Úvod …………………………………………………………………………………… 3

1. Teoretická časť …………………………………………………………………… .4

Základné pojmy a termíny ……………………………………………… .... 4

1.1 Typy sekvencií …………………………………………………… ... 6

1.1.1. Obmedzené a neobmedzené číselné sekvencie ... ..6

1.1.2 Monotónnosť sekvencií ………………………………… 6

1.1.3 Nekonečne veľké a nekonečne malé postupnosti …… .7

1.1.4 Vlastnosti nekonečne malých sekvencií ………………… 8

1.1.5. Konvergujúce a odlišujúce sa sekvencie a ich vlastnosti ... ... 9

1.2 Limit postupnosti ……………………………………………… .11

1.2.1 Vety o medziach sekvencie ………………………………………………………………………………………… 15

1.3. Aritmetický postup …………………………………………………… 17

1.3.1. Vlastnosti aritmetickej postupnosti ………………………………… ..17

1.4 Geometrická postupnosť ……………………………………………… ..19

1.4.1. Vlastnosti geometrickej postupnosti …………………………………… .19

1,5. Fibonacciho čísla ………………………………………………………… ..21

1.5.1 Vzťah Fibonacciho čísel s inými oblasťami znalostí …………………… .22

1.5.2. Použitie série Fibonacciho čísel na opis živej a neživej prírody ………………………………………………………………………………… .23

2. Vlastný výskum ………………………………………………… .28

Záver ……………………………………………………………………… .30

Zoznam použitej literatúry ………………………………………… .... 31

Úvod.

Číselné sekvencie sú veľmi zaujímavou a poučnou témou. Táto téma sa nachádza v úlohách so zvýšenou komplexnosťou, ktoré študentom ponúkajú autori didaktických materiálov, v problémoch matematických olympiád, prijímacích skúškach na vysoké školy a Zjednotenej štátnej skúške. Mám záujem naučiť sa vzťah matematických sekvencií s inými oblasťami znalostí.

Účel výskumnej práce: Rozšíriť znalosti o postupnosti čísel.

1. Zvážte postupnosť;

2. Zvážte jeho vlastnosti;

3. Zvážte analytickú úlohu sekvencie;

4. Ukážte svoju úlohu v rozvoji ďalších oblastí znalostí.

5. Predveďte používanie série Fibonacciho čísel na opis živej a neživej prírody.

1. Teoretická časť.

Základné pojmy a pojmy.

Definícia. Číselná postupnosť je funkciou tvaru y = f (x), x О N, kde N je množina prirodzených čísel (alebo funkcia prirodzeného argumentu) označená y = f (n) alebo y1, y2 ,…, Yn,…. Hodnoty y1, y2, y3, ... sa nazývajú prvý, druhý, tretí, ... člen sekvencie.

Číslo a sa nazýva hranica postupnosti x = (x n), ak pre ľubovoľné vopred určené ľubovoľne malé kladné číslo ε existuje prirodzené číslo N také, že pre všetky n> N je nerovnosť | x n - a |< ε.

Ak je číslo a limitom postupnosti x = (x n), potom hovoria, že x n má tendenciu k a, a napíše

Sekvencia (yn) sa nazýva rastúca, ak je každý z jej členov (okrem prvého) väčší ako predchádzajúci:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Sekvencia (yn) sa nazýva klesajúca, ak je každý z jej členov (okrem prvého) menší ako predchádzajúci:

y1> y2> y3>…> yn> yn + 1>….

Vzostupné a zostupné sekvencie spája spoločný termín - monotónne sekvencie.

Sekvencia sa nazýva periodická, ak existuje prirodzené číslo T také, že od nejakého n platí rovnosť yn = yn + T. Číslo T sa nazýva dĺžka obdobia.

Aritmetická postupnosť je postupnosť (an), ktorej každý člen, počnúc druhým, sa rovná súčtu predchádzajúceho členu a rovnakému číslu d, sa nazýva aritmetická postupnosť a číslo d je rozdiel aritmetická postupnosť.

Aritmetická postupnosť je teda číselná postupnosť (an) daná rekurzívne vzťahmi

a1 = a, an = an - 1 + d (n = 2, 3, 4, ...)

Geometrická postupnosť je postupnosť, ktorej všetky členy sú nenulové a každý člen, počínajúc druhým, sa získa z predchádzajúceho členu vynásobením rovnakým číslom q.

