Mriežka vyzerá takto zboku.

Nájdené sú aj aplikácie reflexné mriežky, ktoré sa získavajú nanášaním diamantových fréz tenkými ťahmi na leštený povrch kovu. Nazývajú sa odtlačky želatíny alebo plastu po takomto gravírovaní repliky, ale také difrakčné mriežky majú zvyčajne nízku kvalitu, takže ich použitie je obmedzené. Dobré reflexné mriežky sú tie, ktoré majú celkovú dĺžku asi 150 mm a celkový počet riadkov je 600 ks / mm.

Hlavné charakteristiky difrakčnej mriežky sú celkový početťahy N, hustota tieňovania n (počet riadkov na 1 mm) a obdobie(konštanta) mriežky d, ktorú nájdeme ako d = 1 / n.

Mriežka je osvetlená jedným vlnovým čelom a jej N priehľadných drážok sa zvyčajne považuje za N. koherentné zdroje.

Ak si pamätáte ten jav rušenie potom z mnohých rovnakých svetelných zdrojov ľahká intenzita vyjadrené podľa vzorca:

kde i 0 je intenzita svetelnej vlny, ktorá prešla jednou štrbinou

Na základe konceptu maximálna intenzita vĺn získané z podmienky:

β = mπ pre m = 0, 1, 2 ... atď.

.

Poďme od pomocný rohβ k uhlu priestorového pozorovania Θ a potom:

(π d sinΘ) / λ = m π,

Hlavné maximá sa objavujú za predpokladu:

sinΘ m = m λ / d, pre m = 0, 1, 2 ... atď.

Intenzita svetla v hlavné maximá nájdete podľa vzorca:

Ja m = N 2 i 0.

Preto je potrebné vyrábať rošty s malým obdobím d, potom existuje možnosť získania veľkých uhly rozptylu lúča a široký difrakčný obrazec.

Napríklad:

Pokračovanie predchádzajúceho príklad Uvažujme prípad, keď sa v prvom maxime červené lúče (λ cr = 760 nm) odchýlia o uhol Θ к = 27 ° a fialové (λ f = 400 nm) sa odkláňajú o uhol Θ f = 14 °.

Je vidieť, že pomocou difrakčnej mriežky je možné merať vlnová dĺžka jedna alebo druhá farba. Aby ste to urobili, stačí poznať obdobie mriežky a zmerať uhol, ktorý však vychýlil lúč zodpovedajúci požadovanému svetlu.

Niektoré zo známych účinkov, ktoré potvrdzujú vlnovú povahu svetla, sú difrakcia a interferencia. Hlavnou oblasťou ich použitia je spektroskopia, v ktorej sa vykonáva analýza spektrálneho zloženia elektromagnetická radiácia používajte difrakčné mriežky. V tomto článku je prediskutovaný vzorec, ktorý popisuje polohu hlavných maxim vytvorených touto mriežkou.

Aké sú javy difrakcie a interferencie?

Pred zvážením odvodenia vzorca pre difrakčnú mriežku by sme sa mali zoznámiť s javmi, vďaka ktorým je táto mriežka užitočná, to znamená s difrakciou a interferenciou.

Bude vás zaujímať:

Difrakcia je proces zmeny pohybu čela vlny, keď na svojej ceste narazí na nepriehľadnú prekážku, ktorej rozmery sú porovnateľné s vlnovou dĺžkou. Napríklad, ak prejdete malým otvorom slnečného svetla Potom na stene nemožno pozorovať malý svetelný bod (čo sa malo stať, ak sa svetlo šíri v priamke), ale svetelný bod určitej veľkosti. Táto skutočnosť svedčí o vlnovej povahe svetla.

Interferencia je ďalším javom, ktorý je pre vlny jedinečný. Jeho podstata spočíva v superpozícii vĺn nad sebou. Ak sú vlny z niekoľkých zdrojov koordinované (sú koherentné), potom je možné stabilný obrazec pozorovať zo striedajúcich sa svetlých a tmavých oblastí na obrazovke. Minimá na takom obrázku sú vysvetlené príchodom vĺn do daného bodu v protifáze (pi a -pi) a maximá sú výsledkom vĺn, ktoré vstupujú do uvažovaného bodu v jednej fáze (pi a pi).

Oba popísané javy prvýkrát vysvetlil Angličan Thomas Young, keď v roku 1801 skúmal difrakciu monochromatického svetla dvoma tenkými štrbinami.

Huygensov-Fresnelov princíp a aproximácia ďalekých a blízkych polí

Matematický opis javov difrakcie a interferencie je netriviálna úloha. Nájdenie jeho presného riešenia vyžaduje vykonanie komplexných výpočtov pomocou maxwellovskej teórie. elektromagnetické vlny... Napriek tomu v 20. rokoch 19. storočia Francúz Augustin Fresnel ukázal, že pomocou Huygensových myšlienok o sekundárnych zdrojoch vĺn je možné tieto javy úspešne popísať. Táto myšlienka viedla k formulácii Huygensovho-Fresnelovho princípu, ktorý v súčasnosti stojí za odvodením všetkých vzorcov na difrakciu prekážkami ľubovoľného tvaru.

Napriek tomu, dokonca aj pomocou Huygensovho-Fresnelovho princípu, na vyriešenie problému s difrakciou v všeobecný pohľad zlyhá, preto sa pri odvodzovaní vzorcov uchýlia k určitým aproximáciám. Hlavným z nich je predná časť rovinnej vlny. Práve tento priebeh musí padnúť na prekážku, aby bolo možné zjednodušiť množstvo matematických výpočtov.

