Prezentácia a lekcia na tému:
"Graf funkcie $ y = ax ^ 2 + bx + c $. Vlastnosti"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 8. ročník
Príručka k učebnici Dorofeeva G.V. Príručka k učebnici S. M. Nikolského

Chlapci, v posledných lekciách sme postavili veľké množstvo grafov vrátane mnohých parabolov. Dnes si zhrnieme získané znalosti a naučíme sa zostavovať grafy tejto funkcie v samom všeobecný pohľad.
Uvažujme štvorcový trinomiál $ a * x ^ 2 + b * x + c $. $ a, b, c $ sa nazývajú koeficienty. Môžu to byť ľubovoľné čísla, ale $ a ≠ 0 $. $ a * x ^ 2 $ sa nazýva najvyšší termín, $ a $ sa nazýva najvyšší koeficient. Stojí za zmienku, že koeficienty $ b $ a $ c $ sa môžu rovnať nule, to znamená, že trojčlen bude pozostávať z dvoch členov a tretí sa rovná nule.

Uvažujme funkciu $ y = a * x ^ 2 + b * x + c $. Táto funkcia sa nazýva „kvadratická“, pretože najvyššia moc je druhá, tj. Štvorec. Koeficienty sú rovnaké, ako je definované vyššie.

V minulej lekcii sme v poslednom príklade analyzovali konštrukciu grafu s podobnou funkciou.
Ukážme, že každú takú kvadratickú funkciu je možné redukovať na tvar: $ y = a (x + l) ^ 2 + m $.

Takáto funkcia je vykreslená pomocou dodatočného súradnicového systému. Vo veľkej matematike sú čísla veľmi zriedkavé. V najobecnejšom prípade je potrebné dokázať takmer akýkoľvek problém. Dnes budeme analyzovať jeden z takýchto dôkazov. Chlapci, môžete vidieť plnú silu matematického aparátu, ale aj jeho zložitosť.

Vyberte úplný štvorec z štvorcový trojčlen:
$ a * x ^ 2 + b * x + c = (a * x ^ 2 + b * x) + c = a (x ^ 2 + \ frac (b) (a) * x) + c = $ $ = a (x ^ 2 + 2 \ frac (b) (2a) * x + \ frac (b ^ 2) (4a)) - \ frac (b ^ 2) (4a) + c = a (x + \ frac ( b) (2a)) ^ 2+ \ frac (4ac-b ^ 2) (4a) $.
Dostali sme, čo sme chceli.
Akákoľvek kvadratická funkcia môže byť reprezentovaná ako:
$ y = a (x + l) ^ 2 + m $, kde $ l = \ frac (b) (2a) $, $ m = \ frac (4ac-b ^ 2) (4a) $.

Na vykreslenie grafu $ y = a (x + l) ^ 2 + m $ potrebujete vykresliť funkciu $ y = ax ^ 2 $. Vrchol paraboly bude navyše umiestnený v bode so súradnicami $ (- l; m) $.
Takže naša funkcia $ y = a * x ^ 2 + b * x + c $ je parabola.
Os paraboly bude priamka $ x = - \ frac (b) (2a) $ a súradnice vrcholu paraboly pozdĺž osi x, ako vidíme, sa vypočítajú podľa vzorca: $ x_ (в) = - \ frac (b) (2a) $.
Na výpočet súradníc vrcholu paraboly pozdĺž osi osi môžete:

• použite vzorec: $ y_ (в) = \ frac (4ac-b ^ 2) (4a) $,
• priamo nahraďte súradnicu vrcholu v $ x $ do pôvodnej funkcie: $ y_ (в) = ax_ (в) ^ 2 + b * x_ (в) + c $.

