Нека бъде NS- аргумент (независима променлива); y = y (x)- функция.

Нека вземем фиксирана стойност на аргумента x = x 0 и изчислява стойността на функцията y 0 = y (x 0 ) ... Сега произволно задаваме увеличение (променете) аргумента и го означете  NS ( NSможе да бъде от всякакъв знак).

Допълнителен аргумент е точка NS 0 +  NS... Да предположим, че съдържа и стойността на функцията y = y (x 0 +  NS)(виж фигурата).

Така при произволна промяна в стойността на аргумента се получава промяна във функцията, която се извиква постепенно функционални стойности:

и не е произволен, а зависи от формата на функцията и стойността
.

Прирастването на аргументи и функции може да бъде финал, т.е. изразени като постоянни числа, в този случай те понякога се наричат ​​крайни разлики.

В икономиката крайните стъпки се разглеждат много често. Например таблицата съдържа данни за дължината на железопътната мрежа на определено състояние. Очевидно нарастването на нетната дължина се изчислява чрез изваждане на предишната стойност от следващата.

Ще разгледаме дължината на железопътната мрежа като функция, аргументът на която ще бъде време (години).

	Дължина на железопътната линия към 31 декември, хиляди км	Прирастване	Средногодишен прираст

Само по себе си увеличаването на функцията (в този случай дължината на железопътната линия) на мрежата) слабо характеризира промяната във функцията. В нашия пример, от факта, че 2,5>0,9 не може да се заключи, че мрежата нараства по -бързо 2000-2003 години, отколкото през 2004 g, защото прирастването 2,5 се отнася за тригодишен период, и 0,9 - само с една година. Следователно е съвсем естествено, че увеличаването на функцията води до единицата на промяна в аргумента. Прирастването на аргументи тук е периоди: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Получаваме това, което се нарича в икономическата литература средногодишен прираст.

Възможно е да се избегне операцията по преобразуване на приращението в единицата за промяна на аргумента, ако вземем стойностите на функцията за стойностите на аргумента, които се различават с единица, което не винаги е възможно.

При математическия анализ, по -специално при диференциалното смятане, се вземат предвид безкрайно малките (BM) стъпки на аргумент и функция.

Диференциране на функция на една променлива (производна и диференциална) Производна на функция

Прибавянето на аргументи и функции в точката NS 0 могат да се разглеждат като сравними безкрайно малки количества (вж. тема 4, сравнение на BM), т.е. BM от същия ред.

Тогава тяхното съотношение ще има крайна граница, която се определя като производна на функцията при m NS 0 .

Границата на съотношението на приращението на функцията към BM нарастването на аргумента в точката x = x 0 Наречен производно функционира в дадена точка.

Символичното обозначение на производната с просто число (или по -скоро римската цифра I) е въведено от Нютон. Можете също да използвате индекс, който показва коя променлива се използва за изчисляване на производната, например, ... Друга нотация също е широко използвана, предложена от основателя на изчислението на производни, немския математик Лайбниц:
... Ще научите повече за произхода на това наименование в раздела Функционален диференциал и аргументен диференциал.

Този брой се оценява скоростпромяна на функцията, преминаваща през точката
.

Инсталирай геометрично значениепроизводна на функцията в точката. За тази цел ние начертаваме функцията y = y (x)и маркирайте точките върху него, които определят промяната y (x)междувременно

Тангенсата към графиката на функцията в точката М 0
ще разгледаме ограничаващата позиция на секанта М 0 Мв състояние
(точка Мплъзга графиката на функциите до точка М 0 ).

Обмисли
... Очевидно,
.

Ако точка Мпридвижване по графиката на функцията към точката М 0 , след това стойността
ще се стреми към определена граница, която ние обозначаваме
... При което.

Ограничаващ ъгъл  съвпада с ъгъла на наклона на допирателната, изтеглена към графиката на функцията, вкл. М 0 , така че производната
числено равни наклон на допирателната в посочената точка.

-

геометричното значение на производната на функция в точка.

