Анықтама 1

Егер әр бір жұп үшін $ (x, y) $ белгілі бір аймақтың екі тәуелсіз айнымалы мәндерінің $ z $ белгілі бір мәні байланысқан болса, онда $ z $ екі айнымалы функциясы деп айтылады $ (x, у) $. Ескерту: $ z = f (x, y) $.

$ Z = f (x, y) $ функциясына қатысты функцияның жалпы (толық) және жартылай ұлғаю ұғымдарын қарастырыңыз.

$ (X, y) $ тәуелсіз екі айнымалының $ z = f (x, y) $ функциясы берілсін.

Ескерту 1

$ (X, y) $ айнымалысы тәуелсіз болғандықтан, олардың біреуі өзгеруі мүмкін, ал екіншісі тұрақты болып қалады.

$ Y $ айнымалысына $ \ Delta x $ артуын берейік, ал $ y $ айнымалы мәнін өзгеріссіз қалдырайық.

Сонда $ z = f (x, y) $ функциясы $ x = айнымалысына қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі деп аталатын өсім алады. Белгілеу:

Сол сияқты $ y $ айнымалысына $ \ $ $ айнымалысының мәнін өзгеріссіз қалдыра отырып, $ \ Delta y $ өсімін берейік.

Сонда $ z = f (x, y) $ функциясы $ z = f (x, y) $ функциясының $ y $ айнымалысына қатысты ішінара өсуі деп аталатын өсім алады. Белгілеу:

Егер $ x $ аргументіне $ \ Delta x $, ал $ y $ аргументі - $ \ Delta y $ өсімі берілсе, онда берілген $ z = f (x, y) $ функциясының толық өсуі алынған. Белгілеу:

Осылайша, бізде:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - $ z = f (x, y) $ функциясының $ x $ қатысты ішінара өсуі;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - $ y $ қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - $ z = f (x, y) $ функциясының толық өсуі.

Мысал 1

Шешім:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - $ x $ қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ - $ y $ қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - $ z = f (x, y) $ функциясының толық артуы.

Мысал 2

$ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $ үшін $ (1; 2) $ нүктесіндегі $ z = xy $ функциясының қосындысы мен қосындысын есептеңіз.

Шешім:

Жеке өсудің анықтамасы бойынша біз мыналарды табамыз:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - $ z = f (x, y) $ функциясының $ x $ қатысты ішінара өсуі

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - $ y $ қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі;

Толық қадамның анықтамасы бойынша біз мынаны табамыз:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - $ z = f (x, y) $ функциясының толық өсуі.

Демек,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 = 2.31. \]

Ескерту 2

Берілген $ z = f (x, y) $ функциясының жалпы өсімі $ \ Delta _ (x) z $ және $ \ Delta _ (y) z $ ішінара қосындыларының қосындысына тең емес. Математикалық белгілеу: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Мысал 3

Функцияның бекітілуін тексеріңіз

Шешім:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (1 -мысалда алынған)

Берілген $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуінің қосындысын табыңыз

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Delta y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Анықтама 2

Егер әрбір үштік $ (x, y, z) $ үшін белгілі бір аймақтың үш тәуелсіз айнымалы мәндерінің $ w $ белгілі бір мәні байланысқан болса, онда $ w $ үш айнымалы функциясы $ ( x, y, z) $ осы аймақта.

Белгілеу: $ w = f (x, y, z) $.

Анықтама 3

Егер әрбір жиынға $ (x, y, z, ..., t) $ белгілі бір аймақтан тәуелсіз айнымалылар мәндерінің $ w $ белгілі бір мәні байланысты болса, онда $ w $ функция деп аталады $ (x, y, z, ..., t) $ айнымалысы осы доменде.

Ескерту: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Үш немесе одан да көп айнымалы функция үшін, екі айнымалы функция сияқты, айнымалылардың әрқайсысы үшін ішінара өсімдер анықталады:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ -$ w = f (x, y, z,) функциясының ішінара өсуі. .., t) $ бойынша $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - $ функциясының ішінара өсуі w = f (x, y, z, ..., t) $ бойынша $ t $.

