Dve spoľahlivé náhodné a nemožné udalosti. Téma lekcie: "Spoľahlivé, nemožné a náhodné udalosti." Pár informácií z kombinatoriky

Účel lekcie:

Zaviesť koncept určitých, nemožných a náhodných udalostí.
Formovať vedomosti a zručnosti na určenie typu udalostí.
Rozvíjať: výpočtovú zručnosť; pozornosť; schopnosť analyzovať, zdôvodňovať, vyvodzovať závery; zručnosti skupinovej práce.

Počas vyučovania

1) Organizačný moment.

Interaktívne cvičenie: deti musia riešiť príklady a dešifrovať slová, podľa výsledkov sú rozdelené do skupín (spoľahlivé, nemožné a náhodné) a určiť tému hodiny.

1 karta.


0,5	1,6	12,6	5,2	7,5	8	5,2	2,08	0,5	9,54	1,6

2 karta


0,5	2,1	14,5	1,9	2,1	20,4	14	1,6	5,08	8,94	14

3 karta


5	2,4	6,7	4,7	8,1	18	40	9,54	0,78

2) Aktualizácia naštudovaných poznatkov.

Hra "Clap": párne číslo - tlieskanie, nepárne číslo - vstať.

Úloha: z daného radu čísel 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... určte párne a nepárne.

3) Naučiť sa novú tému.

Na stoloch máte kocky. Poďme sa na ne pozrieť bližšie. Čo vidíš?

Kde sa používajú kocky? Ako?

Skupinová práca.

Vykonávanie experimentu.

Aké predpovede môžete urobiť pri hode kockou?

Prvá predpoveď: vypadne jedno z čísel 1,2,3,4,5 alebo 6.

Udalosť, ktorá sa v danom zážitku určite vyskytne, sa nazýva autentické.

Druhá predpoveď: príde číslo 7.

Myslíte si, že sa predpovedaná udalosť stane alebo nie?

Toto je nemožné!

Udalosť, ktorá nemôže nastať v danom experimente, sa nazýva nemožné.

Tretia predpoveď: príde číslo 1.

Stane sa táto udalosť?

Udalosť, ktorá môže alebo nemusí nastať v danom zážitku, sa nazýva náhodný.

4) Konsolidácia študovaného materiálu.

I. Určite typ udalosti

-Zajtra bude snežiť do červena.

Zajtra bude husto snežiť.

Zajtra, hoci je júl, bude snežiť.

Zajtra, hoci je júl, sneh nebude.

Zajtra bude snežiť a bude fujavica.

II. Pridajte do tejto vety slovo tak, aby sa udalosť stala nemožnou.

Kolja dostal A v histórii.

Sasha v teste nesplnila ani jednu úlohu.

Oksana Mikhailovna (učiteľka dejepisu) vysvetlí novú tému.

III. Uveďte príklady nemožných, náhodných a určitých udalostí.

IV. Pracujte podľa učebnice (v skupinách).

Opíšte udalosti diskutované v úlohách nižšie ako isté, nemožné alebo náhodné.

č. 959. Peťa počala prirodzené číslo. Udalosť je nasledovná:

a) vymyslí sa párne číslo;

b) zamýšľané nepárne číslo;

c) je vytvorené číslo, ktoré nie je ani párne, ani nepárne;

d) je koncipované číslo, ktoré je párne alebo nepárne.

Č. 960. Otvorili ste túto učebnicu na ľubovoľnej strane a vybrali ste prvé podstatné meno, ktoré ste našli. Udalosť je nasledovná:

a) v pravopise zvoleného slova je samohláska;

b) v pravopise zvoleného slova je písmeno „o“;

c) v pravopise zvoleného slova nie sú žiadne samohlásky;

d) v pravopise vybraného slova je mäkký znak.

Riešenie #961, #964.

Diskusia k riešeným úlohám.

5) Reflexia.

1. S akými udalosťami ste sa stretli na hodine?

2. Označte, ktorá z nasledujúcich udalostí je istá, ktorá je nemožná a ktorá je náhodná:

A) Letné prázdniny nebude;

b) sendvič padne maslovou stranou nadol;

V) akademický rok niekedy skončí.

6) domáca úloha:

Vymyslite dve spoľahlivé, náhodné a nemožné udalosti.

Nakreslite jeden z nich.

Téma lekcie: „Náhodné, spoľahlivé a nemožné udalosti“

Miesto lekcie v učebných osnovách: „Kombinatorika. Náhodné udalosti“ lekcia 5/8

Typ lekcie: Lekcia formovania nových poznatkov

Ciele lekcie:

Vzdelávacie:

o zaviesť definíciu náhodného, spoľahlivého a nemožné podujatie;

o naučiť v procese reálnej situácie definovať pojmy teórie pravdepodobnosti: spoľahlivé, nemožné, ekvipravdepodobné udalosti;

vyvíja sa:

o podporovať rozvoj logického myslenia,

o kognitívny záujem študentov,

o schopnosť porovnávať a analyzovať,

Vzdelávacie:

o podporovať záujem o štúdium matematiky,

o rozvoj svetonázoru žiakov.

o vlastniť intelektuálne schopnosti a mentálne operácie;

Vyučovacie metódy: výkladovo-ilustračný, reprodukčný, matematický diktát.

UMC: Matematika: učebnica pre 6 buniek. pod redakciou atď., vydavateľstvo "Osvietenie", 2008, Matematika, 5-6: kniha. pre učiteľa / [, [ , ]. - M.: Vzdelávanie, 2006.

Didaktický materiál: tabuľové plagáty.

Literatúra:

1. Matematika: učebnica. pre 6 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie/ atď.]; vyd. , ; Ros. akad. Sciences, Ros. akad. školstvo, vydavateľstvo „Osveta“. - 10. vyd. - M.: Osveta, 2008.-302 s.: chor. - (učebnica Akademickej školy).

2. Matematika, 5-b: kniha. pre učiteľa / [, ]. - M. : Vzdelávanie, 2006. - 191 s. : chorý.

4. Riešenie problémov v štatistike, kombinatorike a teórii pravdepodobnosti. 7-9 ročníkov. / auth.- komp. . Ed. 2., rev. - Volgograd: Učiteľ, 2006. -428 s.

5. Hodiny matematiky s využitím informačných technológií. 5-10 tried. Metodický - manuál s elektronickou prihláškou / a iné 2. vyd., stereotyp. - M.: Vydavateľstvo Globus, 2010. - 266 s. (Moderná škola).

6. Vyučovanie matematiky v moderná škola. Smernice. Vladivostok: PIPPCRO Publishing House, 2003.

PLÁN LEKCIE

I. Organizačný moment.

II. ústna práca.

III. Učenie sa nového materiálu.

IV. Formovanie zručností a schopností.

V. Výsledky vyučovacej hodiny.

V. Domáca úloha.

POČAS VYUČOVANIA

1. Organizačný moment

2. Aktualizácia vedomostí

15*(-100)

Ústna práca:

3. Vysvetlenie nového materiálu

Učiteľ: Náš život sa z veľkej časti skladá z nehôd. Existuje taká veda "Teória pravdepodobnosti". Pomocou jeho jazyka je možné opísať mnohé javy a situácie.

Takí starí velitelia ako Alexander Veľký alebo Dmitrij Donskoy, ktorí sa pripravovali na bitku, sa spoliehali nielen na odvahu a zručnosť bojovníkov, ale aj na náhodu.

Mnoho ľudí miluje matematiku pre večné pravdy dvakrát dva sú vždy štyri, súčet párnych čísel je párny, plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho priľahlých strán atď. V akýchkoľvek problémoch, ktoré vyriešite, dostane každý rovnaká odpoveď - len sa pri riešení netreba pomýliť.

Skutočný život nie je taký jednoduchý a jednoznačný. Výsledky mnohých udalostí sa nedajú vopred predvídať. Nedá sa napríklad s istotou povedať, na ktorú stranu hodená minca kedy padne ďalší rok napadne prvý sneh alebo koľko ľudí chce v meste telefonovať do hodiny. Takéto nepredvídateľné udalosti sa nazývajú náhodný .

Takéto zákonitosti študuje špeciálny odbor matematiky - Teória pravdepodobnosti . S jeho pomocou môžete s väčšou mierou istoty (ale stále nie istí) predpovedať ako dátum prvého sneženia, tak aj počet telefonátov.

Teória pravdepodobnosti je neoddeliteľne spojená s našou každodenný život. To nám dáva skvelú príležitosť empiricky stanoviť mnohé pravdepodobnostné zákony, opakovane sa opakujúce náhodné experimenty. Materiálmi pre tieto experimenty budú najčastejšie obyčajná minca, kocka, súprava domino, backgammon, ruleta alebo dokonca balíček kariet. Každá z týchto položiek, tak či onak, je spojená s hrami. Faktom je, že prípad sa tu objavuje v najfrekventovanejšej podobe. A prvé pravdepodobnostné úlohy boli spojené s posudzovaním šancí hráčov na víťazstvo.

Moderná teória pravdepodobnosti sa vzdialila od hazardných hier, no ich rekvizity sú stále tým najjednoduchším a najspoľahlivejším zdrojom náhody. Cvičením s ruletou a kockou sa naučíte vypočítať pravdepodobnosť náhodných udalostí v reálnom živote. životné situácie, ktorá vám umožní vyhodnocovať svoje šance na úspech, testovať hypotézy, robiť optimálne rozhodnutia nielen v hrách a lotériách.

Pri riešení pravdepodobnostných problémov buďte veľmi opatrní, snažte sa zdôvodniť každý krok, pretože žiadna iná oblasť matematiky neobsahuje také množstvo paradoxov. Ako teória pravdepodobnosti. A možno hlavným vysvetlením je jeho spojenie so skutočným svetom, v ktorom žijeme.

Mnoho hier používa kocku, ktorá má značku na každej strane. rôzne množstvo bodky od 1 do 6. Hráč hodí kockou, pozrie sa, koľko bodiek padlo (na stranu, ktorá sa nachádza navrchu) a urobí príslušný počet ťahov: 1,2,3,4,5 alebo 6 Hod kockou možno považovať za zážitok, experiment, test a výsledok – udalosť. Ľudia majú zvyčajne veľký záujem uhádnuť začiatok udalosti a predpovedať jej výsledok. Aké predpovede môžu urobiť, keď sa hodí kocka?

Prvá predpoveď: vypadne jedno z čísel 1,2,3,4,5 alebo 6. Myslíte si, že predpovedaná udalosť príde alebo nie? Samozrejme, že to určite príde.

Udalosť, ktorá sa v danom zážitku určite vyskytne, sa nazýva autentické udalosť.

Druhá predpoveď : vypadne číslo 7. Myslíte si, že predpovedaná udalosť príde alebo nie? Samozrejme, že nebude, je to jednoducho nemožné.

Udalosť, ktorá nemôže nastať v danom experimente, sa nazýva nemožné udalosť.

