Въведение ……………………………………………………………………………… 3

1. Теоретична част ……………………………………………………………… .4

Основни понятия и термини ……………………………………………… .... 4

1.1 Видове последователности ……………………………………………… ... 6

1.1.1. Ограничени и неограничени числови последователности ... ..6

1.1.2. Монотонност на последователностите ………………………………… 6

1.1.3. Безкрайно големи и безкрайно малки последователности …… .7

1.1.4 Свойства на безкрайно малките последователности ………………… 8

1.1.5 Конвергиращи и разминаващи се последователности и техните свойства ... ... 9

1.2 Граница на последователността ……………………………………………… .11

1.2.1 Теореми за ограничаване на последователността ……………………………………………………………………………………… 15

1.3. Аритметична прогресия ……………………………………………… 17

1.3.1. Свойства на аритметичната прогресия ………………………………… ..17

1.4 Геометрична прогресия ……………………………………………… ..19

1.4.1. Свойства на геометрична прогресия …………………………………… .19

1.5. Числа на Фибоначи ………………………………………………………… ..21

1.5.1 Връзка на числата на Фибоначи с други области на знанието …………………… .22

1.5.2. Използване на поредица от числа на Фибоначи за описание на живата и неживата природа …………………………………………………………………………… .23

2. Собствени изследвания ………………………………………………… .28

Заключение ………………………………………………………………… .30

Списък на използваната литература ………………………………………… .... 31

Въведение.

Числовите последователности са много интересна и информативна тема. Тази тема се среща в задачи с повишена сложност, които се предлагат на студентите от автори на дидактически материали, в задачи от математически олимпиади, приемни изпити във висшите учебни заведения и Единния държавен изпит. Интересувам се да науча връзката на математическите последователности с други области на знанието.

Целта на изследователската работа: Да се ​​разширят познанията за последователността на числата.

1. Помислете за последователността;

2. Помислете за неговите свойства;

3. Помислете за аналитичната задача на последователността;

4. Демонстрирайте своята роля в развитието на други области на знанието.

5. Демонстрирайте използването на поредица от числа на Фибоначи за описание на живата и неживата природа.

1. Теоретичната част.

Основни понятия и термини.

Определение. Числовата последователност е функция от формата y = f (x), x О N, където N е набор от естествени числа (или функция от естествен аргумент), обозначен с y = f (n) или y1, y2 ,…, Ин,…. Стойностите y1, y2, y3, ... се наричат ​​съответно първи, втори, трети, ... членове на последователността.

Числото a се нарича граница на последователността x = (x n), ако за произволно предварително определено произволно малко положително число ε има естествено число N такова, че за всички n> N неравенството | x n - a |< ε.

Ако числото a е границата на последователността x = (x n), те казват, че x n се стреми към a и пишат

Последователност (yn) се нарича нарастваща, ако всеки от нейните членове (с изключение на първия) е по -голям от предишния:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Последователност (yn) се нарича намаляваща, ако всеки от нейните членове (с изключение на първия) е по -малък от предишния:

y1> y2> y3>…> yn> yn + 1>….

Възходящите и низходящите последователности са обединени от общ термин - монотонни последователности.

Последователност се нарича периодична, ако съществува естествено число T, така че, започвайки от някои n, важи равенството yn = yn + T. Числото Т се нарича продължителност на периода.

Аритметичната прогресия е последователност (an), всеки член на която, започвайки от втория, е равен на сумата от предишния член и същото число d, се нарича аритметична прогресия, а числото d е разликата на an аритметична прогресия.

По този начин аритметичната прогресия е числова последователност (an), дадена рекурсивно от отношенията

a1 = a, an = an - 1 + d (n = 2, 3, 4, ...)

Геометрична прогресия е последователност, всички членове на която са ненулеви и всеки член на която, започвайки от втория, се получава от предишния член чрез умножение по същото число q.

По този начин геометричната прогресия е числова последователност (bn), дадена рекурсивно от отношенията

b1 = b, bn = bn - 1 q (n = 2, 3, 4 ...).

1.1 Видове последователности.

1.1.1 Ограничени и неограничени последователности.

Последователност (bn) се нарича ограничена отгоре, ако има число M такова, че за всяко число n неравенството bn≤ M е изпълнено;

Последователност (bn) се нарича ограничена отдолу, ако има число M, така че за всяко число n неравенството bn≥ M е изпълнено;

Например:

1.1.2 Монотонност на последователностите.

