Определение 1

Ако за всяка двойка $ (x, y) $ стойности на две независими променливи от определен регион е свързана определена стойност от $ z $, тогава $ z $ се казва, че е функция на две променливи $ (x, y) $. Нотация: $ z = f (x, y) $.

По отношение на функцията $ z = f (x, y) $, разгледайте понятията за общи (пълни) и частични стъпки на функция.

Нека бъде дадена функция $ z = f (x, y) $ от две независими променливи $ (x, y) $.

Забележка 1

Тъй като променливите $ (x, y) $ са независими, едната от тях може да се промени, а другата остава постоянна.

Нека да дадем на променливата $ x $ увеличение от $ \ Delta x $, като запазим стойността на променливата $ y $ непроменена.

Тогава функцията $ z = f (x, y) $ ще получи увеличение, което ще се нарече частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на променливата $ x $. Обозначаване:

По същия начин, нека да дадем на променливата $ y $ увеличение от $ \ Delta y $, като запазим стойността на променливата $ x $ непроменена.

Тогава функцията $ z = f (x, y) $ ще получи увеличение, което ще се нарече частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на променливата $ y $. Обозначаване:

Ако на аргумента $ x $ се даде увеличение $ \ Delta x $, а на аргумента $ y $ - увеличението $ \ Delta y $, тогава пълното увеличение на дадената функция $ z = f (x, y) $ е получени. Обозначаване:

Така имаме:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ y $;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - пълно увеличение на функцията $ z = f (x, y) $.

Пример 1

Решение:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ е частичното увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ y $.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - пълно увеличение на функцията $ z = f (x, y) $.

Пример 2

Изчислете коефициента и общото увеличение на функцията $ z = xy $ в точката $ (1; 2) $ за $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $.

Решение:

По дефиницията на частното увеличение, намираме:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ x $

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ y $;

По дефиницията на пълното увеличение, намираме:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - пълно увеличение на функцията $ z = f (x, y) $.

Следователно,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 = 2,31. \]

Забележка 2

Общото увеличение на дадена функция $ z = f (x, y) $ не е равно на сумата от нейните частични стъпки $ \ Delta _ (x) z $ и $ \ Delta _ (y) z $. Математическа нотация: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Пример 3

Проверете забележката на твърдението за функция

Решение:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (получено в пример 1)

Намерете сумата от частичните стъпки на дадената функция $ z = f (x, y) $

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Delta y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Определение 2

Ако за всяка тройна $ (x, y, z) $ от стойности на три независими променливи от определен регион е свързана определена стойност от $ w $, тогава $ w $ се казва функция от три променливи $ ( x, y, z) $ в тази област.

Нотация: $ w = f (x, y, z) $.

Определение 3

Ако за всяка колекция $ (x, y, z, ..., t) $ от стойности на независими променливи от определен регион е свързана определена стойност от $ w $, тогава $ w $ се казва функция променливи $ (x, y, z, ..., t) $ в този домейн.

Нотация: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

За функция от три или повече променливи, по същия начин, както за функция от две променливи, за всяка от променливите се определят частични стъпки:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z, .. ., t) $ по $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z, ..., t) $ от $ t $.

Пример 4

Напишете коефициента и общото увеличение на функция

Решение:

По дефиницията на частното увеличение, намираме:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ x $

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ z $;

По дефиницията на пълното увеличение, намираме:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - пълно увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ .

Пример 5

Изчислете коефициента и общото увеличение на функцията $ w = xyz $ в точката $ (1; 2; 1) $ за $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \, \, \ Делта z = 0,1 $.

Решение:

По дефиницията на частното увеличение, намираме:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ x $

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ z $;

По дефиницията на пълното увеличение, намираме:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - пълно увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $.

