Kapitola 4. Aritmetické základy počítačov

4.1. Čo je to číselná sústava?

Existujú pozičné a nepozičné číselné sústavy.

V nepozičných číselných sústavách váha číslice (t. j. jej príspevok k hodnote čísla) nezávisí od jej postavenia v zápise čísla. Takže v systéme rímskych čísel v čísle XXXII (tridsaťdva) je hmotnosť čísla X v akejkoľvek polohe len desať.

V pozičných číselných sústavách váha každej číslice sa mení v závislosti od jej polohy (pozície) v poradí číslic reprezentujúcich číslo. Napríklad v čísle 757,7 prvých sedem znamená 7 stoviek, druhé - 7 jednotiek a tretie - 7 desatín jednej.

Rovnaký zápis čísla 757,7 znamená skrátený zápis výrazu

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Akékoľvek pozičné notový zápis vyznačuje sa svojím základ.

Za základ systému možno brať čokoľvek prirodzené číslo- dva, tri, štyri atď. teda je možné nespočetné množstvo polohovacích systémov: binárne, trojčlenné, kvartérne atď. Zápis čísel v každom z radixových systémov q znamená skratkový výraz

a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + ... + a -m q -m ,

kde a i - číselné čísla; n a m - počet celých a zlomkových číslic.
Napríklad:

4.2. Ako sa generujú celé čísla v pozičných číselných sústavách?

V každom číselnom systéme sú čísla zoradené podľa ich významu: 1 je väčšie ako 0, 2 je väčšie ako 1 atď.

Posunúť číslo 1 vpred znamená nahradiť ho 2, posunúť číslo 2 znamená nahradiť ho 3 atď. Propagácia s vysokými číslami(napríklad číslice 9 v desiatkovej sústave) znamená nahradiť ho 0... V binárnom systéme, ktorý používa iba dve číslice, 0 a 1, posunutie 0 znamená jej nahradenie 1 a posunutie 1 jej nahradenie 0.

Celé čísla v ľubovoľnej číselnej sústave sa generujú pomocou Pravidlá účtu [44 ]:

Pomocou tohto pravidla napíšme prvých desať celých čísel

binárne: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

v ternárnom systéme: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

v päťnásobnom systéme: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

v osmičke: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

4.3. Aké číselné systémy používajú špecialisti na komunikáciu s počítačom?

Okrem desiatkovej sústavy sú široko používané sústavy s radixom. celý stupeňčíslo 2, konkrétne:

binárne(používajú sa čísla 0, 1);

osmičkový(používajú sa čísla 0, 1, ..., 7);

hexadecimálny(pre prvé celé čísla od nuly do deväť sa používajú číslice 0, 1, ..., 9 a pre ďalšie celé čísla od desať do pätnásť znaky A, B, C, D, E, F ako číslice).

Je užitočné zapamätať si záznam v týchto číselných sústavách pre prvé dve desiatky celých čísel:

Zo všetkých číselných sústav obzvlášť jednoduché a preto zaujímavé pre technickú realizáciu v počítačoch binárna číselná sústava.

4.4. Prečo ľudia používajú desiatkové a počítače binárne?

Ľudia uprednostňujú desiatkovú sústavu, pravdepodobne preto, že odpradávna počítali prstami a ľudia majú na rukách a nohách desať prstov. Nie vždy a nie všade ľudia používajú systém desiatkových čísel. Napríklad v Číne sa dlho používal päťnásobný číselný systém.

A počítače používajú binárny systém, pretože má oproti iným systémom množstvo výhod:

na jeho implementáciu potrebujete technické zariadenia s dvoma ustálenými stavmi(existuje prúd - žiadny prúd, magnetizovaný - nemagnetizovaný atď.), A nie napríklad s desiatkou, ako v desiatkovej sústave;

prezentácia informácií len prostredníctvom dvoch stavov spoľahlivo a proti zaseknutiu;

možno Aplikácia booleovskej algebry vykonávať logické transformácie informácií;

binárna aritmetika je oveľa jednoduchšia ako desiatková.

Nevýhodou dvojkovej sústavy je rýchly nárast počtu číslic potrebné písať čísla.

4.5. Prečo počítače používajú aj osmičkové a hexadecimálne číselné sústavy?

Binárny systém, vhodný pre počítače, je pre ľudí nepohodlný pre svoju ťažkopádnosť a nezvyčajné nahrávanie.

Prevod čísel z desiatkových na binárne a naopak vykonáva stroj. Aby ste však mohli počítač používať profesionálne, musíte sa naučiť rozumieť slovu stroj. Na tento účel boli vyvinuté osmičkové a hexadecimálne systémy.

Čísla v týchto sústavách sa čítajú takmer rovnako ľahko ako desiatkové, vyžadujú tri (osmičkové) a štyri (šestnástkové) krát menej číslic ako v dvojkovej sústave (napokon, čísla 8 a 16 sú tretie a štvrté mocniny čísla 2) ...

Napríklad:

napr.

4.6. Ako previesť celé číslo z desiatkovej sústavy do akejkoľvek inej pozičnej číselnej sústavy?

Príklad: Preveďme číslo 75 z desiatkovej sústavy na dvojkovú, osmičkovú a hexadecimálnu:

odpoveď: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

4.7. Ako preložiť správne desatinné číslo do akejkoľvek inej pozičnej číselnej sústavy?

Preložiť správne desatinné čísloF do radixuq nevyhnutnéF vynásobiťq , zapísaný v rovnakej desiatkovej sústave, potom vynásobte zlomkovú časť výsledného produktu číslomq, a tak ďalej, kým sa zlomková časť nasledujúceho produktu nerovná nule, alebo kým sa nedosiahne požadovaná presnosť čísla F vq - spárovaný systém. Znázornenie zlomkovej časti číslaF v nový systém zúčtovanie bude sledom celých častí prijatých diel, napísaných v poradí ich prijatia a zobrazených jednou q -číslo. Ak je požadovaná presnosť prevodu číslaF jek desatinných miest, potom sa maximálna absolútna chyba rovnáq - (k + 1) / 2.

Príklad. Preveďme číslo 0,36 z desiatkovej sústavy na dvojkovú, osmičkovú a hexadecimálnu:

4.8. Ako previesť číslo z binárneho (osmičkového, hexadecimálneho) na desiatkové?

Desatinný prevodX zaznamenané vq -árna číselná sústava (q = 2, 8 alebo 16) vo formuláriX q = (a n a n-1 ... a 0 , a -1 a -2 ... a -m ) q sa redukuje na výpočet hodnoty polynómu X 10 = a n q n + a n-1 q n-1 + ... + a 0 q 0 + a -1 q -1 + a -2 q -2 + ... + a -m q -m pomocou desiatkovej aritmetiky.

