Sila P sa aplikuje v bode so súradnicami - x p, y p.

V tomto prípade sa hovorí, že zaťaženie vzhľadom na pozdĺžnu os z pôsobí na excentricitu e (obrázok 8.2).

Ľubovoľné bodové napätia prierez sú určené vzorcom (8.3):

(8.3)

(+) pred výrazom (8.3) zodpovedá excentrickému naťahovaniu,

( -) - kompresia.

x, y- súradnice bodu, v ktorom sú určené normálne napätia.

Podmienky pevnosti pri excentrickom zaťažení sa zaznamenávajú pre nebezpečné body A a V. najďalej od neutrálnej čiary.

(8.4)

Tu sú štvorce polomerov gyrácie.

R.- vypočítaná odolnosť materiálu voči ťahu alebo stlačeniu.

8.2.2. Rovnica neutrálnej čiary

Na neutrálnej linke sú normálne napätia nulové.

Vyrovnaním výrazu (8.3) na nulu získame rovnice neutrálnej priamky

(8.5)

x N, y N.- súradnice bodov ležiacich na neutrálnej čiare.

Po vyriešení výslednej rovnice (8.5) v segmentoch pozdĺž súradnicových osí môžete určiť polohu neutrálnej čiary.

(8.6)

8.2.3. Sekčné jadro

Mnoho stavebných materiálov funguje dobre pri stlačení a prakticky nevníma ťahové deformácie: betón, tehla. Preto vzniká problém určiť takú plochu v priereze tyče tak, aby zaťaženie, ktoré v nej pôsobí, spôsobuje napätia rovnakého znamienka v celom priereze. Táto oblasť sa nazýva jadro sekcie. Sekčné jadro - oblasť umiestnená okolo ťažiska úseku, pôsobiace zaťaženie vo vnútri, ktoré spôsobuje napätie rovnakého znamienka pozdĺž celého prierezu.

Na zostrojenie jadra sú sekcie nastavené polohami neutrálnej čiary, ktoré sa zhodujú so stranami sekcie N i (x N. a v N.) a podľa vzorca (8.5) určia dve súradnice bodu pôsobenia sily zodpovedajúcej tejto priamke

Po nakreslení neutrálnych čiar pozdĺž celého obrysu rezu získame n bodov. Na základe vety o rotácii neutrálnej čiary, spájajúcej získané body za sebou, získame jadro rezu (obr. 8.3). V prípade obdĺžnikového prierezu je jadrom úseku kosoštvorec.

Stabilita stlačených tyčí

Všeobecné ustanovenia

Fenomén straty stability stlačenej tyče je pozorovaný, keď pri známom tvare a rozmeroch prierezu jej dĺžka prekročí určitú hodnotu.

So stratou stability prvku je narušená počiatočná priamočiara forma rovnováhy.

Rozlišujte medzi stabilnými ( a), ľahostajný ( b) a nestabilné ( s) stav rovnováhy (obrázok 9.1).

Vzpieranie je nebezpečné, pretože dochádza k veľkému nárastu priehybov s malým nárastom tlakového zaťaženia.

K strate stability pružných tyčí dochádza pri relatívne nízkych tlakových napätiach, ktoré nie sú nebezpečné z hľadiska pevnosti materiálu.

Off-center strečing Tento typ zaťaženia sa nazýva lúč, v ktorom vonkajšie sily pôsobia pozdĺž pozdĺžnej osi nosníka, ale nezhodujú sa s ním (obr. 8.4). Stanovenie napätí sa vykonáva pomocou princípu nezávislosti pôsobenia síl. Off-center strečing je kombináciou axiálneho strečingu a šikmého (najmä plochého) ohybu. Vzorec pre normálne napätia možno získať ako algebraický súčet normálnych napätí vyplývajúcich z každého druhu zaťaženia:

kde ; ;

y F, z F- súradnice bodu pôsobenia sily F.

Na určenie nebezpečných bodov úseku je potrebné nájsť polohu neutrálnej čiary (nl) ako lokus bodov, v ktorých sa napätia rovnajú nule.

.

Rovnica nl možno zapísať ako rovnicu priamky v segmentoch:

kde a - segmenty odrezané o n.l. na súradnicových osiach,

, Sú hlavné polomery otáčania úseku.

Neutrálna čiara rozdeľuje prierez na zóny s ťahovým a tlakovým napätím. Diagram normálnych napätí je znázornený na obr. 8.4.

