy spočíva v jeho jednoduchosti, ale nie je možné použiť všetky rovnice. Druhá metóda je univerzálna, ale trochu objemná. Tretia metóda sa vyznačuje jej jasnosťou, ale nie je vždy vhodná a uplatniteľná. A nakoniec, používanie diskriminačnej rovnice je univerzálnym a pomerne jednoduchým spôsobom, ako nájsť korene absolútne akúkoľvek rovnicu druhého poriadku. Preto v článku zvážte len to.

Vzorec pre získanie koreňov rovnice

Obrátiť sa na celkový pohľad na štvorcovú rovnicu. Píšeme to: A * X² + B * X + C \u003d 0. Pred použitím spôsobu, akým je to vyriešiť "prostredníctvom diskriminácie", by mala byť rovnosť vždy udelená na zaznamenanú myseľ. To znamená, že by mala pozostávať z troch termínov (alebo menej, ak B alebo C je 0).

Napríklad, ak existuje výraz: X²-9 * x + 8 \u003d -5 * x + 7 * x², potom musíte najprv preniesť všetkých svojich členov na jednu stranu rovnosti a zložiť termíny obsahujúce variabilné x v rovnakom stupňov.

V tomto prípade táto operácia povedie k nasledujúcej expresii: -6 * X²-4 * x + 8 \u003d 0, čo zodpovedá rovnici 6 * X² + 4 * x-8 \u003d 0 (tu vľavo a pravé časti Rovnosť, ktorú sme boli vynásobili -1).

V príklade nad A \u003d 6, B \u003d 4, C \u003d -8. Všimnite si, že všetci členovia posudzovanej rovnosti sú vždy zhrnuté navzájom, takže ak sa objaví označenie "-", znamená to, že záporný koeficient je v tomto prípade záporný.

Po porušení tohto momentu sa teraz obrátime na samotný vzorec, čo umožňuje získať korene štvorcovej rovnice. Má vzhľad, ktorý je uvedený na fotografii nižšie.

Ako možno vidieť z tohto výrazu, umožňuje dostávať dva korene (mali by ste venovať pozornosť "±" znamením). Aby to urobilo, stačí nahradiť koeficienty b, c a a.

Koncepcia diskriminantov

V predchádzajúcom odseku bol preukázaný vzorec, ktorý vám umožní rýchlo vyriešiť akúkoľvek rovnicu druhej objednávky. Nazýva sa v ňom diskriminant, to znamená, že d \u003d b²-4 * a * c.

Prečo je táto časť alokátu vzorca, a dokonca má svoje vlastné meno? Faktom je, že diskriminant viaže všetky tri koeficienty rovnice do jedného výrazu. Posledná skutočnosť znamená, že plne vykonáva informácie o koreňoch, ktoré možno vyjadriť nasledujúci zoznam:

1. D\u003e 0: Rovnosť má 2 rôzne riešenia a obaja sú skutočné čísla.
2. D.<0: также получаются два корня, но оба они комплексные. Этот тип выражений научились решать только в эпоху Возрождения, когда математиками нового времени было введено понятие "мнимая единица".
3. D \u003d 0: Rovnica je len jeden koreň a je to platné číslo.

Úlohu určovania diskriminantov

Dávame jednoduchý príklad, ako nájsť diskriminant. Nech je táto rovnosť daná: 2 * X² - \u200b\u200b4 + 5 * X-9 * X² \u003d 3 * X-5 * X² + 7.

Dáme to štandardnému formuláru, dostaneme: (2 * X²-9 * X² + 5 * X²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) \u003d 0, odkiaľ prídeme na Rovnosť: -2 * X² + 2 * x-11 \u003d 0 A \u003d -2, B \u003d 2, C \u003d -11.

Teraz môžete použiť pomenovaný vzorec pre diskriminant: D \u003d 2² - 4 * (- 2) * (- 11) \u003d -84. Výsledné číslo je odpoveďou na úlohu. Keďže príklad diskriminant je menší ako nula, možno povedať, že táto štvorcová rovnica nemá platné korene. Jeho riešenie bude obsahovať len počet typov komplexu.

Príklad nerovnosti prostredníctvom diskriminácie

Riešime problém trochu iného typu: rovnosť je -3 * x 200-6 * x + c \u003d 0. Je potrebné nájsť také hodnoty C, pre ktoré d\u003e 0.

