"Prirodzený logaritmus" - 0,1. prirodzené logaritmy. 4. "Logaritmické šípky". 0,04. 7.121.

"Stupeň výkonovej funkcie 9" - U. Kubická parabola. Y = x3. Učiteľka 9. ročníka Ladoshkina I.A. Y = x2. Hyperbola. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n, kde n je dané prirodzené číslo. X. Exponent je párne prirodzené číslo (2n).

"Kvadratická funkcia" - 1 definícia kvadratickej funkcie 2 Vlastnosti funkcie 3 Grafy funkcií 4 Kvadratické nerovnice 5 Záver. Vlastnosti: Nerovnosti: Pripravila Andrey Gerlitz, študentka 8. ročníka. Plán: Graf: -Intervaly monotónnosti pri a > 0 pri a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

"Kvadratická funkcia a jej graf" - Rozhodnutie. y \u003d 4x A (0,5: 1) 1 \u003d 1 A patrí. Keď a=1, vzorec y=ax nadobudne tvar.

"Kvadratická funkcia triedy 8" - 1) Zostrojte vrchol paraboly. Vykreslenie kvadratickej funkcie. X. -7. Nakreslite funkciu. Algebra 8. ročník Učiteľ 496 škola Bovina TV -1. Stavebný plán. 2) Zostrojte os súmernosti x=-1. r.

Najprv sa pokúste nájsť rozsah funkcie:

Podarilo sa ti? Porovnajme odpovede:

V poriadku? Výborne!

Teraz sa pokúsime nájsť rozsah funkcie:

nájdené? Porovnaj:

Súhlasilo to? Výborne!

Opäť pracujme s grafmi, len teraz je to trochu náročnejšie – nájsť aj definičný obor funkcie aj rozsah funkcie.

Ako nájsť doménu aj rozsah funkcie (pokročilé)

Tu je to, čo sa stalo:

S grafikou si myslím, že si na to prišiel. Teraz sa pokúsme nájsť doménu funkcie podľa vzorcov (ak neviete, ako to urobiť, prečítajte si časť o):

Podarilo sa ti? Kontrola odpovede:

1. , pretože koreňový výraz musí byť väčší alebo rovný nule.
2. , pretože nie je možné deliť nulou a radikálny výraz nemôže byť záporný.
3. , keďže, respektíve pre všetkých.
4. pretože nulou sa deliť nedá.

Stále však máme ešte jeden moment, ktorý nie je vyriešený...

Dovoľte mi zopakovať definíciu a zamerať sa na ňu:

Všimli ste si? Slovo "iba" je veľmi, veľmi dôležitý prvok naša definícia. Pokúsim sa vám to vysvetliť na prstoch.

Povedzme, že máme funkciu danú priamkou. . V, nahrádzame daná hodnota do nášho „pravidla“ a dostaneme to. Jedna hodnota zodpovedá jednej hodnote. Môžeme dokonca vytvoriť tabuľku rôznych hodnôt a vykresliť danú funkciu, aby sme to overili.

„Pozri! - poviete, - "" sa stretne dvakrát!" Takže možno parabola nie je funkcia? Nie, je!

Skutočnosť, že „“ sa vyskytuje dvakrát, nie je ani zďaleka dôvodom na obviňovanie paraboly z nejednoznačnosti!

Faktom je, že pri výpočte sme dostali jednu hru. A keď počítame s, dostali sme jednu hru. Takže je to tak, parabola je funkcia. Pozri sa na tabuľku:

Mám to? Ak nie, tu je životný príkladďaleko od matematiky!

Povedzme, že máme skupinu žiadateľov, ktorí sa stretli pri predkladaní dokumentov, pričom každý z nich v rozhovore povedal, kde žije:

Súhlasíte, je celkom reálne, že v tom istom meste žije niekoľko chlapcov, ale je nemožné, aby jeden človek žil vo viacerých mestách súčasne. Toto je ako keby logické znázornenie našej „paraboly“ - Niekoľko rôznych x zodpovedá rovnakému y.

Teraz si predstavme príklad, kde závislosť nie je funkciou. Povedzme, že tí istí chlapci povedali, o aké špeciality sa uchádzali:

Tu máme úplne inú situáciu: jedna osoba sa môže ľahko uchádzať o jeden alebo niekoľko smerov. To jest jeden prvok sady sú vložené do korešpondencie viac prvkov súpravy. resp. nie je to funkcia.