Следователно,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0.1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0.1) \ cdot 1 = 2.1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0,1) = 2,2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) \ cdot (1 + 0,1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

От геометрична гледна точка, общото увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ (по дефиниция, $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x , y) $) е равно на нарастването на функцията за кандидатстване на графика $ z = f (x, y) $ при преминаване от точка $ M (x, y) $ до точка $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (Фиг. 1).

Снимка 1.

Нека бъде NS- аргумент (независима променлива); y = y (x)- функция.

Нека вземем фиксирана стойност на аргумента x = x 0 и изчислява стойността на функцията y 0 = y (x 0 ) ... Сега произволно задаваме увеличение (променете) аргумента и го означете  NS ( NSможе да бъде от всякакъв знак).

Допълнителен аргумент е точка NS 0 +  NS... Да предположим, че съдържа и стойността на функцията y = y (x 0 +  NS)(виж фигурата).

Така при произволна промяна в стойността на аргумента се получава промяна във функцията, която се извиква постепенно функционални стойности:

и не е произволен, а зависи от формата на функцията и стойността
.

Прирастването на аргументи и функции може да бъде финал, т.е. изразени като постоянни числа, в този случай те понякога се наричат ​​крайни разлики.

В икономиката крайните стъпки се разглеждат много често. Например, таблицата показва данни за дължината на железопътната мрежа на определено състояние. Очевидно нарастването на нетната дължина се изчислява чрез изваждане на предишната стойност от следващата.

Ще разгледаме дължината на железопътната мрежа като функция, аргументът на която ще бъде време (години).

Само по себе си увеличаването на функцията (в този случай дължината на железопътната линия) на мрежата) слабо характеризира промяната във функцията. В нашия пример, от факта, че 2,5>0,9 не може да се заключи, че мрежата нараства по -бързо 2000-2003 години, отколкото през 2004 g, защото прирастването 2,5 се отнася за тригодишен период, и 0,9 - само с една година. Следователно е съвсем естествено, че нарастването на функцията води до единицата за промяна в аргумента. Прирастването на аргументи тук е периоди: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Получаваме това, което се нарича в икономическата литература средногодишен прираст.

Възможно е да се избегне операцията по преобразуване на приращението в единицата за промяна на аргумента, ако вземем стойностите на функцията за стойностите на аргумента, които се различават с единица, което не винаги е възможно.

В математическия анализ, по -специално, при диференциалното смятане се вземат предвид безкрайно малките (BM) стъпки на аргумент и функция.

Диференциране на функция на една променлива (производна и диференциална) Производна на функция

Прибавянето на аргументи и функции в точката NS 0 могат да се разглеждат като сравними безкрайно малки количества (вж. тема 4, сравнение на BM), т.е. BM от същия ред.

Тогава тяхното съотношение ще има крайна граница, която се определя като производна на функцията при m NS 0 .

Границата на съотношението на нарастването на функцията към BM нарастването на аргумента в точката x = x 0 Наречен производно функционира в дадена точка.

Символичното обозначение на производната с просто число (или по -скоро с римската цифра I) е въведено от Нютон. Можете също да използвате индекс, който показва коя променлива се използва за изчисляване на производната, например, ... Друга нотация също е широко използвана, предложена от основателя на изчислението на производни, немския математик Лайбниц:
... Ще научите повече за произхода на това наименование в раздела Функционален диференциал и аргументен диференциал.

Този брой се оценява скоростпромяна на функцията, преминаваща през точката
.

Инсталирай геометрично значениепроизводна на функцията в точката. За тази цел ние начертаваме функцията y = y (x)и маркирайте точките върху него, които определят промяната y (x)междувременно

Тангенсата към графиката на функцията в точката М 0
ще разгледаме ограничаващата позиция на секанта М 0 Мв състояние
(точка Мплъзга графиката на функциите до точка М 0 ).

Обмисли
... Очевидно,
.

Ако точка Мпридвижване по графиката на функцията към точката М 0 , след това стойността
ще се стреми към определена граница, която ние обозначаваме
... При което.