Мысал 4

Функцияның қосындысы мен қосындысын жазыңыз

Шешім:

Жеке өсудің анықтамасы бойынша біз мыналарды табамыз:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - $ w = f (x, y, z) $ функциясының $ x $ қатысты ішінара өсуі.

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - $ y = f (x, y, z) $ функциясының $ y $ қатысты ішінара өсуі;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ z = $ қатысты $ w = f (x, y, z) $ функциясының ішінара өсуі;

Толық қадамның анықтамасы бойынша біз мынаны табамыз:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ w = f (x, y, z) $ функциясының толық өсуі .

Мысал 5

$ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \ үшін $ (1; 2; 1) $ нүктесіндегі $ w = xyz $ функциясының қосындысы мен қосындысын есептеңіз. \, \ Delta z = 0,1 $.

Шешім:

Жеке өсудің анықтамасы бойынша біз мыналарды табамыз:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - $ x = f (x, y, z) $ функциясының ішінара өсуі

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - $ y = f (x, y, z) $ функциясының $ y $ қатысты ішінара өсуі;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ z = қатысты $ w = f (x, y, z) $ функциясының ішінара өсуі;

Толық қадамның анықтамасы бойынша біз мынаны табамыз:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ w = f (x, y, z) $ функциясының толық өсуі.

Демек,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0.1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0.1) \ cdot 1 = 2.1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0.1) = 2.2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) \ cdot (1 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

Геометриялық тұрғыдан $ z = f (x, y) $ функциясының жиынтық өсуі (анықтама бойынша $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x) , y) $) $ M (x, y) $ нүктесінен $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (1 -сурет).

Сурет 1.

Болсын NS- аргумент (тәуелсіз айнымалы); y = y (x)- функция.

Аргументтің бекітілген мәнін алайық x = x 0 және функцияның мәнін есептеңіз ж 0 = у (х 0 ) ... Енді біз ерікті түрде орнаттық қадам (дәлелді өзгерту) және оны белгілеу  NS ( NSкез келген белгі болуы мүмкін).

Қосымша дәлел - нүкте NS 0 +  NS... Онда функцияның мәні де бар делік y = y (x 0 +  NS)(суретті қараңыз).

Осылайша, аргумент мәнінің ерікті өзгеруімен функцияның өзгеруі алынады, ол аталады қадам бойынша функция мәндері:

және ерікті емес, бірақ функцияның формасы мен мәніне байланысты
.

Аргументтер мен функциялардың өсуі болуы мүмкін финал, яғни тұрақты сандар түрінде өрнектеледі, бұл жағдайда оларды кейде соңғы айырмашылықтар деп атайды.

Экономикада соңғы қадамдар жиі қарастырылады. Мысалы, кестеде белгілі бір мемлекеттің теміржол желісінің ұзындығы туралы мәліметтер көрсетілген. Әлбетте, таза ұзындық өсімі келесі мәннен алдыңғы мәнді алып тастау арқылы есептеледі.

Біз теміржол желісінің ұзындығын функция ретінде қарастырамыз, оның аргументі уақыт (жылдар) болады.

Желінің функциясының өсуі (бұл жағдайда теміржолдың ұзындығы) функцияның өзгеруін нашар сипаттайды. Біздің мысалда, бұл факт бойынша 2,5>0,9 желі тез дамыды деп қорытынды жасауға болмайды 2000-2003 жылдарға қарағанда 2004 g, себебі қадам 2,5 үш жылдық кезеңге жатады және 0,9 - небәрі бір жылға. Демек, функцияның ұлғаюы аргументтің өзгеру бірлігіне әкелуі заңдылық. Мұндағы аргументтердің өсуі кезеңдер болып табылады: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Біз экономикалық әдебиетте не аталатынын аламыз орташа жылдық өсім.

Егер біз функцияның мәндерін бір -бірінен айырмашылығы бар аргументтер мәндері үшін алсақ, бұл аргументтің өзгеру бірлігіне түрлендіру операциясын болдырмауға болады, бұл әрқашан мүмкін емес.

Математикалық талдауда, атап айтқанда, дифференциалдық есепте аргумент пен функцияның шексіз кіші (ВМ) өсуі қарастырылады.

