Kapitola 3 VZŤAHY A PROPORCIE

S pomocou proporcií môžete vyriešiť problémy.

Viete napríklad, že hodnota produktu závisí od jeho množstva: čím viac sa produkt kúpi, tým väčšia bude jeho hodnota. Takéto množstvá sa nazývajú priamo úmerné.

Pamätajte si!

Dve veličiny sa nazývajú priamo úmerné, ak keď sa jedno množstvo zvýši (zníži) niekoľkokrát, druhé množstvo sa zvýši (zníži) rovnakým počtom krát.

Problém 1. Za 2 kg sladkostí zaplatili 72 UAH. Koľko bude stáť 4,5 kg týchto sladkostí?

Riešenia.

Poznámka:

ak sú dve veličiny priamo úmerné, potom je podiel tvorený pomermi zodpovedajúcich hodnôt týchto veličín.

V praxi existuje okrem priamej proporcionálnej závislosti veličín aj inverzná proporcionálna závislosť. Napríklad cestou do školy, keď vám dochádza čas, zvýšite rýchlosť, aby ste neprišli neskoro do triedy. Rýchlosť vášho pohybu preto závisí od frekvencie pohybu: čím kratší je čas pohybu, tým bude vaša rýchlosť väčšia. Takéto množstvá sa nazývajú inverzné proporcionálne.

Pamätajte si!

Dve veličiny sa nazývajú nepriamo úmerné, ak keď sa jedna veličina niekoľkokrát zvýši (zníži), druhé množstvo sa zníži (zvýši) rovnakým počtom krát.

Problém 2. Auto pohybujúce sa rýchlosťou 90 km / h prešlo vzdialenosť z Čerkassy do Kyjeva za 2 h 3 akou rýchlosťou sa pohyboval obrátený smer, ak prejde vzdialenosť z Kyjeva do Čerkassy za 2.5 h?

Riešenia.

Poznámka:

ak sú dve veličiny nepriamo úmerné, potom je podiel tvorený vzájomne inverznými vzťahmi zodpovedajúcich hodnôt týchto veličín.

Sú tieto dve veličiny vždy priamo úmerné alebo nepriamo úmerné? Poďme špekulovať. Napríklad počas choroby môže teplota dieťaťa stúpať a klesať v priebehu niekoľkých dní. A tu neexistuje žiadna závislosť, čo znamená, že nemôže existovať žiadna proporcionalita. Rast dieťaťa sa ale s pribúdajúcim vekom neustále zvyšuje. V dôsledku toho existuje vzťah medzi veličinami, čo znamená, že existuje dôvod analyzovať proporcionálne dané veličiny. Je zrejmé, že tu neexistuje žiadna proporcionálna závislosť, preto nie je potrebné presne zisťovať, ako tieto proporcionálne veličiny priamo alebo nepriamo. Ak sú dve veličiny proporcionálne, potom sú možné iba dve možnosti, ktoré sa navzájom vylučujú - buď priama proporcionalita, alebo inverzná proporcionalita.

Dozvedieť sa viac

Meno talianskeho matematického mnícha je nepriamo spojené s históriou zlatého rezu Leonardo z Pisy (1180-1240 s.), lepšie známy ako Fibonacci (syn Bonacciho).

Veľa cestoval po Východe, zoznámil Európu s indickými (arabskými) číslicami. V roku 1202 vyšlo jeho matematické dielo „Kniha abakus“ (počítacie tabule), v ktorom boli zhromaždené všetky v tom čase známe problémy. Jednou z úloh bolo: „Koľko párov králikov sa narodí z jedného páru za jeden rok?“ Na základe tejto témy zostavil Fibonacci nasledujúcu sériu čísel:

0, 1, 1,2, 3, 5, 8, 13,21, 34,55, ... .

Táto postupnosť čísel je teraz známa ako Fibonacciho séria. Zvláštnosťou tejto postupnosti čísel je, že každý z jej členov, počnúc tretím, sa rovná súčtu predchádzajúce dva:

0 + 1 = 1; 1+1 = 2; 1+2 = 3; 2 + 3 = 5;

3 + 5 = 8; 5 + 8=13; 8 + 13 = 21; 13 + 21=34

podobne, a pomer susedných čísel v sérii sa blíži k pomeru zlatého rezu. Napríklad:

21: 34 = 0,617, a34: 55 = 0,618.

