Pre praktické činnosti je potrebné vedieť porovnávať udalosti podľa stupňa možnosti ich výskytu. Zvážte klasický prípad. Urna obsahuje 10 guličiek, 8 z nich sú biele, 2 sú čierne. Je zrejmé, že udalosť „čierna guľa bude odstránená z urny“ a udalosť „čierna guľa bude odstránená z urny“ v rôznej miere možnosť ich ofenzívy. Preto je potrebné určité kvantitatívne opatrenie na porovnanie udalostí.

Kvantitatívne meranie možnosti výskytu udalosti je pravdepodobnosť ... Najrozšírenejšie sú dve definície pravdepodobnosti udalosti: klasická a štatistická.

Klasická definícia pravdepodobnosť súvisí s koncepciou priaznivého výsledku. Poďme sa tomu venovať podrobnejšie.

Nech výsledky nejakého pokusu tvoria úplnú skupinu udalostí a sú rovnako možné, t.j. sú jediné možné, nekompatibilné a rovnako možné. Takéto výsledky sa nazývajú elementárne výsledky alebo prípadoch... Zároveň hovoria, že test je zredukovaný na prípadový diagram alebo „ urnová schéma", Pretože akýkoľvek pravdepodobnostný problém pre takúto skúšku je možné nahradiť ekvivalentným problémom s urnami a loptičkami rôznych farieb.

Volá sa Exodus priaznivý udalosť ALE ak je výsledkom tejto udalosti výskyt udalosti ALE.

Podľa klasickej definície pravdepodobnosť udalosti A sa rovná pomeru počtu výsledkov priaznivých pre túto udalosť k celkovému počtu výsledkov, t.j.

,

(1.1)

kde P (A)- pravdepodobnosť udalosti ALE; m- počet prípadov priaznivých pre udalosť ALE; n- celkový počet prípadov.

Príklad 1.1. Pri hode kockou je šesť možných výsledkov - 1, 2, 3, 4, 5, 6 bodov. Aká je pravdepodobnosť, že sa objaví párny počet bodov?

Riešenie. Všetko n= 6 výsledkov tvorí ucelenú skupinu udalostí a je rovnako možných, t.j. sú jediné možné, nekompatibilné a rovnako možné. Udalosť A - „vzhľad párneho počtu bodov“ - uprednostňujú sa 3 výsledky (prípady) - vypadávajú 2, 4 alebo 6 bodov. Podľa klasického vzorca pre pravdepodobnosť udalosti dostaneme

P (A) = = . ◄

Na základe klasickej definície pravdepodobnosti udalosti si všimneme jej vlastnosti:

1. Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti leží medzi nulou a jednou, t.j.

0 ≤ R(ALE) ≤ 1.

2. Pravdepodobnosť spoľahlivá udalosť sa rovná jednej.

3. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.

Ako už bolo spomenuté, klasická definícia pravdepodobnosti je použiteľná iba pre tie udalosti, ktoré sa môžu javiť ako výsledok pokusov so symetriou možných výsledkov, t. znížená na schému prípadov. Existuje však veľká trieda udalostí, ktorých pravdepodobnosti sa nedajú vypočítať pomocou klasickej definície.

Napríklad, ak predpokladáme, že minca je sploštená, je zrejmé, že udalosti „vzhľad erbu“ a „vzhľad chvostov“ nemožno považovať za rovnako možné. Preto vzorec na určenie pravdepodobnosti podľa klasickej schémy nie je v tomto prípade použiteľný.

Existuje však odlišný prístup k hodnoteniu pravdepodobnosti udalostí na základe toho, ako často sa udalosť v uskutočnených testoch objaví. V tomto prípade sa použije štatistická definícia pravdepodobnosti.

Štatistická pravdepodobnosťudalosť A sa nazýva relatívna frekvencia (frekvencia) výskytu tejto udalosti v n vykonaných testoch, t.j.

,

(1.2)

kde P * (A)- štatistická pravdepodobnosť udalosti ALE; w (A)- relatívna frekvencia udalosti ALE; m- počet pokusov, v ktorých sa udalosť vyskytla ALE; n- celkový počet testov.

Na rozdiel od matematickej pravdepodobnosti P (A) v klasickej definícii štatistická pravdepodobnosť P * (A) je charakteristika skúsený, experimentálne... Inými slovami, štatistická pravdepodobnosť udalosti ALE je číslo, voči ktorému je relatívna frekvencia stabilizovaná (nastavená) w (A) s neobmedzeným nárastom počtu testov vykonaných za rovnakých podmienok.

Napríklad, keď sa hovorí, že strelec zasiahne cieľ s pravdepodobnosťou 0,95, znamená to, že zo stoviek striel, ktoré za určitých podmienok vystrelil (rovnaký cieľ v rovnakej vzdialenosti, rovnaká puška atď.), priemerne je okolo 95 úspešných. Prirodzene, nie každá stovka bude mať 95 úspešných snímok, niekedy ich bude menej, niekedy viac, ale v priemere pri viacnásobnom opakovaní streľby za rovnakých podmienok zostane toto percento zásahov nezmenené. Číslo 0,95, ktoré je ukazovateľom šikovnosti strelca, je zvyčajne veľmi vysoké stabilný, t.j. percento zásahov pri väčšine streľby bude pre daného strelca takmer rovnaké, iba v ojedinelých prípadoch sa odchyľujú o niečo výrazne od priemernej hodnoty.

Ďalšou nevýhodou klasickej definície pravdepodobnosti ( 1.1 ), ktorá obmedzuje jeho použitie, spočíva v tom, že predpokladá konečný počet možných výsledkov pokusov. V niektorých prípadoch možno túto nevýhodu prekonať použitím geometrickej definície pravdepodobnosti, t.j. zistenie pravdepodobnosti toho, že bod zasiahne určitú oblasť (segment, časť roviny atď.).

Nechajte plochú postavu g tvorí súčasť plochej postavy G(obr. 1.1). Na obrázku G bod je hodený náhodne. To znamená, že všetky body regiónu G Sú „rovnaké“ v súvislosti s úderom vhodeným náhodným bodom. Za predpokladu, že pravdepodobnosť udalosti ALE- zasiahnutie hodeného bodu na figúre g- proporcionálne k ploche tohto obrázka a nezávisí od jeho relatívneho umiestnenia G ani z formy g, Nájsť

Pravdepodobnosť sa prejaví vtedy, keď sa jeden a ten istý náhodný experiment vykonáva viackrát, a tak výsledky už vykonaných experimentov neovplyvnia ďalšie. Za týchto podmienok má frekvencia výskytu udalosti s neobmedzeným nárastom počtu experimentov tendenciu k pravdepodobnosti udalosti.

