Prax ukazuje, že elektrické prúdy na seba vzájomne pôsobia. Napríklad dva tenké rovné rovnobežné vodiče, ktorými pretekajú prúdy (budeme ich nazývať dopredné prúdy), sa navzájom priťahujú, ak majú prúdy v nich rovnaký smer, a odpudzujú sa, ak sú prúdy opačné. Sila interakcie na jednotku dĺžky každého z paralelných vodičov je úmerná veľkosti prúdov v nich a je nepriamo úmerná vzdialenosti b medzi nimi:

Z dôvodov, ktoré budú v budúcnosti zrejmé, sme označili koeficient proporcionality prostredníctvom.

Zákon interakcie prúdov ustanovil v roku 1820 Ampere. Všeobecný výraz tohto zákona, vhodný pre vodiče akéhokoľvek tvaru, bude uvedený v § 44.

Na základe vzťahu (39.1) je jednotka sily prúdu stanovená v SI a v absolútnom elektromagnetickom systéme jednotiek (systém CGSM). Jednotka sily prúdu v SI - ampéroch - je definovaná ako sila konštantného prúdu, ktorý pri prechode dvoma rovnobežnými priamočiarymi vodičmi nekonečnej dĺžky a zanedbateľného kruhového prierezu sa nachádza vo vzdialenosti 1 m od seba vákuum, by spôsobilo silu rovnajúcu sa N medzi týmito vodičmi na každý meter dĺžky.

Jednotka náboja, nazývaná coulomb, je definovaná ako náboj prechádzajúci za 1 s prierezom vodiča, cez ktorý preteká jednosmerný prúd 1 A. V súlade s tým sa coulomb nazýva aj ampér- druhý (A s).

V racionalizovanej forme je vzorec (39.1) napísaný takto:

kde je takzvaná magnetická konštanta (porovnajte so vzorcom (4.1)).

Na nájdenie číselnej hodnoty používame skutočnosť, že podľa definície ampéra v je sila rovnaká. Nahraďte tieto hodnoty vzorcom (39.2):

Koeficient k vo vzorci (39.1) sa môže rovnať jednotke zvolením jednotky aktuálnej sily. Takto sa stanoví absolútna elektromagnetická jednotka sily prúdu (jednotka aktuálnej sily CGSM), ktorá je definovaná ako sila takého prúdu, ktorý prúdiaci tenkým priamočiarym nekonečne dlhým drôtom pôsobí na rovnaký a paralelný jednosmerný prúd s rozstupom 1 cm od seba so silou 2 dyny na každý centimeter dĺžky.

V systéme CGSE je k dimenzionálnou veličinou odlišnou od jednoty. Podľa vzorca (39.1) je rozmer k určený nasledujúcim výrazom:

Vzali sme do úvahy, že rozmer je rozmer sily delený rozmerom dĺžky; preto je rozmer výrobku rovný rozmeru sily. Podľa vzorcov (3.2) a (31.7)

Nahradením týchto hodnôt výrazom (39,4) zistíme, že

Preto v systéme CGSE môže byť k reprezentované vo forme

kde c - má rozmer rýchlosti, ktorý sa nazýva elektrodynamická konštanta. Na nájdenie jej numerickej hodnoty používame vzťah (3.3) medzi coulombom a jednotkou náboja CGSE, ktorý bol stanovený empiricky. Sila je ekvivalentná. Podľa vzorca (39.1) prúdy v jednotkách CGSE (t.j. 1 A) interagujú s takou silou každý na ceste,

Hodnota elektrodynamickej konštanty sa zhoduje s hodnotou rýchlosti rkta vo vákuu. Z Maxwellových teórií vyplýva existencia elektromagnetické vlny, ktorej rýchlosť vo vákuu sa rovná elektrodynamickej konštante c. Zhoda s rýchlosťou svetla vo vákuu dala Maxwellovi dôvod predpokladať, že svetlo je elektromagnetická vlna.

Hodnota k vo vzorci (39.1) sa rovná 1 v systéme CGSM a v systéme CGSE. Z toho vyplýva, že prúd 1 jednotky CGSM je ekvivalentný prúdu 3-10 ° CGSE:

Vynásobením tohto pomeru 1 s dostaneme

Zvážte drôt, ktorý je v magnetickom poli a ktorým preteká prúd (obrázok 12.6).

Pre každý aktuálny nosič (elektrón) pôsobí Lorentzova sila... Definujeme silu pôsobiacu na prvok drôtu dĺžky d l

Posledný výraz sa nazýva Ampérov zákon.

Ampérový silový modul sa vypočíta podľa vzorca:

.

Ampérová sila je smerovaná kolmo na rovinu, v ktorej ležia vektory dl a B.

Aplikujme Ampérov zákon na výpočet sily interakcie dvoch paralelných nekonečne dlhých jednosmerných prúdov vo vákuu (obrázok 12.7).

Vzdialenosť medzi vodičmi - b. Predpokladajme, že vodič I 1 vytvára magnetické pole indukciou

Podľa Ampérovho zákona o vodiči I 2, zboku magnetické pole, sila pôsobí

vzhľadom na to (sinα = 1)

Preto na jednotku dĺžky (d l= 1) vodič I 2, sila pôsobí

.

Smer sily Ampéra je určený podľa pravidla ľavej ruky: ak je dlaň ľavej ruky umiestnená tak, aby do nej vstupovali čiary magnetickej indukcie, a štyri predĺžené prsty sú umiestnené v smere elektrického prúdu v vodič, potom ľavý palec bude indikovať smer sily pôsobiacej na vodič zo strany poľa.

12.4. Cirkulácia vektora magnetickej indukcie (celkový súčasný zákon). Dôsledok.

Magnetické pole, na rozdiel od elektrostatického poľa, je nepotenciálne pole: obeh vektora V magnetickej indukcii nie je pole pozdĺž uzavretej slučky nulové a závisí od výberu slučky. Takéto pole vo vektorovej analýze sa nazýva vortexové pole.

