Схема на малюнку 5:

І такий приклад: Вирішити нерівність 0,6 2х - 3< 0,36 .

Рухаючись схемою на малюнку 5, отримуємо
2х - 3\u003e log 0,6 0,36,
2х - 3\u003e 2,
2х\u003e 5,
х\u003e 2,5

відповідь: (2,5; +∞) .

Розглянемо останню схему рішення нерівності виду а f (x)< b , при a\u003e 0 і b<0 , Представлену на малюнку 6:

Наприклад, вирішимо нерівність:

Помічаємо, що яке б число ми не підставили замість х, ліва частина нерівності завжди більше нуля, а у нас цей вислів менше -8, тобто і нуля, значить рішень немає.

відповідь: рішень немає.

Знаючи як вирішуються найпростіші показові нерівності, можна приступити і до рішенням показових нерівностей.

Приклад 1.

Знайти найбільше ціле значення х, яке задовольняє неравество

Так як 6 х більше нуля (ні при якому х знаменник в нуль не зверталися), помножимо обидві частини нерівності на 6 х, отримаємо:

440 - 2 · 6 2х\u003e 8, тоді
- 2 · 6 2х\u003e 8 - 440,
- 2 · 6 2х\u003e - 332,
6 2х< 216,
2х< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Відповідь: 1.

приклад 2.

вирішити нерівність 2 2 x - 3 · 2 x + 2 ≤ 0

Позначимо 2 х через у, отримаємо нерівність у 2 - 3у + 2 ≤ 0, вирішимо це квадратне нерівність.

у 2 - 3у +2 \u003d 0,
у 1 \u003d 1 і у 2 \u003d 2.

Гілки параболи спрямовані вгору, зобразимо графік:

Тоді рішенням нерівності буде нерівність 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

відповідь: (0; 1) .

приклад 3. Вирішіть нерівність 5 x +1 - 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Зберемо вираження з однаковими підставами в одній частині нерівності

5 x +1 - 2 · 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Винесемо в лівій частині нерівності за дужки 5 x, а в правій частині нерівності 3 х і отримаємо нерівність

5 г (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 · 5 х< (25/3)·3 х

Розділимо обидві частини нерівності на вираз 3 · 3 х, знак нерівності не зміниться, так як 3 · 3 х позитивне число, отримаємо нерівність:

х< 2 (так как 5/3 > 1).

відповідь: (–∞; 2) .

Якщо у вас виникнуть питання щодо вирішення показових нерівностей або ви захочете попрактикуватися у вирішенні подібних прикладів, записуйтеся до мене на уроки. Репетитор Валентина Галіневская.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Багато хто вважає, що показові нерівності - це щось таке складне і незбагненне. І що навчитися їх вирішувати - чи не велике мистецтво, осягнути яке здатні лише Вибрані ...

Повна брехня! Показові нерівності - це просто. І вирішуються вони завжди просто. Ну, майже завжди. :)

Сьогодні ми розберемо цю тему вздовж і впоперек. Цей урок буде дуже корисний тим, хто тільки починає розбиратися в даному розділі шкільної математики. Почнемо з простих завдань і будемо рухатися до більш складних питань. Ніякої жерсті сьогодні не буде, але того, що ви зараз прочитаєте, буде досить, щоб вирішити більшість нерівностей на всяких контрольних і самостійних роботах. І на цьому вашому ЄДІ теж.

Як завжди, почнемо з визначення. Показовий нерівність - це будь-який нерівність, що містить в собі показову функцію. Іншими словами, його завжди можна звести до нерівності виду

\\ [((A) ^ (x)) \\ gt b \\]

Де в ролі $ b $ може бути звичайне число, а може бути і що-небудь жорсткіше. Приклади? Так будь ласка:

\\ [\\ Begin (align) & ((2) ^ (x)) \\ gt 4; \\ quad ((2) ^ (x-1)) \\ le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)); \\ \\\\ & ((0,1) ^ (1-x)) \\ lt 0,01; \\ quad ((2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt ((4) ^ (\\ frac (4) (x))). \\\\\\ end (align) \\]

Думаю, сенс зрозумілий: є показова функція $ ((A) ^ (x)) $, її з чимось порівнюють, а потім просять знайти $ x $. В особливо клінічних випадках замість змінної $ x $ можуть засунути якусь функцію $ f \\ left (x \\ right) $ і тим самим трохи ускладнити нерівність. :)

Звичайно, в деяких випадках нерівність може виглядати більш суворо. Ось наприклад:

\\ [((9) ^ (x)) + 8 \\ gt ((3) ^ (x + 2)) \\]

Або навіть ось:

В цілому, складність таких нерівностей може бути найрізноманітнішою, але в підсумку вони все одно зводяться до простої конструкції $ ((a) ^ (x)) \\ gt b $. А вже з такою конструкцією ми як-небудь розберемося (в особливо клінічних випадках, коли нічого не приходить в голову, нам допоможуть логарифми). Тому зараз ми научімя вирішувати такі прості конструкції.

Рішення найпростіших показових нерівностей

Розглянемо що-небудь зовсім просте. Наприклад, ось це:

\\ [((2) ^ (x)) \\ gt 4 \\]

Очевидно, що число праворуч можна переписати у вигляді ступеня двійки: $ 4 \u003d ((2) ^ (2)) $. Таким чином, вихідне нерівність перепишеться в дуже зручній формі:

\\ [((2) ^ (x)) \\ gt ((2) ^ (2)) \\]

І ось вже руки чешуться «закреслити» двійки, що стоять в підставах ступенів, щоб отримати відповідь $ x \\ gt 2 $. Але перед тим як що там закреслює, давайте згадаємо ступеня двійки:

\\ [((2) ^ (1)) \u003d 2; \\ quad ((2) ^ (2)) \u003d 4; \\ quad ((2) ^ (3)) \u003d 8; \\ quad ((2) ^ ( 4)) \u003d 16; ... \\]

Як бачимо, чим більше стоїть в показнику ступеня, тим більше виходить число на виході. "Дякую кеп!" - вигукне хтось із учнів. Хіба буває по-іншому? На жаль, буває. наприклад:

\\ [((\\ Left (\\ frac (1) (2) \\ right)) ^ (1)) \u003d \\ frac (1) (2); \\ quad ((\\ left (\\ frac (1) (2) \\ ); ... \\]

Тут теж все логічно: чим більше ступінь, тим більше разів число 0,5 множиться саме на себе (тобто ділиться навпіл). Таким чином, отримана послідовність чисел убуває, а різниця між першою і другою послідовністю складається тільки на підставі:

• Якщо основа ступеня $ a \\ gt 1 $, то в міру зростання показника $ n $ число $ ((a) ^ (n)) $ теж буде рости;
• І навпаки, якщо $ 0 \\ lt a \\ lt 1 $, то в міру зростання показника $ n $ число $ ((a) ^ (n)) $ буде спадати.

Підсумовуючи ці факти, ми отримуємо найголовніше твердження, на якому і засновано все рішення показових нерівностей:

Якщо $ a \\ gt 1 $, то нерівність $ ((a) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) $ рівносильна нерівності $ x \\ gt n $. Якщо $ 0 \\ lt a \\ lt 1 $, то нерівність $ ((a) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) $ рівносильна нерівності $ x \\ lt n $.

Іншими словами, якщо підстава більше одиниці, його можна просто прибрати - знак нерівності при цьому не зміниться. А якщо підстава менше одиниці, то його теж можна прибрати, але при цьому доведеться поміняти і знак нерівності.