Бір айнымалы функцияның дифференциациясы (туынды және дифференциалдық) Функция туындысы

Нүктеде аргумент пен функцияның өсуі NS 0 салыстырмалы шексіз шамалар ретінде қарастыруға болады (4 тақырыпты қараңыз, БМ салыстыру), т. БМ сол тәртіптегі.

Сонда олардың қатынасы m -де функцияның туындысы ретінде анықталатын ақырлы шекті болады NS 0 .

Функция өсімінің нүктедегі аргументтің ВМ ұлғаюына қатынасының шегі x = x 0 шақырды туынды берілген нүктеде қызмет етеді.

Туынды символдық белгілеуді праймермен (дәлірек айтқанда, рим цифрымен I) Ньютон енгізді. Сонымен қатар туынды есептеуге қандай айнымалы қолданылатынын көрсететін қосалқы индексті қолдануға болады, мысалы: ... Туынды есептеулердің негізін қалаушы, неміс математигі Лейбниц ұсынған тағы бір белгі кеңінен қолданылады:
... Сіз бұл белгінің шығу тегі туралы көбірек біле аласыз Дифференциалды функция мен дифференциалды функция.

Бұл сан болжайды жылдамдықнүкте арқылы өтетін функцияны өзгерту
.

Орнату геометриялық мағынасынүктесіндегі функцияның туындысы. Ол үшін біз функцияның графигін саламыз y = y (x)және ондағы өзгерісті анықтайтын нүктелерді белгілеңіз y (x)аралықта

Нүктедегі функция графигінің жанамасы М. 0
біз секанттың шектеулі орнын қарастырамыз М. 0 М.шарт бойынша
(нүкте М.функция графигін нүктеге жылжытады М. 0 ).

Қарастырыңыз
... Әлбетте,
.

Егер нүкте М.функциясының графигі бойынша нүктеге қарай жылжытыңыз М. 0 , содан кейін мән
біз белгілейтін белгілі бір шекке бейім болады
... Сонымен бірге.

Шектеу бұрышы  функциясының графигіне тартылған жанаманың көлбеу бұрышымен сәйкес келеді, соның ішінде. М. 0 , сондықтан туынды
сандық тең жанаманың көлбеуі көрсетілген нүктеде.

-

нүктеде функция туындысының геометриялық мағынасы.

Осылайша, тангенс пен нормаль теңдеулерін жаза аламыз ( қалыпты Бір нүктеде функция графигіне) жанамасына перпендикуляр түзу ме? NS 0 :

Тангенс -.

Қалыпты -
.

Бұл түзулер көлденең немесе тігінен орналасатын жағдайлар қызығушылық тудырады (3 -тақырыпты қараңыз, жазықтықтағы түзудің орналасуының ерекше жағдайлары). Содан кейін,

егер
;

егер
.

Туынды анықтамасы деп аталады дифференциация функциялар.

 Егер функция нүктеде болса NS 0 ақырлы туындысы бар, онда ол аталады ерекшеленетінБұл кезеңде. Белгілі бір интервалдың барлық нүктелерінде дифференциалданатын функция осы аралықта дифференциалды деп аталады.

 Теорема . Егер функция y = y (x)дифференциалды қоса NS 0 , онда бұл кезде үздіксіз болады.

Осылайша, сабақтастық- функцияның дифференциалдылығының қажетті (бірақ жеткіліксіз) шарты.

Анықтама 1

Егер әр бір жұп үшін $ (x, y) $ белгілі бір аймақтың екі тәуелсіз айнымалы мәндерінің $ z $ белгілі бір мәні байланысқан болса, онда $ z $ екі айнымалы функциясы деп айтылады $ (x, у) $. Ескерту: $ z = f (x, y) $.

Қарым-қатынаста функция$ z = f (x, y) $ функцияның жалпы (толық) және жартылай ұлғаю ұғымдарын қарастырады.

$ (X, y) $ тәуелсіз екі айнымалының $ z = f (x, y) $ функциясы берілсін.

Ескерту 1

$ (X, y) $ айнымалысы тәуелсіз болғандықтан, олардың біреуі өзгеруі мүмкін, ал екіншісі тұрақты болып қалады.

