Nechaj byť NS- argument (nezávislá premenná); y = y (x)- funkcia.

Zoberme si pevnú hodnotu argumentu x = x 0 a vypočítajte hodnotu funkcie r 0 = y (x 0 ) ... Teraz ľubovoľne nastavujeme prírastok (zmeniť) argument a označiť ho  NS ( NS môže mať akékoľvek znamenie).

Prírastkový argument je bodka NS 0 +  NS... Predpokladajme, že obsahuje aj hodnotu funkcie y = y (x 0 +  NS)(pozri obrázok).

S ľubovoľnou zmenou hodnoty argumentu sa teda získa zmena funkcie, ktorá sa nazýva postupne funkčné hodnoty:

a nie je ľubovoľný, ale závisí od formy funkcie a hodnoty
.

Prírastky argumentov a funkcií môžu byť finálny, t.j. vyjadrené ako konštantné čísla, v tomto prípade sa niekedy nazývajú konečné rozdiely.

V ekonomike sa veľmi často zvažujú konečné prírastky. Tabuľka napríklad obsahuje údaje o dĺžke železničnej siete určitého stavu. Prírastok čistej dĺžky sa očividne vypočíta odčítaním predchádzajúcej hodnoty od ďalšej.

Dĺžku železničnej siete budeme považovať za funkciu, ktorej argumentom bude čas (roky).

Samotný prírastok funkcie (v tomto prípade dĺžky železnice) siete) zle charakterizuje zmenu funkcie. V našom prípade zo skutočnosti, že 2,5>0,9 nemožno dospieť k záveru, že sieť v r rástla rýchlejšie 2000-2003 rokov ako v 2004 g, pretože prírastok 2,5 označuje trojročné obdobie a 0,9 - iba o rok. Preto je celkom prirodzené, že prírastok funkcie vedie k jednotke zmeny argumentu. Prírastky argumentov sú obdobia: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Získame to, čo sa nazýva ekonomická literatúra priemerný ročný rast.

Operácii prevodu prírastku na jednotku zmeny argumentu je možné vyhnúť sa, ak vezmeme hodnoty funkcie pre hodnoty argumentu, ktoré sa líšia o jednu, čo nie je vždy možné.

V matematickej analýze sa predovšetkým v diferenciálnom počte uvažuje s nekonečne malým (BM) prírastkom argumentu a funkcie.

Diferenciácia funkcie jednej premennej (derivačná a diferenciálna) Derivácia funkcie

Prírastky argumentov a funkcií v bode NS 0 možno považovať za porovnateľné nekonečne malé množstvo (pozri tému 4, porovnanie BM), t.j. BM rovnakého poradia.

Potom bude mať ich pomer konečnú hranicu, ktorá je definovaná ako derivácia funkcie pri m NS 0 .

Hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu BM v bode x = x 0 zavolal derivát funkcie v danom bode.

Symbolické označenie derivátu prvočíslom (alebo skôr rímskou číslicou I) zaviedol Newton. Môžete tiež použiť dolný index, ktorý ukazuje, ktorá premenná sa používa na výpočet derivátu, napríklad ... Široko používaný je aj ďalší zápis, ktorý navrhol zakladateľ derivátového počtu, nemecký matematik Leibniz:
... Viac o pôvode tohto označenia sa dozviete v sekcii Funkčný diferenciál a diferenciálny argument.

Toto číslo odhaduje rýchlosť zmena funkcie prechádzajúcej bodom
.

Inštalácia geometrický význam derivácia funkcie v bode. Za týmto účelom vykreslíme funkciu y = y (x) a označte na ňom body, ktoré určujú zmenu y (x) medzitým

Dotyčnica ku grafu funkcie v bode M 0
budeme brať do úvahy obmedzujúcu polohu secantu M 0 M za podmienky
(bod M posúva graf funkcií do bodu M 0 ).

Zvážte
... Očividne
.

Ak bod M pohybujte sa po grafe funkcie smerom k bodu M 0 , potom hodnota
bude mať tendenciu k určitej hranici, ktorú označujeme
... Kde.