Uvažujme ako príklad magnetické pole uzavretej slučky L ľubovoľného tvaru, pokrývajúce prúdom nekonečne dlhý rovný vodič l vo vákuu (obrázok 12.8).

Čiary magnetickej indukcie tohto poľa sú kruhy, ktorých roviny sú kolmé na vodič a stredy ležia na jeho osi (na obr. 12.8 sú tieto čiary znázornené bodkovanou čiarou). V bode A obrysu L je vektor B magnetickej indukcie poľa tohto prúdu kolmý na vektor polomeru.

Obrázok to ukazuje

kde je dĺžka priemetu vektora dl na smer vektora V.... Zároveň malý segment dl 1 dotýkajúca sa kruhu s polomerom r môže byť nahradený oblúkom kruhu :, kde dφ je stredový uhol, v ktorom je prvok viditeľný dl obrys L od stredu kruhu.

Potom dostaneme obeh indukčného vektora

Magnetický indukčný vektor je vo všetkých bodoch priamky

integrujúc sa pozdĺž celého uzavretého obrysu a berúc do úvahy, že uhol sa pohybuje od nuly do 2π, nájdeme obeh

Zo vzorca je možné vyvodiť nasledujúce závery:

1. Magnetické pole priamočiareho prúdu je vírové pole a nie je konzervatívne, pretože obeh vektora v ňom V. pozdĺž čiary magnetickej indukcie nie je nulová;

2. cirkulácia vektora V. Magnetická indukcia uzavretej slučky pokrývajúcej pole priamočiareho prúdu vo vákuu je rovnaká vo všetkých líniách magnetickej indukcie a rovná sa súčinu magnetickej konštanty a sily prúdu.

Ak je magnetické pole tvorené niekoľkými vodičmi s prúdom, potom cirkulácia výsledného poľa

Tento výraz sa nazýva celková aktuálna veta.

Ampérová sila je sila, ktorou magnetické pole pôsobí na vodič, pričom prúd je umiestnený v tomto poli. Veľkosť tejto sily možno určiť pomocou Ampérovho zákona. Tento zákon definuje nekonečne malú silu pre nekonečne malý úsek vodiča. To umožňuje aplikovať tento zákon na vodiče rôznych tvarov.

Formula 1 - Ampérov zákon

B indukcia magnetického poľa, v ktorom sa nachádza prúdový vodič

Ja prúd vodiča

dl nekonečne malý prvok dĺžky vodiča vedúceho prúd

alfa uhol medzi indukciou vonkajšieho magnetického poľa a smerom prúdu vo vodiči

Smer sily Ampéra je podľa pravidla ľavej ruky. Znenie tohto pravidla znie takto. Keď je ľavá ruka umiestnená tak, že čiary magnetickej indukcie vonkajšieho poľa vstupujú do dlane a štyri vystreté prsty označujú smer prúdenia prúdu vo vodiči, pričom palec ohnutý v pravom uhle bude ukazovať smer sily, ktorá pôsobí na prvok vodiča.

Obrázok 1 - pravidlo ľavej ruky

Niektoré problémy vznikajú pri použití pravidla ľavej ruky, keď je uhol medzi indukciou poľa a prúdom malý. Je ťažké určiť, kde by mala byť otvorená ruka. Preto pre uľahčenie aplikácie tohto pravidla môžete položiť dlaň tak, aby neobsahovala samotný magnetický indukčný vektor, ale jeho modul.

Z Ampérovho zákona vyplýva, že Ampérova sila bude nulová, ak je uhol medzi čiarou magnetickej indukcie poľa a prúdom nulový. To znamená, že vodič bude umiestnený pozdĺž takejto čiary. A sila ampéra bude mať pre tento systém maximálnu možnú hodnotu, ak je uhol 90 stupňov. To znamená, že prúd bude kolmý na magnetickú indukčnú čiaru.

Pomocou Ampérovho zákona môžete nájsť silu pôsobiacu v sústave dvoch vodičov. Predstavte si dva nekonečne dlhé vodiče, ktoré sú od seba vzdialené. Prostredníctvom týchto vodičov prúdia prúdy. Sila pôsobiaca zo strany poľa vytvoreného vodičom s aktuálnym číslom jedna na vodič číslo dva môže byť reprezentovaná ako.

Formula 2 - Ampérová sila pre dva paralelné vodiče.

Sila pôsobiaca zo strany vodiča číslo jedna na druhý vodič bude mať rovnakú formu. Navyše, ak prúdy vo vodičoch prúdia v jednom smere, potom bude vodič priťahovaný. Ak je to naopak, budú sa odpudzovať. Existuje nejaký zmätok, pretože prúdy tečú jedným smerom, ako ich teda možno prilákať. Napokon, stožiare a náboje s rovnakým názvom vždy odpudzovali. Alebo sa Ampere rozhodla, že nebude napodobňovať ostatných a prišla s niečím novým.

V skutočnosti Ampere nič nevymyslel, pretože ak o tom premýšľate, polia vytvorené paralelnými vodičmi sú nasmerované oproti sebe. A prečo ich to priťahuje, otázka už nevzniká. Ak chcete určiť, akým smerom je pole vytvorené vodičom nasmerované, môžete použiť pravidlo pravej skrutky.

Obrázok 2 - Paralelné vodiče s prúdom

Pomocou rovnobežných vodičov a vyjadrenia sily ampérov pre ne môžete určiť jednotku jedného ampéra. Ak tie isté prúdy jedného ampéra pretekajú nekonečne dlhými rovnobežnými vodičmi umiestnenými vo vzdialenosti jedného metra, potom interakčné sily medzi nimi budú 2 * 10-7 Newtonov, pre každý meter dĺžky. Pomocou tejto závislosti môžete vyjadriť, čo sa bude rovnať jednému ampéru.