Otestujme si svoje znalosti v praxi.

Určte z obrázkov, čo je funkcia a čo nie:

Mám to? A tu je odpovede:

• Funkcia je - B,E.
• Nie je to funkcia - A, B, D, D.

Pýtate sa prečo? Áno, tu je dôvod:

Vo všetkých obrázkoch okrem AT) a E) je ich niekoľko na jedného!

Som si istý, že teraz môžete jednoducho rozlíšiť funkciu od nefunkcie, povedať, čo je argument a čo je závislá premenná, a tiež určiť rozsah argumentu a rozsah funkcie. Prejdime k ďalšej časti – ako definovať funkciu?

Spôsoby nastavenia funkcie

Čo si myslíte, že slová znamenajú "nastaviť funkciu"? Presne tak, znamená to všetkým vysvetliť, o akú funkciu v tomto prípade ide. Navyše vysvetľujte tak, aby vám každý správne rozumel a grafy funkcií nakreslené ľuďmi podľa vášho vysvetlenia boli rovnaké.

Ako to môžem spraviť? Ako nastaviť funkciu? Najjednoduchší spôsob, ktorý už bol v tomto článku použitý viac ako raz - pomocou vzorca. Napíšeme vzorec a dosadením hodnoty do neho vypočítame hodnotu. A ako si pamätáte, vzorec je zákon, pravidlo, podľa ktorého je nám a inej osobe jasné, ako sa X zmení na Y.

Zvyčajne to robia presne takto - v úlohách vidíme hotové funkcie definované vzorcami, existujú však aj iné spôsoby, ako nastaviť funkciu, na ktorú každý zabudne, a preto je tu otázka „ako inak sa dá funkcia nastaviť?“ mätie. Poďme sa pozrieť na všetko v poriadku a začnime s analytickou metódou.

Analytický spôsob definovania funkcie

Analytická metóda je úlohou funkcie pomocou vzorca. Toto je najuniverzálnejší a najkomplexnejší a jednoznačný spôsob. Ak máte vzorec, viete o funkcii úplne všetko - môžete na nej vytvoriť tabuľku hodnôt, môžete vytvoriť graf, určiť, kde funkcia rastie a kde klesá, vo všeobecnosti ju preskúmajte plne.

Uvažujme o funkcii. Čo na tom záleží?

"Čo to znamená?" - pýtaš sa. teraz vysvetlím.

Pripomínam, že v zápise sa výraz v zátvorkách nazýva argument. A tento argument môže byť akýkoľvek výraz, nie nevyhnutne jednoduchý. Podľa toho, bez ohľadu na argument (výraz v zátvorkách), napíšeme ho namiesto toho do výrazu.

V našom príklade to bude vyzerať takto:

Zvážte ďalšiu úlohu súvisiacu s analytickou metódou špecifikácie funkcie, ktorú budete mať na skúške.

Nájdite hodnotu výrazu, at.

Som si istý, že ste sa najprv báli, keď ste videli takýto výraz, ale nie je v tom absolútne nič strašidelné!

Všetko je rovnaké ako v predchádzajúcom príklade: akýkoľvek argument (výraz v zátvorkách), napíšeme ho namiesto toho do výrazu. Napríklad pre funkciu.

Čo treba urobiť v našom príklade? Namiesto toho musíte napísať a namiesto -:

skrátiť výsledný výraz:

To je všetko!

Samostatná práca

Teraz sa pokúste sami nájsť význam nasledujúcich výrazov:

1. , ak
2. , ak

Podarilo sa ti? Porovnajme naše odpovede: Sme zvyknutí, že funkcia má tvar

Aj v našich príkladoch takto definujeme funkciu, ale analyticky je možné definovať funkciu implicitne napr.

Skúste si vytvoriť túto funkciu sami.

Podarilo sa ti?

Tu je návod, ako som to postavil.

S akou rovnicou sme skončili?

Správne! Lineárne, čo znamená, že graf bude priamka. Urobme tabuľku, aby sme určili, ktoré body patria do našej čiary:

Práve o tom sme hovorili... Jeden zodpovedá viacerým.

Skúsme nakresliť, čo sa stalo:

Je to, čo máme, funkciou?

