Болсын NS- аргумент (тәуелсіз айнымалы); y = y (x)- функция.

Аргументтің бекітілген мәнін алайық x = x 0 және функцияның мәнін есептеңіз ж 0 = у (х 0 ) ... Енді біз ерікті түрде орнаттық қадам (дәлелді өзгерту) және оны белгілеу  NS ( NSкез келген белгі болуы мүмкін).

Қосымша дәлел - нүкте NS 0 +  NS... Онда функцияның мәні де бар делік y = y (x 0 +  NS)(суретті қараңыз).

Осылайша, аргумент мәнінің ерікті өзгеруімен функцияның өзгеруі алынады, ол аталады қадам бойынша функция мәндері:

және ерікті емес, бірақ функцияның формасы мен мәніне байланысты
.

Аргументтер мен функциялардың өсуі болуы мүмкін финал, яғни тұрақты сандар түрінде өрнектеледі, бұл жағдайда оларды кейде соңғы айырмашылықтар деп атайды.

Экономикада соңғы қадамдар жиі қарастырылады. Мысалы, кестеде белгілі бір мемлекеттің теміржол желісінің ұзындығы туралы мәліметтер бар. Әлбетте, таза ұзындық өсімі келесі мәннен алдыңғы мәнді алып тастау арқылы есептеледі.

Біз теміржол желісінің ұзындығын функция ретінде қарастырамыз, оның аргументі уақыт (жылдар) болады.

Желінің функциясының өсуі (бұл жағдайда теміржолдың ұзындығы) функцияның өзгеруін нашар сипаттайды. Біздің мысалда, бұл факт бойынша 2,5>0,9 желі тез дамыды деп қорытынды жасауға болмайды 2000-2003 жылдарға қарағанда 2004 g, себебі қадам 2,5 үш жылдық кезеңге жатады және 0,9 - небәрі бір жылға. Демек, функцияның ұлғаюы аргументтің өзгеру бірлігіне әкелуі заңдылық. Мұндағы аргументтердің өсуі кезеңдер болып табылады: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Біз экономикалық әдебиетте не аталатынын аламыз орташа жылдық өсім.

Егер біз функцияның мәндерін бір -бірінен айырмашылығы бар аргументтер мәндері үшін алсақ, аргументтің өзгеру бірлігіне айналдыру операциясын болдырмауға болады, бұл әрқашан мүмкін емес.

Математикалық талдауда, атап айтқанда, дифференциалдық есепте аргумент пен функцияның шексіз кіші (ВМ) өсуі қарастырылады.

Бір айнымалы функцияның дифференциациясы (туынды және дифференциалдық) Функция туындысы

Нүктеде аргумент пен функцияның өсуі NS 0 салыстырмалы шексіз шамалар ретінде қарастыруға болады (4 -тақырыпты қараңыз, БМ салыстыру), т. БМ сол тәртіптегі.

Сонда олардың қатынасы m -де функцияның туындысы ретінде анықталатын ақырлы шекті болады NS 0 .

Функция өсімінің нүктедегі аргументтің БМ өсіміне қатынасының шегі x = x 0 шақырды туынды берілген нүктеде қызмет етеді.

Праймермен (дәлірек айтқанда, рим цифры I) туынды символдық белгілеуді Ньютон енгізді. Сондай -ақ, туынды есептеуге қандай айнымалы қолданылатынын көрсететін қосалқы индексті қолдануға болады, мысалы: ... Туынды есептеулердің негізін қалаушы, неміс математигі Лейбниц ұсынған тағы бір белгі кеңінен қолданылады:
... Сіз бұл белгінің шығу тегі туралы көбірек біле аласыз Дифференциалды функция мен дифференциалды функция.

Бұл сан болжайды жылдамдықнүкте арқылы өтетін функцияны өзгерту
.

Орнату геометриялық мағынасынүктесіндегі функцияның туындысы. Ол үшін біз функцияның графигін саламыз y = y (x)және ондағы өзгерісті анықтайтын нүктелерді белгілеңіз y (x)аралықта

Нүктедегі функция графигінің жанамасы М. 0
біз секанттың шектеулі орнын қарастырамыз М. 0 М.шарт бойынша
(нүкте М.функция графигін нүктеге жылжытады М. 0 ).

Қарастырыңыз
... Әлбетте,
.