Toto video popisuje, ako trvalé magnetické pole vytvárané podkovovým magnetom pôsobí na vodič nesúci prúd. V tomto prípade zohráva úlohu vodiča s prúdom hliníkový valec. Tento valec leží na medených koľajniciach, cez ktoré je napájaný elektrina... Sila pôsobiaca na vodič s prúdom v magnetickom poli sa nazýva ampérová sila. Smer pôsobenia sily Ampere sa určuje pomocou pravidla ľavej ruky.

Na výpočet sily interakcie dvoch dlhých priamych vodičov s prúdmi použijeme Ampérov zákon Ja 1 a Ja 2 na diaľku d od seba (obr. 6.26).

Ryža. 6.26. Sila interakcie priamočiarych prúdov:
1 - paralelné prúdy; 2 - antiparalelné prúdy

Vodič s prúdom Ja 1 vytvára prstencové magnetické pole, ktorého veľkosť v mieste druhého vodiča je

Toto pole je nasmerované „ďaleko od nás“ kolmo na rovinu kresby. Prvok druhého vodiča zažije pôsobenie sily ampéra z tohto poľa

Náhradou (6.23) za (6.24) získame

Pri paralelných prúdoch sila F 21 je nasmerovaný na prvý vodič (atrakcia), s antiparalelnými - v opačnom smere (odpudivosť).

Podobne je prvok vodiča 1 ovplyvnený magnetickým poľom vytvoreným vodičom s prúdom Ja 2 v bode priestoru s prvkom so silou F 12. S rovnakým odôvodnením to zisťujeme F 12 = –F 21, to znamená, že v tomto prípade je tretí Newtonov zákon splnený.

Sila interakcie dvoch priamočiarych nekonečne dlhých paralelných vodičov, vypočítaná pre prvok dĺžky vodiča, je úmerná súčinu prúdov Ja 1 a Ja 2 prúdiaci v týchto vodičoch a je nepriamo úmerný vzdialenosti medzi nimi. V elektrostatike interagujú dve dlho nabité vlákna podľa podobného zákona.

Na obr. 6.27 predstavuje experiment demonštrujúci príťažlivosť paralelných prúdov a odpudzovanie antiparalelných prúdov. Na to slúžia dva hliníkové pásy zavesené zvisle vedľa seba v slabo napnutom stave. Pri paralelnom prejazde konštantné prúdy silou asi 10 A sa stužky upútajú. a keď sa smer jedného z prúdov zmení na opačný, odrazia sa.

Ryža. 6.27. Sila interakcie dlhých priamych vodičov s prúdom

Na základe vzorca (6.25) je stanovená jednotka sily prúdu - ampér, čo je jedna zo základných jednotiek v SI.

Príklad. Pozdĺž dvoch tenkých drôtov ohnutých vo forme rovnakých krúžkov s polomerom R.= 10 cm, tečú rovnaké prúdy Ja= 10 A každý. Roviny prstencov sú rovnobežné a stredy ležia na priamke kolmej na ne. Vzdialenosť medzi stredmi je d= 1 mm. Nájdite interakčné sily prstencov.

Riešenie. V tomto probléme by nemalo byť mätúce, že poznáme iba zákon interakcie dlhých priamych vodičov. Pretože vzdialenosť medzi prstencami je oveľa menšia ako ich polomer, interagujúce prvky prstencov „nevšimnú“ ich zakrivenie. Sila interakcie je teda daná výrazom (6,25), kde namiesto nej je potrebné nahradiť obvod prstencov Získame potom

Jedným z prejavov magnetického poľa je jeho silový účinok na vodič prenášajúci prúd umiestnený v magnetickom poli. Ampere zistil, že vodič s prúdom umiestnený v rovnomernom magnetickom poli, ktorého indukcia, pôsobí silou úmernou sile prúdu a indukcii magnetického poľa:

F = IBℓsinα (15,22)

[α je uhol medzi smerom prúdu vo vodiči a indukciou magnetického poľa].

Tento vzorec sa ukazuje ako platný pre priamy vodič a rovnomerné pole.

Ak má vodič ľubovoľný tvar a pole je nehomogénne, potom výraz (3.125) má formu

dF = IBdℓsinα (15,23)

alebo vo vektorovej forme

(15.24)

Produkt Idℓ sa nazýva aktuálny prvok. Vzťahy (15.23), (15.24) expres Ampérov zákon.

Na určenie smeru sily pôsobiacej na vodič prenášajúci prúd umiestnený v magnetickom poli použite pravidlo ľavej ruky: ak je ľavá ruka umiestnená tak, aby čiary magnetickej indukcie vstupovali do dlane, a predĺžené štyri prsty sa zhodujú so smerom prúdu vo vodiči, potom ohnutý palec indikuje smer sily pôsobiacej na vodič prúdom umiestnené v magnetickom poli(obr. 15.10) .

Táto sila je vždy kolmá na rovinu, v ktorej ležia vodič a vektor. Keď poznáme smer a modul sily pôsobiacej na ktorýkoľvek úsek dℓ vodiča, je možné vypočítať silu pôsobiacu na celý vodič. Aby ste to urobili, musíte nájsť súčet síl pôsobiacich na všetko

sekcie vodiča:

Pomocou Ampérovho zákona pouvažujte interakcia paralelných vodičov s prúdom (obr. 15.11). Predpokladajme, že v homogénnom izotropnom médiu, ktorého relatívna magnetická permeabilita je μ, sú dva vodiče umiestnené vo vzdialenosti d od seba. V jednom z nich nech prúdi prúd I 1 a v druhom I 2 v smere vody.

Vyberme prvok dℓ 2 na vodiči 2. Na tento prvok bude pôsobiť sila Ampéra

dF i = B 1 I 2 dℓ i

[ - indukcia magnetického poľa vytvoreného prvým vodičom v mieste druhého vodiča].

Vektor je nasmerovaný kolmo na smer prúdu I, preto sinα = 1. Keď to vezmeme do úvahy, zistíme

(15.25)

Použitím pravidla ľavej ruky určujeme smer tejto sily. Na určenie sily F 12, t.j. sily pôsobiacej zo strany vodiča 1 na vodič 2, musíte zhrnúť všetky elementárne sily dF i.