Зверніть увагу: ми не розглянули варіанти $ a \u003d 1 $ і $ a \\ le 0 $. Тому що в цих випадках виникає невизначеність. Припустимо, як вирішити нерівність виду $ ((1) ^ (x)) \\ gt 3 $? Одиниця в будь-якого ступеня знову дасть одиницю - ми ніколи не отримаємо трійку або більше. Тобто рішень немає.

З негативними підставами все ще цікавіше. Розглянемо для прикладу ось така нерівність:

\\ [((\\ Left (-2 \\ right)) ^ (x)) \\ gt 4 \\]

На перший погляд, все просто:

Правильно? А ось і ні! Досить підставити замість $ x $ парочку парних і парочку непарних чисел, Щоб переконатися що рішення невірно. Погляньте:

\\ [\\ Begin (align) & x \u003d 4 \\ Rightarrow ((\\ left (-2 \\ right)) ^ (4)) \u003d 16 \\ gt 4; \\\\ & x \u003d 5 \\ Rightarrow ((\\ left (-2 \\ right)) ^ (5)) \u003d - 32 \\ lt 4; \\\\ & x \u003d 6 \\ Rightarrow ((\\ left (-2 \\ right)) ^ (6)) \u003d 64 \\ gt 4; \\\\ & x \u003d 7 \\ Rightarrow ((\\ left (-2 \\ right)) ^ (7)) \u003d - 128 \\ lt 4. \\\\\\ end (align) \\]

Як бачите, знаки чергуються. Але ж є ще дробові ступеня та інша жесть. Як, наприклад, накажете вважати $ ((\\ left (-2 \\ right)) ^ (\\ sqrt (7))) $ (мінус двійка в ступеня корінь з семи)? Та ніяк!

Тому для визначеності вважають, що у всіх показових нерівностях (і рівняннях, до речі, теж) $ 1 \\ ne a \\ gt 0 $. І тоді все вирішується дуже просто:

\\ [((A) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) \\ Rightarrow \\ left [\\ begin (align) & x \\ gt n \\ quad \\ left (a \\ gt 1 \\ right), \\\\ & x \\ lt n \\ quad \\ left (0 \\ lt a \\ lt 1 \\ right). \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Загалом, ще раз запам'ятайте головне правило: якщо підстава в показовому рівнянні більше одиниці, його можна просто прибрати; а якщо підстава менше одиниці, його теж можна прибрати, але при цьому зміниться знак нерівності.

приклади розв'язання

Отже, розглянемо кілька простих показових нерівностей:

\\ [\\ Begin (align) & ((2) ^ (x-1)) \\ le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)); \\\\ & ((0,1) ^ (1-x)) \\ lt 0,01; \\\\ & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ lt 16; \\\\ & ((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \\ ge \\ frac (1) (25). \\\\\\ end (align) \\]

Першочергова задача в усіх випадках одна і та ж: звести нерівностей до найпростішого виду $ ((a) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) $. Саме це ми зараз і зробимо з кожним нерівністю, а заодно повторимо властивості ступенів і показовою функції. Отже, поїхали!

\\ [((2) ^ (x-1)) \\ le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)) \\]

Що тут можна зробити? Ну, зліва у нас і так стоїть показове вираження - нічого змінювати не треба. А ось справа стоїть якась хрень: дріб, та ще й в знаменнику корінь!

Однак згадаємо правила роботи з дробом і ступенями:

\\ [\\ Begin (align) & \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \u003d ((a) ^ (- n)); \\\\ & \\ sqrt [k] (a) \u003d ((a) ^ (\\ frac (1) (k))). \\\\\\ end (align) \\]

Що це означає? По-перше, ми легко можемо позбутися від дробу, перетворивши її в ступінь з негативним показником. А по-друге, оскільки в знаменнику стоїть корінь, було б непогано перетворити і його в ступінь - на цей раз з дробовим показником.

Застосуємо ці дії послідовно до правої частини нерівності і подивимося, що вийде:

\\ [\\ Frac (1) (\\ sqrt (2)) \u003d ((\\ left (\\ sqrt (2) \\ right)) ^ (- 1)) \u003d ((\\ left (((2) ^ (\\ frac ( 1) (3))) \\ right)) ^ (- 1)) \u003d ((2) ^ (\\ frac (1) (3) \\ cdot \\ left (-1 \\ right))) \u003d ((2) ^ (- \\ frac (1) (3))) \\]

Не забуваємо, що при зведенні ступеня в ступінь показники цих ступенів складаються. І взагалі, при роботі з показовими рівняннями і нерівностями абсолютно необхідно знати хоча б найпростіші правила роботи зі ступенями:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) ^ (x)) \\ cdot ((a) ^ (y)) \u003d ((a) ^ (x + y)); \\\\ & \\ frac (((a) ^ (x))) (((a) ^ (y))) \u003d ((a) ^ (x-y)); \\\\ & ((\\ left (((a) ^ (x)) \\ right)) ^ (y)) \u003d ((a) ^ (x \\ cdot y)). \\\\\\ end (align) \\]

Власне, останнє правило ми тільки що і застосували. Тому наше вихідне нерівність перепишеться так:

\\ [((2) ^ (x-1)) \\ le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)) \\ Rightarrow ((2) ^ (x-1)) \\ le ((2) ^ (- \\ Тепер позбавляємося від двійки в підставі. Оскільки 2\u003e 1, знак нерівності залишиться тим самим:

\\ [\\ Begin (align) & x-1 \\ le - \\ frac (1) (3) \\ Rightarrow x \\ le 1 \\ frac (1) (3) \u003d \\ frac (2) (3); \\\\ & x \\ in \\ left (- \\ infty; \\ frac (2) (3) \\ right]. \\\\\\ end (align) \\]

Ось і все рішення! Основна складність - зовсім не в показовою функції, а в грамотному перетворенні вихідного вираження: потрібно акуратно і максимально швидко привести його до найпростішого виду.

Розглянемо друга нерівність:

\\ [((0,1) ^ (1-x)) \\ lt 0,01 \\]

Так Так. Тут нас чекають десяткові дроби. Як я вже багато разів говорив, в будь-яких виразах зі ступенями слід позбавлятися від десяткових дробів - найчастіше тільки так можна побачити швидке і просте рішення. Ось і ми позбудемося:

{!LANG-a48934777f2573988a2c933e63d7975f!}

\\ [\\ Begin (align) & 0,1 \u003d \\ frac (1) (10); \\ quad 0,01 \u003d \\ frac (1) (100) \u003d ((\\ left (\\ frac (1) (10) \\ \\\\ & ((0,1) ^ (1-x)) \\ lt 0,01 \\ Rightarrow ((\\ left (\\ frac (1) (10) \\ right)) ^ (1-x)) \\ lt ( (\\ left (\\ frac (1) (10) \\ right)) ^ (2)). \\\\\\ end (align) \\]

Перед нами знову найпростіше нерівність, та ще й з повним правом 1/10, тобто меншим одиниці. Що ж, прибираємо підстави, попутно змінюючи знак з «менше» на «більше», і отримуємо:

\\ [\\ Begin (align) & 1-x \\ gt 2; \\\\ & -x \\ gt 2-1; \\\\ & -x \\ gt 1; \\\\ & x \\ lt -1. \\\\\\ end (align) \\]

Отримали остаточну відповідь: $ x \\ in \\ left (- \\ infty; -1 \\ right) $. Зверніть увагу: відповіддю є саме безліч, а ні в якому разі не конструкція виду $ x \\ lt -1 $. Тому що формально така конструкція - це зовсім не багато, а нерівність щодо змінної $ x $. Так, воно дуже просте, але це не відповідь!

