Nech je funkcia nezáporná a spojitá v intervale. Potom podľa geometrického významu určitého integrálu oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničená zhora grafom tejto funkcie, zospodu osou, vľavo a vpravo rovnými čiarami a (pozri obr. 2 ) sa vypočíta podľa vzorca

Príklad 9. Nájdite oblasť tvaru ohraničeného čiarou a os.

Riešenie... Funkčný graf je parabola, ktorej vetvy smerujú nadol. Postavme to (obr. 3). Na určenie hraníc integrácie nájdeme body priesečníka priamky (paraboly) s osou (priamka). Aby sme to urobili, vyriešime sústavu rovníc

Dostaneme: , kde , ; preto,.

Ryža. 3

Plochu obrázku nájdeme podľa vzorca (5):

Ak je funkcia v segmente pozitívna a spojitá, potom je plocha krivočarého lichobežníka ohraničená zospodu grafom tejto funkcie, zhora osou, vľavo a vpravo rovnými čiarami a je vypočítaná ako vzorec

. (6)

Ak je funkcia v segmente spojitá a mení znamienko v konečnom počte bodov, potom sa plocha tieňovaného obrázku (obr. 4) rovná algebraickému súčtu zodpovedajúcich určitých integrálov:

Ryža. 4

Príklad 10. Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú osou a grafom funkcie na.

Ryža. 5

Riešenie... Vytvoríme kresbu (obr. 5). Požadovaná plocha je súčet plôch a. Poďme nájsť každú z týchto oblastí. Najprv určíme limity integrácie riešením systému Dostaneme,. Preto:

;

.

Plocha tieňovanej figúry je teda

(štvorcové jednotky).

Ryža. 6

Nakoniec nech je krivočiary lichobežník ohraničený nad a pod grafmi funkcií spojitých v intervale a,
a vľavo a vpravo - rovné čiary a (obr. 6). Potom sa jeho plocha vypočíta podľa vzorca

. (8)

Príklad 11. Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami a.

Riešenie. Tento obrázok je znázornený na obr. 7. Jeho plochu vypočítame podľa vzorca (8). Riešenie sústavy rovníc nájdeme; preto,. Na segmente máme :. Preto vo vzorci (8) berieme X, a ako -. Dostaneme:

(štvorcové jednotky).

Zložitejšie problémy výpočtu oblastí sa riešia rozdelením obrázku na nepretínajúce sa časti a výpočtom plochy celého obrázku ako súčtu plôch týchto častí.

Ryža. 7

Príklad 12. Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami ,,.

Riešenie... Vytvoríme kresbu (obr. 8). Tento obrázok možno považovať za zakrivený lichobežník ohraničený zospodu osou, zľava a sprava - rovnými čiarami a zhora - grafmi funkcií a. Pretože je obrázok zhora ohraničený grafmi dvoch funkcií, na výpočet jeho plochy rozdelíme tento obrázok priamkou na dve časti (1 je os x priesečníka čiar a). Plocha každej z týchto častí sa určuje podľa vzorca (4):

(štvorcové jednotky); (štvorcové jednotky). Preto:

(štvorcové jednotky).

Ryža. osem

NS= j ( o)

Ryža. deväť

Na záver poznamenávame, že ak je krivočiary lichobežník ohraničený rovnými čiarami a osou a spojitý na krivke (obr. 9), potom je jeho plocha zistená vzorcom

Objem revolučného telesa

Nech sa krivočiary lichobežník ohraničený grafom spojitej funkcie na segmente osou, rovnými čiarami a otočí okolo osi (obr. 10). Potom sa objem výsledného revolučného telesa vypočíta podľa vzorca

. (9)

Príklad 13. Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním okolo osi zakriveného lichobežníka ohraničeného hyperbolou, rovnými čiarami a osou.

Riešenie... Vytvoríme kresbu (obr. 11).

Z vyhlásenia problému vyplýva, že ,. Podľa vzorca (9) dostaneme

.