Ak je rez symetrický voči hlavným osiam, potom je pevnostná podmienka zapísaná pre plastové materiály, pre ktoré [ s c] = [s p] = [s], ako

. (8.5)

Pre krehké materiály, kde [ s c]¹[ s p], pevnostný stav by sa mal zaznamenať oddelene pre bod nebezpečného úseku v napnutej zóne:

a pre bod nebezpečného úseku v stlačenej zóne:

,

kde z 1, y 1 a z 2, y 2- súradnice bodov úseku najvzdialenejšieho od neutrálnej čiary v natiahnutej 1 a stlačenej 2 zóne rezu (obr. 8.4).

Vlastnosti nulovej čiary

1. Nulová čiara rozdeľuje celý úsek na dve zóny - napätie a stlačenie.

2. Nulová čiara je rovná, pretože súradnice x a y sú v prvom stupni.

3. Nulová čiara neprechádza cez pôvod (obr. 8.4).

4. Ak bod pôsobenia sily leží na hlavnej centrálna zotrvačnosť rezu, potom je zodpovedajúca nulová čiara kolmá na túto os a prebieha na druhej strane začiatku (obr. 8.5).

5. Ak sa bod pôsobenia sily pohybuje pozdĺž lúča vychádzajúceho z počiatku, potom sa za ním pohybuje zodpovedajúca nulová čiara (obr. 8.6):

nl

Ryža. 8,5 Obr. 8.6

a) keď sa bod pôsobenia sily pohybuje pozdĺž lúča vychádzajúceho z počiatku od nuly do nekonečna (y F ®∞, z F ®∞), a y ®0; a z ®0. Limitujúci stav tohto prípadu: nulová čiara prechádza počiatkom (ohyb);

b) keď sa bod pôsobenia sily (bod K) pohybuje pozdĺž lúča vychádzajúceho z počiatku z nekonečna do nuly (y F ® 0 a z F ® 0), a y ®∞; a z ®∞. Limitujúci stav tohto prípadu: nulová čiara sa pohybuje do nekonečna a telo zažije jednoduché napätie (stlačenie).

6. Ak sa bod pôsobenia sily (bod K) pohybuje pozdĺž priamky pretínajúcej súradnicové osi, potom sa v tomto prípade nulová čiara bude otáčať okolo nejakého stredu umiestneného v kvadrante oproti bodu K.

8.2.3. Sekčné jadro

Niektoré materiály (betón, murivo) môžu vnímať veľmi ľahké ťahové napätia, zatiaľ čo iné (napríklad pôda) napätiu vôbec neodolajú. Také materiály sa používajú na výrobu konštrukčných prvkov, v ktorých nedochádza k ťahovému namáhaniu, a nepoužívajú sa na výrobu inštrukčných prvkov podliehajúcich ohybu, krúteniu, centrálnemu a excentrickému napätiu.

Z týchto materiálov je možné vyrábať iba centrálne stlačené prvky, pri ktorých nevznikajú ťahové napätia, a tiež excentricky stlačené prvky, ak sa v nich netvoria ťahové napätia. Stáva sa to vtedy, keď je miesto pôsobenia tlakovej sily umiestnené vo vnútri alebo na hranici nejakej centrálnej oblasti prierezu, nazývanej jadro úseku.

Sekcia jadra tyč sa nazýva nejaká stredná oblasť, ktorá má tú vlastnosť, že sila pôsobiaca na ľubovoľný bod spôsobuje napätie rovnakého znamienka vo všetkých bodoch prierezu tyče, t.j. nulová čiara neprechádza úsekom tyče.

Ak je miesto pôsobenia tlakovej sily umiestnené mimo jadro úseku, vzniká v priereze tlakové a ťahové napätie. V tomto prípade nulová čiara pretína prierez tyče.

Ak je sila aplikovaná na hranici jadra úseku, potom sa nulová čiara dotkne obrysu úseku (v bode alebo pozdĺž čiary); v mieste kontaktu sú normálne napätia rovné nule.

Pri výpočte excentricky stlačených tyčí vyrobených z materiálu, ktorý netoleruje ťahové napätia, je dôležité poznať tvar a rozmery jadra úseku. To umožňuje bez výpočtu napätí zistiť, či v priereze nosníka vznikajú ťahové napätia (obr. 8.7).

Z definície vyplýva, že jadrom sekcie je určitá oblasť, ktorá sa nachádza vo vnútri sekcie.

Pri krehkých materiáloch by malo byť v jadre úseku aplikované tlakové zaťaženie, aby sa v úseku vylúčili napínacie zóny (obrázok 8.7).

Na vybudovanie jadra rezu je potrebné dôsledne zarovnať nulovú čiaru s obrysom prierezu tak, aby nulová čiara nepretínala rez a súčasne vypočítať bod, ktorý jej zodpovedá

pôsobenie tlakovej sily K s a

Ryža. 8,7 dinátov y F a z F. podľa vzorcov:

; .