важливе зауваження. Дане нерівність можна було вирішити і по-іншому - шляхом приведення обох частин до ступеня з основою, великим одиниці. Погляньте:

\\ [\\ Frac (1) (10) \u003d ((10) ^ (- 1)) \\ Rightarrow ((\\ left (((10) ^ (- 1)) \\ right)) ^ (1-x)) \\ ((10) ^ (- 1 \\ cdot 2)) \\]

Після такого перетворення ми знову отримаємо показове нерівність, але з основою 10\u003e 1. А це означає, що можна просто закреслити десятку - знак нерівності при цьому не зміниться. отримаємо:

\\ [\\ Begin (align) & -1 \\ cdot \\ left (1-x \\ right) \\ lt -1 \\ cdot 2; \\\\ & x-1 \\ lt -2; \\\\ & x \\ lt -2 + 1 \u003d -1; \\\\ & x \\ lt -1. \\\\\\ end (align) \\]

Як бачите, відповідь вийшла точь-в-точь такий же. При цьому ми позбавили себе від необхідності міняти знак і взагалі пам'ятати якісь там правила. :)

\\ [((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ lt 16 \\]

Однак нехай вас це не лякає. Щоб не знаходилося в показниках, технологія вирішення самого нерівності залишається колишньою. Тому зауважимо для початку, що 16 \u003d 2 4. Перепишемо вихідне нерівність з урахуванням цього факту:

\\ [\\ Begin (align) & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ lt ((2) ^ (4)); \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 14 \\ lt 4; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 10 \\ lt 0. \\\\\\ end (align) \\]

Ура! Ми отримали звичайне квадратне нерівність! Знак ніде не змінювався, оскільки в основі стоїть двійка - число, більше одиниці.

Нулі функції на числовій прямій

Розставляємо знаки функції $ f \\ left (x \\ right) \u003d ((x) ^ (2)) - 7x + 10 $ - очевидно, її графіком буде парабола гілками вгору, тому з боків будуть «плюси». Нас цікавить та область, де функція менше нуля, тобто $ X \\ in \\ left (2; 5 \\ right) $ - це і є відповідь до вихідної задачі.

Нарешті, розглянемо ще одне нерівність:

\\ [((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \\ ge \\ frac (1) (25) \\]

Знову бачимо показову функцію з десятковим дробом в підставі. Переводимо цю дріб в звичайну:

\\ [\\ Begin (align) & 0,2 \u003d \\ frac (2) (10) \u003d \\ frac (1) (5) \u003d ((5) ^ (- 1)) \\ Rightarrow \\\\ & \\ Rightarrow ((0 , 2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \u003d ((\\ left (((5) ^ (- 1)) \\ right)) ^ (1 + ((x) ^ (2) ))) \u003d ((5) ^ (- 1 \\ cdot \\ left (1 + ((x) ^ (2)) \\ right))) \\ end (align) \\]

В даному випадку ми скористалися наведеними раніше зауваженням - звели підставу до числа 5\u003e 1, щоб спростити собі подальше рішення. Точно так само зробимо і з правою частиною:

\\ [\\ Frac (1) (25) \u003d ((\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (2)) \u003d ((\\ left (((5) ^ (- 1)) \\ Перепишемо вихідне нерівність з урахуванням обох перетворень:

\\ [((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \\ ge \\ frac (1) (25) \\ Rightarrow ((5) ^ (- 1 \\ cdot \\ left (1 + ((x) ^ (2)) \\ right))) \\ ge ((5) ^ (- 2)) \\]

Підстави з обох сторін однакові і перевершують одиницю. Ніяких інших доданків праворуч і ліворуч немає, тому просто «закреслює» п'ятірки і отримуємо зовсім простий вислів:

\\ [\\ Begin (align) & -1 \\ cdot \\ left (1 + ((x) ^ (2)) \\ right) \\ ge -2; \\\\ & -1 - ((x) ^ (2)) \\ ge -2; \\\\ & - ((x) ^ (2)) \\ ge -2 + 1; \\\\ & - ((x) ^ (2)) \\ ge -1; \\ quad \\ left | \\ Cdot \\ left (-1 \\ right) \\ right. \\\\ & ((x) ^ (2)) \\ le 1. \\\\\\ end (align) \\]

Ось тут треба бути акуратніше. Багато учнів люблять просто витягти квадратний корінь їх обох частин нерівності і записати що-небудь в дусі $ x \\ le 1 \\ Rightarrow x \\ in \\ left (- \\ infty; -1 \\ right] $. Робити цього у жодному разі не можна, оскільки корінь з точного квадрата - це модуль, а ні в якому разі не вихідна змінна:

\\ [\\ Sqrt (((x) ^ (2))) \u003d \\ left | x \\ right | \\]

Однак працювати з модулями - не найприємніше заняття, правда? Ось і ми не будемо працювати. А замість цього просто перенесемо всі складові вліво і вирішимо звичайне нерівність методом інтервалів:

$ \\ Begin (align) & ((x) ^ (2)) - 1 \\ le 0; \\\\ & \\ left (x-1 \\ right) \\ left (x + 1 \\ right) \\ le 0 \\\\ & ((x) _ (1)) \u003d 1; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d -1; \\\\\\ end (align) $

Знову відзначаємо отримані точки на числовій прямій і дивимося знаки:

Зверніть увагу: точки зафарбовані

В цілому хотів би зауважити, що нічого складного в показових нерівностях немає. Сенс всіх перетворень, які ми сьогодні виконували, зводиться до простого алгоритму:

Знайти підставу, до якого будемо приводити все ступеня;

• {!LANG-1721d3425b067b3304e396f50cb787ab!}
• Акуратно виконати перетворення, щоб вийшло нерівність виду $ ((a) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) $. Зрозуміло замість змінних $ x $ і $ n $ можуть стояти набагато більше складні функції, Але сенс від цього не зміниться;
• Закреслити підстави ступенів. При цьому може змінитися знак нерівності, якщо підстава $ a \\ lt 1 $.

По суті, це універсальний алгоритм вирішення всіх таких нерівностей. А все, що вам ще будуть розповідати по цій темі - лише конкретні прийоми і хитрості, що дозволяють спростити і прискорити перетворення. Ось про один з таких прийомів ми зараз і поговоримо. :)

метод раціоналізації

Розглянемо ще одну партію нерівностей:

\\ [\\ Begin (align) & ((\\ text () \\! \\! \\ Pi \\! \\! \\ Text ()) ^ (x + 7)) \\ gt ((\\ text () \\! \\! \\ Pi \\! \\! \\ text ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)); \\\\ & ((\\ left (2 \\ sqrt (3) -3 \\ right)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \\ lt 1; \\\\ & ((\\ left (\\ frac (1) (3) \\ right)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \\ gt ((\\ left (\\ frac (1) (9) \\ right)) ^ (16-x)); \\\\ & ((\\ left (3-2 \\ sqrt (2) \\ right)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \\ lt 1. \\\\\\ end (align) \\]

Ну і що в них такого особливого? Вони ж легкі. Хоча, стоп! Число π зводиться в певний рівень? Що за маячня?

