Schéma na obrázku 5:

A ďalší príklad: Vyriešte nerovnosť 0,6 2x - 3< 0,36 .

Podľa schémy na obrázku 5 získame
2x - 3> log 0,6 0,36,
2x - 3> 2,
2x> 5,
x> 2,5

Odpoveď: (2,5; +∞) .

Zvážte poslednú schému riešenia nerovnosti formy af (x)< b , o a> 0 a b<0 zobrazené na obrázku 6:

Vyriešme napríklad nerovnosť:

Upozorňujeme, že bez ohľadu na to, aké číslo nahradíme x, je ľavá strana nerovnosti vždy väčšia ako nula a náš výraz je menší ako -8, t. a nula, potom neexistujú žiadne riešenia.

Odpoveď: žiadne riešenia.

Vedieť, ako sa riešia najjednoduchšie exponenciálne nerovnosti, je možné pokračovať riešenie exponenciálnych nerovností.

Príklad 1.

Nájdite najväčšiu celočíselnú hodnotu x vyhovujúcu nerovnosti

Pretože 6 x je väčšie ako nula (pre ľubovoľné x menovateľ nezmizne), vynásobíme obe strany nerovnosti 6 x a dostaneme:

440 - 2 6 2x> 8, potom
- 2 6 2x> 8 - 440,
- 2 6 2x> - 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

X< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Odpoveď: 1.

Príklad 2.

Vyriešiť nerovnosť 2 2 x - 3 2 x + 2 ≤ 0

Označíme 2 x až y, dostaneme nerovnosť y 2 - 3y + 2 ≤ 0, túto štvorcovú nerovnosť vyriešime.

y 2 - 3 roky +2 = 0,
y 1 = 1 a y 2 = 2.

Vetvy paraboly smerujú nahor, zobrazíme graf:

Potom riešením nerovnosti je nerovnosť 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Odpoveď: (0; 1) .

Príklad 3... Vyriešiť nerovnosť 5 x +1 - 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Zozbierajme výrazy s rovnakými bázami v jednej časti nerovnosti

5 x +1 - 2,5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Vyberieme 5 x na ľavej strane nerovnosti a 3 x na pravej strane nerovnosti a získame nerovnosť

5 x (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 5 x< (25/3)·3 х

Obe strany nerovnosti vydelíme výrazom 3 3 x, znak nerovnosti sa nemení, keďže 3 3 x je kladné číslo, dostaneme nerovnosť:

X< 2 (так как 5/3 > 1).

Odpoveď: (–∞; 2) .

Ak máte otázky týkajúce sa riešenia exponenciálnych nerovností alebo si chcete vyskúšať riešenie podobných príkladov, prihláste sa na moje hodiny. Tútorka Valentina Galinevskaya.

s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Mnoho ľudí si myslí, že exponenciálne nerovnosti sú také zložité a nepochopiteľné. A že naučiť sa ich riešiť je takmer veľké umenie, ktoré sú schopní pochopiť iba Vyvolení ...

Úplný nezmysel! Príklady nerovností sú ľahké. A vždy sa riešia jednoducho. No, takmer vždy. :)

Dnes budeme analyzovať túto tému zvnútra i zvonka. Táto lekcia bude veľmi užitočná pre tých, ktorí práve začínajú rozumieť tejto časti školskej matematiky. Začnime s jednoduché úlohy a presunieme sa k ďalším zložité problémy... Dnes nebude nijaká mazanosť, ale to, čo teraz čítate, bude stačiť na vyriešenie väčšiny nerovností pri akejkoľvek kontrole a samostatná práca... A na tejto skúške tiež.

Ako vždy, začnime definíciou. Exponenciálna nerovnosť je akákoľvek nerovnosť, ktorá obsahuje exponenciálnu funkciu. Inými slovami, vždy sa dá znížiť na nerovnosť formy

\ [(((a) ^ (x)) \ gt b \]

Kde rola $ b $ môže byť obyčajné číslo, alebo možno niečo ťažšie. Príklady? Áno prosím:

\ [\ begin (align) & ((2) ^ (x)) \ gt 4; \ quad ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)); \ štvorkolka ((2) ^ ((((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16; \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01; \ quad ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))). \\\ end (zarovnať) \]

Myslím si, že význam je jasný: existuje exponenciálna funkcia$ ((a) ^ (x)) $, je to porovnané s niečím a potom je požiadané o nájdenie $ x $. V obzvlášť klinických prípadoch môžu namiesto premennej $ x $ vložiť nejakú funkciu $ f \ left (x \ right) $ a tým mierne skomplikovať nerovnosť. :)

Samozrejme, v niektorých prípadoch môže nerovnosť vyzerať vážnejšie. Napríklad:

\ [((9) ^ (x)) + 8 \ gt ((3) ^ (x + 2)) \]

Alebo dokonca toto:

Všeobecne môže byť zložitosť takýchto nerovností veľmi odlišná, ale nakoniec sa ešte zmenšia na jednoduchú konštrukciu $ ((a) ^ (x)) \ gt b $. A s takouto konštrukciou to nejako vymyslíme (najmä v klinických prípadoch, keď nás nič nenapadne, nám pomôžu logaritmy). Preto vás teraz naučíme, ako riešiť také jednoduché stavby.

Riešenie najjednoduchších exponenciálnych nerovností

Zvážme niečo celkom jednoduché. Napríklad toto:

\ [(((2) ^ (x)) \ gt 4 \]

Je zrejmé, že číslo vpravo možno prepísať ako mocninu dvoch: $ 4 = (((2) ^ (2)) $. Originálnu nerovnosť teda možno prepísať do veľmi pohodlnej formy:

\ [(((2) ^ (x)) \ gt ((2) ^ (2)) \]

A teraz sa svrbia ruky, aby „preškrtli“ dvojku v stupňoch, aby sme dostali odpoveď $ x \ gt 2 $. Ale predtým, ako tam niečo začiarkneme, spomeňme si na právomoci dvoch:

\ [((2) ^ (1)) = 2; \ quad ((2) ^ (2)) = 4; \ quad ((2) ^ (3)) = 8; \ quad ((2) ^ ( 4)) = 16; ... \]

Ako vidíte, čím väčšie je číslo v exponente, tým väčšie je výstupné číslo. „Ďakujem, čiapka!“ - vykríkne jeden zo študentov. Je to iné? Bohužiaľ sa to stáva. Napríklad:

\ [((\ ľavé (\ frac (1) (2) \ pravé)) ^ (1)) = \ frac (1) (2); \ quad ((\ ľavé (\ frac (1) (2) \) vpravo)) ^ (2)) = \ frac (1) (4); \ quad ((\ vľavo (\ frac (1) (2) \ vpravo)) ^ (3)) = \ frac (1) (8 ); ... \]

Aj tu je všetko logické: čím väčší je stupeň, tým viac krát sa číslo 0,5 násobí samo (t.j. delí sa na polovicu). Výsledná postupnosť čísel sa teda zmenšuje a rozdiel medzi prvou a druhou postupnosťou spočíva iba v základe:

• Ak je základom stupňa $ a \ gt 1 $, potom s rastom exponenta $ n $ bude rásť aj číslo $ ((a) ^ (n)) $;
• Naopak, ak $ 0 \ lt a \ lt 1 $, potom s rastom exponenta $ n $ sa počet $ ((a) ^ (n)) $ zníži.