Ограничаващ ъгъл  съвпада с ъгъла на наклона на допирателната, изтеглена към графиката на функцията, вкл. М 0 , така че производната
числено равни наклон на допирателната в посочената точка.

-

геометричното значение на производната на функция в точка.

По този начин можем да запишем уравненията на допирателната и нормалната ( нормално Е права, перпендикулярна на допирателната) към графиката на функцията в някакъв момент NS 0 :

Допирателна -.

Нормално -
.

Интерес представляват случаите, когато тези прави линии са разположени хоризонтално или вертикално (вижте тема 3, специални случаи на позицията на права линия в равнина). Тогава,

ако
;

ако
.

Определението на производната се нарича диференциация функции.

Ако функцията в точката NS 0 има крайна производна, тогава се нарича диференцируемв този момент. Функция, диференцируема във всички точки на определен интервал, се нарича диференцируема на този интервал.

 Теорема . Ако функцията y = y (x)диференцируем вкл. NS 0 , тогава тя е непрекъсната в този момент.

Поради това, приемственост- необходимо (но не достатъчно) условие за диференцируемост на функция.

Определение 1

Ако за всяка двойка $ (x, y) $ стойности на две независими променливи от определен регион е свързана определена стойност от $ z $, тогава $ z $ се казва, че е функция на две променливи $ (x, y) $. Нотация: $ z = f (x, y) $.

Обвързан функция$ z = f (x, y) $ разгледайте понятията за общи (пълни) и частични стъпки на функция.

Нека бъде дадена функция $ z = f (x, y) $ от две независими променливи $ (x, y) $.

Забележка 1

Тъй като променливите $ (x, y) $ са независими, едната от тях може да се промени, а другата остава постоянна.

Нека да дадем на променливата $ x $ увеличение от $ \ Delta x $, като запазим стойността на променливата $ y $ непроменена.

Тогава функцията $ z = f (x, y) $ ще получи увеличение, което ще се нарече частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на променливата $ x $. Обозначаване:

По същия начин, нека да дадем на променливата $ y $ увеличение от $ \ Delta y $, като запазим стойността на променливата $ x $ непроменена.

Тогава функцията $ z = f (x, y) $ ще получи увеличение, което ще се нарече частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на променливата $ y $. Обозначаване:

Ако на аргумента $ x $ се даде увеличение $ \ Delta x $, а на аргумента $ y $ - увеличението $ \ Delta y $, тогава пълното увеличение на дадената функция $ z = f (x, y) $ е получени. Обозначаване:

Така имаме:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ y $;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - пълно увеличение на функцията $ z = f (x, y) $.

Пример 1

Решение:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ е частичното увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ y $.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - пълно увеличение на функцията $ z = f (x, y) $.

Пример 2

Изчислете коефициента и общото увеличение на функцията $ z = xy $ в точката $ (1; 2) $ за $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $.

Решение:

По дефиницията на частното увеличение, намираме:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ x $

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ y $;

По дефиницията на пълното увеличение, намираме:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - пълно увеличение на функцията $ z = f (x, y) $.

Следователно,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 = 2,31. \]

Забележка 2

Общото увеличение на дадена функция $ z = f (x, y) $ не е равно на сумата от нейните частични стъпки $ \ Delta _ (x) z $ и $ \ Delta _ (y) z $. Математическа нотация: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Пример 3

Проверете забележката на твърдението за функция

Решение:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (получено в пример 1)

Намерете сумата от частичните стъпки на дадената функция $ z = f (x, y) $

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Delta y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Определение 2

Ако за всяка тройна $ (x, y, z) $ от стойности на три независими променливи от определен регион е свързана определена стойност от $ w $, тогава $ w $ се казва функция от три променливи $ ( x, y, z) $ в тази област.

Нотация: $ w = f (x, y, z) $.

Определение 3

Ако за всяка колекция $ (x, y, z, ..., t) $ от стойности на независими променливи от определен регион е свързана определена стойност от $ w $, тогава $ w $ се казва функция променливи $ (x, y, z, ..., t) $ в този домейн.