Udalosti, ktoré sa môžu alebo nemusia vyskytnúť za rovnakých podmienok, sa nazývajú náhodný.

Príklad. Krabička obsahuje 5 čokolád v modrom obale a jednu v bielom. Bez toho, aby sa pozreli do škatuľky, náhodne vyberú jeden cukrík. Dá sa dopredu povedať, aká bude farba?

Cvičenie : popíšte udalosti, o ktorých sa hovorí v úlohách nižšie. Ako isté, nemožné alebo náhodné.

1. Hoďte si mincou. Objavil sa erb. (náhodné)

2. Poľovník vystrelil na vlka a trafil. (náhodné)

3. Školák chodí každý večer na prechádzku. Počas prechádzky v pondelok stretol troch známych. (náhodné)

4. V duchu vykonajte nasledujúci experiment: otočte pohár vody hore dnom. Ak sa tento experiment nevykoná vo vesmíre, ale doma alebo v triede, voda sa vyleje. (autentické)

5. Tri výstrely na cieľ.“ Došlo k piatim zásahom." (nemožné)

6. Hoď kameň hore. Kameň zostáva visieť vo vzduchu. (nemožné)

Príklad Peťo myslel na prirodzené číslo. Udalosť je nasledovná:

a) vymyslí sa párne číslo; (náhodné)

b) je počaté nepárne číslo; (náhodné)

c) je vytvorené číslo, ktoré nie je ani párne, ani nepárne; (nemožné)

d) je koncipované číslo, ktoré je párne alebo nepárne. (autentické)

Udalosti, ktoré majú za daných podmienok rovnaké šance, sa nazývajú ekvipravdepodobný.

Volajú sa náhodné udalosti, ktoré majú rovnaké šance rovnako možné alebo ekvipravdepodobný .

Položte plagát na tabuľu.

Na ústnej skúške si študent prevezme jeden z lístkov vyložených pred sebou. Šance na získanie ktoréhokoľvek z lístkov na skúšku sú rovnaké. Rovnako pravdepodobná je strata ľubovoľného počtu bodov od 1 do 6 pri hode kockou, ako aj hláv či chvostov pri hode mincou.

Ale nie všetky udalosti sú rovnako možné. Možno nezazvoní budík, vyhorí žiarovka, pokazí sa autobus, ale in normálnych podmienkach takéto udalosti nepravdepodobné. Pravdepodobnejšie je, že zazvoní budík, rozsvieti sa svetlo, pôjde autobus.

Niektoré udalosti šance vyskytujú viac, čo znamená, že sú pravdepodobnejšie – bližšie k spoľahlivým. A iní majú menej šancí, sú menej pravdepodobné – bližšie k nemožnému.

Nemožné udalosti nemajú šancu stať sa a určité udalosti majú každú šancu sa stať, za určitých podmienok sa určite stanú.

Príklad Petya a Kolya porovnávajú svoje narodeniny. Udalosť je nasledovná:

a) ich dátum narodenia sa nezhoduje; (náhodné)

b) ich narodeniny sú rovnaké; (náhodné)

d) obe narodeniny pripadajú na sviatok - Nový rok(1. januára) a Deň nezávislosti Ruska (12. júna). (náhodné)

3. Formovanie zručností a schopností

Úloha z učebnice č. 000. Ktoré z nasledujúcich náhodných udalostí sú spoľahlivé, možné:

a) korytnačka sa naučí hovoriť;

b) voda v kanvici na sporáku vrie;

d) vyhráte účasťou v lotérii;

e) účasťou vo výhernej lotérii nevyhráte;

f) prehráte partiu šachu;

g) zajtra stretnete mimozemšťana;

h) budúci týždeň sa počasie zhorší; i) stlačili ste zvonček, ale nezazvonil; j) dnes - štvrtok;

k) po štvrtku bude piatok; m) bude štvrtok po piatku?

Krabice obsahujú 2 červené, 1 žltú a 4 zelené loptičky. Z krabice sa náhodne vyberú tri loptičky. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, náhodné, isté:

Odpoveď: Žrebujú sa tri zelené gule;

B: Žrebujú sa tri červené gule;

C: žrebujú sa gule dvoch farieb;

D: žrebujú sa gule rovnakej farby;

E: medzi vytiahnutými loptičkami je modrá;

F: medzi vylosovanými sú gule troch farieb;

G: Sú medzi vyžrebovanými loptičkami dve žlté loptičky?

Skontrolujte sa. (matematický diktát)

1) Označte, ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, ktoré sú isté, ktoré sú náhodné:

Futbalový zápas "Spartak" - "Dynamo" sa skončí remízou (náhodné)

Vyhráte účasťou v lotérii výherných výhier ( spoľahlivý)

O polnoci bude snežiť a po 24 hodinách bude svietiť slnko (nemožné)

· Zajtra bude test z matematiky. (náhodné)

· Budete zvolený za prezidenta Spojených štátov amerických. (nemožné)

· Budete zvolený za prezidenta Ruska. (náhodné)

2) Kúpili ste si v obchode televízor, na ktorý dáva výrobca dvojročnú záruku. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, ktoré sú náhodné, ktoré sú isté:

· Televízor sa do roka nerozbije. (náhodné)

Televízor sa do dvoch rokov nerozbije . (náhodné)

· Do dvoch rokov nebudete musieť platiť za opravu televízora. (autentické)

Televízor sa rozbije v treťom roku. (náhodné)

3) Autobus s 15 cestujúcimi má 10 zastávok. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, ktoré sú náhodné, ktoré sú isté:

· Všetci cestujúci vystúpia z autobusu na rôznych zastávkach. (nemožné)

Všetci cestujúci vystúpia na rovnakej zastávke. (náhodné)

Na každej zastávke aspoň niekto vystúpi. (náhodné)

Bude tam zastávka, na ktorej nikto nevystúpi. (náhodné)

Na všetkých zastávkach vystúpi párny počet cestujúcich. (nemožné)

Na všetkých zastávkach vystúpi nepárny počet cestujúcich. (nemožné)

Zhrnutie lekcie

Otázky pre študentov:

Aké udalosti sa nazývajú náhodné?

Aké udalosti sa nazývajú ekvipravdepodobné?

Aké udalosti sa považujú za spoľahlivé? nemožné?

Ktoré udalosti sa považujú za pravdepodobnejšie? menej pravdepodobné?

Domáca úloha : bod 9.3

Č. 000. Zamyslite sa nad tromi príkladmi, každý z určitých, nemožných udalostí, ako aj udalostí, o ktorých nemožno povedať, že by sa nevyhnutne stali.

902. V krabici je 10 červených, 1 zelené a 2 modré perá. Z krabice sa náhodne vyberú dve perá. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, isté:

Odpoveď: Vyberú sa dve červené rukoväte; B: Vytiahnu sa dve zelené rukoväte; C: vytiahnu sa dve modré rukoväte; D: Vyberú sa dve rukoväte rôznych farieb;

E: Vyberú sa dve ceruzky? 03. Egor a Danila sa dohodli: ak sa šípka točnice (obr. 205) zastaví na bielom poli, potom Egor natrie plot, a ak na modrom, Danila. Ktorý chlapec s väčšou pravdepodobnosťou natrie plot?

5. ročník Úvod do pravdepodobnosti (4 hodiny)

(rozvoj 4 lekcií na túto tému)

vzdelávacie ciele : - zaviesť definíciu náhodnej, spoľahlivej a nemožnej udalosti;

Viesť prvé nápady na riešenie kombinatorických úloh: pomocou stromu možností a pomocou pravidla násobenia.

vzdelávací cieľ: rozvoj myslenia študentov.

Rozvojový cieľ : rozvoj priestorovej predstavivosti, zlepšenie zručnosti práce s pravítkom.

Spoľahlivé, nemožné a náhodné udalosti (2 hodiny)

Kombinatorické úlohy (2 hodiny)

Spoľahlivé, nemožné a náhodné udalosti.

Prvá hodina

Vybavenie lekcie: kocka, minca, backgammon.

Náš život sa z veľkej časti skladá z nehôd. Existuje taká veda "Teória pravdepodobnosti". Pomocou jeho jazyka je možné opísať mnohé javy a situácie.

Dokonca aj primitívny vodca pochopil, že tucet lovcov má väčšiu „pravdepodobnosť“ zasiahnuť bizóna kopijou ako jeden. Preto vtedy lovili kolektívne.

Takí starí velitelia ako Alexander Veľký alebo Dmitrij Donskoy, ktorí sa pripravovali na bitku, sa spoliehali nielen na odvahu a zručnosť bojovníkov, ale aj na náhodu.

Mnoho ľudí miluje matematiku pre večné pravdy dvakrát dva sú vždy štyri, súčet párnych čísel je párny, plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho priľahlých strán atď. V akomkoľvek probléme, ktorý vyriešite, dostane každý rovnaká odpoveď - len sa pri riešení netreba pomýliť.

Skutočný život nie je taký jednoduchý a jednoznačný. Výsledky mnohých udalostí sa nedajú vopred predvídať. Nedá sa napríklad s istotou povedať, na ktorú stranu pristane hodená minca, kedy na budúci rok napadne prvý sneh alebo koľko ľudí v meste bude chcieť v priebehu nasledujúcej hodiny telefonovať. Takéto nepredvídateľné udalosti sa nazývajú náhodný .

Prípad má však aj svoje zákonitosti, ktoré sa začínajú prejavovať opakovaným opakovaním náhodných javov. Ak hodíte mincou 1000-krát, potom „orol“ vypadne približne v polovici času, čo sa nedá povedať o dvoch alebo dokonca desiatich hodoch. „Približne“ neznamená polovicu. Spravidla to tak môže byť, ale aj nemusí. Zákon vo všeobecnosti nehovorí nič s istotou, ale dáva určitý stupeň istoty, že k nejakej náhodnej udalosti dôjde. Takéto zákonitosti študuje špeciálny odbor matematiky - Teória pravdepodobnosti . S jeho pomocou môžete s väčšou mierou istoty (ale stále nie istí) predpovedať ako dátum prvého sneženia, tak aj počet telefonátov.

Teória pravdepodobnosti je neoddeliteľne spojená s naším každodenným životom. To nám dáva skvelú príležitosť empiricky stanoviť mnohé pravdepodobnostné zákony, opakovane sa opakujúce náhodné experimenty. Materiálom pre tieto experimenty bude najčastejšie obyčajná minca, kocka, súprava domino, backgammon, ruleta alebo dokonca balíček kariet. Každá z týchto položiek tak či onak súvisí s hrami. Faktom je, že prípad sa tu objavuje v najfrekventovanejšej podobe. A prvé pravdepodobnostné úlohy boli spojené s posudzovaním šancí hráčov na víťazstvo.