Sila, s ktorou interagujú dva vodiče, je úmerná súčinu prúdov pretekajúcich vodičmi a nepriamo úmerná vzdialenosti medzi nimi.

Ak prúdy pretekajú vodičmi v rovnakých smeroch, potom sú vodiče priťahované a v opačných smeroch sú odpudzované.

Ampérov zákon je v teórii magnetizmu zásadný a hrá rovnakú úlohu ako Coulombov zákon v elektrostatike.

15.5 Smyčka s prúdom v magnetickom poli. Práce na pohybe vodiča a obvodu s prúdom v magnetickom poli

Obvod s prúdom so stranami a a ℓ je umiestnený v magnetickom poli

(obr. 15.12). Ampérová sila pôsobí na každú stranu obrysu. Na vodorovné strany ℓ obrysu pôsobia sily, ktoré rozťahujú alebo stláčajú) obrys bez jeho otáčania.

Sila F = IBa pôsobí na každú zo zvislých strán a. Tieto sily vytvárajú dvojicu síl, ktorých moment

М = Fℓcosφ (15,27)

[φ je uhol medzi vektorom a stranou obrysu ℓ.

Moment síl má tendenciu otáčať obrys tak, aby bol tok Φ prenikajúci do obrysu maximálny. Dosadením výrazu pre silu do vzorca (15.27) máme

М = IBaℓcosφ = ISBcosφ = p m Bcos (π / 2-α) = = p m B sinα (15,28)

Volá sa hodnota IS magnetický moment obrysu p m.. Vektor p m sa zhoduje so smerom kladnej normály k rovine obrysu.

Mechanický moment M, pôsobiace na obvod s prúdom v rovnomernom magnetickom poli je úmerný magnetickému momentu pm obvodu, indukcii B magnetického poľa a sínusovému uhlu medzi smerom vektorov pm (kolmá na obvod) a .

Vo vektorovej forme má vzťah (15.28) tvar

M = (15,29)

Uvažujme o vodiči s dĺžkou ℓ s prúdom I, umiestnenom v rovnomernom vonkajšom magnetickom poli kolmom na rovinu obvodu a ktorý sa v tomto poli môže voľne pohybovať pôsobením sily ampéra (obr. 15.13).

Pôsobením tejto sily sa vodič bude pohybovať rovnobežne so sebou v segmente z polohy 1 do polohy 2. Práca vykonaná magnetickým poľom sa rovná

dA = Fdx = IBℓdx = IBdS = IdФ, (15,30)

pretože ℓdx = dS je oblasť, ktorou vodič prechádza, keď sa pohybuje v magnetickom poli, BdS = dФ je tok vektora magnetickej indukcie prenikajúceho do tejto oblasti. Preto

dA = IdФ, (15,31)

tí. práca pri pohybe vodiča s prúdom v magnetickom poli sa rovná súčinu sily prúdu o magnetický tok prekrížený pohybujúcim sa vodičom.

Pracujte na pohybe vodiča prúdom I z bodu 1 do bodu 2 je určený vzorcom:

(15.32)

Práca na pohybe uzavretej slučky prúdom v magnetickom poli je tiež určená vzorcom. Vzorec zostáva platný pre obrys akéhokoľvek tvaru v ľubovoľnom magnetickom poli.

§ 15.5. Lorentzova sila. Pohyb častíc v magnetickom poli. Hallov efekt

Pohybujúce sa elektrické náboje okolo nich vytvárajú magnetické pole, ktoré sa vo vákuu šíri rýchlosťou svetla. Keď sa náboj pohybuje vo vonkajšom magnetickom poli, vzniká silová interakcia magnetických polí, určená Ampérovým zákonom. Proces interakcie magnetických polí skúmal Lorentz, ktorý odvodil vzorec na výpočet sily pôsobiacej z magnetického poľa na pohybujúcu sa nabitú časticu. Lorenz je tvorcom klasickej elektronickej teórie. Je známy svojou prácou v oblasti elektrodynamiky, termodynamiky, statickej mechaniky, optiky, teórie žiarenia, atómovej fyziky. V roku 1902 mu bola udelená Nobelova cena za výskum vplyvu magnetizmu na radiačné procesy.

Sila pôsobiaca zo strany magnetického poľa na pohybujúci sa náboj sa nazýva Lorentzovou silou a , rovná sa

F l = qυВsinα (15,33)

kde q je náboj častíc; - rýchlosť častíc; B je indukcia magnetického poľa, α je uhol medzi smerom rýchlosti častíc a vektorom magnetickej indukcie .

Táto sila je kolmá na vektory a.

Je určený smer Lorentzovej sily pravidlo ľavej ruky: ak položíte ľavú dlaň tak, aby štyri vystreté prsty naznačovali smer pohybu kladný náboj, a vektor magnetického poľa vstúpil do dlane, potom odstránený palec ukáže smer Lorentzovej sily pôsobiacej na daný náboj.

So zmenou znamienka náboja sa smer sily zmení na opačný.

Pri analýze výrazu (3.146) môžeme vyvodiť nasledujúce závery:

1. Ak je rýchlosť nabíjania = 0; F l = 0. Magnetické pole nepôsobí na stacionárne častice.

2. Ak častica letí do magnetického poľa rovnobežného s jej siločiarami. a = 0 °, sin0 ° = 0; F l = 0. Magnetické pole nepôsobí na stacionárne nabité častice; Častica sa bude aj naďalej pohybovať rovnomerne a v priamke rovnakou rýchlosťou, ako mala.

3. Ak častica letí kolmo na siločiary magnetického poľa ┴. a = 90 °, sin90 ° = 1; F l = qυВ. Lorentzova sila ohýba trajektóriu pohybu a pôsobí ako dostredivá sila.