Príklady:

4.9. Súhrnná tabuľka prekladov celých čísel z jednej číselnej sústavy do druhej

Zvážte iba tie číselné sústavy, ktoré sa používajú v počítačoch – desiatkové, dvojkové, osmičkové a šestnástkové. Pre istotu si zoberme ľubovoľné desatinné číslo, napríklad 46, a preň vykonáme všetky možné po sebe idúce preklady z jednej číselnej sústavy do druhej. Poradie prekladov je určené podľa obrázku:

Tento obrázok používa nasledujúce konvencie:

základy číselných sústav sa píšu v krúžkoch;

šípky označujú smer posunu;

číslo pri šípke znamená poradové číslo príslušného príkladu v súhrnnej tabuľke 4.1.

Napríklad: znamená preklad z binárneho do hexadecimálneho, ktorý má v tabuľke poradové číslo 6.

Kontingenčná tabuľka prekladov celých číseldvaoddielov- teória štatistiky ... štatistika, informatika ako disciplíny ... KR (elektronické verzia vydania). „.... EP Mikroekonomická štatistika: Učebnica. príspevok... - M .: Delo, 2000. ... časopis. internet- webové stránky Rosstat...

& quot vytvorenie otvorených databáz informačných zdrojov &

správa

Referenčné vydania. Bibliografické výhod. kapitola 1. Referenčné publikácie ... zmierovacích konaní. internet-verziačasopis poskytuje prístup k ... URSS / internet- skóre pozostávaoddva odbory: ... špecialisti úradu informatika a telekomunikácie...

Notový zápis je spôsob zápisu čísel pomocou danej sady špeciálnych znakov (čísel).

Zápis čísla v určitej číselnej sústave sa nazýva číselný kód.

Zvyčajne sa nazýva samostatná pozícia v obraze čísla vypúšťanie a číslo pozície je číslo bitu. Počet číslic v číselnom zázname sa nazýva kapacita a zhoduje sa s jeho dĺžkou.

Existujú pozičné a nepozičné systémy. .

V nepolohových sústavách zúčtovanie váha číslice nezávisí od polohy, ku ktorému sa radí počtom. Takže napríklad v rímskom číselnom systéme v čísle XXXII (tridsaťdva) je váha číslice X na akejkoľvek pozícii práve desať.

Príkladom nepozičného číselného systému je Roman. Čísla v rímskom systéme sú: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000).
Veľkosť čísla v rímskej číselnej sústave je definovaná ako súčet alebo rozdiel číslic v čísle. Ak je menšia číslica vľavo od väčšej, odpočíta sa, ak vpravo, pripočíta sa.
Príklad:

CCXXXII = 232
IX = 9

V polohových systémoch zúčtovanie váha každej číslice sa mení v závislosti od jeho polohy v poradí číslic reprezentujúcich číslo.
Každý polohový systém je charakterizovaný svojou základňou.
Základom pozičného číselného systému je počet rôznych znakov alebo symbolov používaných na reprezentáciu čísel v danom systéme.
Za základ možno považovať akékoľvek prirodzené číslo - dva, tri, štyri, šestnásť atď. Preto je možný nekonečný počet polohových systémov.

Príklady pozičných číselných systémov sú binárne, desiatkové, osmičkové, hexadecimálne atď.

D Systém desiatkových čísel.

V tento systém má 10 číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ale informácia je prenášaná nielen číslicou, ale aj miestom, na ktorom číslica stojí (tj. jeho poloha). Najpravejšia číslica čísla ukazuje počet jednotiek, druhá sprava - počet desiatok, ďalšia - počet stoviek atď.

Príklad:
333 10 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3

Binárny číselný systém.

V tomto systéme sú iba dve číslice - 0 a 1. Základom systému je číslo 2. Číslica úplne vpravo ukazuje počet jednotiek, ďalšia číslica je počet dvojok, ďalšia číslica je číslo štvorky a tak ďalej. Binárny číselný systém vám umožňuje zakódovať akékoľvek prirodzené číslo – reprezentovať ho ako postupnosť núl a jednotiek.

Príklad:
1011 2 = 1*2^3 + 0*2*2+1*2^1+1*2^0 =1*8 + 1*2+1=11 10

Osmičková číselná sústava. Tento číselný systém má 8 číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Ak chcete previesť napríklad číslo 611 (osmičkové) na binárnu sústavu, musíte nahradiť každú číslicu jej ekvivalentnou binárnou trojicou. (tri číslice). Je ľahké uhádnuť, že ak chcete previesť viacmiestne binárne číslo do osmičkového systému, musíte ho rozdeliť na triády sprava doľava a nahradiť každú trojicu zodpovedajúcou osmičkovou číslicou.

Príklad:

6118 =011 001 001 2

1 110 011 101 2 = 1435 8 ​​​​(4 triády)

Hexadecimálna číselná sústava.
Zápis čísla v osmičkovej sústave je celkom kompaktný, no ešte kompaktnejší je v šestnástkovej sústave. Zvyčajné čísla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sa berú ako prvých 10 zo 16 hexadecimálnych číslic, ale ako zvyšných 6 číslic sa používajú prvé písmená latinskej abecedy: A , B, C, D, E, F. Prevod zo šestnástkovej sústavy do dvojkovej a naopak sa vykonáva rovnakým spôsobom ako pri osmičkovej sústave.

Prevod celých čísel do iných číselných sústav

Celé číslo so základom 10 sa prevedie na základ 2 postupným delením čísla základom 2, kým sa nezíska zvyšok. Výsledné zvyšky z delenia a posledný podiel sa zapisujú v opačnom poradí delenia. Utvorené číslo bude číslo so základom N2.

Prevod čísel na desatinné sa vykonáva zostavením mocninového radu so základom systému, z ktorého je číslo preložené. Potom sa vypočíta hodnota súčtu.

a) Preložiť 10101101 str.

101011012 = 1*2^7+ 0*2^6+ 1*2^5+ 0*2^4+ 1*2^3+ 1*2^2+ 0*2^1+ 1*2^0 = 173

b) Preložte 7038.

7038 = 7*8^2+ 0*8^1+ 3*8^0= 451

c) Preložte B2E16.

B2E16 = 11 * 16 ^ 2 + 2 * 16 ^ 1 + 14 * 16 ^ 0 = 2862

Zoznámenie sa s Leafom

Vynálezca Listik vynašiel zariadenie na prenos čísel. Jeho zariadenie vysielalo správy vo forme reťazca krátkych a dlhých signálov. Listik vo svojich poznámkach označil krátky signál číslom „0“ a dlhý signál číslom „1“. Pri prenose čísel použil pre každú číslicu nasledujúci kód:

Číslo 12, pozostávajúce z čísel 1 a 2, si leták zapísal na prenos takto:

Zariadenie vysielalo túto správu v reťazci takýchto signálov: tri krátke, jeden dlhý, dva krátke, jeden dlhý a jeden krátky.

Podľa Listikovho systému bolo číslo 77 zakódované takto:

Kódovanie informácií

Kódovanie je preklad informácií do formy, ktorá je vhodná na prenos alebo ukladanie.

Napríklad texty sú kódované pomocou písmen a interpunkčných znamienok. Navyše jeden a ten istý záznam môže byť kódovaný rôznymi spôsobmi: v ruštine, angličtine, čínštine ...