Presne tak, nie! prečo? Skúste na túto otázku odpovedať obrázkom. Čo si dostal?

"Pretože jedna hodnota zodpovedá viacerým hodnotám!"

Aký záver z toho môžeme vyvodiť?

Presne tak, funkcia nemôže byť vždy vyjadrená explicitne a to, čo sa „maskuje“ za funkciu, nie je vždy funkciou!

Tabuľkový spôsob definovania funkcie

Ako už názov napovedá, táto metóda je jednoduchý tanier. Áno áno. Ako ten, ktorý sme už vyrobili. Napríklad:

Tu ste si okamžite všimli vzor - Y je trikrát väčšie ako X. A teraz úloha „veľmi dobre premýšľajte“: myslíte si, že funkcia zadaná vo forme tabuľky je ekvivalentná funkcii?

Nehovorme dlho, ale kreslíme!

Takže Nakreslíme funkciu zadanú oboma spôsobmi:

Vidíš ten rozdiel? Nejde o označené body! Pozrieť sa na to bližšie:

Videli ste to teraz? Keď definujeme funkciu tabuľkovým spôsobom, do grafu premietneme len tie body, ktoré máme v tabuľke a priamka (ako v našom prípade) prechádza len nimi. Keď definujeme funkciu analytickým spôsobom, môžeme vziať ľubovoľné body a naša funkcia nie je na ne obmedzená. Tu je taká funkcia. Pamätajte!

Grafický spôsob zostavenia funkcie

Nemenej pohodlný je aj grafický spôsob konštrukcie funkcie. Nakreslíme našu funkciu a ďalší záujemca môže nájsť to, čomu sa y rovná pri určitom x atď. Medzi najbežnejšie patria grafické a analytické metódy.

Tu si však musíte pamätať, o čom sme hovorili na úplnom začiatku - nie každá „skrivka“ nakreslená v súradnicovom systéme je funkcia! Pamätáte si? Pre každý prípad tu skopírujem definíciu funkcie:

Ľudia spravidla pomenujú presne tie tri spôsoby špecifikácie funkcie, ktoré sme analyzovali - analytický (pomocou vzorca), tabuľkový a grafický, pričom úplne zabúdajú, že funkciu možno opísať slovne. Páči sa ti to? Áno, veľmi jednoduché!

Slovný popis funkcie

Ako opísať funkciu slovne? Vezmime si náš nedávny príklad – . Túto funkciu možno opísať ako "každá skutočná hodnota x zodpovedá jej trojitej hodnote." To je všetko. Nič zložité. Samozrejme, budete namietať - „je ich toľko komplexné funkcie na čo sa jednoducho verbálne opýtať nedá!“ Áno, nejaké sú, ale sú funkcie, ktoré je jednoduchšie opísať slovne, ako nastaviť pomocou vzorca. Napríklad: "každá prirodzená hodnota x zodpovedá rozdielu medzi číslicami, z ktorých pozostáva, pričom najväčšia číslica v položke čísla sa považuje za mínus." Teraz zvážte, ako sa náš slovný popis funkcie implementuje v praxi:

Najväčšia postava v dané číslo- , respektíve - znížené, potom:

Hlavné typy funkcií

Teraz prejdime k najzaujímavejšiemu - zvážime hlavné typy funkcií, s ktorými ste pracovali / pracujete a budete pracovať v priebehu školskej a ústavnej matematiky, to znamená, že ich takpovediac spoznáme a daj im stručný popis. Prečítajte si viac o každej funkcii v príslušnej časti.

Lineárna funkcia

Funkcia formulára, kde - reálne čísla.

Graf tejto funkcie je priamka, takže konštrukcia lineárnej funkcie sa redukuje na nájdenie súradníc dvoch bodov.

Priama poloha zapnutá súradnicová rovina závisí od faktora sklonu.

Rozsah funkcie (aka rozsah argumentov) - .

Rozsah hodnôt je .

kvadratickej funkcie

Funkcia formulára, kde

Grafom funkcie je parabola, keď vetvy paraboly smerujú dole, keď - hore.