По този начин можем да запишем уравненията на допирателната и нормалната ( нормално Е права, перпендикулярна на допирателната) към графиката на функцията в някакъв момент NS 0 :

Допирателна -.

Нормално -
.

Интерес представляват случаите, когато тези прави линии са разположени хоризонтално или вертикално (вижте тема 3, специални случаи на позицията на права линия в равнина). Тогава,

ако
;

ако
.

Определението на производната се нарича диференциация функции.

Ако функцията в точката NS 0 има крайна производна, тогава се нарича диференцируемв този момент. Функция, диференцируема във всички точки на определен интервал, се нарича диференцируема на този интервал.

 Теорема . Ако функцията y = y (x)диференцируем вкл. NS 0 , тогава тя е непрекъсната в този момент.

Поради това, приемственост- необходимо (но не достатъчно) условие за диференцируемост на функция.

1. прирастване на аргумент и увеличение на функцията.

Нека бъде дадена функция. Нека вземем две стойности на аргумента: начална и модифициран, който обикновено се обозначава
, където - сумата, с която се променя аргументът при преминаване от първата стойност към втората, тя се извиква чрез увеличаване на аргумента.

Стойности на аргументи и съответстват на специфични стойности на функцията: начални и модифициран
, стойността , чрез който стойността на функцията се променя, когато аргументът се променя с сума, се извиква увеличение на функцията.

2. концепцията за границата на функция в дадена точка.

Номер се нарича граница на функцията
когато се стреми към ако за произволно число
има такъв брой
това за всички
удовлетворяване на неравенството
, неравенството
.

Второ определение: Числото се нарича граница на функция, която се стреми към, ако за всяко число има околност на точката, така че за която и да е от тази околност. Означава се
.

3. безкрайно големи и безкрайно малки функции в точка. Безкрайно малка функция в точка е функция, чиято граница, когато се стреми към дадена точка, е нула. Безкрайно голяма функция в точка е функция, чиято граница, когато се стреми към дадена точка, е равна на безкрайността.

4. основни теореми за границите и техните последствия (без доказателство).

последица: постоянният фактор може да бъде изваден от граничния знак:

Ако последователностите и се сближават и тогава границата на последователността е ненулева

следствие: постоянният фактор може да бъде изваден от граничния знак.

11. ако съществуват граници на функции за
и
и границата на функциите е нула,

тогава има и граница на тяхното съотношение, равна на съотношението на границите на функциите и:

.

12. ако
, тогава
, обратното също е вярно.

13. теорема за границата на междинната последователност. Ако последователностите
сближаване и
и
тогава

5. границата на функцията при безкрайност.

Числото a се нарича граница на функция в безкрайност (като x се стреми към безкрайност), ако за всяка последователност, която се стреми към безкрайност
има последователност от стойности, стремящи се към числото а.

6. g са границите на числова последователност.

Номер асе нарича граница на числова последователност, ако за всяко положително число има естествено число N такова, че за всички н> ннеравенството важи
.

Това е символично определено, както следва:
справедлив.

Фактът, че броят ае границата на последователността, обозначена както следва:

.

7. числото "е". естествени логаритми.

Номер "Е" представлява границата на числова последователност, н- чийто член
, т.е.

.

Естествен логаритъм - логаритъм с основа д. се означават естествени логаритми
без да се посочва основата.

Номер
ви позволява да превключвате от десетичен към естествен логаритъм и обратно.

, той се нарича модул на преход от естествени логаритми към десетичен.

8. забележителни граници
,

.

Първата забележителна граница:

по този начин при

по теоремата за междинната граница на последователността

второ забележително ограничение:

.

За да се докаже съществуването на границата
използвайте лемата: за всяко реално число
и
неравенството е вярно
(2) (за
или
неравенството се превръща в равенство.)

Последователността (1) може да бъде записана по следния начин:

.

Сега помислете за спомагателна последователност с общ термин
нека се уверим, че тя намалява и е ограничена отдолу:
ако
, тогава последователността намалява. Ако
, тогава последователността е ограничена отдолу. Нека покажем това:

по силата на равенство (2)

т.е.
или
... Тоест, последователността намалява, тъй като последователността е ограничена отдолу. Ако последователността намалява и е ограничена отдолу, тогава тя има ограничение. Тогава

има ограничение и последователност (1), тъй като

и
.