А як звести в ступінь число $ 2 \\ sqrt (3) -3 $? Або $ 3-2 \\ sqrt (2) $? Укладачі завдань, очевидно, перепили «Глоду» перед тим, як сісти за роботу. :)

Насправді нічого страшного в цих завданнях немає. Нагадаю: показовою функцією називається вираз виду $ ((a) ^ (x)) $, де підставу $ a $ - це будь-яке позитивне число, за винятком одиниці. Число π позитивно - це ми і так знаємо. Числа $ 2 \\ sqrt (3) -3 $ і $ 3-2 \\ sqrt (2) $ теж позитивні - в цьому легко переконатися, якщо порівняти їх з нулем.

Виходить, що всі ці «страхітливі» нерівності нічим не відрізняються вирішуються від простих, розглянутих вище? І вирішуються точно так же? Так цілком вірно. Однак на їхньому прикладі я хотів би розглянути один прийом, який здорово економить час на самостійних роботах і іспитах. Мова піде про метод раціоналізації. Отже, увага:

Будь-яке показове нерівність виду $ ((a) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) $ рівносильна нерівності $ \\ left (xn \\ right) \\ cdot \\ left (a-1 \\ right) \\ gt 0 $.

Ось і весь метод. :) А ви думали, що буде якась чергова дичину? Нічого подібного! Але цей простий факт, записаний буквально в один рядок, значно спростить нам роботу. Погляньте:

\\ [\\ Begin (matrix) ((\\ text () \\! \\! \\ Pi \\! \\! \\ Text ()) ^ (x + 7)) \\ gt ((\\ text () \\! \\! \\ Pi \\ -3x + 2 \\ right) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text () -1 \\ right) \\ gt 0 \\\\\\ end (matrix) \\]

Ось і немає більше показових функцій! І не треба пам'ятати: змінюється знак чи ні. Але виникає нова проблема: що робити з гребанний множником \\ [\\ left (\\ text () \\! \\! \\ Pi \\! \\! \\ Text () -1 \\ right) \\]? Адже ми не знаємо, чому дорівнює точне значення числа π. Втім, капітан очевидність як би натякає:

\\ [\\ Text () \\! \\! \\ Pi \\! \\! \\ Text () \\ approx 3,14 ... \\ gt 3 \\ Rightarrow \\ text () \\! \\! \\ Pi \\! \\! \\ Text ( ) -1 \\ gt 3-1 \u003d 2 \\]

Загалом, точне значення π нас особливо-то і не колише - нам лише важливо розуміти, що в будь-якому випадку $ \\ text () \\! \\! \\ Pi \\! \\! \\ Text () -1 \\ gt 2 $, т . Е. це позитивна константа, і ми можемо розділити на неї обидві частини нерівності:

\\ [\\ Begin (align) & \\ left (x + 7- \\ left (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ right) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text () -1 \\ right) \\ gt 0 \\\\ & x + 7- \\ left (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ right) \\ gt 0; \\\\ & x + 7 - ((x) ^ (2)) + 3x-2 \\ gt 0; \\\\ & - ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \\ gt 0; \\ quad \\ left | \\ Cdot \\ left (-1 \\ right) \\ right. \\\\ & ((x) ^ (2)) - 4x-5 \\ lt 0; \\\\ & \\ left (x-5 \\ right) \\ left (x + 1 \\ right) \\ lt 0. \\\\\\ end (align) \\]

Як бачите, в певний момент довелося розділити на мінус одиницю - при цьому знак нерівності змінився. В кінці я розклав квадратний тричлен по теоремі Вієта - очевидно, що коріння рівні $ ((x) _ (1)) \u003d 5 $ і $ ((x) _ (2)) \u003d - 1 $. Далі все вирішується класичним методом інтервалів:

Всі точки виколоті, оскільки вихідне нерівність суворе. Нас цікавить область з негативними значеннями, тому відповідь: $ x \\ in \\ left (-1; 5 \\ right) $. Ось і все рішення. :)

Перейдемо до наступної задачі:

\\ [((\\ Left (2 \\ sqrt (3) -3 \\ right)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \\ lt 1 \\]

Тут взагалі все просто, тому що справа стоїть одиниця. А ми пам'ятаємо, що одиниця - це будь-яке число в нульовому ступені. Навіть якщо цим числом є ірраціональне вираз, що стоїть в основі зліва:

\\ [\\ Begin (align) & ((\\ left (2 \\ sqrt (3) -3 \\ right)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \\ lt 1 \u003d ((\\ left (2 \\ sqrt (3) -3 \\ right)) ^ (0)); \\\\ & ((\\ left (2 \\ sqrt (3) -3 \\ right)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \\ lt ((\\ left (2 \\ sqrt (3) -3 \\ right)) ^ (0)); \\\\\\ end (align) \\]

Що ж, виконуємо раціоналізацію:

\\ [\\ Begin (align) & \\ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ right) \\ cdot \\ left (2 \\ sqrt (3) -3-1 \\ right) \\ lt 0; \\\\ & \\ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ right) \\ cdot \\ left (2 \\ sqrt (3) -4 \\ right) \\ lt 0; \\\\ & \\ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ right) \\ cdot 2 \\ left (\\ sqrt (3) -2 \\ right) \\ lt 0. \\\\\\ end (align) \\ Залишилося лише розібратися зі знаками. Множник $ 2 \\ left (\\ sqrt (3) -2 \\ right) $ не містить змінної $ x $ - це просто константа, і нам необхідно з'ясувати її знак. Для цього зазначимо таке:

{!LANG-b626a4e60b457412da79451aa37be051!}

\\ [\\ Begin (matrix) \\ sqrt (3) \\ lt \\ sqrt (4) \u003d 2 \\\\ \\ Downarrow \\\\ 2 \\ left (\\ sqrt (3) -2 \\ right) \\ lt 2 \\ cdot \\ left (2 -2 \\ right) \u003d 0 \\\\\\ end (matrix) \\]

Виходить, що другий множник - не просто константа, а негативна константа! І при розподілі на неї знак вихідної нерівності зміниться на протилежний:

\\ [\\ Begin (align) & \\ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ right) \\ cdot 2 \\ left (\\ sqrt (3) -2 \\ right) \\ lt 0; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ gt 0; \\\\ & x \\ left (x-2 \\ right) \\ gt 0. \\\\\\ end (align) \\]

Тепер все стає зовсім очевидно. коріння квадратного тричлена, Що стоїть праворуч: $ ((x) _ (1)) \u003d 0 $ і $ ((x) _ (2)) \u003d 2 $. Відзначаємо їх на числовій прямій і дивимося знаки функції $ f \\ left (x \\ right) \u003d x \\ left (x-2 \\ right) $:

Нас цікавлять інтервали, відмічені знаком «плюс». Залишилося лише записати відповідь:

Переходимо до наступного прикладу:

\\ [((\\ Left (\\ frac (1) (3) \\ right)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \\ gt ((\\ left (\\ frac (1) (9) \\ Ну, тут зовсім все очевидно: в підставах стоять ступеня одного і того ж числа. Тому я розпишу все коротко:

\\ [\\ Begin (matrix) \\ frac (1) (3) \u003d ((3) ^ (- 1)); \\ quad \\ frac (1) (9) \u003d \\ frac (1) (((3) ^ ( 2))) \u003d ((3) ^ (- 2)) \\\\ \\ Downarrow \\\\ ((\\ left (((3) ^ (- 1)) \\ right)) ^ (((x) ^ (2) ) + 2x)) \\ gt ((\\ left (((3) ^ (- 2)) \\ right)) ^ (16-x)) \\\\\\ end (matrix) \\]