V tomto prípade je známy len 2 z 3 koeficientov, takže nie je možné vypočítať presnú hodnotu diskriminantov, ale je známe, že je pozitívny. Posledná skutočnosť sa používa pri príprave nerovnosti: D \u003d (-6) ²-4 * (- 3) * C\u003e 0 \u003d\u003e 36 + 12 * C\u003e 0. Riešenie získanej nerovnosti vedie k výsledku: C\u003e -3.

Skontrolujte výsledné číslo. Na tento účel vypočítajte D po 2 prípadoch: C \u003d -2 a C \u003d -4. Číslo -2 spĺňa výsledný výsledok (-2\u003e -3), zodpovedajúcou diskriminantov bude: D \u003d 12\u003e 0. Na druhej strane, číslo -4 nespĺňa nerovnosť (-4<-3), вычисляем дискриминант: D = -12<0, что противоречит условию задачи.

Stav teda spĺňajú akékoľvek čísla c, ktoré sú viac -3.

Príklad riešenia rovnice

Dávame úlohu, ktorá leží nielen pri hľadaní diskriminácie, ale aj pri riešení rovnice. Je potrebné nájsť korene pre rovnosť -2 * x2 + 7-9 * x \u003d 0.

V tomto príklade sa diskriminant rovná nasledujúcej hodnote: D \u003d 81-4 * (- 2) * 7 \u003d 137. Potom sú korene rovnice stanovené nasledovne: X \u003d (9 ± √137) / (- 4). Toto sú presné hodnoty koreňov, ak je potrebné vypočítať koreň približne, potom sa čísla získajú: X \u003d -5,176 a X \u003d 0,676.

Geometrická úloha

Budeme vyriešiť úlohu, ktorá bude vyžadovať nielen schopnosť vypočítať diskriminantov, ale aj využívanie zručností abstraktného myslenia a vedomostí, ako urobiť štvorcové rovnice.

Bob mal farbenú prikrývku 5 x 4 metrov. Chlapec chcel šiť pevný pás z krásneho tkaniny k nemu okolo obvodu. Ktorú hrúbku bude tento pás, ak je známe, že BOB má 10 m² tkaniny.

Nech bude kapela mať hrúbku XM, potom tkanina plocha pozdĺž dlhej strany deku bude (5 + 2 * x) * x, a od dlhých strán 2, potom máme: 2 * x * ( 5 + 2 * x). Podľa krátkej strany bude plocha šjadenej tkaniny 4 * x, pretože tieto strany 2, potom získame hodnotu 8 * x. Všimnite si, že dĺžka 2 * x bola pridaná na dlhú stranu, pretože dĺžka deku zvýšila týmto číslom. Celková oblasť tkaniva je 10 m². Preto získame rovnosť: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x \u003d 10 \u003d\u003e 4 * X² + 18 * x-10 \u003d 0.

Pre tento príklad je diskriminant: D \u003d 18²-4 * 4 * (- 10) \u003d 484. Jeho koreň je rovný 22. Využívanie vzorca, nájdeme požadované korene: X \u003d (-18 ± 22) / (2 * 4) \u003d (- 5; 0,5). Samozrejme, z dvoch koreňov, podľa stavu problému, len číslo je 0,5.

Takže pás tkaniny, ktorý Bob šilí na jeho deku, bude mať šírku 50 cm.

Dúfam, že štúdium tohto článku sa naučíte nájsť korene kompletnej štvorcovej rovnice.

S pomocou diskriminačných, len kompletné štvorcové rovnice sú riešené, pre riešenie štvorcových rovníc, iné metódy, ktoré nájdete v článku "Rozhodnutie neúplných štvorcových rovníc" sa používajú.

Aké štvorcové rovnice sa nazývajú plné? na to rovnice formulára AH 2 + B x + C \u003d 0kde koeficienty A, B a nie sú rovné nule. Na vyriešenie úplnej štvorcovej rovnice je potrebné vypočítať diskriminant D.

D \u003d B 2 - 4A.

V závislosti od toho, aký význam je diskriminačný, napíšeme odpoveď.

Ak je diskriminant záporné číslo (D< 0),то корней нет.