Geometrická postupnosť je teda číselná postupnosť (bn) daná rekurzívne vzťahmi

b1 = b, bn = bn - 1 q (n = 2, 3, 4 ...).

1.1 Typy sekvencií.

1.1.1 Obmedzené a neobmedzené sekvencie.

Sekvencia (bn) sa nazýva ohraničená zhora, ak existuje číslo M také, že pre akékoľvek číslo n je splnená nerovnosť bn≤ M;

Sekvencia (bn) sa nazýva ohraničená zdola, ak existuje číslo M také, že pre akékoľvek číslo n je splnená nerovnosť bn≥ M;

Napríklad:

1.1.2 Monotonicita sekvencií.

Sekvencia (bn) sa nazýva nezvyšujúca sa (neklesajúca), ak pre akékoľvek číslo n platí nerovnosť bn≥ bn + 1 (bn ≤bn + 1);

Sekvencia (bn) sa nazýva klesajúca (rastúca), ak pre akékoľvek číslo n nerovnosť bn> bn + 1 (bn

Klesajúce a rastúce sekvencie sa nazývajú striktne monotónne, nerastúce monotónne v širšom zmysle.

Sekvencie, ktoré sú súčasne ohraničené v hornej a dolnej časti, sa nazývajú ohraničené.

Sekvencia všetkých týchto typov sa súhrnne nazýva monotónna.

1.1.3 Nekonečne veľké a malé sekvencie.

Nekonečne malá sekvencia je numerická funkcia alebo sekvencia, ktorá má sklon k nule.

Sekvencia an sa nazýva nekonečne malá, ak

Funkcia sa nazýva nekonečne malá v susedstve bodu x0, ak ℓimx → x0 f (x) = 0.

Funkcia sa v nekonečne nazýva nekonečne malá, ak ℓimx →. + ∞ f (x) = 0 alebo ℓimx → -∞ f (x) = 0

Nekonečne malá funkcia je tiež rozdielom medzi funkciou a jej limitom, to znamená, že ak ℓimx →. + ∞ f (x) = a, potom f (x) - a = α (x), ℓimx →. + ∞ f ((x) -a) = 0.

Nekonečne veľká sekvencia je numerická funkcia alebo sekvencia, ktorá má sklon k nekonečnu.

Sekvencia an sa nazýva nekonečne veľká, ak

ℓimn → 0 an = ∞.

Funkcia sa v obvode bodu x0 nazýva nekonečne veľká, ak ℓimx → x0 f (x) = ∞.

Funkcia sa nazýva nekonečne veľká v nekonečne, ak

ℓimx →. + ∞ f (x) = ∞ alebo ℓimx → -∞ f (x) = ∞.

1.1.4 Vlastnosti nekonečne malých sekvencií.

Súčet dvoch nekonečne malých sekvencií je sám osebe tiež nekonečne malou sekvenciou.

Rozdiel dvoch nekonečne malých sekvencií je sám osebe tiež nekonečne malou sekvenciou.

Algebraický súčet ľubovoľného konečného počtu nekonečne malých sekvencií je sám osebe tiež nekonečne malou sekvenciou.

Produkt ohraničenej sekvencie nekonečne malou sekvenciou je nekonečne malou sekvenciou.

Produktom akéhokoľvek konečného počtu nekonečne malých sekvencií je nekonečne malá sekvencia.

Akákoľvek nekonečne malá sekvencia je obmedzená.

Ak je stacionárna sekvencia nekonečne malá, potom sú všetky jej prvky, počínajúc jednou, rovné nule.

Ak celá nekonečne malá sekvencia pozostáva z identických prvkov, potom sú tieto prvky nuly.

Ak (xn) je nekonečne veľká sekvencia, ktorá neobsahuje nulové členy, potom existuje sekvencia (1 / xn), ktorá je nekonečne malá. Ak napriek tomu (xn) obsahuje nulové prvky, potom sekvenciu (1 / xn) možno stále definovať od určitého čísla n a stále bude nekonečne malá.

Ak (an) je nekonečne malá sekvencia, ktorá neobsahuje nulové členy, potom existuje sekvencia (1 / an), ktorá je nekonečne veľká. Ak napriek tomu (an) obsahuje nulové prvky, potom sekvenciu (1 / an) možno stále definovať od určitého čísla n a stále bude nekonečne veľká.