PRIPOMENTE SI HLAVNÝ

1. Aké množstvá sa nazývajú priamo úmerné? Uveďte príklady.

2. Ako sa riešia problémy priamej proporcionality?

3. Aké veličiny sa nazývajú inverzné proporcionálne? Uveďte príklady.

4. Riešim problémy s inverznou proporcionalitou?

5. Sú tieto dve veličiny vždy proporcionálne?

589 ". Dve veličiny sú priamo úmerné. Ako sa jedno množstvo zmení, ak druhé: a) zvýši 5 -krát; b) zníži 2 -krát?

Vysvetlite odpoveď.

590 ". Podľa stavu problému bol vytvorený skrátený zápis:

1)3-36, 2) 70-3, 3) 2-100,

4-48; 60-2; 4-50.

Sú tieto hodnoty priamo úmerné?

591 ". Dve veličiny sú nepriamo úmerné. Ako sa jedno množstvo zmení, ak druhé:

a) sa zvýši 4 -krát; b) znížiť o 6 -krát?

Vysvetlite odpoveď.

592 ". Podľa stavu problému bol vyhotovený skrátený zápis:

1) 80-4, 2)3-18, 3)10-8,

160 - 2; 5 - 30; 4 - 20.

Sú tieto hodnoty nepriamo úmerné?

593 °. Zistite, či je priamo úmerná danú závislosť množstvo:

1) hodnota tovaru zakúpeného za jednu cenu a množstvo tovaru;

2) hmotnosť bonboniéry a počet rovnakých čokolád v krabici;

3) dráha, ktorou auto prešlo konštantnou rýchlosťou, a čas pohybu;

4) rýchlosť pohybu a čas pohybu na prekonanie určitej vzdialenosti;

5) hmotnosť a výška osoby;

b) hmotnosť bobúľ a hmotnosť cukru na výrobu džemu;

7) obvod obdĺžnika a dĺžka jednej z jeho strán;

8) dĺžka strany štvorca a jeho obvodu.

594 °. Pomocou stenografického zápisu problému nájdite x, ak sú množstvá priamo úmerné.

1) 3 kg sladkostí - 36 UAH, 2) 15 kusov - 3 hodiny,

6 kg sladkostí x; x -2 hodiny.

595 °. Koľko stojí 10 kg sladkostí, ak za 4 kg týchto sladkostí zaplatili 128 UAH?

596 °. Za 3 kg jabĺk sme zaplatili 24 UAH. Koľko stojí 7 kg takýchto jabĺk?

597 °. Za 4 hodiny loď preplávala 80 km. Ako ďaleko bude loď plávať za 2 hodiny a bude sa pohybovať rovnakou rýchlosťou?

598 °. Turista prešiel 20 km za 5 hodín. Koľko hodín prejde turista vzdialenosť 28 km, pričom sa pohybuje rovnakou rýchlosťou?

599 °. Pri pečení chleba sa z 1 kg ražnej múky získa 1,4 kg chleba. Koľko múky potrebujete na získanie 42 centov chleba?

600 °. Z 3 kg surových kávových zŕn sa získa 2,5 kg pražených zŕn. Koľko kilogramov surových kávových zŕn potrebujete na získanie 10 kilogramov praženej kávy?

601 °. Automobil prešiel vzdialenosť 210 km za 3 hodiny. Aká vzdialenosť je jednoduchšia ako auto za 2 hodiny a pohybovať sa rovnakou rýchlosťou?

602 °. Bezchvostý gibbon opice, skákajúci zo stromu na strom, prejde vzdialenosť 32 km 2 hodiny. Ako ďaleko môže gibbon cestovať za 3 hodiny?