Ryža. desať

Ryža. jedenásť

Objem tela získaný rotáciou okolo osi OU zakrivené lichobežník ohraničené rovnými čiarami y = c a y = d, os OU a graf spojitej funkcie na segmente (obr. 12), je určený vzorcom

. (10)

NS= j ( o)

Ryža. 12

Príklad 14... Vypočítajte objem telesa získaný rotáciou okolo osi OU zakrivený lichobežník ohraničený čiarami NS 2 = 4o, y = 4, x = 0 (obr. 13).

Riešenie... V súlade s podmienkou problému nachádzame limity integrácie:,. Podľa vzorca (10) dostaneme:

Ryža. 13

Dĺžka oblúka s plochou krivkou

Nech krivka daná rovnicou, kde, leží v rovine (obr. 14).

Ryža. štrnásť

Definícia. Dĺžka oblúka je chápaná ako hranica, ku ktorej smeruje dĺžka prerušovanej čiary zapísanej do tohto oblúka, keď počet článkov prerušovanej čiary má tendenciu k nekonečnu a dĺžka najväčšieho spojenia má sklon k nule.

Ak je funkcia a jej derivácia na segmente spojité, potom sa dĺžka oblúka krivky vypočíta podľa vzorca

. (11)

Príklad 15... Vypočítajte dĺžku oblúka krivky uzavretej medzi bodmi, pre ktoré .

Riešenie... Zo stavu problému, ktorý máme ... Podľa vzorca (11) dostaneme:

.

4. Nesprávne integrály
s nekonečnými hranicami integrácie

Pri zavádzaní konceptu určitého integrálu sa predpokladalo, že sú splnené nasledujúce dve podmienky:

a) limity integrácie a a sú konečné;

b) integrand je ohraničený na segmente.

Ak nie je splnená aspoň jedna z týchto podmienok, nazýva sa integrál nesprávny.

Najprv uvažujme o nevhodných integráloch s nekonečnými hranicami integrácie.

Definícia. Nech je funkcia definovaná a spojitá v intervale, potom a neobmedzené vpravo (obr. 15).

Ak sa nesprávny integrál zbieha, potom je táto oblasť konečná; ak sa nesprávny integrál rozchádza, potom je táto oblasť nekonečná.

Ryža. 15

Nesprávny integrál s nekonečnou dolnou hranicou integrácie je definovaný podobne:

. (13)

Tento integrál konverguje, ak existuje limit na pravej strane rovnosti (13) a je konečný; inak sa integrál nazýva divergentný.

Nesprávny integrál s dvoma nekonečnými limitmi integrácie je definovaný nasledovne:

, (14)

kde c je ľubovoľný bod intervalu. Integrál konverguje iba vtedy, ak sa konvergujú oba integrály na pravej strane rovnosti (14).

;

G) = [vyberte celý štvorec v menovateli:] = [náhrada:

] =

Nesprávny integrál teda konverguje a jeho hodnota sa rovná.

Zadajte funkciu, pre ktorú chcete nájsť integrál

Kalkulačka poskytuje PODROBNÉ riešenie určitých integrálov.

Táto kalkulačka rieši určitý integrál f (x) s danými hornými a dolnými limitmi.

Príklady

Použitie stupňa
(štvorec a kocka) a zlomky

(x ^ 2 - 1) / (x ^ 3 + 1)

Odmocnina

Sqrt (x) / (x + 1)

Kubický koreň

Cbrt (x) / (3 * x + 2)

Použitie sínus a kosínus

2 * hriech (x) * cos (x)

Arcsine

X * arcsin (x)

Arccosine

X * arccos (x)

Aplikácia logaritmu

X * log (x, 10)

Prirodzený logaritmus

Vystavovateľ

Tg (x) * sin (x)

Kotangens

Ctg (x) * cos (x)

Iracionálne zlomky

(sqrt (x) - 1) / sqrt (x ^ 2 - x - 1)

Arktangens

X * arctg (x)

Artikotangens

X * arсctg (x)

Hyberbolický sínus a kosínus

2 * sh (x) * ch (x)