$ Y $ айнымалысына $ \ Delta x $ артуын берейік, ал $ y $ айнымалы мәнін өзгеріссіз қалдырайық.

Сонда $ z = f (x, y) $ функциясы $ x = айнымалысына қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі деп аталатын өсім алады. Белгілеу:

Сол сияқты $ y $ айнымалысына $ \ $ $ айнымалысының мәнін өзгеріссіз қалдыра отырып, $ \ Delta y $ өсімін берейік.

Сонда $ z = f (x, y) $ функциясы $ z = f (x, y) $ функциясының $ y $ айнымалысына қатысты ішінара өсуі деп аталатын өсім алады. Белгілеу:

Егер $ x $ аргументіне $ \ Delta x $, ал $ y $ аргументі - $ \ Delta y $ өсімі берілсе, онда берілген $ z = f (x, y) $ функциясының толық өсуі алынған. Белгілеу:

Осылайша, бізде:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - $ z = f (x, y) $ функциясының $ x $ қатысты ішінара өсуі;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - $ y $ қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - $ z = f (x, y) $ функциясының толық өсуі.

Мысал 1

Шешім:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - $ x $ қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ - $ y $ қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - $ z = f (x, y) $ функциясының толық артуы.

Мысал 2

$ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $ үшін $ (1; 2) $ нүктесіндегі $ z = xy $ функциясының қосындысы мен қосындысын есептеңіз.

Шешім:

Жеке өсудің анықтамасы бойынша біз мыналарды табамыз:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - $ z = f (x, y) $ функциясының $ x $ қатысты ішінара өсуі

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - $ y $ қатысты $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуі;

Толық қадамның анықтамасы бойынша біз мынаны табамыз:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - $ z = f (x, y) $ функциясының толық өсуі.

Демек,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 = 2.31. \]

Ескерту 2

Берілген $ z = f (x, y) $ функциясының жалпы өсімі $ \ Delta _ (x) z $ және $ \ Delta _ (y) z $ ішінара қосындыларының қосындысына тең емес. Математикалық белгілеу: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Мысал 3

Функцияның бекітілуін тексеріңіз

Шешім:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (1 -мысалда алынған)

Берілген $ z = f (x, y) $ функциясының ішінара өсуінің қосындысын табыңыз

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Delta y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Анықтама 2

Егер әрбір үштік $ (x, y, z) $ үшін белгілі бір аймақтың үш тәуелсіз айнымалы мәндерінің $ w $ белгілі бір мәні байланысқан болса, онда $ w $ үш айнымалы функциясы $ ( x, y, z) $ осы аймақта.

Белгілеу: $ w = f (x, y, z) $.

Анықтама 3

Егер әрбір жиынға $ (x, y, z, ..., t) $ белгілі бір аймақтан тәуелсіз айнымалылар мәндерінің $ w $ белгілі бір мәні байланысты болса, онда $ w $ функция деп аталады $ (x, y, z, ..., t) $ айнымалысы осы доменде.

Ескерту: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Үш немесе одан да көп айнымалы функция үшін, екі айнымалы функция сияқты, айнымалылардың әрқайсысы үшін ішінара өсімдер анықталады:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ -$ w = f (x, y, z,) функциясының ішінара өсуі. .., t) $ бойынша $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - $ функциясының ішінара өсуі w = f (x, y, z, ..., t) $ бойынша $ t $.

Мысал 4

Функцияның қосындысы мен қосындысын жазыңыз

Шешім:

Жеке өсудің анықтамасы бойынша біз мыналарды табамыз:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - $ w = f (x, y, z) $ функциясының $ x $ қатысты ішінара өсуі.

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - $ y = f (x, y, z) $ функциясының $ y $ қатысты ішінара өсуі;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ z = $ қатысты $ w = f (x, y, z) $ функциясының ішінара өсуі;

Толық қадамның анықтамасы бойынша біз мынаны табамыз:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ w = f (x, y, z) $ функциясының толық өсуі .

Мысал 5

$ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \ үшін $ (1; 2; 1) $ нүктесіндегі $ w = xyz $ функциясының қосындысы мен қосындысын есептеңіз. \, \ Delta z = 0,1 $.