Zvážte náhodný experiment, ktorého súčasťou je hádzanie kockami z nejednotného materiálu. Jeho ťažisko nie je v geometrickom strede. V takom prípade nemôžeme považovať výsledky (jeden, dva atď.) Za rovnako pravdepodobné. Z fyziky je známe, že kosť bude padať častejšie na hranu, ktorá je bližšie k ťažisku. Ako určiť pravdepodobnosť získania napríklad troch bodov? Jediné, čo môžeš urobiť, je hodiť túto kosť n krát (kde n-dostatočne veľký počet, povedzme n= 1000 alebo n= 5000), spočítajte počet kvapiek troch bodov n 3 a zvážte pravdepodobnosť výsledku, ktorý spočíva v získaní troch bodov, rovných n 3/n- relatívna frekvencia troch bodov. Podobne môžete určiť pravdepodobnosť zostávajúcich elementárnych výsledkov - jeden, dva, štyri atď.

Klasická definícia pravdepodobnosti predpokladá, že všetky elementárne výsledky sú rovnako možné. Rovnosť výsledkov experimentu sa uzatvára na základe úvah o symetrii (ako v prípade mince alebo kocky). V praxi sa s problémami, pri ktorých je možné vychádzať z aspektov symetrie, stretnúť zriedka. V mnohých prípadoch je ťažké uviesť dôvody, pre ktoré sa domnievame, že všetky základné výsledky sú rovnako možné. V tejto súvislosti bolo nevyhnutné zaviesť ďalšiu definíciu pravdepodobnosti, ktorá sa nazýva štatistická. Na účely tejto definície je predbežne zavedený koncept relatívnej frekvencie udalostí.

Definícia 18.2.2. Relatívna frekvencia udalosti alebo frekvencia sa nazýva vzťah

počet experimentov, v ktorých sa táto udalosť vyskytla, k počtu všetkých vykonaných experimentov. Označme frekvenciu deja A až W (A), potom podľa definície W (A) = m / n,

kde m je počet experimentov, v ktorých sa objavila udalosť A; n- počet všetkých vykonaných experimentov.

Frekvencia udalosti má nasledujúce vlastnosti.

1. Frekvencia náhodnej udalosti je číslo od nuly

a jednotka:

0< Z (A)< 1

2. Frekvencia platnej udalosti Ω sa rovná jednej:

W (Ω)= 1

3. Frekvencia nemožnej udalosti Ø sa rovná:

W (Ø) = 0.

4. Frekvencia súčtu dvoch nezlučiteľných udalostí A a B sa rovná súčtu

frekvencie týchto udalostí:

W (A+ B) = Z (A)+ Z (B)

Pozorovania umožnili zistiť, že relatívna frekvencia má vlastnosti štatistickej stability: v rôznych sériách polynomiálnych testov (v každom z nich sa táto udalosť môže alebo nemusí objaviť) berie hodnoty, ktoré sú dostatočne blízke určitej konštante . táto konštanta, ktorá je objektívnou číselnou charakteristikou javu, sa považuje za pravdepodobnosť tejto udalosti.

Definícia 18.2.3. ( Štatistická) pravdepodobnosť udalosti je číslo, okolo ktorého sú hodnoty frekvencie danej udalosti zoskupené do rôznych sérií veľkého počtu testov.

Prísnejšie, štatistická pravdepodobnosť P ( w i) definovaná ako hranica relatívnej frekvencie výskytu výsledku w i v procese neobmedzeného nárastu počtu náhodných experimentov n, t.j.

kde m n(w i) Je počet náhodných experimentov (z celkového počtu n uskutočnili náhodné experimenty), pri ktorých sa objavil elementárny výsledok w i.

V prípade štatistickej definície má pravdepodobnosť rovnaké vlastnosti ako pravdepodobnosť určená podľa klasickej schémy:

vlastnosti: 1) pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej;

2) pravdepodobnosť nemožné udalosti je nulová; 3) pravdepodobnosť

náhodná udalosť je uzavretá medzi nulou a jednou; 4) pravdepodobnosť

súčet dvoch nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí.

Príklad... Z 500 náhodne odobratých častí sa zistilo, že 10 je chybných. Aká je frekvencia chybných dielov?

Š = 10/500 = 1/50 = 0,2

Geometrická pravdepodobnosť

Klasická definícia pravdepodobnosti predpokladá, že počet elementárnych výsledkov je konečný. V praxi existujú experimenty, pri ktorých je súbor takýchto výsledkov nekonečný.

Na prekonanie nevýhody klasickej definície pravdepodobnosti, ktorá spočíva v tom, že je nepoužiteľná na pokusy s nekonečným počtom výsledkov, sa zavádzajú geometrické pravdepodobnosti - pravdepodobnosti zasiahnutia bodu v oblasti.

Nechajte experiment spočívať v náhodnom výbere bodu z určitej oblasti. Predpokladáme, že výber ktoréhokoľvek bodu je rovnako možný. Doménu danú v priestore budeme označovať W. V experimente, ktorý zahrnuje náhodný výber iba jedného bodu z W, je množina W priestorom elementárnych udalostí. V tomto prípade možno za náhodné udalosti považovať rôzne podmnožiny W. Hovoríme, že k náhodnej udalosti A došlo, ak náhodne vybraný bod x patrí do podmnožiny A, t.

Definícia 18.2.4.

Nech W je nejaký segment, L jeho dĺžka. A - segment dĺžky ja, patriaci k W . Udalosť A spočíva v zasiahnutí vrhnutého bodu veľký segment v A. Potom

Podobne, ak množina W elementárnych výsledkov náhodného experimentu je údajom v rovine oblasti S a oblasti A, jej podmnožina, kde môže spadnúť bod náhodne hodený na W, má plochu s zodpovedajúcu pravdepodobnosti udalosti A - dostať sa potom do oblasti A.

A nakoniec, keď hovoríme o volumetrických číslach, W objemu V a oblasť A objemu V v ňom obsiahnutých

Poznámka 18.2.3.... Presne povedané, prístup, ktorý sa tu zvažuje, vyžaduje zavedenie ďalších všeobecné charakteristiky(funkcie) množiny - jej miery ( mes(A)), ktorých konkrétnymi prípadmi sú dĺžka, plocha a objem, a potom pravdepodobnosťou udalosti A bude pomer miery sady A k miere sady W

Príklad 1. Kruh je vpísaný do štvorca. Bodka sa náhodne hodí do štvorca. Aká je pravdepodobnosť, že zasiahne kruh? Podľa vyššie uvedeného vzorca bude zodpovedajúcou pravdepodobnosťou pomer plochy kruhu a plochy štvorca.