Čísla sú kódované pomocou čísel. Čísla, na ktoré sme zvyknutí, sa nazývajú arabské čísla. Niekedy sa používajú rímske číslice. V tomto prípade sa mení spôsob kódovania informácií. Napríklad 12 a XII sú rôzne cesty záznamy rovnakého čísla.

Hudbu je možné kódovať pomocou špeciálnych znakov – nôt. Dopravné značky sú kódované správy pre vodičov a chodcov pomocou piktogramov.

Tovar v predajni je označený čiarovým kódom, ktorý obsahuje informácie o produkte a jeho výrobcovi.

Čiarový kód je sekvencia čiernych a bielych pruhov, ktoré kódujú informácie vo forme, ktorá je ľahko čitateľná technickými zariadeniami. Okrem toho je možné pod čiarový kód umiestniť kód vo forme série čísel.

Informácie sú vždy uložené a prenášané vo forme kódov. Nemôžete len ukladať informácie bez nosiča. Rovnako tak nie je možné uchovávať a prenášať len informáciu: tá má vždy nejakú formu, teda je zakódovaná.

Binárne kódovanie

Binárne kódovanie je kódovanie informácií pomocou núl a jednotiek. Pre počítačová technológia tento spôsob prezentácie informácií sa ukázal ako veľmi pohodlný.

Ide o to, že počítače sú postavené na prvkoch, ktoré môžu byť v dvoch možných stavoch. Jeden takýto stav je označený číslom 0, druhý číslom 1.

Príkladom binárneho zariadenia je obyčajná žiarovka. Môže byť v jednom z dvoch stavov: zapnuté (stav 1) alebo vypnuté (stav 0).

Na žiarovkách môžete postaviť elektrickú pamäť a uložiť do nej napríklad čísla pomocou binárneho kódu listu.

Na uloženie každej desatinnej číslice sú potrebné štyri žiarovky. Takto si zapamätáte číslo 6:

Nastavte spínače do požadovanej polohy - a poďme na čaj! Ak sa elektrina nevypne, informácie sa uložia.

Žiarovky, samozrejme, nie sú vhodné na výrobu počítačov: sú veľké, rýchlo vyhoria, sú drahé (veď sú ich milióny) a veľmi ohrievajú prostredie.

V moderných počítačoch sa ako pamäťový prvok používa elektronické zariadenie, tranzistor.

Tranzistor môže prechádzať prúdom cez seba (stav 1) alebo nie (stav 0).

Boli časy, keď sa každý tranzistor vyrábal samostatne a bol významný svojou veľkosťou.

Teraz sa tranzistory, podobne ako iné elektronické prvky, vyrábajú podobným spôsobom ako pri fotografickej tlači. Jeden mikroobvod veľkosti nechtu, je možné „vytlačiť“ niekoľko miliónov tranzistorov.

Kód, ktorý Listik používal na kódovanie správ, sa v skutočnosti používa na prácu s číslami v počítači.

Pri binárnom kódovaní sa do tejto tabuľky nemusíte vôbec pozerať, no zapamätajte si jednoduché pravidlo na preklad binárneho kódu na desatinnú číslicu.

Číslo v kóde na prvom mieste vpravo udáva
lo 1, na druhom - 2, na treťom - 4, na štvrtom - 8. Na získanie desatinnej číslice sa čísla sčítajú. Napríklad kód „0101“ sa preloží na číslicu 5 (súčet čísel 4 a 1).

Rovnaké pravidlo možno použiť aj na dekódovanie. Napríklad číslo 6 je napísané ako súčet čísel 4 a 2, čo znamená, že jeho kód bude „0110“.

Tabuľka s číslami napísanými v číselnej sústave, ktorá sa používala v starovekom Babylone. Okolo roku 1700 pred Kr Rozlúštené v roku 1945.

Číselné sústavy

Kód listu a kódovanie čísel

Predchádzajúca lekcia vám ukázala, ako písať čísla pomocou núl a jednotiek. Kóduje leták každá číslicačíslo štyri binárne znamenia.

Takže číslo 102 s Leafovým kódom je napísané pomocou 12 binárnych znakov:

Kóduje leták oddelene každá z 10 číslic a používa na to 4 binárne číslice. Štyri binárne znaky však môžu kódovať nie 10, ale 16 hodnôt:

Ukázalo sa, že 6 kódov Leaf (čo je viac ako polovica z 10) je premrhaných!

Je možné kódovať ekonomickejšie?

Môžete, ak zakódujete nie čísla(ktorých sa zhromažďuje počet), a to okamžite čísla! Takže číslo 102 s touto metódou kódovania môže byť zapísané nie v dvanástich, ale iba v siedmich binárnych čísliciach (ušetríme 5 číslic):

Toto kódovanie bude zahrnuté v tomto návode. Ale začnime pekne po poriadku.

Desatinná číselná sústava

Ako viete, čísla sú zostavené z čísel a existuje len desať čísel, tu sú:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ako sa dajú písať veľké čísla len s desiatimi číslicami? Teraz to uvidíme, ale najprv si zapamätajte definíciu:

Spôsob zápisu čísel je tzv číselný systém.

Odborné slovo mŕtve zúčtovanie, v zhode so slovom „výpočet“ už znamená „spôsob písania čísel“. Ale matematikom sa zdalo, že fráza notový zápis znie to lepšie. Nevadí, tento dvojslovný výraz zvládneme! Teraz sa s tým poďme zaoberať číselný systém, na ktoré sú zvyknutí.

Pozrite sa na číslo 253. V tomto zázname je prvá číslica vpravo (tzv najmenej významná číslica) znamená „tri jednotky“, päť znamená „päť desiatok“ a dve ( najvýznamnejšia číslica) - "dvesto".

Ukazuje sa: 253 = 2 · 100 + 5 · 10 + 3 · 1.

Hovoríme: "Dvesto päťdesiat tri"... To znamená číslo, ktoré sa získa pridaním:

dvesto (2 100 = dvesto),

päť tuctov (5 10 = päťdesiat) a

tri jednotky (3 1 = tri).

Vidíme, že hodnota číslice v zázname čísla závisí od pozície v ktorom sa číslica nachádza. Pozície číslic sa nazývajú inak výboječísla.

Najmenší významná číslica znamená jednotky:

Druhá číslica sprava znamená desiatky:

Tretia číslica sprava znamená stovky:

Vidíme, že príspevok číslice k číslu sa zvyšuje sprava doľava.

Číselné sústavy, v ktorých príspevok číslice k číslu závisí od pozície volajú sa čísla v zázname pozičné číselné sústavy.

Nám známy číselný systém je pozičný, ako sme videli. Všimnite si, že v základ má to byť číslo 10 - počet použitých číslic.

Najnižšia číslica ukazuje počet jednotiek v čísle, druhá sprava - počet desiatok (1 · 10). Tretí zobrazuje stovky (10 10), štvrtý zobrazuje tisíce (10 100) atď.

Počítame ako jednotky, jednotky sa sčítavajú do desiatok (desať jednotiek sa nahradí jednou desiatkou), desiatky do stoviek (desať desiatok sa nahradí stovkou) atď.