\\ [\\ Begin (align) & ((3) ^ (- 1 \\ cdot \\ left (((x) ^ (2)) + 2x \\ right))) \\ gt ((3) ^ (- 2 \\ cdot \\ \\\\ & ((3) ^ (- ((x) ^ (2)) - 2x)) \\ gt ((3) ^ (- 32 + 2x)); \\\\ & \\ left (- ((x) ^ (2)) - 2x- \\ left (-32 + 2x \\ right) \\ right) \\ cdot \\ left (3-1 \\ right) \\ gt 0; \\\\ & - ((x) ^ (2)) - 2x + 32-2x \\ gt 0; \\\\ & - ((x) ^ (2)) - 4x + 32 \\ gt 0; \\ quad \\ left | \\ Cdot \\ left (-1 \\ right) \\ right. \\\\ & ((x) ^ (2)) + 4x-32 \\ lt 0; \\\\ & \\ left (x + 8 \\ right) \\ left (x-4 \\ right) \\ lt 0. \\\\\\ end (align) \\]

Як бачите, в процесі перетворень довелося множити на

від'ємне число , Тому змінився знак нерівності. В самому кінці я знову застосував теорему Вієта для розкладання на множники квадратного тричлена. В результаті відповідь буде наступний: $ x \\ in \\ left (-8; 4 \\ right) $ - бажаючі можуть переконатися в цьому, намалювавши числову пряму, зазначивши точки і порахувавши знаки. А ми тим часом перейдемо до останнього нерівності з нашого «комплекту»:\\ [((\\ Left (3-2 \\ sqrt (2) \\ right)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \\ lt 1 \\]

Як бачимо, в основі знову стоїть

ірраціональне число , А праворуч знову стоїть одиниця. Тому перепишемо наше показове нерівність наступним чином:\\ [((\\ Left (3-2 \\ sqrt (2) \\ right)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \\ lt ((\\ left (3-2 \\ sqrt (2) \\ Застосовуємо раціоналізацію:

{!LANG-30c6c59a7695a04c9b2b6ad00f531f08!}

{!LANG-c58709e59490a17e4bd80811e928f0fd!}

\\ [\\ Begin (align) & \\ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ right) \\ cdot \\ left (3-2 \\ sqrt (2) -1 \\ right) \\ lt 0; \\\\ & \\ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ right) \\ cdot \\ left (2-2 \\ sqrt (2) \\ right) \\ lt 0; \\\\ & \\ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ right) \\ cdot 2 \\ left (1 \\ sqrt (2) \\ right) \\ lt 0. \\\\\\ end (align) \\ Однак цілком очевидно, що $ 1 \\ sqrt (2) \\ lt 0 $, оскільки $ \\ sqrt (2) \\ approx 1,4 ... \\ gt 1 $. Тому другий множник - знову негативна константа, на яку можна розділити обидві частини нерівності:

\\ [\\ Begin (matrix) \\ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ right) \\ cdot 2 \\ left (1 \\ sqrt (2) \\ right) \\ lt 0 \\\\ \\ Downarrow \\ \\ [\\ Begin (align) & 3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ gt 0; \\\\ & 3x - ((x) ^ (2)) \\ gt 0; \\ quad \\ left | \\ Cdot \\ left (-1 \\ right) \\ right. \\\\ & ((x) ^ (2)) - 3x \\ lt 0; \\\\ & x \\ left (x-3 \\ right) \\ lt 0. \\\\\\ end (align) \\]

Перехід до іншого підставі

Окремою проблемою при вирішенні показових нерівностей є пошук «правильного» підстави. На жаль, далеко не завжди при першому погляді на завдання очевидно, що брати за основу, а що робити ступенем цього підстави.

Але не переживайте: тут немає ніякої магії і «секретних» технологій. В математиці будь-який навик, який можна алгоритмизировать, можна легко виробити за допомогою практики. Але для цього доведеться вирішувати завдання різного рівня складності. Наприклад, ось такі:

\\ [\\ Begin (align) & ((2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt ((4) ^ (\\ frac (4) (x))); \\\\ & ((\\ left (\\ frac (1) (3) \\ right)) ^ (\\ frac (3) (x))) \\ ge ((3) ^ (2 + x)); \\\\ & ((\\ left (0,16 \\ right)) ^ (1 + 2x)) \\ cdot ((\\ left (6,25 \\ right)) ^ (x)) \\ ge 1; \\\\ & ((\\ left (\\ frac (27) (\\ sqrt (3)) \\ right)) ^ (- x)) \\ lt ((9) ^ (4-2x)) \\ cdot 81. \\\\\\ Складно? Страшно? Так це ж простіше, ніж курчати об асфальт! Давайте спробуємо. Перше нерівність:

\\ [((2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt ((4) ^ (\\ frac (4) (x))) \\]

Ну, я думають, тут і їжаку все зрозуміло:

Переписуємо вихідне нерівність, зводячи все до основи «два»:

\\ [((2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt ((2) ^ (\\ frac (8) (x))) \\ Rightarrow \\ left (\\ frac (x) (2) - \\ frac (8) (x) \\ right) \\ cdot \\ left (2-1 \\ right) \\ lt 0 \\]

Так, так, ви все правильно зрозуміли: я тільки що застосував метод раціоналізації, описаний вище. Тепер потрібно працювати акуратно: у нас вийшло дрібно-раціональне нерівність (це таке, у якого в знаменнику стоїть змінна), тому перш ніж щось прирівнювати до нуля, необхідно привести все до

спільного знаменника

і позбутися від множника-константи.

\\ [\\ Begin (align) & \\ left (\\ frac (x) (2) - \\ frac (8) (x) \\ right) \\ cdot \\ left (2-1 \\ right) \\ lt 0; \\\\ & \\ left (\\ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \\ right) \\ cdot 1 \\ lt 0; \\\\ & \\ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \\ lt 0. \\\\\\ end (align) \\] {!LANG-69e7c41e4e80ac5afd1442f3f48eace4!}{!LANG-c85ad0a6f69eb1613a7a22d455197db9!}

{!LANG-0224b3ca185e0a0a6ccbcbca92e312c1!}

Тепер використовуємо стандартний метод інтервалів. Нулі чисельника: $ x \u003d \\ pm 4 $. Знаменник звертається в нуль тільки при $ x \u003d 0 $. Разом три точки, які треба відзначити на числовій прямій (всі точки виколоті, тому що знак нерівності строгий). отримаємо:

Як неважко здогадатися, штрихуванням відзначені ті інтервали, на яких вираз зліва приймає від'ємні значення. Тому в остаточну відповідь підуть відразу два інтервали:

Кінці інтервалів не входять до відповідь, оскільки вихідне нерівність було суворим. Ніяких додаткових перевірок цієї відповіді не потрібно. У цьому плані показові нерівності набагато простіше логарифмічних: ніяких ОДЗ, ніяких обмежень і т.д.

