keď má sústava rovníc veľa riešení? a dostal najlepšiu odpoveď

Odpoveď od CBETAET [guru]
1) keď je v systéme viac neznámych ako rovníc
2) keď je možné jednu z rovníc systému redukovať na inú pomocou operácií +, - *, / bez delenia a násobenia 0.
3) keď sú v systéme 2 alebo viac rovnakých rovníc (toto špeciálny prípad 2 body).
4) keď je v systéme po niektorých transformáciách neistota.
napríklad x + y = x + y, t.j. 0 = 0.
Veľa štastia!
p.s. nezabudnite poďakovať... to je niečo pekné =))
RS-232
Guru
(4061)
Tu pomôže len hodnosť matice systému. lineárne rovnice.

Odpoveď od Anonim[expert]
mozes byt presnejsi?

Odpoveď od Vladimír[nováčik]
Keď je hodnosť matice z koeficientov služby menšia ako počet neznámych.

Odpoveď od Návštevník z minulosti[guru]
Ak hovoríme o sústave dvoch rovníc s dvoma neznámymi, tak pozri obrázok.

Odpoveď od RS-232[guru]
Keď je poradie matice sústavy lineárnych rovníc menšie ako počet premenných.

Odpoveď od Používateľ bol odstránený[guru]

Odpoveď od Artem kurguzov[nováčik]
Spoločný systém lineárnych rovníc je nedefinovaný, to znamená, že má množinu riešení, ak je poradie spoločného systému menšie ako počet neznámych.
Aby bol systém konzistentný, je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť matice tohto systému rovnala hodnosti jeho rozšírenej matice. (Kroneckerova - Capelliho veta)

Odpoveď od 2 odpovede[guru]

Ahoj! Tu je výber tém s odpoveďami na vašu otázku: kedy má systém rovníc veľa riešení?

Naďalej sa zaoberáme sústavami lineárnych rovníc. Zatiaľ som sa pozeral na systémy, ktoré majú jediné riešenie. Takéto systémy je možné vyriešiť akýmkoľvek spôsobom: substitučná metóda("Škola"), podľa Cramerových vzorcov, maticová metóda, Gaussova metóda... V praxi sú však rozšírené ďalšie dva prípady:

- Systém je nekompatibilný (nemá žiadne riešenia);
- Systém má nekonečne veľa riešení.

Pre tieto systémy sa používa najuniverzálnejšia zo všetkých metód riešenia - Gaussova metóda... V skutočnosti k odpovedi povedie „školská“ cesta, ale v vyššia matematika je zvykom používať Gaussovu metódu postupného odstraňovania neznámych. Pre tých, ktorí nie sú oboznámení s algoritmom Gaussovej metódy, si najskôr prečítajte lekciu Gaussova metóda pre figuríny.

Samotné transformácie elementárnej matice sú úplne rovnaké, rozdiel bude na konci riešenia. Uvažujme najskôr o niekoľkých príkladoch, keď systém nemá žiadne riešenia (nekonzistentné).

Príklad 1

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Čo na tomto systéme okamžite upúta? Počet rovníc je menší ako počet premenných. Ak je počet rovníc menší ako počet premenných, potom môžeme okamžite povedať, že systém je buď nekompatibilný, alebo má nekonečne veľa riešení. A zostáva len zistiť.

Začiatok riešenia je úplne obyčajný - zapíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju uvedieme do stupňovitého tvaru:

(1) Na ľavej hornej priečke musíme získať +1 alebo –1. V prvom stĺpci nie sú žiadne takéto čísla, takže preusporiadanie riadkov nič neprinesie. Jednotka bude musieť byť organizovaná nezávisle, a to možno vykonať niekoľkými spôsobmi. Urobil som toto: K prvému riadku pridáme tretí riadok vynásobený -1.

(2) Teraz dostaneme dve nuly v prvom stĺpci. Do druhého riadku pridáme prvý riadok vynásobený 3. Do tretieho riadku pridáme prvý riadok vynásobený 5.

(3) Po vykonanej transformácii je vždy vhodné pozrieť sa a je možné výsledné čiary zjednodušiť? Môcť. Vydeľte druhý riadok 2 a súčasne získajte požadovanú hodnotu –1 v druhom kroku. Vydeľte tretí riadok -3.

(4) Pridajte druhý riadok k tretiemu riadku.

Pravdepodobne každý upozornil na zlú líniu, ktorá sa ukázala v dôsledku elementárnych transformácií:. Je jasné, že to tak nemôže byť. Výslednú maticu skutočne prepíšeme späť do systému lineárnych rovníc:

Riešenie lineárnych systémov algebraické rovnice(SLAE) je nepochybne najdôležitejšou témou kurzu lineárnej algebry. Veľké množstvoúlohy zo všetkých odvetví matematiky sa redukuje na riešenie sústav lineárnych rovníc. Tieto faktory vysvetľujú dôvod vytvorenia tohto článku. Materiál článku je vybraný a štruktúrovaný tak, aby ste s jeho pomocou mohli

• zvoliť optimálnu metódu riešenia vášho systému lineárnych algebraických rovníc,
• študovať teóriu zvolenej metódy,
• vyriešte svoj systém lineárnych rovníc podrobným zvážením rozložených riešení typické príklady a úlohy.

Stručný popis materiálu článku.

Najprv uvedieme všetky potrebné definície a pojmy a predstavíme notáciu.