Ak zhrnieme tieto fakty, dostaneme najdôležitejšie tvrdenie, na ktorom je založené celé riešenie exponenciálnych nerovností:

Ak $ a \ gt 1 $, potom nerovnosť $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ zodpovedá nerovnosti $ x \ gt n $. Ak $ 0 \ lt a \ lt 1 $, potom nerovnosť $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ zodpovedá nerovnosti $ x \ lt n $.

Inými slovami, ak je základňa väčšia ako jedna, môžete ju jednoducho odstrániť bez zmeny znamienka nerovnosti. A ak je základňa menšia ako jedna, potom ju možno tiež odstrániť, ale v takom prípade bude tiež potrebné zmeniť znak nerovnosti.

Poznámka: neuvažovali sme s možnosťami $ a = 1 $ a $ a \ le 0 $. Pretože v týchto prípadoch vzniká neistota. Povedzme, ako vyriešiť nerovnosť ako $ ((1) ^ (x)) \ gt 3 $? Jeden v akomkoľvek stupni dá jeden znova - nikdy nedostaneme tri a viac. Tých. žiadne riešenia.

Je to ešte zaujímavejšie z negatívnych dôvodov. Zvážte napríklad túto nerovnosť:

\ [((\ ľavý (-2 \ pravý)) ^ (x)) \ gt 4 \]

Na prvý pohľad je všetko jednoduché:

Správny? Ale nie! Postačí nahradiť párnymi pármi a pármi dolárov x $ nepárne čísla aby sa ubezpečil, že riešenie je nesprávne. Pozri sa:

\ [\ begin (zarovnať) & x = 4 \ Rightarrow ((\ left (-2 \ right)) ^ (4)) = 16 \ gt 4; \\ & x = 5 \ Rightarrow ((\ left (-2 \ right)) ^ (5)) = - 32 \ lt 4; \\ & x = 6 \ Rightarrow ((\ left (-2 \ right)) ^ (6)) = 64 \ gt 4; \\ & x = 7 \ Rightarrow ((\ left (-2 \ right)) ^ (7)) = - 128 \ lt 4. \\ end (zarovnať) \]

Ako vidíte, značky sa striedajú. Ale stále existujú zlomkové stupne a iný cín. Ako napríklad nariadite čítať $ ((\ left (-2 \ right)) ^ (\ sqrt (7))) $ (mínus dva k sile siedmich)? V žiadnom prípade!

Preto sa pre istotu predpokladá, že vo všetkých exponenciálnych nerovnostiach (a mimochodom tiež v rovniciach) $ 1 \ ne a \ gt 0 $. A potom je všetko vyriešené veľmi jednoducho:

\ [((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) \ Rightarrow \ doľava [\ begin (zarovnať) & x \ gt n \ quad \ doľava (a \ gt 1 \ doprava), \\ & x \ lt n \ quad \ left (0 \ lt a \ lt 1 \ right). \\\ end (zarovnať) \ right. \]

Všeobecne si ešte raz zapamätajte hlavné pravidlo: ak je základ v exponenciálnej rovnici väčší ako jeden, môžete ho jednoducho odstrániť; a ak je základňa menšia ako jedna, môže sa tiež odstrániť, ale znak nerovnosti sa zmení.

Príklady riešení

Zvážte teda niekoľko jednoduchých exponenciálnych nerovností:

\ [\ begin (zarovnať) & ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)); \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01; \\ & ((2) ^ ((((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16; \\ & ((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25). \\\ end (zarovnať) \]

Primárna úloha je vo všetkých prípadoch rovnaká: zmenšiť nerovnosti na najjednoduchšiu formu $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $. Presne to teraz urobíme s každou nerovnosťou a zároveň si zopakujeme vlastnosti stupňov a exponenciálnu funkciu. Tak, poďme!

\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \]

Čo sa tu dá robiť? No vľavo už máme zjavujúci výraz - nič nie je potrebné meniť. Ale napravo je nejaký svinstvo: zlomok a dokonca aj koreň v menovateli!

Pamätajme však na pravidlá pre prácu so zlomkami a mocninami:

\ [\ begin (zarovnať) & \ frac (1) (((a) ^ (n))) = ((a) ^ (- n)); \\ & \ sqrt [k] (a) = ((a) ^ (\ frac (1) (k))). \\\ end (zarovnať) \]

Čo to znamená? Najprv sa môžeme ľahko zbaviť zlomku tak, že ho premeníme na mocninu so záporným exponentom. A po druhé, keďže menovateľ má koreň, bolo by pekné zmeniť ho tiež na mocninu - tentokrát s zlomkovým exponentom.

Tieto kroky použijeme postupne na pravú stranu nerovnosti a uvidíme, čo sa stane:

\ [\ frac (1) (\ sqrt (2)) = ((\ left (\ sqrt (2) \ right)) ^ (- 1)) = ((\ left (((2) ^ (\ frac ( 1) (3))) \ pravý)) ^ (- 1)) = ((2) ^ (\ frac (1) (3) \ cdot \ ľavý (-1 \ pravý))) = ((2) ^ (- \ frac (1) (3))) \]

Nezabudnite, že pri zvyšovaní stupňa na stupeň sa pridávajú ukazovatele týchto stupňov. Všeobecne platí, že pri práci s exponenciálnymi rovnicami a nerovnicami je nevyhnutné poznať aspoň tie najjednoduchšie pravidlá pre prácu so stupňami:

\ [\ begin (align) & ((a) ^ (x)) \ cdot ((a) ^ (y)) = ((a) ^ (x + y)); \\ & \ frac ((((a) ^ (x))) ((((a) ^ (y))) = ((a) ^ (x-y)); \\ & ((\ left ((((a) ^ (x)) \ right)) ^ (y)) = ((a) ^ (x \ cdot y)). \\\ end (zarovnať) \]

Vlastne sme práve použili posledné pravidlo. Preto bude naša pôvodná nerovnosť prepísaná takto:

\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ Rightarrow ((2) ^ (x-1)) \ le ((2) ^ (- \ frac (1) (3))) \]

Teraz sa tých dvoch zbavíme na základni. Pretože 2> 1, znak nerovnosti zostáva rovnaký:

\ [\ begin (align) & x-1 \ le - \ frac (1) (3) \ Rightarrow x \ le 1- \ frac (1) (3) = \ frac (2) (3); \\ & x \ in \ left (- \ infty; \ frac (2) (3) \ right]. \\ end end (align) \]

To je celé riešenie! Hlavná ťažkosť nie je vôbec v exponenciálnej funkcii, ale v kompetentnej transformácii pôvodného výrazu: musíte ho opatrne a čo najrýchlejšie uviesť do najjednoduchšej formy.

Zvážte druhú nerovnosť:

\ [((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01 \]

Tak tak. Tu nás čakajú desatinné zlomky. Ako som už mnohokrát povedal, pri akomkoľvek výraze s mocnosťami by ste sa mali zbaviť desatinných zlomkov - často je to jediný spôsob, ako dosiahnuť rýchle a ľahké riešenie. Zbavíme sa teda:

\ [\ begin (zarovnanie) & 0,1 = \ frac (1) (10); \ quad 0,01 = \ frac (1) (100) = ((\ left (\ frac (1) (10) \) vpravo)) ^ (2)); \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01 \ Rightarrow ((\ left (\ frac (1) (10) \ right)) ^ (1-x)) \ lt ( (\ left (\ frac (1) (10) \ right)) ^ (2)). \\\ end (zarovnať) \]

Máme pred sebou opäť najjednoduchšiu nerovnosť, a to aj so základom 1/10, t.j. menej ako jeden. Odstránime základy, pozdĺž cesty zmeníme značku z „menej“ na „viac“ a dostaneme:

\ [\ begin (zarovnať) & 1-x \ gt 2; \\ & -x \ gt 2-1; \\ & -x \ gt 1; \\ & x \ lt -1. \\\ end (zarovnať) \]

Dostali sme konečnú odpoveď: $ x \ in \ left (- \ infty; -1 \ right) $. Poznámka: odpoveď je presne nastavená a v žiadnom prípade nie je to konštrukcia ako $ x \ lt -1 $. Pretože formálne takáto konštrukcia vôbec nie je množinou, ale nerovnosťou vzhľadom na premennú $ x $. Áno, je to veľmi jednoduché, ale nie je to odpoveď!