Získané body pôsobenia sily so súradnicami y F, z F musia byť spojené rovnými segmentmi. Oblasť ohraničená výslednou krivkou bude jadrom sekcie.

Postupnosť konštrukcie jadra sekcie

1. Určte polohu ťažiska prierezu a hlavných stredových osí zotrvačnosti y a z, ako aj hodnoty štvorcov polomerov gyrácie i y, i z.

2. Ukážte všetky možné polohy nl a dotknite sa obrysu sekcie.

3. Pre každú pozíciu č. definovať segmenty a y a a z odrezaný ním od hlavných stredových osí zotrvačnosti y a z.

4. Pre každú pozíciu č. nastavte súradnice stredu tlaku y F a z F. .

5. Pripojte získané stredy tlaku rovnými segmentmi, vo vnútri ktorých bude umiestnené jadro sekcie.

Krútenie s ohýbaním

Typ zaťaženia, pri ktorom je lúč vystavený súčasnému pôsobeniu krútiacich a ohybových momentov, sa nazýva ohyb s krútením.

Pri výpočte použijeme princíp nezávislosti pôsobenia síl. Stanovte napätie oddelene pre ohyb a krútenie (obrázok 8.8) .

Pri ohýbaní v priereze vzniká normálne napätie, dosahujúce maximálnu hodnotu v extrémnych vláknach

.

Pri skrútení vznikajú v priereze šmykové napätia, dosahujúce najväčšiu hodnotu v bodoch rezu blízko povrchu šachty

.

s

t

C.

B

X

r

z

Ryža. 8.9

s

s

t

t

Ryža. 8.10

C.

X

z

r

M

T

Ryža. 8.8

Normálne a šmykové napätie súčasne dosahujú v bodoch svoje najvyššie hodnoty S a V. rez hriadeľom (obr. 8.9). Zvážte v danej chvíli stresový stav S(obr. 8.10). Je vidieť, že elementárny rovnobežnosten sa vybral okolo bodu S, je v plochom stresovom stave.

Na testovanie pevnosti preto použijeme jednu zo silových hypotéz.

Podmienka pevnosti podľa tretej hypotézy pevnosti (hypotéza najvyšších šmykových napätí)

.

Zvažujem to, , získame stav pevnosti hriadeľa

. (8.6)

Ak dôjde k ohnutiu hriadeľa v dvoch rovinách, potom bude pevnostný stav

.

Použitie hypotézy štvrtej (energetickej) sily

,

po substitúcii s a t dostať

. (8.7)

Otázky pre vlastný test

1. Aký ohyb sa nazýva šikmý?

2. Aký druh ohýbania je kombináciou šikmého ohýbania?

3. Aké vzorce sa používajú na stanovenie normálových napätí v prierezoch nosníka počas šikmého ohybu?

4. Aká je poloha neutrálnej osi v šikmom ohybe?

5. Ako sa určujú nebezpečné body v úseku v šikmom zákrute?

6. Ako sa určujú posuny bodov osi lúča pri šikmom ohybe?

7. Aký druh komplexného odporu sa nazýva excentrické predĺženie (alebo kompresia)?

8. Aké vzorce sa používajú na stanovenie normálnych napätí v prierezoch tyče na excentrické predĺženie a kompresia? Aký je tvar diagramu týchto napätí?

9. Ako sa určuje poloha neutrálnej osi pri excentrickom napätí a stlačení? Zapíšte si príslušné vzorce.

10. Aké napätia vznikajú v priereze nosníka pri ohybe s krútením?

11. Ako sú nebezpečné prierezy okrúhlej tyče v ohybe s krútením?

12. Ktoré body kruhového prierezu sú nebezpečné v ohybe s krútením?

13. Aký stresový stav nastáva v týchto bodoch?

Existuje niekoľko veľmi jednoduchých, ale neúčinných spôsobov rastrovania kruhov. Pre jednoduchosť zvážte napríklad kruh vycentrovaný na začiatku. Jej rovnica je zapísaná ako X 2 + r 2 =R. 2. Riešenie tejto rovnice pre r, dostať

Aby sme zobrazili štvrtú časť kruhu, zmeníme sa X s jednotkovým krokom od 0 do R. a v každom kroku vypočítať r... Druhá jednoduchá metóda rastrového rozvinutia kruhu je použitie výpočtu X a r podľa vzorcov X=R. cos α, r=R. sinα s postupnou zmenou uhla α od 0 do 90.