Ďalšou aproximáciou je poloha obrazovky, kde je difrakčný obrazec premietaný vzhľadom na prekážku. Táto poloha je opísaná Fresnelovým číslom. Počíta sa to takto:

Kde - geometrické rozmery prekážky (napríklad štrbina alebo okrúhly otvor), λ je vlnová dĺžka, D je vzdialenosť medzi obrazovkou a prekážkou. Ak pre konkrétny experiment F

Rozdiel medzi Fraunhoferovou a Fresnelovou difrakciou spočíva v rôznych podmienkach interferenčného javu v malých a veľkých vzdialenostiach od prekážky.

Odvodenie vzorca pre hlavné maximá difrakčnej mriežky, ktoré budú uvedené ďalej v článku, predpokladá zváženie Fraunhoferovej difrakcie.

Difrakčná mriežka a jej typy

Táto mriežka je doska zo skla alebo priehľadného plastu s veľkosťou niekoľko centimetrov, na ktorú sú nanesené nepriehľadné ťahy rovnakej hrúbky. Zdvihy sú umiestnené v konštantnej vzdialenosti d od seba. Táto vzdialenosť sa nazýva obdobie mriežky. Dve ďalšie dôležité charakteristiky zariadenia sú mriežková konštanta a a počet priehľadných štrbín N. Hodnota a určuje počet štrbín na dĺžku mm, takže je nepriamo úmerná perióde d.

Existujú dva typy difrakčných mriežok:

• Transparentné, ako je popísané vyššie. Difrakčný obrazec z takejto mriežky vzniká v dôsledku prechodu čela vlny cez ňu.
• Reflexné. Vyrába sa nanesením malých drážok na hladký povrch. Difrakcia a interferencia z takejto platne nastáva v dôsledku odrazu svetla z vrcholov každej drážky.

Bez ohľadu na typ mriežky je myšlienkou jej vplyvu na čelo vlny vytvárať periodické rušenie. To vedie k vytvoreniu veľkého počtu koherentných zdrojov, ktorých dôsledkom interferencie je difrakčný obrazec na obrazovke.

Základný vzorec difrakčnej mriežky

Odvodenie tohto vzorca zahŕňa zváženie závislosti intenzity žiarenia od uhla jeho dopadu na obrazovku. Pri aproximácii vzdialeného poľa sa získa nasledujúci vzorec pre intenzitu I (θ):

I (θ) = I0 * (sin (β) / β) 2 * 2, kde

α = pi * d / λ * (sin (θ) - sin (θ0));

β = pi * a / λ * (sin (θ) - sin (θ0)).

Vo vzorci je šírka štrbiny difrakčnej mriežky označená symbolom a. Faktor v zátvorkách je preto zodpovedný za difrakciu s jedným rezom. Hodnota d je perióda difrakčnej mriežky. Vzorec ukazuje, že faktor v hranatých zátvorkách, kde sa táto perióda vyskytuje, opisuje interferenciu z radu mriežkových drážok.

Pomocou vyššie uvedeného vzorca môžete vypočítať hodnotu intenzity pre akýkoľvek uhol dopadu svetla.

Ak nájdeme hodnotu maxím intenzity I (θ), potom môžeme dospieť k záveru, že sa objavujú za podmienky, že α = m * pi, kde m je akékoľvek celé číslo. Pre maximálny stav dostaneme:

m * pi = pi * d / λ * (sin (θm) - sin (θ0)) =>

sin (θm) - sin (θ0) = m * λ / d.

Výsledný výraz sa nazýva vzorec pre maximá difrakčnej mriežky. Čísla m sú poradím difrakcie.

Ďalšie spôsoby, ako napísať základný vzorec pre mriežku

Všimnite si toho, že vzorec uvedený v predchádzajúcom pododdiele obsahuje výraz sin (θ0). Tu uhol θ0 odráža smer dopadu prednej časti svetelnej vlny vzhľadom na rovinu mriežky. Keď predná časť padne rovnobežne s touto rovinou, potom θ0 = 0o. Potom dostaneme výraz pre maximá:

hriech (θm) = m * λ / d.

Pretože mriežková konštanta a (nesmie byť zamieňaná so šírkou štrbiny) je nepriamo úmerná d, vyššie uvedený vzorec bude prepísaný z hľadiska konštanty difrakčnej mriežky ako:

hriech (θm) = m * λ * a.

Aby ste sa vyhli chybám pri nahrádzaní konkrétnych čísel λ, a a d v týchto vzorcoch, vždy používajte príslušné jednotky SI.

Pojem uhlovej disperzie mriežky

Túto hodnotu označíme písmenom D. Podľa matematickej definície je zapísaná nasledovne:

Fyzikálny význam uhlovej disperzie D je, že ukazuje, do akého uhla dθm sa posunie maximum pre difrakčný poriadok m, ak sa dopadajúca vlnová dĺžka zmení o dλ.

Ak použijeme tento výraz na mriežkovú rovnicu, dostaneme vzorec:

D = m / (d * cos (θm)).

Uhlová disperzia difrakčnej mriežky je určená vyššie uvedeným vzorcom. Je zrejmé, že hodnota D závisí od poradia m a od obdobia d.

Čím väčšia je disperzia D, tým vyššie je rozlíšenie tejto mriežky.