Егер нүкте М.функциясының графигі бойынша нүктеге қарай жылжытыңыз М. 0 , содан кейін мән
біз белгілейтін белгілі бір шекке бейім болады
... Сонымен бірге.

Шектеу бұрышы  функциясының графигіне тартылған жанаманың көлбеу бұрышымен сәйкес келеді, соның ішінде. М. 0 , сондықтан туынды
сандық тең жанаманың көлбеуі көрсетілген нүктеде.

-

нүктеде функция туындысының геометриялық мағынасы.

Осылайша, тангенс пен нормаль теңдеулерін жаза аламыз. қалыпты Бір нүктеде функция графигіне) жанамасына перпендикуляр түзу ме? NS 0 :

Тангенс -.

Қалыпты -
.

Бұл түзулер көлденең немесе тігінен орналасқан жағдайлар қызығушылық тудырады (3 -тақырыпты қараңыз, жазықтықтағы түзудің орналасуының ерекше жағдайлары). Содан кейін,

егер
;

егер
.

Туынды анықтамасы деп аталады дифференциация функциялар.

 Егер функция нүктеде болса NS 0 ақырлы туындысы бар, онда ол аталады ерекшеленетінБұл кезеңде. Белгілі бір интервалдың барлық нүктелерінде дифференциалданатын функция осы интервалда дифференциалды деп аталады.

 Теорема . Егер функция y = y (x)дифференциалды қоса NS 0 , онда бұл кезде үздіксіз болады.

Осылайша, сабақтастық- функцияның дифференциалдылығының қажетті (бірақ жеткіліксіз) шарты.

Функция берілсін. Аргументтің екі мәнін алайық: бастапқы және өзгертілген, ол әдетте белгіленеді
, қайда - бірінші мәннен екіншісіне өту кезінде аргумент өзгеретін сома деп аталады дәлелді ұлғайту арқылы.

Аргумент мәндері және нақты функция мәндеріне сәйкес келеді: бастапқы және өзгертілген
, мәні , оның көмегімен аргумент сомаға өзгергенде функцияның мәні өзгереді функцияның өсуі.

2. функцияның нүктедегі шегі туралы түсінік.

Сан функциясының шегі деп аталады
ұмтылған кезде егер кез келген сан үшін
ондай сан бар
бұл бәріне
теңсіздікті қанағаттандыру
, теңсіздік
.

Екінші анықтама: Сан кез келген сан үшін осы маңайдың кез келгені үшін нүктенің маңайы болса, оған бағыну функциясының шегі деп аталады. Белгіленген
.

3. нүктеде шексіз үлкен және шексіз кіші функциялар. Нүктедегі шексіз кіші функция - берілген нүктеге ұмтылғандағы шегі нөлге тең функция. Нүктедегі шексіз үлкен функция - берілген нүктеге ұмтылғандағы шекарасы шексіздікке тең функция.

4. шектер мен олардың салдары туралы негізгі теоремалар (дәлелсіз).

нәтиже: тұрақты факторды шекті белгіден шығаруға болады:

Егер тізбектер және жинақталу және тізбектің шегі нөлге тең емес

нәтиже: тұрақты факторды шектік белгіден шығаруға болады.

11. егер функциялардың шектері бар болса
және
және функция шегі нөлге тең емес,

онда функциялар шектерінің қатынасына тең олардың қатынасының шегі де бар:

.

12. егер
, онда
, керісінше ақиқат.

13. аралық тізбектің шегі туралы теорема. Егер тізбектер
конвергенция және
және
онда

5. функцияның шексіздік шегі.

А саны шексіздіктің функциясының шегі деп аталады (х шексіздікке ұмтылады), егер шексіздікке ұмтылатын кез келген тізбек үшін
санға бағынатын мәндер тізбегі сәйкес келеді а.

6. g - сандық тізбектің шектері.

Сан акез келген оң сан үшін сандық тізбектің шегі деп аталады барлығына арналған N натурал саны бар n> Н.теңсіздік сақталады
.

Бұл символикалық түрде келесі түрде анықталады:
әділ

Санның фактісі ареттілік шегі болып табылады, ол келесі түрде белгіленеді:

.

7. «е» саны. табиғи логарифмдер.

Сан «Е» сандық тізбектің шегін білдіреді, n- кімнің мүшесі
, яғни

.

Натурал логарифм - негізі бар логарифм д. натурал логарифмдер белгіленеді
негізін көрсетпей.