Dôležitá poznámka... Túto nerovnosť by bolo možné vyriešiť iným spôsobom - redukciou oboch častí na stupeň so základňou väčšou ako jedna. Pozri sa:

\ [\ frac (1) (10) = ((10) ^ (- 1)) \ Rightarrow ((\ left ((((10) ^ (- 1)) right)) ^ (1-x)) \ lt ((\ left ((((10) ^ (- 1)) \ right)) ^ (2)) \ Rightarrow ((10) ^ (- 1 \ cdot \ left (1-x \ right))) \ lt ((10) ^ (- 1 \ cdot 2)) \]

Po takejto transformácii opäť získame exponenciálnu nerovnosť, ale so základom 10> 1. To znamená, že desiatku môžete jednoducho prečiarknuť - znamienko nerovnosti sa v tomto prípade nezmení. Dostaneme:

\ [\ begin (zarovnať) & -1 \ cdot \ vľavo (1-x \ vpravo) \ lt -1 \ cdot 2; \\ & x-1 \ lt -2; \\ & x \ lt -2 + 1 = -1; \\ & x \ lt -1. \\\ end (zarovnať) \]

Ako vidíte, odpoveď je úplne rovnaká. Zároveň sme sa zachránili pred nutnosťou zmeniť značku a všeobecne si tam pamätať niektoré pravidlá. :)

\ [((2) ^ ((((x) ^ (2)) - 7x + 14)) lt 16

Nenechajte sa tým však zastrašiť. Nech už sú ukazovatele akékoľvek, samotná technológia riešenia nerovnosti zostáva rovnaká. Najprv si preto všimnite, že 16 = 2 4. Prepíšme pôvodnú nerovnosť s ohľadom na túto skutočnosť:

\ [\ begin (align) & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt ((2) ^ (4)); \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 14 \ lt 4; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 10 \ lt 0. \\ end (zarovnanie) \]

Hurá! Dostali sme obvyklé štvorcová nerovnosť! Značka sa nikde nezmenila, pretože v základni sú dve - číslo väčšie ako jedna.

Funkčné nuly na číselnom rade

Znaky funkcie umiestňujeme $ f \ left (x \ right) = ((x) ^ (2)) - 7x + 10 $ - samozrejme, jej graf bude parabola s vetvami hore, takže budú plusy na bočné strany. Zaujíma nás región, kde je funkcia menšia ako nula, t.j. $ x \ in \ left (2; 5 \ right) $ - toto je odpoveď na pôvodný problém.

Na záver zvážte ďalšiu nerovnosť:

\ [((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \]

Opäť vidíme exponenciálnu funkciu s desatinným zlomkom na základni. Túto frakciu preložíme do obyčajnej:

\ [\ begin (zarovnanie) & 0,2 = \ frac (2) (10) = \ frac (1) (5) = ((5) ^ (- 1)) \ Rightarrow \\ & \ Rightarrow ((0 , 2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) = ((\ doľava ((((5) ^ (- 1)) doprava)) ^ (1 + ((x) ^ (2) ))) = ((5) ^ (- 1 \ cdot \ vľavo (1 + ((x) ^ (2)) vpravo))) end (zarovnať) \]

V tomto prípade sme použili skôr uvedenú poznámku - základňu sme znížili na číslo 5> 1, aby sme zjednodušili naše ďalšie rozhodovanie. Urobme to isté s pravou stranou:

\ [\ frac (1) (25) = ((\ left (\ frac (1) (5) \ right)) ^ (2)) = ((\ left ((((5) ^ (- 1))) \ vpravo)) ^ (2)) = ((5) ^ (- 1 \ cdot 2)) = ((5) ^ (- 2)) \]

Prepíšme pôvodnú nerovnosť s prihliadnutím na obe transformácie:

\ [((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \ Rightarrow ((5) ^ (- 1 \ cdot \ doľava (1+) ((x) ^ (2)) vpravo))) ge ((5) ^ (- 2)) \]

Základne na oboch stranách sú rovnaké a presahujú jednu. Vpravo a vľavo nie sú žiadne ďalšie výrazy, takže iba „vyčiarkneme“ päťku a dostaneme veľmi jednoduchý výraz:

\ [\ begin (zarovnať) & -1 \ cdot \ doľava (1 + ((x) ^ (2)) doprava) \ ge -2; \\ & -1 - ((x) ^ (2)) \ ge -2; \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -2 + 1; \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -1; \ quad \ left | \ cdot \ vľavo (-1 \ vpravo) \ vpravo. \\ & ((x) ^ (2)) \ le 1. \\\ end (zarovnať) \]

Tu musíte byť opatrní. Mnoho študentov by rád zobralo druhú odmocninu oboch strán nerovnosti a napísali niečo ako $ x \ le 1 \ Rightarrow x \ in \ left (- \ infty; -1 \ right] $. Toto by sa nikdy nemalo robiť, pretože odmocnina presného štvorca je modul a v žiadnom prípade nie pôvodná premenná:

\ [\ sqrt (((x) ^ (2))) = \ doľava | x \ vpravo | \]

Práca s modulmi však nie je najpríjemnejším zážitkom, však? Nejdeme teda do práce. Namiesto toho iba presunieme všetky výrazy doľava a obvyklú nerovnosť vyriešime pomocou intervalovej metódy:

$ \ begin (zarovnať) & ((x) ^ (2)) - 1 \ le 0; \\ & \ left (x-1 \ right) \ left (x + 1 \ right) \ le 0 \\ & ((x) _ (1)) = 1; \ quad ((x) _ (2)) = -1; \\\ end (zarovnať) $

Znova označte získané body na číselnej čiare a pozrite sa na značky:

Keďže sme riešili nestrihnú nerovnosť, všetky body v grafe sú vyplnené. Preto bude odpoveď nasledovná: $ x \ in \ left [-1; 1 \ right] $ nie je interval, ale segment.

Všeobecne by som rád poznamenal, že v exponenciálnych nerovnostiach nie je nič zložité. Význam všetkých transformácií, ktoré sme dnes vykonali, sa spája s jednoduchým algoritmom:

• Nájdite základňu, na ktorú znížime všetky stupne;
• Vykonajte transformácie opatrne, aby ste získali nerovnosť tvaru $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $. Samozrejme, namiesto premenných $ x $ a $ n $ môže byť oveľa viac komplexné funkcie, ale význam sa od toho nezmení;
• Vyškrtnite základy stupňov. V takom prípade sa môže znamenie nerovnosti zmeniť, ak je báza $ a \ lt 1 $.