Príklad 2. Dvaja ľudia obedujú v kaviarni v čase obeda, ktorý sa začína v rovnakom čase a trvá 1 hodinu, od 12 do 13 hodín. Každý z nich prichádza v náhodnom čase a obeduje 10 minút. Aká je pravdepodobnosť ich stretnutia?

Nechaj sa X- čas príchodu do kaviarne prvého a r- čas príchodu druhej. Stretnúť sa môžu iba vtedy, keď sú obaja v kaviarni.

Ak druhý prišiel najneskôr ako prvý ( X ³ r), potom sa schôdza uskutoční za podmienky 0 £ x - r 1/6 GBP ..

V prvom prípade teda budeme s podmienkou spokojní r£ X+ 1/6 a v druhej

y ≥ x- 1/6. Oblasť vyhovujúca týmto dvom podmienkam je na obr. 2

Inými slovami, z hľadiska geometrickej pravdepodobnosti je pravdepodobnosťou stretnutia pomer plochy tieňovaného „pásu“ medzi priamymi čiarami r= X+ 1/6 a y = x- 1/6 vo vnútri štvorca na plochu samotného štvorca.

Hľadám pravdepodobnosť p sa rovná pomeru plochy zatienenej oblasti k ploche celého štvorca. Plocha štvorca sa rovná jednej a plochu zatienenej oblasti je možné určiť ako rozdiel medzi jednotkou a celkovou plochou dvoch trojuholníkov znázornených na obrázku 7. Preto nasleduje:

Základné pojmy. Vety o sčítaní a násobení.

Vzorce celkovej pravdepodobnosti, Bayes, Bernoulli. Laplaceove vety.

Otázky

1. Predmet teórie pravdepodobnosti.
2. Druhy udalostí.
3. Klasická definícia pravdepodobnosti.
4. Štatistické stanovenie pravdepodobnosti.
5. Geometrická definícia pravdepodobnosti.
6. Veta o sčítaní pravdepodobností nekonzistentných udalostí.
7. Veta o znásobení pravdepodobností nezávislých udalostí.
8. Podmienená pravdepodobnosť.
9. Násobenie závislých udalostí.
10. Doplnenie spoločných akcií.
11. Vzorec celkovej pravdepodobnosti.
12. Bayesov vzorec.

13. Binomické, polynomické distribučné právo.

1. Predmet teórie pravdepodobnosti. Základné pojmy.

Udalosť v teórii pravdepodobnosti sa nazýva akýkoľvek fakt, ktorý sa môže vyskytnúť v dôsledku nejakej skúsenosti (testu).

Napríklad: Strelec strieľa na cieľ. Výstrel je test, zásah do terča je udalosť. Udalosti sa zvyčajne označujú

Jedna náhodná udalosť je dôsledkom mnohých náhodných príčin, ktoré sa často nedajú zohľadniť. Ak však vezmeme do úvahy hromadné homogénne udalosti (pozorované mnohokrát počas vykonávania experimentu za rovnakých podmienok), potom sa ukáže, že sa riadia určitými zákonitosťami: ak mincu hodíte za rovnakých podmienok veľakrát, môžete s malou chybou predpovedajte, že počet výskytov erbu bude rovnaký ako polovičný počet hodov.

Predmetom teórie pravdepodobnosti je štúdium pravdepodobnostných zákonov hromadných homogénnych náhodných udalostí. Metódy teórie pravdepodobnosti sú široko používané v teóriách spoľahlivosti, streľby, automatického riadenia atď. Teória pravdepodobnosti slúži ako odôvodnenie pre matematickú a aplikovanú štatistiku, ktorá sa zase používa pri plánovaní a organizácii výroby, pri analýze technologických procesov atď.

Definície.

1. Ak v dôsledku skúsenosti dôjde k udalosti

a) vždy sa stane, potom - spoľahlivá udalosť,

b) potom nikdy nepríde - nemožná udalosť,

c) môže sa to stať, nemusí sa to stať, potom je to náhodná (možná) udalosť.

2. Udalosti sa nazývajú rovnako možné, ak existuje dôvod domnievať sa, že žiadna z týchto udalostí sa pravdepodobne neobjaví v dôsledku skúseností ako iné.

3. Udalosti a - spoločné (nekompatibilné), ak vzhľad jedného z nich nevylučuje (nevylučuje) vzhľad druhého.

4. Skupina udalostí je spoločná, ak sú aspoň dve udalosti z tejto skupiny spoločné, inak je to nezlučiteľné.

5. Skupina udalostí sa nazýva úplná, ak k jednej z nich nevyhnutne dôjde v dôsledku skúsenosti.

Príklad 1. Na terč sa vydajú tri výstrely: Let - udrieť (chýbať) prvou strelou - druhou strelou, - treťou strelou. Potom

a) - spoločná skupina rovnako možných udalostí.

b) - úplná skupina nekompatibilných udalostí. - opačná udalosť.

c) - úplná skupina udalostí.

Klasická a štatistická pravdepodobnosť

Klasická metóda určovania pravdepodobnosti sa používa pre celú skupinu rovnako možných nekonzistentných udalostí.

Každá udalosť tejto skupiny sa bude nazývať prípad alebo elementárny výsledok. V súvislosti s každou udalosťou sú prípady rozdelené na priaznivé a nepriaznivé.

Definícia 2. Pravdepodobnosť udalosti sa nazýva hodnota

kde je počet prípadov priaznivých pre výskyt udalosti, je celkový počet rovnako možných prípadov v tejto skúsenosti.

Príklad 2. Hodené sú dve kocky. Nechajte udalosť - súčet vyhodených bodov rovný. Nájsť .

a) Nesprávne rozhodnutie. Možné sú celkovo 2 prípady: a - úplná skupina nekompatibilných udalostí. Jeden prípad je priaznivý, t.j.

Toto je chyba, pretože nie sú rovnako možné.

b) Celkovo rovnako možné prípady. Priaznivé príležitosti: strata

Slabé stránky klasické definície sú:

1. - počet prípadov je konečný.

2. Výsledok experimentu je často nemožné predstaviť vo forme súboru elementárnych udalostí (prípadov).

3. Je ťažké poukázať na dôvody, pre ktoré sú prípady považované za rovnako možné.

Nechajte vykonať sériu testov.

Definícia 3. Relatívna frekvencia udalosti sa nazýva kvantita

kde je počet pokusov, v ktorých nastali udalosti, je celkový počet pokusov.