Mnohé vlastnosti kvadratickej funkcie závisia od hodnoty diskriminantu. Diskriminant sa vypočíta podľa vzorca

Poloha paraboly v súradnicovej rovine vzhľadom na hodnotu a koeficient je znázornená na obrázku:

doména

Rozsah hodnôt závisí od extrému danej funkcie (vrchol paraboly) a koeficientu (smer vetiev paraboly)

Inverzná úmernosť

Funkcia daná vzorcom, kde

Číslo sa nazýva faktor inverznej úmernosti. V závislosti od hodnoty sú vetvy hyperboly v rôznych štvorcoch:

Doména - .

Rozsah hodnôt je .

SÚHRN A ZÁKLADNÝ VZOREC

1. Funkcia je pravidlo, podľa ktorého je každému prvku množiny priradený jedinečný prvok množiny.

• - ide o vzorec označujúci funkciu, teda závislosť jednej premennej od druhej;
• - premenlivý, alebo, argument;
• - závislá hodnota - mení sa pri zmene argumentu, teda podľa nejakého špecifického vzorca, ktorý odráža závislosť jednej hodnoty od druhej.

2. Platné hodnoty argumentov, alebo rozsah funkcie, je to, čo súvisí s možným, pod ktorým má funkcia zmysel.

3. Rozsah funkčných hodnôt- to je to, aké hodnoty to má, s platnými hodnotami.

4. Existujú 4 spôsoby nastavenia funkcie:

• analytické (pomocou vzorcov);
• tabuľkový;
• grafický
• slovný popis.

5. Hlavné typy funkcií:

• : , kde, sú reálne čísla;
• : , kde;
• : , kde.

Do zlatého veku informačných technológií Len málo ľudí si kúpi milimetrový papier a strávi hodiny kreslením funkcie alebo ľubovoľnej množiny údajov, a načo robiť takú fuška, keď si funkciu môžete vykresliť online. Okrem toho je takmer nemožné a ťažké vypočítať milióny hodnôt výrazov pre správne zobrazenie a napriek všetkému úsiliu dostanete prerušovanú čiaru, nie krivku. Pretože počítač v tomto prípade - nepostrádateľným pomocníkom.

Čo je to funkčný graf

Funkcia je pravidlo, podľa ktorého je každý prvok jednej množiny spojený s niektorým prvkom inej množiny, napríklad výraz y = 2x + 1 vytvára spojenie medzi množinami všetkých hodnôt x a všetkých hodnôt y, preto , toto je funkcia. Podľa toho sa graf funkcie bude nazývať množina bodov, ktorých súradnice spĺňajú daný výraz.

Na obrázku vidíme graf funkcie y=x. Toto je priamka a každý jej bod má na osi svoje súradnice X a na osi Y. Na základe definície, ak dosadíme súradnicu X nejaký bod do tejto rovnice, potom dostaneme súradnicu tohto bodu na osi Y.

Služby na vykresľovanie funkčných grafov online

Zvážte niekoľko populárnych a najlepších služieb, ktoré vám umožňujú rýchlo nakresliť graf funkcie.

Otvorí zoznam najbežnejších služieb, ktoré vám umožňujú vykresliť funkčný graf pomocou online rovnice. Umath obsahuje iba potrebné nástroje, ako je zoomovanie, pohyb po rovine súradníc a zobrazenie súradníc bodu, na ktorý ukazuje myš.

Pokyn:

1. Zadajte rovnicu do poľa za znakom „=“.
2. Kliknite na tlačidlo "Vytvoriť graf".

Ako vidíte, všetko je veľmi jednoduché a dostupné, syntax na písanie zložitých matematických funkcií: s modulom, trigonometrické, exponenciálne - je uvedená priamo pod grafom. V prípade potreby môžete tiež nastaviť rovnicu parametrickou metódou alebo zostaviť grafy v polárnom súradnicovom systéme.

Yotx má všetky funkcie predchádzajúcej služby, no zároveň obsahuje také zaujímavé novinky ako vytvorenie intervalu zobrazovania funkcií, možnosť zostaviť graf pomocou tabuľkových údajov a tiež zobraziť tabuľku s celými riešeniami.

Pokyn:

1. Vyberte požadovaný spôsob plánovania.
2. Zadajte rovnicu.
3. Nastavte interval.
4. Kliknite na tlačidlo "Postaviť".

Pre tých, ktorí sú príliš leniví na to, aby zistili, ako zapísať určité funkcie, táto pozícia predstavuje službu s možnosťou vybrať si zo zoznamu tú, ktorú potrebujete, jedným kliknutím myši.