Obmedzovací uhol  sa zhoduje s uhlom sklonu dotyčnice nakresleným na grafe funkcie, vč. M 0 , teda derivát
číselne rovnaké sklon dotyčnice v uvedenom bode.

-

geometrický význam derivácie funkcie v bode.

Môžeme teda zapísať rovnice dotyčnice a normály ( normálne Je to čiara kolmá na tangens) k grafu funkcie v určitom bode NS 0 :

Tangenta -.

Normálne -
.

Zaujímavé sú prípady, keď sú tieto priame čiary umiestnené horizontálne alebo vertikálne (pozri tému 3, špeciálne prípady polohy priamky v rovine). Potom,

keby
;

keby
.

Definícia derivátu sa nazýva diferenciácia funkcie.

 Ak je funkcia v bode NS 0 má konečnú deriváciu, potom sa nazýva diferencovateľný v tomto bode. Funkcia diferencovateľná vo všetkých bodoch určitého intervalu sa nazýva diferencovateľná v tomto intervale.

 Veta . Ak funkcia y = y (x) diferencovateľné vr. NS 0 , potom je v tomto bode spojitý.

Preto kontinuita- nevyhnutná (ale nie dostačujúca) podmienka diferenciácie funkcie.

Nech je daná funkcia. Zoberme si dve hodnoty argumentu: počiatočný a upravené, čo je zvyčajne označené
, kde - čiastka, o ktorú sa argument zmení pri prechode z prvej hodnoty na druhú, nazýva sa zvýšením argumentu.

Hodnoty argumentov a zodpovedajúce konkrétnym hodnotám funkcií: počiatočné a upravený
, hodnota , pomocou ktorého sa vyvolá hodnota funkcie, keď sa argument zmení o sumu prírastok funkcie.

2. koncept limitu funkcie v bode.

Číslo sa nazýva hranica funkcie
keď inklinuje k ak pre akékoľvek číslo
existuje také číslo
že pre všetkých
uspokojenie nerovnosti
, nerovnosť
.

Druhá definícia: Číslo sa nazýva hranicou funkcie, ktorá má sklon k tendencii, ak pre akékoľvek číslo existuje susedstvo bodu tak, že pre akékoľvek z tohto susedstva. Označené
.

3. nekonečne veľké a nekonečne malé funkcie v bode. Nekonečne malá funkcia v bode je funkcia, ktorej hranica, keď smeruje k danému bodu, je nula. Nekonečne veľká funkcia v bode je funkcia, ktorej hranica, keď má sklon k danému bodu, sa rovná nekonečnu.

4. hlavné vety o medziach a ich dôsledkoch (bez dôkazu).

dôsledok: konštantný faktor je možné vylúčiť z medzného znamienka:

Ak sú sekvencie a potom konvergujú a limit sekvencie je nenulový

dôsledok: konštantný faktor je možné vylúčiť z medzného znamienka.

11. ak existujú limity funkcií pre
a
a funkčný limit je nenulový,

potom existuje aj hranica ich pomeru, rovná sa pomeru limitov funkcií a:

.

12.if
potom
, platí to aj naopak.

13. veta o limite medziľahlej sekvencie. Ak sekvencie
konvergujúce a
a
potom

5. hranica funkcie v nekonečne.

Číslo a sa nazýva hranica funkcie v nekonečne (pretože x má tendenciu k nekonečnu), ak pre akúkoľvek sekvenciu smerujúcu k nekonečnu
tam zodpovedá postupnosť hodnôt smerujúcich k číslu a.

6. g sú limity numerickej postupnosti.

Číslo a sa nazýva limit číselnej postupnosti, ak pre akékoľvek kladné číslo existuje prirodzené číslo N také, že pre všetky n> N. nerovnosť platí
.

Toto je symbolicky definované nasledovne:
fér .

Skutočnosť, že číslo a je limit sekvencie označený nasledovne:

.