Dlhodobé pozorovania ukázali, že pri rôznych experimentoch sú dostatočne veľké

Mení sa len málo a kolíše okolo určitého konštantného čísla, ktoré nazveme štatistická pravdepodobnosť.

Pravdepodobnosť má nasledujúce vlastnosti:

Algebra udalostí

7.3.1 Definície.

8. Súčet alebo kombinácia viacerých udalostí je udalosť, ktorá sa skladá najmenej z jednej z nich.

9. Produkcia niekoľkých podujatí je udalosťou, ktorá spočíva v spoločnom vystúpení všetkých týchto udalostí.

Z príkladu 1. - najmenej jeden zásah na tri výstrely, - zásah na prvý a druhý výstrel a miss na tretí výstrel.

Presne jeden zásah.

Minimálne dva zásahy.

10. Dve udalosti sa nazývajú nezávislé (závislé), ak pravdepodobnosť jednej z nich nezávisí (závisí) od výskytu alebo neexistencie druhej.

11. Niekoľko udalostí sa v súhrne nazýva nezávislé, ak každá z nich a ľubovoľná lineárna kombinácia ďalších udalostí sú nezávislé udalosti.

12. Podmienená pravdepodobnosť je pravdepodobnosť udalosti vypočítaná z predpokladu, že k udalosti došlo.

7.3.2 Veta o násobení pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť spoločného výskytu (súčinu) viacerých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich podmienenými pravdepodobnosťami zostávajúcich udalostí, vypočítaných za predpokladu, že došlo k všetkým predchádzajúcim udalostiam

Dodatok 1. Ak - sú celkovo nezávislé, potom

Skutočne: od.

Príklad 3. Urna obsahuje 5 bielych, 4 čierne a 3 modré guľôčky. Každý test spočíva v tom, že sa z urny náhodne vyberie jedna guľa. Aká je pravdepodobnosť, že sa v prvom teste objaví biela guľa, v druhej - čierna guľa, v tretej - modrá guľa, ak

a) zakaždým, keď sa lopta vráti do urny.

- v urne po prvom teste guľôčok sú 4 z nich biele. ... Odtiaľ

b) lopta sa nevráti do urny. Potom sú nezávislé v agregácii a

7.3.3 Veta o sčítaní pravdepodobností.

Pravdepodobnosť výskytu aspoň jednej z udalostí je

Dodatok 2. Ak sú udalosti párovo nekonzistentné, potom

V tomto prípade skutočne

Príklad 4. Na jeden cieľ padnú tri výstrely. Pravdepodobnosť zásahu do prvej strely -, s druhou -, s treťou -. Nájdite pravdepodobnosť aspoň jedného zásahu.

Riešenie. Nechajte - udrieť prvým výstrelom, - druhým, - tretím, - aspoň jeden zasiahnuť tromi ranami. Potom, kde sú spoločné nezávislé v agregácii. Potom

Dodatok 3. Ak párovo nekompatibilné udalosti tvoria úplnú skupinu, potom

Dodatok 4. Pre opačné udalosti

Niekedy je pri riešení problémov jednoduchšie zistiť pravdepodobnosť opačnej udalosti. Napríklad v príklade 4 je miss s tromi ranami. Pretože sú celkovo nezávislé, a potom

Pravdepodobnosť je miera (miera, kvantitatívne hodnotenie) možnosti výskytu určitej udalosti. Ak dôvody na to, že sa nejaká možná udalosť stane, v skutočnosti prevážia opačné dôvody, potom sa táto udalosť nazýva pravdepodobnou, inak nepravdepodobnou alebo nepravdepodobnou. Prevaha pozitívnych dôvodov nad negatívnymi a naopak môže byť v rôznej miere, v dôsledku čoho je pravdepodobnosť (a nepravdepodobnosť) viac alebo menej. Pravdepodobnosť sa preto často hodnotí na kvalitatívnej úrovni, najmä v prípadoch, keď je viac alebo menej presné kvantitatívne hodnotenie nemožné alebo mimoriadne náročné. Možné sú rôzne stupne „úrovní“ pravdepodobnosti.

Klasická definícia pravdepodobnosti je založená na koncepcii rovnakej pravdepodobnosti výsledkov. Pravdepodobnosť je pomer počtu výsledkov priaznivých pre danú udalosť k celkovému počtu rovnako možných výsledkov. Napríklad pravdepodobnosť získania „hláv“ alebo „chvostov“ náhodným hodením mince je 1/2, ak sa predpokladá, že existujú iba tieto dve možnosti a sú rovnako možné. Túto klasickú „definíciu“ pravdepodobnosti je možné zovšeobecniť na prípad nekonečného počtu možných hodnôt - napríklad ak v určitom bode (počet bodov je nekonečný) v určitej obmedzenej oblasti môže dôjsť k istej udalosti s rovnakou pravdepodobnosťou (počet bodov je nekonečný) priestoru (roviny), potom sa pravdepodobnosť, že sa vyskytne v niektorej časti tejto prípustnej oblasti, rovná pomeru objemu (plochy) tejto časti k objemu (ploche) plochy všetkých možných bodov.

Pravdepodobnostný popis určitých javov sa rozšíril v roku moderná veda, najmä v ekonometrii štatistická fyzika makroskopických (termodynamických) systémov, kde ani v prípade klasického deterministického popisu pohybu častíc nie je deterministický popis celej sústavy častíc prakticky možný a účelný. IN kvantová fyzika samotné opísané procesy majú pravdepodobnostný charakter.

Vznik pojmu a teórie pravdepodobnosti

Prvé práce o teórii pravdepodobnosti sa datujú do 17. storočia. Ako napríklad korešpondencia francúzskych vedcov B. Pascala, P. Fermata (1654) a holandského vedca H. Huygensa (1657), ktorí poskytli najskôr známy vedecký výklad pravdepodobnosti]. Spoločnosť Huygens už v podstate fungovala na koncepte matematického očakávania. Švajčiarsky matematik J. Bernoulli ustanovil zákon veľkého počtu pre schému nezávislých pokusov s dvoma výsledkami (posmrtne, 1713). V XVIII storočí. - začiatok devätnásteho storočia. teóriu pravdepodobnosti rozvíjajú práce A. Moivre (Anglicko) (1718), P. Laplace (Francúzsko), C. Gauss (Nemecko) a S. Poisson (Francúzsko). Teória pravdepodobnosti sa začala uplatňovať v teórii chýb pozorovania, ktorá sa vyvinula v súvislosti s potrebami geodézie a astronómie, a v teórii streľby. Je potrebné poznamenať, že zákon rozloženia chýb v zásade navrhol Laplace, najskôr ako exponenciálna závislosť od chyby bez zohľadnenia znamienka (v roku 1774), potom ako exponenciálna funkcia štvorcovej chyby (v roku 1778). Posledný zákon sa bežne označuje ako Gaussovo rozdelenie alebo normálne rozdelenie. Bernoulli (1778) predstavil princíp súčinu pravdepodobností simultánnych udalostí. Adrienne Marie Legendre (1805) vyvinula metódu najmenších štvorcov.