Сан
ондық саннан натурал логарифмге және артқа ауысуға мүмкіндік береді.

, ол натурал логарифмдерден ондық бөлшекке көшу модулі деп аталады.

8. ерекше шектер
,

.

Бірінші керемет шектеу:

осылайша

аралық тізбек бойынша шектеу теоремасы

екінші керемет шегі:

.

Лимиттің бар екенін дәлелдеу үшін
кез келген нақты сан үшін лемма: қолданыңыз
және
теңсіздік рас
(2) (үшін
немесе
теңсіздік теңдікке айналады.)

.

Енді жалпы термині бар көмекші тізбекті қарастырайық
төмендейтініне және төменнен шектелгеніне көз жеткізейік:
егер
, онда реттілік төмендейді. Егер
, онда реттілік төменнен шектеледі. Мұны көрсетейік:

теңдіктің арқасында (2)

яғни
немесе
... Яғни, тізбек төмендейді, себебі реттілік төменнен шектелген. Егер тізбектің төмендеуі мен шектелуі болса, онда оның шегі болады. Содан кейін

шегі мен реттілігі бар (1), өйткені

және
.

Л.Эйлер бұл шектеу деп атады .

9. біржақты шектер, функция алшақтығы.

А саны - сол жақ шегі, егер келесі кез келген тізбекке сәйкес болса :.

егер А кез келген реттілікке сәйкес келетін болса, А саны - дұрыс шегі :.

Егер нүктеде афункцияның анықталу облысына немесе оның шекарасына жататын, функцияның үзіліссіздік шарты бұзылады, содан кейін нүкте афункцияның үзіліс немесе үзіліс нүктесі деп аталады.

12. шексіз кеметін геометриялық прогрессия мүшелерінің қосындысы. Геометриялық прогрессия - бұл келесі және алдыңғы мүшелер арасындағы байланыс өзгеріссіз қалатын реттілік, бұл қатынас прогрессияның бөлгіші деп аталады. Біріншінің қосындысы nгеометриялық прогрессия мүшелері формуламен өрнектеледі
төмендеу геометриялық прогрессия үшін бұл формуланы қолдану ыңғайлы - оның бөлгішінің абсолюттік мәні нөлден аз болатын прогрессия. - бірінші мүше; - прогрессияның бөліндісі; - тізбектің алынған мүшесінің саны. Шексіз кеміп келе жатқан прогрессияның қосындысы - бұл санның шексіз өсуімен кемитін прогрессияның алғашқы мүшелерінің қосындысы шексіз жақындайтын сан.
онда Шексіз төмендейтін геометриялық прогрессияның мүшелерінің қосындысы .

Анықтама 1

Егер әр жұп үшін $ (x, y) $ белгілі бір аймақтың екі тәуелсіз айнымалы мәндерінің $ z $ белгілі бір мәні байланысқан болса, онда $ z $ екі айнымалы функциясы деп айтылады $ (x, у) $. Ескерту: $ z = f (x, y) $.

$ Z = f (x, y) $ функциясына қатысты функцияның жалпы (толық) және жартылай ұлғаю ұғымдарын қарастырыңыз.

$ (X, y) $ тәуелсіз екі айнымалының $ z = f (x, y) $ функциясы берілсін.

Ескерту 1

$ (X, y) $ айнымалысы тәуелсіз болғандықтан, олардың біреуі өзгеруі мүмкін, ал екіншісі тұрақты болып қалады.

$ Y $ айнымалысын $ y $ айнымалы мәнін өзгеріссіз сақтай отырып, $ \ Delta x $ өсімін берейік.

Сонда $ z = f (x, y) $ функциясы $ x = айнымалысына қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі деп аталатын өсім алады. Белгілеу:

Сол сияқты, $ y $ айнымалысына $ \ $ айнымалысының мәнін өзгеріссіз сақтай отырып, $ \ Delta y $ өсімін берейік.

Сонда $ z = f (x, y) $ функциясы $ z = f (x, y) $ функциясының $ y $ айнымалысына қатысты ішінара өсуі деп аталатын өсім алады. Белгілеу:

Егер $ x $ аргументіне $ \ Delta x $, ал $ y $ аргументі - $ \ Delta y $ өсімі берілсе, онда берілген $ z = f (x, y) $ функциясының толық өсуі алынған. Белгілеу:

Осылайша, бізде:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - $ x $ қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - $ y $ қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - $ z = f (x, y) $ функциясының толық өсуі.