Číslo 10 je základom bežnej číselnej sústavy, preto sa nazýva desiatková sústava alebo číselnou sústavou základ 10.

Pozrite sa znova, ako sa 2789 prekladá na číslo.

Číslo sa získa sčítaním vkladyčísla v ňom zahrnuté:

Príspevok každej číslice sa získa vynásobením tejto číslice násobiteľom závislým od polohy súvisiacim s radixom systému.

Násobiče pozície sa vypočítavajú podľa nasledujúceho pravidla:

1. Násobiteľ prvej (pravej) pozície je 1 .

2. Násobiteľ každej ďalšej pozície sa získa vynásobením základne systému (číslo 10 ) faktorom predchádzajúcej polohy.

Vyvolajú sa multiplikátory pozície váhy pozícií, alebo polohové závažia.

Počet sa rovná súčtu vkladov. Príspevok sa rovná súčinu postavy a polohovej váhy. Váha prvej pozície je 1, druhá je 10, tretia je 100 atď. To znamená, že hmotnosť každej polohy (okrem prvej) sa získa z hmotnosti predchádzajúcej vynásobením základom systému. Váha prvej pozície sa rovná jednej.

Takto: množili sa, pridávali a netušili! Ukazuje sa, že zapisujeme čísla základný desať polohový zápis! Prečo je základ nášho systému rovný 10? Je to pochopiteľné: koniec koncov, máme 10 prstov, je vhodné počítať ich ohýbaním v poradí.

Ale pre počítač, ako už viete, je dvojková sústava známejšia polohová základňa dva.

Binárny číselný systém

V dvojkovej sústave sú len dve číslice:

Ak sa v desiatkovej sústave získajú váhy pozícií vynásobením desiatimi, potom v dvojkovej sústave - vynásobením dvoma:

Ukazuje sa: 1011 2 = 1 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1 2 · 1 + 1 1 .

V dvojkovej sústave sa považujú za jednotky, jednotky súčet dvoch (dve jednotky sú nahradené jednou dvojkou), dvojky - do štyroch (dve dvojky sú nahradené jednou štvorkou) atď.

Keď je potrebné objasniť, v ktorom systéme je číslo napísané, základ systému sa mu priradí zdola:

1011 2 - číslo je zapísané v dvojkovej sústave.

Nie je ťažké to preložiť do desiatkovej sústavy, stačí vykonať operácie násobenia a sčítania:

1011 2 = 1 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1 2 · 1 + 1 1 =

1 8 + 0 4 + 1 2 + 1 1 = 11 10.

Binárny prevod na desatinné číslo

V binárnom systéme je príspevok jedného na prvom mieste vpravo číslo 1, na druhom - 2, na treťom - 4, na štvrtom - 8 atď. Príspevky núl sa samozrejme rovnajú nule bez ohľadu na ich pozíciu.

Dostávame nasledujúce pravidlo:

Ak chcete previesť z binárneho na desiatkové, musíte nad každú binárnu číslicu napísať váhu jej pozície a pridať čísla napísané nad jednotkami.

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10 .

Ďalší príklad, číslo 100110:

100110 2 = 32 + 4 + 2 = 38 10 .

Prevod z desiatkovej sústavy na binárnu

Na prevod z desiatkového na binárne použijeme predchádzajúcu schému s váhami pozícií:

Predpokladajme, že potrebujete preložiť do dvojkovej sústavy číslo 26. Začiatok dvojkového čísla (najvýznamnejšia číslica) vyberieme podľa schémy. 32 je veľa, takže začneme s 16:

Časť pôvodného čísla, konkrétne 16, je zakódovaná, zostáva zakódovať 26 - 16 = 10. Vezmite 8 (najväčšia možná pozičná váha):

Zostáva zakódovať 10 - 8 = 2. Štyri je veľa. Napíšeme na pozíciu 0 a vezmeme 2:

Zakódovali sme celé číslo, čo znamená, že posledná číslica by mala byť nula:

Ukazuje sa: 26 10 = 11010 2.

Pravidlo pre prevod z desiatkovej do binárnej môže byť formulované nasledovne.

Ak chcete lepšie porozumieť tomuto algoritmu, pracujte na testovacej lavici. Kliknite na tlačidlo Resetovať, vytočte číslo. Potom stlačte tlačidlo Štart: uvidíte, ako tester krok za krokom vykonáva algoritmus binárnej konverzie.

Poznámka: v zázname algoritmu je zvýraznená položka, ktorá sa vykoná. po stlačením tlačidla Štart... Napríklad, ak je položka zvýraznená "Opakujte, kým sa číslo nezmení na nulu", potom po kliknutí na Štart Tester skontroluje, či sa aktuálne číslo zhoduje s nulou a rozhodne sa, či bude pokračovať v opakovaní.

(Prácu s Testerom vykonajte na stránke elektronickej prihlášky.)

Polohové systémy s inými základňami

Vasya miluje desiatkovú sústavu, jeho počítač je binárny a zvedaví matematici milujú rôzne pozičné číselné sústavy, pretože za základ môžete vziať akékoľvek číslo, nielen 2 alebo 10.

Vezmime si ako príklad ternárny číselný systém.

Ternárny číselný systém

Trojčlenný číselný systém používa, ako môžete hádať, tri čísla:

V ternárnom systéme sa považujú za jednotky, jednotky sa pridávajú k trojkám (tri jednotky sú nahradené jednou trojkou), trojky - k deviatkam (tri trojky sú nahradené jednou deviatkou) atď.

Zaujímavosťou je, že v roku 1958 pod vedením N.P. Brusentsov v Moskve štátna univerzita bol vytvorený počítač „Setun“, ktorý pracoval s číslami nie v binárnom, ale v ternárnom číselnom systéme! Prvý prototyp "Setun" je zobrazený na fotografii:

Prevod z trojčlenného na desiatkové

Označme v diagrame pozičné príspevky číslic v ternárnej číselnej sústave:

Ak chcete previesť do desiatkovej sústavy, pridajte číslice vynásobené ich pozičnými váhami (pozície s nulovými číslicami je možné samozrejme vynechať):

10212 3 = 1 81 + 2 9 + 1 3 + 2 1 = 104 10 .

V dvojkovej sústave sme upustili od násobenia (nemá zmysel násobiť 1). V ternárnom systéme je číslo 2, takže musíte zdvojnásobiť zodpovedajúce pozičné váhy.

Desatinný prevod na ternárny

Do ternárneho systému nech je potrebné preložiť číslo 196. Začiatok ternárneho čísla vyberieme podľa schémy. 243 je veľa, takže začneme s 81 a číslom 2 (2 81< 196):

Časť pôvodného čísla, konkrétne 162 = 2 · 81, je zakódovaná, zostáva zakódovať 196 - 162 = 34. Vezmite 27 a číslo 1 (číslo 2 dáva 54, čo je príliš veľa):

Zostáva zakódovať 34 - 1 · 27 = 7. Pozícia s váhou 9 dáva príliš veľa, napíšte do nej 0 a zaujmite pozíciu s váhou 3 a číslom 2:

Zostáva zakódovať 7 - 2 · 3 = 1. Toto je presne hodnota zostávajúcej najmenej významnej číslice:

Ukazuje sa: 196 10 = 21021 3.