V druhej polovici XIX storočia. vývoj teórie pravdepodobnosti súvisí s prácami ruských matematikov P. L. Čebyševom, A. M. Lyapunovom a A. A. Markovom (starším), ako aj s prácami o matematickej štatistike A. Queteleta (Belgicko) a F. Galtona (Anglicko) a so štatistickou fyzikou L. Boltzmann (v Rakúsku), ktorý vytvoril základ pre výrazné rozšírenie problémov teórie pravdepodobnosti. Najrozšírenejšiu logickú (axiomatickú) schému na zostavenie základov teórie pravdepodobnosti vytvoril v roku 1933 sovietsky matematik A.N. Kolmogorov.

Klasická definícia pravdepodobnosti:

Podľa klasickej definície sa pravdepodobnosť náhodnej udalosti P (A) rovná pomeru počtu výsledkov priaznivých pre A k celkovému počtu výsledkov, ktoré tvoria priestor elementárnych udalostí, t.

pravdepodobnosť statická klasická teória

Výpočet pravdepodobností sa v tomto prípade zníži na počítanie prvkov konkrétnej množiny a často sa ukáže ako čisto kombinatorický problém, niekedy veľmi ťažký.

Klasická definícia je opodstatnená, keď je možné predpovedať pravdepodobnosť na základe symetrie podmienok, za ktorých experiment prebieha, a teda aj symetrie výsledkov testu, ktorá vedie k konceptu výsledkov „rovnakých príležitostí“.

Napríklad. Ak je hodená geometricky správna kocka vyrobená z homogénneho materiálu tak, aby dokázala pred pádom urobiť dostatočne veľký počet otáčok, potom sa strata ktorejkoľvek z jej tvárí považuje za rovnako možný výsledok.

Z rovnakých dôvodov symetrie sú výsledky experimentu, ako je vyberanie starostlivo zmiešaných a na dotyk nerozoznateľných bielych a čiernych guľôčok, rovnako možné, aby sa po zaregistrovaní farby každá guľka vrátila do nádoby a po dôkladnom premiešaní ďalšej guľôčky je odstránený.

Najčastejšie sa táto symetria pozoruje pri umelo organizovaných experimentoch, ako je hazard.

Klasická definícia pravdepodobnosti je teda spojená s konceptom rovnakých príležitostí a používa sa pri experimentoch, ktoré sa redukujú na prípadový diagram. Z tohto dôvodu je nevyhnutné, aby udalosti e1, e2, en boli nekonzistentné, to znamená, že sa nemôžu objaviť spolu dve; také, aby tvorili úplnú skupinu, to znamená, že vyčerpávajú všetky možné výsledky (nemôže sa stať, že sa žiaden z nich nestal v dôsledku experimentu); rovnako možné za predpokladu, že experiment poskytuje rovnakú možnosť výskytu každého z nich.

Nie každý experiment zodpovedá schéme prípadu. Ak dôjde k porušeniu podmienky symetrie, potom neexistuje žiadny prípadový diagram.

Vzorec (1.1), „klasický vzorec“, sa používa na výpočet pravdepodobnosti udalostí od samého začiatku vývoja vedy o náhodných javoch.

Tie experimenty, ktoré nemali symetriu, boli „prispôsobené“ prípadovej schéme. V súčasnosti spolu s „klasickým vzorcom“ existujú metódy výpočtu pravdepodobností, keď sa experiment nezredukuje na prípadovú schému. Na tento účel sa používa štatistická definícia pravdepodobnosti.

Pojem štatistická pravdepodobnosť sa predstavíme neskôr, ale teraz sa vrátime ku klasickému vzorcu.

Zvážte nasledujúce príklady.

Príklad 1. Experiment spočíva v hodení dvoch mincí. Nájdite pravdepodobnosť, že sa objaví aspoň jeden erb.

Riešenie. Náhodná udalosť A - vzhľad najmenej jedného erbu.

Priestor elementárnych udalostí v tomto experimente je určený nasledujúcimi výsledkami: E = (ГГ, ГР, РГ, РР), ktoré sú označené ako e1, e2, e3, e4. Teda

E = e1, e2, e3, e4; n = 4.

Je potrebné určiť počet výsledkov z E, ktoré uprednostňujú vzhľad A. Ide o e1, e2, e3; ich počet je m = 3.

Použitím klasického vzorca na určenie pravdepodobnosti udalosti A máme

Príklad 2. V urne sú 3 biele a 4 čierne guľky. Jedna lopta je vytiahnutá z urny. Nájdite pravdepodobnosť, že táto guľa je biela.

Riešenie. Náhodná udalosť A - vzhľad bielej gule. Priestor elementárnych udalostí E zahŕňa výsledky e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, kde ei je vzhľad jednej gule (bielej alebo čiernej);

E = (e1, e2, e3, e4, 5, e6, e7), n = 7.

K náhodnej udalosti A vo vesmíre E sú 3 výsledky priaznivé; m = 3. V dôsledku toho

Príklad 3. V urne sú 3 biele a 4 čierne guľky. Z urny sú vytiahnuté dve guľky. Nájdite pravdepodobnosť, že obe budú biele.

Riešenie. Náhodná udalosť A - obe gule budú biele.

Príklad 3 sa líši od príkladu 2 tým, že v príklade 3 nie sú výsledkami, ktoré tvoria priestor elementárnych výstupov E, jednotlivé guľôčky, ale kombinácie 7 guľôčok z 2. To znamená, že na určenie rozmeru E je potrebné určiť počet kombinácií 7 až 2. K tomu je potrebné použiť vzorce kombinatoriky, ktoré sú uvedené v časti „Kombinatorická metóda“. V takom prípade sa na určenie počtu kombinácií od 7 do 2 použije vzorec na určenie počtu kombinácií

pretože výber je vykonaný bez vrátenia a poradie, v akom sa guľky objavujú, je nedôležité. Teda

Počet kombinácií priaznivých pre výskyt udalosti A sa stanoví ako

V dôsledku toho.