Hyberbolická tangens a kotangens

Ctgh (x) / tgh (x)

Hyberbolický arcsine a arccosine

X ^ 2 * arcsinh (x) * arccosh (x)

Hyberbolický tangens a oblúkový kotangens

X ^ 2 * arctgh (x) * arcctgh (x)

Pravidlá pre zadávanie výrazov a funkcií

Výrazy môžu pozostávať z funkcií (označenia sú uvedené v abecednom poradí): absolútne (x) Absolútna hodnota X
(modul X alebo | x |) arccos (x) Funkcia - inverzný kosínus X arccosh (x) Arccosine hyperbolic from X arcsin (x) Arcsine z X arcsinh (x) Arcsine hyperbolický z X arctg (x) Funkcia - arktangens of X arctgh (x) Argangangens hyperbolický z X e ečíslo, ktoré je zhruba 2,7 exp (x) Funkcia - exponent z X(ako e^X) log (x) alebo ln (x) Prirodzený logaritmus X
(Získať log7 (x), musíte zadať log (x) / log (7) (alebo napríklad pre log10 (x)= log (x) / log (10)) piČíslo je Pi, čo je približne 3,14 hriech (x) Funkcia - sínuso X cos (x) Funkcia - kosínus z X sinh (x) Funkcia - sínusový hyperbolický z X cosh (x) Funkcia - Cosine hyperbolic from X sqrt (x) Funkcia - druhá odmocnina z X sqr (x) alebo x ^ 2 Funkcia - štvorec X tg (x) Funkcia - tangens of X tgh (x) Funkcia - tangens hyperbolický z X cbrt (x) Funkcia - koreň kocky z X

Vo výrazoch je možné použiť nasledujúce operácie: Skutočné čísla zadajte do formulára 7.5 , nie 7,5 2 * x- násobenie 3 / x- rozdelenie x ^ 3- umocnenie x + 7- dodatok x - 6- odčítanie
Ďalšie funkcie: poschodie (x) Funkcia - zaokrúhľovanie X nadol (príklad. poschodie (4,5) == 4,0) strop (x) Funkcia - zaokrúhľovanie X nahor (príklad stropu (4,5) == 5,0) znak (x) Funkcia - znak X erf (x) Chybová funkcia (alebo integrál pravdepodobnosti) miesto (x) Laplaceova funkcia

Každý určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. V lekcii som povedal, že určitý integrál je číslo. A teraz je načase uviesť ďalší užitočný fakt. Z hľadiska geometrie je jednoznačným integrálom OBLASŤ.

To znamená, určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche nejakého obrázku... Zoberme si napríklad určitý integrál. Integrand definuje určitú krivku v rovine (v prípade potreby sa dá vždy nakresliť) a určitý integrál je číselne rovný oblasti zodpovedajúceho krivočarého lichobežníka.

Príklad 1

Toto je typická formulácia zadania. Prvým a najdôležitejším bodom riešenia je konštrukcia výkresu... Navyše musí byť vytvorený výkres SPRÁVNY.

Pri vytváraní kresby odporúčam nasledujúce poradie: najprv je lepšie postaviť všetky rovné čiary (ak existujú) a iba po- paraboly, hyperboly, grafy ďalších funkcií. Výhodnejšie je vytvárať grafy funkcií bodovo, techniku ​​stavby bod po bode nájdete v referenčný materiál.

Nájdete tu tiež veľmi užitočný materiál v súvislosti s našou lekciou - ako rýchlo postaviť parabolu.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Nakreslite kresbu (všimnite si, že rovnica definuje os):

Zakrivený lichobežník nevyliahnem, tu je zrejmé, o ktorej oblasti hovoríme. Riešenie pokračuje takto:

Na segmente sa nachádza graf funkcie nad osou, preto:

Odpoveď:

Tí, ktorí majú problém vypočítať určitý integrál a použiť Newton-Leibnizov vzorec, pozrite sa na prednášku Definitívny integrál... Príklady riešení.