V skutočnosti ide o univerzálny algoritmus na riešenie všetkých týchto nerovností. A všetko, čo vám na túto tému ešte povie, sú iba konkrétne techniky a triky, ako transformáciu zjednodušiť a urýchliť. Teraz si povieme o jednej z týchto techník. :)

Racionalizačná metóda

Zvážte ešte jednu dávku nerovností:

\ [\ begin (align) & ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ ((((x) ^ (2)) - 3x + 2)); \\ & ((\ ľavý (2 \ sqrt (3) -3 \ pravý)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1; \\ & ((\ left (\ frac (1) (3) \ right)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ left (\ frac (1) (9) \ vpravo)) ^ (16-x)); \\ & ((\ ľavý (3-2 \ sqrt (2) \ pravý)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt 1. \\ end (zarovnanie) \]

Čo je na nich teda také zvláštne? Sú ľahké. Aj keď, prestaň! Zvyšuje sa π do istej miery? Čo je to za nezmysel?

Ako zvýšiť číslo 2 $ \ sqrt (3) -3 $ na mocninu? Alebo 3 - 2 $ \ sqrt (2) $? Autori problémov sa očividne opili Hawthornom pred začatím práce. :)

V skutočnosti sa na týchto úlohách nestalo nič zlé. Pripomeniem: exponenciálna funkcia je výrazom tvaru $ ((a) ^ (x)) $, kde základom $ a $ je akékoľvek kladné číslo okrem jedného. Číslo π je kladné - už to vieme. Čísla $ 2 \ sqrt (3) -3 $ a $ 3-2 \ sqrt (2) $ sú tiež kladné - to ľahko zistíte, ak ich porovnáte s nulou.

Ukázalo sa, že všetky tieto „desivé“ nerovnosti sa nelíšia od jednoduchých, o ktorých sa diskutuje vyššie? A riešia sa rovnako? Áno, to je správne. Na ich príklade by som však rád zvážil jednu techniku, ktorá ušetrí veľa času samostatnej práci a skúškam. Ide o metódu racionalizácie. Takže pozornosť:

Akákoľvek exponenciálna nerovnosť tvaru $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ je ekvivalentná nerovnosti $ \ left (xn \ right) \ cdot \ left (a-1 \ vpravo) \ gt 0 $.

To je celá metóda. :) Mysleli ste si, že bude nejaká ďalšia hra? Nič také! Ale tento jednoduchý fakt, napísaný doslova v jednom riadku, výrazne zjednoduší našu prácu. Pozri sa:

\ [\ begin (matrix) ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ pi \ ! \! \ text ()) ^ ((((x) ^ (2)) - 3x + 2)) \\ \ Downarrow \\ \ doľava (x + 7- \ doľava (((x) ^ (2)) -3x + 2 \ right) \ right) \ cdot \ left (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ right) \ gt 0 \\\ end (matrix) \]

Už neexistujú žiadne orientačné funkcie! A nemusíte si pamätať, či sa značka mení alebo nie. Nastáva však nový problém: čo robiť so zasratým multiplikátorom \ [\ left (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ right) \]? Nevieme, aká je presná hodnota π. Zdá sa však, že kapitán naznačuje zjavnosť:

\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () \ približne 3,14 ... \ gt 3 \ Rightarrow \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () - 1 \ gt 3-1 = 2 \]

Všeobecne platí, že presná hodnota π nás skutočne netrápi - je len dôležité, aby sme pochopili, že v každom prípade $ \ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ gt 2 $, tj. e. toto je pozitívna konštanta a môžeme ňou rozdeliť obe strany nerovnosti:

\ [\ begin (zarovnať) & \ left (x + 7- \ left (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ right) \ right) \ cdot \ left (\ text () \! \!) \ pi \! \! \ text () -1 \ right) \ gt 0 \\ & x + 7- \ left (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ right) \ gt 0; \\ & x + 7 - ((x) ^ (2)) + 3x-2 \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ gt 0; \ quad \ left | \ cdot \ vľavo (-1 \ vpravo) \ vpravo. \\ & ((x) ^ (2)) - 4x-5 \ lt 0; \\ & \ left (x-5 \ right) \ left (x + 1 \ right) \ lt 0. \\\ end (align) \]

Ako vidíte, v určitom okamihu som musel rozdeliť mínus jeden a znamienko nerovnosti sa zmenilo. Na konci som rozšíril štvorcový trojuholník podľa Vietinej vety - je zrejmé, že korene sa rovnajú $ ((x) _ (1)) = 5 $ a $ ((x) _ (2)) = - 1 $. Potom je všetko vyriešené klasickou metódou intervalov:

Všetky body sú prepichnuté, pretože pôvodná nerovnosť je prísna. Zaujíma nás oblasť so zápornými hodnotami, takže odpoveď je $ x \ in \ left (-1; 5 \ right) $. To je celé riešenie. :)

Prejdime k ďalšej úlohe:

\ [((\ ľavý (2 \ sqrt (3) -3 \ pravý)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 \]

Všeobecne je tu všetko jednoduché, pretože jeden je napravo. A pamätáme si, že jedno je akékoľvek číslo do nulového stupňa. Aj keď je toto číslo iracionálny výraz vľavo dole:

\ [\ begin (align) & ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ right)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 = ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ vpravo)) ^ (0)); \\ & ((\ ľavý (2 \ sqrt (3) -3 \ pravý)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt ((\ ľavý (2 \ sqrt (3) -3) \ vpravo)) ^ (0)); \\\ end (zarovnať) \]

Poďme si to teda racionalizovať:

\ [\ begin (zarovnať) & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot \ left (2 \ sqrt (3) -3-1 \ right) \ lt 0; \\ & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot \ left (2 \ sqrt (3) -4 \ right) \ lt 0;) \\ & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 0. \\ end (zarovnať) \) ]

Zostáva iba zaoberať sa značkami. Faktor $ 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) $ neobsahuje premennú $ x $ - je to len konštanta a musíme zistiť jeho znamienko. Za týmto účelom nezabudnite na toto:

\ [\ begin (matrix) \ sqrt (3) \ lt \ sqrt (4) = 2 \\ \ Downarrow \\ 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 2 \ cdot \ left (2 -2 \ vpravo) = 0 \\\ koniec (matica) \]

Ukazuje sa, že druhý faktor nie je len konštanta, ale negatívna konštanta! A keď ho vydelíme, znamienko pôvodnej nerovnosti sa zmení na opak:

\ [\ begin (zarovnať) & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 2x-0 \ gt 0; \\ & x \ doľava (x-2 \ doprava) \ gt 0. \\\ koniec (zarovnať) \]

Teraz je všetko úplne zrejmé. Korene štvorcový trojčlen vpravo: $ ((x) _ (1)) = 0 $ a $ ((x) _ (2)) = 2 $. Označíme ich na číselnom riadku a pozrieme sa na znaky funkcie $ f \ left (x \ right) = x \ left (x-2 \ right) $:

Zaujímajú nás intervaly označené znamienkom plus. Zostáva už len napísať odpoveď:

Prejdime k nasledujúcemu príkladu:

\ [((\ ľavé (\ frac (1) (3) \ pravé)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ ľavé (\ frac (1) (9) \) vpravo)) ^ (16-x)) \]

Všetko je tu úplne zrejmé: v základniach sú mocniny rovnakého počtu. Preto si všetko stručne zapíšem:

\ [\ begin (matrix) \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1)); \ quad \ frac (1) (9) = \ frac (1) (((3) ^ ( 2))) = ((3) ^ (- 2)) \\ \ Downarrow \\ ((\ zľava ((((3) ^ (- 1)) \ doprava)) ^ (((x) ^ (2) ) + 2x)) \ gt ((\ left ((((3) ^ (- 2)) \ right)) ^ (16-x)) \\\ end (matrix) \]

\ [\ begin (align) & ((3) ^ (- 1 \ cdot \ left (((x) ^ (2)) + 2x \ right))) \ gt ((3) ^ (- 2 \ cdot \ vľavo (16-x \ vpravo))); \\ & ((3) ^ (- ((x) ^ (2)) - 2x)) \ gt ((3) ^ (- 32 + 2x)); \\ & \ left (- ((x) ^ (2)) - 2x- \ left (-32 + 2x \ right) \ right) \ cdot \ left (3-1 \ right) \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) - 2x + 32-2x \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) - 4x + 32 \ gt 0; \ quad \ left | \ cdot \ vľavo (-1 \ vpravo) \ vpravo. \\ & ((x) ^ (2)) + 4x-32 \ lt 0; \\ & \ left (x + 8 \ right) \ left (x-4 \ right) \ lt 0. \\\ end (align) \]

Ako vidíte, počas transformačného procesu sme sa museli vynásobiť záporné číslo, tak sa zmenil znak nerovnosti. Na samom konci som opäť použil Vietinu vetu na faktorizáciu štvorcového trojuholníka. Vo výsledku bude odpoveď nasledovná: $ x \ in \ left (-8; 4 \ right) $ - tí, ktorí si to želajú, to môžu overiť tak, že nakreslia číselnú čiaru, označia body a spočítajú značky. Medzitým prejdeme k poslednej nerovnosti z našej „množiny“:

\ [((\ ľavý (3-2 \ sqrt (2) \ pravý)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt 1 \]

Ako vidíte, na základni opäť stojí iracionálne číslo, a jeden opäť stojí vpravo. Preto svoju exponenciálnu nerovnosť prepisujeme nasledovne:

\ [((\ ľavý (3-2 \ sqrt (2) \ pravý)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt ((\ ľavý (3-2 \ sqrt (2) \) vpravo)) ^ (0)) \]

Aplikujeme racionalizáciu:

\ [\ begin (align) & \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot \ left (3-2 \ sqrt (2) -1 \ right) \ lt 0; \\ & \ doľava (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ doprava) \ cdot \ doľava (2-2 \ sqrt (2) \ doprava) \ lt 0; \\ & \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot 2 \ left (1- \ sqrt (2) \ right) \ lt 0. \ end end (zarovnať) \) ]

Je však zrejmé, že $ 1- \ sqrt (2) \ lt 0 $, pretože $ \ sqrt (2) \ cca 1,4 ... \ gt 1 $. Druhým faktorom je teda opäť negatívna konštanta, ktorou sa dajú rozdeliť obe strany nerovnosti:

\ [\ begin (matrix) \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot 2 \ left (1- \ sqrt (2) \ right) \ lt 0 \\ \ Downarrow \) \\ end (matica) \]

\ [\ begin (align) & 3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ gt 0; \\ & 3x - ((x) ^ (2)) \ gt 0; \ quad \ left | \ cdot \ vľavo (-1 \ vpravo) \ vpravo. \\ & ((x) ^ (2)) - 3x \ lt 0; \\ & x \ doľava (x-3 \ doprava) \ lt 0. \\\ koniec (zarovnať) \]

Presun na inú základňu

Samostatným problémom pri riešení exponenciálnych nerovností je hľadanie „správneho“ základu. Bohužiaľ, na prvý pohľad na zadanie nie je vždy zrejmé, čo treba brať ako základ a čo robiť podľa stupňa tohto základu.

Ale nebojte sa: nie je tu žiadna mágia alebo „tajná“ technológia. V matematike sa dá každá zručnosť, ktorú nemožno algoritmizovať, ľahko rozvinúť v praxi. Ale na to musíte vyriešiť problémy rôznej úrovne zložitosti. Napríklad:

\ [\ begin (zarovnať) & ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))); \\ & ((\ ľavé (\ frac (1) (3) \ pravé)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)); \\ & ((\ ľavý (0,16 \ pravý)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ ľavý (6,25 \ pravý)) ^ (x)) \ ge 1; \\ & ((\ left (\ frac (27) (\ sqrt (3)) \ right)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81. \\\ koniec (zarovnať) \]

Komplikované? Desivé? Je to jednoduchšie ako kura na asfalte! Vyskúšajme. Prvá nerovnosť:

\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))) \]

Myslím si, že tu je všetko jasné a ježko:

Prepíšeme pôvodnú nerovnosť a všetko zredukujeme na základnú dvojku:

\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((2) ^ (\ frac (8) (x))) \ Rightarrow \ doľava (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ pravý) \ cdot \ ľavý (2-1 \ pravý) \ lt 0 \]

Áno, áno, správne ste pochopili: použil som vyššie opísanú racionalizačnú metódu. Teraz musíme pracovať opatrne: máme frakčno-racionálnu nerovnosť (toto je premenná v menovateli), takže predtým, ako niečo vyrovnáme na nulu, musíme všetko priviesť k spoločný menovateľ a zbaviť sa konštantného faktora.

\ [\ begin (zarovnať) & \ left (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ right) \ cdot \ left (2-1 \ right) \ lt 0; \\ & \ left (\ frac ((((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ right) \ cdot 1 \ lt 0;) \\ & \ frac ((((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ lt 0. \\ end end (zarovnanie) \)

Teraz použijeme štandardnú metódu rozstupov. Nuly čitateľa: $ x = \ pm 4 $. Menovateľ zmizne, iba keď $ x = 0 $. Celkovo by sa na číselnej čiare mali vyznačiť tri body (všetky body sú prepichnuté, pretože značka nerovnosti je prísna). Dostaneme:

Ako asi tušíte, šrafovanie označuje intervaly, v ktorých trvá výraz vľavo záporné hodnoty... Preto budú do konečnej odpovede naraz dva intervaly:

Konce intervalov nie sú zahrnuté v odpovedi, pretože pôvodná nerovnosť bola prísna. Nie sú potrebné ďalšie kontroly tejto odpovede. V tomto ohľade sú exponenciálne nerovnosti oveľa jednoduchšie ako logaritmické: žiadna ODV, žiadne obmedzenia atď.

Prejdime k ďalšej úlohe:

\ [((\ ľavé (\ frac (1) (3) \ pravé)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)) \]

Ani tu nie sú žiadne problémy, pretože už vieme, že $ \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1)) $, takže celú nerovnosť možno prepísať takto:

\ [\ begin (zarovnať) & ((\ left (((3) ^ (- 1)) \ right)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x )) \ Rightarrow ((3) ^ (- \ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)); \\ & \ left (- \ frac (3) (x) - \ left (2 + x \ right) \ right) \ cdot \ left (3-1 \ right) \ ge 0; \\ & \ left (- \ frac (3) (x) -2-x \ right) \ cdot 2 \ ge 0; \ quad \ left | : \ left (-2 \ right) \ right. \\ & \ frac (3) (x) + 2 + x \ le 0; \\ & \ frac ((((x) ^ (2)) + 2x + 3) (x) \ le 0. \\ end end (zarovnať) \]

Upozorňujeme: v treťom riadku som sa rozhodol nestrácať čas maličkosťami a všetko okamžite rozdeliť na (−2). Úspešné prešlo do prvej zátvorky (teraz sú všade plusy) a dve boli zrušené s konštantným multiplikátorom. To je presne to, čo by ste mali urobiť, keď robíte skutočné výpočty na nezávislých a kontrolné práce- nie je potrebné maľovať priamo každú akciu a transformáciu.