Pokyn:

1. V zozname nájdite funkciu, ktorú potrebujete.
2. Kliknite naň ľavým tlačidlom myši
3. V prípade potreby zadajte koeficienty do poľa "Funkcia:".
4. Kliknite na tlačidlo "Postaviť".

Z hľadiska vizualizácie je možné zmeniť farbu grafu, ako aj skryť alebo úplne vymazať.

Desmos je zďaleka najsofistikovanejšia služba na zostavovanie rovníc online. Pohybom kurzora pri stlačenom ľavom tlačidle myši na grafe môžete detailne vidieť všetky riešenia rovnice s presnosťou 0,001. Zabudovaná klávesnica umožňuje rýchle písanie stupňov a zlomkov. Najdôležitejším plusom je schopnosť napísať rovnicu v akomkoľvek stave, bez toho, aby to viedlo k tvaru: y = f(x).

Pokyn:

1. V ľavom stĺpci kliknite pravým tlačidlom myši na voľný riadok.
2. V ľavom dolnom rohu kliknite na ikonu klávesnice.
3. Na paneli, ktorý sa zobrazí, zadajte požadovanú rovnicu (ak chcete napísať názvy funkcií, prejdite do časti „A B C“).
4. Graf sa vytvára v reálnom čase.

Vizualizácia je priam dokonalá, prispôsobivá, vidno, že dizajnéri na aplikácii zapracovali. Z plusov si možno všimnúť obrovské množstvo príležitostí, ktorých vývoj nájdete v ponuke v ľavom hornom rohu.

Existuje veľa stránok pre funkcie vykresľovania, ale každý si môže slobodne vybrať podľa požadovanej funkčnosti a osobných preferencií. Rebríček toho najlepšieho bol zostavený tak, aby splnil požiadavky každého matematika, mladého i staršieho. Veľa šťastia pri porozumení „kráľovnej vied“!

Vyberieme si pravouhlý súradnicový systém v rovine a vynesieme hodnoty argumentu na vodorovnú os X a na osi y - hodnoty funkcie y = f(x).

Graf funkcií y = f(x) volá sa množina všetkých bodov, pre ktoré úsečky patria do oblasti funkcie a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie.

Inými slovami, graf funkcie y \u003d f (x) je množina všetkých bodov v rovine, súradnice X, pri ktoré uspokojujú vzťah y = f(x).

Na obr. 45 a 46 sú grafy funkcií y = 2x + 1 a y \u003d x 2 – 2x.

Prísne vzaté, treba rozlišovať medzi grafom funkcie (ktorej presná matematická definícia bola uvedená vyššie) a nakreslenou krivkou, ktorá vždy poskytuje len viac-menej presný náčrt grafu (a aj tak spravidla nie celého grafu, ale iba jeho časti umiestnenej v koncových častiach roviny). V nasledujúcom texte sa však zvyčajne budeme odvolávať na „graf“ a nie na „náčrt grafu“.

Pomocou grafu môžete nájsť hodnotu funkcie v bode. Totiž, ak bod x = a patrí do rozsahu funkcie y = f(x) a potom vyhľadajte číslo f(a)(t.j. funkčné hodnoty v bode x = a) by tak mal urobiť. Treba cez bodku s osou x x = a nakreslite priamku rovnobežnú s osou y; táto čiara bude pretínať graf funkcie y = f(x) v jednom bode; ordináta tohto bodu bude na základe definície grafu rovná f(a)(obr. 47).

Napríklad pre funkciu f(x) = x 2 - 2x pomocou grafu (obr. 46) zistíme f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 atď.

Funkčný graf vizuálne znázorňuje správanie a vlastnosti funkcie. Napríklad z úvahy na obr. 46 je zrejmé, že funkcia y \u003d x 2 – 2x nadobúda kladné hodnoty, keď X< 0 a pri x > 2, záporné - na 0< x < 2; najmenšia hodnota funkciu y \u003d x 2 – 2x prijíma na x = 1.