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na plán a odhadnúť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „od oka“ spočítame počet buniek na výkrese - asi 9 sa napíše, vyzerá to ako pravda. Je úplne zrejmé, že ak dostaneme povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, potom je zrejmé, že niekde došlo k omylu - uvažovaný údaj sa zjavne nezmestí do 20 buniek, maximálne do tucta. Ak je odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 2

Vypočítajte plochu tvaru ohraničeného čiarami a osou

Toto je príklad pre nezávislé rozhodnutie. Kompletné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Čo robiť, ak je umiestnený zakrivený lichobežník pod osou?

Príklad 3

Vypočítajte plochu tvaru ohraničeného čiarami a súradnicovými osami.

Riešenie: Spustíme kresbu:

Ak je zakrivený lichobežník úplne umiestnený pod nápravou, potom jeho plochu nájdete podľa vzorca:
V tomto prípade:

Pozor! Tieto dva typy úloh by ste nemali zamieňať:

1) Ak sa od vás požaduje, aby ste vyriešili iba určitý integrál bez akéhokoľvek geometrický význam, potom to môže byť negatívne.

2) Ak sa zobrazí výzva na nájdenie oblasti obrázku pomocou určitého integrálu, potom je táto oblasť vždy kladná! Preto sa v práve uvažovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa postava najčastejšie nachádza v horných aj dolných polrovinách, a preto od najjednoduchších školských problémov prechádzame k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite plochu plochej figúry ohraničenú čiarami.

Riešenie: Najprv musíte dokončiť kresbu. Všeobecne povedané, pri konštrukcii kresby v problémoch na ploche nás najviac zaujímajú body priesečníka čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. To je možné vykonať dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický. Riešime rovnicu:

Preto je dolná hranica integrácie, horná hranica integrácie.
Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužívať.

Je oveľa výnosnejšie a rýchlejšie zostaviť riadky bod po bode, pričom hranice integrácie sa vyjasnia, akoby, „samy“. V nápovede je podrobne prediskutovaná technika vykresľovania bod za bodom pre rôzne grafy. Grafy a vlastnosti elementárne funkcie ... Napriek tomu sa niekedy musí použiť analytická metóda na nájdenie limitov, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo presná konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A zvážime aj taký príklad.

Vraciame sa k svojmu problému: racionálnejšie je najskôr zostrojiť priamku a až potom parabolu. Vykonajme kresbu:

Opakujem, že v prípade bodovej konštrukcie hranice integrácie najčastejšie zisťuje „automat“.

A teraz pracovný vzorec: Ak na segmente nejaká súvislá funkcia väčší alebo rovný nejakej spojitej funkcie, potom plochu zodpovedajúceho obrázku nájdeme podľa vzorca:

Tu už nemusíte premýšľať o tom, kde sa postava nachádza - nad osou alebo pod osou, a zhruba povedané: je dôležité, ktorý rozvrh je NAD(vzhľadom na iný graf), a ktorý je NÍŽE.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente je parabola umiestnená nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Dokončenie riešenia môže vyzerať takto:

Požadovaná postava je v hornej časti ohraničená parabolou a v spodnej časti priamkou.

Odpoveď:

V skutočnosti školský vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka v dolnej polrovine (pozri jednoduchý príklad č. 3) - špeciálny prípad vzorce. Pretože os je daná rovnicou a graf funkcie je umiestnený pod osou, potom

A teraz pár príkladov nezávislého riešenia

Príklad 5

Príklad 6

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami.

Pri riešení problémov na výpočet plochy pomocou určitého integrálu sa niekedy stane vtipná príhoda. Kresba je vykonaná správne, výpočty sú správne, ale neúmyselne ... nájde sa oblasť nesprávneho obrázku, takto sa tvoj pokorný sluha pokazil niekoľkokrát. Tu je prípad zo skutočného života:

Príklad 7

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami ,,,.