Moderná teória pravdepodobnosti sa vzdialila od hazardných hier, no ich rekvizity sú stále tým najjednoduchším a najspoľahlivejším zdrojom náhody. Cvičením s ruletou a kockou sa naučíte vypočítať pravdepodobnosť náhodných udalostí v reálnych životných situáciách, čo vám umožní posúdiť vaše šance na úspech, testovať hypotézy a robiť optimálne rozhodnutia nielen v hrách a lotériách. .

V mnohých hrách sa používa kocka, ktorá má na každej strane iný počet bodov od 1 do 6. Hráč hodí kockou, pozrie sa, koľko bodov vypadlo (na strane, ktorá sa nachádza hore) a príslušný počet ťahov: 1,2,3,4,5 alebo 6. Hádzanie kockou možno považovať za zážitok, experiment, test a získaný výsledok možno považovať za udalosť. Ľudia majú zvyčajne veľký záujem uhádnuť začiatok udalosti a predpovedať jej výsledok. Aké predpovede môžu urobiť, keď sa hodí kocka? Prvá predpoveď: vypadne jedno z čísel 1,2,3,4,5 alebo 6. Myslíte si, že predpovedaná udalosť príde alebo nie? Samozrejme, že to určite príde. Udalosť, ktorá sa v danom zážitku určite vyskytne, sa nazýva spoľahlivá udalosť.

Druhá predpoveď : vypadne číslo 7. Myslíte si, že predpovedaná udalosť príde alebo nie? Samozrejme, že nebude, je to jednoducho nemožné. Udalosť, ktorá nemôže nastať v danom experimente, sa nazýva nemožné podujatie.

Tretia predpoveď : vypadne číslo 1. Myslíte si, že predpovedaná udalosť príde alebo nie? Na túto otázku nie sme schopní s úplnou istotou odpovedať, pretože predpovedaná udalosť môže, ale nemusí nastať. Udalosť, ktorá môže alebo nemusí nastať v danom zážitku, sa nazýva náhodná udalosť.

Cvičenie : popíšte udalosti, o ktorých sa hovorí v úlohách nižšie. Ako isté, nemožné alebo náhodné.

Hodíme si mincou. Objavil sa erb. (náhodné)

Poľovník vystrelil na vlka a trafil. (náhodné)

Študent chodí každý večer na prechádzku. Počas prechádzky v pondelok stretol troch známych. (náhodné)

V duchu vykonajte nasledujúci experiment: otočte pohár vody hore dnom. Ak sa tento experiment nevykoná vo vesmíre, ale doma alebo v triede, voda sa vyleje. (autentické)

Tri výstrely na cieľ. Bolo päť zásahov“ (nemožné)

Hodíme kameň hore. Kameň zostáva visieť vo vzduchu. (nemožné)

Písmená slova „antagonizmus“ sú usporiadané náhodne. Získajte slovo "anachroizmus". (nemožné)

№959. Peťo myslel na prirodzené číslo. Udalosť je nasledovná:

a) vymyslí sa párne číslo; (náhodne) b) je počaté nepárne číslo; (náhodné)

c) je vytvorené číslo, ktoré nie je ani párne, ani nepárne; (nemožné)

d) je koncipované číslo, ktoré je párne alebo nepárne. (autentické)

№ 961. Petya a Tolya porovnávajú svoje narodeniny. Udalosť je nasledovná:

a) ich dátum narodenia sa nezhoduje; (náhodné) b) ich narodeniny sú rovnaké; (náhodné)

d) obe narodeniny pripadajú na sviatky - Nový rok (1. januára) a Deň nezávislosti Ruska (12. júna). (náhodné)

№ 962. Pri hraní backgammonu sa používajú dve kocky. Počet ťahov, ktoré účastník hry vykoná, sa určí sčítaním čísel na dvoch stranách kocky, ktoré vypadli, a ak vypadne „dvojka“ (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6), potom sa počet ťahov zdvojnásobí. Hodíte kockou a vypočítate, koľko ťahov musíte urobiť. Udalosť je nasledovná:

a) musíte urobiť jeden pohyb; b) musíte urobiť 7 ťahov;

c) musíte urobiť 24 ťahov; d) musíte urobiť 13 ťahov.

a) - nemožné (1 ťah možno vykonať, ak vypadne kombinácia 1 + 0, ale na kocke nie je číslo 0).

b) - náhodné (ak vypadne 1 + 6 alebo 2 + 5).

c) - náhodné (ak vypadne kombinácia 6 +6).

d) - nemožné (neexistujú žiadne kombinácie čísel od 1 do 6, ktorých súčet je 13; toto číslo nemožno získať ani pri hode „dvojka“, pretože je nepárne).

Skontrolujte sa. (matematický diktát)

1) Označte, ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, ktoré sú isté, ktoré sú náhodné:

Futbalový zápas "Spartak" - "Dynamo" sa skončí remízou. (náhodné)

Vyhráte účasťou vo výhernej lotérii (autentická)

Sneh napadne o polnoci a slnko bude svietiť o 24 hodín neskôr. (nemožné)

Zajtra bude test z matematiky. (náhodné)

Budete zvolený za prezidenta Spojených štátov. (nemožné)

Budete zvolený za prezidenta Ruska. (náhodné)

2) Kúpili ste si v obchode televízor, na ktorý dáva výrobca dvojročnú záruku. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, ktoré sú náhodné, ktoré sú isté:

Televízor sa do roka nerozbije. (náhodné)

Televízor sa nerozbije dva roky. (náhodné)

Do dvoch rokov nebudete musieť platiť za opravy televízora. (autentické)

Televízor sa rozbije v treťom roku. (náhodné)

3) Autobus s 15 cestujúcimi má 10 zastávok. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, ktoré sú náhodné, ktoré sú isté:

Všetci cestujúci vystúpia z autobusu na rôznych zastávkach. (nemožné)

Všetci cestujúci vystúpia na rovnakej zastávke. (náhodné)

Na každej zastávke niekto vystúpi. (náhodné)

Bude tam zastávka, na ktorej nikto nevystúpi. (náhodné)

Na všetkých zastávkach vystúpi párny počet cestujúcich. (nemožné)

Na všetkých zastávkach vystúpi nepárny počet cestujúcich. (nemožné)

Domáca úloha : 53 č. 960, 963, 965 (sami si vymyslite dve spoľahlivé, náhodné a nemožné udalosti).

Druhá lekcia.

Vyšetrenie domáca úloha. (ústne)

a) Vysvetlite, čo sú určité, náhodné a nemožné udalosti.

b) Označte, ktorá z nasledujúcich udalostí je istá, ktorá je nemožná, ktorá je náhodná:

Letné prázdniny nebudú. (nemožné)

Sendvič padne maslovou stranou nadol. (náhodné)

Školský rok sa konečne skončí. (autentické)

Zajtra sa ma opýtajú v triede. (náhodné)

Dnes stretávam čiernu mačku. (náhodné)

№ 960. Otvorili ste túto učebnicu na ľubovoľnej strane a vybrali ste prvé podstatné meno, na ktoré ste narazili. Udalosť je nasledovná:

a) v pravopise zvoleného slova je samohláska. ((autentické)

b) v pravopise zvoleného slova je písmeno "o". (náhodné)

c) v pravopise zvoleného slova nie sú žiadne samohlásky. (nemožné)

d) v pravopise vybraného slova je mäkký znak. (náhodné)

№ 963. Opäť hráte backgammon. Opíšte nasledujúcu udalosť:

a) hráč nesmie urobiť viac ako dva ťahy. (nemožné - pri kombinácii najmenších čísel 1 + 1 urobí hráč 4 ťahy; kombinácia 1 + 2 dáva 3 ťahy; všetky ostatné kombinácie dávajú viac ako 3 ťahy)

b) hráč musí urobiť viac ako dva ťahy. (spoľahlivé - akákoľvek kombinácia dáva 3 alebo viac ťahov)

c) hráč nesmie urobiť viac ako 24 ťahov. (spoľahlivé - kombinácia najväčších čísel 6 + 6 dáva 24 ťahov a všetky ostatné - menej ako 24 ťahov)

d) hráč musí vykonať dvojciferný počet ťahov. (náhodné - napríklad kombinácia 2 + 3 dáva jednociferný počet ťahov: 5 a pád dvoch štvoriek dáva dvojciferný počet ťahov)

2. Riešenie problémov.

№ 964. Vo vrecúšku je 10 loptičiek: 3 modré, 3 biele a 4 červené. Opíšte nasledujúcu udalosť:

a) Z vrecka sa vyberú 4 loptičky a všetky sú modré; (nemožné)

b) z vrecka sa vyberú 4 loptičky a všetky sú červené; (náhodné)

c) z vrecka boli vybraté 4 loptičky a ukázalo sa, že všetky majú rôzne farby; (nemožné)

d) Z vrecka sa vyberú 4 loptičky a medzi nimi nie je žiadna čierna guľa. (autentické)

Úloha 1. Krabička obsahuje 10 červených, 1 zelené a 2 modré perá. Z krabice sa náhodne vyberú dve položky. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, ktoré sú náhodné, ktoré sú isté:

a) sú odstránené dve červené rukoväte (náhodné)

b) vyberú sa dve zelené rukoväte; (nemožné)

c) sú vybraté dve modré rukoväte; (náhodné)

d) sú vyňaté rukoväte dvoch rôznych farieb; (náhodné)

e) sú vybraté dve rukoväte; (autentické)

e) Vyberú sa dve ceruzky. (nemožné)

Úloha 2. Macko Pú, prasiatko a všetci – všetci – všetci si sadnú za okrúhly stôl, aby oslávili narodeniny. S akým počtom všetkých - všetkých - všetkých je akcia „Medvedík Pú a prasiatko sedieť vedľa seba“ spoľahlivá a s akým náhodným?

(ak je len 1 zo všetkých - všetci - všetci, potom je udalosť spoľahlivá, ak viac ako 1, potom je náhodná).

Úloha 3. Zo 100 tiketov charitatívnej lotérie 20 výherných Koľko tiketov si musíš kúpiť, aby sa akcia „nevyhrala nič“ znemožnila?

Úloha 4. V triede je 10 chlapcov a 20 dievčat. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú pre takúto triedu nemožné, ktoré sú náhodné, ktoré sú isté

V triede sú dvaja ľudia, ktorí sa narodili v rôznych mesiacoch. (náhodné)

V triede sú dvaja ľudia, ktorí sa narodili v tom istom mesiaci. (autentické)

V triede sú dvaja chlapci, ktorí sa narodili v tom istom mesiaci. (náhodné)

V triede sú dve dievčatá, ktoré sa narodili v tom istom mesiaci. (autentické)

Všetci chlapci sa narodili v rôznych mesiacoch. (autentické)

Všetky dievčatá sa narodili v rôznych mesiacoch. (náhodné)

V tom istom mesiaci sa narodil chlapec a dievča. (náhodné)

V rôznych mesiacoch sa narodil chlapec a dievča. (náhodné)

Úloha 5. V krabici sú 3 červené, 3 žlté a 3 zelené loptičky. Náhodne vyžrebujte 4 loptičky. Zvážte udalosť „Medzi vyžrebovanými loptičkami budú loptičky presne M farieb“. Pre každé M od 1 do 4 určite, o ktorú udalosť ide - nemožnú, istou alebo náhodnú, a vyplňte tabuľku:

Samostatná práca.

jamožnosť

a) narodeniny vášho priateľa sú mladšie ako 32 rokov;

c) zajtra bude test z matematiky;

d) Budúci rok v nedeľu napadne v Moskve prvý sneh.