Rozlíšenie mriežky

Rozlíšením sa rozumie fyzické množstvo, ktorý ukazuje, o akú minimálnu hodnotu sa môžu dve vlnové dĺžky líšiť, aby sa ich maximá v difraktograme zobrazovali oddelene.

Rozlíšenie je určené Rayleighovým kritériom. Hovorí sa tam: dve maximá môžu byť oddelené v difraktograme, ak je vzdialenosť medzi nimi väčšia ako polovica šírky každého z nich. Uhlová polovičná šírka maxima pre mriežku je určená vzorcom:

Δθ1 / 2 = λ / (N * d * cos (θm)).

Rozlíšenie mriežky v súlade s Rayleighovým kritériom sa rovná:

Δθm> θθ1 / 2 alebo D * Δλ> Δθ1 / 2.

Nahradením hodnôt D a Δθ1 / 2 dostaneme:

Δλ * m / (d * cos (θm))> λ / (N * d * cos (θm) =>

Δλ> λ / (m * N).

Toto je vzorec pre rozlišovaciu schopnosť difrakčnej mriežky. Čím je počet drážok N na platni väčší a čím je difrakčné poradie vyššie, tým je rozlíšenie pre danú vlnovú dĺžku λ väčšie.

Difrakčná mriežka v spektroskopii

Prepíšeme základnú rovnicu maxím pre mriežku:

hriech (θm) = m * λ / d.

Tu je vidieť, že čím dlhšia vlnová dĺžka dopadne na pruh s pruhmi, tým vyššie uhly sa na obrazovke objavia. Inými slovami, ak cez dosku prechádza nie monochromatické svetlo (napríklad biele), potom je na obrazovke možné vidieť vzhľad maximálnych farieb. Počnúc centrálnym bielym maximom (difrakcia nulového rádu) sa objavia ďalšie maximá pre kratšie vlnové dĺžky (fialová, modrá) a potom pre dlhšie (oranžová, červená).

Ďalším dôležitým záverom z tohto vzorca je závislosť uhla θm od poradia difrakcie. Čím väčšie je m, tým väčšia je hodnota θm. To znamená, že farebné čiary budú od seba pri výškach viac oddelené vysoký poriadok difrakcia. Táto skutočnosť bola už posvätená, keď sa uvažovalo o rozlíšení mriežky (pozri predchádzajúci bod).

Popísané schopnosti difrakčnej mriežky umožňujú použiť ju na analýzu emisných spektier rôznych svetelných objektov vrátane vzdialených hviezd a galaxií.

Príklad riešenia problému

Ukážme, ako používať vzorec difrakčnej mriežky. Vlnová dĺžka svetla dopadajúceho na mriežku je 550 nm. Je potrebné určiť uhol, pod ktorým sa objaví difrakcia prvého rádu, ak je perióda d 4 μm.

θ1 = arcsin (λ / d).

Všetky údaje preložíme do jednotiek SI a nahradíme ich touto rovnosťou:

θ1 = arcsin (550 * 10-9 / (4 * 10-6)) = 7,9o.

Ak je obrazovka umiestnená vo vzdialenosti 1 meter od mriežky, potom sa od stredu centrálneho maxima zobrazí difrakčná čiara prvého rádu pre vlnu 550 nm vo vzdialenosti 13,8 cm, čo zodpovedá uhlu 7,9 °.

Difrakcii sa hovorí svetlo obklopujúce prekážky. Samotná obálka je úplne zrozumiteľná, ak vezmeme do úvahy vlnovú povahu svetla (skôr si lineárne šírenie svetla vyžaduje vysvetlenie, t.j. v mnohých prípadoch absencia difrakcie). Difrakcia je obvykle sprevádzaná objavením sa maxim a minim intenzity svetla, t.j. interferenciou. Posledný uvedený jav potrebuje vysvetlenie.

Zameriame sa na jeden typ difrakcie - Fraunhoferovu difrakciu. Toto je difrakcia v rovnobežných lúčoch. Uvažujme difrakciu v jednej štrbine. Nechajte rovnobežný lúč svetla dopadať normálne na obrazovku na úzkej štrbine vytvorenej v nepriehľadnej clone. Svetlo prechádza medzerou a ohýba sa okolo jeho okraja. Táto obálka je vnímaná v akejkoľvek vzdialenosti od štrbiny. Difrakciu smerom od obrazovky budeme zvažovať teoreticky - v nekonečne.

V praxi na realizáciu zážitku bežia na pomoc zrakovej trubice, ktorá sa prispôsobuje nekonečnu. Schéma experimentu je znázornená na kolimátore K, ktorý prenáša lúč rovnobežných lúčov zo zdroja svetla A. V trubici T v rôznych uhloch k dopadajúcemu lúču je pozorované svetlo prechádzajúce štrbinou. Ak by nedošlo k difrakcii, svetlo by prechádzalo iba v smere dopadajúceho lúča. Svetlo sa však ohýba okolo okrajov štrbiny a svetlo sa pozoruje v iných uhloch ako nula. Okrem toho existujú pásma rušenia.