Na zjednodušenie algoritmu pre rastrové skenovanie štandardného kruhu môžete použiť jeho symetriu voči súradnicovým osiam a rovným čiaram r= ± X; v prípade, že sa stred kruhu nezhoduje s počiatkom, musia byť tieto priame čiary paralelne posunuté tak, aby prešli stredom kruhu. Stačí teda zostrojiť rastrovú reprezentáciu pre 1/8 kruhu a symetricky získať všetky zostávajúce body (pozri obr. 2.15).

Ryža. 2.15. Osemstranná symetria

Uvažujme segment kruhu z druhého oktantu XЄ. Ďalej popíšeme Bresenheimov algoritmus pre túto časť kruhu.

Algoritmus v každom kroku vyberie bod P i (X i , r i), ktorá je najbližšie k pravému kruhu. Myšlienkou algoritmu je vybrať najbližší bod pomocou riadiacich premenných, ktorých hodnoty je možné vypočítať krok za krokom pomocou malého počtu sčítaní, odčítaní a posunov.

Zvážte malú časť pixelovej mriežky a možné spôsoby (od A do E) skutočného kruhu prechádzajúceho mriežkou (obr. 2 .16).

Predpokladajme bod P i - 1 bol vybraný ako najbližší k kruhu v X=X i- 1. Teraz zistíme, ktorý z bodov ( S i alebo T i) sa nachádza bližšie k kruhu na X=X i- 1 + 1.

Ryža. 2.16. Varianty prechodu kruhu cez rastrovú sieť

Všimnite si toho chyby pri výbere bodu P i (X i , r i) sa rovnal

D ( P i) = (X i 2 + r i 2) –R. 2 .

Napíšeme výraz pre chyby prijaté pri výbere bodu S i alebo T i :

D ( S i) = [(X i-1 + 1) 2 + (r i-1) 2] - R2;

D ( T i) = [(X i-1 + 1) 2 + (r i-1 – 1) 2 ] – R. 2 .

Ak | D ( S i) | ≥ | D ( T i) |, potom T i bližšie k skutočnému kruhu, inak je zvolený S i .

Predstaviť d i= | D ( S i) | - | D ( T i) |.

T i sa vyberie, keď d i≥ 0, inak sa nastaví S i .

Vynecháme algebraické transformácie a píšeme d i a d i + 1 pre rôzne možnosti výberu bodov S i alebo T i .

D 1 = 3 – 2R..

Ak je zvolený S i(kedy d i < 0), тоd i + 1 =d i + 4X i -1 + 6.

Ak je zvolený T i(kedy d i≥ 0), potom d i + 1 =d i + 4 (X i - 1 –r i - 1) + 10.

Existuje modifikácia Bresenheimovho algoritmu pre elipsu.

1. Maľovanie oblasti špecifikovanej farbou ohraničenia

Uvažujme oblasť ohraničenú sadou pixelov danej farby a bodu ( x, y) ležiaci vo vnútri tejto oblasti.

Úloha vyplniť oblasť danou farbou v prípade, že táto oblasť nie je konvexná, môže byť dosť ťažká.

Najjednoduchší rekurzívny algoritmus:

neplatné PixelFill (int x, int y, int border_color, int color)

int c = getpixel (x, y);

if ((c! = border_color) && (c! = color))

putpixel (x, y, farba);

PixelFill (x - 1, y, border_color, farba);

PixelFill (x + 1, y, border_color, color);

PixelFill (x, y - 1, border_color, color);

PixelFill (x, y + 1, border_color, color);

Tento algoritmus je príliš neúčinný, pretože pre každý už vykreslený pixel sa funkcia volá ešte 4 -krát a navyše tento algoritmus vyžaduje príliš veľkú veľkosť zásobníka kvôli veľkej hĺbke rekurzie. Preto na vyriešenie problému tieňovania oblasti je výhodnejšie použiť algoritmy, ktoré dokážu spracovať celé skupiny pixelov naraz, to znamená využiť ich „konektivitu“. Ak daný pixel patrí do oblasti, potom s najväčšou pravdepodobnosťou do tejto oblasti patria aj jeho najbližší susedia.

Skupina takýchto pixelov je zvyčajne pásmo definované pravým pixelom. Na uloženie správne definujúcich pixelov sa používa zásobník. Popíšeme slovami vylepšený algoritmus, ktorý využíva koherenciu pixelov.