Переходимо до наступної задачі:

\\ [((\\ Left (\\ frac (1) (3) \\ right)) ^ (\\ frac (3) (x))) \\ ge ((3) ^ (2 + x)) \\]

Тут теж ніяких проблем, оскільки ми вже знаємо, що $ \\ frac (1) (3) \u003d ((3) ^ (- 1)) $, тому все нерівність можна переписати так:

\\ [\\ Begin (align) & ((\\ left (((3) ^ (- 1)) \\ right)) ^ (\\ frac (3) (x))) \\ ge ((3) ^ (2 + x )) \\ Rightarrow ((3) ^ (- \\ frac (3) (x))) \\ ge ((3) ^ (2 + x)); \\\\ & \\ left (- \\ frac (3) (x) - \\ left (2 + x \\ right) \\ right) \\ cdot \\ left (3-1 \\ right) \\ ge 0; \\\\ & \\ left (- \\ frac (3) (x) -2-x \\ right) \\ cdot 2 \\ ge 0; \\ quad \\ left | : \\ Left (-2 \\ right) \\ right. \\\\ & \\ frac (3) (x) + 2 + x \\ le 0; \\\\ & \\ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 3) (x) \\ le 0. \\\\\\ end (align) \\]

Зверніть увагу: в третьому рядку я вирішив не розмінюватися на дрібниці і відразу розділити все на (-2). Минув пішов в першу дужку (тепер там всюди плюси), а двійка скоротилася з множником-константою. Саме так і слід чинити при оформленні реальних викладок на самостійних і контрольних роботах - не треба розписувати прям кожна дія і перетворення.

Далі в справу вступає знайомий нам метод інтервалів. Нулі чисельника: а їх немає. Тому що дискримінант буде негативний. У свою чергу знаменник обнуляється лише при $ x \u003d 0 $ - як і в минулий раз. Ну і зрозуміло, що праворуч від $ x \u003d 0 $ дріб буде приймати позитивні значення, а зліва - негативні. Оскільки нас цікавлять саме негативні значення, то остаточну відповідь: $ x \\ in \\ left (- \\ infty; 0 \\ right) $.

\\ [((\\ Left (0,16 \\ right)) ^ (1 + 2x)) \\ cdot ((\\ left (6,25 \\ right)) ^ (x)) \\ ge 1 \\]

А що потрібно робити з десятковими дробами в показових нерівностях? Правильно: позбавлятися від них, переводячи в звичайні. Ось і ми переведемо:

\\ [\\ Begin (align) & 0,16 \u003d \\ frac (16) (100) \u003d \\ frac (4) (25) \\ Rightarrow ((\\ left (0,16 \\ right)) ^ (1 + 2x)) \u003d ((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (1 + 2x)); \\\\ & 6,25 \u003d \\ frac (625) (100) \u003d \\ frac (25) (4) \\ Rightarrow ((\\ left (6,25 \\ right)) ^ (x)) \u003d ((\\ left (\\ \\\\\\ end (align) \\]

Ну і що ми отримали в підставах показових функцій? А отримали ми два взаємно зворотних числа:

\\ [\\ Frac (25) (4) \u003d ((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (- 1)) \\ Rightarrow ((\\ left (\\ frac (25) (4) \\ left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (- x)) \\]

Таким чином вихідне нерівність можна переписати так:

\\ [\\ Begin (align) & ((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (1 + 2x)) \\ cdot ((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right) ) ^ (- x)) \\ ge 1; \\\\ & ((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (1 + 2x + \\ left (-x \\ right))) \\ ge ((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (0)); \\\\ & ((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (x + 1)) \\ ge ((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (0) ). \\\\\\ end (align) \\]

Зрозуміло, при множенні ступенів з однаковим підставою їх показники складаються, що і відбулося в другій сходинці. Крім того, ми представили одиницю, що стоїть праворуч, теж у вигляді ступеня по підставі 4/25. Залишилося лише виконати раціоналізацію:

\\ [((\\ Left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (x + 1)) \\ ge ((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (0)) \\ Rightarrow \\ left (x + 1-0 \\ right) \\ cdot \\ left (\\ frac (4) (25) -1 \\ right) \\ ge 0 \\]

Зауважимо, що $ \\ frac (4) (25) -1 \u003d \\ frac (4-25) (25) \\ lt 0 $, тобто другий множник є негативною константою, і при розподілі на неї знак нерівності зміниться:

\\ [\\ Begin (align) & x + 1-0 \\ le 0 \\ Rightarrow x \\ le -1; \\\\ & x \\ in \\ left (- \\ infty; -1 \\ right]. \\\\\\ end (align) \\]

Нарешті, остання нерівність з поточного «комплекту»:

\\ [((\\ Left (\\ frac (27) (\\ sqrt (3)) \\ right)) ^ (- x)) \\ lt ((9) ^ (4-2x)) \\ cdot 81 \\]

В принципі, ідея рішення тут теж зрозуміла: все показові функції, що входять до складу нерівності, необхідно звести до основи «3». Але для цього доведеться трохи повозитися з корінням і ступенями:

\\ [\\ Begin (align) & \\ frac (27) (\\ sqrt (3)) \u003d \\ frac (((3) ^ (3))) (((3) ^ (\\ frac (1) (3)) )) \u003d ((3) ^ (3 \\ frac (1) (3))) \u003d ((3) ^ (\\ frac (8) (3))); \\\\ & 9 \u003d ((3) ^ (2)); \\ quad 81 \u003d ((3) ^ (4)). \\\\\\ end (align) \\]

З урахуванням цих фактів вихідне нерівність можна переписати так:

\\ [\\ Begin (align) & ((\\ left (((3) ^ (\\ frac (8) (3))) \\ right)) ^ (- x)) \\ lt ((\\ left (((3) ^ (2)) \\ right)) ^ (4-2x)) \\ cdot ((3) ^ (4)); \\\\ & ((3) ^ (- \\ frac (8x) (3))) \\ lt ((3) ^ (8-4x)) \\ cdot ((3) ^ (4)); \\\\ & ((3) ^ (- \\ frac (8x) (3))) \\ lt ((3) ^ (8-4x + 4)); \\\\ & ((3) ^ (- \\ frac (8x) (3))) \\ lt ((3) ^ (4-4x)). \\\\\\ end (align) \\]

Зверніть увагу на 2-ю і 3-ю сходинку викладок: перш ніж щось робити з нерівністю, обов'язково приведіть його до того виду, про який ми говорили з самого початку уроку: $ ((a) ^ (x)) \\ lt ((a) ^ (n)) $. До тих пір, поки у вас зліва чи справа є якісь ліві множники, додаткові константи і т.д., ніяку раціоналізацію і «закреслення» підстав виконувати не можна! Сила-силенна завдань було виконано неправильно через нерозуміння цього простого факту. Я сам постійно спостерігаю цю проблему у моїх учнів, коли ми тільки-тільки приступаємо до розбору показових і логарифмічних нерівностей.

Але повернемося до нашого завдання. Спробуємо в цей раз обійтися без раціоналізації. Згадуємо: підстава ступеня більше одиниці, тому трійки можна просто закреслити - знак нерівності при цьому не зміниться. отримаємо:

\\ [\\ Begin (align) & - \\ frac (8x) (3) \\ lt 4-4x; \\\\ & 4x- \\ frac (8x) (3) \\ lt 4; \\\\ & \\ frac (4x) (3) \\ lt 4; \\\\ & 4x \\ lt 12; \\\\ & x \\ lt 3. \\\\\\ end (align) \\]

От і все. Відповідь: $ x \\ in \\ left (- \\ infty, 3 \\ right) $.

Виділення сталого виразу і заміна змінної

На закінчення пропоную вирішити ще чотири показових нерівності, які вже є досить складними для непідготовлених учнів. Щоб впоратися з ними, необхідно згадати правила роботи зі ступенями. Зокрема - винесення загальних множників за дужки.