Л. Ойлер нарича тази граница .

9. едностранни граници, функционална празнина.

число А е лявата граница, ако за всяка последователност е вярно следното :.

число А е дясната граница, ако за всяка последователност е вярно следното :.

Ако в точката апринадлежащи към областта на дефиниране на функцията или нейната граница, условието за непрекъснатост на функцията е нарушено, тогава точката асе нарича точка на прекъсване или прекъсване на функция.

12. сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Геометричната прогресия е последователност, в която връзката между следващите и предишните членове остава непроменена, тази връзка се нарича знаменател на прогресията. Сумата на първата нчленове на геометрична прогресия се изразява с формулата
удобно е тази формула да се използва за намаляваща геометрична прогресия - прогресия, при която абсолютната стойност на нейния знаменател е по -малка от нула. - първият член; - знаменателят на прогресията; - номера на взетия член от поредицата. Сумата на безкрайно намаляваща прогресия е число, към което сумата от първите членове на намаляващата прогресия се приближава неограничено с неограничено увеличаване на броя.
тогава. Сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия е .

Определение 1

Ако за всяка двойка $ (x, y) $ стойности на две независими променливи от определен регион е свързана определена стойност от $ z $, тогава $ z $ се казва, че е функция на две променливи $ (x, y) $. Нотация: $ z = f (x, y) $.

По отношение на функцията $ z = f (x, y) $, разгледайте понятията за общи (пълни) и частични стъпки на функция.

Нека бъде дадена функция $ z = f (x, y) $ от две независими променливи $ (x, y) $.

Забележка 1

Тъй като променливите $ (x, y) $ са независими, едната от тях може да се промени, а другата остава постоянна.

Нека да дадем на променливата $ x $ увеличение от $ \ Delta x $, като запазим стойността на променливата $ y $ непроменена.

Тогава функцията $ z = f (x, y) $ ще получи увеличение, което ще се нарече частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на променливата $ x $. Обозначаване:

По същия начин, нека да дадем на променливата $ y $ увеличение от $ \ Delta y $, като същевременно запазим стойността на променливата $ x $ непроменена.

Тогава функцията $ z = f (x, y) $ ще получи увеличение, което ще се нарече частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на променливата $ y $. Обозначаване:

Ако на аргумента $ x $ се даде увеличение $ \ Delta x $, а на аргумента $ y $ - увеличението $ \ Delta y $, тогава пълното увеличение на дадената функция $ z = f (x, y) $ е получени. Обозначаване:

Така имаме:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ y $;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - пълно увеличение на функцията $ z = f (x, y) $.

Пример 1

Решение:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ е частичното увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ y $.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - пълно увеличение на функцията $ z = f (x, y) $.

Пример 2

Изчислете коефициента и общото увеличение на функцията $ z = xy $ в точката $ (1; 2) $ за $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $.

Решение:

По дефиницията на частното увеличение, намираме:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ x $

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ y $;

По дефиницията на пълното увеличение, намираме:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - пълно увеличение на функцията $ z = f (x, y) $.

Следователно,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 = 2,31. \]

Забележка 2

Общото увеличение на дадена функция $ z = f (x, y) $ не е равно на сумата от нейните частични стъпки $ \ Delta _ (x) z $ и $ \ Delta _ (y) z $. Математическа нотация: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Пример 3

Проверете забележката на твърдението за функция

Решение:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (получено в пример 1)

Намерете сумата от частичните стъпки на дадената функция $ z = f (x, y) $

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Delta y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Определение 2

Ако за всяка тройна $ (x, y, z) $ от стойности на три независими променливи от определен регион е свързана определена стойност от $ w $, тогава $ w $ се казва функция от три променливи $ ( x, y, z) $ в тази област.

Обозначение: $ w = f (x, y, z) $.