Ako vypočítať súradnicu vrcholu? Voľba je opäť na vás, ale druhý spôsob bude zvyčajne jednoduchšie vypočítať.
Ak potrebujete popísať niektoré vlastnosti alebo odpovedať na konkrétne otázky, nie vždy je potrebné vykresliť funkčný graf. V nasledujúcom príklade sú diskutované hlavné otázky, na ktoré je možné odpovedať bez konštrukcie.

Príklad 1.
Bez vykresľovania funkcie $ y = 4x ^ 2-6x-3 $ odpovedzte na nasledujúce otázky:

Riešenie.
a) Os paraboly je priamka $ x = - \ frac (b) (2a) = - \ frac (-6) (2 * 4) = \ frac (6) (8) = \ frac (3 ) (4) $ ...
b) Našli sme os x vrcholu nad $ x_ (c) = \ frac (3) (4) $.
Súradnicu vrcholu nájdeme priamou substitúciou do pôvodnej funkcie:
$ y_ (in) = 4 * (\ frac (3) (4)) ^ 2-6 * \ frac (3) (4) -3 = \ frac (9) (4) -\ frac (18) (4 ) - \ frac (12) (4) = - \ frac (21) (4) $.
c) Graf požadovanej funkcie bude získaný súbežným prenosom grafu $ y = 4x ^ 2 $. Jeho vetvy vzhliadajú, čo znamená, že vzhliadnu aj vetvy paraboly pôvodnej funkcie.
Všeobecne platí, že ak je koeficient $ a> 0 $, potom pobočky vyhľadajú, ak je koeficient $ a
Príklad 2.
Zostrojte funkciu: $ y = 2x ^ 2 + 4x-6 $.

Riešenie.
Nájdite súradnice vrcholu paraboly:
$ x_ (c) = - \ frac (b) (2a) = - \ frac (4) (4) = - 1 $.
$ y_ (in) = 2 * (-1) ^ 2 + 4 (-1) -6 = 2-4-6 = -8 $.
Označme súradnicu vrcholu na súradnicovej osi. V tomto mieste akoby v nový systém súradnice zostrojíme parabolu $ y = 2x ^ 2 $.

Existuje mnoho spôsobov, ako uľahčiť vykresľovanie parabolu.

• Môžeme nájsť dva symetrické body, vypočítať hodnotu funkcie v týchto bodoch, označiť ich súradnicová rovina a spojte ich s vrcholom krivky popisujúcej parabolu.
• Môžeme postaviť vetvu paraboly napravo alebo naľavo od vrcholu a potom ju odraziť.
• Môžeme stavať podľa bodov.

Príklad 3.
Nájdite najväčšie a najmenšia hodnota funkcie: $ y = -x ^ 2 + 6x + 4 $ v segmente $ [ - 1; 6] $.

Riešenie.
Zostavíme graf tejto funkcie, zvolíme požadovaný interval a nájdeme najnižšie a najvyššie body nášho grafu.
Nájdite súradnice vrcholu paraboly:
$ x_ (c) = - \ frac (b) (2a) = - \ frac (6) ( - 2) = 3 $.
$ y_ (in) = - 1 * (3) ^ 2 + 6 * 3 + 4 = -9 + 18 + 4 = 13 $.
V bode so súradnicami $ (3; 13) $ zostrojte parabolu $ y = -x ^ 2 $. Vyberieme požadovaný interval. Najnižší bod je -3, najvyšší bod je 13.
$ y_ (naim) = - 3 $; $ y_ (naib) = 13 $.

Úlohy pre nezávislé riešenie

1. Bez vykresľovania funkcie $ y = -3x ^ 2 + 12x -4 $ odpovedzte na nasledujúce otázky:
a) Označte čiaru, ktorá slúži ako os paraboly.
b) Nájdite súradnice vrcholu.
c) Kde vyzerá parabola (hore alebo dole)?
2. Zostrojte funkciu: $ y = 2x ^ 2-6x + 2 $.
3. Zostrojte funkciu: $ y = -x ^ 2 + 8x -4 $.
4. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie: $ y = x ^ 2 + 4x-3 $ v segmente $ [- 5; 2] $.