Uvažujme teóriu tohto javu za predpokladu, že dopadajúce svetlo je monochromatické. Hneď si položme otázku: pod akými uhlami sú pozorované maximá a minimá svetla? Zamyslite sa nad svetlom, ktoré prešlo cez štrbinu pod uhlom. Vzhľadom na tento uhol sme vlnovú plochu vyrezanú štrbinou rozdelili na pásy tak, aby bol dráhový rozdiel medzi dvoma svetelnými lúčmi zo susedných pásov rovný polovici vlny (/ 2). Budeme sa spoliehať na Huygensov princíp, pričom pásy budeme považovať za sekundárne svetelné zdroje, z ktorých „tečú“ polvalcové vlny. Frenel doplnil Huygensov princíp za predpokladu, že sekundárne vlny sú navzájom koherentné. Tento doplnok použijeme. Všimnite si toho, že spomínané pásy vlnového povrchu sa nazývajú Frenelove zóny. Rozdiel v dráhe lúčov generovaných dvoma susednými Frenelovými zónami je rovný / 2 (podľa konštrukcie). V dôsledku toho sa podľa podmienky minima rušenia musia navzájom uhasiť. Predpokladajme, že uhol je zvolený tak, že párne číslo Frenelské zóny. Svetlo z každej zóny zhasne svetlom susednej zóny a v takom uhle v nekonečne by sa malo dodržiavať minimum. Počet zón v slote je určený nasledovne:

Kde a je šírka medzery.

Minimálna podmienka je preto napísaná takto:

Alebo , kde m = 0,1,2, ...

V intervaloch medzi minimami a maximami sa celé svetlé pozadie pozorované pod uhlom = 0 musí brať ako jedna zóna, a preto sa v tomto smere pozoruje maximum. Toto bude hlavné, jasné maximum, pri ktorom bude prijaté maximum zo všetkého svetla, ktoré prešlo štrbinou. Celkový obraz interakcie je zobrazený na obrázku. Čím dlhšia je vlnová dĺžka, tým viac sú maximá od seba.

Ak je teda štrbina osvetlená bielym svetlom, potom sa každé maximum, okrem hlavného, ​​rozloží na spektrum, v ktorom budú od červenej farby zastúpené všetky farby dúhy.

Väčšina svetla, ktoré prešlo štrbinou, napriek tomu dopadá na centrálne, hlavné maximum. Preto stupeň ohybu okolo okrajov štrbiny možno odhadnúť z uhlovej šírky hlavného maxima. Ak by nedošlo k difrakcii, uhlová šírka hlavného maxima by sa rovnala nule. Difrakčné uhly sú zvyčajne malé, takže to môžeme predpokladať.

V dôsledku toho je šírka hlavného maxima (difrakčná šírka) rovná

Čím je štrbina užšia a čím je vlnová dĺžka dlhšia, tým je difrakcia výraznejšia.

Pri praktickom použití difrakcie svetla je veľký záujem o difrakčnú mriežku. Difrakčná mriežka sa nazýva obrovská sada veľmi úzkych ťahov aplikovaných na obrazovku (mriežka v prechádzajúcom svetle) alebo na zrkadlo (mriežka v odrazenom svetle). V dobrých mriežkach počet slotov dosahuje - na centimeter. Difrakčná mriežka sa používa ako spektrálne zariadenie a ako vysoký stupeň presný meter vlnovej dĺžky svetla. Fraunhoferova difrakcia (v rovnobežných lúčoch) je tiež pozorovaná na difrakčnej mriežke. Konfigurácia experimentu je podobná tej, ktorá je opísaná vyššie v prípade difrakcie v jednej štrbine. Na mriežku dopadá lúč rovnobežných lúčov a pri paralelných lúčoch sa pozorujú difrakčné maximá (aj pomocou vizuálnej trubice upravenej na nekonečno).

Uvažujme o teórii difrakčnej mriežky v prechádzajúcom svetle. Je na ňom znázornený diagram experimentu. Tu a je šírka štrbiny, b je medzera medzi štrbinami, a + b je mriežková perióda. Svetlo dopadá kolmo na rovinu mriežky.

Existujú pozorovacie uhly, pod ktorými sa akékoľvek dva lúče prechádzajúce štrbinou mriežky navzájom zosilňujú. Je zrejmé, že v takýchto uhloch budú pozorované jasné maximá intenzity svetla. Tieto výšky sa nazývajú hlavné. Nájsť podmienku na dodržanie hlavných maxím nie je ťažké. Určme rozdiel dráhy medzi dvoma susednými lúčmi. Podľa nej sa rovná (a + b) hriechu.

Ak je na tomto rozdiele dráhy párny počet polovičných vĺn, potom sa akékoľvek dva lúče navzájom zosilnia. Preto podmienka

, kde m = 0,1,2, ...

existuje podmienka veľkých maxim. Dokážme to. Uvažujme dva ľubovoľné lúče, napríklad k-tý a i-tý. Medzi ne zapadajú i-k mriežkové obdobia. Rozdiel dráhy medzi lúčmi sa preto bude rovnať (i-k) 2 m / 2. Je známe, že párne číslo vynásobené akýmkoľvek iným celým číslom je párne číslo. Výsledkom je, že v súlade so všeobecnými podmienkami rušenia sa k-tý a i-tý lúč navzájom zosilňujú.