1.1.5 Konvergujúce a odlišujúce sa sekvencie a ich vlastnosti.

Konvergujúca postupnosť je postupnosť prvkov množiny X, ktorá má v tejto množine limit.

Divergentná sekvencia je sekvencia, ktorá nie je konvergentná.

Akákoľvek nekonečne malá sekvencia je konvergentná. Jeho hranica je nulová.

Odstránenie akéhokoľvek konečného počtu prvkov z nekonečnej sekvencie neovplyvní ani konvergenciu, ani limit tejto sekvencie.

Akákoľvek konvergujúca sekvencia je obmedzená. Nie každá obmedzená sekvencia sa však zbieha.

Ak sekvencia (xn) konverguje, ale nie je nekonečne malá, potom je od určitého čísla definovaná sekvencia (1 / xn), ktorá je ohraničená.

Súčet konvergujúcich sekvencií je tiež konvergujúcou sekvenciou.

Rozdiel konvergujúcich sekvencií je tiež konvergujúca sekvencia.

Produkt konvergujúcich sekvencií je tiež konvergujúcou sekvenciou.

Kvocient dvoch konvergujúcich sekvencií je definovaný počnúc od nejakého prvku, pokiaľ druhá sekvencia nie je nekonečne malá. Ak je definovaný podiel dvoch konvergujúcich sekvencií, potom ide o konvergujúcu sekvenciu.

Ak je zbiehavá postupnosť ohraničená zospodu, žiadna z jej dolných hraníc nepresahuje svoj limit.

Ak je konvergujúca postupnosť ohraničená zhora, potom jej limit nepresahuje žiadnu z jej horných hraníc.

Ak pre ľubovoľný počet členy jednej konvergujúcej postupnosti nepresahujú členy inej konvergujúcej sekvencie, potom hranica prvej sekvencie tiež neprekročí hranicu druhej.

Ak je funkcia definovaná na množine prirodzených čísel N, potom sa takáto funkcia nazýva postupnosť nekonečných čísel. Číselné sekvencie sa zvyčajne označujú ako (Xn), kde n patrí do množiny prirodzených čísel N.

Číselná postupnosť môže byť špecifikovaná vzorcom. Napríklad Xn = 1 / (2 * n). Každému prirodzenému číslu n teda priradíme nejaký určitý prvok sekvencie (Xn).

Ak teraz postupne vezmeme n rovnajúce sa 1,2,3,…., Dostaneme postupnosť (Xn): ½, ¼, 1/6,…, 1 / (2 * n),…

Sekvenčné typy

Sekvencia môže byť obmedzená alebo neobmedzená, môže sa zvyšovať alebo znižovať.

Sekvencia (Xn) sa nazýva obmedzený, ak existujú dve čísla m a M také, že pre akékoľvek n patriace do množiny prirodzených čísel bude rovnosť m<=Xn

Sekvencia (Xn), neobmedzené, sa nazýva neobmedzená sekvencia.

narastá, ak pre všetky prirodzené n platí nasledujúca rovnosť X (n + 1)> Xn. Inými slovami, každý člen sekvencie, začínajúc druhým, musí byť väčší ako predchádzajúci člen.

Sekvencia (Xn) sa nazýva klesajúci ak pre všetky prirodzené n platí nasledujúca rovnosť: X (n + 1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Príklad sekvencie

Skontrolujme, či sekvencie 1 / n a (n-1) / n klesajú.

Ak sa postupnosť znižuje, potom X (n + 1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X (n + 1) - Xn = 1 / (n + 1) - 1 / n = -1 / (n * (n + 1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1) / n:

X (n + 1) - Xn = n / (n + 1) - (n -1) / n = 1 / (n * (n + 1))> 0. Takže postupnosť (n -1) / n je zvyšujúce sa.

Ak je každému prirodzenému číslu n priradené nejaké reálne číslo x n, potom hovoria, že dané číselná postupnosť

X 1 , X 2 , … x n , …

Číslo X 1 sa nazýva člen sekvencie s číslom 1 alebo prvý člen sekvencie, číslo X 2 - člen sekvencie s číslom 2 alebo druhý člen sekvencie atď. Volá sa číslo x n člen očíslovanej sekvencie n.

Existujú dva spôsoby, ako nastaviť číselnú postupnosť - pomocou a s opakujúci sa vzorec.