Uvažujme výraz tvaru os 2 + bx + c, kde a, b, c - reálne čísla, ale je nenulový. Tento matematický výraz je známy ako štvorcový trojčlen.

Pripomeňme si, že ax 2 je vedúcim pojmom tohto štvorcového trinomia a je jeho vedúcim koeficientom.

Ale štvorcový trojčlen nemá vždy všetky tri výrazy. Vezmite si napríklad výraz 3x 2 + 2x, kde a = 3, b = 2, c = 0.

Prejdeme k kvadratická funkcia y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c sú ľubovoľné čísla. Táto funkcia je kvadratická, pretože obsahuje výraz druhého stupňa, to znamená x na druhú.

Je celkom ľahké vykresliť kvadratickú funkciu, napríklad môžete použiť metódu výberu celého štvorca.

Uvažujme príklad vykreslenia funkcie y je -3x 2 - 6x + 1.

Aby sme to urobili, prvá vec, ktorú si pamätáme, je schéma prideľovania celého štvorca v trojčlene -3x 2 - 6x + 1.

Za prvé dva výrazy vyberte -3 z hranatých zátvoriek. Máme -3 vynásobené súčtom x štvorec plus 2x a sčítame 1. Sčítaním a odčítaním jedného v zátvorkách dostaneme vzorec pre druhú mocninu súčtu, ktorý je možné zbaliť. Dostaneme -3 vynásobené súčtom (x + 1) na druhú mínus 1 pripočítame 1. Rozbalením zátvoriek a zadaním podobných výrazov dostaneme výraz: -3 vynásobený druhou mocninou súčtu (x + 1) pripočítame 4.

Zostrojíme graf výslednej funkcie, prechádzajúci do pomocného súradnicového systému so začiatkom v bode so súradnicami (-1; 4).

Na obrázku z videa je tento systém označený bodkovanými čiarami. Viazajme funkciu y rovnú -3x 2 k zostrojenému súradnicovému systému. Zoberme si pre istotu kontrolné body. Napríklad (0; 0), (1; -3), (-1; -3), (2; -12), (-2; -12). Zároveň ich v zostavenom súradnicovom systéme odložíme. Výsledná parabola je graf, ktorý potrebujeme. Na obrázku je to červená parabola.

Použitím metódy prideľovania celého štvorca máme kvadratickú funkciu tvaru: y = a * (x + 1) 2 + m.

Graf paraboly y = ax 2 + bx + c je možné ľahko získať z paraboly y = ax 2 paralelným prekladom. Potvrdzuje to veta, ktorú je možné dokázať výberom celého štvorca dvojčlenu. Výraz ax 2 + bx + c po postupných transformáciách prechádza do výrazu tvaru: a * (x + l) 2 + m. Nakreslíme graf. Vykonajme rovnobežný pohyb paraboly y = os 2, zarovnáme vrchol s bodom so súradnicami (-l; m). Dôležité je, že x = -l, čo znamená -b / 2a. To znamená, že táto priama čiara je osou paraboly ax 2 + bx + c, jej vrchol je umiestnený v bode s osou x, nula sa rovná mínus b, delená 2a a súradnica sa vypočíta pomocou ťažkopádnej vzorec 4ac - b 2 /. Tento vzorec si však nemusíte pamätať. Pretože nahradením hodnoty osi x funkciou, dostaneme súradnicu.

Na určenie rovnice osi, smeru jej vetiev a súradníc vrcholu paraboly zvážte nasledujúci príklad.

Vezmite funkciu y = -3x 2 -6x + 1. Po vytvorení rovnice pre os paraboly platí, že x = -1. A táto hodnota je súradnica x vrcholu paraboly. Zostáva nájsť iba súradnicu. Nahradením hodnoty -1 do funkcie dostaneme 4. Vrchol paraboly je v bode (-1; 4).