7. číslo „e“. prírodné logaritmy.

Číslo "E" predstavuje limit numerickej postupnosti, n- ktorého člen
, t.j.

.

Prírodný logaritmus - logaritmus so základňou e. prírodné logaritmy sú označené
bez uvedenia základu.

Číslo
umožňuje prepnúť z desatinného na prirodzený logaritmus a späť.

Hovorí sa mu modul prechodu z prirodzených logaritmov na desatinné.

8. pozoruhodné limity
,

.

Prvá pozoruhodná hranica:

teda na

o limitnej vete o medziľahlej sekvencii

druhá pozoruhodná hranica:

.

Na preukázanie existencie limitu
pre akékoľvek skutočné číslo použite lemmu:
a
nerovnosť je pravdivá
(2) (pre
alebo
nerovnosť sa mení na rovnosť.)

.

Teraz zvážte pomocnú postupnosť so spoločným výrazom
uistite sa, že klesá a je ohraničený zdola:
keby
, potom sa sekvencia znižuje. Ak
, potom je sekvencia ohraničená zospodu. Ukážme to:

na základe rovnosti (2)

t.j.
alebo
... To znamená, že sekvencia sa znižuje, pretože sekvencia je ohraničená zospodu. Ak sekvencia klesá a je zospodu ohraničená, potom má svoj limit. Potom

má limit a postupnosť (1), pretože

a
.

L. Euler nazval túto hranicu .

9. jednostranné limity, funkčná medzera.

číslo A je ľavý limit, ak pre ktorúkoľvek sekvenciu platí nasledujúce :.

číslo A je správna hranica, ak pre akúkoľvek sekvenciu platí nasledujúce :.

Ak v bode a patriace do oblasti definície funkcie alebo jej hranice, je porušená podmienka kontinuity funkcie, potom bod a sa nazýva bod nespojitosti alebo diskontinuity funkcie.

12. súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti. Geometrická postupnosť je postupnosť, v ktorej vzťah medzi ďalším a predchádzajúcim členom zostáva nezmenený, tento vzťah sa nazýva menovateľ postupnosti. Súčet prvého nčleny geometrickej postupnosti vyjadrujeme vzorcom
tento vzorec je vhodné použiť na klesajúcu geometrickú postupnosť - postupnosť, v ktorej je absolútna hodnota jej menovateľa menšia ako nula. - prvý člen; - menovateľ postupu; - číslo prevzatého člena sekvencie. Súčet nekonečnej klesajúcej postupnosti je číslo, ku ktorému sa súčet prvých členov klesajúcej postupnosti neobmedzene blíži s neobmedzeným nárastom počtu.
potom. Súčet termínov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti je .

Definícia 1

Ak je pre každý pár $ (x, y) $ hodnôt dvoch nezávislých premenných z určitej oblasti priradená určitá hodnota $ z $, potom je $ z $ údajne funkciou dvoch premenných $ (x, y) $. Zápis: $ z = f (x, y) $.

Pokiaľ ide o funkciu $ z = f (x, y) $, vezmite do úvahy pojmy všeobecné (úplné) a čiastočné prírastky funkcie.

Nech je daná funkcia $ z = f (x, y) $ dvoch nezávislých premenných $ (x, y) $.

Poznámka 1

Pretože premenné $ (x, y) $ sú nezávislé, jedna z nich sa môže meniť, zatiaľ čo druhá zostáva konštantná.

Dajme premennej $ x $ prírastok $ \ Delta x $, pričom hodnotu premennej $ y $ ponechajme nezmenenú.

Potom funkcia $ z = f (x, y) $ dostane prírastok, ktorý sa bude volať čiastočný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $ vzhľadom na premennú $ x $. Označenie:

Podobne dajme premennej $ y $ prírastok $ \ Delta y $, pričom hodnotu premennej $ x $ ponechajme nezmenenú.