Нотация: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

За функция от три или повече променливи, по същия начин, както за функция от две променливи, за всяка от променливите се определят частични стъпки:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z, .. ., t) $ по $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z, ..., t) $ от $ t $.

Пример 4

Напишете коефициента и общото увеличение на функция

Решение:

По дефиницията на частното увеличение, намираме:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ x $

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ z $;

По дефиницията на пълното увеличение, намираме:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - пълно увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ .

Пример 5

Изчислете коефициента и общото увеличение на функцията $ w = xyz $ в точката $ (1; 2; 1) $ за $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \, \, \ Делта z = 0,1 $.

Решение:

По дефиницията на частното увеличение, намираме:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ x $

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ z $;

По дефиницията на пълното увеличение, намираме:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - пълно увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $.

Следователно,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0.1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0.1) \ cdot 1 = 2.1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0,1) = 2,2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) \ cdot (1 + 0,1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

От геометрична гледна точка, общото увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ (по дефиниция, $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x , y) $) е равно на нарастването на функцията за кандидатстване на графика $ z = f (x, y) $ при преминаване от точка $ M (x, y) $ до точка $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (Фиг. 1).

Снимка 1.

В живота не винаги се интересуваме от точните стойности на каквито и да било количества. Понякога е интересно да се знае промяната в тази стойност, например средната скорост на автобуса, съотношението на количеството движение към периода от време и т.н. За да се сравни стойността на функция в даден момент със стойностите на същата функция в други точки, е удобно да се използват понятия като "прирастване на функция" и "увеличение на аргумента".

Понятията "нарастване на функция" и "увеличение на аргумента"

Да предположим, че x е произволна точка, която се намира в някаква околност на точката x0. Прирастването на аргумента в точката x0 е разликата x-x0. Прирастването се посочва, както следва: ∆х.

• ∆x = x-x0.

Понякога тази стойност се нарича и увеличение на независимата променлива в точката x0. От формулата следва: x = x0 + ∆x. В такива случаи се казва, че началната стойност на независимата променлива x0 е получила увеличение ∆x.

Ако променим аргумента, стойността на функцията също ще се промени.

• f (x) - f (x0) = f (x0 + ∆х) - f (x0).

Чрез увеличението на функцията f в точката x0,разликата f (x0 + ∆x) - f (x0) се нарича съответстваща на нарастването ∆x. Прирастването на функция се обозначава като ∆f. По този начин получаваме по дефиниция:

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0).

Понякога ∆f се нарича и увеличение на зависимата променлива и ∆y се използва за неговото обозначаване, ако функцията е например y = f (x).

Геометрично значение на нарастването

Обърнете внимание на следната фигура.

Както можете да видите, инкрементът показва промяната в ординатата и абсцисата на точката. И съотношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента определя ъгъла на наклона на секанта, преминаващ през началното и крайното положение на точката.

Помислете за примери за увеличаване на функциите и аргументите

Пример 1.Намерете приращението на аргумента ∆x и нарастването на функцията ∆f в точката x0, ако f (x) = x 2, x0 = 2 a) x = 1,9 b) x = 2,1

Нека използваме формулите, дадени по -горе:

а) ∆х = х -х0 = 1,9 -2 = -0,1;

• ∆f = f (1,9) - f (2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

б) ∆x = x-x0 = 2,1-2 = 0,1;

• ∆f = f (2.1) - f (2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

Пример 2.Изчислете нарастването ∆f за функцията f (x) = 1 / x в точката x0, ако инкрементът на аргумента е равен на ∆x.

Отново ще използваме получените по -горе формули.

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0) = 1 / (x0 -∆x) - 1 / x0 = (x0 - (x0 + ∆x)) / (x0 * (x0 + ∆x)) = - ∆x / ((x0 * (x0 + ∆x)).