Graf funkcie y = -3x 2 -6x + 1 bol získaný súbežným prenosom grafu funkcie y = -3x 2, čo znamená, že sa správa podobne. Seniorský koeficient je záporný, takže vetvy smerujú nadol.

Vidíme, že pre akúkoľvek funkciu tvaru y = ax 2 + bx + c je najľahšia otázka posledná otázka, to znamená smer vetiev paraboly. Ak je koeficient a kladný, potom sú vetvy nahor a ak záporné, potom nadol.

Prvá otázka je komplexná, pretože vyžaduje ďalšie výpočty.

A najťažší je druhý, pretože okrem výpočtov sú potrebné aj znalosti vzorcov, v ktorých x je nula a y je nula.

Zostavíme graf funkcie y = 2x 2 - x + 1.

Okamžite určíme - graf je parabola, vetvy smerujú nahor, pretože starší koeficient je 2, a to je kladné číslo... Pomocou vzorca nájdeme os x x nula, rovná sa 1,5. Ak chcete nájsť súradnicu, nezabudnite, že nula sa rovná funkcii 1,5, pri výpočte dostaneme -3,5.

Vrchol - (1,5; -3,5). Os - x = 1,5. Vezmite body x = 0 a x = 3. y = 1. Označme tieto body. Pomocou troch známych bodov zostrojíme požadovaný graf.

Na vykreslenie funkčnej osi 2 + bx + c musíte:

Nájdite súradnice vrcholu paraboly a označte ich na obrázku a potom nakreslite os paraboly;

Na osi vola vezmite dva symetrické body paraboly voči osi, nájdite v týchto bodoch hodnotu funkcie a označte ich na súradnicovej rovine;

Postavte parabolu prostredníctvom troch bodov, v prípade potreby môžete vziať niekoľko ďalších bodov a na základe nich zostaviť graf.

V nasledujúcom príklade sa naučíme, ako nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie -2x 2 + 8x - 5 na segmente.

Podľa algoritmu: a = -2, b = 8, takže x nula je 2 a y nula je 3, (2; 3) je vrchol paraboly a x = 2 je os.

Vezmite hodnoty x = 0 a x = 4 a nájdite súradnice týchto bodov. Toto je -5. Zostrojíme parabolu a určíme, že najmenšia hodnota funkcie je -5 pri x = 0 a najväčšia 3, pri x = 2.

Lekcia na tému „Funkcia y = ax ^ 2, jej graf a vlastnosti“ sa študuje v priebehu algebry 9. ročníka v systéme hodín na tému „Funkcie“. Táto lekcia si vyžaduje starostlivú prípravu. Menovite také vyučovacie metódy a prostriedky, ktoré poskytnú skutočne dobré výsledky.

Autor tohto video tutoriálu sa postaral o pomoc učiteľom pri príprave na hodiny s touto témou. Vyvinul video návod, ktorý zohľadnil všetky požiadavky. Materiál sa vyberá podľa veku študentov. Nie je preťažený, ale dostatočne priestranný. Autor podrobne rozpráva materiál a zaoberá sa dôležitejšími bodmi. Každý teoretický bod je sprevádzaný príkladom, aby bolo vnímanie učebný materiál bola oveľa efektívnejšia a kvalitnejšia.

Lekciu môže učiteľ použiť v bežnej hodine algebry 9. ročníka ako konkrétnu fázu hodiny - výklad nového učiva. Učiteľ počas tohto obdobia nebude musieť nič hovoriť ani hovoriť. Stačí, že zapne túto video lekciu a zabezpečí, aby študenti pozorne počúvali a zaznamenávali dôležité body.

Lekciu môžu využiť aj školáci, keď vlastná príprava na hodinu, ako aj na samovzdelávanie.