Ďalej sa budeme zaoberať metódami riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a ktoré majú jedinečné riešenie. Po prvé sa zastavíme pri Cramerovej metóde, po druhé si ukážeme maticovú metódu riešenia takýchto sústav rovníc a po tretie si rozoberieme Gaussovu metódu (metóda postupnej eliminácie neznámych premenných). Pre upevnenie teórie určite vyriešime niekoľko SLAE rôznymi spôsobmi.

Potom sa obraciame na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc všeobecný pohľad, v ktorom sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych premenných alebo je hlavná matica systému degenerovaná. Sformulujme Kroneckerovu - Capelliho vetu, ktorá nám umožňuje stanoviť kompatibilitu SLAE. Analyzujme riešenie systémov (v prípade ich kompatibility) pomocou konceptu základného minoru matice. Zvážime aj Gaussovu metódu a podrobne popíšeme riešenia príkladov.

Určite sa zastavíme pri štruktúre všeobecného riešenia homogénnych a heterogénne systémy lineárne algebraické rovnice. Uveďme koncept základného systému riešení a ukážme, ako písať spoločné rozhodnutie SLAE pomocou vektorov základného systému riešení. Pre lepšie pochopenie sa pozrime na niekoľko príkladov.

Na záver uvažujeme o sústavách rovníc, ktoré sa redukujú na lineárne, ako aj o rôznych problémoch, pri riešení ktorých vznikajú SLAE.

Navigácia na stránke.

Definície, pojmy, označenia.

Budeme uvažovať sústavy p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými (p sa môže rovnať n) tvaru

Neznáme premenné, - koeficienty (niektoré reálne resp komplexné čísla), - voľné členy (aj reálne alebo komplexné čísla).

Táto forma zápisu SLAE sa nazýva koordinovať.

V matricový formulár zápis, tento systém rovníc má tvar,
kde - hlavná matica systému, - matica-stĺpec neznámych premenných, - matica-stĺpec voľných členov.

Ak k matici A pridáme ako (n + 1) stĺpec maticu-stĺpec voľných členov, dostaneme tzv. rozšírená matrica sústavy lineárnych rovníc. Rozšírená matica je zvyčajne označená písmenom T a stĺpec voľných členov je oddelený zvislou čiarou od zvyšku stĺpcov, tj.

Riešením sústavy lineárnych algebraických rovníc je množina hodnôt neznámych premenných, ktorá premieňa všetky rovnice systému na identity. Maticová rovnica pre dané hodnoty sa neznáme premenné tiež stávajú identitou.

Ak má sústava rovníc aspoň jedno riešenie, potom sa nazýva kĺb.

Ak systém rovníc nemá riešenia, potom sa nazýva nekonzistentné.

Ak má SLAE unikátne riešenie, potom je tzv určitý; ak existuje viac ako jedno riešenie, potom - nedefinované.

Ak sa voľné členy všetkých rovníc sústavy rovnajú nule , potom sa zavolá systém homogénne, inak - heterogénne.

Riešenie elementárnych sústav lineárnych algebraických rovníc.

Ak sa počet rovníc systému rovná počtu neznámych premenných a determinant jeho hlavnej matice sa nerovná nule, potom sa takéto SLAE budú nazývať elementárne... Takéto sústavy rovníc majú jedinečné riešenie a v prípade homogénneho systému sú všetky neznáme premenné rovné nule.

Takéto SLAE sme začali študovať na strednej škole. Pri ich riešení sme zobrali jednu rovnicu, jednu neznámu premennú sme vyjadrili inými a dosadili ju do zvyšných rovníc, potom sme zobrali ďalšiu rovnicu, vyjadrili ďalšiu neznámu premennú a dosadili ju do iných rovníc atď. Alebo použili metódu sčítania, to znamená, že pridali dve alebo viac rovníc na odstránenie niektorých neznámych premenných. Nebudeme sa týmito metódami podrobne zaoberať, pretože sú v skutočnosti modifikáciami Gaussovej metódy.

Hlavnými metódami riešenia elementárnych sústav lineárnych rovníc sú Cramerova metóda, maticová metóda a Gaussova metóda. Poďme si ich analyzovať.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou.

Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť systém lineárnych algebraických rovníc

v ktorej sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a determinant hlavnej matice systému je nenulový, teda.

Nech je determinant hlavnej matice systému a - determinanty matíc, ktoré sa získajú z A nahradením 1., 2., ..., n-tý do stĺpca voľných členov:

Pri tomto zápise sa neznáme premenné vypočítajú pomocou vzorcov Cramerovej metódy as ... Takto sa nájde riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.

Príklad.

Cramerova metóda .

Riešenie.

Hlavná matica systému má tvar ... Vypočítajme jeho determinant (ak je to potrebné, pozri článok):

Keďže determinant hlavnej matice systému je nenulový, systém má jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť Cramerovou metódou.

Zostavme a vypočítajme potrebné determinanty (determinant sa získa nahradením prvého stĺpca v matici A stĺpcom voľných členov, determinant - nahradením druhého stĺpca stĺpcom voľných členov, - nahradením tretieho stĺpca matice A stĺpcom voľných členov ):

Nájdite neznáme premenné podľa vzorcov :

odpoveď:

Hlavnou nevýhodou Cramerovej metódy (ak ju možno nazvať nevýhodou) je zložitosť výpočtu determinantov, keď je počet rovníc v systéme viac ako tri.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou (pomocou inverznej matice).

Nech je sústava lineárnych algebraických rovníc zadaná v maticovom tvare, kde matica A má rozmer n x n a jej determinant je nenulový.