Potom funkcia $ z = f (x, y) $ dostane prírastok, ktorý sa bude volať čiastočný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $ vzhľadom na premennú $ y $. Označenie:

Ak je pre argument $ x $ uvedený prírastok $ \ Delta x $ a pre argument $ y $ - prírastok $ \ Delta y $, potom je plný prírastok danej funkcie $ z = f (x, y) $ získané. Označenie:

Máme teda:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - čiastočný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $ vzhľadom na $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - čiastočný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $ vzhľadom na $ y $;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - plný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $.

Príklad 1

Riešenie:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - čiastočný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $ vzhľadom na $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ je čiastočný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $ vzhľadom na $ y $.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - plný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $.

Príklad 2

Vypočítajte kvocient a celkový prírastok funkcie $ z = xy $ v bode $ (1; 2) $ pre $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $.

Riešenie:

Podľa definície súkromného prírastku nájdeme:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - čiastočný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $ vzhľadom na $ x $

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - čiastočný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $ vzhľadom na $ y $;

Podľa definície celého prírastku nájdeme:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - plný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $.

Preto,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0,1) \ cdot 2 = 2,2 \] \ [\ \ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0,1) = 2,1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 = 2,31. \]

Poznámka 2

Celkový prírastok danej funkcie $ z = f (x, y) $ sa nerovná súčtu jej čiastkových prírastkov $ \ Delta _ (x) z $ a $ \ Delta _ (y) z $. Matematický zápis: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Príklad 3

Funkciu si overte v poznámke k tvrdeniu

Riešenie:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (získané v príklade 1)

Nájdite súčet čiastkových prírastkov danej funkcie $ z = f (x, y) $

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Delta y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Definícia 2

Ak pre každé triple $ (x, y, z) $ hodnôt troch nezávislých premenných z určitej oblasti je priradená určitá hodnota $ w $, potom je $ w $ údajne funkciou troch premenných $ ( x, y, z) $ v tejto oblasti.

Označenie: $ w = f (x, y, z) $.

Definícia 3

Ak je pre každú zbierku $ (x, y, z, ..., t) $ hodnôt nezávislých premenných z určitej oblasti priradená určitá hodnota $ w $, potom sa hovorí, že $ w $ je funkcia premenných $ (x, y, z, ..., t) $ v tejto doméne.

Zápis: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Pre funkciu troch alebo viacerých premenných sú rovnakým spôsobom ako pre funkciu dvoch premenných určené čiastkové prírastky pre každú z premenných:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ - čiastočný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z, .. ., t) $ o $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - čiastočný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z, ..., t) $ o $ t $.

Príklad 4

Napíšte podiel a celkový prírastok funkcie

Riešenie:

Podľa definície súkromného prírastku nájdeme:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - čiastočný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z) $ vzhľadom na $ x $

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - čiastočný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z) $ vzhľadom na $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - čiastočný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z) $ vzhľadom na $ z $;

Podľa definície celého prírastku nájdeme:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - plný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z) $ .

Príklad 5

Vypočítajte kvocient a celkový prírastok funkcie $ w = xyz $ v bode $ (1; 2; 1) $ pre $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \, \, \ Delta z = 0,1 $.

Riešenie:

Podľa definície súkromného prírastku nájdeme:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - čiastočný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z) $ vzhľadom na $ x $

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - čiastočný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z) $ vzhľadom na $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - čiastočný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z) $ vzhľadom na $ z $;

Podľa definície celého prírastku nájdeme:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - plný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z) $.

Preto,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0,1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2,2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0,1) \ cdot 1 = 2,1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0,1) = 2,2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) \ cdot (1 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 \ cdot 1,1 = 2,541. \]

Z geometrického hľadiska je celkový prírastok funkcie $ z = f (x, y) $ (podľa definície $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x , y) $) sa rovná prírastku aplikačnej funkcie grafu $ z = f (x, y) $ pri prechode z bodu $ M (x, y) $ do bodu $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (obr. 1).

Obrázok 1.