Ďalej prichádza na rad známa metóda medzery. Nuly čitateľa: ale nie sú. Pretože diskriminujúci bude negatívny. Menovateľ sa zase vynuluje iba na $ x = 0 $ - ako naposledy. Je jasné, že napravo od $ x = 0 $ bude mať zlomok kladné hodnoty a zľava záporné. Pretože nás zaujímajú záporné hodnoty, konečná odpoveď je $ x \ in \ left (- \ infty; 0 \ right) $.

\ [((\ ľavý (0,16 \ pravý)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ ľavý (6,25 \ pravý)) ^ (x)) \ ge 1 \]

Čo by ste však mali robiť s desatinnými zlomkami exponenciálnych nerovností? Máte pravdu: zbavte sa ich a preložte ich do bežných. Preložíme teda:

\ [\ begin (zarovnať) & 0.16 = \ frac (16) (100) = \ frac (4) (25) \ Rightarrow ((\ left (0.16 \ right)) ^ (1 + 2x)) = ((\ vľavo (\ frac (4) (25) \ vpravo)) ^ (1 + 2x)); \\ & 6.25 = \ frac (625) (100) = \ frac (25) (4) \ Rightarrow ((\ left (6.25 \ right)) ^ (x)) = ((\ left (\ frac (25) (4) \ vpravo)) ^ (x)). \\\ end (zarovnať) \]

Čo sme teda dostali v základoch exponenciálnych funkcií? A dostali sme dve vzájomne inverzné čísla:

\ [\ frac (25) (4) = ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (- 1)) \ Rightarrow ((\ left (\ frac (25) (4) \) vpravo)) ^ (x)) = ((\ doľava ((([ľavý (\ frac (4) (25) \ pravý)) ^ (- 1)) \ pravý)) ^ (x)) = ((\ dolava (\ frac (4) (25) \ doprava)) ^ (- x)) \]

Pôvodnú nerovnosť teda možno prepísať takto:

\ [\ begin (zarovnať) & ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ) ^ (- x)) \ ge 1; \\ & ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (1 + 2x + \ left (-x \ right))) \ ge ((\ left (\ frac (4) (25) ) \ vpravo)) ^ (0)); \\ & ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (0) ). \\\ end (zarovnať) \]

Samozrejme, keď sa vynásobia stupne s rovnakou základňou, ich ukazovatele sa sčítajú, čo sa stalo v druhom riadku. Okrem toho sme prezentovali jednotku vpravo, tiež vo forme diplomu so základom 4/25. Zostáva iba vykonať racionalizáciu:

\ [((\ ľavé (\ frac (4) (25) \ pravé)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ ľavé (\ frac (4) (25) \ pravé)) ^ (0)) \ Rightarrow \ left (x + 1-0 \ right) \ cdot \ left (\ frac (4) (25) -1 \ right) \ ge 0 \]

Upozorňujeme, že $ \ frac (4) (25) -1 = \ frac (4-25) (25) \ lt 0 $, t.j. druhým faktorom je záporná konštanta, a keď ju vydelíme, zmení sa znak nerovnosti:

\ [\ begin (zarovnať) & x + 1-0 \ le 0 \ šípka doprava x \ le -1; \\ & x \ in \ left (- \ infty; -1 \ right]. \\\ end (zarovnať) \]

Na záver posledná nerovnosť z aktuálnej „množiny“:

\ [((\ ľavé (\ frac (27) (\ sqrt (3)) \ pravé)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81 \]

V zásade je tu tiež zrejmá myšlienka riešenia: všetky exponenciálne funkcie zahrnuté v nerovnosti musia byť redukované na základňu „3“. Ale kvôli tomu sa musíte trochu pohrať s koreňmi a stupňami:

\ [\ begin (align) & \ frac (27) (\ sqrt (3)) = \ frac ((((3) ^ (3))) (((3) ^ (\ frac (1) (3)) )) = ((3) ^ (3- \ frac (1) (3))) = ((3) ^ (\ frac (8) (3))); \\ & 9 = ((3) ^ (2)); \ quad 81 = ((3) ^ (4)). \\\ end (zarovnať) \]

Ak vezmeme do úvahy tieto skutočnosti, pôvodná nerovnosť sa dá prepísať takto:

\ [\ begin (align) & ((\ left (((3) ^ (\ frac (8) (3))) \ right)) ^ (- x)) \ lt ((\ left (((3)) ^ (2)) vpravo)) ^ (4-2x)) \ cdot ((3) ^ (4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x)) \ cdot ((3) ^ (4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x + 4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (4-4x)). \\\ end (zarovnať) \]

Venujte pozornosť 2. a 3. riadku výpočtov: predtým, ako urobíte čokoľvek s nerovnosťou, nezabudnite to priviesť do formy, o ktorej sme hovorili od samého začiatku hodiny: $ ((a) ^ (x)) \ lt ((a) ^ (n)) $. Pokiaľ máte na ľavej alebo pravej strane nejaké ľavostranné faktory, ďalšie konštanty atď., nie je možné vykonať racionalizáciu a „vyčiarknutie“ pozemku! Nespočetné množstvo úloh sa pokazilo kvôli nesprávnemu pochopeniu jednoduchý fakt... Sám tento problém neustále sledujem medzi svojimi študentmi, keď ešte len začíname analyzovať exponenciálne a logaritmické nerovnosti.

Ale späť k nášmu problému. Pokúsme sa to tentokrát zaobísť bez racionalizácie. Pamätajte: základ stupňa je väčší ako jeden, takže trojnásobok možno jednoducho prečiarknuť - znak nerovnosti sa v tomto prípade nezmení. Dostaneme:

\ [\ begin (zarovnať) & - \ frac (8x) (3) \ lt 4-4x; \\ & 4x- \ frac (8x) (3) \ lt 4; \\ & \ frac (4x) (3) \ lt 4; \\ & 4x \ lt 12; \\ & x \ lt 3. \\\ end (zarovnať) \]

To je všetko. Konečná odpoveď je $ x \ in \ left (- \ infty; 3 \ right) $.

Zvýraznenie stabilného výrazu a zmena premennej

Na záver navrhujem vyriešiť ďalšie štyri exponenciálne nerovnosti, ktoré sú už pre netrénovaných študentov dosť náročné. Aby ste sa s nimi vyrovnali, musíte si zapamätať pravidlá práce s diplomami. Najmä vyňatie bežných faktorov zo zátvoriek.