Hoď kockou. Opíšte udalosť:

a) kocka, ktorá spadne, bude stáť na svojom okraji;

b) jedno z čísel vypadne: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

c) vypadne číslo 6;

d) príde číslo, ktoré je násobkom 7.

Krabička obsahuje 3 červené, 3 žlté a 3 zelené loptičky. Opíšte udalosť:

a) všetky vytiahnuté loptičky sú rovnakej farby;

b) všetky vytiahnuté gule rôznych farieb;

c) medzi vytiahnutými loptičkami sú guličky rôznych farieb;

c) medzi vyžrebovanými loptičkami je červená, žltá a zelená guľa.

IImožnosť

Opíšte príslušnú udalosť ako istú, nemožnú alebo náhodnú:

a) sendvič, ktorý spadol zo stola, spadne na zem maslovou stranou nadol;

b) v Moskve o polnoci napadne sneh a o 24 hodín bude svietiť slnko;

c) vyhráte účasťou vo výhernej lotérii;

d) budúci rok v máji sa ozve prvé jarné hrmenie.

Všetky dvojciferné čísla sú napísané na kartičkách. Náhodne sa vyberie jedna karta. Opíšte udalosť:

a) karta sa ukázala ako nulová;

b) na karte je číslo, ktoré je násobkom 5;

c) na karte je číslo, ktoré je násobkom 100;

d) karta obsahuje číslo väčšie ako 9 a menšie ako 100.

Krabička obsahuje 10 červených, 1 zelené a 2 modré perá. Z krabice sa náhodne vyberú dve položky. Opíšte udalosť:

a) sú vybraté dve modré rukoväte;

b) sú vybraté dve červené rukoväte;

c) vyberú sa dve zelené rukoväte;

d) zelené a čierne rukoväte sú odstránené.

Domáca úloha: 1). Vymyslite dve spoľahlivé, náhodné a nemožné udalosti.

2). Úloha . V krabici sú 3 červené, 3 žlté a 3 zelené loptičky. N loptičiek náhodne vyžrebujeme. Zvážte udalosť „medzi vyžrebovanými loptičkami budú gule presne troch farieb“. Pre každé N od 1 do 9 určite, o ktorú udalosť ide - nemožnú, istou alebo náhodnú, a vyplňte tabuľku:

kombinatorické úlohy.

Prvá hodina

Kontrola domácich úloh. (ústne)

a) Kontrolujeme problémy, na ktoré žiaci prišli.

b) dodatočná úloha.

Čítam úryvok z knihy V. Levshina „Tri dni v Karlikanii“.

„Najprv za zvukov hladkého valčíka čísla vytvorili skupinu: 1+ 3 + 4 + 2 = 10. Potom si mladí korčuliari začali meniť miesta a vytvárali stále nové a nové skupiny: 2 + 3 + 4 + 1 = 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 = 10 atď.

Takto to pokračovalo, kým sa korčuliari nevrátili na pôvodné miesto.

Koľkokrát zmenili miesto?

Dnes sa v lekcii naučíme, ako takéto problémy vyriešiť. Volajú sa kombinatorický.

3. Učenie sa nového materiálu.

Úloha 1. Koľko dvojciferných čísel možno vytvoriť z čísel 1, 2, 3?

Riešenie: 11, 12, 13

31, 32, 33. Len 9 čísel.

Pri riešení tohto problému sme vymenovali všetky možné možnosti, alebo, ako sa v týchto prípadoch zvyčajne hovorí. Všetky možné kombinácie. Preto podobné úlohy volal kombinatorický. Počítať možné (alebo nemožné) možnosti v živote je celkom bežné, preto je užitočné zoznámiť sa s kombinatorickými problémami.

№ 967. Viaceré krajiny sa rozhodli použiť pre svoju štátnu vlajku symboly v podobe troch vodorovných pruhov rovnakej šírky v rôznych farbách – biela, modrá, červená. Koľko krajín môže používať takéto symboly za predpokladu, že každá krajina má svoju vlajku?

Riešenie. Predpokladajme, že prvý prúžok je biely. Potom môže byť druhý pruh modrý alebo červený a tretí pruh červený alebo modrý. Ukázalo sa, že dve možnosti: biela, modrá, červená alebo biela, červená, modrá.

Teraz nechajme titulnú stranu modrej farby, potom opäť dostaneme dve možnosti: biela, červená, modrá alebo modrá, červená, biela.

Nech je prvý prúžok červený, potom ďalšie dve možnosti: červená, biela, modrá alebo červená, modrá, biela.

Celkovo je k dispozícii 6 možností. Túto vlajku môže používať 6 krajín.

Pri riešení tohto problému sme teda hľadali spôsob, ako vymenovať možné možnosti. V mnohých prípadoch sa ukazuje ako užitočné zostaviť obrázok - schému na vymenovanie možností. Toto je v prvom rade ilustratívne Po druhé, nám umožňuje vziať do úvahy všetko, nič nevynechať.

Táto schéma sa tiež nazýva strom možných možností.

Predná strana

Druhý pruh

tretí pruh

Prijatá kombinácia

№ 968. Koľko dvojciferných čísel možno vytvoriť z čísel 1, 2, 4, 6, 8?

Riešenie. Pri dvojciferných číslach, ktoré nás zaujímajú, môže byť na prvom mieste ktorákoľvek z daných číslic, okrem 0. Ak na prvé miesto dáme číslo 2, na druhom mieste môže byť ktorákoľvek z daných číslic. Bude päť dvojciferných čísel: 2.,22, 24, 26, 28. Podobne bude päť dvojciferných čísel s prvou číslicou 4, päť dvojciferných čísel s prvou číslicou 6 a päť dvojciferných čísel. ciferné čísla s prvou číslicou 8.

Odpoveď: Celkovo je 20 čísel.

Zostavme si strom možných možností riešenia tohto problému.

Dvojčísla

Prvá číslica

Druhá číslica

Prijaté čísla

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

Vyriešte nasledujúce problémy vytvorením stromu možných možností.

№ 971. Vedenie istej krajiny sa rozhodlo urobiť svoju štátnu vlajku takto: na jednofarebnom obdĺžnikovom pozadí je v jednom z rohov umiestnený kruh inej farby. Bolo rozhodnuté vybrať farby z troch možných: červená, žltá, zelená. Koľko variantov tejto vlajky

existuje? Obrázok ukazuje niektoré z možných možností.

Odpoveď: 24 možností.

№ 973. a) Koľko trojciferných čísel možno vytvoriť z čísel 1,3,5,? (27 čísel)

b) Koľko trojciferných čísel možno vytvoriť z čísel 1, 3, 5 za predpokladu, že sa čísla nemajú opakovať? (6 čísel)

№ 979. Moderní päťbojári súťažia dva dni v piatich športoch: parkúr, šerm, plávanie, streľba a beh.

a) Koľko možností je pre poradie absolvovania typov súťaže? (120 možností)

b) Koľko možností je pre poradie absolvovania podujatí súťaže, ak je známe, že posledným podujatím by mal byť beh? (24 možností)

c) Koľko možností je pre poradie absolvovania typov súťaže, ak je známe, že posledný typ by mal byť beh a prvý - parkúr? (6 možností)

№ 981. Dve urny obsahujú päť loptičiek, každá v piatich rôznych farbách: biela, modrá, červená, žltá, zelená. Z každej urny sa vždy vytiahne jedna loptička.

a) koľko rôznych kombinácií vytiahnutých loptičiek existuje (kombinácie ako „biela-červená“ a „červeno-biela“ sa považujú za rovnaké)?

(15 kombinácií)

b) Koľko je kombinácií, v ktorých sú vytiahnuté guľôčky rovnakej farby?

(5 kombinácií)

c) koľko je kombinácií, v ktorých sú vylosované loptičky rôznych farieb?

(15 - 5 = 10 kombinácií)

Domáca úloha: 54, č. 969, 972, prichádzame s kombinatorickým problémom sami.

№ 969. Niekoľko krajín sa rozhodlo pre svoju štátnu vlajku použiť symboly v podobe troch zvislých pruhov rovnakej šírky v rôznych farbách: zelený, čierny, žltý. Koľko krajín môže používať takéto symboly za predpokladu, že každá krajina má svoju vlajku?

№ 972. a) Koľko dvojciferných čísel možno utvoriť z čísel 1, 3, 5, 7, 9?

b) Koľko dvojciferných čísel možno zostaviť z čísel 1, 3, 5, 7, 9 za predpokladu, že sa čísla nemajú opakovať?

Druhá lekcia

Kontrola domácich úloh. a) č. 969 a č. 972a) a č. 972b) - postavte na hracej ploche strom možných možností.

b) slovne skontrolovať zostavené úlohy.

Riešenie problémov.

Takže predtým sme sa naučili, ako riešiť kombinatorické problémy pomocou stromu možností. Je to dobrý spôsob? Pravdepodobne áno, ale veľmi ťažkopádne. Skúsme vyriešiť domáci problém č. 972 inak. Kto uhádne, ako sa to dá?

odpoveď: Ku každej z piatich farieb tričiek sú 4 farby kraťasov. Celkom: 4 * 5 = 20 možností.

№ 980. Urny obsahujú päť loptičiek, každá v piatich rôznych farbách: biela, modrá, červená, žltá, zelená. Z každej urny sa vždy vytiahne jedna loptička. Opíšte nasledujúcu udalosť ako istú, náhodnú alebo nemožnú:

a) ťahané gule rôznych farieb; (náhodné)

b) vytiahnuté loptičky rovnakej farby; (náhodné)

c) losujú sa čierne a biele gule; (nemožné)

d) vyberú sa dve loptičky a obe sú zafarbené jednou z nasledujúcich farieb: biela, modrá, červená, žltá, zelená. (autentické)

№ 982. Skupina turistov si plánuje spraviť výlet po trase Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo. Z Antonova do Borisova môžete splavovať rieku alebo sa prejsť. Z Borisova do Vlasova môžete ísť pešo alebo na bicykli. Z Vlasova do Gribova sa môžete kúpať popri rieke, jazdiť na bicykli alebo sa prejsť. Koľko možností turistiky si môžu turisti vybrať? Koľko možností turistiky si môžu turisti vybrať za predpokladu, že aspoň jeden z úsekov trasy musia použiť bicykle?