Шешім:

Жеке өсудің анықтамасы бойынша біз мыналарды табамыз:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - $ x = f (x, y, z) $ функциясының ішінара өсуі

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - $ y = f (x, y, z) $ функциясының $ y $ қатысты ішінара өсуі;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ z = қатысты $ w = f (x, y, z) $ функциясының ішінара өсуі;

Толық қадамның анықтамасы бойынша біз мынаны табамыз:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ w = f (x, y, z) $ функциясының толық өсуі.

Демек,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0.1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0.1) \ cdot 1 = 2.1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0.1) = 2.2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) \ cdot (1 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

Геометриялық тұрғыдан $ z = f (x, y) $ функциясының жиынтық өсуі (анықтама бойынша $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x) , y) $) $ M (x, y) $ нүктесінен $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (1 -сурет).

Сурет 1.

Өмірде бізді кез келген шаманың нақты мәндері қызықтыра бермейді. Кейде бұл мәннің өзгеруін білу қызықты, мысалы, автобустың орташа жылдамдығы, қозғалыс мөлшерінің уақыт кезеңіне қатынасы және т.б. Функцияның бір нүктедегі мәнін сол функцияның басқа нүктелеріндегі мәндермен салыстыру үшін «функцияның өсуі» және «аргументтің өсуі» сияқты ұғымдарды қолдану ыңғайлы.

«Функцияның өсуі» және «аргументтің ұлғаюы» ұғымдары

Айталық, х - кез келген нүкте, ол x0 нүктесінің жақын маңында орналасқан. Дәлелдің x0 нүктесіндегі өсуі-x-x0 айырмасы. Қосымша келесі түрде көрсетілген: ∆х.

• ∆x = x-x0.

Кейде бұл мән тәуелсіз айнымалының x0 нүктесіндегі өсуі деп те аталады. Формуладан мыналар шығады: x = x0 + ∆x. Мұндай жағдайларда х0 тәуелсіз айнымалысының бастапқы мәні ∆x өсімін алды деп айтылады.

Егер аргументті өзгертсек, онда функцияның мәні де өзгереді.

• f (x) - f (x0) = f (x0 + ∆х) - f (x0).

F функциясының x0 нүктесіндегі өсуі, f (x0 + ∆x) - f (x0) айырмасы ∆x өсіміне сәйкес деп аталады. Функцияның өсуі ∆f деп белгіленеді. Осылайша, біз анықтама бойынша аламыз:

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0).

Кейде ∆f тәуелді айнымалының қосындысы деп те аталады және егер функция, мысалы, y = f (x) болса, оны белгілеу үшін ∆y қолданылады.

Қосудың геометриялық мағынасы

Келесі фигураға назар аударыңыз.

Көріп отырғаныңыздай, өсім нүктенің ординатасы мен абциссасының өзгеруін көрсетеді. Ал функцияның өсуінің аргументке қатынасы нүктенің бастапқы және соңғы позициясынан өтетін секанттың көлбеу бұрышын анықтайды.

Функция мен аргументтерді ұлғайту мысалдарын қарастырыңыз

Мысал 1. F (x) = x 2, x0 = 2 a) x = 1.9 b) x = 2.1 болса, x0 нүктесіндегі ∆x аргументінің өсуі мен ∆f функциясының өсуін табыңыз.

Жоғарыда келтірілген формулаларды қолданайық:

а) ∆х = х -х0 = 1,9 -2 = -0,1;

• ∆f = f (1.9) - f (2) = 1.9 2 - 2 2 = -0.39;

б) ∆x = x-x0 = 2.1-2 = 0.1;

• ∆f = f (2.1) - f (2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

Мысал 2. F (x) = 1 / x функциясының x0 нүктесіндегі ∆f өсімін есептеңіз, егер аргументтің ұлғаюы ∆x -ке тең болса.

Тағы да біз жоғарыда алынған формулаларды қолданамыз.

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0) = 1 / (x0 -∆x) - 1 / x0 = (x0 - (x0 + ∆x)) / (x0 * (x0 + ∆x)) = - ∆x / ((x0 * (x0 + ∆x)).