Štatistické stanovenie pravdepodobnosti

Pri pohľade na výsledky jednotlivých testov je veľmi ťažké nájsť nejaké vzorce. V slede rovnakých testov sa však dá zistiť, že niektoré priemerné charakteristiky sú stabilné. Frekvencia udalosti v danej sérii n pokusov je pomer m / n, počet m tých pokusov, v ktorých sa vyskytla udalosť A, k celkovému počtu pokusov n. Takmer v každej dostatočne dlhej sérii testov je frekvencia udalosti A nastavená okolo určitej hodnoty, ktorá sa berie ako pravdepodobnosť udalosti A. Stabilitu hodnoty frekvencie potvrdzujú špeciálne experimenty. Štatistické vzorce tohto druhu boli prvýkrát objavené na príklade hazardných hier, to znamená na príklade tých testov, ktoré sa vyznačujú rovnakou možnosťou výsledkov. To otvorilo cestu štatistickému prístupu k numerickému určeniu pravdepodobnosti pri porušení podmienky symetrie experimentu. Frekvencia udalosti A sa nazýva štatistická pravdepodobnosť, ktorá sa označuje

kde mA je počet experimentov, v ktorých sa objavila udalosť A;

n je celkový počet experimentov.

Vzorce (1.1) a (1.2) na určenie pravdepodobnosti majú vonkajšiu podobnosť, ale vo svojej podstate sa líšia. Vzorec (1.1) slúži na teoretický výpočet pravdepodobnosti udalosti za daných experimentálnych podmienok. Vzorec (1.2) slúži na experimentálne určenie frekvencie udalosti. Ak chcete použiť vzorec (1.2), potrebujete skúsený štatistický materiál.

Axiomatický prístup k určovaniu pravdepodobnosti

Tretím prístupom k definícii pravdepodobnosti je axiomatický prístup, v ktorom sú pravdepodobnosti špecifikované uvedením ich vlastností.

Prijatá axiomatická definícia pravdepodobnosti bola formulovaná v roku 1933 A. N. Kolmogorovom. V tomto prípade je pravdepodobnosť špecifikovaná ako numerická funkcia P (A) na množine všetkých udalostí určených týmto experimentom, ktorá spĺňa nasledujúce axiómy:

P (A) = 1, ak A je platná udalosť.

Ak sú A a B nekonzistentné.

Základné vlastnosti pravdepodobnosti

Pre každú náhodnú udalosť A sa stanoví jej pravdepodobnosť a.

Pre spoľahlivý jav U platí rovnosť P (U) = 1. Vlastnosti 1 a 2 vyplývajú z definície pravdepodobnosti.

Ak sú udalosti A a B nekonzistentné, potom sa pravdepodobnosť súčtu udalostí rovná súčtu ich pravdepodobností. Táto vlastnosť sa nazýva vzorec na sčítanie pravdepodobností v konkrétnom prípade (pre nekonzistentné udalosti).

Pre ľubovoľné udalosti A a B

Táto vlastnosť sa vo všeobecnom prípade nazýva vzorec na sčítanie pravdepodobností.

Pre opačné udalosti A existuje rovnosť.

Ďalej sa zavádza nemožná udalosť, ktorá sa označuje, čo nie je uľahčené žiadnym výsledkom z priestoru elementárnych udalostí. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je 0, P () = 0.

Príklad. Pravdepodobnosť, že skupina náhodne vybraná ako výsledok prieskumu, bude mať farebný, čiernobiely alebo farebný a čiernobiely televízor, je 0,86; 0,35; 0,29. Aká je pravdepodobnosť, že rodina má farebný alebo čiernobiely televízor?

Riešenie. Nech je udalosť A taká, že rodina má farebný televízor.

Udalosť B je, keď má rodina čiernobiely televízor.

Prípad C spočíva v tom, že rodina má farebný alebo čiernobiely televízor. Udalosť C je definovaná prostredníctvom A a B vo forme, A a B sú preto kompatibilné

Kombinatorická metóda

Pri mnohých pravdepodobnostných problémoch je potrebné vymenovať všetky možné výsledky experimentu alebo elementárnych udalostí, ktoré sú v danej situácii možné, alebo vypočítať ich počet. Môžete to urobiť pomocou nasledujúcich pravidiel.

Pravidlo 1. Ak sa operácia skladá z dvoch krokov, v ktorých je možné prvý vykonať n1 spôsobmi a druhý n2, potom je možné celú operáciu vykonať n1 · n2 spôsobmi.

Slovo „operácia“ znamená akýkoľvek postup, postup alebo spôsob voľby.

Na potvrdenie tohto pravidla zvážte operáciu, ktorá sa skladá z krokov xi a yi, krok x je možné vykonať n1 spôsobmi, t.j. , krok y je možné vykonať n2 spôsobmi, t.j. , potom nasledujúci pár n1n2 môže predstavovať množstvo všetkých možných spôsobov:

Príklad. Koľko možných výsledkov je v experimente, ktorý spočíva v hodení dvoma kockami.

Riešenie. V tomto prípade x a y znamenajú stratu akejkoľvek tváre na prvej kosti a na druhej kosti. Vypadnutie z tváre na prvej kosti je možné šiestimi spôsobmi xi ,; vypadnutie z lícnej kosti je možné aj šiestimi spôsobmi xj ,.

Existuje celkom 6,6 = 36 možných spôsobov.

Pravidlo 2. Ak sa operácia skladá z k krokov, v ktorých je možné vykonať prvý krok n1 spôsobmi, druhý n2 spôsobmi, tretí spôsobmi atď., Kth - spôsobmi, potom je možné vykonať celú operáciu v krokoch n1 · n2 ... nk ...

Príklad. Inšpektor kvality chce vybrať kúsok z každej zo štyroch nádob obsahujúcich 4, 3, 5 a 4 kusy. Koľkými spôsobmi to dokáže?

Riešenie. Celkový počet spôsobov je definovaný ako 4,3,5,4 = 240.

Príklad. Koľko možných spôsobov môže študent odpovedať na test s 20 otázkami, ak dokáže na každú otázku odpovedať „áno“ alebo „nie“?

Riešenie. Všetky možné spôsoby 2 2 ... 2 = 220 = 1048576.

V praxi často nastáva situácia, keď je potrebné objednať objekty.

Napríklad: koľko rôzne cesty Môže za stôl sedieť 6 ľudí? Ich rôzne umiestnenia sa nazývajú permutácie.

Príklad. Koľko permutácií je možných pre písmená a, b, c?

Riešenie. Možné umiestnenia abc, acb, bac, bca, cab, cba. Počet možných umiestnení je šesť.

Zhrnutie uvedený príklad, pre n objektov existuje iba n · (n-1) (n-2) ... 3 · 2 · 1 rôznymi spôsobmi alebo n!, tj. počet permutácií n! = 1 · 2,3 · ... · (N- 2) (n-1) n, s 0! = 1.