Je veľmi dôležité použiť tento jav pri štúdiu kozmických častíc na určenie znaku náboja. Úder letiacej častice do magnetického poľa spôsobí zmenu jej trajektórie v závislosti od znamienka náboja (obr. 3,59). Na obr. 3,59 je vektor indukcie magnetického poľa nasmerovaný kolmo na rovinu kresby (od nás). Častica sa bude pohybovať v kruhu, ktorého polomer R možno určiť z rovnosti dostredivej sily a Lorentzovej sily:

Čím väčšia je rýchlosť častice, tým väčší je polomer kruhu, pozdĺž ktorého sa pohybuje, pričom doba otáčania nezávisí ani od rýchlosti, ani od polomeru kruhu.

(15.36)

4. Ak sa častica pohybuje pod uhlom β k čiaram, potom bude dráhou častice špirálová čiara (špirála), pokrývajúca siločiary magnetického poľa (obr. 3.60).

Výška h špirály je daná υ t -tangenciálnou zložkou rýchlosti υ častice. Polomer špirály závisí od υ n -normálnej zložky rýchlosti υ.

V roku 1892 získal Lorentz vzorec pre silu, s ktorou elektromagnetické pole pôsobí na akúkoľvek nabitú časticu v nej:

(15.37)

Táto sila sa nazýva elektromagnetická Lorentzovou silou , a tento výraz je jedným zo základných zákonov klasickej elektrodynamiky.

Kedy nabíjačka sa pohybuje súčasne v elektrických a magnetických poliach, potom je výsledná sila pôsobiaca na časticu rovnaká

F = qυВsinα + qE (15,38)

V tomto prípade má sila dve zložky: z vplyvu magnetických a elektrických polí. Medzi týmito komponentmi je zásadný rozdiel. Elektrické pole mení veľkosť rýchlosti a v dôsledku toho kinetická energia častice a rovnomerné magnetické pole mení iba smer jej pohybu.

Hallov efekt

Americký vedec E. Hall zistil, že potenciálny rozdiel (priečny) vzniká vo vodiči umiestnenom v magnetickom poli v smere kolmom na vektor magnetickej indukcie B a prúd I v dôsledku pôsobenia Lorentzovej sily na náboje pohybujúce sa v tento vodič (obr. 3.62) ...

Prax ukazuje, že rozdiel priečneho potenciálu je úmerný hustote prúdu j, magnetickej indukcii a vzdialenosti d medzi elektródami:

Predpokladajme, že sa elektróny pohybujú usporiadanou priemernou rýchlosťou υ a na každý elektrón pôsobí Lorentzova sila rovná eBu. Pri jeho pôsobení sa elektróny posunú tak, že jedna z plôch vzorky je nabitá negatívne, druhá kladne a vo vnútri vzorky vznikne elektrické pole, tj. U B = eE.

Rozdiel v priečnom potenciáli je preto

Priemerná rýchlosť υ elektróny môžu byť vyjadrené ako prúdová hustota j, pretože j = ne υ , preto

Ak prirovnáme tento výraz k vzorcu (15,39), dostaneme.

Hallova konštanta závisí od koncentrácie elektrónov.

Podľa nameranej hodnoty Hallovej konštanty je možné: 1) určiť koncentráciu nosičov prúdu vo vodiči (so známou povahou vodivosti a náboja nosičov); 2) posúdiť povahu vodivosti polovodičov, pretože znak Hallovej konštanty sa zhoduje so znamienkom náboja súčasných nosičov. Používa sa na znásobenie jednosmerných prúdov v analógových počítačoch, v meracej technike (Hallov senzor

Príklady riešenia problémov

Príklad.Obdĺžnikový rám so stranami a = 5 cm a b = 10 cm, pozostávajúci z N = 20 závitov, je umiestnený vo vonkajšom rovnomernom magnetickom poli s indukciou B = 0,2 T. Norma na rám zviera uhol so smerom magnetického poľa. Určte krútiaci moment síl pôsobiacich na rám, ak ním preteká prúd I = 2A.

Vzhľadom na to: a = 5 cm = 0,05 m; b = 10 cm = 0,1 m; N = 20; B = 0,2 T; ... ; I = 2A.

Nájsť: M.

Riešenie.Mechanický moment pôsobiaci na rám s prúdom umiestneným v rovnomernom magnetickom poli,

,

- magnetický moment rámy s prúdom. Modul M = p m Bsinα.

Pretože rám pozostáva z N závitov, potom M = Np m Bsinα (1)

kde je magnetický moment rámca s prúdom

p m = IS = I a b. (2)

Dosadením vzorca (2) do výrazu (1) nájdeme požadovaný krútiaci moment

M = NIB a bsinα.

Odpoveď: M = 0,02 N∙ m

Príklad.Tenkým drôteným krúžkom preteká prúd. Určte, koľkokrát sa zmení indukcia v strede obvodu, ak je vodič štvorcový bez zmeny prúdu vo vodiči.

Riešenie. Vektor v strede kruhového prúdu je nasmerovaný na zvolený smer prúdu (pozri obrázok), podľa pravidla pravej skrutky, kolmo na kresbu k nám (na obrázku je to označené bodkou v kruhu). Jeho modul

kde I je aktuálna sila; R je polomer prstenca; μ 0 - magnetická konštanta; μ je magnetická permeabilita média.

Strana štvorca zapísaná v krúžku je (obvod prsteňa je 2πR). Vektor v strede štvorca je tiež smerovaný kolmo na kresbu k nám. Magnetická indukcia v strede štvorca sa rovná súčtu magnetických indukcií vytvorených každou stranou štvorca. Potom modul podľa zákona Bio-Savart-Laplace,

Zo vzorcov (1) a (2) získame pomer

Odpoveď:

Príklad.Dva nekonečne dlhé rovné rovnobežné vodiče, umiestnené vo vákuu vo vzdialenosti R = 30 cm, prúdia rovnakými prúdmi rovnakého smeru. Určte magnetickú indukciu B poľa vytvoreného prúdmi v bode A ležiacim na priamke spájajúcej vodiče a ležiacou vo vzdialenosti r = 20 cm napravo od pravého drôtu (pozri obrázok). Prúd vo vodičoch je 20A.