Lekcia trvá 8:17 minút. Na začiatku hodiny autor poznamenáva, že jednou z dôležitých funkcií je kvadratická funkcia. Potom sa z matematického hľadiska zavedie kvadratická funkcia. Jeho definícia je uvedená s vysvetlením.

Autor ďalej oboznamuje študentov s doménou definície kvadratickej funkcie. Na obrazovke sa zobrazí správny matematický zápis. Potom autor uvažuje o príklade kvadratickej funkcie v skutočnej situácii: za základ sa považuje fyzický problém, kde sa ukazuje, ako cesta závisí od času pre rovnomerne zrýchlený pohyb.

Potom autor zváži funkciu y = 3x ^ 2. Na obrazovke sa zobrazí konštrukcia tabuľky hodnôt tejto funkcie a funkcie y = x ^ 2. Podľa údajov týchto tabuliek sú zostavené grafy funkcií. Tu sa v rámci zobrazuje vysvetlenie, ako je graf funkcie y = 3x ^ 2 získaný z y = x ^ 2.

Po zvážení dvoch špeciálnych prípadov, príkladu funkcie y = ax ^ 2, autor prichádza k pravidlu, ako je graf tejto funkcie získaný z grafu y = x ^ 2.

Ďalej uvažujeme funkciu y = ax ^ 2, kde a<0. И, подобно тому, как строились графики функций до этого, автор предлагает построить график функции y=-1/3 x^2. При этом он строит таблицу значений, строит графики функций y=-1/3 x^2 и, замечая при этом закономерность расположения графиков между собой.

Potom sú z vlastností odvodené dôsledky. Sú štyria. Medzi nimi sa objavuje nový koncept - vrcholy paraboly. Nasleduje poznámka, ktorá hovorí, aké transformácie sú možné pre graf danej funkcie. Potom sa hovorí o tom, ako sa graf funkcie y = -f (x) získa z grafu funkcie y = f (x) a tiež y = af (x) z y = f (x) .

Tým sa lekcia obsahujúca vzdelávací materiál končí. Zostáva ho konsolidovať výberom vhodných úloh v závislosti od schopností študentov.

Lekcia: Ako vytvoriť parabolu alebo kvadratickú funkciu?

TEORETICKÁ ČASŤ

Parabola je graf funkcie opísanej vzorcom ax 2 + bx + c = 0.
Na zostavenie paraboly musíte postupovať podľa jednoduchého algoritmu akcií:

1) Parabolový vzorec y = sekera 2 + bx + c,
keby a> 0 potom sú nasmerované vetvy paraboly hore,
inak smerujú vetvy paraboly cesta dole.
Voľný člen c tento bod pretína parabolu s osou OY;

2), nájdete ho podľa vzorca x = (- b) / 2a, dosadíme nájdené x do parabolovej rovnice a nájdeme r;

3)Funkčné nuly alebo inak body priesečníka paraboly s osou OX, nazývajú sa tiež koreňmi rovnice. Aby sme našli korene, prirovnáme rovnicu k 0 sekera 2 + bx + c = 0;

Typy rovníc:

a) Kompletné kvadratická rovnica má formu sekera 2 + bx + c = 0 a rozhoduje diskriminačný;
b) Neúplná kvadratická rovnica tvaru sekera 2 + bx = 0. Aby ste to vyriešili, musíte vložiť x mimo zátvoriek a potom každý faktor prirovnať k 0:
sekera 2 + bx = 0,
x (ax + b) = 0,
x = 0 a ax + b = 0;
c) Neúplná kvadratická rovnica tvaru sekera 2 + c = 0. Aby ste to vyriešili, musíte posunúť neznáme v jednom smere a známe v druhom. x = ± √ (c / a);

4) Nájdite niekoľko ďalších bodov na vybudovanie funkcie.