Polohové systémy: základné pravidlá

Sformulujme všeobecné pravidlá pre zostavovanie čísel v pozičných číselných sústavách.

Číslo sa zapisuje číslicami, napr.

Ak chcete určiť hodnotu čísla, musíte čísla vynásobiť váhami ich pozícií a pridať výsledky.

Pozície sú očíslované sprava doľava. Váha prvej pozície je 1.

Hmotnosť každej ďalšej polohy sa získa z hmotnosti predchádzajúcej vynásobením základom systému.

Ukazuje sa, že hmotnosť druhej pozície sa vždy rovná základni systému.

Základ systému zobrazuje počet číslic, ktoré sú v danom systéme použité. Takže v systéme so základnou 10 je desať číslic, v systéme so základnou 5 je päť číslic.

Pozrime sa na príklad. Ak je vstup

znamená číslo v základnej 5 sústave, potom sa rovná

3242 5 = 3 125 + 2 25 + 4 5 + 2 1 = 447 10 .

Rovnaký záznam v základnom systéme 6 znamená číslo

3242 6 = 3 216 + 2 36 + 4 6 + 2 1 = 746 10 .

Nepozičné číselné sústavy

Polohové číselné systémy sa neobjavili okamžite, primitívni ľudia označovali počet niektorých predmetov za rovnaký ako počet iných (považovali sa za kamienky, palice, kosti).

Používali sa aj pohodlnejšie spôsoby počítania: zárezy na palici, čiarky na kameni, uzly na lane.

Niekedy sa používa takýto číselný systém a moderných ľudí, pričom si všimnete napríklad počet dní, ktoré uplynuli.

Toto je príklad nepozičný číselný systém jednotiek: používa sa na počítanie jedenčíslo (kameň, palica, kosť, čiarka, uzol ...), pričom príspevok tohto obrazca nezávisí od jeho miesta (polohy), vždy sa rovná jednej jednotke.

Je jasné, že je oveľa pohodlnejšie používať pozičné číselné sústavy.

Akcie na číslach

Akcie s číslami v pozičnej sústave s akýmkoľvek základom sa vykonávajú rovnakým spôsobom ako v desiatkovej sústave: sú založené na tabuľkách sčítania a násobenia číslic zodpovedajúcich číselných sústav.

Bolo by zvláštne, keby v rôznych systémov sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie by muselo byť iné! Vo všetkých číselných sústavách sú čísla konštruované rovnakým spôsobom, čo znamená, že akcie na nich musia byť vykonávané rovnakým spôsobom.

Pozrime sa na pár príkladov.

Doplnenie

5 + 7 = 12. Do najmenej významného bitu napíšeme 2 a k ďalšiemu bitu pridáme jednotku.

Zostavme osmičkovú sčítaciu tabuľku:

Podľa sčítacej tabuľky 5 + 7 = 14 8. Najnižšou číslicou napíšeme 4 a k ďalšej číslici pridáme jednu.

Odčítanie

V druhej číslici obsadíme 1 a od čísla 15 odčítame 7. Podobne v osmičkovej sústave:

Na druhom mieste obsadíme 1 a od čísla 15 8 odpočítame 7. Podľa sčítacej tabuľky v riadku 7 nájdeme číslo 15. Číslo zodpovedajúceho stĺpca udáva výsledok rozdielu - číslo 6.

To je pravdepodobne vhodné pre pavúky
osmičková číselná sústava!

Násobenie

2 7 = 14. Napíšeme 4 a 1 prejde na „myseľ“ (pridať do ďalšej kategórie). 4 · 7 = 28. Napíšeme 9 (8 plus 1 z „mysle“) a 2 presunieme do ďalšej kategórie.

Zostavme osmičkovú tabuľku násobenia:

2 7 = 16 8. Napíšeme 6 a 1 prejde na „myseľ“ (pridať do ďalšej kategórie). 4 7 = 34 8. Napíšeme 5 (4 plus 1 z "mysle") a 3 prenesieme do ďalšej kategórie.

divízie

3 5< 17 < 4·5, поэтому первая цифра результата - 3. Из 17 вычитаем 5·3 = 15. К разности 2 приписываем цифру 5, получается 25. 25 = 5 ·5. Из 25 вычитаем 25=5·5, получается 0 - деление закончено.

V tabuľke násobenia na riadku 5 nájdeme príslušné číslo 17 8 = 5 3:

To znamená, že prvá číslica výsledku je 3. Od 17 8 odčítame 17 8 = 5 · 3. Rozdielu 0 priradíme poslednú číslicu 5. 5 = 5 · 1. Odčítajte 5 od 5, vyjde 0 - delenie je ukončené.

Otázky

1. Definujte pojem "číselná sústava".

2. Definujte pojem "pozičný číselný systém".

3. Vysvetlite princípy konštrukcie čísel v desiatkovom zápise na príklade čísla 548.

4. Čo sa nazýva váha pozície? Povedzte nám algoritmus na nájdenie váhy pozície. Akú váhu má tretia pozícia sprava v desiatkovom zápise čísla? A binárne? A v trojke?

5. Čo znamená výtok? Kde sa nachádza číslo 5 v desatinnom čísle 1532?

6. Čo sa nazýva príspevok čísel? Aký je prínos čísla 7 v čísle 1745 10? A príspevok čísla 4 k číslu 1432 5?

7. Definujte pojem „základ pozičného číselného systému“. Ako súvisí základ systému s počtom číslic v tomto systéme? Koľko číslic je v 5-člennej číselnej sústave? A v šestnástkovej sústave? A čo systém základne 25?

8. Kde je v číselnom zázname najmenej významná číslica? A najstarší?

9. Povedzte algoritmu na prevod binárneho čísla do desiatkovej číselnej sústavy a vykonajte tento algoritmus pre číslo 101101 2.

10. Povedzte algoritmu na prevod desiatkového čísla na binárnu číselnú sústavu a vykonajte tento algoritmus pre číslo 50 10.

11. Ako previesť číslo z ľubovoľnej pozičnej číselnej sústavy do desiatkovej? Vysvetlenie je založené na príklade systému so základňou 4.

Domáce úlohy

Možnosť 1. Vykonané bez počítača, „na papieri“

1. Prečítajte si jazykolamy a nahraďte binárne čísla desatinnými číslami:

Jedol dobre
100001 2 koláče a koláč,
Áno, všetko s tvarohom.

Bolo tam 101 000 2 myší,
Prepravené 101 000 2 grošov,
A 102 myši sú menšie
Každý niesol 10 2 grošov.