Мысал 1

Шешім:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - $ z = f (x, y) $ функциясының $ x $ қатысты ішінара өсуі;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ - $ y $ қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - $ z = f (x, y) $ функциясының толық артуы.

Мысал 2

$ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $ үшін $ (1; 2) $ нүктесіндегі $ z = xy $ функциясының қосындысы мен қосындысын есептеңіз.

Шешім:

Жеке өсудің анықтамасы бойынша біз мыналарды табамыз:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - $ z = f (x, y) $ функциясының $ x $ қатысты ішінара өсуі

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - $ y $ қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі;

Толық қадамның анықтамасы бойынша біз мынаны табамыз:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - $ z = f (x, y) $ функциясының толық өсуі.

Демек,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 = 2.31. \]

Ескерту 2

Берілген $ z = f (x, y) $ функциясының жалпы өсімі $ \ Delta _ (x) z $ және $ \ Delta _ (y) z $ ішінара өсімдерінің қосындысына тең емес. Математикалық белгілеу: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Мысал 3

Функцияның бекітілуін тексеріңіз

Шешім:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (1 -мысалда алынған)

Берілген $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуінің қосындысын табыңыз

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Delta y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Анықтама 2

Егер әрбір үштік $ (x, y, z) $ үшін белгілі бір аймақтың үш тәуелсіз айнымалы мәндерінің $ w $ белгілі бір мәні байланысқан болса, онда $ w $ үш айнымалы функциясы $ ( x, y, z) $ осы аймақта.

Белгілеу: $ w = f (x, y, z) $.

Анықтама 3

Егер $ (x, y, z, ..., t) $ әр жиынына белгілі бір аймақтан тәуелсіз айнымалылар мәндерінің $ w $ белгілі бір мәні байланысты болса, онда $ w $ функция деп аталады $ (x, y, z, ..., t) $ айнымалысы осы доменде.

Ескерту: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Үш немесе одан да көп айнымалы функция үшін, екі айнымалы функция сияқты, айнымалылардың әрқайсысы үшін ішінара өсімдер анықталады:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ - $ w = f (x, y, z, ..) функциясының ішінара өсуі. ., t) $ бойынша $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - $ функциясының ішінара өсуі w = f (x, y, z, ..., t) $ бойынша $ t $.

Мысал 4

Функцияның қосындысы мен қосындысын жазыңыз

Шешім:

Жеке өсудің анықтамасы бойынша біз мыналарды табамыз:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - $ x = f (x, y, z) $ функциясының $ x $ қатысты ішінара өсуі

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - $ w = f (x, y, z) $ функциясының $ y $ қатысты ішінара өсуі;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ z = қатысты $ w = f (x, y, z) $ функциясының ішінара өсуі;

Толық қадамның анықтамасы бойынша біз мынаны табамыз:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ w = f (x, y, z) $ функциясының толық өсуі .

Мысал 5

$ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \ үшін $ (1; 2; 1) $ нүктесіндегі $ w = xyz $ функциясының қосындысы мен қосындысын есептеңіз. \, \ Delta z = 0,1 $.

Шешім:

Жеке өсудің анықтамасы бойынша біз мыналарды табамыз:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - $ x = f (x, y, z) $ функциясының $ x $ қатысты ішінара өсуі

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - $ y = f (x, y, z) $ функциясының $ y $ қатысты ішінара өсуі;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ z = қатысты $ w = f (x, y, z) $ функциясының ішінара өсуі;

Толық қадамның анықтамасы бойынша біз мынаны табамыз:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ w = f (x, y, z) $ функциясының толық өсуі.

Демек,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0.1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0.1) \ cdot 1 = 2.1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0.1) = 2.2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) \ cdot (1 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

Геометриялық тұрғыдан $ z = f (x, y) $ функциясының жиынтық өсімі (анықтама бойынша $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x) , y) $) $ M = (x, y) $ нүктесінен $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (1 -сурет).

Сурет 1.

Анықтама 1

Егер әр жұп үшін $ (x, y) $ белгілі бір аймақтың екі тәуелсіз айнымалы мәндерінің $ z $ белгілі бір мәні байланысқан болса, онда $ z $ екі айнымалы функциясы деп айтылады $ (x, у) $. Ескерту: $ z = f (x, y) $.