Последователност (bn) се нарича неувеличаваща се (не намаляваща), ако за всяко число n неравенството bn≥ bn + 1 (bn ≤bn + 1) е вярно;

Последователност (bn) се нарича намаляваща (нарастваща), ако за всяко число n неравенството bn> bn + 1 (bn

Намаляващите и увеличаващи се последователности се наричат ​​строго монотонни, неувеличаващи се монотонни в широкия смисъл.

Последователностите, които са ограничени едновременно отгоре и отдолу, се наричат ​​ограничени.

Последователността на всички тези типове се нарича съвместно монотонна.

1.1.3 Безкрайно големи и малки последователности.

Безкрайно малка поредица е числова функция или последователност, която се стреми към нула.

Последователност an се нарича безкрайно малка, ако

Функция се нарича безкрайно малка в околността на точката x0, ако ℓimx → x0 f (x) = 0.

Функция се нарича безкрайно малка в безкрайност, ако ℓimx →. + ∞ f (x) = 0 или ℓimx → -∞ f (x) = 0

Също така безкрайно малка функция е разликата между функция и нейната граница, тоест ако ℓimx →. + ∞ f (x) = a, тогава f (x) - a = α (x), ℓimx →. + ∞ f ((x) -a) = 0.

Безкрайно голяма последователност е числова функция или последователност, която се стреми към безкрайност.

Последователност an се нарича безкрайно голяма, ако

ℓimn → 0 an = ∞.

Функция се нарича безкрайно голяма в околността на точката x0, ако ℓimx → x0 f (x) = ∞.

Функция се нарича безкрайно голяма при безкрайност, ако

ℓimx →. + ∞ f (x) = ∞ или ℓimx → -∞ f (x) = ∞.

1.1.4 Свойства на безкрайно малки поредици.

Сумата от две безкрайно малки поредици също е безкрайно малка.

Разликата в две безкрайно малки поредици също е безкрайно малка.

Алгебричната сума на произволен краен брой безкрайно малки числа е също безкрайно малка.

Продуктът на ограничена последователност от безкрайно малка поредица е безкрайно малка.

Произведението на произволен краен брой безкрайно малки числа е безкрайно малка.

Всяка безкрайно малка последователност е ограничена.

Ако една неподвижна последователност е безкрайно малка, тогава всички нейни елементи, започвайки с някаква единица, са равни на нула.

Ако цялата безкрайно малка поредица се състои от еднакви елементи, тогава тези елементи са нули.

Ако (xn) е безкрайно голяма последователност, която не съдържа нулеви членове, тогава има последователност (1 / xn), която е безкрайно малка. Ако въпреки това (xn) съдържа нулеви елементи, тогава последователността (1 / xn) все още може да бъде определена, започвайки от някакво число n, и все още ще бъде безкрайно малка.

Ако (an) е безкрайно малка последователност, която не съдържа нулеви членове, тогава има последователност (1 / an), която е безкрайно голяма. Ако въпреки това (an) съдържа нулеви елементи, тогава последователността (1 / an) все още може да бъде определена, започвайки от някакво число n, и все още ще бъде безкрайно голяма.

1.1.5 Конвергиращи и разминаващи се последователности и техните свойства.

Сближаваща се последователност е поредица от елементи от множество X, която има ограничение в това множество.

Дивергентна последователност е последователност, която не е конвергентна.

Всяка безкрайно малка последователност е конвергентна. Границата му е нула.

Премахването на какъвто и да е краен брой елементи от безкрайна последователност не засяга нито конвергенцията, нито границата на тази последователност.

Всяка конвергираща последователност е ограничена. Не всяка ограничена последователност обаче се сближава.

Ако последователността (xn) се сближава, но не е безкрайно малка, тогава, започвайки от някакво число, се определя последователността (1 / xn), която е ограничена.

Сумата от конвергентните последователности също е конвергентна последователност.

Разликата в конвергентните последователности също е конвергентна последователност.

Продуктът от конвергиращи последователности също е конвергентна последователност.

Коефициентът на две конвергентни последователности се дефинира, започвайки от някакъв елемент, освен ако втората последователност е безкрайно малка. Ако коефициентът на две конвергентни последователности е дефиниран, то това е конвергентна последователност.

Ако една конвергираща последователност е ограничена отдолу, тогава никоя от долните й граници не надвишава нейната граница.

Ако една сходяща последователност е ограничена отгоре, тогава нейната граница не надвишава нито една от горните й граници.