2. Vyriešte hádanky s binárnymi písmenami:

3. Vykonajte výpočty a zapíšte si odpoveď v desatinnom formáte:

1) 100 2 5 8 =

2) 100 3 + 100 5 =

3) 10 9 10 100 - 10 900 =

4) 33 4 + 44 5 =

5) 15 6 + 51 8 =

4. Preložte dané čísla do uvedených číselných sústav:

Možnosť 2. Vykonávané na počítači

1. Zapíšte si aritmetický výraz na riešenie nasledujúcej úlohy a vypočítajte odpoveď:

Naša šikovná Malvína
Stará sa o Buratina
A kúpil som mu to
Čo potrebuje zo všetkého najviac:
10 2 pokrievky, 11 2 pravítka
A za 111 2 ruble nálepky.
Na obaloch - Barmaley,
Cena každého je 101 2 rubľov.
Na pravítka, ktoré som si kúpil
101010 2 ruble stačili.
Koľko stáli nákupy?
Pri odraze - pol minúty.

2. Skúste použiť štandardný program Kalkulačka na prevod čísel z básne na známe. desiatkový zápis (vyhliadka- inžinierstvo, Bin- binárne znázornenie čísla, dec- desiatkové znázornenie čísla). Pomocou kalkulačky si zapíšte algoritmy na prevod čísel z dvojkovej sústavy na desiatkovú a naopak, z desiatkovej sústavy na dvojkovú.

Možnosť 3. Pre zvedavých

1. Dokážte, že zápis 10 v ľubovoľnej pozičnej číselnej sústave znamená číslo rovné základu tejto sústavy.

2. Určte základ pozičnej číselnej sústavy b pre každú rovnosť:

1) 10 b = 50 10 ;

2) 11 b = 6 10 ;

3) 100 b = 64 10 ;

4) 101 b = 26 10 ;

5) 50 b = 30 10 ;

6) 99 b = 909 10 ;

7) 21 b = 15 6 ;

8) 102 b = 100 b ;

9) 12 2 b = 22 b ;

10) 14 b· b = 104 b .

p ZAREGISTROVAŤ = "ZPRACOVAŤ"> 3. Systém hexadecimálnych čísel používa 16 číslic. Prvých desať číslic sa zhoduje s číslicami desiatkovej sústavy a posledné sú označené písmenami latinskej abecedy:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

	Význam

Preložme si napríklad číslo A8 16 do desiatkovej sústavy:

A8 16 = 10 16 + 8 1 = 168 10 .

V každej úlohe nájdite hodnotu čísla X:

1) 25 16 = X 10 ; 4) 170 10 = X 16 ;

2) AB16= X 10 ; 5) 2569 10 = X 16 ;

3) FD16= X 10 ; 6) 80 32 = X 16 .

4. Dokončite nasledujúce úlohy.

1) Nájdite váhu tretej pozície v číselnom zázname, ak viete, že váha druhej pozície je 7. Číslovanie pozícií sprava doľava.

2) Číselný systém používa 5 číslic. Nájdite váhu štvrtej pozície sprava v číselnom zápise.

3) Číslo sa zapisuje v tvare dvoch jednotiek: 11. V akej číselnej sústave sa píše, ak sa v desiatkovej sústave rovná 21?

4) V určitej číselnej sústave číslo vyzerá ako 100. Koľko číslic používa táto číselná sústava, ak v desiatkovej sústave je číslo 2500?

5) Dve čísla sa píšu ako 100, ale v sústavách s rôzne dôvody... Je známe, že základňa prvého systému je dvojnásobkom základne druhého. Ktoré číslo je väčšie a koľkokrát?

6) Nájdite základ sústavy, ak je známe, že číslo 101 zapísané v tejto sústave znamená desatinné číslo 37.

7) V ktorej číselnej sústave je potrebné na zdvojnásobenie čísla pridať nulu napravo od jeho zadania?

8) Násobenie 10 v desiatkovej sústave znamená pridanie nuly vpravo k číslu. Formulujte pravidlo násobenia 10 b v systéme so základňou b.

5. Sformulujte algoritmus na prevod čísla z desiatkovej do trojkovej číselnej sústavy.

6. Zostavte tabuľky sčítania a násobenia pre štvornásobnú číselnú sústavu. Pomocou týchto tabuliek vykonajte nasledujúce akcie s číslami v stĺpci (zostávajúce v štvornásobnom číselnom systéme):

1.a) 1021 4 + 333 4;

b) 3333 4 + 3210 4;

2.a) 321 4 - 123 4;

b) 1000 4 - 323 4;

3. a) 13 4 · 12 4;

b) 302 4 23 4;

4.a) 1123 4:13 4;

b) 112003 4: 101 4.

7. Zostavte tabuľky sčítania a násobenia pre dvojkovú číselnú sústavu. Pomocou týchto tabuliek vykonajte nasledujúce kroky na číslach v stĺpci (zostávajúce v binárnom systéme):

1.a) 1001 2 + 1010 2;

b) 10111 2 + 1110 2;

2. a) 1110 2 - 101 2;

b) 10 000 2 - 111 2;

3. a) 101 2 · 11 2;

b) 11102.1012;

4.a) 1000 110 2: 101 2;

b) 100000100 2: 1101 2.

Dielňa

Na stránkach elektronickej prihlášky pracujte s interpretom Encoder.

Cvičenia obsahujú nasledujúce skupiny úloh:

Desatinné

1. Od dvojkovej k desiatkovej

2. Od trojčlenného k desiatkovému

3. Od piatich po desatinné

4. Od hexadecimálneho k desiatkovému

Z desiatkovej sústavy

1. Desatinné až binárne

2. Od desiatkovej do trojčlennej

3. Od desatinných miest po päť

4. Desatinné až hexadecimálne

Kreditná trieda 1

2. 1101 2 = ? 10

3. 11101 2 = ? 10

Kreditná trieda 2

10. 1001 2 = ? 16

Učiteľský materiál

Pozičné číselné sústavy

V pozičnom číselnom systéme je číslo zapísané ako reťaz špeciálnych znakov:

a n a n – 1... a 2 a 1 (1)

Symboly a i sa volajú postavy... Označujú radové spočítateľné množstvá, začínajúce od nuly až po hodnotu o jedno menšie číslo. q volal základčíselný systém. Teda ak q- základ, potom hodnoty číslic ležia v intervale (vrátane hraníc).

Pozícia číslice v zázname čísla (1) sa nazýva pozíciu, alebo vypúšťanie.

Poznámka 1. Na týchto stránkach je preferovaný výraz „pozícia“. Po prvé, slovo „pozícia“ je v dobrej zhode s konceptom „pozičného číselného systému“ a po druhé, výraz „pozičná hmotnosť“ alebo „hmotnosť polohy“ znie lepšie, jasnejšie a jednoduchšie ako „váha bitov“ alebo „hmotnosť bitov“. “. Učiteľ však môže a mal by študentom z času na čas pripomenúť, že „pozícia“ a „pozícia“ sú ekvivalentné pojmy.

Poznámka 2. Definícia pozičného číselného systému uvedená v textoch pre študenta nie je úplne presná. Samotná závislosť prínosu figúry od pozície nestačí. Napríklad v rímskom číselnom systéme závisí príspevok čísel aj od pozície (čísla IV a VI sú rôzne), ale tento systém nie je polohový. Presná definícia možno uvažovať o celom súbore pravidiel na zostrojenie čísla, ktoré sú v tejto súvislosti pre učiteľa dané (to znamená, že spolu s faktom pozičnej závislosti definícia zahŕňa: konečnosť množiny číslic a pravidlo na nájdenie číslo podľa jeho záznamu).