Ak je diskriminant nulová, x \u003d (-b) / 2a. Keď je diskriminant kladný počet (D\u003e 0),

potom x 1 \u003d (-B - √d) / 2a a x 2 \u003d (-B + √d) / 2a.

Napríklad. Riešiť rovnicu x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 · 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Odpoveď: 2

Riešiť rovnicu 2. x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 · 2 · 3 \u003d - 23

Odpoveď: žiadne korene.

Riešiť rovnicu 2. x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 · 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 · 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Odpoveď: - 3.5; jeden.

Predstavme si, že riešenie kompletných štvorcových rovníc podľa schémy na obrázku1.

Podľa týchto vzorcov môžete vyriešiť celú prvú štvorcovú rovnicu. Potrebujete starostlivo monitorovať rovnica bola zaznamenaná polynómom štandardného typu.

ale x 2 + BX + C, V opačnom prípade môžete urobiť chybu. Napríklad v zázname rovnice x + 3 + 2x 2 \u003d 0 je možné chybne vyriešiť

a \u003d 1, B \u003d 3 a C \u003d 2. Potom

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 a potom rovnica má dva korene. A to je nesprávne. (Pozri roztok z príkladu 2 vyššie).

Preto, ak rovnica nie je napísaná na polynómovi štandardného druhu, na prvom mieste by mala byť úplná štvorcová rovnica zaznamenaná polynómom štandardných druhov (na prvom mieste by mali byť obnovené s najväčším ukazovateľom, to znamená ale x 2 Potom s menším – bx.A potom zadarmo Dick z.

Pri riešení danej štvorcovej rovnice a štvorcovej rovnice s rovnomerným koeficientom, s druhým termínom, môžu byť použité iné vzorce. Zoznámte sa s týmito vzorcami. Ak v kompletnej štvorcovej rovnici v druhom období bude koeficient dokonca (B \u003d 2K), potom je rovnica podľa vzorcov na obrázku 2 vyriešiť.

Úplná štvorcová rovnica sa nazýva vyššie uvedená, ak je koeficient x 2 rovná jednej a rovnici bude mať formulár x 2 + px + q \u003d 0. Takáto rovnica sa môže poskytnúť, alebo sa získa rozdelením všetkých koeficientov na rovnicu koeficientov alestáť x 2 .

Obrázok 3 ukazuje schému riešenia vyššie uvedeného štvorca
rovnice. Zvážte príklad uplatňovania vzorcov zvážených v tomto článku.

Príklad. Riešiť rovnicu

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Poďme rozhodnúť o tejto rovnici pomocou vzorcov uvedených v schéme obrázku 1.

D \u003d 6 2 - 4 · 3 · (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√d \u003d √108 \u003d √ (36 · 3) \u003d 6√3

x1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √3

x2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d -1 + √3

Odpoveď: -1 - √3; -1 + √3

Je možné poznamenať, že koeficient v X v tejto rovnici párne číslo, To znamená, že b \u003d 6 alebo b \u003d 2K, odkiaľ k \u003d 3. Potom sa pokúste vyriešiť rovnicu podľa vzorcov uvedených v diagrame D1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 · 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3)) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Odpoveď: -1 - √3; -1 + √3. Všimol si, že všetky koeficienty v tejto štvorcovej rovnici sú rozdelené do 3 a vykonaním divízie, získavame zníženú štvorcovú rovnicu x 2 + 2x - 2 \u003d 0 riešením tejto rovnice pomocou vzorcov pre zadané námestie
rovnice Obrázok 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 · (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 · 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3)) / 2 \u003d - 1 - √3

x2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Odpoveď: -1 - √3; -1 + √3.

Ako vidíme, pri riešení tejto rovnice na rôzne vzorce sme dostali tú istú odpoveď. Preto je dobre si vedomý vzorcov zobrazených na schéme obrázku 1, môžete vždy vyriešiť akúkoľvek kompletnú štvorcovú rovnicu.

blog.SET, s plným alebo čiastočným kopírovaním materiálu odkazu na pôvodný zdroj.

Táto téma sa spočiatku môže zdať ťažké z dôvodu množiny nie je najjednoduchší vzorec. Nielenže, že samotné štvorcové rovnice majú dlhé záznamy, aj korene sú prostredníctvom diskriminácie. Celkom je tri nové vzorce. Nie je veľmi ľahké zapamätať si. Tým sa riadi len po častom riešení takýchto rovníc. Potom budú všetky vzorce pamätané sami.