(12 možností trasy, z toho 8 na bicykloch)

Samostatná práca.

1 možnosť

a) Koľko trojciferných čísel možno zostaviť z čísel: 0, 1, 3, 5, 7?

b) Koľko trojciferných čísel možno zostaviť z čísel: 0, 1, 3, 5, 7 za predpokladu, že sa čísla nemajú opakovať?

Athos, Porthos a Aramis majú len meč, dýku a pištoľ.

a) Koľkými spôsobmi môžu byť mušketieri vyzbrojení?

b) Koľko možností zbraní je, ak musí Aramis ovládať meč?

c) Koľko možností zbraní je, ak by Aramis mal mať meč a Porthos pištoľ?

Niekde Boh poslal vrane kúsok syra, ale aj syr, klobásy, biely a čierny chlieb. Vrana sedela na jedli a práve sa chystala raňajkovať, no ona sa zamyslela: na koľko spôsobov sa dajú z týchto produktov vyrobiť sendviče?

Možnosť 2

a) Koľko trojciferných čísel možno zostaviť z čísel: 0, 2, 4, 6, 8?

b) Koľko trojciferných čísel možno zostaviť z čísel: 0, 2, 4, 6, 8 za predpokladu, že sa čísla nemajú opakovať?

Gróf Monte Cristo sa rozhodol darovať princeznej Hyde náušnice, náhrdelník a náramok. Každý šperk musí obsahovať jeden z nasledujúcich druhov drahokamov: diamanty, rubíny alebo granáty.

a) Koľko kombinácií drahokamových šperkov existuje?

b) Koľko možností šperkov je, ak náušnice musia byť diamantové?

c) Koľko možností šperkov je, ak by náušnice mali byť diamantové a náramok granátový?

Na raňajky si môžete vybrať žemľu, sendvič alebo perník s kávou alebo kefírom. Koľko možností na raňajky si môžete pripraviť?

Domáca úloha : č. 974, 975. (zostavením stromu možností a použitím pravidla násobenia)

№ 974 . a) Koľko trojciferných čísel možno utvoriť z čísel 0, 2, 4?

b) Koľko trojciferných čísel možno zostaviť z čísel 0, 2, 4 za predpokladu, že sa čísla nemajú opakovať?

№ 975 . a) Koľko trojciferných čísel možno zostaviť z čísel 1,3, 5,7?

b) Koľko trojciferných čísel možno vytvoriť z uvedených čísel 1.3, 5.7. Aké čísla by sa nemali opakovať?

Čísla problémov sú prevzaté z učebnice

"Matematika-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.

1.1. Pár informácií z kombinatoriky

1.1.1. Ubytovanie

Zvážte najjednoduchšie koncepty súvisiace s výberom a umiestnením určitého súboru objektov.
Pri riešení pravdepodobnostných problémov sa často vykonáva počítanie počtu spôsobov, ktorými možno tieto akcie vykonať.
Definícia. Ubytovanie od n prvky podľa k (k ≤n) je akákoľvek usporiadaná podmnožina k prvky súpravy pozostávajúcej z n rôzne prvky.
Príklad. Nasledujúce postupnosti čísel sú usporiadaniami 2 prvkov z 3 prvkov sady (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Všimnite si, že umiestnenia sa líšia v poradí ich základných prvkov a ich zložení. Umiestnenia 12 a 21 obsahujú rovnaké čísla, ale ich poradie je odlišné. Preto sa tieto umiestnenia považujú za odlišné.
Počet rôznych umiestnení z n prvky podľa k označené a vypočítané podľa vzorca:
,
Kde n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(čítať " n faktoriál).
Počet dvojciferných čísel, ktoré sa môžu skladať z číslic 1, 2, 3, za predpokladu, že sa žiadna číslica neopakuje, je: .

1.1.2. Permutácie

Definícia. Permutácie z n prvky sa nazývajú takéto umiestnenia z n prvky, ktoré sa líšia len usporiadaním prvkov.
Počet permutácií od n prvkov P n vypočítané podľa vzorca: P n=n!
Príklad. Koľkými spôsobmi sa môže postaviť 5 ľudí? Počet spôsobov sa rovná počtu permutácií 5 prvkov, t.j.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definícia. Ak medzi n prvkov k identické, potom ich permutácia n prvky sa nazýva permutácia s opakovaniami.
Príklad. Predpokladajme, že zo 6 kníh sú 2 rovnaké. Akékoľvek usporiadanie všetkých kníh na poličke je permutácia s opakovaniami.
Počet rôznych permutácií s opakovaniami (z n prvky, medzi ktorými k identický) sa vypočíta podľa vzorca: .
V našom príklade je počet spôsobov, ako môžu byť knihy usporiadané na polici: .

1.1.3. Kombinácie

Definícia. Kombinácie z n prvky podľa k takéto umiestnenia sa nazývajú n prvky podľa k, ktoré sa od seba líšia aspoň jedným prvkom.
Množstvo rôznych kombinácií n prvky podľa k označujeme a vypočítame podľa vzorca: .
Podľa definície 0!=1.
Kombinácie majú nasledujúce vlastnosti:
1.
2.
3.
4.
Príklad. K dispozícii je 5 kvietkov rôznych farieb. Pre kyticu sú vybrané 3 kvety. Počet rôznych kytíc 3 kvetov z 5 je: .

1.2. náhodné udalosti

1.2.1. Diania

znalosť reality v prírodné vedy vzniká ako výsledok testov (experiment, pozorovanie, skúsenosť).
test alebo skúsenosť je implementácia nejakého špecifického súboru podmienok, ktoré možno ľubovoľne reprodukovať veľké číslo raz.
Náhodný nazývaná udalosť, ktorá môže, ale nemusí nastať ako výsledok nejakého testu (skúsenosti).
Udalosť sa teda považuje za výsledok testu.
Príklad. Hádzanie mincou je skúška. Vzhľad orla pri hode je udalosť.
Udalosti, ktoré pozorujeme, sa líšia mierou možnosti ich výskytu a povahou ich vzťahu.
Podujatie sa volá autentické ak k nemu určite dôjde v dôsledku testu.
Príklad.Študent, ktorý na skúške dostane kladnú alebo zápornú známku, je istou udalosťou, ak skúška prebieha podľa zaužívaných pravidiel.
Podujatie sa volá nemožné ak k nemu nemôže dôjsť v dôsledku tohto testu.
Príklad. Vytiahnutie bielej gule z urny obsahujúcej iba farebné (nie biele) gule je nemožná udalosť. Všimnite si, že za iných podmienok experimentu nie je vylúčený vzhľad bielej gule; teda táto udalosť je nemožná iba v podmienkach našej skúsenosti.
Náhodné udalosti budú ďalej označené veľkou latinkou písmená A,B,C... Istá udalosť sa označí písmenom Ω, nemožná udalosť Ø.
Volajú sa dve alebo viac udalostí rovnako možné v danom teste, ak existuje dôvod domnievať sa, že žiadna z týchto udalostí nie je pravdepodobnejšia alebo menej pravdepodobná ako ostatné.
Príklad. Pri jednom hode kockou sú rovnako možné udalosti 1, 2, 3, 4, 5 a 6 bodov. Samozrejme sa predpokladá, že matrica je vyrobená z homogénneho materiálu a má pravidelný tvar.
Dve udalosti sa nazývajú nezlučiteľné v danom pokuse, ak výskyt jedného z nich vylučuje výskyt druhého, a kĺb inak.
Príklad. Krabička obsahuje štandardné a neštandardné diely. Vezmime si jeden detail. Vzhľad štandardného dielu vylučuje vzhľad neštandardného dielu. Tieto udalosti sú nezlučiteľné.
Tvorí sa niekoľko udalostí celá skupina podujatí v tomto teste, ak sa v dôsledku tohto testu nevyhnutne vyskytne aspoň jeden z nich.
Príklad. Udalosti z príkladu tvoria ucelenú skupinu rovnako možných a párovo nekompatibilných udalostí.
Nazývajú sa dve nesúvislé udalosti, ktoré tvoria ucelenú skupinu udalostí v danom procese opačné udalosti.
Ak je jeden z nich označený A, potom sa druhý zvyčajne označuje cez (znie „nie A»).
Príklad. Zasiahnutie a zmiznutie jedným výstrelom na cieľ sú opačné udalosti.

1.2.2. Klasická definícia pravdepodobnosti

Pravdepodobnosť udalosti - číselná miera možnosti jej výskytu.
Udalosť A volal priaznivý udalosť IN ak kedykoľvek dôjde k udalosti A, dôjde k udalosti IN.
Diania A 1 , A 2 , ..., An formulár prípadová tabuľka , Ak oni:
1) sú rovnako možné;
2) sú párovo nekompatibilné;
3) vytvorte kompletnú skupinu.
V schéme prípadov (a iba v tejto schéme) klasická definícia pravdepodobnosti P(A) diania A. Tu sa každá z udalostí patriacich do vybranej kompletnej skupiny rovnako možných a párovo nekompatibilných udalostí nazýva prípad.
Ak n je počet všetkých prípadov v schéme a m- počet prípadov priaznivých pre udalosť A, To pravdepodobnosť udalosti A je definovaná rovnosťou:

Z definície pravdepodobnosti vyplývajú tieto vlastnosti:
1. Pravdepodobnosť určitej udalosti sa rovná jednej.
V skutočnosti, ak je udalosť istá, potom každý výskyt v schéme výskytov uprednostňuje danú udalosť. V tomto prípade m = n a preto

2. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.
V skutočnosti, ak je udalosť nemožná, potom žiadny z prípadov zo schémy prípadov nepodporuje udalosť. Preto m=0 a teda

Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je kladné číslo medzi nulou a jednou.
Náhodnú udalosť totiž uprednostňuje len zlomok celkového počtu prípadov v schéme prípadov. Preto 0<m<n, čo znamená 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti teda spĺňa nerovnosti
0 ≤ P(A) ≤ 1.
V súčasnosti sú vlastnosti pravdepodobnosti definované vo forme axióm formulovaných A.N. Kolmogorov.
Jednou z hlavných výhod klasickej definície pravdepodobnosti je možnosť vypočítať pravdepodobnosť udalosti priamo, t.j. bez uchyľovania sa k experimentom, ktoré sú nahradené logickým uvažovaním.