Але найголовніше - навчитися розуміти: що саме можна винести за дужки. Такий вираз називається стійким - його можна позначити нової змінної і таким чином позбутися показовою функції. Отже, подивимося на завдання:

\\ [\\ Begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \\ ge 6; \\\\ & ((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \\ ge 90; \\\\ & ((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \\ gt 2500; \\\\ & ((\\ left (0,5 \\ right)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1,5)) \\ gt 768. \\\\\\ end (align) \\]

Почнемо з самої першої сходинки. Випишемо це нерівність окремо:

\\ [((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \\ ge 6 \\]

Зауважимо, що $ ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((5) ^ (x + 1 + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\ cdot 5 $, тому праву частину можна переписати:

Зауважимо, що ніяких інших показових функцій, крім $ ((5) ^ (x + 1)) $, в нерівності немає. І взагалі, ніде більше не зустрічається змінна $ x $, тому введемо нову змінну: $ ((5) ^ (x + 1)) \u003d t $. Отримаємо наступну конструкцію:

\\ [\\ Begin (align) & 5t + t \\ ge 6; \\\\ & 6t \\ ge 6; \\\\ & t \\ ge 1. \\\\\\ end (align) \\]

Повертаємося до вихідної змінної ($ t \u003d ((5) ^ (x + 1)) $), а заодно згадуємо, що 1 \u003d 5 0. маємо:

\\ [\\ Begin (align) & ((5) ^ (x + 1)) \\ ge ((5) ^ (0)); \\\\ & x + 1 \\ ge 0; \\\\ & x \\ ge -1. \\\\\\ end (align) \\]

Ось і все рішення! Відповідь: $ x \\ in \\ left [-1; + \\ infty \\ right) $. Переходимо до другого нерівності:

\\ [((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \\ ge 90 \\]

Тут все те ж саме. Зауважимо, що $ ((3) ^ (x + 2)) \u003d ((3) ^ (x)) \\ cdot ((3) ^ (2)) \u003d 9 \\ cdot ((3) ^ (x)) $ . Тоді ліву частину можна переписати:

\\ [\\ Begin (align) & ((3) ^ (x)) + 9 \\ cdot ((3) ^ (x)) \\ ge 90; \\ quad \\ left | ((3) ^ (x)) \u003d t \\ right. \\\\ & t + 9t \\ ge 90; \\\\ & 10t \\ ge 90; \\\\ & t \\ ge 9 \\ Rightarrow ((3) ^ (x)) \\ ge 9 \\ Rightarrow ((3) ^ (x)) \\ ge ((3) ^ (2)); \\\\ & x \\ ge 2 \\ Rightarrow x \\ in \\ left [2; + \\ infty \\ right). \\\\\\ end (align) \\]

Ось приблизно так і потрібно оформляти рішення на справжніх контрольних і самостійних роботах.

Що ж, спробуємо що-небудь складніше. Наприклад, ось така нерівність:

\\ [((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \\ gt 2500 \\]

У чому тут проблема? Перш за все, підстави показових функцій, що стоять зліва, різні: 5 і 25. Однак 25 \u003d 5 2, тому перший доданок можна перетворити:

\\ [\\ Begin (align) & ((25) ^ (x + 1,5)) \u003d ((\\ left (((5) ^ (2)) \\ right)) ^ (x + 1,5)) \u003d ((5) ^ (2x + 3)); \\\\ & ((5) ^ (2x + 3)) \u003d ((5) ^ (2x + 2 + 1)) \u003d ((5) ^ (2x + 2)) \\ cdot 5. \\\\\\ end (align ) \\]

Як бачите, спочатку ми все привели до однакового основи, а потім помітили, що перший доданок легко зводиться до другого - досить лише розкласти показник. Тепер можна сміливо вводити нову змінну: $ ((5) ^ (2x + 2)) \u003d t $, і все нерівність перепишеться так:

\\ [\\ Begin (align) & 5t-t \\ ge 2500; \\\\ & 4t \\ ge 2500; \\\\ & t \\ ge 625 \u003d ((5) ^ (4)); \\\\ & ((5) ^ (2x + 2)) \\ ge ((5) ^ (4)); \\\\ & 2x + 2 \\ ge 4; \\\\ & 2x \\ ge 2; \\\\ & x \\ ge 1. \\\\\\ end (align) \\]

І знову ніяких труднощів! Відповідь: $ x \\ in \\ left [1; + \\ infty \\ right) $. Переходимо до заключного нерівності в сьогоднішньому уроці:

\\ [((\\ Left (0,5 \\ right)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1,5)) \\ gt 768 \\]

Перше, на що слід звернути увагу - це, звичайно, десятковий дріб в підставі першого ступеня. Від неї необхідно позбутися, а заодно привести все показові функції до одного і того ж підстави - числу «2»:

\\ [\\ Begin (align) & 0,5 \u003d \\ frac (1) (2) \u003d ((2) ^ (- 1)) \\ Rightarrow ((\\ left (0,5 \\ right)) ^ (- 4x- 8)) \u003d ((\\ left (((2) ^ (- 1)) \\ right)) ^ (- 4x-8)) \u003d ((2) ^ (4x + 8)); \\\\ & 16 \u003d ((2) ^ (4)) \\ Rightarrow ((16) ^ (x + 1,5)) \u003d ((\\ left (((2) ^ (4)) \\ right)) ^ ( x + 1,5)) \u003d ((2) ^ (4x + 6)); \\\\ & ((2) ^ (4x + 8)) - ((2) ^ (4x + 6)) \\ gt 768. \\\\\\ end (align) \\]

Відмінно, перший крок ми зробили - все привели до одного і того ж підстави. Тепер необхідно виділити стійкий вираз. Зауважимо, що $ ((2) ^ (4x + 8)) \u003d ((2) ^ (4x + 6 + 2)) \u003d ((2) ^ (4x + 6)) \\ cdot 4 $. Якщо ввести нову змінну $ ((2) ^ (4x + 6)) \u003d t $, то вихідне нерівність можна переписати так:

\\ [\\ Begin (align) & 4t-t \\ gt 768; \\\\ & 3t \\ gt 768; \\\\ & t \\ gt 256 \u003d ((2) ^ (8)); \\\\ & ((2) ^ (4x + 6)) \\ gt ((2) ^ (8)); \\\\ & 4x + 6 \\ gt 8; \\\\ & 4x \\ gt 2; \\\\ & x \\ gt \\ frac (1) (2) \u003d 0,5. \\\\\\ end (align) \\]

Природно, може виникнути питання: яким це чином ми виявили, що 256 \u003d 2 8 € На жаль, тут потрібно просто знати ступеня двійки (а заодно ступеня трійки і п'ятірки). Ну, або ділити 256 на 2 (ділити можна, оскільки 256 - парне число) до тих пір, поки не отримаємо результат. Виглядати це буде приблизно так:

\\ [\\ Begin (align) & 256 \u003d 128 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 64 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 32 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 16 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 8 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 4 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d ((2) ^ (8)). \\ end (align ) \\]

Те ж саме і з трійкою (числа 9, 27, 81 і 243 є її ступенями), і з сімкою (числа 49 і 343 теж було б непогано запам'ятати). Ну, і у п'ятірки теж є «красиві» ступеня, які потрібно знати:

\\ [\\ Begin (align) & ((5) ^ (2)) \u003d 25; \\\\ & ((5) ^ (3)) \u003d 125; \\\\ & ((5) ^ (4)) \u003d 625; \\\\ & ((5) ^ (5)) \u003d 3125. \\\\\\ end (align) \\]

Звичайно, всі ці числа при бажанні можна відновити в розумі, просто послідовно множачи їх один на одного. Однак, коли вам треба буде розв'язати кілька показових нерівностей, причому кожне наступне складніше попереднього, то останнє, про що хочеться думати - це ступеня якихось там чисел. І в цьому сенсі дані завдання є більш складними, ніж «класичні» нерівності, які вирішуються методом інтервалів.