Na vykreslenie funkcie f(x) musíte nájsť všetky body roviny, súradnice X,pri ktoré spĺňajú rovnicu y = f(x). Vo väčšine prípadov je to nemožné, pretože takýchto bodov je nekonečne veľa. Preto je graf funkcie znázornený približne - s väčšou či menšou presnosťou. Najjednoduchšia je metóda viacbodového vykresľovania. Spočíva v tom, že argument X zadajte konečný počet hodnôt - povedzme x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k a vytvorte tabuľku, ktorá obsahuje vybrané hodnoty funkcie.

Tabuľka vyzerá takto:

Po zostavení takejto tabuľky môžeme na grafe funkcie načrtnúť niekoľko bodov y = f(x). Potom spojením týchto bodov hladkou čiarou získame približný pohľad na graf funkcie y = f(x).

Treba však poznamenať, že metóda viacbodového vykresľovania je veľmi nespoľahlivá. V skutočnosti zostáva správanie grafu medzi označenými bodmi a jeho správanie mimo segmentu medzi extrémnymi bodmi neznáme.

Príklad 1. Na vykreslenie funkcie y = f(x) niekto zostavil tabuľku hodnôt argumentov a funkcií:

Zodpovedajúcich päť bodov je znázornených na obr. 48.

Na základe umiestnenia týchto bodov usúdil, že graf funkcie je priamka (na obr. 48 znázornená bodkovanou čiarou). Dá sa tento záver považovať za spoľahlivý? Pokiaľ neexistujú ďalšie úvahy na podporu tohto záveru, ťažko ho možno považovať za spoľahlivý. spoľahlivý.

Na podloženie nášho tvrdenia zvážte funkciu

.

Výpočty ukazujú, že hodnoty tejto funkcie v bodoch -2, -1, 0, 1, 2 sú práve opísané vyššie uvedenou tabuľkou. Graf tejto funkcie však vôbec nie je rovný (je znázornený na obr. 49). Ďalším príkladom je funkcia y = x + l + sinx; jeho významy sú tiež opísané v tabuľke vyššie.

Tieto príklady ukazujú, že vo svojej „čistej“ forme je metóda viacbodového vykresľovania nespoľahlivá. Preto pri vykresľovaní danej funkcie spravidla postupujte nasledovne. Najprv sa študujú vlastnosti tejto funkcie, pomocou ktorej je možné zostrojiť náčrt grafu. Potom výpočtom hodnôt funkcie v niekoľkých bodoch (ktorých výber závisí od nastavených vlastností funkcie) sa nájdu zodpovedajúce body grafu. A nakoniec sa cez zostrojené body nakreslí krivka pomocou vlastností tejto funkcie.

Niektoré (najjednoduchšie a najčastejšie používané) vlastnosti funkcií používaných na nájdenie náčrtu grafu zvážime neskôr a teraz rozoberieme niektoré bežne používané metódy vykresľovania grafov.

Graf funkcie y = |f(x)|.

Často je potrebné vykresliť funkciu y = |f(x)|, kde f(x) - danú funkciu. Pripomeňme si, ako sa to robí. Podľa definície absolútna hodnotačísla sa dajú písať

To znamená, že graf funkcie y=|f(x)| možno získať z grafu, funkcií y = f(x) takto: všetky body grafu funkcie y = f(x), ktorého súradnice nie sú záporné, by sa malo ponechať nezmenené; ďalej namiesto bodov grafu funkcie y = f(x), ktoré majú záporné súradnice, by sa mali zostrojiť zodpovedajúce body grafu funkcie y = -f(x)(t.j. časť funkčného grafu
y = f(x), ktorá leží pod osou X, by sa mali odrážať symetricky okolo osi X).

Príklad 2 Nakreslite funkciu y = |x|.

Zoberieme graf funkcie y = x(obr. 50, a) a časť tohto grafu kedy X< 0 (ležiace pod osou X) sa symetricky odráža okolo osi X. Výsledkom je, že dostaneme graf funkcie y = |x|(obr. 50, b).

Príklad 3. Nakreslite funkciu y = |x 2 - 2x|.

Najprv nakreslíme funkciu y = x 2 - 2x. Grafom tejto funkcie je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor, vrchol paraboly má súradnice (1; -1), jej graf pretína os x v bodoch 0 a 2. Na intervale (0; 2 ) funkcia nadobúda záporné hodnoty, preto sa táto časť grafu odráža symetricky okolo osi x. Obrázok 51 zobrazuje graf funkcie y \u003d |x 2 -2x | na základe grafu funkcie y = x 2 - 2x

Graf funkcie y = f(x) + g(x)

Zvážte problém vykreslenia funkcie y = f(x) + g(x). ak sú uvedené grafy funkcií y = f(x) a y = g(x).