603 °. Určte, či je daná závislosť hodnôt nepriamo úmerná:

1) cena tovaru a kúpna cena;

2) hmotnosť bonboniéry a jej cena;

3) rýchlosť pohybu a čas pohybu na prekonanie určitej vzdialenosti;

4) rýchlosť vozidla a dráha, ktorou prešiel konštantnou rýchlosťou;

5) množstvo vykonanej práce a čas potrebný na jej dokončenie;

6) produktivita práce a čas na vykonanie určitého množstva práce;

7) počet vozidiel a nákladu, ktorý za určitý čas prepravia;

8) dĺžka strany štvorca a jeho plocha.

604 °. Pomocou skrátenej notácie problému nájdite x, ak sú hodnoty nepriamo úmerné.

1) 3 hodiny - 80 km / h, 2) 5-8 pracovných dní,

4 h - x; x -10 dní.

605 °. Objednávku na výrobu nábytku splnili 3 stolári za 12 dní. Koľko dní bude trvať 6 tesárov dokončiť objednávku, ak je ich produktivita rovnaká?

606 ° Koľko dní splní 6 pracovníkov úlohu, ak 2 pracovníci môžu túto úlohu dokončiť za 9 dní?

607 °. Červený klokan sa pohyboval 3 hodiny rýchlosťou 55 km / h. Aká by mala byť rýchlosť klokana, ktorý prejde túto vzdialenosť za 2,5 hodiny?

608 °. Aká by mala byť rýchlosť vlaku podľa nového grafikonu, aby bola vzdialenosť medzi dvoma stanicami prekonaná za 4 hodiny, ak sa podľa starého grafikonu pohybovala rýchlosťou 100 km / h, prekonala ju za 5 hodín ?

609. Za 4 kg sušienok zaplatili 56 UAH. Koľko budú stáť 3 kg sladkostí, ktorých cena je o 2 UAH viac ako cena sušienok?

610,5 kg jabĺk stálo 40 UAH. Nájdite náklady na 2 kg hrušiek, ktorých cena je o 4 UAH vyššia ako cena jabĺk.

611. Kyvadlo nástenných hodín vydá 730 vibrácií za 15 minút. Koľko zaváhaní urobí za 1 hodinu? Ako dlho trvá, kým kyvadlo urobí 2190 oscilácií?

612. Natalya zaplatila 60 hrivien za 24 zošitov. Koľko stojí 20 takýchto notebookov? Koľko takýchto notebookov si môžete kúpiť za 45 UAH?

613. V plechovke je 12 litrov mlieka. Nalialo sa rovnomerne do 6 plechoviek. Koľko litrov mlieka je v každej plechovke? Koľko trojlitrových pohárov môžem naplniť mliekom z tejto plechovky?

614. Vodovodným kohútikom vytečie za minútu 6 litrov vody. Koľko vody vytečie z kohútika za pol hodinu? Ako dlho bude trvať, kým z kohútika vytečie 27 litrov vody?

615. Vzdialenosť medzi stanicami je 360 ​​km. Ako dlho bude trvať vlak tejto vzdialenosti, ktorá prejde 90 km za hodinu? Aká by mala byť rýchlosť vlaku, aby dokázal túto vzdialenosť prejsť za 4 hodiny a 30 minút?

616. Vzdialenosť medzi obcami je 18 km. Ako dlho je táto vzdialenosť jednoduchšia pre cyklistu s rýchlosťou 12 km / h? Ako rýchlo sa musí chodec pohybovať, aby prešiel túto vzdialenosť za 6 hodín?

617. Dva traktory zorali pole za 6 dní. Koľko dní bude trvať, kým sa 4 traktory rozbijú v tejto oblasti, ak pracujú s rovnakou produktivitou práce? Koľko traktorov je potrebných na zoranie tohto poľa za 2 dni?

618. Osem nákladných automobilov môže prepraviť náklad do 3 dní. Koľko dní bude trvať 6 takýchto nákladných automobilov na prepravu nákladu? Koľko nákladných automobilov bude potrebných na prepravu tohto nákladu za 2 dni?

619. Vytvorte a vyriešte problém na:

1) priama úmernosť, na riešenie ktorej musíte urobiť pomer

2) inverzná proporcionalita, na riešenie ktorej musíte vytvoriť pomer x: 4 = 120: 160.