PRAKTICKÁ ČASŤ

A tak teraz, na príklade, analyzujeme všetko podľa akcií:
Príklad č. 1:
y = x 2 + 4x + 3
c = 3 znamená, že parabola pretína OY v bode x = 0 y = 3. Vetvy paraboly vyzerajú nahor a a = 1 1> 0.
a = 1 b = 4 c = 3 x = (- b) / 2a = (- 4) / (2 * 1) =- 2 y = (-2) 2 +4 * (- 2) + 3 = 4- 8 + 3 = -1 vrchol je v bode (-2; -1)
Nájdite korene rovnice x 2 + 4x + 3 = 0
Nájdite korene u diskriminátora
a = 1 b = 4 c = 3
D = b 2 -4ac = 16-12 = 4
x = (- b ± √ (D)) / 2a
x 1 = ( - 4 + 2) / 2 = -1
x 2 = (-4-2) / 2 = -3

Vezmite niekoľko ľubovoľných bodov, ktoré sa nachádzajú blízko vrcholu x = -2

x -4 -3-1 0
y 3 0 0 3

Nahraďte x do rovnice y = x 2 + 4x + 3 hodnoty
y = (- 4) 2 +4 * (- 4) + 3 = 16-16 + 3 = 3
y = (- 3) 2 +4 * (- 3) + 3 = 9-12 + 3 = 0
y = (- 1) 2 +4 * (- 1) + 3 = 1-4 + 3 = 0
y = (0) 2 + 4 * (0) + 3 = 0-0 + 3 = 3
Z hodnôt funkcie je zrejmé, že parabola je symetrická voči priamke x = -2

Príklad č. 2:
y = -x 2 + 4x
c = 0 znamená, že parabola pretína OY v bode x = 0 y = 0. Vetvy paraboly sa pozerajú nadol ako a = -1 -1 Nájdite korene rovnice -x 2 + 4x = 0
Neúplná kvadratická rovnica tvaru os 2 + bx = 0. Aby ste to vyriešili, musíte vložiť x mimo zátvoriek a potom každý faktor prirovnať k 0.
x (-x + 4) = 0, x = 0 a x = 4.

Vezmite niekoľko ľubovoľných bodov, ktoré sa nachádzajú blízko vrcholu x = 2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Nahraďte x do rovnice y = -x 2 + 4x hodnoty
y = 0 2 + 4 * 0 = 0
y = - (1) 2 + 4 * 1 = -1 + 4 = 3
y = - (3) 2 + 4 * 3 = -9 + 13 = 3
y = - (4) 2 + 4 * 4 = -16 + 16 = 0
Z hodnôt funkcie je zrejmé, že parabola je symetrická voči priamke x = 2

Príklad č. 3
y = x 2-4
c = 4 znamená, že parabola pretína OY v bode x = 0 y = 4. Vetvy paraboly sa pozerajú nahor od a = 1 1> 0.
a = 1 b = 0 c = -4 x = ( -b) / 2a = 0 / (2 * (1)) = 0 y = (0) 2 -4 = -4 vrchol je v bode (0; -4)
Nájdite korene rovnice x 2 -4 = 0
Neúplná kvadratická rovnica tvaru os 2 + c = 0. Aby ste to vyriešili, musíte posunúť neznáme v jednom smere a známe v druhom. x = ± √ (c / a)
x 2 = 4
x 1 = 2
x 2 = -2

Vezmite niekoľko ľubovoľných bodov, ktoré sa nachádzajú blízko vrcholu x = 0
x -2 -1 1 2
y 0-3-330
Nahraďte x do rovnice y = x 2 -4 hodnoty
y = (-2) 2-4 = 4-4 = 0
y = ( -1) 2-4 = 1-4 = -3
y = 1 2 -4 = 1-4 = -3
y = 2 2-4 = 4-4 = 0
Z hodnôt funkcie je zrejmé, že parabola je symetrická voči priamke x = 0

Prihlásiť sa na odber na kanál na YOUTUBE držať krok so všetkými novými výrobkami a pripravovať sa s nami na skúšky.