Definícia 1

Ak je pre každý pár $ (x, y) $ hodnôt dvoch nezávislých premenných z určitej oblasti priradená určitá hodnota $ z $, potom je $ z $ údajne funkciou dvoch premenných $ (x, y) $. Zápis: $ z = f (x, y) $.

Pokiaľ ide o funkciu $ z = f (x, y) $, vezmite do úvahy pojmy všeobecné (úplné) a čiastočné prírastky funkcie.

Nech je daná funkcia $ z = f (x, y) $ dvoch nezávislých premenných $ (x, y) $.

Poznámka 1

Pretože premenné $ (x, y) $ sú nezávislé, jedna z nich sa môže meniť, zatiaľ čo druhá zostáva konštantná.

Dajme premennej $ x $ prírastok $ \ Delta x $, pričom hodnotu premennej $ y $ ponechajme nezmenenú.

Potom funkcia $ z = f (x, y) $ dostane prírastok, ktorý sa bude volať čiastočný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $ vzhľadom na premennú $ x $. Označenie:

Podobne dajme premennej $ y $ prírastok $ \ Delta y $, pričom hodnotu premennej $ x $ ponechajme nezmenenú.

Potom funkcia $ z = f (x, y) $ dostane prírastok, ktorý sa bude volať čiastočný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $ vzhľadom na premennú $ y $. Označenie:

Ak je pre argument $ x $ uvedený prírastok $ \ Delta x $ a pre argument $ y $ - prírastok $ \ Delta y $, potom je plný prírastok danej funkcie $ z = f (x, y) $ získané. Označenie:

Máme teda:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - čiastočný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $ vzhľadom na $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - čiastočný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $ vzhľadom na $ y $;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - plný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $.

Príklad 1

Riešenie:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - čiastočný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $ vzhľadom na $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ je čiastočný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $ vzhľadom na $ y $.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - plný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $.

Príklad 2

Vypočítajte kvocient a celkový prírastok funkcie $ z = xy $ v bode $ (1; 2) $ pre $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $.

Riešenie:

Podľa definície súkromného prírastku nájdeme:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - čiastočný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $ vzhľadom na $ x $

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - čiastočný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $ vzhľadom na $ y $;

Podľa definície celého prírastku nájdeme:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - plný prírastok funkcie $ z = f (x, y) $.

Preto,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0,1) \ cdot 2 = 2,2 \] \ [\ \ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0,1) = 2,1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 = 2,31. \]

Poznámka 2

Celkový prírastok danej funkcie $ z = f (x, y) $ sa nerovná súčtu jej čiastkových prírastkov $ \ Delta _ (x) z $ a $ \ Delta _ (y) z $. Matematický zápis: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Príklad 3

Funkciu si overte v poznámke k tvrdeniu

Riešenie:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (získané v príklade 1)

Nájdite súčet čiastkových prírastkov danej funkcie $ z = f (x, y) $

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Delta y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Definícia 2

Ak pre každé triple $ (x, y, z) $ hodnôt troch nezávislých premenných z určitej oblasti je priradená určitá hodnota $ w $, potom je $ w $ údajne funkciou troch premenných $ ( x, y, z) $ v tejto oblasti.

Označenie: $ w = f (x, y, z) $.

Definícia 3

Ak je pre každú zbierku $ (x, y, z, ..., t) $ hodnôt nezávislých premenných z určitej oblasti priradená určitá hodnota $ w $, potom sa hovorí, že $ w $ je funkcia premenných $ (x, y, z, ..., t) $ v tejto doméne.

Zápis: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Pre funkciu troch alebo viacerých premenných sú rovnakým spôsobom ako pre funkciu dvoch premenných určené čiastkové prírastky pre každú z premenných:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ - čiastočný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z, .. ., t) $ o $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - čiastočný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z, ..., t) $ o $ t $.

Príklad 4

Napíšte podiel a celkový prírastok funkcie

Riešenie:

Podľa definície súkromného prírastku nájdeme:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - čiastočný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z) $ vzhľadom na $ x $

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - čiastočný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z) $ vzhľadom na $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - čiastočný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z) $ vzhľadom na $ z $;

Podľa definície celého prírastku nájdeme:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - plný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z) $ .