Sekvenovanie s vzorce bežných výrazov Je priradenie sekvencie

X 1 , X 2 , … x n , …

pomocou vzorca vyjadrujúceho závislosť pojmu x n od jeho čísla n.

Príklad 1. Numerická postupnosť

1, 4, 9, … n 2 , …

uvedené pomocou bežného výrazového vzorca

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Sekvenovanie pomocou vzorca vyjadrujúceho člen sekvencie x n v zmysle členov sekvencie s predchádzajúcimi číslami sa nazýva sekvenovanie pomocou opakujúci sa vzorec.

X 1 , X 2 , … x n , …

sa volajú zvyšujúca sa postupnosť, viac predchádzajúci člen.

Inými slovami, pre každého n

X n + 1 >X n

Príklad 3. Poradie prirodzených čísel

1, 2, 3, … n, …

je zvyšujúca sa postupnosť.

Definícia 2. Poradie čísel

X 1 , X 2 , … x n , …

sa volajú klesajúca postupnosť, ak každý člen tejto postupnosti menšie predchádzajúci člen.

Inými slovami, pre každého n= 1, 2, 3, ... nerovnosť

X n + 1 < X n

Príklad 4. Následok

dané vzorcom

je zostupná postupnosť.

Príklad 5. Numerická postupnosť

1, - 1, 1, - 1, …

dané vzorcom

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

nie je ani rastúci, ani klesajúci postupnosť.

Definícia 3. Zvyšujúce sa a znižujúce sa číselné postupnosti sa nazývajú monotónne sekvencie.

Obmedzené a neobmedzené sekvencie

Definícia 4. Poradie čísel

X 1 , X 2 , … x n , …

sa volajú ohraničený zhora, ak existuje číslo M také, že každý člen tejto postupnosti menšiečísla M.

Inými slovami, pre každého n= 1, 2, 3, ... nerovnosť

Definícia 5. Numerická postupnosť

X 1 , X 2 , … x n , …

sa volajú ohraničený zdola, ak existuje číslo m také, že každý člen tejto postupnosti viacčísla m.

Inými slovami, pre každého n= 1, 2, 3, ... nerovnosť

Definícia 6. Poradie čísel

X 1 , X 2 , … x n , …

nazýva obmedzený, ak áno ohraničené hore aj dole.

Inými slovami, existujú čísla M a m také, že pre všetky n= 1, 2, 3, ... nerovnosť

m< x n < M

Definícia 7. Numerické postupnosti, ktoré nie sú obmedzené sa volajú neobmedzené sekvencie.

Príklad 6. Numerická postupnosť

1, 4, 9, … n 2 , …

dané vzorcom

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

ohraničené zdola, napríklad číslo 0. Avšak táto postupnosť zhora neobmedzené.

Príklad 7. Následnosť

Prednáška 8. Numerické postupnosti.

Definícia8.1. Ak je každá hodnota priradená podľa určitého zákona, nejaké skutočné čísloX n , potom množina očíslovaných reálnych čísel

– skrátený zápis
, (8.1)

zavolámčíselná postupnosť alebo len sekvencia.

Samostatné čísla X n  prvkov alebo členov sekvencie (8.1).

Poradie môže byť dané spoločným výrazovým vzorcom, napríklad:
alebo
... Sekvenciu je možné určiť nejednoznačne, napríklad sekvenciu –1, 1, –1, 1, ... je možné špecifikovať vzorcom
alebo
... Niekedy sa používa rekurzívny spôsob určenia sekvencie: je uvedených prvých niekoľko členov sekvencie a je uvedený vzorec na výpočet nasledujúcich prvkov. Napríklad sekvencia definovaná prvým prvkom a vzťah opakovania
(aritmetická postupnosť). Zvážte postupnosť tzv blízko Fibonacciho: nastavia sa prvé dva prvky X 1 =1, X 2 = 1 a vzťah recidívy
pre hocikoho
... Získame postupnosť čísel 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... Pre takúto sériu je dosť ťažké nájsť vzorec pre všeobecný výraz.

8.1. Aritmetické operácie so sekvenciami.

Zvážte dve sekvencie:

(8.1)

Definícia 8.2. Zavolajmeprodukt sekvencie
podľa čísla msubsekvencia
... Napíšeme to takto:
.