Ако за произволно число членовете на една конвергираща последователност не надвишават членовете на друга конвергираща последователност, тогава границата на първата последователност също не надвишава границата на втората.

Ако функция е определена на множеството естествени числа N, тогава такава функция се нарича безкрайна последователност от числа. Обикновено числовите последователности се означават като (Xn), където n принадлежи към множеството естествени числа N.

Числената последователност може да бъде определена с формула. Например, Xn = 1 / (2 * n). По този начин ние присвояваме на всяко естествено число n някакъв определен елемент от последователността (Xn).

Ако сега последователно вземем n равно на 1,2,3,…., Получаваме последователността (Xn): ½, ¼, 1 /6,…, 1 / (2 * n),…

Видове последователности

Последователността може да бъде ограничена или неограничена, увеличаване или намаляване.

Последователността (Xn) се извиква ограничен,ако има две числа m и M, така че за всяко n, принадлежащо към множеството естествени числа, равенството m<=Xn

Последователност (Xn), без ограничение,наречена неограничена последователност.

повишаване на,ако следното равенство X (n + 1)> Xn важи за всички естествени n. С други думи, всеки член на последователността, започвайки от втория, трябва да бъде по -голям от предишния член.

Последователността (Xn) се извиква намаляващако за всички естествени n важи следното равенство: X (n + 1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Пример за последователност

Нека проверим дали последователностите 1 / n и (n-1) / n намаляват.

Ако последователността намалява, тогава X (n + 1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X (n + 1) - Xn = 1 / (n + 1) - 1 / n = -1 / (n * (n + 1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1) / n:

X (n + 1) - Xn = n / (n + 1) - (n -1) / n = 1 / (n * (n + 1))> 0. Значи последователността (n -1) / n е повишаване на.

Ако всяко естествено число n е свързано с някакво реално число x n, те казват, че е дадено числова последователност

х 1 , х 2 , … x n , …

Номер х 1 се нарича член на последователността с номер 1 или първият член на поредицата, номер х 2 - член на последователността с номер 2 или вторият член на последователността и т.н. Извиква се числото x n член на поредицата номериранн.

Има два начина за задаване на числови последователности - със и с повтаряща се формула.

Последователност с формули за общи терминиПрисвояване на последователност

х 1 , х 2 , … x n , …

използвайки формула, изразяваща зависимостта на члена x n от неговия номер n.

Пример 1. Числова последователност

1, 4, 9, … н 2 , …

дадени чрез общата формула на термина

x n = н 2 , н = 1, 2, 3, …

Последователността, използваща формула, изразяваща член на последователността x n от гледна точка на членовете на последователността с предходни числа, се нарича секвениране, използвайки повтаряща се формула.

х 1 , х 2 , … x n , …

са наречени нарастваща последователност, Повече ▼предходния член.

С други думи, за всички н

х н + 1 >х н

Пример 3. Поредица от естествени числа

1, 2, 3, … н, …

е нарастваща последователност.

Определение 2. Последователност на числата

х 1 , х 2 , … x n , …

са наречени намаляваща последователност,ако всеки член на тази последователност по -малкипредходния член.

С други думи, за всички н= 1, 2, 3, ... неравенството

х н + 1 < х н

Пример 4. Подпоследователност

дадено от формулата

е низходяща последователност.

Пример 5. Числова последователност

1, - 1, 1, - 1, …

дадено от формулата

x n = (- 1) н , н = 1, 2, 3, …

не е нито увеличаване, нито намаляванепоследователност.

Определение 3. Нарастват и намаляват числови последователности монотонни последователности.

Ограничени и неограничени последователности

Определение 4. Последователност на числата

х 1 , х 2 , … x n , …

са наречени ограничени отгоре,ако има число М такова, че всеки член на тази последователност по -малкиномера М.

С други думи, за всички н= 1, 2, 3, ... неравенството

Определение 5. Числена последователност

х 1 , х 2 , … x n , …

са наречени ограничени отдолу,ако има число m такова, че всеки член на тази последователност Повече ▼числа m.

С други думи, за всички н= 1, 2, 3, ... неравенството

Определение 6. Последователност на числата

х 1 , х 2 , … x n , …

наречен ограничен, ако е така ограничени както отгоре, така и отдолу.

С други думи, има числа M и m такива, че за всички н= 1, 2, 3, ... неравенството

м< x n < M

Определение 7. Числови последователности, които не са ограничениса наречени неограничени последователности.