Pravidlo 3. Počet permutácií n rôznych objektov sa rovná n!.

Príklad. Počet permutácií štyroch písmen je 4! = 24, ale koľko permutácií získate, ak si vyberiete 2 písmená zo štyroch?

Riešenie. Musíme vyplniť dve polohy so štyrmi písmenami. Pre prvú pozíciu - 4 spôsoby, pre druhú pozíciu - 3 spôsoby. Preto pomocou pravidla 1 máme 4 3 = 12.

Zovšeobecnenie tohto príkladu na n rôznych objektov, z ktorých sú vybrané objekty r bez návratu na r> 0, celkovo existuje n (n-1) ... (n-r + 1) spôsobov. Toto číslo označíme a výsledné kombinácie sa nazývajú umiestnenia.

Pravidlo 4. Počet umiestnení n objektov r sa určí ako

(pre r = 0,1, ..., n).

Permutácie, pri ktorých sú objekty usporiadané do kruhu, sa nazývajú kruhové permutácie. Dve kruhové permutácie sa nelíšia (ale iba jedna), ak majú zodpovedajúce objekty na dvoch miestach rovnaké objekty vľavo aj vpravo.

Napríklad: ak štyri osoby hrajú bridž, nedostaneme rôzne polohy, ak všetci hráči posunú jednu stoličku doprava.

Príklad. Koľko kruhových permutácií je možných zo štyroch ľudí hrajúcich most? Riešenie. Ak svojvoľne zaujmete pozíciu jedného zo štyroch hráčov ako pevnú, môžete zariadiť ďalších troch hráčov 3! inými slovami, máme šesť rôznych kruhových permutácií.

Zovšeobecnením tohto príkladu dostaneme nasledujúce pravidlo.

Pravidlo 5. Počet permutácií n rôznych objektov umiestnených v kruhu je (n-1)!.

Doteraz sa predpokladalo, že n objektov, z ktorých vyberáme objekty r a tvarové permutácie, sa líši. Vyššie uvedené vzorce teda nemôžu byť použité na určenie počtu spôsobov usporiadania písmen v slove „kniha“ alebo počtu spôsobov usporiadania troch výtlačkov jedného románu a jedného výtlačku každého z ďalších štyroch románov na poličke.

Príklad. Koľko rôznych permutácií písmen je v slove „kniha“?

Riešenie. Ak je dôležité rozlišovať medzi písmenami O, potom ich označíme O1, O2 a potom budeme mať 4! = 24 rôznych permutácií písmen v O1, O2 a K. Ak však indexy vynecháme, potom O1 O2 a O2, O1 sa už nelíšia, potom je celkový počet permutácií rovný.

Príklad. Koľko rôznych spôsobov sú na poličke tri výtlačky jednej novely a jedna kópia ďalších štyroch noviel?

Riešenie. Ak označíme tri exempláre prvej novely ako a1, a2, a3 a ďalšie štyri novely - b, c, d a e, potom v tomto prípade máme 7! rôznymi spôsobmi a 3! spôsob usporiadania a1, a2, a3.

Ak vynecháte indexy, potom rôzne spôsoby usporiadania kópií.

Ak zhrnieme tieto úvahy, získame nasledujúce pravidlo.

Pravidlo 6. Počet permutácií n objektov, v ktorých n1 je rovnakého druhu, n2 je druhého druhu, ..., nk je kth druhu a n1 + n2 + ... + nk = n,

Existuje mnoho problémov, pri ktorých je potrebné určiť počet spôsobov výberu r objektov z n rôznych objektov bez ohľadu na poradie, v ktorom sú vybrané. Takéto kombinácie sa nazývajú kombinácie.

Príklad. Koľko spôsobov môžu byť traja kandidáti z 20 ľudí na verejný prieskum?

Riešenie. Ak je pre nás pri výbere kandidátov dôležité poradie, potom počet kombinácií, ale každý rad z troch kandidátov je možné zvoliť 3! Spôsoby; ak nie je dôležité poradie výberu, potom všetky metódy výberu.

Kombinácie bez vrátenia r objektov z n rôznych objektov, ktoré sa líšia v samotných objektoch, ale nie v ich poradí, sa nazývajú kombinácie.

Pravidlo 7. Počet kombinácií r objektov z n rôznych objektov je určený počtom, počet kombinácií je možné označiť ako.

Príklad. Koľkými rôznymi spôsobmi môžete získať 2 emblémy a 4 chvosty so šiestimi hodmi mincami?

Riešenie. Pretože poradie prijímania erbov a chvostov nie je dôležité, potom pri použití pravidla 7 dostaneme.

Príklad. Koľko rôznych výborov zložených z dvoch chemikov a jedného fyzika možno vytvoriť na fakulte malej vysokej školy so 4 chemikmi a 3 fyzikmi?

Riešenie. Počet kombinácií štyroch chemikov z čísla 2 je možné získať (šiestimi) spôsobmi.

Jeden z troch fyzikov môže byť vybraný (tromi) spôsobmi.

Počet výborov sa podľa pravidla 1 určuje ako 6 3 = 18.

Príklad. Koľko spôsobov môžete rozdeliť riadok so štyrmi objektmi na tri riadky, ktoré obsahujú dva, jeden a jeden objekt?

Riešenie. Označme tieto štyri objekty písmenami a, b, c, d. Počet rozdelení na dva, jeden a jeden, bude 12:

Rozdelenie z dvoch objektov je možné získať spôsobmi, čo dáva 6 možností. Počet spôsobov, ako vytvoriť druhý oddiel. A pre tretí oddiel je počet spôsobov 1.

Podľa pravidla 2 je celkový počet metód rozdelenia na oddiely (6 2 1) = 12.

Zovšeobecnením tohto príkladu dostaneme nasledujúce pravidlo.

Pravidlo 8. Počet spôsobov, ako je možné rozdeliť sériu n rôznych objektov na k častí s n1 objektmi v 1. časti, n2 v 2. časti, ... a nk v kth, je definovaný ako

Príklad. Koľko spôsobov môže byť ubytovaných 7 podnikateľov v jednej trojizbovej a dvoch dvojizbových hotelových izbách?

Riešenie. Podľa pravidla 8 sa to dá urobiť (dvesto desať) spôsobmi.

Dôkaz pravidla 8

Pretože n1 objektov je možné zvoliť niekoľkými spôsobmi, je možné zvoliť n2

Podľa pravidla 2 sa celkový počet spôsobov určí ako

Zadanie samoštúdia

1. Desať kníh na jednej polici je usporiadaných náhodne. Určite pravdepodobnosť, že vedľa seba budú tri konkrétne knihy.

Odpoveď: 0,066.