Vzhľadom na to: μ = 1; R = 30 cm = 0,3 m; r = 20 cm = 0,2 m; I 1 = I 2 = I = 20 A.

Nájsť: B.

Riešenie. Nechajte prúdy smerovať kolmo na rovinu kresby z nás, čo je na obrázku označené krížikmi. Magnetické indukčné vedenia sú uzavreté a pokrývajú vodiče prúdmi. Ich smer je daný pravidlom pravej skrutky. Vektor v každom bode je tangenciálne nasmerovaný na čiaru magnetickej indukcie (pozri obrázok).

Podľa princípu superpozície je magnetická indukcia výsledného poľa v bode A

kde a je magnetická indukcia polí v tomto mieste vytvorená prvým a druhým vodičom. Vektory a a sú jednosmerné, takže pridanie vektorov môže byť nahradené pridaním ich modulov

B = B 1 + B 2. (1)

Magnetická indukcia polí vytvorených nekonečne dlhými rovnými vodičmi s prúdom I 1 a I 2,

, (2)

kde μ 0 - magnetická konštanta; μ je magnetická permeabilita média.

Nahradením výrazu (2) do vzorca (1) a s prihliadnutím na to, že I 1 = I 2 = I a μ = 1 (pre vákuum) získame požadovaný výraz pre magnetickú indukciu v bode A:

Odpoveď: B = 28 μT.

Príklad.Na dvoch nekonečne dlhých priamych rovnobežných vodičoch vo vákuu, medzi ktorými je vzdialenosť d = 15 cm, prúdia v jednom smere prúdy I 1 = 70A a I 2 = 50A. Určte magnetickú indukciu B poľa, v bode A, ktorý sa nachádza vo vzdialenosti r 1 = 10 cm od prvého a r 1 = 20 cm od druhých vodičov.

Vzhľadom na to: μ = 1; d = 15 cm = 0,15 m; I 1 = 70A; I 2 = 50A; r 1 = 10 cm = 0,1 m; r 2 = 20 cm = 0,2 m.

Nájsť: B.

Riešenie. Nechajte prúdy smerovať kolmo na rovinu kresby smerom k nám. Vektory magnetickej indukcie sú tangenciálne nasmerované na čiary magnetickej indukcie.

Podľa princípu superpozície je magnetická indukcia v bode A (pozri obrázok)

kde a sú magnetické indukcie polí vytvorených vodičmi s prúdom Ja 1 a ja 2(smery vektorov a prúdov Ja 1 a ja 2 sú znázornené na obrázku). Vektorový modul podľa kosínusovej vety,

.

Nahradením týchto výrazov do vzorca (1) nájdeme požadované B:

.

Odpoveď: B = 178 μT.

Príklad.V tej istej rovine s nekonečne priamym vodičom s prúdom

I = 10 A je obdĺžnikový drôtený rám (strana a = 25 cm, b = 10 cm), cez ktorý preteká prúd I 1 = 2A. Dlhé strany rámu sú rovnobežné s dopredným prúdom a najbližšia z nich je umiestnená od predného prúdu vo vzdialenosti c = 10 cm a prúd v ňom je jednosmerný k prúdu I. Určte sily pôsobiace na každú stranu rám.

Vzhľadom na to: I = 10A; a = 25 cm = 0,25 m; b = 10 cm = 0,10 m ;; I 1 = 2 A; s = 10 cm = 0,1 m.

Nájsť: F 1; F 2; F 3; F 4;

Riešenie. Obdĺžnikový rámec je v nehomogénnom doprednom prúdovom poli s indukciou

(uvažujeme prípad vákua), kde r je vzdialenosť od dopredného prúdu k uvažovanému bodu.

Sila, ktorou pôsobí pole jednosmerného prúdu, sa dá nájsť súčtom elementárnych síl určených Ampérovým zákonom,

Vektor v rámci je nasmerovaný kolmo na jeho rovinu na kreslenie a na každej strane je uhol. To znamená, že na jednej strane sú elementárne sily navzájom rovnobežné a pridávajú sa vektory

Môžu byť nahradené pridaním ich modulov:

(2)

kde sa integrácia vykonáva pozdĺž zodpovedajúcej strany rámca

Krátke strany rámu sú vzhľadom na drôt umiestnené rovnako, a preto sily, ktoré na ne pôsobia, sú číselne rovnaké, ale smerujú opačne. Ich smer, podobne ako smer iných síl (pozri obrázok), je určený pravidlom ľavej ruky. Po každej kratšej strane obdĺžnika sa magnetická indukcia mení [pozri. vzorec (1)]. Potom, po integrácii [s prihliadnutím na (2)],

.

Dlhé strany rámu sú rovnobežné s dopredným prúdom, pričom sú z neho vo vzdialenostiach c a c + b. Potom

;

,

kde a .

Odpoveď: F 1 = 10 μN; F 2 = 2,77 μN; F 3 = 5 μN; F 4 = 2,77 μN.

Príklad.Elektrón, ktorý prešiel rozdielom akceleračného potenciálu U = 1 kV, letí do rovnomerného magnetického poľa s indukciou B = 3 mT kolmou na čiary magnetickej indukcie. Určte: 1) silu pôsobiacu na elektrón; 2) polomer kruhu, po ktorom sa elektrón pohybuje; 3) obdobie revolúcie elektrónu.

Vzhľadom na to: m = 9,11 -10 -31 kg; e = 1,6 -10 -19 ° C; U = 1 kV = 1 až 10 3 V; B = 3mT = 3 až 10-3 T; α = 90 °.

Nájsť: 1) F; 2) R; 3) T.