Najdôležitejšie je však naučiť sa rozumieť tomu, čo presne sa dá v zátvorkách vytiahnuť. Takýto výraz sa nazýva stabilný - dá sa označiť novou premennou a zbaviť sa tak exponenciálnej funkcie. Pozrime sa teda na úlohy:

\ [\ begin (zarovnať) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6; \\ & ((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90; \\ ((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2))> 2500; \\ & ((\ left (0,5 \ right)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1,5)) \ gt 768. \\ end end (zarovnať) \]

Začnime úplne prvým riadkom. Napíšme túto nerovnosť osobitne:

\ [((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) ge 6 \]

Upozorňujeme, že $ ((5) ^ (x + 2)) = ((5) ^ (x + 1 + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \ cdot 5 $, takže pravá strana môže byť prepísaná:

Upozorňujeme, že v nerovnosti nie sú žiadne ďalšie exponenciálne funkcie, okrem $ ((5) ^ (x + 1)) $. Všeobecne sa premenná $ x $ nenájde nikde inde, preto predstavíme novú premennú: $ ((5) ^ (x + 1)) = t $. Dostaneme nasledujúcu konštrukciu:

\ [\ begin (zarovnať) & 5t + t \ ge 6; \\ & 6t \ ge 6; \\ & t \ ge 1. \\\ end (zarovnať) \]

Vrátime sa k pôvodnej premennej ($ t = ((5) ^ (x + 1)) $) a zároveň si zapamätáme, že 1 = 5 0. Máme:

\ [\ begin (zarovnať) & ((5) ^ (x + 1)) \ ge ((5) ^ (0)); \\ & x + 1 \ ge 0; \\ & x \ ge -1. \\\ end (zarovnať) \]

To je celé riešenie! Odpoveď: $ x \ in \ left [-1; + \ infty \ right) $. Prejdeme k druhej nerovnosti:

\ [(((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90 \]

Všetko je tu rovnaké. Upozorňujeme, že $ ((3) ^ (x + 2)) = ((3) ^ (x)) \ cdot ((3) ^ (2)) = 9 \ cdot ((3) ^ (x)) $. .. Potom môže byť ľavá strana prepísaná:

\ [\ begin (align) & ((3) ^ (x)) + 9 \ cdot ((3) ^ (x)) \ ge 90; \ quad \ left | ((3) ^ (x)) = t \ vpravo. \\ & t + 9t \ ge 90; \\ & 10t \ ge 90; \\ & t \ ge 9 \ Rightarrow ((3) ^ (x)) \ ge 9 \ Rightarrow ((3) ^ (x)) \ ge ((3) ^ (2)); \\ & x \ ge 2 \ Rightarrow x \ in \ left [2; + \ infty \ right). \\\ end (zarovnať) \]

Približne takto potrebujete vypracovať rozhodnutie o skutočnej kontrole a samostatnej práci.

No, skúsme niečo komplikovanejšie. Napríklad tu je nerovnosť:

\ [((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2))> 2 500 \]

Aký je tu problém? Najskôr sú základy exponenciálnych funkcií vľavo odlišné: 5 a 25. Avšak 25 = 5 2, takže je možné transformovať prvý člen:

\ [\ begin (align) & ((25) ^ (x + 1,5)) = ((\ left ((((5) ^ (2)) \ right)) ^ (x + 1,5)) = ((5) ^ (2x + 3)); \\ & ((5) ^ (2x + 3)) = ((5) ^ (2x + 2 + 1)) = ((5) ^ (2x + 2)) \ cdot 5. \\\ end (zarovnať ) \]

Ako vidíte, spočiatku sme všetko viedli k rovnakej základni a potom sme si všimli, že prvý termín sa dá ľahko zredukovať na druhý - stačí iba rozšíriť indikátor. Teraz môžete bezpečne zaviesť novú premennú: $ ((5) ^ (2x + 2)) = t $ a celá nerovnosť bude prepísaná takto:

\ [\ begin (zarovnať) & 5t-t \ ge 2500; \\ & 4t \ ge 2500; \\ & t \ ge 625 = ((5) ^ (4)); \\ & ((5) ^ (2x + 2)) \ ge ((5) ^ (4)); \\ & 2x + 2 \ ge 4; \\ & 2x \ ge 2; \\ & x \ ge 1. \\\ end (zarovnať) \]

Opäť bez ťažkostí! Konečná odpoveď je $ x \ in \ left [1; + \ infty \ right) $. Prejdime k finálnej nerovnosti v dnešnej lekcii:

\ [((\ ľavý (0,5 \ pravý)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1,5)) \ 768 \]

Prvá vec, na ktorú si treba dávať pozor, je samozrejme desatinný na základni prvého stupňa. Je potrebné sa ho zbaviť a súčasne priviesť všetky exponenciálne funkcie na rovnakú základňu - číslo „2“:

\ [\ begin (align) & 0.5 = \ frac (1) (2) = ((2) ^ (- 1)) \ Rightarrow ((\ left (0,5 \ right)) ^ (- 4x- 8)) = ((\ doľava ((((2) ^ (- 1)) do prava)) ^ (- 4x-8)) = ((2) ^ (4x + 8)); \\ & 16 = ((2) ^ (4)) \ Rightarrow ((16) ^ (x + 1,5)) = ((\ left ((((2) ^ (4)) \ right)) ^ (x +) 1.5)) = ((2) ^ (4x + 6)); \\ & ((2) ^ (4x + 8)) - ((2) ^ (4x + 6)) \ gt 768. \\ end (zarovnať) \]

Skvelé, urobili sme prvý krok - všetko viedlo k rovnakému základu. Teraz musíte vybrať stabilný výraz... Upozorňujeme, že $ ((2) ^ (4x + 8)) = ((2) ^ (4x + 6 + 2)) = ((2) ^ (4x + 6)) \ cdot 4 $. Ak zavedieme novú premennú $ ((2) ^ (4x + 6)) = t $, potom môžeme pôvodnú nerovnosť prepísať takto:

\ [\ begin (zarovnať) & 4t-t \ gt 768; \\ & 3t \ gt 768; \\ & t \ gt 256 = ((2) ^ (8)); \\ & ((2) ^ (4x + 6)) \ gt ((2) ^ (8)); \\ & 4x + 6 \ gt 8; \\ & 4x \ gt 2; \\ & x \ gt \ frac (1) (2) = 0,5. \\\ end (zarovnať) \]

Prirodzene môže vzniknúť otázka: ako sme zistili, že 256 = 2 8? Tu, bohužiaľ, musíte poznať mocniny dvoch (a súčasne mocniny tri a päť). No alebo vydeľte 256 dvoma (môžete ich vydeliť, pretože 256 je párne číslo), kým nezískame výsledok. Bude to vyzerať asi takto:

\ [\ begin (align) & 256 = 128 \ cdot 2 = \\ & = 64 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 32 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 16 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 8 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 4 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = (((2) ^ (8)). \ End (zarovnanie ) \]

Rovnako je to s tromi (čísla 9, 27, 81 a 243 sú ich mocniny) a so siedmimi (čísla 49 a 343 by sa tiež pamätali). Prvá päťka má tiež „nádherné“ tituly, ktoré potrebujete vedieť:

\ [\ begin (zarovnať) & ((5) ^ (2)) = 25; \\ & ((5) ^ (3)) = 125; \\ & ((5) ^ (4)) = 625; \\ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\\ end (zarovnať) \]

Všetky tieto čísla je samozrejme možné v mysli rekonštruovať jednoduchým postupným vzájomným znásobovaním. Keď však musíte vyriešiť niekoľko exponenciálnych nerovností a každá ďalšia je komplikovanejšia ako predchádzajúca, potom posledná vec, na ktorú chcete myslieť, sú stupne niektorých čísel. A v tomto zmysle sú tieto problémy zložitejšie ako „klasické“ nerovnosti, ktoré sa riešia metódou intervalov.

Dúfam, že vám tento návod pomohol pri zvládnutí tejto témy. Ak niečo nie je jasné - opýtajte sa v komentároch. Uvidíme sa na ďalších lekciách. :)

Exponenciálne rovnice a nerovnosti sú tie rovnice a nerovnosti, v ktorých je v exponente obsiahnuté neznáme.