Všeobecný pohľad na štvorcovú rovnicu

Ponúka ich explicitný záznam, keď je najvyšší stupeň zaznamenaný prvý, a ďalej - zostupne. Často existujú situácie, keď komponenty stoja bažina. Potom je lepšie prepísať rovnicu v zostupnom poradí z premennej.

Predstavujeme notáciu. Sú prezentované v tabuľke nižšie.

Ak budete mať tieto označenia, všetky štvorcové rovnice sa zmenšujú na ďalší záznam.

Okrem toho koeficient A ≠ 0. Nechajte tento vzorec označovaný číslom.

Keď je uvedená rovnica, nie je jasné, koľko koreňov bude v reakcii. Pretože jedna z troch možností je vždy možná:

• rozhodnutie bude dva korene;
• odpoveď bude jedno číslo;
• korene rovnice nebudú úplne.

A zatiaľ čo rozhodnutie nebolo ukončené, je ťažké pochopiť, ktorá z možností klesnú v konkrétnom prípade.

Typy záznamov štvorcových rovníc

V úlohách môžu existovať rôzne záznamy. Nie vždy budú vyzerať všeobecný vzorec štvorcová rovnica. Niekedy to nebude stačiť na niektoré z týchto podmienok. Čo bolo napísané vyššie, je úplná rovnica. Ak je v ňom odstránený druhý alebo tretí termín, potom sa niečo iné dostane. Tieto nahrávky sa tiež nazývajú štvorcové rovnice, len neúplné.

A iba termíny, v ktorých môžu koeficienty "B" a "c" zmiznúť. Číslo "A" nemôže byť za žiadnych okolností nula. Pretože v tomto prípade sa vzorec zmení na lineárnu rovnicu. Formuláry pre neúplné druhy rovníc budú také:

Takže druh len dvoch, okrem úplných, existujú aj neúplné štvorcové rovnice. Nech je prvý vzorec číslo dva, a druhý - tri.

Diskriminant a závislosť počtu koreňov z jeho hodnoty

Toto číslo, ktoré potrebujete vedieť, aby ste mohli vypočítať korene rovnice. Môže sa vždy zvážiť, bez ohľadu na vzorec štvorcovej rovnice. Aby ste vypočítať diskriminantov, musíte využiť rovnakú rovnosť, ktorá bude mať číslo štyri.

Po substitúcii v tomto vzorci hodnôt koeficientov môžete získať čísla s rôznymi znakmi. Ak je odpoveď pozitívna, potom odpoveď rovnice bude dva rôzne korene. Pre negatívny počet Korene štvorcovej rovnice budú chýbať. V prípade svojej rovnosti bude nulová reakcia jedna.

Ako je štvorcová rovnica úplného zobrazenia?

V skutočnosti sa zváženie tejto otázky už začala. Pretože najprv potrebujete nájsť diskriminantov. Potom, čo sa zistí, že existujú korene štvorcovej rovnice, a ich číslo je známe, musíte použiť vzorce pre premenné. Ak sú korene dva, potom musíte použiť taký vzorec.

Pretože stojí "±" znamenie, potom budú dve hodnoty. Expresia pod znakom odmocniny je diskriminant. Preto môže byť vzorec prepíše inak.

Päť. Z toho istého záznamu je jasné, že ak je diskriminant nulová, obe korene budú mať rovnaké hodnoty.

Ak sa ešte nefungovalo riešenie štvorcových rovníc, je lepšie pred použitím vzorcov diskriminácie a premennej, napíšte hodnoty všetkých koeficientov. Neskôr tento okamih nespôsobí ťažkosti. Ale na samom začiatku existuje nejasnosť.

Ako je štvorcová rovnica neúplných druhov?

Všetko je tu oveľa jednoduchšie. Nie je potrebné Ďalšie vzorce. A nepotrebujete tie, ktoré už boli zaznamenané pre diskriminantov a neznáma.

Najprv zvážiť neúplná rovnica Na číslo dva. V tejto rovnosti sa predpokladá, že za držadou a vyrieši lineárnu rovnicu, ktorá zostane v zátvorkách. Odpoveď bude dva korene. Prvá je nutne nula, pretože existuje multiplikátor pozostávajúci z samotnej premennej. Druhá bude viesť k riešeniu lineárnej rovnice.