Сподіваюся, цей урок допоміг вам в освоєнні даної теми. Якщо щось незрозуміло - питайте в коментарях. І побачимося в наступних уроках. :)

Показовими рівняннями і нерівностями вважають такі рівняння і нерівності, в яких невідоме міститься в показнику ступеня.

Рішення показових рівнянь часто зводиться до вирішення рівняння а х \u003d а b, де а\u003e 0, а ≠ 1, х - невідоме. Це рівняння має єдиний корінь х \u003d b, так як справедлива наступна теорема:

Теорема. Якщо а\u003e 0, а ≠ 1 і а х 1 \u003d а х 2, то х 1 \u003d х 2.

Обґрунтуємо розглянуте твердження.

Припустимо, що рівність х 1 \u003d х 2 не виконується, тобто х 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а > 1, то показова функція у \u003d а х зростає і тому має виконуватися нерівність а х 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 > а х 2. В обох випадках ми отримали протиріччя умові а х 1 \u003d а х 2.

Розглянемо кілька задач.

Вирішити рівняння 4 ∙ 2 х \u003d 1.

Рішення.

Запишемо рівняння у вигляді 2 2 ∙ 2 х \u003d 2 0 - 2 х + 2 \u003d 2 0, звідки отримуємо х + 2 \u003d 0, тобто х \u003d -2.

Відповідь. х \u003d -2.

Вирішити рівняння 2 3х ∙ 3 х \u003d 576.

Рішення.

Так як 2 3х \u003d (2 3) х \u003d 8 х, 576 \u003d 24 2, то рівняння можна записати у вигляді 8 х ∙ 3 х \u003d 24 2 або у вигляді 24 х \u003d 24 2.

Звідси отримуємо х \u003d 2.

Відповідь. х \u003d 2.

Вирішити рівняння 3 х + 1 - 2 ∙ 3 \u200b\u200bх - 2 \u003d 25.

Рішення.

Виносячи в лівій частині за дужки загальний множник 3 х - 2, отримуємо 3 х - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 х - 2 ∙ 25 \u003d 25,

звідки 3 х - 2 \u003d 1, тобто х - 2 \u003d 0, х \u003d 2.

Відповідь. х \u003d 2.

Вирішити рівняння 3 х \u003d 7 х.

Рішення.

Так як 7 х ≠ 0, то рівняння можна записати у вигляді 3 х / 7 х \u003d 1, звідки (3/7) х \u003d 1, х \u003d 0.

Відповідь. х \u003d 0.

Вирішити рівняння 9 х - 4 ∙ 3 х - 45 \u003d 0.

Рішення.

Заміною 3 х \u003d а дане рівняння зводиться до квадратного рівняння а 2 - 4а - 45 \u003d 0.

Вирішуючи це рівняння, знаходимо його корені: а 1 \u003d 9, а 2 \u003d -5, звідки 3 х \u003d 9, 3 х \u003d -5.

Рівняння 3 х \u003d 9 має корінь 2, а рівняння 3 х \u003d -5 не має коренів, так як показова функція не може приймати негативні значення.

Відповідь. х \u003d 2.

Рішення показових нерівностей часто зводиться до вирішення нерівностей а х\u003e а b або а х< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Розглянемо деякі завдання.

Вирішити нерівність 3 х< 81.

Рішення.

Запишемо нерівність у вигляді 3 х< 3 4 . Так как 3 > 1, то функція у \u003d 3 х є зростаючою.

Отже, при х< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Таким чином, при х< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 х< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Відповідь. х< 4.

Вирішити нерівність 16 х +4 х - 2\u003e 0.

Рішення.

Позначимо 4 х \u003d t, тоді отримаємо квадратне нерівність t2 + t2\u003e 0.

Це нерівність виконується при t< -2 и при t > 1.

Так як t \u003d 4 х, то отримаємо два нерівності 4 х< -2, 4 х > 1.

Перше нерівність не має рішень, так як 4 х\u003e 0 при всіх х € R.

Друге нерівність запишемо у вигляді 4 х\u003e 4 0, звідки х\u003e 0.

Відповідь. х\u003e 0.

Графічно вирішити рівняння (1/3) х \u003d х - 2/3.

Рішення.

1) Побудуємо графіки функцій у \u003d (1/3) х і у \u003d х - 2/3.

2) Спираючись на наш малюнок, можна зробити висновок, що графіки розглянутих функцій перетинаються в точці з абсцисою х ≈ 1. Перевірка доводить, що

х \u003d 1 - корінь даного рівняння:

(1/3) 1 \u003d 1/3 і 1 - 2/3 \u003d 1/3.

Іншими словами, ми знайшли один з коренів рівняння.

3) Знайдемо інші коріння або доведемо, що таких немає. Функція (1/3) х спадна, а функція у \u003d х - 2/3 зростаюча. Отже, при х\u003e 1 значення першої функції менше 1/3, а другий - більше 1/3; при х< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х > 1 і х< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Відповідь. х \u003d 1.

Зауважимо, що з вирішення цього завдання, зокрема, випливає, що нерівність (1/3) х\u003e х - 2/3 виконується при х< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Розглянемо, як вирішувати показові нерівності, що містять ступеня з різними підставами. Рішення таких нерівностей аналогічно рішенням відповідних.

(5 ^ ((x ^ 2) - x - 1)) - (2 ^ ((x ^ 2) - x)) \\] "title \u003d" (! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Групуємо ступеня з однаковими підставами. Зручніше для цього розвести їх по різні боки нерівності:

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

З кожної пари ступенів виносимо за дужки загальний множник - ступінь з меншим показником. Винести за дужки загальний множітель- значить, кожний доданок розділити на цей множник. При розподілі ступенів з підставами підставу залишаємо колишнім, а показники віднімаємо:

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ділити можна відразу на 20 (20 \u003d 4 ∙ 5), але практика показує, що розподіл в два етапи дозволяє уникнути можливих помилок:

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Так як підставу 2/5<1, показательная функция

убуває, тому знак нерівності між показниками ступенів змінюється на протилежний:

Квадратичне нерівність вирішимо методом інтервалів. Нулі функції, що стоїть в лівій частині нерівності - x1 \u003d -1; x2 \u003d 2. Відзначаємо їх на числовій прямій.

Для перевірки знака візьмемо нуль: 0²-0-2 \u003d -2, в проміжок, якому належить нуль, ставимо «-«. Решта знаки розставляємо в шаховому порядку. Так як вирішуємо нерівність, в якому ліва частина менше нуля, вибираємо проміжок зі знаком «-«.

Відповідь: x ∈ (-1; 2).

Варіант нерівностей такого виду - все ступеня мають однакові підстави, але відрізняються коефіцієнтами при x в показниках.

У лівій частині виносимо за дужки ступінь з найменшим показником

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Прийшли до показового нерівності. Так як підставу 7\u003e 1, функція

зростає, знак нерівності між показниками не змінюється:

Щоб вирішити цю нерівність методом інтервалів перенесемо всі складові в ліву частину і наведемо дроби до