Riešenie. Keď sa elektrón pohybuje v magnetickom poli rýchlosťou υ, pôsobí naň Lorentzova sila

F l = eυBsinα,

kde α je uhol medzi vektormi a (v našom prípade α = 90 °). Potom

Keď prechádza rozdiel akceleračného potenciálu, práca síl elektrostatického poľa ide do správy pre elektrón Kinetická energia ,

Dosadením výrazu (2) do vzorca (1) zistíme potrebnú silu pôsobiacu na elektrón,

Z mechaniky je známe, že konštantná sila, kolmá na rýchlosť, a to je Lorentzova sila (1), spôsobuje pohyb v kruhu. Elektrónu dodáva normálne zrýchlenie, kde R je polomer kruhu. Podľa druhého Newtonovho zákona F = ma, kde F = eυB. Potom

odkiaľ je požadovaný polomer kruhu, berúc do úvahy (2)

Elektrónová orbitálna perióda

Dosadením výrazu (3) a (2) do vzorca (4) nájdeme požadovanú periódu elektrónovej revolúcie

Odpoveď: 1) F = 9 -10 -15 N; 2) R = 3,56 cm; 3) T = 11,9 ns.

Príklad.Protón, ktorý má rýchlosť υ = 104 m / s, letí do rovnomerného magnetického poľa s indukciou B = 10 mT pod uhlom α = 60 ° k smeru magnetických indukčných čiar. Určte polomer R a rozstup h špirálovej čiary, po ktorej sa bude protón pohybovať.

Vzhľadom na to: υ = 10 4 m / s; e = 1,6 -10 -19 ° C; m = 1,67 -10 -27 kg; B = 10 mT = 10 x 10-3 T; α = 60 °.

Nájsť: R; h.

Riešenie. Pohyb protónu v rovnomernom magnetickom poli s rýchlosťou smerovanou pod uhlom α k vektoru prebieha pozdĺž špirálovej čiary (pozri obrázok). Aby sme to dokázali, rozložíme vektor rýchlosti na súčasti rovnobežné (υ х = υcosα) a kolmé (υ у = υsinα) na indukčný vektor.

Pohyb v smere poľa prebieha rovnomernou rýchlosťou υ х a v smere kolmom na vektor pôsobením Lorentzovej sily - po kruhu (= konšt., Υ х = konšt.). V dôsledku sčítania týchto dvoch pohybov je trajektória výsledného pohybu protónu špirálová čiara (špirála).

Lorentzova sila udeľuje protónu normálne zrýchlenie (R je polomer kruhu). Podľa druhého Newtonovho zákona F = m a n, kde F l = eυ y B je Lorentzova sila. Potom

Odkiaľ hľadaný polomer špirálovej čiary, pozdĺž ktorej sa bude protón pohybovať,

Špirálová rozteč sa rovná vzdialenosti, ktorú protón prejde pozdĺž osi x počas jednej úplnej otáčky, t.j.

h = υ x T = υTcosα, (1)

kde je doba rotácie

(2)

Dosadením vzorca (2) do výrazu (1) nájdeme požadovanú rozteč skrutkovice

Odpoveď: R = 9,04 mm; v = 3,28 cm.

Príklad.Medzi doskami plochého kondenzátora sa vo vákuu vytvorí rovnomerné magnetické pole so silou H = 2 kA / m. Elektrón sa pohybuje v kondenzátore rovnobežne s kondenzátorovými doskami a kolmo na smer magnetického poľa rýchlosťou υ = 2 Mm / s. Určte napätie U aplikované na kondenzátor, ak je vzdialenosť d medzi jeho doskami 1,99 cm.

Vzhľadom na to: μ = 1; H = 2 kA / m = 2 až 103 A / m; υ = 2 Mm / s = 2 ∙ 10 6 m / s; d = 1,99 cm = 1,99 ∙ 10 -2 m).

Nájsť: U.

Riešenie. Predpokladajme, že magnetické pole je nasmerované kolmo na kresbu od nás. Čo je na obrázku označené krížikmi. Elektrón sa môže pohybovať kolmo na smer magnetického poľa a rovnobežne s kondenzátorovými doskami (so zvoleným smerom magnetického poľa a nábojmi na doskách) iba tak, ako je to znázornené na obrázku. V tomto prípade je Coulombova sila (Y je napätie elektrické pole) je vyvážená Lorentzovou silou F l = eυB (jej smer je určený pravidlom ľavej ruky). Potom

Vzorec vyjadrujúci vzťah medzi magnetickou indukciou a silou magnetického poľa

V prípade vákua (μ = 1) má tvar В = μ 0 Н, Nahradením tohto vzorca výrazom (1) nájdeme požadované napätie na kondenzátorových doskách

Odpoveď: U = 100 B.

Príklad.Rezom medenej platne (hustota medi ρ = ​​8,93 g / cm 3) s hrúbkou d = 0,1 mm prechádza prúd I = 5 A. Doska s prúdom je umiestnená v rovnomernom magnetickom poli s indukciou B = 0,5 T, kolmo na smer prúdu a okraj dosky. Určte rozdiel priečneho (Hallovho) potenciálu vznikajúceho v doske, ak je koncentrácia n voľných elektrónov rovnaká ako koncentrácia n "atómov vodiča.

Vzhľadom na to: ρ = 8,93 g / cm 3 = 8,93 ∙ 10 3 kg / m 3; d = 0,1 mm = 1-10 až 4 m; I = 5A; B = 0,5 T; n = n "; M = 63,5 -10 -3 kg / mol.

Nájsť:Δφ..

Riešenie. Na obrázku je kovová doska s prúdovou hustotou v kolmom magnetickom poli (ako vo vyhlásení o probléme). O týmto smerom rýchlosť prúdových nosičov v kovoch - elektrónoch - je smerovaná sprava doľava. Elektróny zažívajú pôsobenie Lorentzovej sily, ktorá v tomto prípade smeruje nahor. Na hornom okraji platne vzniká zvýšená koncentrácia elektrónov (bude nabitý záporne) a na dolnom okraji ich je nedostatok (bude nabitý kladne). Medzi okrajmi dosky preto vzniká ďalšie priečne elektrické pole smerujúce zdola nahor.