$ Z = f (x, y) $ функциясына қатысты функцияның жалпы (толық) және жартылай ұлғаю ұғымдарын қарастырыңыз.

$ (X, y) $ тәуелсіз екі айнымалының $ z = f (x, y) $ функциясы берілсін.

Ескерту 1

$ (X, y) $ айнымалысы тәуелсіз болғандықтан, олардың біреуі өзгеруі мүмкін, ал екіншісі тұрақты болып қалады.

$ Y $ айнымалысын $ y $ айнымалы мәнін өзгеріссіз сақтай отырып, $ \ Delta x $ өсімін берейік.

Сонда $ z = f (x, y) $ функциясы $ x = айнымалысына қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі деп аталатын өсім алады. Белгілеу:

Сол сияқты, $ y $ айнымалысына $ \ $ айнымалысының мәнін өзгеріссіз сақтай отырып, $ \ Delta y $ өсімін берейік.

Сонда $ z = f (x, y) $ функциясы $ z = f (x, y) $ функциясының $ y $ айнымалысына қатысты ішінара өсуі деп аталатын өсім алады. Белгілеу:

Егер $ x $ аргументіне $ \ Delta x $, ал $ y $ аргументі - $ \ Delta y $ өсімі берілсе, онда берілген $ z = f (x, y) $ функциясының толық өсуі алынған. Белгілеу:

Осылайша, бізде:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - $ x $ қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - $ y $ қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - $ z = f (x, y) $ функциясының толық өсуі.

Мысал 1

Шешім:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - $ z = f (x, y) $ функциясының $ x $ қатысты ішінара өсуі;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ - $ y $ қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - $ z = f (x, y) $ функциясының толық артуы.

Мысал 2

$ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $ үшін $ (1; 2) $ нүктесіндегі $ z = xy $ функциясының қосындысы мен қосындысын есептеңіз.

Шешім:

Жеке өсудің анықтамасы бойынша біз мыналарды табамыз:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - $ z = f (x, y) $ функциясының $ x $ қатысты ішінара өсуі

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - $ y $ қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі;

Толық қадамның анықтамасы бойынша біз мынаны табамыз:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - $ z = f (x, y) $ функциясының толық өсуі.

Демек,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 = 2.31. \]

Ескерту 2

Берілген $ z = f (x, y) $ функциясының жалпы өсімі $ \ Delta _ (x) z $ және $ \ Delta _ (y) z $ ішінара өсімдерінің қосындысына тең емес. Математикалық белгілеу: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Мысал 3

Функцияның бекітілуін тексеріңіз

Шешім:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (1 -мысалда алынған)

Берілген $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуінің қосындысын табыңыз

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Delta y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Анықтама 2

Егер әрбір үштік $ (x, y, z) $ үшін белгілі бір аймақтың үш тәуелсіз айнымалы мәндерінің $ w $ белгілі бір мәні байланысқан болса, онда $ w $ үш айнымалы функциясы $ ( x, y, z) $ осы аймақта.

Белгілеу: $ w = f (x, y, z) $.

Анықтама 3

Егер $ (x, y, z, ..., t) $ әр жиынына белгілі бір аймақтан тәуелсіз айнымалылар мәндерінің $ w $ белгілі бір мәні байланысты болса, онда $ w $ функция деп аталады $ (x, y, z, ..., t) $ айнымалысы осы доменде.

Ескерту: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Үш немесе одан да көп айнымалы функция үшін, екі айнымалы функция сияқты, айнымалылардың әрқайсысы үшін ішінара өсімдер анықталады:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ - $ w = f (x, y, z, ..) функциясының ішінара өсуі. ., t) $ бойынша $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - $ функциясының ішінара өсуі w = f (x, y, z, ..., t) $ бойынша $ t $.

Мысал 4

Функцияның қосындысы мен қосындысын жазыңыз

Шешім:

Жеке өсудің анықтамасы бойынша біз мыналарды табамыз:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - $ x = f (x, y, z) $ функциясының $ x $ қатысты ішінара өсуі

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - $ w = f (x, y, z) $ функциясының $ y $ қатысты ішінара өсуі;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ z = қатысты $ w = f (x, y, z) $ функциясының ішінара өсуі;

Толық қадамның анықтамасы бойынша біз мынаны табамыз:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ w = f (x, y, z) $ функциясының толық өсуі .