Problémy priameho výpočtu pravdepodobností

Úloha 1.1. Aká je pravdepodobnosť získania párneho počtu bodov (udalosť A) pri jednom hode kockou?
Riešenie. Zvážte udalosti Ai- vypadol i body, i= 1, 2, ..., 6. Je zrejmé, že tieto udalosti tvoria vzor prípadov. Potom počet všetkých prípadov n= 6. Prípady uprednostňujú párny počet bodov A 2 , A 4 , A 6, t.j. m= 3. Potom .
Úloha 1.2. Urna obsahuje 5 bielych a 10 čiernych loptičiek. Guľôčky sa dôkladne premiešajú a potom sa náhodne vyberie 1 gulička. Aká je pravdepodobnosť, že vytiahnutá guľa je biela?
Riešenie. Celkovo ide o 15 prípadov, ktoré tvoria vzor prípadov. A očakávaná udalosť A- vzhľad bielej gule preto uprednostňuje 5 z nich .
Úloha 1.3. Dieťa sa hrá so šiestimi písmenami abecedy: A, A, E, K, P, T. Nájdite pravdepodobnosť, že môže náhodne pridať slovo KOČIAR (udalosť A).
Riešenie. Rozhodnutie komplikuje skutočnosť, že medzi písmenami sú rovnaké - dve písmená "A". Preto sa počet všetkých možných prípadov v tomto pokuse rovná počtu permutácií s opakovaniami 6 písmen:
.
Tieto prípady sú rovnako možné, párovo nekompatibilné a tvoria ucelenú skupinu udalostí, t.j. vytvoriť schému prípadu. Len jedna šanca podporuje akciu A. Preto
.
Úloha 1.4. Tanya a Vanya sa dohodli, že oslávia Nový rok v spoločnosti 10 ľudí. Obaja veľmi chceli sedieť vedľa seba. Aká je pravdepodobnosť, že sa ich želanie splní, ak je zvykom rozdeľovať miesta medzi svojich priateľov žrebom?
Riešenie. Označiť podľa A udalosť „splnenie túžby Tanye a Vanyi“. 10 ľudí môže sedieť pri stole po 10! rôzne cesty. Koľko z týchto n= 10! sú rovnako možné spôsoby priaznivé pre Tanyu a Vanyu? Tanya a Vanya sediaci vedľa seba môžu zaujať 20 rôznych pozícií. Pri stole 8 si zároveň môže sadnúť osem ich priateľov! rôznymi spôsobmi, takže m= 20∙8!. teda
.
Úloha 1.5. Skupina 5 žien a 20 mužov vyberie troch delegátov. Za predpokladu, že každý z prítomných bude rovnako pravdepodobne vybraný, nájdite pravdepodobnosť, že budú vybrané dve ženy a jeden muž.
Riešenie. Celkový počet rovnako pravdepodobných výsledkov testu sa rovná počtu spôsobov, ktorými možno z 25 ľudí vybrať troch delegátov, t.j. . Vypočítajme teraz počet priaznivých prípadov, t.j. počet výskytov zaujímavej udalosti. Mužského delegáta možno vybrať dvadsiatimi spôsobmi. Zároveň zostávajúce dve delegátky musia byť ženy a môžete si vybrať dve ženy z piatich. Preto, . Preto
.
Problém 1.6.Štyri loptičky sú náhodne roztrúsené po štyroch jamkách, každá loptička padne do tej či onej jamky s rovnakou pravdepodobnosťou a nezávisle od ostatných (nie sú prekážky dostať niekoľko loptičiek do tej istej jamky). Nájdite pravdepodobnosť, že v jednej z jamiek budú tri loptičky, jedna - v druhej a žiadne loptičky v ďalších dvoch jamkách.
Riešenie. Celkový počet prípadov n= 44. Počet spôsobov, ktorými je možné zvoliť jednu jamku, kde budú tri loptičky, . Počet spôsobov, ktorými si môžete vybrať jamku, kde bude jedna loptička, . Počet spôsobov, ktorými si môžete vybrať tri loptičky zo štyroch loptičiek, aby ste ich vložili do prvej jamky, . Celkový počet priaznivých prípadov . Pravdepodobnosť udalosti:
Problém 1.7. V krabici je 10 rovnakých loptičiek, označených číslami 1, 2, ..., 10. Pre šťastie sa žrebuje šesť loptičiek. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi vyťaženými guľôčkami bude: a) guľôčka č. 1; b) lopty #1 a #2.
Riešenie. a) Celkový počet možných elementárnych výsledkov testu sa rovná počtu spôsobov, ktorými možno vytiahnuť šesť loptičiek z desiatich, t.j.
Nájdite počet výsledkov v prospech udalosti, o ktorú sa zaujímame: medzi vybranými šiestimi loptičkami je loptička číslo 1 a teda zvyšných päť loptičiek má rôzne čísla. Počet takýchto výsledkov sa očividne rovná počtu spôsobov, ktorými možno vybrať päť loptičiek zo zvyšných deviatich, t.j.
Požadovaná pravdepodobnosť sa rovná pomeru počtu výsledkov, ktoré uprednostňujú uvažovanú udalosť, k celkovému počtu možných základných výsledkov:
b) Počet výsledkov uprednostňujúcich pre nás zaujímavú udalosť (medzi vybranými loptičkami sú loptičky č. 1 a č. 2, preto majú štyri loptičky rôzne čísla) sa rovná počtu spôsobov, ktorými môžu byť štyri loptičky extrahované zo zvyšných ôsmich, t.j. Požadovaná pravdepodobnosť

1.2.3. Štatistická pravdepodobnosť

Štatistická definícia pravdepodobnosti sa používa vtedy, keď výsledky experimentu nie sú rovnako pravdepodobné.
Relatívna frekvencia udalostí A je definovaná rovnosťou:
,
Kde m je počet pokusov, v ktorých sa udalosť A už to prišlo n je celkový počet vykonaných testov.
J. Bernoulli dokázal, že pri neobmedzenom zvyšovaní počtu experimentov sa relatívna frekvencia výskytu udalosti bude prakticky ľubovoľne líšiť od nejakého konštantného čísla. Ukázalo sa, že toto konštantné číslo je pravdepodobnosť výskytu udalosti. Preto sa, prirodzene, relatívna frekvencia výskytu udalosti s dostatočne veľkým počtom pokusov nazýva štatistická pravdepodobnosť, na rozdiel od predtým zavedenej pravdepodobnosti.
Príklad 1.8. Ako môžete približovať počet rýb v jazere?
Pustite do jazera X ryby. Nahodíme sieť a povedzme v nej nájdeme n ryby. Každý z nich označíme a pustíme späť. O pár dní neskôr, v rovnakom počasí a na rovnakom mieste, sme hodili rovnakú sieť. Predpokladajme, že v ňom nájdeme m rýb, medzi ktorými k označené. Nechajte udalosť A- "Ulovená ryba je označená." Potom podľa definície relatívnej frekvencie.
Ale ak v jazere X rybu a pustili sme ju n označené, potom .
Pretože R * (A) » R(A), To.

1.2.4. Operácie na udalostiach. Sčítací teorém

súčet, alebo spojenie viacerých udalostí je udalosť, ktorá spočíva v výskyte aspoň jednej z týchto udalostí (v tom istom teste).
Sum A 1 + A 2 + … + An označené takto:
alebo .
Príklad. Hodia sa dve kocky. Nechajte udalosť A pozostáva z hodenia 4 bodov 1 kockou a udalosti IN- v hode 5 bodov na inej kocke. Diania A A IN kĺb. Preto udalosť A +IN pozostáva z hodenia 4 bodov na prvej kocke alebo 5 bodov na druhej kocke, alebo 4 bodov na prvej kocke a 5 bodov na druhej kocke súčasne.
Príklad. Udalosť A– výhra na 1 pôžičku, event IN- výhra na 2 pôžičky. Potom udalosť A+B- výhra aspoň jednej pôžičky (prípadne dvoch naraz).
práca alebo priesečník niekoľkých udalostí je udalosťou, ktorá spočíva v spoločnom výskyte všetkých týchto udalostí (v tom istom teste).
Práca IN diania A 1 , A 2 , …, An označené takto:
.
Príklad. Diania A A IN spočívajú v úspešnom absolvovaní I. a II. kola pri prijatí do ústavu. Potom udalosť A×B spočíva v úspešnom absolvovaní oboch kôl.
Pojmy súčet a súčin udalostí majú jasnú geometrickú interpretáciu. Nechajte udalosť A v oblasti došlo k zásahu bodu A a udalosť IN- zasiahnutie bodu v oblasti IN. Potom udalosť A+B v spojení týchto oblastí dôjde k zásahu bodu (obr. 2.1) a event AIN v priesečníku týchto oblastí je zásah bodu (obr. 2.2).

Ryža. 2.1 Obr. 2.2
Veta. Ak udalosti Ai(i = 1, 2, …, n) sú párovo nekompatibilné, potom sa pravdepodobnosť súčtu udalostí rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:
.
Nechaj A A Ā – opačné deje, t.j. A + a= Ω, kde Ω je určitý dej. Z vety o sčítaní vyplýva, že
P(Ω) = R(A) + R(Ā ) = 1 teda
R(Ā ) = 1 – R(A).
Ak udalosti A 1 a A 2 sú spoločné, potom sa pravdepodobnosť súčtu dvoch spoločných udalostí rovná:
R(A 1 + A 2) = R(A 1) + R(A 2) – P( A 1× A 2).
Vety o sčítaní pravdepodobnosti umožňujú prejsť od priameho výpočtu pravdepodobností k určovaniu pravdepodobnosti výskytu komplexných udalostí.
Úloha 1.8. Strelec vypáli jednu ranu na cieľ. Pravdepodobnosť vyradenia 10 bodov (udalosť A), 9 bodov (príp IN) a 8 bodov (event S) sú rovné 0,11; 0,23; 0,17. Nájdite pravdepodobnosť, že pri jednom výstrele strelec dosiahne menej ako 8 bodov (udal D).
Riešenie. Prejdime na opačnú udalosť – jednou ranou strelec vyradí minimálne 8 bodov. Udalosť nastane, ak A alebo IN, alebo S, t.j. . Od udalostí A, B, S sú párovo nekonzistentné, potom podľa vety o sčítaní,
, kde .
Úloha 1.9. Z tímu brigády, ktorý tvorí 6 mužov a 4 ženy, sa na odborovú konferenciu vyberú dvaja ľudia. Aká je pravdepodobnosť, že medzi vyvolenými bude aspoň jedna žena (udalosť A).
Riešenie. Ak dôjde k udalosti A, potom nevyhnutne nastane jedna z nasledujúcich nekompatibilných udalostí: IN- "muž a žena sú vyvolení"; S"Boli vybrané dve ženy." Preto môžeme napísať: A = B + C. Nájdite pravdepodobnosť udalostí IN A S. Dvoch ľudí z 10 je možné vybrať rôznymi spôsobmi. Dve ženy zo 4 možno vybrať rôznymi spôsobmi. Muža a ženu je možné vybrať 6×4 spôsobmi. Potom . Od udalostí IN A S sú teda nekonzistentné podľa vety o sčítaní,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Problém 1.10. Na poličke v knižnici je náhodne rozmiestnených 15 učebníc, z toho päť je zviazaných. Knihovník si náhodne vezme tri učebnice. Nájdite pravdepodobnosť, že aspoň jedna z prebratých učebníc bude zviazaná (príp A).
Riešenie. Prvý spôsob. Požiadavka - aspoň jedna z troch zviazaných učebníc - bude splnená, ak nastane niektorá z nasledujúcich troch nezlučiteľných udalostí: IN- 1 viazaná učebnica S- dve zviazané učebnice D- Tri zviazané učebnice.
Udalosť, ktorá nás zaujíma A môžu byť reprezentované ako súčet udalostí: A = B + C + D. Podľa vety o sčítaní,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Nájdite pravdepodobnosť udalostí B, C A D(pozri kombinatorické schémy):