Pozície sú očíslované sprava doľava. Volá sa číslo na prvej pozícii tým mladšímčíslica čísla v poslednom - senior.

Ku každej pozícii je priradené číslo, ktoré budeme nazývať jej váha ( vážiaca pozícia).

Váhy pozícií sa určujú podľa nasledujúceho rekurzívneho pravidla:

1. Hmotnosť najnižšej polohy je 1.

2. Hmotnosť každej ďalšej polohy sa získa z hmotnosti predchádzajúcej vynásobením základom systému.

Nechaj q- základ číselnej sústavy. Potom pravidlo pre výpočet polohových váh w i dá sa napísať stručnejšie ako opakujúci sa vzorec:

1. w 1 = 1.

2. w i = w i- jeden · q(pre všetkých i > 1).

V pozičnej číselnej sústave záznam

a n a n – 1... a 2 a 1 (1)

znamená číslo N, rovná súčtu súčin čísel podľa ich polohových váh:

N = a n· w n + a n- jeden · w n–1 + ... + a 2 w 2 + a jeden · w 1 . (2)

Súčin číslice jej polohovej váhy (t.j. a i· w i) bude zavolaný pozičný príspevok čísel.

Vzorec (2) je základom pravidiel na preklad čísel z jedného systému do druhého, navrhnutých v textoch pre študenta.

V desiatkovej sústave sa čísla píšu pomocou desiatich arabských znakov: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Polohové váhy tohto systému sú: ..., 1000, 100, 10, 1.

4627 10 = 4 1 000 + 6 100 + 2 10 + 7 1.

V dvojkovej sústave sa čísla zapisujú pomocou dvoch arabských znakov: 0 a 1. Polohové váhy tejto sústavy: ..., 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Napríklad záznam 10101 je „dešifrovaný“ takto:

10101 2 = 1 16 + 0 8 + 1 4 + 0 2 + 1 1.

Všimnite si, že rekurzívne pravidlo pre výpočet váh to znamená w i = q i–1, a teda zápis (2) je ekvivalentný tradičnému zápisu vo forme mocninového polynómu:

N = a n· q n–1 + a n- jeden · q n–2 + ... + a 2 q + a 1 . (3)

Dokazujeme to indukciou. Indukčná základňa pri i= 1 sa kontroluje priamo: w 1 = q 0 = 1.

Indukčná hypotéza: nech je tvrdenie pre niektorých pravdivé n:

w n = q n–1 .

Dokážme, že bude platiť aj pre n + 1.
To znamená, že dokážeme platnosť rovnosti:

w n + 1 = q n.

Naozaj, w n+1 = w n· q(podľa rekurzívnej definície váhy pozície), a w n = q n–1 podľa indukčnej hypotézy. Ukázalo sa:

w n + 1 = w n· q = q n- jeden · q = q n.

Dokážme, že ľubovoľné číslo je reprezentovateľné v tvare (1) (Veta 1) jedinečným spôsobom (Veta 2).

Veta 1 (existencia). Akékoľvek číslo m môžu byť zastúpené v tvare (1) pre ľubovoľné q > 1.

Dôkaz. Dokážme to indukciou. Pre m = 0
a m= 1 je ľahké vytvoriť požadovanú reprezentáciu - sú to 0 a 1 (pre ľubovoľné q> 1). Povedzme, že sa nám podarilo reprezentovať číslo m vo forme (1). Poďme potom nájsť reprezentáciu pre m+ 1. Na to stačí previesť súčet

a n q n–1 + a n- jeden · q n–2 + ... + a 2 q + a 1 + 1 za vzniku (1).

Ak a 1 < (q-1), potom sa požadované zobrazenie získa nahradením číslice a 1 na a " 1 = a 1 + 1.

Ak a 1 = (q–1), dostaneme presun jednotky do ďalšej polohy:

a n q n F – 1 + a n- jeden · q n–2 + ... + (a 2 + 1) q + 0.

Ďalej uvažujeme podobným spôsobom. Ak a 2 < (q-1), potom sa požadované zobrazenie získa nahradením číslice a 2 na a " 2 = a 2 + 1. Ak a 2 = (q-1), potom a 2 sa nahradí nulou a jednotka sa prenesie na ďalšiu pozíciu.

Alebo na niektorých i < n dokončíme stavbu, alebo dostaneme rekordných 1000 ... 0 - jeden a n nuly doprava. Dôkaz je hotový.

Pred vetou 2 dokážeme lemu.

Lemma. Príspevok každej nenulovej číslice v zázname (1) prevyšuje súčet príspevkov číslic umiestnených napravo od neho.

a n a n – 1... a 2 a 1 . (1)

Dôkaz. Dokážme to pre každého n > 1:

a n q n–1 > a n- jeden · q n–2 + ... + a 2 q+ a 1 .

čísla a i ležia v intervale, takže stačí dokázať nerovnosť pre najmenšiu nenulovú číslicu vľavo a maximum číslic vpravo:

q n – 1> ( q-jedna)· q n–2 + ... + (q-jedna)· q + (q–1).

Na pravej strane vyberieme faktor ( q–1) mimo zátvorky:

(q-jedna)· q n–2 + ... + (q-jedna)· q + (q–1) =

= (q-jedna)·( q n–2 + ... + q + 1).

Súčet geometrickej progresie v poslednej zátvorke vypočítame pomocou známeho vzorca:

(q-jedna)·( q n–2 + ... + q + 1) =

= (q-jedna)·( q n–1 –1)/(q–1) = q n–1 – 1.

Získame zjavnú nerovnosť, ktorá dokazuje lemu:

q n – 1> q n–1 – 1.

Veta 2 (jedinečnosť). Číslo v tvare (1) je znázornené jediným spôsobom.

Dôkaz. Z lemy vyplýva, že čísla, ktoré majú v zápise rôzny počet číslic (nepočítajú sa bezvýznamné nuly vľavo), sa nemôžu rovnať: číslo s veľkým počtom číslic je vždy väčšie. Preto je potrebné len dokázať, že ak a i nerovná sa b i pre všetkých i od 1 do n potom záznamy

a n a n – 1... a 2 a 1 (4)

b n b n – 1 ... b 2 b 1 (5)

nemôže znamenať rovnaké číslo.

Pozrime sa na záznamy (4) a (5) zľava doprava pri hľadaní nezhodných číslic. Nechaj to tak a k a b k nechaj to tak a k – b k = d.

Na k-miesto v rekorde, bol rozdiel v d· q k- jeden. Tento rozdiel by mal byť kompenzovaný príspevkami pozícií umiestnených vpravo. To je však nemožné, pretože podľa lemy je súčet príspevkov pozícií napravo vždy menší ako príspevok aktuálnej pozície. Veta je dokázaná.

Prevod na desatinné číslo

Na prevod čísel z radixového systému q v desiatkovej sústave môžete použiť vzorec (2), v ktorom vykonáte násobenie a sčítanie.