Príklad 5

Vypočítajte kvocient a celkový prírastok funkcie $ w = xyz $ v bode $ (1; 2; 1) $ pre $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \, \, \ Delta z = 0,1 $.

Riešenie:

Podľa definície súkromného prírastku nájdeme:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - čiastočný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z) $ vzhľadom na $ x $

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - čiastočný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z) $ vzhľadom na $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - čiastočný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z) $ vzhľadom na $ z $;

Podľa definície celého prírastku nájdeme:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - plný prírastok funkcie $ w = f (x, y, z) $.

Preto,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0,1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2,2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0,1) \ cdot 1 = 2,1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0,1) = 2,2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) \ cdot (1 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 \ cdot 1,1 = 2,541. \]

Z geometrického hľadiska je celkový prírastok funkcie $ z = f (x, y) $ (podľa definície $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x , y) $) sa rovná prírastku aplikačnej funkcie grafu $ z = f (x, y) $ pri prechode z bodu $ M (x, y) $ do bodu $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (obr. 1).

Obrázok 1.

V živote nás nie vždy zaujímajú presné hodnoty akýchkoľvek veličín. Niekedy je zaujímavé poznať zmenu v tejto hodnote, napríklad priemernú rýchlosť autobusu, pomer množstva pohybu k časovému obdobiu atď. Na porovnanie hodnoty funkcie v určitom bode s hodnotami tej istej funkcie v iných bodoch je vhodné použiť pojmy ako „prírastok funkcie“ a „prírastok argumentu“.

Pojmy „prírastok funkcie“ a „prírastok argumentu“

Predpokladajme, že x je ľubovoľný bod, ktorý leží v nejakom susedstve bodu x0. Prírastok argumentu v bode x0 je rozdiel x-x0. Prírastok je označený nasledovne: ∆х.

• ∆x = x-x0.

Niekedy sa táto hodnota nazýva aj prírastok nezávislej premennej v bode x0. Zo vzorca vyplýva: x = x0 + ∆x. V takýchto prípadoch sa hovorí, že počiatočná hodnota nezávislej premennej x0 dostala prírastok ∆x.

Ak zmeníme argument, potom sa zmení aj hodnota funkcie.

• f (x) - f (x0) = f (x0 + ∆х) - f (x0).

Prírastkom funkcie f v bode x0, rozdiel f (x0 + ∆x) - f (x0) sa nazýva zodpovedajúci prírastku ∆x. Prírastok funkcie je označený ako ∆f. Z definície teda dostaneme:

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0).

Niekedy sa ∆f nazýva aj prírastok závislej premennej a ∆y sa používa na jeho označenie, ak bola funkcia napríklad y = f (x).

Geometrický význam prírastku

Pozrite sa na nasledujúci obrázok.

Ako vidíte, prírastok ukazuje zmenu na osi a na osi bodu. A pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu určuje uhol sklonu sektora prechádzajúceho počiatočnou a konečnou polohou bodu.

Zvážte príklady prírastkov funkcií a argumentov

Príklad 1. Nájdite prírastok argumentu ∆x a prírastok funkcie ∆f v bode x0, ak f (x) = x 2, x0 = 2 a) x = 1,9 b) x = 2,1

Použime vyššie uvedené vzorce:

a) ∆х = х -х0 = 1,9 -2 = -0,1;

• ∆f = f (1,9) - f (2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x = x-x0 = 2,1-2 = 0,1;

• ∆f = f (2,1) - f (2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.

Príklad 2. Vypočítajte prírastok ∆f pre funkciu f (x) = 1 / x v bode x0, ak je prírastok argumentu rovný ∆x.

Opäť použijeme vzorce získané vyššie.

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0) = 1 / (x0 -∆x) - 1 / x0 = (x0 - (x0 + ∆x)) / (x0 * (x0 + ∆x)) = - ∆x / ((x0 * (x0 + ∆x)).