Nazvime postupnosť súčet sekvencií (8.1) a (8.2), napíšeme to nasledovne :; podobne
zavolajme sekvenčný rozdiel (8.1) a (8.2);
 produkt sekvencií (8.1) a (8.2);  súkromné ​​sekvencie (8.1) a (8.2) (všetky prvky
).

8.2. Obmedzené a neobmedzené sekvencie.

Zhromažďovanie všetkých prvkov v ľubovoľnom poradí
tvorí nejaký numerický súbor, ktorý je možné ohraničiť zhora (zdola) a pre ktorý platia definície podobné tým, ktoré boli zavedené pre skutočné čísla.

Definícia 8.3. Následnosť
zavolalohraničené zhora , ak; M  horný okraj.

Definícia 8.4. Následnosť
zavolalzospodu obmedzené , ak;m  spodný okraj.

Definícia 8.5.Následnosť
zavolalobmedzený ak je ohraničený hore aj dole, teda ak existujú dve reálne čísla M am také, že každý prvok sekvencie
spĺňa nerovnosti:

, (8.3)

maM- spodný a horný okraj
.

Nazývajú sa nerovnosti (8.3) podmienka ohraničenosti sekvencie
.

Napríklad postupnosť
obmedzený, a
neobmedzene.

♦ Vyhlásenie 8.1.
je obmedzený .

Dôkaz. Vyberme si
... Podľa definície 8.5 je postupnosť
bude obmedzený. ■

Definícia 8.6. Následnosť
zavolalneobmedzene ak pre akékoľvek kladné (ľubovoľne veľké) skutočné číslo A existuje najmenej jeden prvok postupnostiX n uspokojenie nerovnosti:
.

Napríklad sekvencia 1, 2, 1, 4, ..., 1, 2 n, ...  neobmedzené, pretože obmedzené iba zdola.

8.3. Nekonečne veľké a nekonečne malé sekvencie.

Definícia 8.7. Následnosť
zavolalnekonečne veľký ak pre akékoľvek (ľubovoľne veľké) reálne číslo A existuje číslo
taký, že pre všetkých
prvkyX n
.

☼ Poznámka 8.1. Ak je postupnosť nekonečne veľká, potom je neobmedzená. Človek by si nemal myslieť, že akákoľvek neobmedzená sekvencia je nekonečne veľká. Napríklad postupnosť
nie je obmedzený, ale nie je nekonečne veľký, pretože podmienkou
dokonca zlyhá pre všetkých n. ☼

 Príklad 8.1.
je nekonečne veľký. Vezmite akékoľvek číslo A> 0. Z nerovnosti
dostaneme n>A... Ak berieš
potom pre všetkých n>N. nerovnosť
, to znamená podľa definície 8.7 sekvencia
nekonečne veľký. 

Definícia 8.8. Následnosť
zavolalnekonečne malý keby pre
(akokoľvek malý ) existuje číslo
taký, že pre všetkých
prvky tejto sekvencie spĺňa nerovnosť
.

 Príklad 8.2. Dokážme, že postupnosť nekonečne malý.

Vezmite akékoľvek číslo
... Z nerovnosti
dostaneme ... Ak berieš
potom pre všetkých n>N. nerovnosť
. 

♦ Vyhlásenie 8.2. Následnosť
je nekonečne veľký pre
a nekonečne málo pre
.

Dôkaz.

1) Najprv
:
, kde
... Podľa Bernoulliho vzorca (príklad 6.3, časť 6.1.)
... Opravíme ľubovoľné kladné číslo A a zvoľte podľa neho číslo N. taká nerovnosť je pravdivá:

,
,
,
.

Pretože
, potom vlastnosťou súčinu reálnych čísel pre všetkých

.

Preto pre
existuje také číslo
že pre všetkých


- nekonečne veľký pri
.

2) Zvážte prípad
,
(o q= 0 máme triviálny prípad).

Nechaj byť
, kde
podľa Bernoulliho vzorca
alebo
.

Opravujeme
,
a vyber si
také, že

,
,
.

Pre

... Uvádzame také číslo N.že pre všetkých

, teda za
subsekvencia
nekonečne malý. ■

8.4. Základné vlastnosti nekonečne malých sekvencií.

♦ Veta 8.1.Sum

a

Dôkaz. Opravujeme ;
- nekonečne malý

,

- nekonečne malý

... Vyberme si
... Potom o

,
,
. ■

♦ Veta 8.2. Rozdiel
dve nekonečne malé sekvencie
a
existuje nekonečne malá sekvencia.