620. Vytvorte a vyriešte problém na: 1) priamej úmernosti, na riešenie ktorej musíte vytvoriť proporciu

2) inverzná proporcionalita, na riešenie ktorej musíte vytvoriť pomer 3: x = 90: 60.

621 *. Tarasik môže ísť od Železničná stanica do dediny za 20 minút. Ako dlho mu bude trvať cestovanie na bicykli zo stanice do dediny, ak je rýchlosť jeho pohybu na bicykli 2 -krát vyššia ako rýchlosť pohybu pešo?

622 *. Majster, ktorý pracuje samostatne, dokončí prácu za 3 dni a spolu so študentom za 2 dni. Koľko dní môže študent vykonávať túto prácu sám?

623 *. Dima odbehne 4 pásy na bežiacom páse v rovnakom čase, ako Katya zabehne 3 kolá. Katya odbehla 12 kôl. Koľko kôl za tento čas odbehla Dima?

624 *. Bazén je možné odčerpať za 1 hodinu 15 minút. Ako dlho po začiatku práce zostane v bazéne 0,2 z množstva vody, ktorá bola na začiatku?

POUŽIŤ V PRAXI

625. Na vytlačenie knihy malo byť umiestnených 28 riadkov na každú stranu, 40 písmen na každý riadok. Ukázalo sa však, že je účelnejšie umiestniť na každú stránku 35 riadkov. Koľko písmen teda bude umiestnených na každom riadku počas tlače tejto knihy, ak sa počet písmen na stránke nezmení?

626. Na výrobu 12 koláčov musíte vziať proteín z jedného vajíčka a 3 polievkové lyžice cukru. Koľko z týchto produktov potrebujete na prípravu 24 takýchto dávok? Koľko z týchto koláčov vyjde, ak budú 3 vajíčka?

OPAKUJTE ÚLOHY

627. Aké číslo by malo byť zadané v poslednej bunke reťazca?

628. Vyriešte rovnicu:

Matematika je základom a kráľovnou všetkých vied a radím vám, aby ste sa s ňou spriatelili, priateľka. Ak sa budete riadiť jej múdrymi zákonmi, zvýšite svoje znalosti, začnete ich uplatňovať. Môžete plávať na mori, môžete lietať vo vesmíre. Môžete postaviť dom pre ľudí: Bude stáť sto rokov. Nebuďte leniví, tvrdo pracujte, skúšajte, Učte sa soľ vied. Skúste všetko dokázať, ale neúnavne.

3 Voľba odpovede s príslušným písmenom skrytého slova: 17-v; 7-l; 0,1 a; 14-s; 0,2-a; 25-k. Nájdite chýbajúce čísla a rozpoznajte slovo: 3 +37: 5 3,3 +4,1 :, 45 :, 7 5,6: 0,7: 2 0 +4,8: 26 slovo, 9 50,050,1 0,050,337 80,45,20,2 s a la Toto slovo je sila. Motto hodiny: Moc je vo vedomostiach! Hľadám, potom sa učím!

Priama úmerná závislosť je taká závislosť veličín, pri ktorej ... Inverzná úmerná závislosť je taká závislosť veličín, pri ktorých ... Nájsť neznámy extrémny člen pomeru ... Stredný člen pomeru je ... Pomer je správny, ak ...

C) ... s niekoľkonásobným nárastom jednej hodnoty, druhá klesá o rovnakú hodnotu. X) ... súčin extrémnych výrazov sa rovná súčinu stredných pojmov pomeru. A) ... s niekoľkonásobným nárastom jednej hodnoty sa druhá zvyšuje o rovnakú sumu. P) ... musíte vydeliť súčin stredných pojmov pomeru známym extrémnym výrazom. Y) ... keď sa jedna hodnota zvýši niekoľkokrát, druhá sa zvýši o rovnakú sumu. E) ... pomer súčinu extrémnych výrazov k známemu priemeru

4. Rýchlosť vozidla a doba jazdy sú nepriamo úmerné. 5. Rýchlosť a prejdená vzdialenosť vozidla sú nepriamo úmerné. 6. Dve veličiny sa nazývajú nepriamo úmerné, ak keď je jedna z nich zdvojnásobená, druhá je znížená na polovicu.