Keďže matica A je invertibilná, to znamená, že existuje inverzná matica. Ak obe strany rovnosti vynásobíme ľavou, dostaneme vzorec na nájdenie stĺpcovej matice neznámych premenných. Tak sme dostali riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc maticová metóda.

Riešenie.

Prepíšme sústavu rovníc do maticového tvaru:

Pretože

potom možno SLAE vyriešiť maticovou metódou. Používaním inverzná matica riešenie tohto systému možno nájsť ako .

Zostrojme inverznú maticu pomocou matice algebraických doplnkov prvkov matice A (ak je to potrebné, pozri článok):

Zostáva vypočítať - maticu neznámych premenných vynásobením inverznej matice do stĺpcovej matice voľných členov (v prípade potreby pozri článok):

odpoveď:

alebo v inom zápise x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hlavným problémom pri hľadaní riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou je zložitosť nájdenia inverznej matice, najmä pre štvorcové matice vyššieho ako tretieho rádu.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť riešenie systému n lineárnych rovníc s n neznámymi premennými
determinant hlavnej matice ktorého je nenulový.

Podstata Gaussovej metódy spočíva v postupnej eliminácii neznámych premenných: najprv je x 1 vylúčené zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou, potom je x 2 vylúčené zo všetkých rovníc, počnúc treťou, atď., až kým iba neznáma premenná xn zostáva v poslednej rovnici. Takýto proces transformácie rovníc systému na postupnú elimináciu neznámych premenných sa nazýva priamym priebehom Gaussovej metódy... Po dokončení dopredného chodu Gaussovej metódy sa z poslednej rovnice zistí x n, pomocou tejto hodnoty sa z predposlednej rovnice vypočíta x n-1 a tak ďalej sa z prvej rovnice zistí x 1. Proces výpočtu neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice systému k prvej sa nazýva spätná Gaussova metóda.

Stručne popíšme algoritmus na elimináciu neznámych premenných.

Budeme predpokladať, že to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Odstráňte neznámu premennú x 1 zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou. Aby sme to urobili, k druhej rovnici systému pridáme prvú, vynásobenú, k tretej rovnici pridáme prvú, vynásobenú atď., K n-tej rovnici pridáme prvú, vynásobenú. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobúda tvar

kde, a .

K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by sme x 1 vyjadrili pomocou iných neznámych premenných v prvej rovnici systému a výsledný výraz dosadili do všetkých ostatných rovníc. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc druhou.

Ďalej postupujeme podobným spôsobom, ale len s časťou výsledného systému, ktorý je vyznačený na obrázku

Aby sme to urobili, do tretej rovnice sústavy pridáme druhú vynásobenú, do štvrtej rovnice pridáme druhú vynásobenú atď., k n-tej rovnici pridáme druhú vynásobenú. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobúda tvar

kde, a ... Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc treťou.

Ďalej pristúpime k eliminácii neznámej x 3, pričom podobne postupujeme aj s časťou sústavy označenou na obr.

Pokračujeme teda v priamom kurze Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu

Od tohto momentu začíname obrátene Gaussova metóda: z poslednej rovnice vypočítame x n, keďže pomocou získanej hodnoty x n nájdeme x n-1 z predposlednej rovnice atď., Z prvej rovnice nájdeme x 1.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Gaussovou metódou.

Riešenie.

Odstráňte neznámu premennú x 1 z druhej a tretej rovnice systému. Ak to chcete urobiť, pridajte zodpovedajúce časti prvej rovnice, vynásobené a čím, k obom stranám druhej a tretej rovnice:

Teraz vylúčime x 2 z tretej rovnice tak, že k jej ľavej a pravej strane pridáme ľavú a pravú stranu druhej rovnice, vynásobíme:

V tomto bode je pohyb vpred Gaussovou metódou ukončený, začíname spätný pohyb.

Z poslednej rovnice výslednej sústavy rovníc zistíme x 3:

Z druhej rovnice dostaneme.

Z prvej rovnice nájdeme zvyšnú neznámu premennú a tým sa dokončí opačný priebeh Gaussovej metódy.

odpoveď:

X1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Vo všeobecnom prípade sa počet rovníc v systéme p nezhoduje s počtom neznámych premenných n:

Takéto SLAE nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať jediné riešenie alebo mať nekonečne veľa riešení. Toto tvrdenie platí aj pre sústavy rovníc, ktorých základná matica je štvorcová a degenerovaná.

Kroneckerova - Capelliho veta.

Pred nájdením riešenia systému lineárnych rovníc je potrebné zistiť jeho kompatibilitu. Odpoveď na otázku, kedy je SLAE kompatibilný a kedy nekompatibilný, dáva Kroneckerova - Capelliho veta:
aby bol systém p rovníc s n neznámymi (p sa môže rovnať n) konzistentný, je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť hlavnej matice systému rovnala hodnosti rozšírenej matice, teda hodnosti (A) = poradie (T).

Uvažujme napríklad o použití Kroneckerovej - Capelliho vety na určenie kompatibility systému lineárnych rovníc.

Príklad.

Zistite, či systém lineárnych rovníc riešenia.

Riešenie.

... Použime metódu ohraničenia maloletých. Minor druhého rádu nenulové. Poďme vyriešiť maloletých tretieho rádu, ktorí s tým hraničia:

Keďže všetky hraničiace neplnoleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, poradie hlavnej matice je dve.