V prípade stacionárneho rozloženia nábojov v priečnom smere (sila E B priečneho poľa dosiahne takú hodnotu, že jeho pôsobenie na náboje vyrovná Lorentzovu silu)

alebo Δφ = υВα (1)

kde a- šírka taniera; Δφ je rozdiel priečneho (Hallovho) potenciálu.

Aktuálna sila

I = jS = neυS = neυ a d, (2)

kde S je oblasť prierez dosky s hrúbkou d; n je koncentrácia elektrónov; υ je priemerná rýchlosť usporiadaného pohybu elektrónov.

Náhradou (2) za (1) získame

Podľa stavu problému je koncentrácia voľných elektrónov rovnaká ako koncentrácia vodivých atómov. Preto,

, (4)

kde N A = 6,02 ∙ 10 23 mol -1 - Avogadrova konštanta; V m je molárny objem medi; M - molárna hmota meď; ρ je jeho hustota.

Dosadením vzorca (4) do výrazu (3) zistíme požadované

Príklad.Magnetická indukcia B na osi toroidu bez jadra (vonkajší priemer toroidu d 1 = 60 cm, vnútorný priemer d 2 = 40 cm), obsahujúca N = 200 závitov, je 0,16 mT. Pomocou vektorovej cirkulačnej vety určte prúd v toroidnom vinutí.

Vzhľadom na to: d 1 = 60 cm= 0,6 m; d 2 = 40 cm= 0,4 m; N = 200; B = 0,16 mT = 0,16 až 10-3 T.

Nájsť: I.

Riešenie. Cirkulačný vektor

, (1)

tí. sa rovná algebraickému súčtu prúdov pokrytých obvodom, pozdĺž ktorého sa počíta obeh, vynásobeného magnetickou konštantou. Ako obrys vyberieme kruh umiestnený rovnako ako magnetická indukčná čiara, t.j. kruh s nejakým polomerom r, ktorého stred leží na osi

toroidný. Z podmienky symetrie vyplýva, že modul vektora vo všetkých bodoch čiary magnetickej indukcie je rovnaká, a preto výraz (1) možno písať vo forme

(2)

(vezmite do úvahy, že prúdová sila vo všetkých závitoch je rovnaká a obvod pokrýva počet prúdov, rovná číslu otáčky toroidu). Pre strednú čiaru toroidu). Pre strednú čiaru toroidu. Nahradením r v (2) získame požadovanú prúdovú silu:

.

Odpoveď: I = 1 A

Príklad.V tej istej rovine s nekonečným rovným drôtom, cez ktorý preteká prúd I = 10A, je štvorcový rám so stranou a = 15 cm. Určte magnetický tok Ф prenikajúci do rámu, ak sú obe strany rámu rovnobežné s drôt a vzdialenosť d od drôtu k najbližšej strane rámu je 2 cm.

Vzhľadom na to: I = 10A; a = 15 cm= 0,15 m; d = 2 cm = 0,02 m.

Nájsť: F.

Riešenie. Magnetický tok Ф povrchom s plochou sa vypočíta podľa vzorca:

Štvorcový rám je v nehomogénnom doprednom prúdovom poli s indukciou

(uvažujeme prípad vákua), kde x je vzdialenosť od drôtu k predmetnému bodu.

Magnetické pole je vytvárané jednosmerným prúdom (smer je znázornený na obrázku) a vektor je kolmý na rovinu rámu (smeruje kolmo na kresbu od nás, ktorá je na obrázku znázornená krížikmi), preto pre všetky body rámca, B n = B.

Plochu rámu rozdelíme na úzke elementárne oblasti šírky dx a plochy a dx (pozri obrázok), v rámci ktorého možno magnetickú indukciu považovať za konštantnú. Potom prietok elementárnou oblasťou

. (1)

Integrovaním výrazu (1) v rozsahu od do nájdeme požadovaný magnetický tok

.

Odpoveď: Ф = 0,25 μVb

Príklad.Kruhová vodivá slučka s polomerom r = 6 cm a prúdom I = 2A bola vytvorená v magnetickom poli tak, že rovina slučky je kolmá na smer rovnomerného magnetického poľa s indukciou B = 10 mT. Určte prácu, ktorú je potrebné vykonať na pomalé otáčanie obrysu v uhle vzhľadom na os, ktorá zodpovedá priemeru obrysu.

Vzhľadom na to: r = 6 cm= 0,06 m; I = 2 A; B = 10 mT = 10 až 10-3 T; .

Nájsť: Ext.

Riešenie. Práca silových polí na pohyb uzavretého vodiča s prúdom I

A = I (Ф 2 –Ф 1), (1)

kde Ф 1 a Ф 2 - toky magnetickej indukcie, prenikajúce do obrysov v počiatočných a konečných polohách. Prúd v obvode sa považuje za konštantný, pretože pri pomalom otáčaní obvodu v magnetickom poli je možné indukčné prúdy zanedbať.

Tok magnetickej indukcie plochým obrysom oblasti S v rovnomernom magnetickom poli s indukciou B

kde α je uhol medzi normálnym vektorom a povrchom obrysu a vektorom magnetickej indukcie.

V. východisková pozícia, ryža. a, obrys (obrys je vytvorený voľne), tok magnetickej indukcie je maximálny (α = 0; cos α = 1) a Ф 1 = BS (S je plocha obrysu) a v konečnej polohe, Obr. b (; cosα = 0), Ф 2 = 0.

Potom nahradením týchto výrazov do vzorca (1) zistíme, že

(vezmite do úvahy, že plocha kruhového obrysu je S = πr 2).

Práca vonkajších síl je zameraná proti silám poľa (rovná sa jej v absolútnej hodnote, ale opačne v znamienku), preto hľadaná práca

A ext = πIBr 2.

Odpoveď: Ext= 226 μJ.