Определение 3

Ако за всяка колекция $ (x, y, z, ..., t) $ от стойности на независими променливи от определен регион е свързана определена стойност от $ w $, тогава $ w $ се казва функция променливи $ (x, y, z, ..., t) $ в този домейн.

Нотация: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

За функция от три или повече променливи, по същия начин, както за функция от две променливи, за всяка от променливите се определят частични стъпки:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z, .. ., t) $ по $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z, ..., t) $ от $ t $.

Пример 4

Напишете коефициента и общото увеличение на функция

Решение:

По дефиницията на частното увеличение, намираме:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ x $

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ z $;

По дефиницията на пълното увеличение, намираме:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - пълно увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ .

Пример 5

Изчислете коефициента и общото увеличение на функцията $ w = xyz $ в точката $ (1; 2; 1) $ за $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \, \, \ Делта z = 0,1 $.

Решение:

По дефиницията на частното увеличение, намираме:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ x $

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ z $;

По дефиницията на пълното увеличение, намираме:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - пълно увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $.

Следователно,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0.1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0.1) \ cdot 1 = 2.1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0,1) = 2,2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) \ cdot (1 + 0,1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

От геометрична гледна точка, общото увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ (по дефиниция, $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x , y) $) е равно на нарастването на функцията за кандидатстване на графика $ z = f (x, y) $ при преминаване от точка $ M (x, y) $ до точка $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (фиг. 1).

Снимка 1.

Определение 1

Ако за всяка двойка $ (x, y) $ стойности на две независими променливи от определен регион е свързана определена стойност от $ z $, тогава $ z $ се казва, че е функция на две променливи $ (x, y) $. Нотация: $ z = f (x, y) $.

По отношение на функцията $ z = f (x, y) $, разгледайте понятията за общи (пълни) и частични стъпки на функция.

Нека бъде дадена функция $ z = f (x, y) $ от две независими променливи $ (x, y) $.

Забележка 1

Тъй като променливите $ (x, y) $ са независими, едната от тях може да се промени, а другата остава постоянна.

Нека да дадем на променливата $ x $ увеличение от $ \ Delta x $, като запазим стойността на променливата $ y $ непроменена.

Тогава функцията $ z = f (x, y) $ ще получи увеличение, което ще се нарече частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на променливата $ x $. Обозначаване:

По същия начин, нека да дадем на променливата $ y $ увеличение от $ \ Delta y $, като същевременно запазим стойността на променливата $ x $ непроменена.

Тогава функцията $ z = f (x, y) $ ще получи увеличение, което ще се нарече частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на променливата $ y $. Обозначаване:

Ако на аргумента $ x $ се даде увеличение $ \ Delta x $, а на аргумента $ y $ - увеличението $ \ Delta y $, тогава пълното увеличение на дадената функция $ z = f (x, y) $ е получени. Обозначаване:

Така имаме:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ y $;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - пълно увеличение на функцията $ z = f (x, y) $.

Пример 1

Решение:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ е частичното увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ y $.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - пълно увеличение на функцията $ z = f (x, y) $.

Пример 2

Изчислете коефициента и общото увеличение на функцията $ z = xy $ в точката $ (1; 2) $ за $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $.

Решение:

По дефиницията на частното увеличение, намираме:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ x $

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ y $;

По дефиницията на пълното увеличение, намираме:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - пълно увеличение на функцията $ z = f (x, y) $.

Следователно,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 = 2,31. \]

Забележка 2

Общото увеличение на дадена функция $ z = f (x, y) $ не е равно на сумата от нейните частични стъпки $ \ Delta _ (x) z $ и $ \ Delta _ (y) z $. Математическа нотация: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Пример 3

Проверете забележката на твърдението за функция

Решение:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (получено в пример 1)

Намерете сумата от частичните стъпки на дадената функция $ z = f (x, y) $

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Delta y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Определение 2

Ако за всяка тройна $ (x, y, z) $ от стойности на три независими променливи от определен регион е свързана определена стойност от $ w $, тогава $ w $ се казва функция от три променливи $ ( x, y, z) $ в тази област.

Обозначение: $ w = f (x, y, z) $.