Najprv spustíme kresbu:

Postava, ktorej oblasť musíme nájsť, je zatienená modrou farbou(pozorne sa pozrite na stav - čím je postava obmedzená!). Ale v praxi kvôli nepozornosti často vzniká, že musíte nájsť tieňovanú časť postavy v zelenom!

Tento príklad je tiež užitočný v tom, že vypočítava plochu obrázku pomocou dvoch určitých integrálov. Naozaj:

1) Čiarový graf je umiestnený na segmente nad osou;

2) Graf hyperboly sa nachádza na segmente nad osou.

Je celkom zrejmé, že tieto oblasti je možné (a mali by) pridať, a preto:

Odpoveď:

Príklad 8

Vypočítajte plochu tvaru ohraničeného čiarami,
Predstavme rovnice vo forme „školy“ a vykonajme kresbu bod po bode:

Z výkresu je zrejmé, že naša horná hranica je „dobrá“ :.
Aká je však dolná hranica?! Je jasné, že to nie je celé číslo, ale ktoré? Možno ? Kde je však záruka, že kresba je vykonaná s dokonalou presnosťou, môže to byť aj tým. Alebo root. Čo keby sme graf vykreslili vôbec nesprávne?

V takýchto prípadoch musíte stráviť viac času a analyticky spresniť limity integrácie.

Nájdite priesečníky priamky a paraboly.
Aby sme to urobili, vyriešime rovnicu:

Preto,.

Ďalšie riešenie je triviálne, hlavnou vecou nie je zamieňať sa s náhradami a znakmi, výpočty tu nie sú najľahšie.

V segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

Na záver hodiny zvážime dve ťažšie úlohy.

Príklad 9

Vypočítajte plochu obrázku ohraničeného čiarami,

Riešenie: Nakreslite tento obrázok do výkresu.

Na zostavenie kresby bod po bode potrebujete vedieť vzhľad sínusoidy (a vo všeobecnosti je užitočné vedieť grafy všetkých základných funkcií), ako aj niektoré sinusové hodnoty, nájdete ich v trigonometrická tabuľka... V mnohých prípadoch (ako v tomto) je dovolené zostaviť schematický výkres, na ktorom by mali byť grafy a limity integrácie v zásade správne zobrazené.

S hranicami integrácie nie sú žiadne problémy, vyplývajú priamo z podmienky: - „x“ sa zmení z nuly na „pi“. Robíme ďalšie rozhodnutie:

V segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto:

(1) Ako integrovať sínus a kosínus v nepárnych mocnostiach nájdete v lekcii Integrály z trigonometrické funkcie ... Ide o typickú techniku, odštipneme jeden sínus.

(2) Vo formulári používame základnú trigonometrickú identitu

(3) Zmeňme premennú a potom:

Nové prerozdelenia integrácie:

Kto je na tom so striedaním skutočne zle, prosím, choďte na lekciu Spôsob výmeny v neurčitý integrál ... Komu nie je náhradný algoritmus v určitom integrále jasný, navštívte stránku Definitívny integrál. Príklady riešení... Príklad 5: Riešenie:, preto:

Odpoveď:

Poznámka: všimnite si, ako sa berie integrál tangensu v kocke, tu je dôsledkom hlavnej goniometrická identita.