Riešenie exponenciálnych rovníc sa často redukuje na riešenie rovnice a x = a b, kde a> 0 a ≠ 1, x sú neznáme. Táto rovnica má jedinečný koreň x = b, pretože platí nasledujúca veta:

Veta. Ak a> 0, a ≠ 1 a a x 1 = a x 2, potom x 1 = x 2.

Zdôvodnime uvažované tvrdenie.

Predpokladajme, že neplatí rovnosť x 1 = x 2, t.j. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, potom sa exponenciálna funkcia y = ax zvyšuje a teda nerovnosť a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. V obidvoch prípadoch sme dostali rozpor s podmienkou a x 1 = a x 2.

Zvážme niekoľko úloh.

Vyriešte rovnicu 4 ∙ 2 x = 1.

Rozhodnutie.

Rovnicu napíšeme v tvare 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0, odkiaľ dostaneme x + 2 = 0, t.j. x = -2.

Odpoveď. x = -2.

Vyriešte rovnicu 2 3x ∙ 3 x = 576.

Rozhodnutie.

Pretože 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, rovnicu je možné zapísať v tvare 8 x ∙ 3 x = 24 2 alebo v tvare 24 x = 24 2.

Preto dostaneme x = 2.

Odpoveď. x = 2.

Vyriešte rovnicu 3 x + 1 - 2 ∙ 3 ​​x - 2 = 25.

Rozhodnutie.

Ak vezmeme spoločný faktor 3 x - 2 z zátvoriek vľavo, dostaneme 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

odkiaľ 3 x - 2 = 1, t.j. x - 2 = 0, x = 2.

Odpoveď. x = 2.

Vyriešte 3x rovnicu = 7x.

Rozhodnutie.

Od 7 x ≠ 0 môžeme rovnicu písať v tvare 3 x / 7 x = 1, odkiaľ (3/7) x = 1, x = 0.

Odpoveď. x = 0.

Vyriešte rovnicu 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0.

Rozhodnutie.

Nahradením 3 x = a sa táto rovnica zníži na kvadratická rovnica a 2 - 4a - 45 = 0.

Pri riešení tejto rovnice nájdeme jej korene: a 1 = 9, a 2 = -5, odkiaľ 3 x = 9, 3 x = -5.

Rovnica 3 x = 9 má odmocninu 2 a rovnica 3 x = -5 nemá korene, pretože exponenciálna funkcia nemôže mať záporné hodnoty.

Odpoveď. x = 2.

Riešenie exponenciálnych nerovností sa často redukuje na riešenie nerovností a x> a b alebo a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Zvážme niekoľko úloh.

Vyriešte 3 x nerovnosť< 81.

Rozhodnutie.

Nerovnosť píšeme v tvare 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, potom funkcia y = 3 x rastie.

Preto sa pre x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Teda pre x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Odpoveď. X< 4.

Vyriešte nerovnosť 16 x +4 x - 2> 0.

Rozhodnutie.

Označme 4 x = t, potom dostaneme štvorcovú nerovnosť t2 + t - 2> 0.

Táto nerovnosť platí pre t< -2 и при t > 1.

Pretože t = 4 x, dostaneme dve nerovnosti 4 x< -2, 4 х > 1.

Prvá nerovnosť nemá riešenie, pretože 4 x> 0 pre všetky x ∈ R.

Druhú nerovnosť zapíšeme v tvare 4 x> 4 0, odkiaľ x> 0.

Odpoveď. x> 0.

Rovnicu (1/3) x = x - 2/3 riešte graficky.

Rozhodnutie.

1) Zostrojme grafy funkcií y = (1/3) x a y = x - 2/3.

2) Na základe nášho obrázku môžeme dospieť k záveru, že grafy uvažovaných funkcií sa pretínajú v bode s úsečkou x ≈ 1. Overenie dokazuje, že

x = 1 - koreň tejto rovnice:

(1/3) 1 = 1/3 a 1 - 2/3 = 1/3.

Inými slovami, našli sme jeden z koreňov rovnice.

3) Nájdite ďalšie korene alebo dokázajte, že žiadne neexistujú. Funkcia (1/3) x sa zmenšuje a funkcia y = x - 2/3 sa zvyšuje. Preto pre x> 1 sú hodnoty prvej funkcie menšie ako 1/3 a druhej viac ako 1/3; o x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 a x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Odpoveď. x = 1.

Všimnite si, že z riešenia tohto problému predovšetkým vyplýva, že nerovnosť (1/3) x> x - 2/3 platí pre x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Zvážte, ako riešiť exponenciálne nerovnosti obsahujúce stupne pomocou z rôznych dôvodov... Riešenie takýchto nerovností je podobné riešeniu zodpovedajúcich.

(5 ^ ((x ^ 2) - x - 1)) - (2 ^ ((x ^ 2) - x)) \] "title =" (! LANG: Vyr. QuickLaTeX.com">!}

Skupiny združujeme na rovnakých základoch. Je pohodlnejšie ich rozdeliť podľa rôzne strany nerovnosti:

Title = "(! LANG: Vyr. QuickLaTeX.com">!}

Z každého páru stupňov vyberieme z zátvoriek spoločný faktor - stupeň s nižším exponentom. Rozdelenie spoločného faktora znamená, že každý výraz je vydelený týmto faktorom. Pri delení stupňov s rovnakými základňami ponecháme základňu rovnakú a odčítame ukazovatele:

Title = "(! LANG: Vyr. QuickLaTeX.com">!}

Title = "(! LANG: Vyr. QuickLaTeX.com">!}

Môžete vydeliť naraz 20 (20 = 4 ∙ 5), ale prax ukazuje, že rozdelenie v dvoch fázach zabráni možným chybám:

Title = "(! LANG: Vyr. QuickLaTeX.com">!}

Title = "(! LANG: Vyr. QuickLaTeX.com">!}

Title = "(! LANG: Vyr. QuickLaTeX.com">!}

Title = "(! LANG: Vyr. QuickLaTeX.com">!}

Title = "(! LANG: Vyr. QuickLaTeX.com">!}

Title = "(! LANG: Vyr. QuickLaTeX.com">!}

Keďže základ je 2/5<1, показательная функция

klesá, takže znak nerovnosti medzi exponentmi je obrátený:

Kvadratickú nerovnosť riešime metódou intervalov. Nula funkcie na ľavej strane nerovnosti - x1 = -1; x2 = 2. Označíme ich na číselnej čiare.

Ak chcete skontrolovať znamienko, vezmite nulu: 0²-0-2 = -2, v intervale, do ktorého nula patrí, vložte „-“. Zvyšok cedúľ poukladáme do šachovnice. Keďže riešime nerovnosť, pri ktorej je ľavá strana menšia ako nula, zvolíme interval so znamienkom „-“.

Odpoveď: x ∈ (-1; 2).

Variant nerovností tohto druhu - všetky stupne majú rovnaké základy, líšia sa však koeficientmi pri x v exponentoch.

Na ľavej strane vyberieme stupeň s najmenším exponentom v zátvorkách

Title = "(! LANG: Vyr. QuickLaTeX.com">!}

Dospeli sme k exponenciálnej nerovnosti. Od základne 7> 1 je funkcia

narastá, znak nerovnosti medzi ukazovateľmi sa nemení:

Aby sme túto nerovnosť vyriešili metódou intervalov, prenesieme všetky členy na ľavú stranu a redukujeme zlomky na