Reprezentujúc tieto pravdepodobnosti v rovnosti (2.1), nakoniec dostaneme
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Druhý spôsob. Udalosť A(aspoň jedna z troch odobratých učebníc má väzbu) a Ā (žiadna z prevzatých učebníc nemá väzbu) sú opačné teda P(A) + P(Ā) = 1 (súčet pravdepodobností dvoch opačných udalostí sa rovná 1). Odtiaľ P(A) = 1 – P(a). Pravdepodobnosť výskytu udalosti Ā (žiadna z prebratých učebníc nie je zviazaná)
Požadovaná pravdepodobnosť
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Podmienená pravdepodobnosť. Veta o násobení pravdepodobnosti

Podmienená pravdepodobnosť P(B/A) je pravdepodobnosť udalosti B, vypočítaná za predpokladu, že udalosť A už nastala.
Veta. Pravdepodobnosť spoločného výskytu dvoch udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich a podmienenej pravdepodobnosti druhej, vypočítanej za predpokladu, že prvá udalosť už nastala:
P(A∙B) = P(A)∙P( IN/A). (2.2)
Dve udalosti sa nazývajú nezávislé, ak výskyt jednej z nich nemení pravdepodobnosť výskytu druhej, t.j.
P(A) = P(A/B) alebo P(B) = P(B/A). (2.3)
Ak udalosti A A IN sú nezávislé, potom zo vzorcov (2.2) a (2.3) vyplýva
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Platí aj opačné tvrdenie, t.j. ak platí rovnosť (2.4) pre dve udalosti, potom sú tieto udalosti nezávislé. Vzorce (2.4) a (2.2) skutočne naznačujú
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/A), kde P(A) = P(B/A).
Vzorec (2.2) možno zovšeobecniť na prípad konečného počtu udalostí A 1 , A 2 ,…,A n:
P(A 1 ∙A 2 ∙…∙A n)=P(A 1)∙P(A 2 /A 1)∙P(A 3 /A 1 A 2)∙…∙P(A n/A 1 A 2 …A n -1).
Úloha 1.11. Z urny obsahujúcej 5 bielych a 10 čiernych loptičiek sa vytiahnu dve loptičky za sebou. Nájdite pravdepodobnosť, že obe loptičky sú biele (udal A).
Riešenie. Zvážte udalosti: IN- prvá vytiahnutá guľa je biela; S– druhá vytiahnutá guľa je biela. Potom A = BC.
Skúsenosti možno získať dvoma spôsobmi:
1) s návratom: po zafixovaní farby sa vyžrebovaná guľa vráti späť do urny. V tomto prípade udalosti IN A S nezávislý:
P(A) = P(B)∙P(C) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) bez výmeny: vyžrebovaná guľa sa odloží. V tomto prípade udalosti IN A S závislý:
P(A) = P(B)∙P(C/IN).
Na udalosť IN podmienky sú rovnaké a pre S situácia sa zmenila. Stalo IN, tak v urne zostalo 14 loptičiek, z toho 4 biele.
Takže, .
Úloha 1.12. Spomedzi 50 žiaroviek sú 3 neštandardné. Nájdite pravdepodobnosť, že dve žiarovky odobraté súčasne sú neštandardné.
Riešenie. Zvážte udalosti: A- prvá žiarovka je neštandardná, IN- druhá žiarovka je neštandardná, S- obe žiarovky sú neštandardné. To je jasné C = A∙IN. udalosť A uprednostniť 3 prípady z 50 možných, t.j. P(A) = 3/50. Ak udalosť A sa už stalo, udalosť IN zvýhodniť dva prípady zo 49 možných, t.j. P(B/A) = 2/49. teda
.
Úloha 1.13. Dvaja športovci nezávisle strieľajú na rovnaký terč. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa prvého športovca je 0,7 a druhého 0,8. Aká je pravdepodobnosť, že cieľ bude zasiahnutý?
Riešenie. Terč bude zasiahnutý, ak ho zasiahne buď prvý strelec, alebo druhý, alebo obaja, t.j. dôjde k udalosti A+B, kde sa udalosť A spočíva v zasiahnutí cieľa prvým pretekárom a event IN- druhý. Potom
P(A+IN)=P(A)+P(B)–P(A∙IN)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Problém 1.14. V čitárni je šesť učebníc teórie pravdepodobnosti, z toho tri sú viazané. Pani knihovníčka si náhodne zobrala dve učebnice. Nájdite pravdepodobnosť, že budú zviazané dve učebnice.
Riešenie. Predstavme si zápis udalostí : A– prvá odobratá učebnica má väzbu, IN- Druhá učebnica je zviazaná. Pravdepodobnosť, že prvá učebnica má väzbu,
P(A) = 3/6 = 1/2.
Pravdepodobnosť, že druhá učebnica je zviazaná, vzhľadom na to, že prvá odobratá kniha bola zviazaná, t.j. podmienená pravdepodobnosť udalosti IN, je toto: P(B/A) = 2/5.
Požadovaná pravdepodobnosť, že obe učebnice majú väzbu, sa podľa vety o násobení pre pravdepodobnosti udalostí rovná
P(AB) = P(A) ∙ P(B/A)= 1/2 ∙ 2/5 = 0,2.
Problém 1.15. V predajni pracuje 7 mužov a 3 ženy. Náhodne boli vybraní traja ľudia podľa personálnych počtov. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky vybrané osoby sú muži.
Riešenie. Zavedieme zápis udalostí: A- muž vybraný ako prvý IN- druhý vybraný muž, S - tretí vybraný muž. Pravdepodobnosť, že ako prvý je vybraný muž P(A) = 7/10.
Pravdepodobnosť, že muž je vybraný ako druhý, za predpokladu, že muž už bol vybraný ako prvý, t.j. podmienená pravdepodobnosť udalosti INĎalšie : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Pravdepodobnosť, že muž bude vybraný ako tretí, za predpokladu, že už boli vybraní dvaja muži, t.j. podmienená pravdepodobnosť udalosti S je: P(C/AB) = 5/8.
Požadovaná pravdepodobnosť, že všetky tri vybrané osoby sú muži, P(ABC) = P(A) P(B/A) P(C/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24.

1.2.6. Vzorec celkovej pravdepodobnosti a Bayesov vzorec

Nechaj B 1 , B 2 ,…, B n sú párovo nezlučiteľné udalosti (hypotézy) a A- udalosť, ktorá môže nastať len v spojení s jedným z nich.
Dajte nám tiež vedieť Р(B i) A P(A/B i) (i = 1, 2, …, n).
Za týchto podmienok sú platné vzorce:
(2.5)
(2.6)
Vzorec (2.5) sa nazýva vzorec celkovej pravdepodobnosti . Vypočítava pravdepodobnosť udalosti A(plná pravdepodobnosť).
Vzorec (2.6) sa nazýva Bayesov vzorec . Umožňuje vám prepočítať pravdepodobnosti hypotéz v prípade udalosti A Stalo.
Pri zostavovaní príkladov je vhodné zvážiť, že hypotézy tvoria ucelenú skupinu.
Úloha 1.16. Košík obsahuje jablká zo štyroch stromov rovnakej odrody. Od prvého - 15% všetkých jabĺk, od druhého - 35%, od tretieho - 20%, od štvrtého - 30%. Zrelé jablká sú 99%, 97%, 98%, 95%.
a) Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybrané jablko je zrelé? A).
b) Ak sa náhodne vybraté jablko ukázalo ako zrelé, vypočítajte pravdepodobnosť, že pochádza z prvého stromu.
Riešenie. a) Máme 4 hypotézy:
B 1 - náhodne odobraté jablko sa vyberie z 1. stromu;
B 2 - náhodne vybraté jablko sa vyberie z 2. stromu;
B 3 - náhodne vybraté jablko sa vyberie z 3. stromu;
B 4 - náhodne vybraté jablko sa vyberie zo 4. stromu.
Ich pravdepodobnosti podľa stavu: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Podmienené pravdepodobnosti udalostí A:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
Pravdepodobnosť, že náhodne vybrané jablko bude zrelé, sa zistí podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti:
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) Bayesov vzorec pre náš prípad má tvar:
.
Problém 1.17. Do urny obsahujúcej dve loptičky sa vhodí biela loptička, po ktorej sa náhodne vyžrebuje jedna loptička. Nájdite pravdepodobnosť, že vylosovaná guľa bude biela, ak sú všetky možné predpoklady o počiatočnom zložení loptičiek (podľa farby) rovnako možné.
Riešenie. Označiť podľa A udalosť - vyžrebuje sa biela guľa. Nasledujúce predpoklady (hypotézy) o počiatočnom zložení loptičiek sú možné: B1žiadne biele gule AT 2- jedna biela guľa AT 3- dve biele gule.
Keďže hypotézy sú celkovo tri a súčet pravdepodobností hypotéz je 1 (keďže tvoria ucelenú skupinu udalostí), tak pravdepodobnosť každej z hypotéz je 1/3, t.j.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Podmienená pravdepodobnosť, že sa vyžrebuje biela guľa, ak pôvodne v urne neboli žiadne biele gule, P(A/B 1) = 1/3. Podmienená pravdepodobnosť, že bude vytiahnutá biela guľa, ak urna pôvodne obsahovala jednu bielu guľu, P(A/B 2) = 2/3. Podmienená pravdepodobnosť, že bude vyžrebovaná biela guľa vzhľadom na to, že urna pôvodne obsahovala dve biele gule. P(A/B 3)=3/ 3=1.
Požadovaná pravdepodobnosť, že bude vytiahnutá biela guľa, sa zistí podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti:
R(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Úloha 1.18. Dva stroje vyrábajú rovnaké diely, ktoré sa privádzajú na spoločný dopravník. Výkon prvého stroja je dvakrát vyšší ako výkon druhého. Prvý stroj vyrába v priemere 60% dielov vynikajúcej kvality a druhý - 84%. Náhodne odobratá časť z montážnej linky sa ukázala ako vynikajúca. Nájdite pravdepodobnosť, že túto položku vyrobil prvý stroj.
Riešenie. Označiť podľa A akcia je tovar vynikajúcej kvality. Možno urobiť dva predpoklady: B1- diel je vyrobený prvým strojom a (keďže prvý stroj vyrába dvakrát toľko dielov ako druhý) P(A/B 1) = 2/3; B 2 - diel bol vyrobený druhým strojom a P(B 2) = 1/3.
podmienená pravdepodobnosť, že diel bude mať vynikajúcu kvalitu, ak ho vyrobí prvý stroj, P(A/B 1)=0,6.
podmienená pravdepodobnosť, že diel bude mať vynikajúcu kvalitu, ak ho vyrobí druhý stroj, P(A/B 1)=0,84.
Pravdepodobnosť, že náhodne vybraná časť bude mať vynikajúcu kvalitu, sa podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti rovná
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2) = 2/3 0,6 + 1/3 0,84 = 0,68.
Požadovaná pravdepodobnosť, že odobratú vynikajúcu časť vyrobí prvý automat podľa Bayesovho vzorca, sa rovná