Okrem hlavných existujú aj sekundárne maximá, keď sa niektoré lúče navzájom zosilňujú a iné zhasínajú. Tieto sekundárne maximá sú veľmi slabé a zvyčajne ich nevidieť. Zaujímavé sú iba hlavné maximá, a aj to iba prvého rádu, keď m = 1. Uhly, v ktorých sú spektrálne čiary pozorované, sú teda určené z podmienky

Nájdeme podmienku pre všetky minimá. Prejdeme k jednoduchému, ale nie prísnemu záveru. Uvažujme celú mriežku ako jeden slot, ktorého šírka sa rovná N (a + b), kde N je počet slotov v mriežke. Potom podľa vzorca (1.19) budú minimá pozorované v uhloch spĺňajúcich podmienku

Kde k = 1,2,3, ... (k = mN)

Podmienka (1,30) tiež zahŕňa podmienku hlavných maxim, keď k = mN. Ak vylúčime tieto hodnoty k, potom všetky ostatné hodnoty k skutočne určujú minimá. Dalo by sa to dôsledne dokázať. Medzi dvoma hlavnými maximami, napríklad medzi prvým (m = 1) a druhým (m = 2), sú teda minimá N-1 zodpovedajúce hodnotám k: N + 1, N + 2 , ..., N + N- 1. Celkový obraz mriežkových maxím a minim je uvedený na.

Kvalita mriežky ako spektrálneho zariadenia je určená dvoma hodnotami: jej rozptylom a rozlíšením. Disperzia charakterizuje celkovú šírku spektra a ukazuje, ktorý interval uhlov je na jednotku intervalu vlnových dĺžok. Disperzia D je určená vzorcom

Pre prvé hlavné maximálne rozptýlenie

Ako vidíme, je to určené mriežkovým obdobím: čím je toto obdobie kratšie, tým väčšia je odchýlka.

Rozlíšenie optického zariadenia ukazuje, ako dobre zariadenie oddeľuje najmenšie detaily objektu. V prípade mriežky znamená rozlíšenie pomer vlnovej dĺžky k rozdielu vlnových dĺžok, ktorý je mriežka ešte schopná rozlíšiť. Usudzuje sa, že mriežka rozlišuje dve susedné čiary spektra, ak maximum jednej z nich spadá do najbližšieho minima druhej čiary. zobrazuje túto extrémnu situáciu. Najbližšie minimum prvého hlavného maxima pre vlnovú dĺžku sa zistí z podmienky.

Nech prvé veľké maximum najbližšej čiary spadne do tohto minima. Potom môžete napísať nasledujúcu rovnicu:

Zo vzorcov (1.33) a (1.34) vyplýva, že

Odtiaľto nájdeme rozlíšenie mriežky:

Ako vidíte, rozlišovacia schopnosť mriežky sa rovná počtu slotov.

Uvažovali sme o difrakcii na jednorozmernej mriežke, keď je periodicita mriežky pozorovaná iba v jednej dimenzii. Možno si však predstaviť dvojrozmerné mriežky (napríklad dve prekrížené jednorozmerné mriežky) a trojrozmerné. Typickým príkladom trojrozmernej mriežky je kryštál. V ňom atómy (medzery medzi svetlami) tvoria trojrozmerný systém. Môžete pozorovať difrakciu svetla na kryštáloch. Iba viditeľné svetlo nie je na tento účel vhodné, pretože obdobie takejto mriežky je príliš malé (rádovo m). Na tieto účely môžete použiť röntgenové lúče.

V každom kryštáli je možné rozlíšiť nie jednu, ale niekoľko periodicky umiestnených rovín, na ktorých je zase v správnom poradí

Atómy kryštálovej mriežky sú umiestnené. Existujú dva takéto agregáty (samozrejme môžete nájsť aj ďalšie). Uvažujme o jednom z nich. Röntgenové lúče prenikajú dovnútra kryštálu a odrážajú sa od každej roviny tejto sady. V tomto prípade dostaneme veľa koherentných lúčov röntgenových lúčov, medzi ktorými je dráhový rozdiel. Lúče navzájom interferujú rovnakým spôsobom ako svetelné vlny na konvenčnej difrakčnej mriežke, prechádzajúce štrbinami, interferujú.

Celú teóriu difrakcie lúča je možné zopakovať. Rovnako ako v prípade bežnej difrakcie, počas difrakcie röntgenových lúčov na kryštáli sa vytvárajú hlavné maximá intenzity, ktoré môžu byť vnímané fotografickým filmom. Tieto maximá majú tvar škvŕn (nie čiar, ako pri difrakcii na konvenčnej mriežke). Dôvodom je, že každá rovina je dvojrozmerná mriežka. V akých uhloch sú pozorované škvrny zodpovedajúce hlavným maximám?

Zvážte dva susedné lúče, ako je znázornené na obrázku. Medzi nimi je rozdiel v dráhe lúčov rovný 2d sin, kde d je interatomická vzdialenosť.

Prvé hlavné maximum je určené z podmienky:

Rovnako ako v prípade obvyklej mriežky sa dá dokázať, že v uhle určenom touto podmienkou sa akékoľvek dva lúče navzájom zosilňujú, to znamená, že podmienka (1,37) je skutočne podmienkou hlavných maxim. Hovorí sa mu Wolfe-Braggov stav.

Každá sada periodicky umiestnených rovín má svoj vlastný systém škvŕn. Umiestnenie škvŕn na filme je úplne určené vzdialenosťou medzi rovinami d. Pri analýze všeobecného vzorca maximálnych škvŕn je možné nájsť niekoľko hodnôt d: d1, d2, ... Podľa tejto sady parametrov je možné stanoviť typ kryštálovej mriežky a určiť vzdialenosť medzi atómami. pre to. Difrakcia röntgenových lúčov kryštálmi nám teda poskytuje účinnú metódu na určenie štruktúr kryštálov a vo všeobecnosti molekulárnych systémov, v ktorých sú atómy usporiadané v správnom poradí. Okrem kryštálov medzi tieto systémy patria napríklad komplexné molekuly biologických systémov, najmä chromozómy živých buniek. Analýza štruktúry kryštálov pomocou röntgenovej difrakcie je celá veda, ktorá sa nazýva röntgenová štruktúrna analýza.