Na druhej strane, hodnosť rozšírenej matice sa rovná trom, keďže tretieho rádu maloletý

nenulové.

teda Rang (A) preto môžeme podľa Kroneckerovej - Capelliho vety usúdiť, že pôvodný systém lineárnych rovníc je nekonzistentný.

odpoveď:

Systém nemá žiadne riešenia.

Takže sme sa naučili určiť nekonzistentnosť systému pomocou Kroneckerovej - Capelliho vety.

Ako však nájsť riešenie pre SLAE, ak bola preukázaná jeho kompatibilita?

Na to potrebujeme koncept základnej moll matice a vetu o hodnosti matice.

Volá sa vedľajší najvyšší rád matice A okrem nuly základné.

Z definície základnej maloletej vyplýva, že jej poradie sa rovná hodnosti matice. Pre nenulovú maticu A môže byť niekoľko základných vedľajších, vždy je jeden základný vedľajší.

Zoberme si napríklad maticu .

Všetky minority tretieho rádu tejto matice sú rovné nule, pretože prvky tretieho riadku tejto matice sú súčtom zodpovedajúcich prvkov prvého a druhého riadku.

Nasledujúce maloletí druhého poriadku sú základné, pretože sú nenulové

maloletí nie sú základné, pretože sa rovnajú nule.

Veta o poradí matice.

Ak sa poradie matice rádu p x n rovná r, potom všetky prvky riadkov (a stĺpcov) matice, ktoré netvoria vybranú základnú minoritu, sú lineárne vyjadrené v zmysle zodpovedajúcich prvkov riadkov ( a stĺpce), ktoré tvoria základnú moll.

Čo nám dáva veta o poradí matice?

Ak sme Kroneckerovou - Capelliho vetou stanovili kompatibilitu systému, potom zvolíme ľubovoľnú základnú menšiu zo základnej matice systému (jej poradie je r) a vylúčime zo systému všetky rovnice, ktoré netvoria zvolená základná moll. Takto získaný SLAE bude ekvivalentný pôvodnému, keďže vyradené rovnice sú stále nadbytočné (podľa vety o poradí matice sú lineárnou kombináciou zostávajúcich rovníc).

Výsledkom je, že po vyradení nepotrebných rovníc systému sú možné dva prípady.

Ak sa počet rovníc r vo výslednej sústave rovná počtu neznámych premenných, potom bude určitý a jediné riešenie možno nájsť Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Príklad.

.

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice systému sa rovná dvom, keďže druhý rád je menší nenulové. Rozšírený Matrix Rank sa tiež rovná dvom, pretože jediný druh z tretieho rádu sa rovná nule

a vedľajší druh druhého poriadku uvažovaný vyššie je nenulový. Na základe Kroneckerovej - Capelliho vety môžeme tvrdiť kompatibilitu pôvodného systému lineárnych rovníc, keďže poradie (A) = poradie (T) = 2.

Berieme ako základnú maloletú ... Tvoria ju koeficienty prvej a druhej rovnice:


Tretia rovnica systému sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju zo systému na základe vety o hodnosti matice vylúčime:


Tak sme dostali elementárny systém lineárnych algebraických rovníc. Poďme to vyriešiť Cramerovou metódou:


odpoveď:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ak je počet rovníc r v získanom SLAE menší ako počet neznámych premenných n, potom v ľavých stranách rovníc ponecháme členy tvoriace základnú moll, ostatné členy sa prenesú do pravo- ručné strany rovníc sústavy s opačným znamienkom.

Volajú sa neznáme premenné (je ich r), ktoré zostávajú na ľavej strane rovníc hlavný.

Neznáme premenné (existuje n - r kusov), ktoré sa objavujú na pravej strane, sa nazývajú zadarmo.

Teraz predpokladáme, že voľné neznáme premenné môžu nadobudnúť ľubovoľné hodnoty a r základných neznámych premenných bude vyjadrené ako voľné neznáme premenné jedinečným spôsobom. Ich vyjadrenie možno nájsť riešením získaných SLAE Cramerovou metódou, maticovou metódou, alebo Gaussovou metódou.

Vezmime si príklad.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Nájdite poradie hlavnej matice systému metódou ohraničenia maloletých. Berieme 1 1 = 1 ako nenulovú vedľajšiu hodnotu prvého poriadku. Začnime hľadať nenulovú moll druhého rádu, ktorá obklopuje tento moll:


Takto sme našli nenulovú minoru druhého rádu. Začnime hľadať nenulovú hraničnú maličkosť tretieho rádu:


Hodnosť hlavnej matice je teda tri. Hodnosť rozšírenej matice je tiež tri, to znamená, že systém je konzistentný.

Ako základný berieme nájdený nenulový vedľajší tretí rád.

Pre názornosť uvádzame prvky, ktoré tvoria základnú moll:


Ponecháme na ľavej strane rovníc systému pojmy, ktoré sa podieľajú na základnej moll, zvyšok prenesieme opačnými znamienkami na pravú stranu:


Voľným neznámym premenným x 2 a x 5 priraďme ľubovoľné hodnoty, teda berieme , kde sú ľubovoľné čísla. V tomto prípade bude mať SLAE formu


Výsledný elementárny systém lineárnych algebraických rovníc je riešený Cramerovou metódou:


Preto, .

Vo svojej odpovedi nezabudnite uviesť voľné neznáme premenné.

odpoveď:

Kde sú ľubovoľné čísla.

Zhrnúť.