Пример 6. Числова последователност

1, 4, 9, … н 2 , …

дадено от формулата

x n = н 2 , н = 1, 2, 3, … ,

ограничени отдолу, например, числото 0. Тази последователност обаче неограничен отгоре.

Пример 7. Подпоследователност

Лекция 8. Числови последователности.

Определение8.1. Ако всяка стойност е присвоена според определен закон някакво реално числох н , след това множеството номерирани реални числа

– съкратена нотация
, (8.1)

ще звънначислова последователност или просто последователност.

Отделни числа х н  елементи или членове на поредица (8.1).

Последователността може да бъде дадена чрез обща формула на термина, например:
или
... Последователността може да бъде посочена двусмислено, например последователността –1, 1, –1, 1, ... може да бъде определена по формулата
или
... Понякога се използва рекурсивен начин за определяне на последователност: дават се първите няколко члена на последователността и се дава формула за изчисляване на следните елементи. Например, последователността, дефинирана от първия елемент и рекурсивното отношение
(аритметична прогресия). Помислете за последователност, наречена близо до Фибоначи: първите два елемента са зададени х 1 =1, х 2 = 1 и рецидивираща връзка
за всеки
... Получаваме последователност от числа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…. За такава серия е доста трудно да се намери формула за общия термин.

8.1. Аритметични операции с последователности.

Помислете за две последователности:

(8.1)

Определение 8.2. Нека се обадимпродукт на последователността
по номера мподпоследователност
... Нека го напишем така:
.

Нека извикаме последователността сума от последователности (8.1) и (8.2), го пишем, както следва :; по същия начин
да се обадим разлика в последователността (8.1) и (8.2);
 продукт на последователности (8.1) и (8.2);  частни последователности (8.1) и (8.2) (всички елементи
).

8.2. Ограничени и неограничени последователности.

Събирането на всички елементи в произволна последователност
образува някакво числово множество, което може да бъде ограничено отгоре (отдолу) и за което са валидни определения, подобни на тези, въведени за реални числа.

Определение 8.3. Подпоследователност
Нареченограничени отгоре , ако; М  горен ръб.

Определение 8.4. Подпоследователност
Нареченограничено отдолу , ако;м  долния ръб.

Определение 8.5.Подпоследователност
Нареченограничен ако е ограничено както отгоре, така и отдолу, тоест ако има две реални числа M им така че всеки елемент от последователността
удовлетворява неравенствата:

, (8.3)

миМ- долен и горен ръб
.

Извикват се неравенства (8.3) условието за ограниченост на последователността
.

Например последователността
ограничен и
неограничен.

♦ Декларация 8.1.
е ограничен .

Доказателство.Нека избираме
... Съгласно определение 8.5, последователността
ще бъде ограничен. ■

Определение 8.6. Подпоследователност
Нареченнеограничен ако за всяко положително (произволно голямо) реално число А има поне един елемент от последователносттах н удовлетворяващо неравенството:
.

Например последователността 1, 2, 1, 4, ..., 1, 2 н,…  неограничен, тъй като ограничено само отдолу.

8.3. Безкрайно големи и безкрайно малки последователности.

Определение 8.7. Подпоследователност
Нареченбезкрайно голям ако за всяко (произволно голямо) реално число А има число
такава, че за всички
елементитех н
.

☼ Забележка 8.1.Ако последователността е безкрайно голяма, тя е неограничена. Но не бива да се мисли, че всяка неограничена последователност е безкрайно голяма. Например последователността
не е ограничен, но не е безкрайно голям, тъй като състояние
се проваля дори за всички н. ☼

 Пример 8.1.
е безкрайно голям. Вземете произволен номер А> 0. От неравенството
получаваме н>А... Ако вземете
тогава за всички н>ннеравенството
, тоест, съгласно определение 8.7, последователността
безкрайно голям. 

Определение 8.8. Подпоследователност
Нареченбезкрайно малък ако за
(колкото и малка да е ) има номер
такава, че за всички
елементите от тази последователност удовлетворяват неравенството
.

 Пример 8.2.Нека докажем, че последователността безкрайно малък.

Вземете произволен номер
... От неравенството
получаваме ... Ако вземете
тогава за всички н>ннеравенството
. 

♦ Декларация 8.2. Подпоследователност
е безкрайно голям за
и безкрайно малък за
.

Доказателство.

1) Нека първо
:
, където
... По формулата на Бернули (пример 6.3, раздел 6.1.)
... Поправяме произволно положително число Аи изберете номер от него нтака че неравенството е вярно:

,
,
,
.