N = a n· w n + a n- jeden · w n–1 + ... + a 2 w 2 + a jeden · w 1 (2)

Pri preklade z dvojkovej sústavy ide iba o sčítanie (pretože nemôžete násobiť 1). Takto dostaneme prekladové pravidlo formulované v čitárni:

Ak chcete previesť z binárneho na desiatkové, musíte nad každú binárnu číslicu napísať váhu jej pozície a pridať čísla napísané nad jednotkami.

Takže napríklad pre číslo 10111 dostaneme:

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10

Všeobecné pravidlo prevodu z q-árna sústava na desatinné znie takto:

Preniesť z q-árna sústava v desiatkovej sústave, je potrebné zapísať váhu jej pozície nad každú číslicu a nájsť súčet súčinov číslic podľa ich pozičných váh (to znamená nájsť súčet pozičných príspevkov).

Takže napríklad pre číslo 10212 3 dostaneme:

Pridajte čísla vynásobené ich pozičnými váhami (pozície s nulovými číslicami, samozrejme, možno vynechať):

10212 3 = 1 81 + 2 9 + 1 3 + 2 1 = 104 10 .

Preklad do q- osobný

Previesť čísla z desiatkového na radix q naďalej sa budeme spoliehať na vzorec (2):

N = a n· w n + a n- jeden · w n–1 + ... + a 2 w 2 + a jeden · w 1 . (2)

Algoritmus prekladu.

I. Opakujte, kým sa číslo nezmení na nulu:

1. Nájdite prvú pozíciu vľavo, ktorej váha nie je väčšia ako aktuálne číslo. Napíšte na pozíciu maximálnu možnú číslicu tak, aby jej pozičný príspevok (súčin hmotnosti číslice) nepresiahol aktuálne číslo.

2. Znížte aktuálny počet o príspevok zostrojenej pozície.

II. Zapíšte nuly na pozície, ktoré nie sú obsadené zostrojenými číslicami.

Na každej pozícii sa berie maximálna možná číslica, keďže podľa lemy príspevok tejto číslice nemožno kompenzovať číslicami umiestnenými napravo. Algoritmus bude fungovať vďaka preukázanej existencii (Veta 1) a jedinečnosti (Veta 2) reprezentácie čísla v tvare (1).

Pre dvojkovú sústavu dostaneme variant algoritmu uvedený v materiáli pre študenta.

Ak chcete previesť na binárne, musíte vytvoriť šablónu s váhami binárnych číslic:

Číslo sa prekladá podľa nasledujúceho algoritmu:

I. Opakujte, kým sa číslo nezmení na nulu:

1. Napíšte 1 na prvé miesto vľavo, ktorej váha nie je väčšia ako aktuálne číslo.

2. Znížte aktuálne číslo o hmotnosť postavenej jednotky.

II. Na miesta, ktoré nie sú obsadené jednotkami, napíšte nuly.

V praxi sa tento spôsob prekladu ukazuje ako oveľa jednoduchší a rýchlejší ako tradičný algoritmus s hľadaním zvyškov.

Pri prevode z desiatkovej sústavy na ternárnu sústavu treba brať do úvahy tak samotné polohové váhy, ako aj ich zdvojnásobenie. Pre rýchly preklad môžete zostaviť tabuľku, ktorej riadky zodpovedajú pozíciám čísel, stĺpce - číslam a bunky - príspevkom čísla k číslu, v závislosti od jeho polohy v číselný záznam:

pozícia 729
pozícia 243
pozícia 81
pozícia 27
pozícia 9
pozícia 3
pozícia 1

Povedzme, že príspevok čísla 2 na pozícii 243 je číslo 486 a na pozícii 9 je číslo 18.

Ak chcete preložiť do trojčlenného systému, musíte si pri vyhľadávaní prezerať tabuľku riadok po riadku najväčší počet nepresahujúce aktuálnu hodnotu.

Preveďme napríklad číslo 183 na ternárny systém. Vhodná hodnota sa nachádza v treťom riadku a prvom stĺpci:

pozícia 729
pozícia 243
pozícia 81
pozícia 27
pozícia 9
pozícia 3
pozícia 1

To znamená, že ternárne číslo začína číslicou 2:

183 10 = 202?? 3

Pre číslo 21-18 = 3 v tabuľke je presný význam, preklad je hotový:

183 10 = 20210 3 .

Pri systémoch s veľkou základňou budú príslušné tabuľky samozrejme objemnejšie. Ako posledný príklad si zostavme tabuľku na prevod do hexadecimálnej číselnej sústavy:

Do šestnástkovej sústavy nech sa prevedie číslo 4255. Hľadáme prvé číslo v tabuľke (zľava doprava, riadok po riadku, začínajúc zhora), ktoré nie je väčšie ako pôvodné číslo 4255:

Dostaneme prvú číslicu 1 na pozícii 4096:

Zostáva zakódovať 4255 - 4096 = 159.

Preskočte riadok 256 (zodpovedajúca číslica bude 0) a na riadku 16 nájdeme príslušnú hodnotu 144:

Dostaneme čísla na pozíciách 256 a 16:

Zostáva zakódovať 159 - 144 = 15. Je jasné, že ide o hodnotu najmenej významnej číslice:

Ukazuje sa: 4255 10 = 109F 16.

Akcie na číslach

Táto časť je v materiáli pre študenta uvedená schematicky, na informačné účely.

Téme je možné venovať samostatnú, veľkú a postačujúcu zaujímavá lekcia, ale materiálu je už veľa - je ťažké pochopiť tú nesmiernosť!

V jednoduchej, úvodnej verzii je ukázané, že úkony s číslami v ľubovoľnej číselnej sústave sa vykonávajú rovnako ako v desiatkovej sústave. Je zvláštne, ak by to bolo inak, pretože čísla vo všetkých pozičných systémoch sú postavené podľa rovnakých pravidiel, čo znamená, že akcie na nich musia byť vykonávané rovnakým spôsobom.

Časť je podporená domácimi úlohami pre možnosť 3. Tieto cvičenia možno odporučiť zvedavým školákom ako samostatné zadania.

Notový zápis je spôsob zápisu čísla pomocou určenej sady špeciálnych znakov (čísel).

Zápis:

• dáva reprezentáciu množiny čísel (celé a / alebo reálne);

• dáva každému číslu jedinečnú reprezentáciu (alebo aspoň štandardnú reprezentáciu);

• zobrazuje algebraickú a aritmetickú štruktúru čísla.

Zápis čísla v určitej číselnej sústave sa nazýva číselný kód.

Volá sa samostatná pozícia na displeji čísla vypúšťanie, čo znamená, že číslo pozície je poradové číslo.

Počet bitov v čísle sa nazýva bitnosť a zodpovedá jeho dĺžke.

Číselné sústavy sa delia na pozičné a nepozičné. Pozičné číselné sústavy sú rozdelené

na homogénne a zmiešané.

osmičková číselná sústava, hexadecimálna číselná sústava a iné číselné sústavy.

Preklad číselných sústav.Čísla možno prekladať z jedného číselného systému do druhého.

Tabuľka zhody čísel v rôznych systémov zúčtovanie.