Na riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru najprv zistíme jej kompatibilitu pomocou Kroneckerovej - Capelliho vety. Ak sa pozícia hlavnej matice nerovná hodnote rozšírenej matice, potom dospejeme k záveru, že systém je nekompatibilný.

Ak sa hodnosť hlavnej matice rovná hodnosti rozšírenej matice, vyberieme základnú vedľajšiu a zahodíme rovnice systému, ktoré sa nezúčastňujú na tvorbe vybranej základnej vedľajšej.

Ak poradie základnej malo rovná sa číslu neznáme premenné, potom má SLAE jedinečné riešenie, ktoré nájdeme akoukoľvek známou metódou.

Ak je poradie základnej menšej ako počet neznámych premenných, potom na ľavej strane rovníc systému ponecháme členy so základnými neznámymi premennými, zvyšné členy prenesieme na pravú stranu a dať ľubovoľné hodnoty voľným neznámym premenným. Z výslednej sústavy lineárnych rovníc nájdeme hlavné neznáme premenné Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Gaussova metóda na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Gaussovu metódu možno použiť na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc akéhokoľvek druhu bez toho, aby sa najprv skúmala ich kompatibilita. Proces postupnej eliminácie neznámych premenných umožňuje dospieť k záveru o kompatibilite aj nekompatibilite SLAE a ak existuje riešenie, umožňuje ho nájsť.

Z hľadiska výpočtovej práce je výhodnejšia Gaussova metóda.

Sledujte to Detailný popis a analyzoval príklady v článku Gaussova metóda na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Zápis všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych lineárnych algebraických systémov pomocou vektorov základnej sústavy riešení.

V tejto časti sa zameriame na kompatibilné homogénne a nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc s nekonečnou množinou riešení.

Poďme sa najprv zaoberať homogénnymi systémami.

Základný rozhodovací systém Homogénna sústava p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými je množina (n - r) lineárne nezávislých riešení tejto sústavy, kde r je rád základnej moll základnej matice sústavy.

Ak označíme lineárne nezávislé riešenia homogénneho SLAE ako X (1), X (2),…, X (nr) (X (1), X (2),…, X (nr) je n-x-1 stĺpcové matice), potom je všeobecné riešenie tohto homogénneho systému reprezentované vo forme lineárnej kombinácie vektorov základného systému riešení s ľubovoľnými konštantnými koeficientmi С 1, С 2, ..., С (nr), tj. ,.

Čo znamená všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc (oroslau)?

Význam je jednoduchý: vzorec špecifikuje všetky možné riešenia pôvodného SLAE, inými slovami, berie ľubovoľnú množinu hodnôt ľubovoľných konštánt С 1, С 2, ..., С (nr), podľa vzorca získať jedno z riešení pôvodného homogénneho SLAE.

Ak teda nájdeme fundamentálny systém riešení, tak budeme môcť špecifikovať všetky riešenia tohto homogénneho SLAE as.

Ukážme si proces konštrukcie základného systému riešení homogénneho SLAE.

Z pôvodného systému lineárnych rovníc zvolíme základnú moll, vylúčime zo systému všetky ostatné rovnice a všetky členy obsahujúce voľné neznáme premenné prenesieme na pravú stranu rovníc systému s opačnými znamienkami. Voľným neznámym premenným dajme hodnoty 1,0,0, ..., 0 a základné neznáme vypočítame riešením výslednej elementárnej sústavy lineárnych rovníc akýmkoľvek spôsobom, napríklad Cramerovou metódou. To dá X (1) - prvé riešenie základného systému. Ak sa dáva zadarmo neznáma hodnota 0,1,0,0, ..., 0 a vypočítame hlavné neznáme, potom dostaneme X (2). Atď. Ak voľným neznámym premenným dáme hodnoty 0,0, ..., 0,1 a vypočítame základné neznáme, dostaneme X (n-r). Takto bude skonštruovaný základný systém riešení homogénneho SLAE a jeho všeobecné riešenie môže byť zapísané vo forme.

Pre nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc je všeobecné riešenie reprezentované v tvare, kde je všeobecné riešenie zodpovedajúceho homogénneho systému a je partikulárnym riešením pôvodného nehomogénneho SLAE, ktoré získame tak, že voľným neznámym dáme hodnoty ​​0,0, ..., 0 a výpočet hodnôt hlavných neznámych.

Poďme sa pozrieť na príklady.

Príklad.

Nájdite základnú sústavu riešení a všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice homogénnych sústav lineárnych rovníc sa vždy rovná hodnosti rozšírenej matice. Nájdime poradie hlavnej matice metódou ohraničenia maloletých. Ako nenulový minor prvého rádu berieme prvok a 1 1 = 9 hlavnej matice systému. Nájdite hraničnú nenulovú vedľajšiu skupinu druhého poriadku:

Bola nájdená nenulová neplnoletá osoba druhého poriadku. Prejdime si cez neplnoletých tretieho rádu, ktorí s ním hraničia, a hľadajme nenulové číslo:

Všetky hraničné minority tretieho rádu sú rovné nule, preto je poradie hlavnej a rozšírenej matice rovné dvom. Berte ako základné vedľajšie. Kvôli prehľadnosti si všimneme prvky systému, ktoré ho tvoria:

Tretia rovnica pôvodného SLAE sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju možno vylúčiť:

Ponecháme na pravej strane rovníc členy obsahujúce hlavné neznáme a na pravej strane prenesieme členy s voľnými neznámymi:

Zostavme základnú sústavu riešení pôvodnej homogénnej sústavy lineárnych rovníc. Základný systém riešení tohto SLAE pozostáva z dvoch riešení, keďže pôvodný SLAE obsahuje štyri neznáme premenné a poradie jeho základnej minor sú dve. Na nájdenie X (1) priradíme voľným neznámym premenným hodnoty x 2 = 1, x 4 = 0, potom nájdeme hlavné neznáme zo sústavy rovníc
.