Защото
, тогава по свойството на произведението на реални числа за всички

.

По този начин, за
има такъв брой
това за всички


- безкрайно голям при
.

2) Разгледайте случая
,
(в q= 0 имаме тривиалния случай).

Нека бъде
, където
, по формулата на Бернули
или
.

Поправяме
,
и изберете
такова, че

,
,
.

За

... Ние посочваме такъв номер нтова за всички

, тоест за
подпоследователност
безкрайно малък. ■

8.4. Основни свойства на безкрайно малките последователности.

♦ Теорема 8.1.Сума

и

Доказателство.Поправяме ;
- безкрайно малък

,

- безкрайно малък

... Нека избираме
... След това в

,
,
. ■

♦ Теорема 8.2. Разлика
две безкрайно малки последователности
и
има безкрайно малка последователност.

За доказателствоот теоремата е достатъчно да се използва неравенството. ■

Последица.Алгебричната сума на всеки краен брой безкрайно малки числа е безкрайно малка.

♦ Теорема 8.3.Продуктът на ограничена последователност от безкрайно малка поредица е безкрайно малка.

Доказателство.
- ограничен,
- безкрайно малка последователност. Поправяме ;
,
;
: в
справедлив
... Тогава
. ■

♦ Теорема 8.4.Всяка безкрайно малка последователност е ограничена.

Доказателство.Поправяме Нека някакво число. Тогава
за всички числа н, което означава, че последователността е ограничена. ■

Последица. Произведението на две (и всяко крайно число) безкрайно малки последователности е безкрайно малка последователност.

♦ Теорема 8.5.

Ако всички елементи от безкрайно малка поредица
равно на същото число° С, тогава c = 0.

Доказателствотеоремата се осъществява чрез противоречие, ако обозначим
. ■

♦ Теорема 8.6. 1) Ако
Следователно е безкрайно голяма последователност, започвайки от някакво числон, коефициентът е дефиниран две последователности
и
, което е безкрайно малка поредица.

2) Ако всички елементи от безкрайно малка поредица
са ненулеви, тогава коефициентът две последователности
и
е безкрайно голяма последователност.

Доказателство.

1) Нека
- безкрайно голяма последователност. Поправяме ;
или
при
... По този начин, по определение 8.8, последователността - безкрайно малък.

2) Нека
- безкрайно малка последователност. Да предположим, че всички елементи
са различни от нула. Поправяме А;
или
при
... По дефиниция 8.7, последователността безкрайно голям. ■

Нека бъде X (\ displaystyle X)е или набор от реални числа R (\ displaystyle \ mathbb (R))или набор от комплексни числа C (\ displaystyle \ mathbb (C))... След това последователността (x n) n = 1 ∞ (\ displaystyle \ (x_ (n) \) _ (n = 1) ^ (\ infty))елементи от комплекта X (\ displaystyle X)Наречен числова последователност.

Примери за

Операции с последователността

Подпоследователности

Подпоследователност последователности (x n) (\ displaystyle (x_ (n)))е последователността (x n k) (\ displaystyle (x_ (n_ (k)))), където (n k) (\ displaystyle (n_ (k)))- нарастваща последователност от елементи от множеството естествени числа.

С други думи, подпоследователност се получава от последователност чрез премахване на краен или преброим брой елементи.

Примери за

• Последователност от прости числа е подпоследователност от поредица от естествени числа.
• Последователност, кратна на естествени числа, е подпоследователност от поредица от четни естествени числа.

Имоти

Гранична точка на последователността е точка, във всяка околност на която има безкрайно много елементи от тази последователност. За сближаване на числови последователности граничната точка е същата като граничната.

Ограничение на последователността

Ограничение на последователността е обект, към който членовете на последователността се приближават с нарастващ брой. Така че, в произволно топологично пространство, границата на последователност е елемент във всеки квартал, от който лежат всички членове на последователността, започвайки с някой. По -специално, за числовите последователности границата е число във всеки квартал, от което всички членове на последователността лежат, започвайки от един.

Основни последователности

Основна последователност (конвергентна последователност , Последователност на Коши ) е поредица от елементи от метрично пространство, в която за всяко предварително определено разстояние има такъв елемент, разстоянието от което до някой от следните елементи не надвишава дадено. За числовите последователности концепциите за фундаментални и конвергентни последователности са еквивалентни, но като цяло това не е така.