Мысал 5

$ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \ үшін $ (1; 2; 1) $ нүктесіндегі $ w = xyz $ функциясының қосындысы мен қосындысын есептеңіз. \, \ Delta z = 0,1 $.

Шешім:

Жеке өсудің анықтамасы бойынша біз мыналарды табамыз:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - $ x = f (x, y, z) $ функциясының $ x $ қатысты ішінара өсуі

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - $ y = f (x, y, z) $ функциясының $ y $ қатысты ішінара өсуі;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ z = қатысты $ w = f (x, y, z) $ функциясының ішінара өсуі;

Толық қадамның анықтамасы бойынша біз мынаны табамыз:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ w = f (x, y, z) $ функциясының толық өсуі.

Демек,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0.1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0.1) \ cdot 1 = 2.1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0.1) = 2.2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) \ cdot (1 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

Геометриялық тұрғыдан $ z = f (x, y) $ функциясының жиынтық өсімі (анықтама бойынша $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x) , y) $) $ M = (x, y) $ нүктесінен $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (1 -сурет).

Сурет 1.

Өмірде бізді кез келген шаманың нақты мәндері қызықтыра бермейді. Кейде бұл мәннің өзгеруін білу қызықты, мысалы, автобустың орташа жылдамдығы, қозғалыс мөлшерінің уақыт кезеңіне қатынасы және т.б. Функцияның бір сәттегі мәнін басқа функцияның мәндерімен салыстыру үшін «функцияның өсуі» және «аргументтің ұлғаюы» сияқты ұғымдарды қолдану ыңғайлы.

«Функцияның өсуі» және «аргументтің ұлғаюы» ұғымдары

Мысалы, x - кез келген нүкте, ол x0 нүктесінің жақын маңында орналасқан. Дәлелдің x0 нүктесіндегі өсуі-x-x0 айырмасы. Қосымша келесі түрде көрсетілген: ∆х.

• ∆x = x-x0.

Кейде бұл мән тәуелсіз айнымалының x0 нүктесіндегі өсуі деп те аталады. Формуладан мыналар шығады: x = x0 + ∆x. Мұндай жағдайларда х0 тәуелсіз айнымалының бастапқы мәні ∆x өсімін алды деп айтылады.

Егер аргументті өзгертсек, онда функцияның мәні де өзгереді.

• f (x) - f (x0) = f (x0 + ∆х) - f (x0).

F функциясының x0 нүктесіндегі өсуі бойынша, f (x0 + ∆x) - f (x0) айырмасы ∆x өсіміне сәйкес деп аталады. Функцияның өсуі ∆f деп белгіленеді. Осылайша, біз анықтама бойынша аламыз:

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0).

Кейде ∆f тәуелді айнымалының қосындысы деп те аталады және егер функция, мысалы, y = f (x) болса, оны белгілеу үшін ∆y қолданылады.

Қосудың геометриялық мағынасы

Келесі фигураға назар аударыңыз.

Көріп отырғаныңыздай, өсім нүктенің ординатасы мен абциссасының өзгеруін көрсетеді. Ал функцияның өсуінің аргументке қатынасы нүктенің бастапқы және соңғы позициясынан өтетін секанттың көлбеу бұрышын анықтайды.

Функция мен аргументтерді ұлғайту мысалдарын қарастырыңыз

Мысал 1. F (x) = x 2, x0 = 2 a) x = 1.9 b) x = 2.1 болса, x0 нүктесіндегі ∆x аргументінің өсуі мен ∆f функциясының өсуін табыңыз.

Жоғарыда келтірілген формулаларды қолданайық:

а) ∆х = х -х0 = 1,9 -2 = -0,1;

• ∆f = f (1.9) - f (2) = 1.9 2 - 2 2 = -0.39;

б) ∆x = x-x0 = 2.1-2 = 0.1;

• ∆f = f (2.1) - f (2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

Мысал 2. F (x) = 1 / x функциясының x0 нүктесіндегі ∆f өсімін есептеңіз, егер аргументтің ұлғаюы ∆x -ке тең болса.

Тағы да біз жоғарыда алынған формулаларды қолданамыз.

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0) = 1 / (x0 -∆x) - 1 / x0 = (x0 - (x0 + ∆x)) / (x0 * (x0 + ∆x)) = - ∆x / ((x0 * (x0 + ∆x)).