Skúmať kompatibilitu systému lineárnych agebraických rovníc (SLAE) znamená zistiť, či má tento systém riešenia alebo nie. Ak existujú riešenia, uveďte, koľko ich je.

Potrebujeme informácie z témy "Sústava lineárnych algebraických rovníc. Základné pojmy. Maticový zápis". Potrebujeme najmä také pojmy ako matica systému a rozšírená matica systému, pretože práve na nich je založená formulácia Kronecker-Capelliho vety. Ako obvykle, matica systému bude označená písmenom $ A $ a rozšírená matica systému písmenom $ \ widetilde (A) $.

Kronecker-Capelliho veta

Sústava lineárnych algebraických rovníc je konzistentná práve vtedy, ak sa hodnosť matice systému rovná hodnosti rozšírenej matice systému, t.j. $ \ zvonilo A = \ zvonilo \ widetilde (A) $.

Dovoľte mi pripomenúť, že systém sa nazýva spoločný, ak má aspoň jedno riešenie. Kronecker-Capelliho veta hovorí nasledovné: ak $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $, potom existuje riešenie; ak $ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $, potom tento SLAE nemá žiadne riešenia (nekonzistentné). Odpoveď na otázku o počte týchto riešení dáva dôsledok Kronecker-Capelliho vety. Vo formulácii následku sa používa písmeno $ n $, ktoré sa rovná počtu premenných daného SLAE.

Dôsledok Kronecker-Capelliho vety

1. Ak $ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $, potom je SLAE nekonzistentné (nemá žiadne riešenia).
2. Ak $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Ak $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) = n $, potom je SLAE určitý (má presne jedno riešenie).

Všimnite si, že vyššie uvedená veta a jej dôsledok nenaznačujú, ako nájsť riešenie SLAE. S ich pomocou sa dá len zistiť, či tieto riešenia existujú alebo nie, a ak existujú, tak koľko.

Príklad #1

Preskúmajte SLAE $ \ vľavo \ (\ začiatok (zarovnané) & -3x_1 + 9x_2-7x_3 = 17; \\ & -x_1 + 2x_2-4x_3 = 9; \\ & 4x_1-2x_2 + 19x_3 = -42. \ Koniec (zarovnané ) \ správne $ pre kompatibilitu Ak je SLAE kompatibilný, uveďte počet riešení.

Na zistenie existencie riešení daného SLAE použijeme Kroneckerovu-Capelliho vetu. Potrebujeme maticu systému $ A $ a rozšírenú maticu systému $ \ widetilde (A) $, zapíšeme si ich:

$$ A = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \ koniec (pole) \ vpravo); \; \ widetilde (A) = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc | c) -3 & 9 & -7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9 \\ 4 & -2 & 19 & -42 \ koniec (pole) \ vpravo). $$

Nájdite $ \ rang A $ a $ \ rang \ widetilde (A) $. Existuje mnoho spôsobov, ako to urobiť, niektoré z nich sú uvedené v sekcii Matrix Rank. Na štúdium takýchto systémov sa zvyčajne používajú dve metódy: "Výpočet hodnosti matice podľa definície" alebo "Výpočet hodnosti matice metódou elementárnych transformácií".

Metóda číslo 1. Výpočet hodností podľa definície.

Podľa definície je poradie najvyššieho rádu minority matice, medzi ktorými je aspoň jedna nenulová. Štúdium zvyčajne začína u neplnoletých osôb prvého rádu, ale tu je vhodnejšie okamžite začať s výpočtom neplnoletého tretieho poriadku matice $ A $. Prvky tretieho rádu sú v priesečníku troch riadkov a troch stĺpcov uvažovanej matice. Keďže matica $ A $ obsahuje len 3 riadky a 3 stĺpce, determinantom matice $ A $ je 3. rád vedľajší matice $ A $, t.j. $ \ Delta A $. Na výpočet determinantu použijeme vzorec č. 2 z témy "Vzorce na výpočet determinantov druhého a tretieho rádu":

$$ \ Delta A = \ vľavo | \ begin (pole) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \ end (pole) \ vpravo | = -21. $$

Existuje teda minorita tretieho rádu matice $ A $, ktorá sa nerovná nule. Nie je možné vytvoriť moll štvrtého rádu, pretože vyžaduje 4 riadky a 4 stĺpce a v matici $ A $ sú iba 3 riadky a 3 stĺpce. Takže najvyššie poradie neplnoletých matice $ A $, medzi ktorými je aspoň jeden nie rovná nule, sa rovná 3. Preto $ \ rang A = 3 $.

Musíme tiež nájsť $ \ rang \ widetilde (A) $. Pozrime sa na štruktúru matice $ \ widetilde (A) $. Matica $ \ widetilde (A) $ obsahuje prvky matice $ A $ a zistili sme, že $ \ Delta A \ neq 0 $. Preto matica $ \ widetilde (A) $ má vedľajšiu hodnotu tretieho rádu, ktorá nie je nulová. Nedokážeme zložiť minority štvrtého rádu matice $ \ widetilde (A) $, a preto sme dospeli k záveru: $ \ rang \ widetilde (A) = 3 $.