Najprv sa vyplní horizontálny pás pixelov obsahujúci počiatočný bod. Potom, aby sa v každom riadku našiel pixel úplne vpravo, sa riadok predchádzajúci pred práve vyplneným pásom skontroluje sprava doľava. Nájdené adresy pixelov sa vložia do zásobníka. To isté platí pre nasledujúci riadok a za posledný naplnený pásik. Keď je riadok spracovaný týmto spôsobom, ako nový počiatočný bod sa použije pixel, ktorého adresa je prevzatá zo zásobníka. Celý popísaný postup sa pre neho opakuje. Algoritmus končí svoju prácu, ak je zásobník prázdny.

Kruh je séria rovnako vzdialených bodov z jedného bodu, ktorý je zase stredom tohto kruhu. Kruh má tiež svoj vlastný polomer rovný vzdialenosti týchto bodov od stredu.

Pomer dĺžky ľubovoľného kruhu k jeho priemeru je pre všetky kruhy rovnaký. Tento pomer je číslo, ktoré je matematickou konštantou a označuje sa gréckym písmenom π .

Určenie obvodu

Vzorec na výpočet dĺžky kruhu

Obvod môžete vypočítať podľa nasledujúceho vzorca:

L = π D = 2 π r

r- polomer kruhu

D- priemer kruhu

L- obvod

π - 3.14

Príklad zistenia dĺžky kruhu

Úloha:

Vypočítajte obvod s polomerom 10 centimetrov.

Riešenie:

Vzorec na výpočet dĺžky kruhu vyzerá ako:

L = π D = 2 π r

kde L je obvod, π - 3,14, r je polomer kruhu, D je priemer kruhu.

Dĺžka kruhu s polomerom 10 centimetrov sa teda rovná:

D = 2 × 3,14 × 10 = 31,4 centimetra

Kruh je geometrický útvar, ktorý je zbierkou všetkých bodov v rovine, ktoré sú vzdialené danému bodu, ktorý sa nazýva jeho stred, v určitej vzdialenosti, ktorá sa nerovná nule, a nazýva sa polomer. Vedci už v dávnych dobách dokázali určiť jeho dĺžku s rôznym stupňom presnosti: historici vedy sa domnievajú, že prvý vzorec na výpočet obvodu bol zostavený okolo roku 1900 pred naším letopočtom v starovekom Babylone.

S takým geometrických tvarov ako kruhy sa stretávame denne a kdekoľvek. Práve jeho tvar má vonkajší povrch kolies, ktoré sú vybavené rôznymi vozidlami. Tento detail je napriek svojej vonkajšej jednoduchosti a nenáročnosti považovaný za jeden z najväčších vynálezov ľudstva a je zaujímavé, že domorodci Austrálie a amerických indiánov do príchodu Európanov absolútne netušili, čo to je.

S najväčšou pravdepodobnosťou boli úplne prvé kolesá kusmi guľatiny, ktoré boli namontované na náprave. Postupne sa dizajn kolesa zlepšoval, ich dizajn bol stále komplexnejší a na ich výrobu bolo potrebné použiť veľa rôznych nástrojov. Najprv sa objavili kolesá pozostávajúce z dreveného ráfika a lúčov, a potom, aby sa znížilo opotrebovanie ich vonkajšieho povrchu, začali ho čalúniť kovovými pásmi. Na určenie dĺžok týchto prvkov je potrebné použiť vzorec na výpočet obvodu (aj keď v praxi to s najväčšou pravdepodobnosťou robili remeselníci „od oka“ alebo jednoducho tak, že koleso obtočili pásikom a odrezali požadovaná časť).

Treba poznamenať, že koleso sa používa nielen vo vozidlách. Napríklad hrnčiarsky kruh má svoj tvar, ako aj prvky ozubených kolies prevodových pohonov, ktoré sú v technológiách široko používané. Od dávnych čias sa kolesá používali na stavbu vodných mlynov (najstaršie štruktúry tohto druhu známe vedcom boli postavené v Mezopotámii), ako aj kolovraty používané na výrobu nití zo živočíšnej vlny a rastlinných vlákien.

Kruhy možno často nájsť v stavebníctve. Ich tvar je dosť rozšírený, okrúhle okná, veľmi charakteristické pre románsky architektonický štýl. Výroba týchto štruktúr je veľmi náročná a vyžaduje vysokú zručnosť, ako aj prítomnosť špeciálneho nástroja. Okná určené pre lode a lietadlá sú jedným z typov okrúhlych okien.

Problém určovania obvodu teda často musia riešiť konštruktéri, ktorí vyvíjajú rôzne stroje, mechanizmy a zostavy, ako aj architekti a projektanti. Od čísla π na to je nekonečný, potom nie je možné tento parameter určiť s absolútnou presnosťou, a preto výpočty zohľadňujú jeho stupeň, ktorý je v konkrétnom prípade potrebný a dostačujúci.