Úloha 1.19. Existujú tri šarže dielov po 20 dielov. Počet štandardných dielov v prvej, druhej a tretej dávke je 20, 15 a 10. Časť, ktorá sa ukázala ako štandardná, bola náhodne extrahovaná z vybranej dávky. Diely sa vrátia do šarže a z tej istej šarže sa náhodne odoberie časť druhýkrát, čo sa tiež ukazuje ako štandard. Nájdite pravdepodobnosť, že diely boli odobraté z tretej dávky.
Riešenie. Označiť podľa A udalosť - v každom z dvoch testov (s návratom) bola získaná štandardná časť. Je možné urobiť tri hypotézy: B 1 - diely sú odstránené z prvej šarže, IN 2 – diely sa odoberajú z druhej šarže, IN 3 - diely sú odstránené z tretej dávky.
Podrobnosti boli prevzaté náhodne z odobratej dávky, takže pravdepodobnosti hypotéz sú rovnaké: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Nájdite podmienenú pravdepodobnosť P(A/B 1), t.j. pravdepodobnosť, že sa z prvej dávky vytiahnu dve štandardné časti za sebou. Táto udalosť je spoľahlivá, pretože. v prvej várke sú všetky diely štandardné, tzv P(A/B 1) = 1.
Nájdite podmienenú pravdepodobnosť P(A/B 2), t.j. pravdepodobnosť, že dve štandardné časti budú postupne extrahované (s návratom) z druhej dávky: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Nájdite podmienenú pravdepodobnosť P(A/B 3), t.j. pravdepodobnosť, že dve štandardné časti budú postupne odstránené (s návratom) z tretej šarže: P(A/B 3) = 10/20 10/20 = 1/4.
Požadovaná pravdepodobnosť, že sa obe extrahované štandardné časti odoberú z tretej dávky podľa Bayesovho vzorca, sa rovná

1.2.7. Opakované testy

Ak sa vykoná niekoľko testov, a pravdepodobnosť udalosti A v každom pokuse nezávisí od výsledkov iných pokusov, potom sa takéto pokusy nazývajú nezávislé od udalosti A. V rôznych nezávislých skúškach sa event A môže mať rôzne pravdepodobnosti alebo rovnakú pravdepodobnosť. Ďalej budeme uvažovať len o takých nezávislých skúškach, v ktorých sa event A má rovnakú pravdepodobnosť.
Nech sa vyrába P nezávislé pokusy, v každom z nich je event A sa môže alebo nemusí objaviť. Predpokladajme, že pravdepodobnosť udalosti A v každom teste je rovnaký, teda rovný R. Preto pravdepodobnosť nenastať udalosti A v každom teste je tiež konštantná a rovná sa 1– R. Takáto pravdepodobnostná schéma je tzv Bernoulliho schéma. Dajme si za úlohu vypočítať pravdepodobnosť, že P Bernoulliho pokusy A sa splní presne k raz ( k- počet úspechov), a preto sa nezrealizuje P- raz. Je dôležité zdôrazniť, že sa nevyžaduje, aby udalosť A opakoval presne k krát v určitom poradí. Označte požadovanú pravdepodobnosť Rp (k). Napríklad symbol R 5 (3) znamená pravdepodobnosť, že v piatich pokusoch sa udalosť objaví presne 3-krát, a teda nenastane 2-krát.
Problém je možné vyriešiť pomocou tzv Bernoulliho vzorce, ktorý vyzerá takto:
.
Problém 1.20. Pravdepodobnosť, že spotreba elektriny v priebehu jedného dňa neprekročí stanovenú normu, sa rovná R= 0,75. Nájdite pravdepodobnosť, že v nasledujúcich 6 dňoch spotreba elektriny počas 4 dní neprekročí normu.
Riešenie. Pravdepodobnosť bežnej spotreby elektrickej energie počas každého zo 6 dní je konštantná a rovná sa R= 0,75. Pravdepodobnosť nadmerného výdaja elektriny každý deň je preto tiež konštantná a rovná q= 1–R=1–0,75=0,25.
Požadovaná pravdepodobnosť podľa Bernoulliho vzorca sa rovná
.
Úloha 1.21. Dvaja rovnakí šachisti hrajú šach. Čo je pravdepodobnejšie: vyhrať dva zápasy zo štyroch alebo tri zápasy zo šiestich (remízy sa neberú do úvahy)?
Riešenie. Hrajú rovnocenní šachisti, takže pravdepodobnosť výhry R= 1/2, teda pravdepodobnosť prehry q sa tiež rovná 1/2. Pretože vo všetkých hrách je pravdepodobnosť výhry konštantná a nezáleží na tom, v akom poradí sú hry vyhrané, potom platí Bernoulliho vzorec.
Nájdite pravdepodobnosť, že vyhrajú dve hry zo štyroch:

Nájdite pravdepodobnosť, že vyhrajú tri zo šiestich hier:

Pretože P 4 (2) > P 6 (3), je pravdepodobnejšie, že vyhrá dve hry zo štyroch ako tri zo šiestich.
Je však vidieť, že pri veľkých hodnotách použijeme Bernoulliho vzorec n je to dosť ťažké, pretože vzorec vyžaduje vykonávanie operácií na veľkých číslach, a preto sa v procese výpočtov hromadia chyby; v dôsledku toho sa konečný výsledok môže výrazne líšiť od skutočného.
Na vyriešenie tohto problému existuje niekoľko limitných viet, ktoré sa používajú pre prípad veľkého počtu pokusov.
1. Poissonova veta
Pri vykonávaní veľkého počtu testov podľa Bernoulliho schémy (s n=> ∞) as malým počtom priaznivých výsledkov k(za predpokladu, že pravdepodobnosť úspechu p malý), Bernoulliho vzorec sa približuje k Poissonovmu vzorcu
.
Príklad 1.22. Pravdepodobnosť sobáša pri výrobe jednotky produkcie podniku sa rovná p=0,001. Aká je pravdepodobnosť, že pri výrobe 5000 kusov výrobkov budú menej ako 4 chybné (príp. A Riešenie. Pretože n je veľký, používame miestnu Laplaceovu vetu:

Vypočítať X:
Funkcia je párne, preto φ(–1,67) = φ(1,67).
Podľa tabuľky v prílohe A.1 zistíme φ(1,67) = 0,0989.
Požadovaná pravdepodobnosť P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Laplaceova integrálna veta
Ak pravdepodobnosť R výskyt udalosti A v každom pokuse podľa Bernoulliho schémy je konštantná a odlišná od nuly a jednotky, potom s veľkým počtom pokusov n, pravdepodobnosť Rp (k 1 , k 2) výskyt udalosti A v týchto skúškach k 1 až k 2 krát približne rovnaké
R p(k 1 , k 2) = Φ ( X"") – Φ ( X"), Kde
je Laplaceova funkcia,

Určitý integrál v Laplaceovej funkcii nie je vypočítaný na triede analytických funkcií, preto sa na jeho výpočet používa tabuľka 1. Odsek 2 uvedený v prílohe.
Príklad 1.24. Pravdepodobnosť udalosti vyskytujúcej sa v každom zo sto nezávislých pokusov je konštantná a rovná sa p= 0,8. Nájdite pravdepodobnosť, že udalosť nastane: a) najmenej 75-krát a najviac 90-krát; b) najmenej 75-krát; c) najviac 74-krát.
Riešenie. Použime Laplaceovu integrálnu vetu:
R p(k 1 , k 2) = Φ ( X"") – Φ( X"), kde Ф( X) je Laplaceova funkcia,

a) Podľa podmienok n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Vypočítajte X"" A X" :

Vzhľadom na to, že Laplaceova funkcia je nepárna, t.j. F(- X) = – F( X), dostaneme
P 100 (75; 90) \u003d F (2,5) - F (-1,25) \u003d F (2,5) + F (1,25).
Podľa tabuľky P.2. nájsť aplikácie:
F(2,5) = 0,4938; Ф(1,25) = 0,3944.
Požadovaná pravdepodobnosť
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Požiadavka, aby sa udalosť vyskytla aspoň 75-krát, znamená, že počet výskytov udalosti sa môže rovnať 75, alebo 76, ... alebo 100. V uvažovanom prípade by sa teda malo akceptovať k 1 = 75, k 2 = 100. Potom

.
Podľa tabuľky P.2. aplikácií zistíme Ф (1,25) = 0,3944; Ф(5) = 0,5.
Požadovaná pravdepodobnosť
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Udalosť - " A objavilo sa aspoň 75-krát“ a „ A sa objavili nie viac ako 74-krát“ sú opačné, takže súčet pravdepodobností týchto udalostí je 1. Preto požadovaná pravdepodobnosť
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

Preložte prosím text do nemčiny.

Len nie v online prekladači.

Zlatá brána je symbolom Kyjeva, jedným z najstarších príkladov architektúry, ktorá prežila dodnes. Zlaté brány Kyjeva boli postavené za slávneho kyjevského kniežaťa Jaroslava Múdreho v roku 1164. Spočiatku sa nazývali Južné a boli súčasťou systému obranných opevnení mesta, prakticky sa nelíšili od ostatných strážnych brán mesta. Boli to Južné brány, ktoré prvý ruský metropolita Hilarion nazval „Veľkými“ vo svojej „Kázni o práve a milosti“. Po postavení majestátneho chrámu Hagia Sofia sa „Veľké“ brány stali hlavným vstupom do Kyjeva z juhozápadnej strany. Uvedomujúc si ich význam, Jaroslav Múdry nariadil postaviť nad bránami malý kostol Zvestovania, aby vzdal hold kresťanskému náboženstvu, ktoré dominovalo mestu a Rusku. Od tej doby začali všetky ruské kronikárske zdroje nazývať Južné brány Kyjeva Zlatými bránami. Šírka brány bola 7,5 m, výška prejazdu 12 m, dĺžka cca 25 m.

Pomôžte preložiť text!

le sport ce n "est pas seulement des cours de gym. C" est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. le sport développé ton corps et aussi ton cerveau. Quand tu prends l "escalier et non pas l" ascenseur tu fais du sport. Quand tu fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Veľa tu te bats avec ton frere tu fais du sport. Quand tu cours, parce que tu es en retard a l "ecole, tu fais du sport.