Keďže $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $, podľa Kronecker-Capelliho vety je systém konzistentný, t.j. má riešenie (aspoň jedno). Na označenie počtu riešení zoberme do úvahy, že náš SLAE obsahuje 3 neznáme: $ x_1 $, $ x_2 $ a $ x_3 $. Keďže počet neznámych je $ n = 3 $, usúdime: $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) = n $, teda podľa následku z Kronecker-Capelliho vety je systém určitý, t.j. má len jedno riešenie.

Problém bol vyriešený. Aké sú nevýhody a výhody tadiaľto? Najprv si povedzme o plusoch. Najprv sme potrebovali nájsť jeden determinant. Potom sme okamžite urobili záver o počte riešení. Zvyčajne sa v štandardných štandardných výpočtoch uvádzajú sústavy rovníc, ktoré obsahujú tri neznáme a majú jedinečné riešenie. Pre takéto systémy túto metódu je to veľmi pohodlné, pretože vopred vieme, že existuje riešenie (inak by v typickom výpočte nebol žiadny príklad). Tie. musíme len ukázať prítomnosť riešenia z najviac rýchly spôsob... Po druhé, vypočítaná hodnota determinantu matice systému (teda $ \ Delta A $) sa nám bude hodiť potom: keď daný systém začneme riešiť Cramerovou metódou alebo pomocou inverznej matice.

Metóda výpočtu poradia je však z definície nežiaduca, ak je matica systému $ A $ pravouhlá. V tomto prípade je lepšie použiť druhú metódu, o ktorej sa bude diskutovať nižšie. Navyše, ak $ \ Delta A = 0 $, potom nemôžeme povedať nič o počte riešení daného nehomogénneho SLAE. Možno má SLAE nekonečné množstvo riešení, možno žiadne. Ak $ \ Delta A = 0 $, potom je potrebný ďalší výskum, ktorý je často ťažkopádny.

Zhrnutím toho, čo bolo povedané, poznamenávam, že prvá metóda je dobrá pre tie SLAE, v ktorých je matica systému štvorcová. V tomto prípade samotný SLAE obsahuje tri alebo štyri neznáme a je prevzatý zo štandardných typických výpočtov alebo kontrolných prác.

Metóda číslo 2. Výpočet poradia metódou elementárnych transformácií.

Táto metóda je podrobne popísaná v súvisiacej téme. Začneme počítať hodnosť matice $ \ widetilde (A) $. Prečo práve matice $ \ widetilde (A) $ a nie $ A $? Faktom je, že matica $ A $ je súčasťou matice $ \ widetilde (A) $, preto pri výpočte hodnosti matice $ \ widetilde (A) $ súčasne nájdeme hodnosť matice $ A $.

\ begin (zarovnané) & \ widetilde (A) = \ vľavo (\ begin (pole) (ccc | c) -3 & 9 & -7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9 \\ 4 & - 2 & 19 & -42 \ koniec (pole) \ vpravo) \ šípka vpravo \ vľavo | \ text (prehoďte prvý a druhý riadok) \ vpravo | \ šípka vpravo \\ & \ šípka vpravo \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 & -7 & 17 \\ 4 & -2 & 19 & - 42 \ koniec (pole) \ doprava) \ začiatok (pole) (l) \ fantóm (0) \\ r_2-3r_1 \\ r_3 + 4r_1 \ koniec (pole) \ šípka doprava \ doľava (\ začiatok (pole) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10 \\ 0 & 6 & 3 & -6 \ koniec (pole) \ vpravo) \ začiatok (pole) (l) \ fantóm ( 0 ) \\ \ fantóm (0) \\ r_3-2r_2 \ koniec (pole) \ šípka doprava \\ & \ šípka doprava \ doľava (\ začiatok (pole) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10 \\ 0 & 0 & -7 & 14 \ koniec (pole) \ vpravo) \ koniec (zarovnaný)

Maticu $ \ widetilde (A) $ sme transformovali do stupňovitého tvaru. Výsledná stupňovitá matica má tri nenulové riadky, takže jej poradie je 3. Hodnosť matice $ \ widetilde (A) $ je teda 3, tj. $ \ rang \ widetilde (A) = 3 $. Pri transformáciách s prvkami matice $ \ widetilde (A) $ sme súčasne transformovali prvky matice $ A $, umiestnené až po čiaru. Matica $ A $ je tiež stupňovitá: $ \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & -7 \ koniec (pole) \ vpravo ) $. Záver: poradie matice $ A $ sa tiež rovná 3, t.j. $ \ zazvonil A = 3 $.

Keďže $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $, podľa Kronecker-Capelliho vety je systém konzistentný, t.j. má riešenie. Na označenie počtu riešení zoberme do úvahy, že náš SLAE obsahuje 3 neznáme: $ x_1 $, $ x_2 $ a $ x_3 $. Keďže počet neznámych je $ n = 3 $, usúdime: $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) = n $, preto je podľa záveru z Kronecker-Capelliho vety systém definovaný, t.j. má len jedno riešenie.

Aké sú výhody druhej metódy? Hlavnou výhodou je jeho všestrannosť. Vôbec nám nezáleží na tom, či je matica sústavy štvorcová alebo nie. Okrem toho sme vlastne realizovali transformácie dopredného priebehu Gaussovej metódy. Zostáva už len pár akcií a mohli by sme získať riešenie tohto SLAE. Úprimne povedané, druhý spôsob sa mi páči viac ako prvý, ale výber je vecou vkusu.