Определение 3

Ако за всяка колекция $ (x, y, z, ..., t) $ от стойности на независими променливи от определен регион е свързана определена стойност от $ w $, тогава $ w $ се казва функция променливи $ (x, y, z, ..., t) $ в този домейн.

Нотация: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

За функция от три или повече променливи, по същия начин, както за функция от две променливи, за всяка от променливите се определят частични стъпки:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z, .. ., t) $ по $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z, ..., t) $ от $ t $.

Пример 4

Напишете коефициента и общото увеличение на функция

Решение:

По дефиницията на частното увеличение, намираме:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ x $

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ z $;

По дефиницията на пълното увеличение, намираме:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - пълно увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ .

Пример 5

Изчислете коефициента и общото увеличение на функцията $ w = xyz $ в точката $ (1; 2; 1) $ за $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \, \, \ Делта z = 0,1 $.

Решение:

По дефиницията на частното увеличение, намираме:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ x $

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ z $;

По дефиницията на пълното увеличение, намираме:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - пълно увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $.

Следователно,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0.1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0.1) \ cdot 1 = 2.1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0,1) = 2,2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) \ cdot (1 + 0,1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

От геометрична гледна точка, общото увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ (по дефиниция, $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x , y) $) е равно на нарастването на функцията за кандидатстване на графика $ z = f (x, y) $ при преминаване от точка $ M (x, y) $ до точка $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (фиг. 1).

Снимка 1.

В живота не винаги се интересуваме от точните стойности на каквито и да било количества. Понякога е интересно да се знае промяната в тази стойност, например средната скорост на автобуса, съотношението на количеството движение към периода от време и т.н. За да се сравни стойността на функция в даден момент със стойностите на същата функция в други точки, е удобно да се използват понятия като "прирастване на функция" и "увеличение на аргумента".

Понятията "нарастване на функция" и "увеличение на аргумента"

Да предположим, че x е произволна точка, която се намира в някаква околност на точката x0. Прирастването на аргумента в точката x0 е разликата x-x0. Прирастването се посочва, както следва: ∆х.

• ∆x = x-x0.

Понякога тази стойност се нарича и увеличение на независимата променлива в точката x0. От формулата следва: x = x0 + ∆x. В такива случаи се казва, че първоначалната стойност на независимата променлива x0 е получила увеличение ∆x.

Ако променим аргумента, стойността на функцията също ще се промени.

• f (x) - f (x0) = f (x0 + ∆х) - f (x0).

Чрез увеличението на функцията f в точката x0,разликата f (x0 + ∆x) - f (x0) се нарича съответстваща на нарастването ∆x. Прирастването на функция се обозначава като ∆f. По този начин получаваме по дефиниция:

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0).

Понякога ∆f се нарича и увеличение на зависимата променлива и ∆y се използва за неговото обозначаване, ако функцията е била например y = f (x).

Геометрично значение на нарастването

Обърнете внимание на следната фигура.

Както можете да видите, инкрементът показва промяната в ординатата и абсцисата на точката. И съотношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента определя ъгъла на наклона на секанта, преминаващ през началното и крайното положение на точката.

Помислете за примери за увеличаване на функциите и аргументите

Пример 1.Намерете нарастването на аргумента ∆x и нарастването на функцията ∆f в точката x0, ако f (x) = x 2, x0 = 2 a) x = 1,9 b) x = 2,1

Нека използваме формулите, дадени по -горе:

а) ∆х = х -х0 = 1,9 -2 = -0,1;

• ∆f = f (1,9) - f (2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

б) ∆x = x-x0 = 2,1-2 = 0,1;

• ∆f = f (2.1) - f (2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

Пример 2.Изчислете нарастването ∆f за функцията f (x) = 1 / x в точката x0, ако нарастването на аргумента е равно на ∆x.

Отново ще използваме получените по -горе формули.

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0) = 1 / (x0 -∆x) - 1 / x0 = (x0 - (x0 + ∆x)) / (x0 * (x0 + ∆x)) = - ∆x / ((x0 * (x0 + ∆x)).