Nedokončená rovnica na troch tri je vyriešená prevodom počtu z ľavej časti rovnosti doprava. Potom musíte rozdeliť koeficient, ktorým čelí neznáme. Zostane len extrahovať odmocninu a nezabudnite ho zaznamenať dvakrát s opačnými značkami.

Ďalej sa zaznamenávajú niektoré akcie, pomáhajú naučiť sa vyriešiť všetky druhy vyrovnania, ktoré sú premenené na štvorcové rovnice. Prispievajú k tomu, že študent bude schopný vyhnúť sa chybám o nárazom. Tieto nedostatky sú príčinou zlé hodnoty Pri štúdiu rozsiahlej témy "štvorcových rovníc (stupeň 8)". Tieto opatrenia neskôr nemusia byť neustále vykonané. Pretože tam bude stabilná zručnosť.

• Najprv musíte zaznamenať rovnicu v štandardnom formulári. To je najprv termín s najväčším stupňom premennej a potom - bez rozsahu a posledných - len číslo.

• V prípade, že koeficient "A" sa zobrazí mínus, potom môže komplikovať prácu pre začiatočníkov, aby študoval štvorcové rovnice. Je lepšie sa ho zbaviť. Na tento účel sa musí všetka rovnosť vynásobená "-1". To znamená, že všetky komponenty zmenia znamienko naopak.

• Rovnakým spôsobom sa odporúča zbaviť frakcií. Len vynásobte rovnicu na zodpovedajúci multiplikátor tak, aby sa menovatelia zmenšili.

Príklady

Vyžadujú sa nasledujúce štvorcové rovnice:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x \u003d 0;

12x + x 2 + 36 \u003d 0;

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (X + 2).

Prvá rovnica: X 2 - 7x \u003d 0 je neúplná, takže je vyriešená, ako je opísané pre číslo vzorca dve.

Po vytvorení konzoly sa ukáže: X (X - 7) \u003d 0.

Prvý koreň má hodnotu: X 1 \u003d 0. Druhý sa zistí od lineárna rovnica: X - 7 \u003d 0. Je ľahké si všimnúť, že X 2 \u003d 7.

Druhá rovnica: 5x 2 + 30 \u003d 0 neúplné. Rieši sa len tak, ako je opísané pre tretí vzorca.

Po prevode 30 na pravej strane rovnosti: 5x 2 \u003d 30. Teraz musíte urobiť rozdelenie podľa 5. Ukazuje sa: X 2 \u003d 6. Odpovede budú čísla: X 1 \u003d √6, X 2 \u003d - √6.

Tretia rovnica: 15 - 2x - X 2 \u003d 0. ĎALŠIE RIEŠENIE SQUARKOVÝCH ROVERNOSTI začne s prepisom na štandardný typ: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Teraz je čas používať druhú užitočné poradenstvo A znásobiť všetko pre mínus jeden. Ukazuje sa x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Podľa štvrtého vzorca je potrebné vypočítať diskriminant: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Je to kladné číslo. Z toho, čo sa hovorí vyššie, sa ukázalo, že rovnica má dva korene. Musia byť vypočítané pozdĺž piateho vzorca. Ukazuje sa, že x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Potom x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Štvrtá rovnica x 2 + 8 + 3x \u003d 0 je premenená na taký: X 2 + 3x + 8 \u003d 0 Diskriminant sa rovná tejto hodnote: -23. Keďže toto je záporné číslo, odpoveď na túto úlohu bude nasledujúca položka: "Žiadne korene".

Piata rovnica 12x + x 2 + 36 \u003d 0 by mala byť prepísaná tak: X2 + 12x + 36 \u003d 0. Po použití vzorec pre diskriminant sa získa číslo nula. To znamená, že bude mať jeden koreň, a to: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šiesta rovnica (x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (X + 2) vyžaduje transformácie, ktoré sa majú podávať takéto komponenty, pred diskontinuitou držiaka. Tam je taký výraz na mieste: x 2 + 2x + 1. Po rovnosti sa táto položka objaví: X 2 + 3X + 2. Po spočítaní takýchto podmienok bude rovnica mať formu: X 2 - X \u003d 0 , Zmenil sa na neúplné. Toto sa už považovalo za mierne vyššie. Korene z toho budú čísla 0 a 1.