Röntgenovú difrakciu je možné použiť aj na riešenie iného problému: so známym d, určte. Röntgenové spektrografy sú založené na tomto princípe.

Niektoré zo známych účinkov, ktoré potvrdzujú vlnovú povahu svetla, sú difrakcia a interferencia. Ich hlavnou oblasťou použitia je spektroskopia, v ktorej sa na analýzu spektrálneho zloženia elektromagnetického žiarenia používajú difrakčné mriežky. V tomto článku je prediskutovaný vzorec, ktorý popisuje polohu hlavných maxim vytvorených touto mriežkou.

Aké sú javy difrakcie a interferencie?

Pred zvážením odvodenia vzorca pre difrakčnú mriežku by sme sa mali zoznámiť s javmi, vďaka ktorým je táto mriežka užitočná, to znamená s difrakciou a interferenciou.

Difrakcia je proces zmeny pohybu čela vlny, keď na svojej ceste narazí na nepriehľadnú prekážku, ktorej rozmery sú porovnateľné s vlnovou dĺžkou. Napríklad, ak slnečné svetlo prechádza malým otvorom, potom na stene nemôžete pozorovať malý svetelný bod (čo sa malo stať, ak sa svetlo šíri v priamke), ale svetelné miesto určitej veľkosti. Táto skutočnosť svedčí o vlnovej povahe svetla.

Interferencia je ďalším javom, ktorý je pre vlny jedinečný. Jeho podstata spočíva v superpozícii vĺn nad sebou. Ak sú vlny z niekoľkých zdrojov koordinované (sú koherentné), potom je možné stabilný obrazec pozorovať zo striedajúcich sa svetlých a tmavých oblastí na obrazovke. Minimá na takom obrázku sú vysvetlené príchodom vĺn do daného bodu v protifáze (pi a -pi) a maximá sú výsledkom vĺn, ktoré vstupujú do uvažovaného bodu v jednej fáze (pi a pi).

Oba popísané javy prvýkrát vysvetlil Angličan, keď v roku 1801 skúmal difrakciu monochromatického svetla dvoma tenkými štrbinami.

Huygensov-Fresnelov princíp a aproximácia ďalekých a blízkych polí

Matematický opis javov difrakcie a interferencie je netriviálna úloha. Nájdenie jeho presného riešenia vyžaduje vykonanie komplexných výpočtov pomocou maxwellovskej teórie elektromagnetických vĺn. Napriek tomu v 20. rokoch 19. storočia Francúz Augustin Fresnel ukázal, že pomocou Huygensových myšlienok o sekundárnych zdrojoch vĺn je možné tieto javy úspešne popísať. Táto myšlienka viedla k formulácii Huygensovho-Fresnelovho princípu, ktorý v súčasnosti stojí za odvodením všetkých vzorcov na difrakciu prekážkami ľubovoľného tvaru.

Napriek tomu, ani pomocou Huygensovho-Fresnelovho princípu, nie je možné vyriešiť problém s difrakciou vo všeobecnej forme, preto sa pri odvodzovaní vzorcov uchýlia k niektorým aproximáciám. Hlavným z nich je predná časť rovinnej vlny. Práve tento priebeh musí padnúť na prekážku, aby bolo možné zjednodušiť množstvo matematických výpočtov.

Ďalšou aproximáciou je poloha obrazovky, kde je difrakčný obrazec premietaný vzhľadom na prekážku. Táto poloha je opísaná Fresnelovým číslom. Počíta sa to takto:

Kde a sú geometrické rozmery prekážky (napríklad štrbina alebo okrúhly otvor), λ je vlnová dĺžka, D je vzdialenosť medzi clonou a prekážkou. Ak pre konkrétny experiment F<<1 (<0,001), тогда говорят о приближении дальнего поля. Соответствующая ему дифракция носит фамилию Фраунгофера. Если же F>1, potom dôjde k aproximácii blízkeho poľa alebo Fresnelovej difrakcii.

Rozdiel medzi Fraunhoferovou a Fresnelovou difrakciou spočíva v rôznych podmienkach interferenčného javu v malých a veľkých vzdialenostiach od prekážky.

Odvodenie vzorca pre hlavné maximá difrakčnej mriežky, ktoré budú uvedené ďalej v článku, predpokladá zváženie Fraunhoferovej difrakcie.

Difrakčná mriežka a jej typy

Táto mriežka je doska zo skla alebo priehľadného plastu s veľkosťou niekoľko centimetrov, na ktorú sú nanesené nepriehľadné ťahy rovnakej hrúbky. Zdvihy sú umiestnené v konštantnej vzdialenosti d od seba. Táto vzdialenosť sa nazýva obdobie mriežky. Dve ďalšie dôležité charakteristiky zariadenia sú mriežková konštanta a a počet priehľadných štrbín N. Hodnota a určuje počet štrbín na dĺžku mm, takže je nepriamo úmerná perióde d.