Poskytuje referenčné údaje o exponenciálna funkcia- základné vlastnosti, grafy a vzorce. Uvažovalo sa o nasledujúcich problémoch: oblasť definície, súbor hodnôt, monotónnosť, inverzná funkcia, derivácia, integrál, rozšírenie a reprezentácia mocninových radov pomocou komplexných čísel.

Obsah

Vlastnosti exponenciálnej funkcie

Exponenciálna funkcia y = a x má na množine reálnych čísel () nasledujúce vlastnosti:
(1.1) definované a nepretržité, pre, pre všetkých;
(1.2) za ≠ 1 má veľa významov;
(1.3) striktne rastie o, striktne klesá o,
je konštantný pri;
(1.4) o;
o;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Ďalšie užitočné vzorce.
.
Vzorec na konverziu na exponenciálnu funkciu s odlišnou bázou stupňa:

Pre b = e dostaneme výraz exponenciálnej funkcie z hľadiska exponenciálu:

Súkromné ​​hodnoty

, , , , .

y = a x pre rôzne hodnoty základu a.

Na obrázku sú grafy exponenciálnej funkcie
r (x) = a x
pre štyri hodnoty stupňové základy: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 a a = 1/8 ... Je vidieť, že za> 1 exponenciálna funkcia sa monotónne zvyšuje. Čím väčšia je základňa stupňa a, tým je rast silnejší. O 0 < a < 1 exponenciálna funkcia monotónne klesá. Čím menší je exponent a, tým silnejší je pokles.

Nárast úbytok

Exponenciálna funkcia, pri, je prísne monotónna, preto nemá žiadne extrémy. Jeho hlavné vlastnosti sú uvedené v tabuľke.

	y = a x, a> 1	y = a x, 0 < a < 1
Doména	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Rozsah hodnôt	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotónne	monotónne sa zvyšuje	monotónne klesá
Nuly, y = 0	Nie	Nie
Body priesečníka s osou y, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Inverzná funkcia

Inverzná funkcia exponenciálnej funkcie so základom mocniny a je logaritmus k báze a.

Ak potom
.
Ak potom
.

Diferenciácia exponenciálnej funkcie

Na rozlíšenie exponenciálnej funkcie je potrebné jej základ redukovať na číslo e, použiť tabuľku derivácií a pravidlo diferenciácie komplexná funkcia.

Na to musíte použiť vlastnosť logaritmov
a vzorec z tabuľky derivátov:
.

Nech je daná exponenciálna funkcia:
.
Prinášame to na základňu e:

Aplikujme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie. Za týmto účelom zavedieme premennú

Potom

Z tabuľky derivácií máme (premennú x nahraďte z):
.
Pretože je to konštanta, derivácia z vzhľadom na x sa rovná
.
Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:
.

Derivát exponenciálnej funkcie

.
Derivát n -tého rádu:
.
Odvodenie vzorcov >>>

Príklad diferenciácie exponenciálnej funkcie

Nájdite deriváciu funkcie
y = 3 5 x

Riešenie

Vyjadrime základ exponenciálnej funkcie pomocou čísla e.
3 = v 3
Potom
.
Zavádzame premennú
.
Potom

Z tabuľky derivátov nájdeme:
.
Pokiaľ 5ln 3 je konštanta, potom derivácia z vzhľadom na x sa rovná:
.
Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie máme:
.

Odpoveď

Integrálne

Výrazy z hľadiska komplexných čísel

Zvážte funkciu komplexné číslo z:
f (z) = a z
kde z = x + iy; i 2 = - 1 .
Vyjadrime komplexnú konštantu a z hľadiska modulu r a argumentu φ:
a = r e i φ
Potom


.
Argument φ nie je jednoznačne definovaný. Všeobecne
φ = φ 0 + 2 πn,
kde n je celé číslo. Preto funkcia f (z) tiež nie je jednoznačné. Často sa zvažuje jeho hlavný význam
.