Pozrime sa na odpovede:

Riešenie. Počet buldozérov Čas. (Min) x Definujeme závislosť a urobíme pomer: 7: 5 = 210: x x = 210 * 5: 7 x = 150 (min). 150 minút = 2,5 hodiny Odpoveď: 2,5 hodiny
Algoritmus na riešenie problémov s priamou a inverznou proporcionálnou závislosťou: Neznáme číslo je označené písmenom x. Podmienka je napísaná vo forme tabuľky. Stanoví sa typ vzťahu medzi hodnotami. Priamo úmerná závislosť je naznačená rovnako smerovanými šípkami a nepriamo úmerná závislosť je naznačená opačne smerovanými šípkami. Podiel sa zaznamená. Nachádza sa jeho neznámy člen.

Presvedčte sa sami: Ako sa množstvá nazývajú priamo úmerné? Uveďte príklady priamo úmerných veličín. Aké veličiny sa nazývajú inverzné proporcionálne? Uveďte príklady inverzných proporcií. Uveďte príklady veličín, pre ktoré vzťah nie je ani priamo, ani nepriamo úmerný.

Domáca úloha... NS; 811; 812.

Proporcionalita je vzťah medzi dvoma veličinami, v ktorom zmena v jednej z nich znamená zmenu v druhej o rovnakú hodnotu.

Proporcionalita je priama a inverzná. V tomto návode sa budeme zaoberať každým z nich.

Obsah lekcie

Priama úmernosť

Predpokladajme, že auto ide rýchlosťou 50 km / h. Pamätáme si, že rýchlosť je vzdialenosť prejdená za jednotku času (1 hodina, 1 minúta alebo 1 sekunda). V našom prípade sa auto pohybuje rýchlosťou 50 km / h, to znamená, že za jednu hodinu prejde vzdialenosť rovnú päťdesiatim kilometrom.

Znázorňujme na obrázku vzdialenosť, ktorú auto prejde za 1 hodinu

Nechajte auto jazdiť ďalšiu hodinu rovnakou rýchlosťou rovnajúcou sa päťdesiatim kilometrom za hodinu. Potom sa ukáže, že auto prejde 100 km

Ako vidíte na príklade, zdvojnásobenie času viedlo k zvýšeniu prejdenej vzdialenosti o rovnakú hodnotu, to znamená dvakrát.

Veličiny ako čas a vzdialenosť sa nazývajú priamo proporcionálne. A vzťah medzi takýmito veličinami sa nazýva priama úmera.

Priama proporcionalita je vzťah medzi dvoma veličinami, v ktorom zvýšenie jednej z nich znamená zvýšenie druhej o rovnakú hodnotu.

a naopak, ak sa jedna hodnota zníži o určitý počet krát, potom druhá klesne o rovnaké číslo.

Predpokladajme, že sa pôvodne plánovalo prejsť 100 km autom za 2 hodiny, ale po 50 km jazdy sa vodič rozhodol dať si prestávku. Potom sa ukáže, že znížením vzdialenosti na polovicu sa čas zníži o rovnakú hodnotu. Inými slovami, zníženie prejdenej vzdialenosti povedie k skráteniu času o rovnakú hodnotu.

Zaujímavosťou priamo úmerných veličín je, že ich pomer je vždy konštantný. To znamená, že keď sa zmenia hodnoty priamo úmerných veličín, ich pomer zostane nezmenený.

V uvažovanom príklade bola vzdialenosť pôvodne 50 km a čas bol jedna hodina. Pomer vzdialenosti k času je 50.

Cestovný čas sme však predĺžili dvakrát, čo sa rovná dvom hodinám. V dôsledku toho sa prejdená vzdialenosť zvýšila o rovnakú hodnotu, to znamená, že sa rovnala 100 km. Pomer sto kilometrov k dvom hodinám je opäť číslo 50

Volá sa číslo 50 koeficient priamej proporcionality... Ukazuje, aká je vzdialenosť za hodinu pohybu. V tomto prípade koeficient hrá úlohu rýchlosti pohybu, pretože rýchlosť je pomerom prejdenej vzdialenosti k času.