Uvažujme zakrivený lichobežník ohraničený osou Ox, krivkou y = f (x) a dvoma rovnými čiarami: x = a a x = b (obr. 85). Zoberme si ľubovoľnú hodnotu x (ale nie a a nie b). Dáme mu prírastok h = dx a uvažujeme pás ohraničený rovnými čiarami AB a CD, osou Ox a oblúkom BD patriacim do uvažovanej krivky. Tento pás sa bude nazývať elementárny pás. Plocha elementárneho pásu sa líši od plochy obdĺžnika ACQB krivočiarym trojuholníkom BQD a jeho plocha je menšia ako plocha obdĺžnika BQDM so stranami BQ = h = dx ) QD = Ay a plocha rovná sa hAy = Ay dx. Ako strana h klesá, strana Du sa tiež zmenšuje a súčasne s h má tendenciu k nule. Preto je oblasť BQDM nekonečně malá druhého rádu. Plocha elementárneho pásu je prírastok plochy a plocha obdĺžnika ACQB rovná AB-AC == / (x) dx> je plošný diferenciál. Preto nájdeme samotnú oblasť integrovaním jej diferenciálu. V rámci uvažovaného obrázku sa nezávislá premenná l: pohybuje od a do b, takže požadovaná plocha 5 sa bude rovnať 5 = \ f (x) dx. (I) Príklad 1. Vypočítajme plochu ohraničenú parabolou y - 1 -x *, priamkami X = - Fj-, x = 1 a osou O * (obr. 86). Obr. 87. Obr. 86. 1 Tu f (x) = 1 - n ?, Hranice integrácie sú a = - a t = 1, preto 3) | _ 2 3V 2 / J 3 24 24 * Príklad 2. Vypočítajte plochu ohraničenú sínusoid y = sinXy podľa osi Ox a priamky (obr. 87). Použitím vzorca (I) získame Л 2 S = J sinxdx = [-cos x] Q = 0- (- 1) = lf Príklad 3. Vypočítajte plochu ohraničenú oblúkom sínusoidy ^ y = sin jc, uzavretú medzi dvoma priľahlými priesečníkovými bodmi s osou Ox (napríklad medzi počiatkom a bodom s úsečkou i). Všimnite si toho, že z geometrických úvah je zrejmé, že táto oblasť bude dvakrát viac oblasti predchádzajúci príklad. Urobme však výpočty: i 5 = | s \ nxdx = [ - cosx) * - - cos i - ( - cos 0) = 1 + 1 = 2. o Náš predpoklad sa skutočne ukázal ako pravdivý. Príklad 4. Vypočítajte plochu ohraničenú sínusoidom a ^ osou Ox v jednej perióde pe-x (obr. 88). Predbežné úvahy nám umožňujú predpokladať, že plocha bude štyrikrát väčšia ako v bode 2. Po vykonaní výpočtov však dostaneme „i G, * i S - \ sin x dx = [ - cos x] 0 = = - cos 2l - ( - cos 0) = - 1 + 1 = 0. Tento výsledok vyžaduje objasnenie. Aby sme objasnili podstatu veci, vypočítame aj plochu ohraničenú rovnakou sínusoidou y = sin l: a osou Ox v rozmedzí od l do 2i. Použitím vzorca (I) získame 2 l $ 2l sin xdx = [ -cosx] l = -cos 2ya ~) -c05ya = -1-1 = -2. Vidíme teda, že táto oblasť je negatívna. Porovnaním s plochou vypočítanou v pr. 3 zistíme, že ich absolútne hodnoty sú rovnaké, ale znaky sú odlišné. Ak použijeme vlastnosť V (pozri kapitolu XI, § 4), potom dostaneme 2l I 2l J sin xdx = J sin * dx [sin x dx = 2 + (- 2) = 0 To, čo sa stalo v tomto prípade, nie je náhoda . Vždy oblasť pod osou Ox za predpokladu, že sa nezávislá premenná zmení zľava doprava, sa získa výpočtom záporných integrálov. V tomto kurze vždy zvážime oblasti bez značiek. Preto odpoveď v práve analyzovanom príklade bude nasledovná: požadovaná plocha sa rovná 2 + | -2 | = 4. Príklad 5. Vypočítajme plochu OAB znázornenú na obr. 89. Táto oblasť je ohraničená osou Ox, parabolou y = - xr a priamkou y - = - x + \. Oblúková lichobežníková oblasť Oblasť vyhľadávania OAV sa skladá z dvoch častí: OAM a MAV. Pretože bod A je priesečníkom paraboly a priamky, jeho súradnice nájdeme riešením sústavy rovníc 3 2 Y = mx. (potrebujeme iba nájsť úsečku bodu A). Pri riešení systému nájdeme l; = ~. Plochu je preto potrebné vypočítať po častiach, prvý štvorec. OAM a potom pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. Qam- ^ x)