2. Z balíka kariet (52 kariet) sa náhodne vyberú tri karty. Nájdite pravdepodobnosť, že to budú tri, sedem a eso.

Odpoveď: 0,0029.

3. Existuje päť lístkov za 1 rubeľ;

tri lístky v hodnote 3 ruble každý;

dva lístky v cene 5 rubľov.

Tri lístky sú vybrané náhodne. Určite pravdepodobnosť, že:

a) minimálne dva z týchto lístkov majú rovnakú hodnotu.

Odpoveď: 0,75;

b) všetky tri lístky stáli 7 rubľov.

Odpoveď: 0,29.

4. Peňaženka obsahuje tri mince po 20 kopejkách a sedem mincí po 3 kopejkách. Jedna minca sa vyberie náhodne a potom sa žrebuje druhá mince s 20 kopejkami.

Určte pravdepodobnosť, že prvá minca má nominálnu hodnotu 20 kopejok.

Odpoveď: 0,22.

• 5. Z desiatich žrebov sú vyhrané dva. Určite pravdepodobnosť, že medzi piatimi náhodne vybranými tiketmi:
  • a) jedna výhra;
  • b) dvaja výhercovia;
  • c) najmenej jeden víťazný.

Odpoveď: 0,55, 0,22, 0,78.

6. V košíku je n loptičiek očíslovaných od 1 do n, loptičky sú losované náhodne po jednej bez návratu. Aká je pravdepodobnosť, že pri prvých extrakciách k sa počet guličiek zhoduje s počtom extrakcií.

Odpoveď: (n - k)! / N!

Referencie

• 1. http://kurs.ido.tpu.ru/courses/theory_ver/tema2/tema2.html
• 2. http://free.megacampus.ru/xbookM0018/index.html?go=part-003*page.htm
• 3. http://www.testent.ru/publ/studenty/vysshaja_matematika/klassicheskoe_opredelenie_verojatnosti/35-1-0-1121
• 4. http://ru.wikipedia.org/
• 5. http://www.kolasc.net.ru/cdo/books/tv/page15.html

Klasická definícia pravdepodobnosti.

Nech sa ako výsledok testu objavia elementárne výsledky (udalosti): ω 1, ω 2, ω 3, …, ω m, ω m +1, …, ω n ktoré tvoria úplnú skupinu párovo nezlučiteľných rovnako možných udalostí.

Definícia:Základné výsledky, pri ktorých dôjde k udalosti, ktorá nás zaujíma, sa budú považovať za priaznivé pre túto udalosť.

Nechajte udalosť, ktorá nás zaujíma A ak sa vyskytne jeden zo základných výsledkov: ω 1, ω 2, …, ω m.

Definícia:Pravdepodobnosť udalosti A je pomer počtu výsledkov priaznivých pre túto udalosť k celkovému počtu všetkých rovnako možných nekonzistentných elementárnych výsledkov, ktoré tvoria úplnú skupinu:

kde m je počet elementárnych výsledkov priaznivých pre udalosť A;

n je počet všetkých možných výsledkov základného testu.

Príklad: V urne je šesť rovnakých guľôčok: dve z nich sú červené, tri sú modré a jedna biela. Náhodne vyberieme loptu.

Nájdite pravdepodobnosť, že nie je biela.

Riešenie: Existuje šesť možných základných výsledkov:

ω 1- objavila sa biela guľa,

ω 2, ω 3- objavila sa červená guľa,

ω 4, ω 5, ω 6- objavila sa modrá guľa.

Vypočítame pravdepodobnosť extrakcie nebielej gule:

Pretože m = 5, n = 6.

Z definície pravdepodobnosti vyplývajú tieto vlastnosti:

Majetok 1: Pravdepodobnosť určitej udalosti sa rovná jednej.

Dôkaz: Udalosť je spoľahlivá, preto každý elementárny výsledok testu uprednostňuje túto udalosť:

Majetok 2:Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.

Dôkaz: Táto udalosť je nemožná, preto žiadny elementárny výsledok nie je priaznivou udalosťou:

Majetok 3:Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je kladné číslo medzi nulou a jednou.

Dôkaz: Iba zlomok z celkového počtu základných výsledkov skúšky uprednostňuje náhodnú udalosť. V dôsledku toho 0 < m < n , potom:

Záver:Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti spĺňa nerovnosť:

Upozorňujeme, že klasická definícia pravdepodobnosti má svoje nevýhody. Napríklad predpokladá, že počet elementárnych výsledkov je konečný. V praxi často existujú pokusy s nekonečným počtom možných výsledkov. Z toho vyplýva obmedzenosť klasickej definície. Ďalšia nevýhoda klasickej definície pravdepodobnosti: výsledok testu je často nemožné predstaviť ako súbor elementárnych udalostí. Je ešte ťažšie poukázať na dôvody, prečo sú základné udalosti považované za rovnako možné. Vyžaduje sa zavedenie ďalších definícií pravdepodobnosti.

Pred definovaním štatistickej pravdepodobnosti definujme relatívnu frekvenciu.

Definícia:Relatívna frekvencia udalosti je pomer počtu testov m, v ktorých k udalosti došlo, k celkovému počtu skutočne vykonaných testov n:

Upozorňujeme, že pravdepodobnosť sa počíta pred experimentom a relatívna frekvencia sa počíta po experimente.

Príklad: Odbor kontroly kvality (odbor technickej kontroly) zistil 3 neštandardné diely v dávke 80 náhodne vybraných dielov.

V tomto prípade sa relatívna frekvencia výskytu neštandardných častí rovná:

Vlastnosť relatívnej stability frekvencie:V rôznych experimentoch sa relatívna frekvencia mení len málo (čím menej, tým viac testov sa vykonáva) a kolíše okolo určitého konštantného počtu.

Ukázalo sa, že toto konštantné číslo je pravdepodobnosť výskytu udalosti:

W (A) ≈ P (A).

Príklad: Podľa švédskych štatistík je relatívna frekvencia narodenia dievčat za rok 1935 po mesiacoch (počnúc januárom) charakterizovaná nasledujúcimi číslami:

0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Potom W (A) ≈ 0,481≈ P (A)- približná hodnota pravdepodobnosti narodenia dievčaťa.

Definícia:Pravdepodobnosť udalosti A je počet, voči ktorému je relatívna frekvencia W (A) stabilizovaná (stanovená) s neobmedzeným nárastom počtu experimentov.

Je zrejmé, že všetky vlastnosti pravdepodobnosti, ktoré vyplývajú z klasickej definície, sú zachované v štatistickej definícii pravdepodobnosti.