Pre dôkaz vety, stačí použiť nerovnosť. ■

Dôsledok.Algebraický súčet ľubovoľného konečného počtu nekonečne malých sekvencií je nekonečne malou sekvenciou.

♦ Veta 8.3.Produkt ohraničenej sekvencie nekonečne malou sekvenciou je nekonečne malou sekvenciou.

Dôkaz.
- obmedzený,
- nekonečne malá sekvencia. Opravujeme ;
,
;
: o
fér
... Potom
. ■

♦ Veta 8.4.Akákoľvek nekonečne malá sekvencia je obmedzená.

Dôkaz. Opravujeme Nechaj nejaké číslo. Potom
pre všetky čísla n, čo znamená, že sekvencia je obmedzená. ■

Dôsledok. Součin dvoch (a akéhokoľvek konečného počtu) nekonečne malých sekvencií je nekonečne malá sekvencia.

♦ Veta 8.5.

Ak všetky prvky nekonečne malej sekvencie
rovná rovnakému čísluc, potom c = 0.

Dôkaz veta sa vykonáva rozporom, ak označujeme
. ■

♦ Veta 8.6. 1) Ak
Je to teda nekonečne veľká sekvencia, začínajúc od nejakého číslan, je definovaný kvocient dve sekvencie
a
, čo je nekonečne malá sekvencia.

2) Ak všetky prvky nekonečne malej sekvencie
sú nenulové, potom kvocient dve sekvencie
a
je nekonečne veľká sekvencia.

Dôkaz.

1) Nechajte
- nekonečne veľká sekvencia. Opravujeme ;
alebo
o
... Podľa definície 8.8 je teda postupnosť - nekonečne malý.

2) Nechajte
- nekonečne malá sekvencia. Predpokladajme všetky prvky
sú nenulové. Opravujeme A;
alebo
o
... Podľa definície 8.7, sekvencia nekonečne veľký. ■

Nechaj byť X (\ Displaystyle X) je buď množina reálnych čísel R (\ Displaystyle \ mathbb (R)) alebo množina komplexných čísel C (\ Displaystyle \ mathbb (C))... Potom postupnosť (X n) n = 1 ∞ (\ Displaystyle \ (x_ (n) \) _ (n = 1) ^ (\ infty)) prvky sady X (\ Displaystyle X) zavolal číselná postupnosť.

Príklady

Sekvenčné operácie

Následky

Následok sekvencie (X n) (\ Displaystyle (x_ (n))) je postupnosť (X n k) (\ Displaystyle (x_ (n_ (k)))), kde (n k) (\ Displaystyle (n_ (k)))- zvyšujúca sa postupnosť prvkov súboru prirodzených čísel.

Inými slovami, subsekvencia sa získa zo sekvencie odstránením konečného alebo spočítateľného počtu prvkov.

Príklady

• Sekvencia prvočísel je podsekvenciou sekvencie prirodzených čísel.
• Sekvencia násobkov prirodzených čísel je podsekvenciou postupnosti párnych prirodzených čísel.

Vlastnosti

Limitný bod sekvencie je bod, v ktoromkoľvek susedstve, kde je nekonečne veľa prvkov tejto sekvencie. Pre konvergujúce číselné postupnosti je limitný bod rovnaký ako limit.

Sekvenčný limit

Sekvenčný limit je objekt, ku ktorému sa členovia sekvencie približujú so zvyšujúcim sa počtom. V ľubovoľnom topologickom priestore je teda hranicou sekvencie prvok v akomkoľvek susedstve, v ktorom ležia všetky členy sekvencie, počínajúc nejakým. Najmä pre numerické sekvencie je limitom číslo v akomkoľvek susedstve, v ktorom spočívajú všetky členy sekvencie, začínajúc od jedného.

Základné sekvencie

Základná postupnosť (konvergujúca postupnosť , Cauchyho postupnosť ) je postupnosť prvkov metrického priestoru, v ktorej pre akúkoľvek vopred stanovenú vzdialenosť existuje taký prvok, ktorého vzdialenosť od ktoréhokoľvek z nasledujúcich prvkov nepresahuje daný prvok. V prípade numerických sekvencií sú koncepty základných a konvergentných sekvencií ekvivalentné, ale vo všeobecnosti to tak nie je.