Proporcie je možné uskutočniť z priamo úmerných množstiev. Vzťahy sú napríklad proporcionálne:

Päťdesiat kilometrov sa vzťahuje na jednu hodinu, pretože sto kilometrov na dve hodiny.

Príklad 2... Náklady a množstvo zakúpeného tovaru sú priamo úmerné. Ak 1 kg sladkostí stojí 30 rubľov, potom 2 kg rovnakých sladkostí bude stáť 60 rubľov, 3 kg - 90 rubľov. S nárastom hodnoty nakupovaného tovaru sa jeho množstvo zvyšuje o rovnakú sumu.

Pretože hodnota tovaru a jeho množstvo sú priamo úmerné, ich pomer je vždy konštantný.

Napíšte si, aký je pomer tridsať rubľov k jednému kilogramu

Teraz si napíšeme, aký je pomer šesťdesiat rubľov k dvom kilogramom. Tento pomer bude opäť rovný tridsiatke:

Tu je koeficient priamej úmernosti číslo 30. Tento koeficient ukazuje, koľko rubľov za kilogram sladkostí. V. tento príklad koeficient hrá úlohu ceny jedného kilogramu výrobku, pretože cena je pomerom hodnoty výrobku k jeho množstvu.

Inverzný pomer

Zvážte nasledujúci príklad. Vzdialenosť medzi oboma mestami je 80 km. Motocyklista opustil prvé mesto a do druhého mesta sa dostal rýchlosťou 20 km / h za 4 hodiny.

Ak bola rýchlosť motocyklistu 20 km / h, znamená to, že každú hodinu prešiel vzdialenosť rovnú dvadsať kilometrov. Na obrázku zobrazme vzdialenosť, ktorú motocyklista prešiel, a čas jeho pohybu:

Cestou späť mal motocyklista rýchlosť 40 km / h a na tej istej ceste strávil 2 hodiny.

Je ľahké vidieť, že so zmenou rýchlosti sa čas pohybu zmenil o rovnakú hodnotu. Navyše sa to zmenilo v opačnom smere - to znamená, že rýchlosť sa zvýšila, ale čas sa naopak znížil.

Veličiny, ako je rýchlosť a čas, sa nazývajú nepriamo proporcionálne. A vzťah medzi takýmito veličinami sa nazýva inverzný pomer.

Inverzná proporcionalita je vzťah medzi dvoma hodnotami, v ktorom zvýšenie jednej z nich znamená zníženie ostatných o rovnakú hodnotu.

a naopak, ak jedna hodnota klesne o určitý počet krát, potom sa druhá zvýši o rovnaké číslo.

Ak by napríklad pri ceste späť bola rýchlosť motocyklistu 10 km / h, prešiel by rovnakých 80 km za 8 hodín:

Ako vidíte na príklade, zníženie rýchlosti viedlo k rovnakému predĺženiu cestovného času.

Zvláštnosťou inverzných proporcií je, že ich produkt je vždy konštantný. To znamená, že keď sa zmenia hodnoty nepriamo úmerných veličín, ich produkt zostane nezmenený.

V uvažovanom príklade bola vzdialenosť medzi mestami 80 km. Keď sa zmenila rýchlosť a čas pohybu motocyklistu, táto vzdialenosť vždy zostala nezmenená.

Motocyklista mohol túto vzdialenosť prejsť rýchlosťou 20 km / h za 4 hodiny, rýchlosťou 40 km / h za 2 hodiny a rýchlosťou 10 km / h za 8 hodín. Vo všetkých prípadoch bol súčin rýchlosti a času rovný 80 km

Páčila sa vám hodina?
Pripojte sa k nášmu nová skupina Vkontakte a začnite dostávať upozornenia na nové lekcie

Najľahší spôsob, ako pochopiť priamy proporcionálny vzťah, je príklad stroja, ktorý vyrába diely konštantnou rýchlosťou. Ak za dve hodiny vyrobí 25 dielov, potom za 4 hodiny vyrobí dvakrát toľko dielov - 50. Koľkokrát to bude fungovať, koľkokrát to bude robiť viac dielov.