Všimnite si, že definičný obor funkcie y = |f(x) + g(х)| je množina všetkých tých hodnôt x, pre ktoré sú definované obe funkcie y = f(x) a y = g(x), t.j. táto definičná oblasť je priesečníkom definičných oblastí, funkcií f(x) ) a g(x).

Nechajte body (x 0, y 1) a (x 0, y 2) patria medzi funkčné grafy y = f(x) a y = g(x), t.j 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Potom bod (x0;. y1 + y2) patrí do grafu funkcie y = f(x) + g(x)(pre f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. a ľubovoľný bod grafu funkcie y = f(x) + g(x) možno získať týmto spôsobom. Preto graf funkcie y = f(x) + g(x) možno získať z funkčných grafov y = f(x). a y = g(x) nahradením každého bodu ( x n, y 1) funkčná grafika y = f(x) bodka (x n, y 1 + y 2), kde y2 = g(x n), t.j. posunutím každého bodu ( x n, y 1) funkčný graf y = f(x) pozdĺž osi pri podľa sumy y 1 \u003d g (x n). V tomto prípade sa berú do úvahy iba také body. X n, pre ktoré sú definované obe funkcie y = f(x) a y = g(x).

Tento spôsob vykresľovania funkčného grafu y = f(x) + g(x) sa nazýva sčítanie grafov funkcií y = f(x) a y = g(x)

Príklad 4. Na obrázku je metódou pridávania grafov zostrojený graf funkcie
y = x + sinx.

Pri vykresľovaní funkcie y = x + sinx predpokladali sme to f(x) = x, a g(x) = sinx. Na vytvorenie funkčného grafu vyberieme body s úsečkami -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Hodnoty f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx spočítame vo vybraných bodoch a výsledky umiestnime do tabuľky.

Lekcia na tému: "Graf a vlastnosti funkcie $y=x^3$. Príklady vykresľovania"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje pripomienky, spätnú väzbu, návrhy. Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 7
Elektronická učebnica pre 7. ročník "Algebra za 10 minút"
Vzdelávací komplex 1C "Algebra, ročníky 7-9"

Vlastnosti funkcie $y=x^3$

Poďme si popísať vlastnosti tejto funkcie:

1. x je nezávislá premenná, y je závislá premenná.

2. Definičná oblasť: je zrejmé, že pre akúkoľvek hodnotu argumentu (x) je možné vypočítať hodnotu funkcie (y). V súlade s tým je doménou definície tejto funkcie celý číselný rad.

3. Rozsah hodnôt: y môže byť čokoľvek. Rozsah je teda aj celý číselný rad.

4. Ak x= 0, potom y= 0.

Graf funkcie $y=x^3$

1. Urobme si tabuľku hodnôt:

2. Pre kladné hodnoty x je graf funkcie $y=x^3$ veľmi podobný parabole, ktorej vetvy sú viac „pritlačené“ k osi OY.

3. Pretože pre záporné hodnoty x funkcia $y=x^3$ má opačné hodnoty, potom je graf funkcie symetrický vzhľadom na počiatok.

Teraz si označme body na súradnicovej rovine a zostavme graf (pozri obr. 1).

Táto krivka sa nazýva kubická parabola.

Príklady

I. Úplne hotový na malej lodi sladká voda. Z mesta je potrebné priviesť dostatok vody. Voda sa objednáva vopred a platí sa za plnú kocku, aj keď jej napustíte o niečo menej. Koľko kociek je potrebné objednať, aby ste nepreplatili kocku navyše a úplne naplnili nádrž? Je známe, že nádrž má rovnakú dĺžku, šírku a výšku, ktoré sa rovnajú 1,5 m.Vyriešme tento problém bez vykonania výpočtov.

Riešenie:

1. Nakreslíme funkciu $y=x^3$.
2. Nájdite bod A, súradnicu x, ktorá sa rovná 1,5. Vidíme, že súradnica funkcie je medzi hodnotami 3 a 4 (pozri obr. 2). Treba si teda objednať 4 kocky.