Odpoveď: Daný SLAE je konzistentný a definovaný.

Príklad č.2

Preskúmajte SLAE $ \ vľavo \ (\ začiatok (zarovnané) & x_1-x_2 + 2x_3 = -1; \\ & -x_1 + 2x_2-3x_3 = 3; \\ & 2x_1-x_2 + 3x_3 = 2; \\ & 3x_1- 2x_2 + 5x_3 = 1; \\ & 2x_1-3x_2 + 5x_3 = -4. \ Koniec (zarovnaný) \ vpravo. $ Kvôli kompatibilite.

Hodnosti matice sústavy a rozšírenej matice sústavy nájdeme metódou elementárnych transformácií. Rozšírená systémová matica: $ \ widetilde (A) = \ vľavo (\ begin (pole) (ccc | c) 1 & -1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \ koniec (pole) \ vpravo) $. Nájdite požadované poradia transformáciou rozšírenej matice systému:

$$ \ vľavo (\ begin (pole) (ccc | c) 1 & -1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \ koniec (pole) \ vpravo) \ začiatok (pole) (l) \ fantóm (0) \\ r_2 + r_1 \\ r_3-2r_1 \\ r_4 -3r_1 \\ r_5-2r_1 \ koniec (pole) \ šípka doprava \ doľava (\ začiatok (pole) (ccc | c) 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \ koniec (pole) \ vpravo) \ začiatok (pole) (l) \ fantóm (0) \\ \ fantóm (0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-r_2 \\ r_5 + r_2 \ koniec (pole) \ šípka doprava \\ $$ $$ \ šípka doprava \ doľava (\ begin (pole) (ccc | c) 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ koniec (pole) \ vpravo) \ začiatok (pole) (l) \ fantóm (0) \\\ fantóm (0) \\\ fantóm (0) \\ r_4-r_3 \\\ fantóm (0) \ koniec (pole) \ šípka vpravo \ vľavo (\ begin (pole) (ccc | c) 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ koniec (pole) \ vpravo) $$

Rozšírená matica systému je stupňovitá. Hodnosť stupňovitej matice sa rovná počtu jej nenulových riadkov, preto $ \ rang \ widetilde (A) = 3 $. Matica $ A $ (do bodky) je tiež zredukovaná na stupňovitý tvar a jej poradie je 2, $ \ rang (A) = 2 $.

Keďže $ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $, podľa Kronecker-Capelliho vety je systém nekonzistentný (t. j. nemá žiadne riešenia).

Odpoveď: Systém je nekonzistentný.

Príklad č.3

Preskúmajte SLAE $ \ vľavo \ (\ začiatok (zarovnané) & 2x_1 + 7x_3-5x_4 + 11x_5 = 42; \\ & x_1-2x_2 + 3x_3 + 2x_5 = 17; \\ & -3x_1 + 9x_2-11_5x_3-7x \\ & -5x_1 + 17x_2-16x_3-5x_4-4x_5 = -90; \\ & 7x_1-17x_2 + 23x_3 + 15x_5 = 132. \ Koniec (zarovnaný) \ vpravo. $ Kvôli kompatibilite.

Rozšírenú maticu systému prinášame do stupňovitej podoby:

$$ \ vľavo (\ begin (pole) (ccccc | c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \ koniec (pole) \ vpravo) \ presah (r_1 \ leftrightarrow (r_3)) (\ rightarrow) $$ $$ \ rightarrow \ left (\ begin (pole) (ccccc | c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \ koniec (pole) \ vpravo) \ začiatok (pole) (l) \ fantóm (0) \\ r_2-2r_1 \\ r_3 + 3r_1 \\ r_4 + 5r_1 \\ r_5-7r_1 \ koniec ( pole) \ šípka doprava \ doľava (\ začiatok (pole) (ccccc | c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8 \\ 0 & 3 & - 2 & 0 & -1 & -13 \\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \ koniec (pole) \ vpravo) \ začiatok ( pole) (l) \ fantóm (0) \\ \ fantóm (0) \\ 4r_3 + 3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5 + 3r_2 \ koniec (pole) \ šípka doprava $$ \ šípka doprava \ doľava (\ začiatok (pole) ) (ccccc | c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \ koniec (pole) \ vpravo) \ začiatok (pole) (l) \ fantóm (0) \\ \ fantóm (0) \\\ fantóm (0) \\ r_4 -r_3 \\ r_5 + r_2 \ koniec (pole) \ šípka doprava \ doľava (\ začiatok (pole) (ccccc | c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 a 8 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ koniec (pole) \vpravo) $$

Rozšírenú maticu systému a samotnú maticu systému sme priviedli do stupňovitej formy. Hodnosť rozšírenej matice systému je tri, poradie matice systému je tiež tri. Keďže systém obsahuje $ n = 5 $ neznámych, t.j. $ \ rang \ widetilde (A) = \ rang (A) \ lt (n) $, potom podľa následku Kronecker-Capelliho vety tento systém je nedefinovaný, t.j. má nekonečné množstvo riešení.

Odpoveď: systém nie je definovaný.

V druhej časti rozoberieme príklady, ktoré sú často zahrnuté v typických výpočtoch resp testovacie papiere vo vyššej matematike: štúdia kompatibility a riešenie SLAE v závislosti od hodnôt parametrov, ktoré sú v nej zahrnuté.