Existujú dva typy difrakčných mriežok:

• Transparentné, ako je popísané vyššie. Difrakčný obrazec z takejto mriežky vzniká v dôsledku prechodu čela vlny cez ňu.
• Reflexné. Vyrába sa nanesením malých drážok na hladký povrch. Difrakcia a interferencia z takejto platne nastáva v dôsledku odrazu svetla z vrcholov každej drážky.

Bez ohľadu na typ mriežky je myšlienkou jej vplyvu na čelo vlny vytvárať periodické rušenie. To vedie k vytvoreniu veľkého počtu koherentných zdrojov, ktorých dôsledkom interferencie je difrakčný obrazec na obrazovke.

Základný vzorec difrakčnej mriežky

Odvodenie tohto vzorca zahŕňa zváženie závislosti intenzity žiarenia od uhla jeho dopadu na obrazovku. Pri aproximácii vzdialeného poľa sa získa nasledujúci vzorec pre intenzitu I (θ):

I (θ) = I 0 * (sin (β) / β) 2 * 2, kde

α = pi * d / λ * (sin (θ) - sin (θ 0));

β = pi * a / λ * (sin (θ) - sin (θ 0)).

Vo vzorci je šírka štrbiny difrakčnej mriežky označená symbolom a. Faktor v zátvorkách je preto zodpovedný za difrakciu s jedným rezom. Hodnota d je perióda difrakčnej mriežky. Vzorec ukazuje, že faktor v hranatých zátvorkách, kde sa táto perióda vyskytuje, opisuje interferenciu z radu mriežkových drážok.

Pomocou vyššie uvedeného vzorca môžete vypočítať hodnotu intenzity pre akýkoľvek uhol dopadu svetla.

Ak nájdeme hodnotu maxím intenzity I (θ), potom môžeme dospieť k záveru, že sa objavujú za podmienky, že α = m * pi, kde m je akékoľvek celé číslo. Pre maximálny stav dostaneme:

m * pi = pi * d / λ * (sin (θ m) - sin (θ 0)) =>

sin (θ m) - sin (θ 0) = m * λ / d.

Výsledný výraz sa nazýva vzorec pre maximá difrakčnej mriežky. Čísla m sú poradím difrakcie.

Ďalšie spôsoby, ako napísať základný vzorec pre mriežku

Všimnite si toho, že vzorec uvedený v predchádzajúcom odseku obsahuje výraz sin (θ 0). Tu uhol θ 0 odráža smer dopadu prednej časti svetelnej vlny vzhľadom na rovinu mriežky. Keď čelo padne rovnobežne s touto rovinou, potom θ 0 = 0 o. Potom dostaneme výraz pre maximá:

Pretože mriežková konštanta a (nesmie byť zamieňaná so šírkou štrbiny) je nepriamo úmerná d, vyššie uvedený vzorec bude prepísaný z hľadiska konštanty difrakčnej mriežky ako:

Aby ste sa vyhli chybám pri nahrádzaní konkrétnych čísel λ, a a d v týchto vzorcoch, vždy používajte príslušné jednotky SI.

Pojem uhlovej disperzie mriežky

Túto hodnotu označíme písmenom D. Podľa matematickej definície je zapísaná nasledovne:

Fyzikálny význam uhlovej disperzie D je, že ukazuje, do akého uhla dθ m sa posunie maximum pre difrakčný poriadok m, ak sa dopadajúca vlnová dĺžka zmení o dλ.

Ak použijeme tento výraz na mriežkovú rovnicu, dostaneme vzorec:

Uhlová disperzia difrakčnej mriežky je určená vyššie uvedeným vzorcom. Je zrejmé, že hodnota D závisí od poradia m a od obdobia d.

Čím väčšia je disperzia D, tým vyššie je rozlíšenie tejto mriežky.

Rozlíšenie mriežky

Rozlíšenie je chápané ako fyzikálna veličina, ktorá ukazuje, o akú minimálnu hodnotu sa môžu dve vlnové dĺžky líšiť, takže ich maximá v difraktograme sa zobrazujú oddelene.

Rozlíšenie je určené Rayleighovým kritériom. Hovorí sa tam: dve maximá môžu byť oddelené v difraktograme, ak je vzdialenosť medzi nimi väčšia ako polovica šírky každého z nich. Uhlová polovičná šírka maxima pre mriežku je určená vzorcom:

Δθ 1/2 = λ / (N * d * cos (θ m)).

Rozlíšenie mriežky v súlade s Rayleighovým kritériom sa rovná:

Δθ m> Δθ 1/2 alebo D * Δλ> Δθ 1/2.

Nahradením hodnôt D a Δθ 1/2 dostaneme:

Δλ * m / (d * cos (θ m))> λ / (N * d * cos (θ m) =>

Δλ> λ / (m * N).

Toto je vzorec pre rozlišovaciu schopnosť difrakčnej mriežky. Čím je počet drážok N na platni väčší a čím je difrakčné poradie vyššie, tým je rozlíšenie pre danú vlnovú dĺžku λ väčšie.

Difrakčná mriežka v spektroskopii

Prepíšeme základnú rovnicu maxím pre mriežku:

Tu je vidieť, že čím dlhšia vlnová dĺžka dopadne na pruh s pruhmi, tým vyššie uhly sa na obrazovke objavia. Inými slovami, ak cez dosku prechádza nie monochromatické svetlo (napríklad biele), potom je na obrazovke možné vidieť vzhľad maximálnych farieb. Počnúc centrálnym bielym maximom (difrakcia nulového rádu) sa objavia ďalšie maximá pre kratšie vlnové dĺžky (fialová, modrá) a potom pre dlhšie (oranžová, červená).