Matematicky to vyzerá takto:

4: 2 = 50: 25 alebo takto: 2: 4 = 25: 50

Prevádzková doba stroja a počet vyrobených dielov sú priamo úmerné hodnoty.

Hovorí sa: Počet dielov je priamoúmerný času prevádzky stroja.

Ak sú dve veličiny priamo úmerné, potom sú pomery zodpovedajúcich veličín rovnaké. (V našom prípade je to pomer času 1 k času 2 = pomer počtu dielov v čase 1 Komu počet dielov v čase 2)

Inverzný pomer

Pri problémoch s rýchlosťou sú bežné inverzne proporcionálne vzťahy. Rýchlosť a čas sú nepriamo úmerné. Skutočne, čím rýchlejšie sa predmet pohybuje, tým menej času mu na ceste zaberie.

Napríklad:

Ak sú veličiny nepriamo úmerné, potom sa pomer hodnôt jednej veličiny (v našom prípade rýchlosť) rovná inverznému pomeru inej veličiny (v našom prípade času). (V našom prípade je pomer prvej rýchlosti k druhej rýchlosti rovný pomeru druhého času k prvému času.

Príklady úloh

Cieľ 1:

Riešenie:

Zapisujme si krátky stavúlohy:

Úloha 2:

Riešenie:

Krátky vstup:

Ak sa vám hry alebo simulátory neotvoria, čítajte ďalej.

Tieto dve veličiny sa nazývajú priamo úmerné ak, keď sa jeden z nich zvýši niekoľkokrát, druhý sa zvýši o rovnakú sumu. Preto, keď jeden z nich klesá niekoľkokrát, druhý klesá o rovnaké množstvo.

Vzťah medzi týmito veličinami je priamym proporcionálnym vzťahom. Príklady priamej proporcionálnej závislosti:

1) pri konštantnej rýchlosti je prejdená vzdialenosť priamo úmerná času;

2) obvod štvorca a jeho strana sú priamo úmerné hodnoty;

3) náklady na výrobok zakúpený za jednu cenu sú priamo úmerné jeho množstvu.

Na rozlíšenie priamej proporcionálnej závislosti od inverznej môžete použiť príslovie: „Čím ďalej do lesa, tým viac palivového dreva“.

Je vhodné riešiť problémy s priamo proporcionálnymi veličinami pomocou proporcií.

1) Na výrobu 10 dielov potrebujete 3,5 kg kovu. Koľko kovu sa použije na výrobu 12 týchto dielov?

(Uvažujeme takto:

1. Do vyplneného stĺpca vložte šípku v smere od najväčšieho čísla k najmenšiemu.

2. Čím viac súčiastok, tým viac kovu je na ich výrobu potrebných. To znamená, že ide o priamo proporcionálny vzťah.

Na výrobu 12 dielov nech je potrebných x kg kovu. Vykonáme pomer (v smere od začiatku šípky k jeho koncu):

12: 10 = x: 3,5

Aby sme zistili, je potrebné rozdeliť produkt extrémnych výrazov na známy stredný termín:

To znamená, že bude potrebných 4,2 kg kovu.

Odpoveď: 4,2 kg.

2) Za 15 metrov látky bolo zaplatených 1 680 rubľov. Koľko stojí 12 metrov takejto látky?

(1. V vyplnenom stĺpci umiestnite šípku v smere od najväčšieho čísla k najmenšiemu.

2. Čím menej látky nakúpite, tým menej za ňu zaplatíte. To znamená, že ide o priamo proporcionálny vzťah.

3. Preto je druhá šípka v rovnakom smere ako prvá).

Nech x rubľov stojí 12 metrov látky. Stanovíme pomer (od začiatku šípky po jej koniec):

15: 12 = 1680: x

Aby sme našli neznámy extrémny člen podielu, delíme súčin stredných výrazov o známy extrémny člen podielu:

To znamená, že 12 metrov stojí 1 344 rubľov.

Odpoveď: 1344 rubľov.