Ďalším dôležitým záverom z tohto vzorca je závislosť uhla θ m od poradia difrakcie. Čím väčšie je m, tým väčšia je hodnota θ m. To znamená, že farebné čiary budú od seba viac oddelené v maximách pre vysoký difrakčný poriadok. Táto skutočnosť bola už posvätená, keď sa uvažovalo o rozlíšení mriežky (pozri predchádzajúci bod).

Popísané schopnosti difrakčnej mriežky umožňujú použiť ju na analýzu emisných spektier rôznych svetelných objektov vrátane vzdialených hviezd a galaxií.

Príklad riešenia problému

Ukážme, ako používať vzorec difrakčnej mriežky. Vlnová dĺžka svetla dopadajúceho na mriežku je 550 nm. Je potrebné určiť uhol, pod ktorým sa objaví difrakcia prvého rádu, ak je perióda d 4 μm.

Všetky údaje preložíme do jednotiek SI a nahradíme ich touto rovnosťou:

θ 1 = arcsin (550 * 10 -9 / (4 * 10 -6)) = 7,9 o.

Ak je obrazovka vo vzdialenosti 1 meter od mriežky, potom sa od stredu centrálneho maxima zobrazí difrakčná čiara prvého rádu pre vlnu 550 nm vo vzdialenosti 13,8 cm, čo zodpovedá uhlu 7,9 o.

Rozšírený vo vedeckých experimentoch a prijatých technológiách difrakčné mriežky, ktoré sú množinou rovnobežných, rovnako rozmiestnených rovnakých štrbín, oddelených nepriehľadnými intervalmi rovnakej šírky. Difrakčné mriežky sa vyrábajú pomocou deliaceho stroja, ktorý označuje (škrabá) sklo alebo iný priehľadný materiál. Tam, kde dôjde k poškriabaniu, sa materiál stane nepriehľadným a medzery medzi nimi zostanú priehľadné a v skutočnosti zohrávajú úlohu štrbín.

Najprv uvažujme difrakciu svetla z mriežky pomocou dvoch štrbín. (Ako sa počet štrbín zvyšuje, difrakčné maximá sú užšie, jasnejšie a zreteľnejšie.)

Nechaj byť a -šírka štrbiny, a b - šírku nepriehľadnej medzery (obr. 5.6).

Ryža. 5.6. Difrakcia z dvoch štrbín

Obdobie difrakčnej mriežky je vzdialenosť medzi stredmi susedných drážok:

Rozdiel v dráhe týchto dvoch extrémnych lúčov je

Ak je rozdiel dráhy rovný nepárnemu počtu polovičných vĺn

potom svetlo vysielané dvoma štrbinami vzájomne zhasne v dôsledku rušenia vĺn. Minimálna podmienka je

Tieto minimá sa nazývajú dodatočné.

Ak je rozdiel dráhy rovný párnemu počtu polovičných vĺn

potom sa vlny vysielané každou štrbinou navzájom posilnia. Podmienka interferenčných maxim s prihliadnutím na (5.36) má formu

Toto je vzorec pre hlavné maximá difrakčnej mriežky.

Navyše v tých smeroch, v ktorých žiadna zo štrbín nešíri svetlo, sa nebude šíriť ani dvoma štrbinami, tj. hlavné mriežkové minimá budú pozorované v smeroch určených podmienkou (5.21) pre jednu štrbinu:

Ak difrakčná mriežka pozostáva z N.štrbín (moderné mriežky používané v prístrojoch spektrálnej analýzy majú až 200 000 mŕtvice a bodka d = 0,8 μm, teda poriadku 12 000 ťahy o 1 cm), potom podmienkou pre hlavné minimá je, ako v prípade dvoch medzier, vzťah (5,41), podmienkou pre hlavné maximá je vzťah (5,40), a dodatočná minimálna podmienka má formu

Tu k " môže vziať všetko celočíselné hodnoty, okrem 0, N, 2N, .... Preto v prípade N. nachádzajú sa medzery medzi dvoma hlavnými maximami ( N - 1) dodatočné minimá, oddelené sekundárnymi maximami, vytvárajúce relatívne slabé pozadie.

Poloha hlavných maxím závisí od vlnovej dĺžky l... Preto keď sa biele svetlo prenáša mriežkou, všetky maximá, okrem centrálneho, sa rozložia na spektrum, ktorého fialový koniec je nasmerovaný do stredu difrakčného obrazca a červený koniec je nasmerovaný von. Difrakčná mriežka je teda spektrálne zariadenie. Všimnite si toho, že zatiaľ čo spektrálny hranol najviac odkláňa fialové lúče, difrakčná mriežka naopak najviac odráža červené lúče.

Dôležitou charakteristikou každého spektrálneho prístroja je rozhodnutie.

Rozlíšenie spektrálneho nástroja je bezrozmerná veličina

kde je minimálny rozdiel medzi vlnovými dĺžkami dvoch spektrálnych čiar, pri ktorých sú tieto čiary vnímané oddelene.

Určme rozlíšenie difrakčnej mriežky. Stredná poloha k-th maximum pre vlnovú dĺžku

určené podmienkou

Okraje k- th maximum (to znamená ďalšie dodatočné minimá) pre vlnovú dĺžku l sú umiestnené v uhloch vyhovujúcich pomeru: