Вектор - це величина, яка характеризується своїм чисельним значенням і напрямком. Іншими словами, вектор - це спрямований відрізок. положення вектора AB в просторі задається координатами точки початку вектора A і точки кінця вектора B. Розглянемо, як визначити координати середини вектора.

Інструкція

Для початку визначимося з позначеннями початку і кінця вектора. Якщо вектор записаний як AB, то точка A є початком вектора, А точка B - кінцем. І навпаки, для вектора BA точка B є початком вектора, А точка A - кінцем. Нехай нам заданий вектор AB з координатами початку вектора A = (a1, a2, a3) і кінця вектора B = (b1, b2, b3). тоді координати вектора AB будуть наступними: AB = (b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3), тобто з координати кінця векторанеобхідно відняти відповідну координату початку вектора. довжина вектора AB (або його модуль) обчислюється як корінь квадратний із суми квадратів його координат: | AB | =? ((B1 - a1) ^ 2 + (b2 - a2) ^ 2 + (b3 - a3) ^ 2).

Знайдемо координати точки, що є серединою вектора. Позначимо її буквою O = (o1, o2, o3). Знаходяться координати середини векторатак само, як координати середини звичайного відрізка, за такими формулами: o1 = (a1 + b1) / 2, o2 = (a2 + b2) / 2, o3 = (a3 + b3) / 2. знайдемо координати вектора AO: AO = (o1 - a1, o2 - a2, o3 - a3) = ((b1 - a1) / 2, (b2 - a2) / 2, (b3 - a3) / 2).

Розглянемо приклад. Нехай дано вектор AB з координатами початку вектора A = (1, 3, 5) і кінця вектора B = (3, 5, 7). тоді координати вектора AB можна записати як AB = (3 - 1, 5 - 3, 7 - 5) = (2, 2, 2). знайдемо модуль вектора AB: | AB | =? (4 + 4 + 4) = 2 *? 3. Значення довжини заданого векторадопоможе нам для подальшої перевірки правильності координат середини вектора. Далі знайдемо координати точки O: O = ((1 + 3) / 2, (3 + 5) / 2, (5 + 7) / 2) = (2, 4, 6). тоді координати вектора AO розраховуємо як AO = (2 - 1, 4 - 3, 6 - 5) = (1, 1, 1).

Виконаємо перевірку. довжина вектора AO =? (1 + 1 + 1) =? 3. Згадаймо, що довжина вихідного векторадорівнює 2 *? 3, тобто половина векторадійсно дорівнює половині довжини вихідного вектора. Тепер розрахуємо координати вектора OB: OB = (3 - 2, 5 - 4, 7 - 6) = (1, 1, 1). Знайдемо суму векторів AO і OB: AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB. Отже, координати середини векторабули знайдені вірно.

Корисна порада

Виконавши обчислення координат середини вектора, обов'язково виконайте хоча б найпростішу перевірку - порахуйте довжину вектора і порівняйте її з довжиною даного вектора.

У статті нижче будуть висвітлені питання знаходження координат середини відрізка при наявності в якості вихідних даних координат його крайніх точок. Але, перш ніж приступити до вивчення питання, введемо ряд визначень.

визначення 1

відрізок- пряма лінія, що з'єднує дві довільні точки, звані кінцями відрізка. Як приклад нехай це будуть точки A і B і відповідно відрізок A B.

Якщо відрізок A B продовжити в обидві сторони від точок A і B, ми отримаємо пряму A B. Тоді відрізок A B - частина отриманої прямої, обмежений точками A і B. Відрізок A B об'єднує точки A і B, що є його кінцями, а також безліч точок, що лежать між. Якщо, наприклад, взяти будь-яку довільну точку K, що лежить між точками A і B, можна сказати, що точка K лежить на відрізку A B.

визначення 2

довжина відрізка- відстань між кінцями відрізка при заданому масштабі (відрізку одиничної довжини). Довжину відрізка A B позначимо в такий спосіб: A B.

визначення 3

середина відрізка- точка, що лежить на відрізку і рівновіддалена від його кінців. Якщо середину відрізка A B позначити точкою C, то вірним буде рівність: A C = C B

Вихідні дані: координатна пряма O x і незбіжні точки на ній: A і B. Цим точкам відповідають дійсні числа x A і x B. Точка C - середина відрізка A B: необхідно визначити координату x C.

Оскільки точка C є серединою відрізка А В, вірним буде рівність: | А С | = | З У | . Відстань між точками визначається модулем різниці їх координат, тобто

| А С | = | З У | ⇔ x C - x A = x B - x C

Тоді можливо два рівності: x C - x A = x B - x C і x C - x A = - (x B - x C)

З першої рівності виведемо формулу для координати точки C: x C = x A + x B 2 (полусумма координат кінців відрізка).

З другого равенста отримаємо: x A = x B, що неможливо, тому що у вихідних даних - незбіжні точки. Таким чином, формула для визначення координат середини відрізка A B з кінцями A (x A) і B (x B):

Отримана формула буде основою для визначення координат середини відрізка на площині або в просторі.

Вихідні дані: прямокутна система координат на площині Про x y, дві довільні незбіжні точки з заданими координатами A x A, y A і B x B, y B. Точка C - середина відрізка A B. Необхідно визначити координати x C і y C для точки C.

Візьмемо для аналізу випадок, коли точки A і B не збігаються і не лежать на одній координатної прямої або прямий, перпендикулярної однієї з осей. A x, A y; B x, B y і C x, C y - проекції точок A, B і C на осі координат (прямі Про х і Про y).

Згідно побудови прямі A A x, B B x, C C x паралельні; прямі також паралельні між собою. Сукупно з цим по теоремі Фалеса з рівності А С = С В слідують рівності: А x З x = С x В x і А y З y = С y В y, і вони в свою чергу свідчать про те, що точка С x - середина відрізка а x В x, а З y - середина відрізка а y В y. І тоді, спираючись на отриману раніше формулу, отримаємо:

x C = x A + x B 2 і y C = y A + y B 2

Цими ж формулами можна скористатися в разі, коли точки A і B лежать на одній координатної прямої або прямий, перпендикулярної однієї з осей. Проводити детальний аналіз цього випадку не будемо, розглянемо його лише графічно:

Резюмуючи все вище сказане, координати середини відрізка A B на площині з координатами кінців A (x A, y A) і B (x B, y B) визначаються як:

(X A + x B 2, y A + y B 2)

Вихідні дані: система координат Про x y z і дві довільні точки з заданими координатами A (x A, y A, z A) і B (x B, y B, z B). Необхідно визначити координати точки C, що є серединою відрізка A B.

A x, A y, A z; B x, B y, B z і C x, C y, C z - проекції всіх заданих точок на осі системи координат.

Згідно з теоремою Фалеса вірні рівності: A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z

Отже, точки C x, C y, C z є центрами відрізків A x B x, A y B y, A z B z відповідно. тоді, для визначення координат середини відрізка в просторі вірні формули:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Отримані формули застосовні також у випадках, коли точки A і B лежать на одній з координатних прямих; на прямій, перпендикулярній однієї з осей; в одній координатної площині або площині, перпендикулярній однієї з координатних площин.

Визначення координат середини відрізка через координати радіус-векторів його кінців

Формулу для знаходження координат середини відрізка також можна вивести згідно алгебраическому тлумаченню векторів.

Вихідні дані: прямокутна декартова система координат O x y, точки з заданими координатами A (x A, y A) і B (x B, x B). Точка C - середина відрізка A B.

Згідно геометричному визначенню дій над векторами вірним буде рівність: O C → = 1 2 × O A ​​→ + O B →. Точка C в даному випадку - точка перетину діагоналей паралелограма, побудованого на основі векторів O A → і O B →, тобто точка середини діагоналей.Коордінати радіус-вектора точки рівні координатами точки, тоді вірні рівності: O A → = (x A, y A), O B → = (x B, y B). Виконаємо деякі операції над векторами в координатах і отримаємо:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2

Отже, точка C має координати:

x A + x B 2, y A + y B 2

За аналогією визначається формула для знаходження координат середини відрізка в просторі:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Приклади розв'язання задач на знаходження координат середини відрізка

Серед завдань, які передбачають використання отриманих вище формул, зустрічаються, як і ті, в яких безпосередньо стоїть питання розрахувати координати середини відрізка, так і такі, що передбачають приведення заданих умов до цього питання: часто використовується термін «медіана», ставиться за мету знаходження координат одного з кінців відрізка, а також поширені завдання на симетрію, вирішення яких в загальному також не повинно викликати труднощів після вивчення цієї теми. Розглянемо характерні приклади.

приклад 1

Початкові дані:на площині - точки з заданими координатами А (- 7, 3) і В (2, 4). Необхідно знайти координати середини відрізка А В.

Рішення

Позначимо середину відрізка A B точкою C. Координати її буду визначатися як полусумма координат кінців відрізка, тобто точок A і B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 + 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 +4 2 = 7 2

відповідь: Координати середини відрізка А В - 5 2, 7 2.

приклад 2

Початкові дані:відомі координати трикутника А В С: А (- 1, 0), В (3, 2), С (9, - 8). Необхідно знайти довжину медіани А М.

Рішення

1. За умовою завдання A M - медіана, а значить M є точкою середини відрізка B C. В першу чергу знайдемо координати середини відрізка B C, тобто точки M:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Оскільки тепер нам відомі координати обох кінців медіани (точки A і М), можемо скористатися формулою для визначення відстані між точками і порахувати довжину медіани А М:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

відповідь: 58

приклад 3

Початкові дані:в прямокутній системі координат тривимірного простору заданий паралелепіпед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. Задані координати точки C 1 (1, 1, 0), а також визначена точка M, що є серединою діагоналі B D 1 і має координати M (4, 2, - 4). Необхідно розрахувати координати точки А.

Рішення

Діагоналі паралелепіпеда мають перетин в одній точці, яка при цьому є серединою всіх діагоналей. Виходячи з цього твердження, можна мати на увазі, що відома за умовами завдання точка М є серединою відрізка А З 1. Спираючись на формулу для знаходження координат середини відрізка в просторі, знайдемо координати точки А: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M - x C 1 = 2 · 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M - y C 1 = 2 · 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

відповідь:координати точки А (7, 3, - 8).

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

У цій статті ми з тобою почнемо обговорення однієї «чарівні палички», яка дозволить тобі звести багато завдань з геометрії до простої арифметики. Ця «паличка» може істотно полегшити тобі життя особливо в тому випадку, коли ти невпевнено відчуваєш себе в побудові просторових фігур, перетинів і т. Д. Все це вимагає певного уяви і практичних навичок. Метод же, який ми тут почнемо розглядати, дозволить тобі практично повністю абстрагуватися від всякого роду геометричних побудов і міркувань. Метод носить назву «Метод координат». У даній статті ми з тобою розглянемо наступні питання:

1. координатна площина
2. Точки і вектори на площині
3. Побудова вектора по двом точкам
4. Довжина вектора (відстань між двома точками)
5. Координати середини відрізка
6. Скалярний добуток векторів
7. Кут між двома векторами

Я думаю, ти вже здогадався, чому метод координат так називається? Вірно, він отримав таку назву, тому що він оперує не з геометричними об'єктами, а з їх числовими характеристиками (координатами). А саме перетворення, що дозволяє перейти від геометрії до алгебри, полягає у введенні системи координат. Якщо вихідна фігура була плоскою, то координати двомірні, а якщо фігура об'ємна, то координати тривимірні. У даній статті ми будемо розглядати тільки двомірний випадок. А основна мета статті - навчити тебе користуватися деякими базовими прийомами методу координат (вони іноді виявляються корисними при вирішенні задач по планіметрії в частині B ЄДІ). Обговоренню же методів вирішення завдань С2 (завдання по стереометрії) присвячені наступні два розділи з цієї тематики.

З чого було б логічно почати обговорення методу координат? Напевно, з поняття системи координат. Згадай, коли ти з нею вперше зіткнувся. Мені здається, що в 7 класі, коли ти дізнався про існування лінійної функції, наприклад. Нагадаю, ти будував її по точках. Пам'ятаєш? Ти вибирав довільну кількість, підставляв її в формулу і обчислював таким чином. Наприклад, якщо, то, якщо ж, то і т. Д. Що ж ти отримував в результаті? А отримував ти точки з координатами: і. Далі ти малював «хрестик» (систему координат), вибирав на ній масштаб (скільки клітинок у тебе буде одиничним відрізком) і відзначав на ній отримані тобою точки, які потім з'єднував прямою лінією, отримана лінія і є графік функції.

Тут є кілька моментів, які варто пояснити тобі трохи докладніше:

1. Одиничний відрізок ти вибираєш з міркувань зручності, так, щоб все красиво і компактно вміщувалося на малюнку

2. Прийнято, що вісь йде зліва направо, а вісь - знизився вгору

3. Вони перетинаються під прямим кутом, а точка їх перетину називається початком координат. Вона позначається буквою.

4. У записі координати точки, наприклад, зліва в дужках стоїть координата точки по осі, а праворуч, по осі. Зокрема, просто означає, що у точки

5. Для того, щоб задати будь-яку точку на координатній осі, потрібно вказати її координати (2 числа)

6. Для будь-якої точки, що лежить на осі,

7. Для будь-якої точки, що лежить на осі,

8. Вісь називається віссю абсцис

9. Вісь називається віссю ординат

Тепер давай з тобою зробимо наступний крок: відзначимо дві точки. З'єднаємо ці дві точки відрізком. І поставимо стрілочку так, як ніби ми проводимо відрізок з точки до точки: тобто зробимо наш відрізок спрямованим!

Згадай, як ще називається спрямований відрізок? Вірно, він називається вектором!

Таким чином, якщо ми з'єднаємо точку c точкою, причому початком у нас буде точка A, а кінцем - точка B,то ми отримаємо вектор. Це побудова ти теж робив в 8 класі, пам'ятаєш?

Виявляється, вектори, як і точки, можна позначати двома цифрами: ці цифри називаються координатами вектора. Питання: як ти думаєш, чи достатньо нам знати координати початку і кінця вектора, щоб знайти його координати? Виявляється, що так! І робиться це дуже просто:

Таким чином, так як в векторі точка - початок, а - кінець, то вектор має наступні координати:

Наприклад, якщо, то координати вектора

Тепер давай зробимо навпаки, знайдемо координати вектора. Що нам для цього потрібно поміняти? Так, потрібно поміняти місцями початок і кінець: тепер початок вектора буде в точці, а кінець - в точці. тоді:

Подивися уважно, чим відрізняються вектори і? Єдина їх відмінність - це знаки в координатах. Вони протилежні. Цей факт прийнято записувати ось так:

Іноді, якщо не обмовляється спеціально, яка точка є початком вектора, а яка - кінцем, то вектори позначають не двома великими літерами, а однією рядкової, наприклад:, і т. Д.

тепер трохи потренуйсясам і знайди координати наступних векторів:

Перевірка:

А тепер виріши завдання трохи складніше:

Век-тор з на-ча-лом в точці має ко-ор-ді-на-ти. Най-ді-ті абс-цис-су точки.

Все той же досить прозаїчно: Нехай - координати точки. тоді

Систему я склав за визначенням того, що таке координати вектора. Тоді точка має координати. Нас цікавить абсциса. тоді

відповідь:

Що ще можна робити з векторами? Так майже все те ж саме, що і з звичайними числами (хіба що ділити не можна, зате множити можна аж двома способами, один з яких ми тут обговоримо трохи пізніше)

1. Вектори можна складати один з одним
2. Вектори можна вичитати одна з одної
3. Вектори можна множити (або ділити) на довільне ненульове число
4. Вектори можна множити один на одного

Всі ці операції мають цілком наочне геометричне уявлення. Наприклад, правило трикутника (або паралелограма) для додавання і віднімання:

Вектор розтягується або стискається або змінює напрямок при множенні або діленні на число:

Однак тут нас буде цікавити питання, що ж відбувається з координатами.

1. При додаванні (відніманні) двох векторів, ми складаємо (віднімаємо) поелементно їх координати. Тобто:

2. При множенні (діленні) вектора на число, все його координати множаться (діляться) на це число:

наприклад:

· Най-ді-ті суму ко-ор-ди-нат століття-то-ра.

Давай спочатку знайдемо координати кожного з векторів. Обидва вони мають однакове початок - точку початку координат. Кінці у них різні. Тоді,. Тепер обчислимо координати вектора Тоді сума координат отриманого вектора дорівнює.

відповідь:

Тепер виріши сам наступне завдання:

· Знайти суму координат вектора

перевіряємо:

Давай розглянемо тепер наступне завдання: у нас є дві точки на координатній площині. Як знайти відстань між ними? Нехай перша точка буде, а друга. Позначимо відстань між ними через. Давай зробимо для наочності наступний креслення:

Що я зробив? Я, по-перше, поєднав точки і, а також з точки провів лінію, паралельну осі, а з точки провів лінію, паралельну осі. Вони перетнулися в точці, утворивши при цьому чудову фігуру? Чим вона чудова? Так ми з тобою майже всі знаємо про прямокутний трикутник. Ну вже теорему Піфагора - точно. Шуканий відрізок - це гіпотенуза цього трикутника, а відрізки - катети. Чому рівні координати точки? Так, їх нескладно знайти по картинці: Так як відрізки паралельні осях і відповідно, то їх довжини легко знайти: якщо позначити довжини відрізків відповідно через, то

Тепер скористаємося теоремою Піфагора. Довжини катетів нам відомі, гіпотенузу ми знайдемо:

Таким чином, відстань між двома точками - це корінь з суми квадратів різниць з координат. Або ж - відстань між двома точками - це довжина відрізка, їх з'єднує. Легко помітити, що відстань між точками не залежить від напрямку. тоді:

Звідси робимо три висновки:

Давай трохи повправлятися в обчисленні відстані між двома точками:

Наприклад, якщо, то відстань між і дорівнює

Або підемо по-іншому: знайдемо координати вектора

І знайдемо довжину вектора:

Як бачиш, одне і те ж!

Тепер трохи потренуйся сам:

Завдання: знайти відстань між зазначеними точками:

перевіряємо:

Ось ще пара задачок на ту ж формулу, правда звучать вони трохи по-іншому:

1. Най-ді-ті квад-рат довжини століття-то-ра.

2. Най-ді-ті квад-рат довжини століття-то-ра

Я так думаю, ти з ними без зусиль впорався? перевіряємо:

1. А це на уважність) Ми вже знайшли координати векторів і раніше:. Тоді вектор має координати. Квадрат його довжини буде дорівнює:

2. Знайдемо координати вектора

Тоді квадрат його довжини дорівнює

Нічого складного, правда? Звичайна арифметика, не більше того.

Наступні завдання не можна однозначно класифікувати, вони швидше на загальну ерудицію і на вміння малювати простенькі картинки.

1. Най-ді-ті синус кута на-кло-на від-рез-ка, з-оди-ня-ю-ще-го точки, з віссю абсцис.

і

Як ми будемо поступати тут? Потрібно знайти синус кута між і віссю. А де ми вміємо шукати синус? Вірно, в прямокутному трикутнику. Так що нам потрібно зробити? Побудувати цей трикутник!

Оскільки координати точки і, то відрізок дорівнює, а відрізок. Нам потрібно знайти синус кута. Нагадаю тобі, що синус - це відношення протилежного катета до гіпотенузи, тоді

Що нам залишилося зробити? Знайти гіпотенузу. Ти можеш зробити це двома способами: по теоремі Піфагора (катети-то відомі!) Або за формулою відстані між двома точками (насправді один і той же, що і перший спосіб!). Я піду іншим шляхом:

відповідь:

Наступне завдання здасться тобі ще простіше. Вона - на координати точки.

Завдання 2.З точки опу-щен пер-пен-ді-ку-ляр на вісь абс-Цисс. Най-ді-ті абс-цис-су ос-но-ва-ня пер-пен-ді-ку-ля-ра.

Давай зробимо малюнок:

Підстава перпендикуляра - це та точка, в якій він перетинає вісь абсцис (вісь) у мене це точка. За малюнком видно, що має координати:. Нас цікавить абсциса - тобто «іксів» складова. Вона дорівнює.

відповідь: .

Завдання 3.В умовах попередньої задачі знайти суму відстаней від точки до осей координат.

Завдання - взагалі елементарна, якщо знати, що таке відстань від точки до осей. Ти знаєш? Я сподіваюся, але все ж нагадаю тобі:

Отже, на моєму малюнку, розташованому трохи вище, я вже зобразив один такий перпендикуляр? До якої він осі? До осі. І чому ж дорівнює тоді його довжина? Вона дорівнює. Тепер сам проведи перпендикуляр до осі і знайди його довжину. Вона буде дорівнює, адже так? Тоді їх сума дорівнює.

відповідь: .

Завдання 4.В умовах задачі 2, знайдіть ординату точки, симетричною точці щодо осі абсцис.

Я думаю, тобі інтуїтивно ясно, що таке симетрія? Дуже багато об'єктів нею володіють: багато будинків, столи, літаки, багато геометричні фігури: куля, циліндр, квадрат, ромб і т. Д. Грубо кажучи, симетрію можна розуміти ось як: фігура складається з двох (або більше) однакових половинок. Така симетрія називається осьової. А що тоді таке вісь? Це якраз та лінія, по якій фігуру можна, умовно кажучи, «розрізати» на однакові половинки (на даній картинці вісь симетрії - пряма):

Тепер давай повернемося до нашого завдання. Нам відомо, що ми шукаємо точку, симетричну щодо осі. Тоді ця вісь - вісь симетрії. Значить, нам потрібно відзначити таку точку, щоб вісь розрізала відрізок на дві рівні частини. Спробуй сам відзначити таку точку. А тепер порівняй з моїм рішенням:

У тебе вийшло так же? Добре! У знайденої точки нас цікавить ордината. вона дорівнює

відповідь:

А тепер скажи мені, подумавши секунд, чого буде дорівнює абсциса точки, симетричною точці A відносно осі ординат? Який твій відповідь? Правильну відповідь: .

У загальному випадку правило можна записати ось так:

Точка, симетрична точці відносно осі абсцис, має координати:

Точка, симетрична точці відносно осі ординат, має координати:

Ну і тепер зовсім страшна задача: Знайти координати точки, симетричної точці, щодо початку координат. Ти спочатку подумай сам, а потім подивися на мій малюнок!

відповідь:

тепер завдання на паралелограм:

Завдання 5: Точки яв-ля-ють-ся вер-ши-на-ми па-ра-ле-ло-грам-ма. Най-ді-ті ор-ді-на-ту точки.

Можна вирішувати цю задачу двома способами: логікою і методом координат. Я спочатку застосую метод координат, а потім розповім тобі, як можна вирішити інакше.

Абсолютно ясно, що абсциса точки дорівнює. (Вона лежить на перпендикуляре, проведеної з точки до осі абсцис). Нам потрібно знайти ординату. Скористаємося тим, що наша фігура - паралелограм, це означає, що. Знайдемо довжину відрізка, використовуючи формулу відстані між двома точками:

Опускаємо перпендикуляр, що з'єднує точку з віссю. Точку перетину позначу буквою.

Довжина відрізка дорівнює. (Знайди сам завдання, де ми обговорювали цей момент), тоді знайдемо довжину відрізка по теоремі Піфагора:

Довжина відрізка - в точності збігається з його ординатою.

відповідь: .

Інше рішення (я просто наведу малюнок, який його ілюструє)

Хід рішення:

1. Провести

2. Знайти координати точки і довжину

3. Довести, що.

Ще одна завдання на довжину відрізка:

Точки яв-ля-ють-ся вер-ши-на-ми тре-вугілля-ні-ка. Най-ді-ті довжину його середовищ-ній лінії, па-ра-лель-ної.

Ти пам'ятаєш, що таке середня лінія трикутника? Тоді для тебе ця задача елементарна. Якщо не пам'ятаєш, то я нагадаю: середня лінія трикутника - це лінія, яка з'єднує середини протилежних сторін. Вона паралельна основі і дорівнює його половині.

Підстава - це відрізок. Його довжину нам доводилося шукати раніше, воно дорівнює. Тоді довжина середньої лінії вдвічі менше і дорівнює.

відповідь: .

Коментар: це завдання можна вирішити і іншим способом, до якого ми звернемося трохи пізніше.

А поки - ось тобі кілька задачок, потренуйся на них, вони зовсім прості, але допомагають «набивати руку», на використанні методу координат!

1. Точки яв-ля-ють-ся вер-ши-на-ми тра-пе-ції. Най-ді-ті довжину її середовищ-ній лінії.

2. Точки і яв-ля-ють-ся вер-ши-на-ми па-ра-ле-ло-грам-ма. Най-ді-ті ор-ді-на-ту точки.

3. Най-ді-ті довжину від-рез-ка, з-оди-ня-ю-ще-го точки і

4. Най-ді-ті пло-ща за-кра-шен-ної фі-гу-ри на ко-ор-ди-нат-ної пло-ко-сти.

5. Оточуючий-ність з цен-тром в на-ча-ле ко-ор-ди-нат про-хо-дить через точку. Най-ді-ті її ра-ди-ус.

6. Най-ді-ті ра-ди-ус окруж-но-сті, опи-сан-ної близько пря-мо-вугілля-ні-ка, вер-ши-ни ко-то-ро-го мають ко-ор -ді-на-ти з-від-вет-ного-но

рішення:

1. Відомо, що середня лінія трапеції дорівнює напівсумі її підстав. Підстава одно, а підстава. тоді

відповідь:

2. Найпростіше вирішити цю задачу так: помітити, що (правило паралелограма). Обчислити координати векторів і не становить труднощів:. При додаванні векторів координати складаються. Тоді має координати. Ці ж координати має і точка, оскільки початок вектора - це точка з координатами. Нас цікавить ордината. Вона дорівнює.

відповідь:

3. Діємо відразу за формулою відстані між двома точками:

відповідь:

4. Подивися на картинку і скажи, між якими двома фігурами «затиснута» заштрихованная область? Вона затиснута між двома квадратами. Тоді площа шуканої фігури дорівнює площі великого квадрата мінус площа маленького. Сторона маленького квадрата - це відрізок, що з'єднує точки і Його довжина дорівнює

Тоді площа маленького квадрата дорівнює

Точно так само чинимо і з великим квадратом: його сторона - це відрізок, що з'єднує точки і Його довжина дорівнює

Тоді площа великого квадрата дорівнює

Площа шуканої фігури знайдемо за формулою:

відповідь:

5. Якщо окружність має в якості центру початок координат і проходить через точку, то її радіус буде в точності дорівнює довжині відрізка (зроби малюнок і ти зрозумієш, чому це очевидно). Знайдемо довжину цього відрізка:

відповідь:

6. Відомо, що радіус описаного навколо прямокутника кола дорівнює половині його діагоналі. Знайдемо довжину будь-який з двох діагоналей (адже в прямокутнику вони рівні!)

відповідь:

Ну що, ти з усім впорався? Було не дуже складно розібратися, адже так? Правило тут одне - вміти зробити наочну картинку і просто «рахувати» з неї всі дані.

Нам залишилося зовсім небагато. Є ще буквально два моменти, які б мені хотілося обговорити.

Давай спробуємо вирішити ось таку нехитру задачку. Нехай дано дві точки і. Знайти координати середини відрізка. Вирішення цієї задачі наступне: нехай точка - шукана середина, тоді має координати:

Тобто: координати середини відрізка = середнє арифметичне відповідних координат кінців відрізка.

Це правило дуже просте і як правило не викликає ускладнень у учнів. Давай подивимося, в яких військово-політичні завдання і як воно вживається:

1. Най-ді-ті ор-ді-на-ту се-ре-ді-ни від-рез-ка, з-оди-ня-ю-ще-го точки і

2. Точки яв-ля-ють-ся вер-ши-на-ми че-ти-рьох-вугілля-ні-ка. Най-ді-ті ор-ді-на-ту точки пе-ре-се-че-ня його діа-го-на-лей.

3. Най-ді-ті абс-цис-су цін-тра окруж-но-сті, опи-сан-ної близько пря-мо-вугілля-ні-ка, вер-ши-ни ко-то-ро-го мають ко-ор-ді-на-ти з-від-вет-ного-но.

рішення:

1. Перше завдання - просто класика. Діємо відразу по визначенню середини відрізка. Вона має координати. Ордината дорівнює.

відповідь:

2. Легко бачити, що даний чотирикутник є паралелограма (навіть ромбом!). Ти і сам можеш це довести, обчисливши довжини сторін і порівнявши їх між собою. Що я знаю про паралелограм? Його діагоналі точкою перетину діляться навпіл! Ага! Значить точка перетину діагоналей - це що? Це середина будь-який з діагоналей! Виберу, зокрема діагональ. Тоді точка має координати Ордината точки дорівнює.

відповідь:

3. З чим збігається центр описаного навколо прямокутника кола? Він збігається з точкою перетину його діагоналей. А що ти знаєш про діагоналі прямокутника? Вони рівні і точкою перетину діляться навпіл. Завдання звелася до попередньої. Візьму, наприклад, діагональ. Тоді якщо - центр описаного кола, то - середина. Шукаю координати: Абсциса дорівнює.

відповідь:

Тепер потренуйся трохи самостійно, я лише наведу відповіді до кожного завдання, щоб ти міг себе перевірити.

1. Най-ді-ті ра-ди-ус окруж-но-сті, опи-сан-ної близько тре-вугілля-ні-ка, вер-ши-ни ко-то-ро-го мають ко-ор-ді -на ти

2. Най-ді-ті ор-ді-на-ту цін-тра окруж-но-сті, опи-сан-ної близько тре-вугілля-ні-ка, вер-ши-ни ко-то-ро-го мають ко-ор-ді-на-ти

3. Ка-ко-го ра-ди-у-са долж-на бути окруж-ність з цен-тром в точці щоб вона ка-са-лась осі абс-Цисс?

4. Най-ді-ті ор-ді-на-ту точки пе-ре-се-че-ня осі і від-рез-ка, з-оди-ня-ю-ще-го точки і

відповіді:

Все вдалося? Дуже на це надіюсь! Тепер - останній ривок. Зараз будь особливо уважний. Той матеріал, який я зараз буду пояснювати, має безпосереднє відношення не тільки до простих завдань на метод координат з B частини, але також зустрічається повсюдно і в завданні С2.

Який зі своїх обіцянок я ще не дотримав? Згадай, які операції над векторами я обіцяв ввести і які в кінцевому рахунку ввів? Я точно нічого не забув? Забув! Забув пояснити, що означає множення векторів.

Є два способи помножити вектор на вектор. Залежно від обраного способу у нас будуть виходити об'єкти різної природи:

Векторний добуток виконується досить хитро. Як його робити і для чого воно потрібне, ми з тобою обговоримо в наступній статті. А в цій ми зупинимося на скалярному творі.

Є аж два способи, що дозволяють нам його обчислити:

Як ти здогадався, результат повинен бути один і той же! Отже, давай спочатку розглянемо перший спосіб:

Скалярний твір через координати

Знайти: - загальноприйняте позначення скалярного твори

Формула для обчислення наступна:

Тобто скалярний твір = сума творів координат векторів!

приклад:

Най-ді-ті

Рішення:

Знайдемо координати кожного з векторів:

Обчислюємо скалярний твір за формулою:

відповідь:

Бачиш, абсолютно нічого складного!

Ну-ка, тепер спробуй сам:

· Най-ді-ті ска-ляр-ве про-з-ве-де-ня век-то-рів і

Впорався? Може, і підступ невеликий помітив? Давай перевіримо:

Координати векторів, як в минулому завданні! Відповідь:.

Крім координатного, є й інший спосіб обчислити скалярний твір, а саме, через довжини векторів і косинус кута між ними:

Позначає кут між векторами і.

Тобто скалярний добуток дорівнює добутку довжин векторів на косинус кута між ними.

Навіщо ж нам ця друга формула, якщо у нас є перша, яка набагато простіше, в ній принаймні немає ніяких косинусів. А потрібна вона для того, що з першої і другої формули ми з тобою зможемо вивести, як знаходити кут між векторами!

Нехай Тоді згадуй формулу для довжини вектора!

Тоді якщо я підставлю ці дані в формулу скалярного твори, то я отримаю:

Але з іншого боку:

Таким чином, що ж ми з тобою отримали? У нас тепер є формула, що дозволяє обчислювати кут між двома векторами! Іноді її для стислості записують ще й так:

Тобто алгоритм обчислення кута між векторами наступний:

1. Обчислюємо скалярний твір через координати
2. Знаходимо довжини векторів і перемножуємо їх
3. Ділимо результат пункту 1 на результат пункту 2

Давай потренуємося на прикладах:

1. Най-ді-ті кут між век-то-ра-ми і. Відповідь дайте у гра-ду-сах.

2. В умовах попередньої задачі, знайдіть косинус між векторами

Зробимо так: перше завдання я допоможу тобі вирішити, а другу спробуй зробити сам! Згоден? Тоді починаємо!

1. Ці вектора - наші старі знайомі. Їх скалярний твір ми вже вважали і воно дорівнювало. Координати у них такі:,. Тоді знайдемо їх довжини:

Тоді шукаємо косинус між векторами:

Косинус якого кута дорівнює? Це кут.

відповідь:

Ну а тепер сам виріши друге завдання, а потім порівняємо! Я приведу лише дуже коротке рішення:

2. має координати, має координати.

Нехай - кут між векторами і, тоді

відповідь:

Треба відзначити, що завдання безпосередньо на вектора і метод координат в частині B екзаменаційної роботи досить рідкісні. Однак, переважна більшість завдань C2 можна легко вирішити, вдавшись до впровадження системи координат. Так що ти можеш вважати цю статтю фундаментом, на основі якого ми будемо робити досить хитрі побудови, які знадобляться нам для вирішення складних завдань.

КООРДИНАТИ І ВЕКТОРИ. СЕРЕДНІЙ У Ровен

Ми з тобою продовжуємо вивчати метод координат. У минулій частині ми вивели ряд важливих формул, які дозволяють:

1. Знаходити координати вектора
2. Знаходити довжину вектора (альтернативно: відстань між двома точками)
3. Додавати, віднімати вектори. Множити їх на дійсне число
4. Знаходити середину відрізка
5. Обчислювати скалярний добуток векторів
6. Знаходити кут між векторами

Звичайно, в ці 6 пунктів не вкладається весь координатний метод. Він лежить в основі такої науки, як аналітична геометрія, з якої тобі належить познайомитися в ВУЗі. Я лише хочу побудувати фундамент, який дозволить тобі вирішувати завдання в єдиному держ. іспиті. З завданнями частини B ми розібралися в Тепер пора переходити на якісно новий рівень! Ця стаття буде присвячена методу вирішення тих завдань С2, в яких буде розумно перейти до методу координат. Ця розумність визначається тим, що в задачі потрібно знайти, і яка фігура дана. Отже, я б став застосовувати метод координат, якщо порушуються питання:

1. Знайти кут між двома площинами
2. Знайти кут між прямою і площиною
3. Знайти кут між двома прямими
4. Знайти відстань від точки до площини
5. Знайти відстань від точки до прямої
6. Знайти відстань від прямої до площини
7. Знайти відстань між двома прямими

Якщо дана в умові завдання фігура є тілом обертання (куля, циліндр, конус ...)

Відповідними фігурами для методу координат є:

1. прямокутний паралелепіпед
2. Піраміда (трикутна, чотирикутна, шестикутна)

Також з мого досвіду недоцільно використовувати метод координат для:

1. Знаходження площ перетинів
2. Обчислення об'ємів тіл

Однак слід відразу зазначити, що три «невигідні» для методу координат ситуації на практиці досить рідкісні. У більшості ж завдань він може стати твоїм рятівником, особливо якщо ти не дуже сильний в тривимірних побудовах (які часом бувають досить мудрими).

Якими є всі перераховані мною вище фігури? Вони вже не плоскі, як, наприклад, квадрат, трикутник, коло, а об'ємні! Відповідно, нам потрібно розглядати вже не двомірну, а тривимірну систему координат. Будується вона досить легко: просто крім осі абсцис і ординат, ми введемо ще одну вісь, вісь аплікат. На малюнку схематично зображено їх взаємне розташування:

Всі вони є взаємно перпендикулярними, перетинаються в одній точці, яку ми будемо називати початком координат. Вісь абсцис, як і раніше, будемо позначати, вісь ординат -, а введену вісь аплікат -.

Якщо раніше кожна точка на площині характеризувалася двома числами - абсциссой і ординатою, то кожна точка в просторі вже описується трьома числами - абсциссой, ординатою, аплікатою. наприклад:

Відповідно абсциса точки дорівнює, ордината -, а аппликата -.

Іноді абсциссу точки ще називають проекцією точки на вісь абсцис, ординату - проекцією точки на вісь ординат, а аплікат - проекцією точки на вісь аплікат. Відповідно, якщо задана точка то, точку з координатами:

називають проекцією точки на площину

називають проекцією точки на площину

Постає природне запитання: чи справедливі всі формули, виведені для двомірного випадку, в просторі? Відповідь ствердна, вони справедливі і мають той же самий вид. За маленькою деталлю. Я думаю, ти вже сам здогадався, за який саме. У всі формули ми повинні будемо додати ще один член, який відповідає за вісь аплікат. А саме.

1. Якщо задані дві точки:, то:

• Координати вектора:
• Відстань між двома точками (або довжина вектора)
• Середина відрізка має координати

2. Якщо дано два вектора: і, то:

• Їх скалярний добуток дорівнює:
• Косинус кута між векторами дорівнює:

Однак з простором не все так просто. Як ти розумієш, додавання ще однієї координати вносить істотний різноманітність в спектр фігур, «живуть» в цьому просторі. І для подальшого оповідання мені потрібно ввести деякий, грубо кажучи, «узагальнення» прямий. Цим «узагальненням» буде площину. Що ти знаєш про площину? Спробуй відповісти на питання, а що таке площину? Дуже складно сказати. Однак ми все інтуїтивно представляємо, як вона виглядає:

Грубо кажучи, це якийсь нескінченний «лист», засунутий в простір. «Нескінченність» слід розуміти, що площину поширюється на всі боки, тобто її площа дорівнює нескінченності. Однак, це пояснення «на пальцях» не дає ні найменшого уявлення про структуру площині. А нас буде цікавити саме вона.

Давай згадаємо одну з основних аксіом геометрії:

• через дві різні точки на площині проходить пряма, до того ж лише одна:

Або її аналог в просторі:

Звичайно, ти пам'ятаєш, як за двома заданих точках вивести рівняння прямої, це зовсім неважко: якщо перша точка має координати: а друга, то рівняння прямої буде наступним:

Це ти проходив ще в 7 класі. У просторі рівняння прямої виглядає ось так: нехай у нас дано дві точки з координатами:, то рівняння прямої, через них проходить, має вигляд:

Наприклад, через точки, проходить пряма:

Як це слід розуміти? Це слід розуміти ось як: точка лежить на прямій, якщо її координати задовольняють наступній системі:

Нас не дуже цікавитиме рівняння прямої, але нам потрібно звернути увагу на дуже важливе поняття направляючого вектора прямої. - будь-який ненульовий вектор, що лежить на даній прямій або паралельний їй.

Наприклад, обидва вектори, є напрямними векторами прямої. Нехай - точка, що лежить на прямій, а - її направляючий вектор. Тоді рівняння прямої можна записати в наступному вигляді:

Ще раз повторюся, мені не дуже буде цікаво рівняння прямої, але мені дуже потрібно, щоб ти запам'ятав, що таке спрямовує вектор! Ще раз: це будь-ненульовий вектор, що лежить на прямій, або паралельний їй.

вивести рівняння площини по трьом заданих точкахвже не так тривіально, і зазвичай це питання не розглядається в курсі середньої школи. А даремно! Цей прийом життєво необхідний, коли ми вдаємося до методу координат для вирішення складних завдань. Однак, я припускаю, що ти сповнений бажання навчитися чомусь новому? Більш того, ти зможеш вразити свого викладача у вищому навчальному закладі, коли з'ясується, що ти вже вмієш з методикою, яку зазвичай вивчають в курсі аналітичної геометрії. Отже, приступимо.

Рівняння площини не надто відрізняється від рівняння прямої на площині, а саме воно має вигляд:

деякі числа (не всі рівні нулю), а змінні, наприклад: і т.д. Як бачиш, рівняння площини не дуже відрізняється від рівняння прямої (лінійної функції). Однак, згадай, що ми з тобою стверджували? Ми говорили, що якщо у нас є три точки, що не лежать на одній прямій, то рівняння площині однозначно по ним відновлюється. Але як? Спробую тобі пояснити.

Оскільки рівняння площини має вигляд:

А точки належать цій площині, то при підстановці координат кожної точки в рівняння площини ми повинні отримувати вірне тотожність:

Таким чином, постає необхідність вирішувати три рівняння аж з невідомими! Дилема! Однак завжди можна припускати, що (для цього потрібно розділити на). Таким чином, ми отримаємо три рівняння з трьома невідомими:

Однак ми не будемо вирішувати таку систему, а випишемо загадкове вираз, яке з нього слід:

Рівняння площини, що проходить через три задані точки

\ [\ Left | (\ Begin (array) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & ((x_1) - (x_0)) & ((x_2) - (x_0)) \\ (y - (y_0) ) & ((y_1) - (y_0)) & ((y_2) - (y_0)) \\ (z - (z_0)) & ((z_1) - (z_0)) & ((z_2) - (z_0)) \ end (array)) \ right | = 0 \]

Стоп! Це ще що таке? Якийсь дуже незвичайний модуль! Однак об'єкт, який ти бачиш перед собою не має нічого спільного з модулем. Цей об'єкт називається визначником третього порядку. Відтепер і надалі, коли ти матимеш справу з методом координат на площині, тобі дуже часто будуть зустрічатися ці самі визначники. Що ж таке визначник третього порядку? Як не дивно, це всього-на-всього число. Залишилося зрозуміти, яке конкретно число ми будемо зіставляти з визначником.

Давай спочатку запишемо визначник третього порядку в більш загальному вигляді:

Де - деякі числа. Причому під першим ІНДЕКО ми розуміємо номер рядка, а під ІНДЕКО - номер стовпчика. Наприклад, означає, що дане число стоїть на перетині другого рядка і третього стовпця. Давай поставимо наступне питання: яким саме чином ми будемо обчислювати такий визначник? Тобто, яке конкретно число ми будемо йому зіставляти? Для визначника саме третього порядку є евристичне (наочне) правило трикутника воно виглядає наступним чином:

1. Твір елементів головної діагоналі (з верхнього лівого кута до нижнього правого) твір елементів, що утворюють перший трикутник «перпендикулярний» головною діагоналі твір елементів, що утворюють другий трикутник «перпендикулярний» головною діагоналі
2. Твір елементів побічної діагоналі (з верхнього правого кута до нижнього лівого) твір елементів, що утворюють перший трикутник «перпендикулярний» побічної діагоналі твір елементів, що утворюють другий трикутник «перпендикулярний» побічної діагоналі
3. Тоді визначник дорівнює різниці значень, отриманих на кроці і

Якщо записати все це цифрами, то ми отримаємо такий вираз:

Проте, запам'ятовувати спосіб обчислення в такому вигляді не потрібно, достатньо в голові просто тримати трикутники і саму ідею, що з чим складається і що з чого потім віднімається).

Давай проілюструємо метод трикутників на прикладі:

1. Обчислити визначник:

Давай розбиратися, що ми складаємо, а що - віднімаємо:

Складові, які йдуть з «плюсом»:

Це головна діагональ: твір елементів одно

Перший трикутник, «перпендикулярний головній діагоналі: твір елементів одно

Другий трикутник, «перпендикулярний головній діагоналі: твір елементів одно

Складаємо три числа:

Складові, які йдуть з «мінусом»

Це побічна діагональ: твір елементів одно

Перший трикутник, «перпендикулярний побічної діагоналі: твір елементів одно

Другий трикутник, «перпендикулярний побічної діагоналі: твір елементів одно

Складаємо три числа:

Все, що залишилося зробити - це відняти від суми доданків «з плюсом» суму доданків «з мінусом»:

Таким чином,

Як бачиш, нічого складного і надприродного в обчисленні визначників третього порядку немає. Просто важливо пам'ятати про трикутники і не допускати арифметичних помилок. Тепер спробуй самостійно обчислити:

перевіряємо:

1. Перший трикутник, перпендикулярний головній діагоналі:
2. Другий трикутник, перпендикулярний головній діагоналі:
3. Сума доданків з плюсом:
4. Перший трикутник, перпендикулярний побічної діагоналі:
5. Другий трикутник, перпендикулярний побічної діагоналі:
6. Сума доданків з мінусом:
7. Сума доданків з плюсом мінус сума доданків з мінусом:

Ось тобі ще пара визначників, обчислювальні їх значення самостійно і порівняй з відповідями:

відповіді:

Ну що, все збіглося? Відмінно, тоді можна рухатися далі! Якщо ж є затруденіі, то рада мій такий: в інтернеті є купа програм обчислення визначника он-лайн. Все, що тобі потрібно - придумати свій визначник, обчислити його самостійно, а потім порівняти з тим, що вважатиме програма. І так до тих пір, поки результати не почнуть збігатися. Упевнений, цей момент не змусить себе довго чекати!

Тепер давай повернемося до того определителю, який я виписав, коли говорив про рівняння площини, що проходить через три задані точки:

Все, що тобі потрібно - це обчислити його значення безпосередньо (методом трикутників) і прирівняти результат до нуля. Природно, оскільки - змінні, то ти отримаєш деякий вираз, від них залежне. Саме цей вислів і буде рівнянням площини, що проходить через три задані точки, що не лежать на одній прямій!

Давай проілюструємо сказане на простому прикладі:

1. Побудувати рівняння площини, що проходить через точки

Складає для цих трьох точок визначник:

спрощуємо:

Тепер обчислюємо його безпосередньо за правилом трикутників:

\ [(\ Left | (\ begin (array) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\ (y - 2) & 0 & 1 \\ (z + 1) & 5 & 0 \ end (array)) \ right | = \ left ((x + 3) \ right) \ cdot 0 \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 \ cdot \ left ((z + 1) \ right) + \ left ((y - 2) \ right) \ cdot 5 \ cdot 6 -) \]

Таким чином, рівняння площини, що проходить через точки, має вигляд:

Тепер спробуй вирішити одну задачу самостійно, а потім ми її обговоримо:

2. Знайти рівняння площини, що проходить через точки

Ну що, давай тепер обговоримо рішення:

Складаємо визначник:

І обчислюємо його значення:

Тоді рівняння площини має вигляд:

Або ж, скоротивши на, отримаємо:

Тепер два завдання для самоконтролю:

1. Побудувати рівняння площини, що проходить через три точки:

відповіді:

Все співпало? Знову-таки, якщо є певні труднощі, то моя порада така: береш з голови три точки (з великим ступенем ймовірності вони не будуть лежати на одній прямій), будуєш по ним площину. А потім перевіряєш себе он-лайн. Наприклад, на сайті:

Однак за допомогою визначників ми будемо будувати не тільки рівняння площині. Згадай, я говорив тобі, що для векторів визначено не тільки скалярний твір. Є ще векторне, а також змішане твір. І якщо скалярним твором двох векторів і буде число, то векторних твором двох векторів і буде вектор, причому даний вектор буде перпендикулярний до заданих:

Причому його модуль буде дорівнює площі паралелограма, посторенная на векторах і. Даний вектор знадобиться нам для обчислення відстані від точки до прямої. Як же нам вважати векторний добуток векторів і, якщо їх координати задані? На допомогу до нас знову приходить визначник третього порядку. Однак, перш ніж я перейду до алгоритму обчислення векторного твори, я змушений зробити невеликий ліричний відступ.

Дане відступ стосується базисних векторів.

Схематично вони зображені на малюнку:

Як ти думаєш, а чому вони називається базисними? Справа в тому що :

Або на зображенні:

Справедливість цієї формули очевидна, адже:

Векторний витвір

Тепер я можу приступити до впровадження векторного твори:

Векторним проізвденіем двох векторів називається вектор, який обчислюється за наступним правилом:

Тепер давай наведемо кілька прикладів обчислення векторного твори:

Приклад 1: Знайти векторний добуток векторів:

Рішення: складаю визначник:

І обчислюю його:

Тепер від запису через базисні вектори, я повернуся до звичної записи вектора:

Таким чином:

Тепер спробуй.

Готовий? перевіряємо:

І традиційно дві завдання для контролю:

1. Знайти векторний добуток наступних векторів:
2. Знайти векторний добуток наступних векторів:

відповіді:

Змішане твір трьох векторів

Остання конструкція, яка мені знадобиться - це змішане твір трьох векторів. Воно, як і скалярний, є числом. Є два способи його обчислення. - через визначник, - через змішане твір.

А саме, нехай у нас дано три вектори:

Тоді мішаний добуток трьох векторів, що позначається через можна обчислити як:

1. - тобто змішане твір - це скалярний твори вектора на векторний добуток двох інших векторів

Наприклад, мішаний добуток трьох векторів дорівнює:

Самостійно спробуй обчислити його через векторний добуток і переконайся, що результати співпадуть!

І знову - два приклади для самостійного рішення:

відповіді:

Вибір системи координат

Ну ось, тепер у нас є весь необхідний фундамент знань, щоб вирішувати складні стереометричні завдання з геометрії. Однак перш ніж приступати безпосередньо до прикладів і алгоритмам їх вирішення, я вважаю, що буде корисно зупинитися ще ось на якому питанні: як саме вибирати систему координат для тієї чи іншої фігури.Адже саме вибір взаємного розташування системи координат і фігури в просторі в кінцевому рахунку визначить, наскільки громіздкими будуть обчислення.

Я нагадаю, що в цьому розділі ми розглядаємо такі фігури:

1. прямокутний паралелепіпед
2. Пряма призма (трикутна, шестикутна ...)
3. Піраміда (трикутна, чотирикутна)
4. Тетраедр (один і той же, що і трикутна піраміда)

Для прямокутного паралелепіпеда або куба я рекомендую тобі наступну побудову:

Тобто фігуру я буду поміщати «в кут». Куб і паралелепіпед - це дуже хороші фігури. Для них ти завжди легко можеш знайти координати його вершин. Наприклад, якщо (як показано на малюнку)

то координати вершин наступні:

Запам'ятовувати це, звичайно, не потрібно, однак пам'ятати, як краще розташовувати куб або прямокутний паралелепіпед - бажано.

пряма призма

Призма - більш шкідлива фігура. Розташовувати її в просторі можна по-різному. Однак мені найбільш прийнятним здається наступний варіант:

Трикутна призма:

Тобто одну зі сторін трикутника ми цілком кладемо на вісь, причому одна з вершин збігається з початком координат.

Шестикутна призма:

Тобто одна з вершин збігається з початком координат, і одна зі сторін лежить на осі.

Чотирикутна і шестикутна піраміда:

Ситуація, аналогічна кубу: дві сторони підстави поєднуємо з осями координат, одну з вершин поєднуємо з початком координат. Єдиною невеликою складністю буде розрахувати координати точки.

Для шестикутної піраміди - аналогічно, як для шестикутної призми. Основне завдання знову-таки буде в пошуку координат вершини.

Тетраедр (трикутна піраміда)

Ситуація дуже схожа на ту, яку я привів для трикутної призми: одна вершина збігається з початком координат, одна сторона лежить на координатної осі.

Ну що, тепер ми з тобою, нарешті, близькі до того, щоб приступити до вирішення завдань. Зі сказаного мною на самому початку статті, ти міг зробити ось який висновок: більшість завдань C2 діляться на 2 категорії: завдання на кут і завдання на відстань. Спочатку ми з тобою розглянемо завдання на знаходження кута. Вони в свою чергу діляться на наступні категорії (у міру збільшення складності):

Завдання на пошук кутів

1. Знаходження кута між двома прямими
2. Знаходження кута між двома площинами

Давай будемо розглядати ці завдання послідовно: почнемо з знаходження кута між двома прямими. Ну-ка згадай, а не вирішували ми з тобою подібні приклади раніше? Пригадуєш, адже у нас вже було щось подібне ... Ми шукали кут між двома векторами. Я нагадаю тобі, якщо дані два вектора: і, то кут між ними знаходиться зі співвідношення:

Тепер же у нас стоїть мета - знаходження кута між двома прямими. Давай звернемося до «плоскої картинці»:

Скільки у нас вийшло кутів при перетині двох прямих? Аж штуки. Правда не рівних з них тільки два, інші ж є вертикальними до них (а тому з ними збігаються). То який же кут нам вважати кутом між двома прямими: або? Тут правило таке: кут між двома прямими завжди не більше ніж градусів. Тобто з двох кутів ми завжди будемо вибирати кут з найменшою градусною мірою. Тобто на даній картинці кут між двома прямими дорівнює. Щоб кожен раз не морочитися з пошуком найменшого з двох кутів, хитрі математики запропонували використовувати модуль. Таким чином кут між двома прямими визначається за формулою:

У тебе, як у уважного читача, повинен був виникнути питання: а звідки, власне, ми візьмемо ці самі числа, які нам потрібні для обчислення косинуса кута? Відповідь: ми будемо брати їх з направляючих векторів прямих! Таким чином, алгоритм знаходження кута між двома прямими виглядає наступним чином:

1. Застосовуємо формулу 1.

Або більш докладно:

1. Шукаємо координати направляючого вектора першої прямої
2. Шукаємо координати направляючого вектора другий прямий
3. Обчислюємо модуль їх скалярного твори
4. Шукаємо довжину першого вектора
5. Шукаємо довжину другого вектора
6. Множимо результати пункту 4 на результати пункту 5
7. Ділимо результат пункту 3 на результат пункту 6. Отримуємо косинус кута між прямими
8. Якщо даний результат дозволяє в точності обчислити кут, шукаємо його
9. Інакше пишемо через арккосинус

Ну що, тепер саме час перейти до завдань: рішення перших двох я продемонструю докладно, рішення ще однієї я представлю в стислому вигляді, а до останніх двох завданням я лише дам відповіді, все викладки до них ти повинен провести сам.

завдання:

1. У пра-Віль-ном тет-ра-ед-ре най-ді-ті кут між ви-со-тій тет-ра-ед-ра і ме-ді-а-ної бо-ко-вий межі.

2. У пра-Віль-ної ше-сти-вугілля-ний пі-ра-мі-де сто-ро-ни ос-но-ва-ня ко-то-рій рівні, а бо-ко-ві ребра рівні, най-ді-ті кут між пря-ми-ми і.

3. Довжини всіх ребер пра-Віль-ний че-ти-рьох-вугілля-ний пі-ра-мі-ди рівні між собою. Най-ді-ті кут між пря-ми-ми і якщо від-ре-зок - ви-со-та дан-ної пі-ра-мі-ди, точка - се-ре-ді-на її бо-ко по-го ребра

4. На ребрі куба від-ме-че-на точка так, що Най-ді-ті кут між пря-ми-ми і

5. Точка - се-ре-ді-на ребра куба Най-ді-ті кут між пря-ми-ми і.

Я не випадково розташував завдання в такому порядку. Поки ти ще не встиг почати орієнтуватися в методі координат, я сам розберу найбільш «проблемні» фігури, а тобі надам розібратися з найпростішим кубом! Поступово тобі належить навчитися працювати з усіма фігурами, складність завдань я буду збільшувати від теми до теми.

Приступаємо до вирішення завдань:

1. Малюємо тетраедр, поміщаємо його в систему координат так, як я пропонував раніше. Оскільки тетраед правильний - то все його межі (ця цифра включає підставу) - правильні трикутники. Оскільки нам не дана довжина сторони, то я можу прийняти її рівною. Я думаю, ти розумієш, що кут насправді не буде залежати від того, наскільки наш тетраедр буде «розтягнутий» ?. Також проведу в тетраедра висоту і медіану. Попутно я намалюю його підставу (воно нам теж стане в нагоді).

Мені потрібно знайти кут між і. Що нам відомо? Нам відома лише координата точки. Значить, треба знайти ще координати точок. Тепер думаємо: точка - це точка перетину висот (або біссектрісс або медіан) трикутника. А точка - це піднесена точка. Точка ж - це середина відрізка. Тоді остаточно нам треба знайти: координати точок:.

Почнемо з самого простого: координати точки. Дивись на малюнок: Ясно, що аппликата точки дорівнює нулю (точка лежить на площині). Її ордината дорівнює (так як - медіана). Складніше знайти її абсциссу. Однак це легко робиться на підставі теореми Піфагора: Розглянемо трикутник. Його гіпотенуза дорівнює, а один з катетів дорівнює Тоді:

Остаточно маємо:.

Тепер знайдемо координати точки. Ясно, що її аппликата знову дорівнює нулю, а її ордината така ж, як у точки, тобто. Знайдемо її абсциссу. Це робиться досить трівівально, якщо пам'ятати, що висоти рівностороннього трикутника точкою перетину діляться в пропорції, Починаючи з вершини. Так як:, то шукана абсциса точки, що дорівнює довжині відрізка, дорівнює:. Таким чином, координати точки рівні:

Знайдемо координати точки. Ясно, що її абсциса і ордината збігаються з абсцисою і ординатою точки. А аппликата дорівнює довжині відрізка. - це один з катетів трикутника. Гіпотенуза трикутника - це відрізок - катет. Він шукається з міркувань, які я виділив жирним шрифтом:

Точка - це середина відрізка. Тоді нам потрібно згадати формулу координат середини відрізка:

Ну все, тепер ми можемо шукати координати напрямних векторів:

Ну що, все готово: підставляємо всі дані в формулу:

Таким чином,

відповідь:

Тебе не повинні лякати такі «страшні» відповіді: для задач С2 це звичайна практика. Я б скоріше здивувався «красивому» відповіді в цій частині. Також, як ти помітив, я практично не вдавався ні до чого, крім як до теоремі Піфагора і властивості висот рівностороннього трикутника. Тобто для вирішення стереометричних завдання я використовував самий мінімум стереометрії. Виграш в цьому частково «гаситься» досить громіздкими обчисленнями. Зате вони досить алгорітмічно!

2. Зобразимо правильну шестикутну піраміду разом з системою координат, а також її підставу:

Нам потрібно знайти кут між прямими і. Таким чином, наша задача зводиться до пошуку координат точок:. Координати останніх трьох ми знайдемо по маленькому малюнку, а коодінату вершини знайдемо через координату точки. Роботи навалом, але треба до неї приступати!

a) Координата: ясно, що її аппликата і ордината дорівнюють нулю. Знайдемо абсциссу. Для цього розглянемо прямокутний трикутник. На жаль, в ньому нам відома тільки гіпотенуза, яка дорівнює. Катет ми будемо намагатися відшукати (бо ясно, що подвоєна довжина катета дасть нам абсциссу точки). Як же нам її шукати? Давай згадаємо, що за фігура у нас лежить в основі піраміди? Це правильний шестикутник. А що це означає? Це означає, що у нього все боку і всі кути рівні. Треба б знайти один такий кут. Є ідеї? Ідей маса, але є формула:

Сума кутів правильного n-кутника дорівнює .

Таким чином, сума кутів правильного шестикутника дорівнює градусів. Тоді кожен з кутів дорівнює:

Знову дивимося на картинку. Ясно, що відрізок - біссектрісса кута. Тоді кут дорівнює градусам. тоді:

Тоді, звідки.

Таким чином, має координати

b) Тепер легко знайдемо координату точки:.

c) Знайдемо координати точки. Так як її абсциса збігається з довжиною відрізка то вона дорівнює. Знайти ординату теж не дуже складно: якщо ми з'єднаємо точки і а точку перетину прямої позначимо, скажімо за. (Зроби сам нескладне побудова). Тоді Таким чином, ордината точки B дорівнює сумі довжин відрізків. Знову звернімося до трикутника. тоді

Тоді так як тоді точка має координати

d) Тепер знайдемо координати точки. Розглянь прямокутник і доведи, що Таким чином, координати точки:

e) Залишилося знайти координати вершини. Ясно, що її абсциса і ордината збігається з абсцисою і ординатою точки. Знайдемо аплікат. Так як, то. Розглянемо прямокутний трикутник. За умовою завдання бічне ребро. Це гіпотенуза мого трикутника. Тоді висота піраміди - катет.

Тоді точка має координати:

Ну все, у мене є координати всіх цікавлять мене точок. Шукаю координати напрямних векторів прямих:

Шукаємо кут між цими векторами:

відповідь:

Знову-таки, при вирішенні цього завдання я не використовував ніяких ізошренних прийомів, крім формули суми кутів правильного n-кутника, а також визначення косинуса і синуса прямокутного трикутника.

3. Оскільки нам знову не дано довжини ребер в піраміді, то я буду вважати їх рівними одиниці. Таким чином, оскільки ВСЕ ребра, а не тільки бічні, рівні між собою, то в основі піраміди і мене лежить квадрат, а бічні грані - правильні трикутники. Зобразимо таку піраміду, а також її підставу на площині, зазначивши всі дані, наведені в тексті завдання:

Шукаємо кут між і. Я буду робити дуже короткі викладки, коли буду займатися пошуком координат точок. Тобі необхідно буде «розшифрувати» їх:

b) - середина відрізка. Її координати:

c) Довжину відрізка я знайду по теоремі Піфагора в трикутнику. Знайду по теоремі Піфагора в трикутнику.

координати:

d) - середина відрізка. Її координати рівні

e) Координати вектора

f) Координати вектора

g) Шукаємо кут:

Куб - найпростіша фігура. Я впевнений, що з нею ти розберешся самостійно. Відповіді до завдань 4 і 5 наступні:

Знаходження кута між прямою і площиною

Ну що, час простих задачок закінчено! Тепер приклади будуть ще складніше. Для відшукання кута між прямою і площиною ми будемо поступати таким чином:

1. По трьох точках будуємо рівняння площини
   ,
   використовуючи визначник третього порядку.
2. По двох точках шукаємо координати направляючого вектора прямої:
3. Застосовуємо формулу для обчислення кута між прямою і площиною:

Як бачиш, ця формула дуже схожа на ту, що ми застосовували для пошуку кутів між двома прямими. Структура правій частині просто однакова, а зліва ми тепер шукаємо синус, а не косинус, як раніше. Ну і додалося одне неприємне дію - пошук рівняння площині.

Не будемо відкладати в довгий ящик рішення прикладів:

1. Ос-но-ва-ні-му пря-мій приз-ми яв-ля-ет-ся рав-но-бід-рен-ний тре-вугілля-ник Ви-со-та приз-ми дорівнює. Най-ді-ті кут між пря-мій і пло-ко-стю

2. У пря-мо-вугілля-ном па-ра-ле-ле-пі-пе-де з-вест-ни Най-ді-ті кут між пря-мій і пло-ко-стю

3. У пра-Віль-ної ше-сти-вугілля-ний приз-ме все ребра рівні. Най-ді-ті кут між пря-мій і пло-ко-стю.

4. У пра-Віль-ний тре-вугілля-ний пі-ра-мі-де з ос-но-ва-ні-ем з-вест-ни ребра Най-ді-ті кут, про ра зо-ван -ний пло-ко-стю ос-но-ва-ня і пря-мій, про-хо-дя-щей через се-ре-ді-ни ребер і

5. Довжини всіх ребер пра-Віль-ної четирёхуголь-ної пі-ра-мі-ди з вер-ши-ної рівні між собою. Най-ді-ті кут між пря-мій і пло-ко-стю, якщо точка - се-ре-ді-на бо-ко-во-го ребра пі-ра-мі-ди.

Знову я вирішу перші два завдання детально, третю - коротко, а останні дві залишаю тебе для самостійного рішення. До того ж тобі вже доводилося мати справу з трикутної і чотирикутної пірамідами, а ось з призмами - поки що немає.

рішення:

1. Зобразимо призму, а також її підставу. Сумісний її з системою координат і відзначимо всі дані, які дані в умові задачі:

Перепрошую за деякий недотримання пропорцій, але для вирішення завдання це, по суті, не так важливо. Площина - це просто «задня стінка» моєї призми. Досить просто здогадатися, що рівняння такій площині має вигляд:

Однак, це можна показати і безпосередньо:

Виберемо довільні три точки на цій площині: наприклад,.

Складемо рівняння площині:

Вправа тобі: самостійно обчислити цей визначник. У тебе вийшло? Тоді уравенную площині має вигляд:

Або просто

Таким чином,

Для вирішення прикладу мені потрібно знайти координати направляючого вектора прямої. Так як точка cовпала з початком координат, то координати вектора просто співпадуть з координатами точки Для цього знайдемо спочатку координати точки.

Для цього розглянемо трикутник. Проведемо висоту (вона ж - медіана і біссектрісса) з вершини. Так як, то ордината точки дорівнює. Для того, щоб знайти абсциссу цієї точки, нам потрібно обчислити довжину відрізка. По теоремі Піфагора маємо:

Тоді точка має координати:

Точка - це «піднесена» на точка:

Тоді координати вектора:

відповідь:

Як бачиш, нічого принципово складного при вирішенні таких завдань немає. Насправді процес ще трохи спрощує «прямота» такої фігури, як призма. Тепер давай перейдемо до наступного прикладу:

2. Малюємо паралелепіпед, проводимо в ньому площину і пряму, а також окремо вичерчуємо його нижня частина:

Спочатку знайдемо рівняння площині: Координати трьох точок, що лежать в ній:

(Перші дві координати отримані очевидним способом, а останню координату ти легко знайдеш по картинці з точки). Тоді складаємо рівняння площині:

Рахуємо:

Шукаємо координати направляючого вектора: Ясно, що його координати збігаються з координатами точки, чи не так? Як знайти координати? Це ж координати точки, підняті по осі аплікат на одиницю! . Тоді Шукаємо шуканий кут:

відповідь:

3. Малюємо правильну шестикутну піраміду, а потім проводимо в ній площину і пряму.

Тут навіть площину намалювати проблемно, не кажучи вже про рішення цього завдання, однак методу координат все одно! Саме в його універсальності і полягає його основна перевага!

Площина проходить через три точки:. Шукаємо їх координати:

1). Сам виведи координати для останніх двох точок. Тобі знадобиться для цього рішення задачі з шестикутної пірамідою!

2) Будуємо рівняння площині:

Шукаємо координати вектора:. (Знову дивись завдання з трикутної пірамідою!)

3) Шукаємо кут:

відповідь:

Як бачиш, нічого надприродно складного в цих завданнях немає. Потрібно лише бути дуже уважним з корінням. До останніх двох завданням я дам лише відповіді:

Як ти міг переконатися, техніка вирішення завдань скрізь однакова: основне завдання знайти координати вершин і підставити їх в якісь формули. Нам залишилося розглянути ще один клас задач на обчислення кутів, а саме:

Обчислення кутів між двома площинами

Алгоритм рішення буде такий:

1. По трьох точках шукаємо рівняння першої площині:
2. За іншими трьома точками шукаємо рівняння другий площині:
3. Застосовуємо формулу:

Як бачиш, формула дуже схожа на дві попередні, за допомогою яких ми шукали кути між прямими і між прямою і площиною. Так що запам'ятати цю тобі не складе особливих труднощів. Відразу переходимо до розбору завдань:

1. Сто-ро-на ос-но-ва-ня пра-Віль-ний тре-вугілля-ний приз-ми дорівнює, а діа-го-наль бо-ко-вий межі дорівнює. Най-ді-ті кут між пло-ко-стю і пло-ко-стю ос-но-ва-ня приз-ми.

2. У пра-Віль-ний че-ти-рьох-вугілля-ний пі-ра-мі-де, все ребра до то рій рівні, най-ді-ті синус кута між пло-ко-стю і плос- ко-стю, про-хо-дя-щей через точку пер-пен-ді-ку-ляр-но пря-мій.

3. У правильній че-ти-рьох-вугілля-ний призмі сто-ро-ни ос-но-ва-ня рівні, а бо-ко-ві ребра рівні. На ребрі від-ме-че-на точка так, що. Знайдіть кут між пло-ко-стя-ми і

4. У пра-Віль-ної четирёхуголь-ної приз-ме сто-ро-ни ос-но-ва-ня рівні, а бо-ко-ві ребра рівні. На ребрі від-ме-че-на точка так, що Най-ді-ті кут між пло-ко-стя-ми і.

5. В кубі най-ді-ті ко-си-НПУ кута між пло-ко-стя-ми і

Рішення задач:

1. Малюю правильну (в основі - рівносторонній трикутник) трикутну призму і наголошую на ній площині, які фігурують в умові завдання:

Нам потрібно знайти рівняння двох площин: Рівняння підстави виходить тривіально: ти можеш скласти відповідний визначник по трьох точках, я ж складу рівняння відразу:

Тепер знайдемо рівняння Точка має координати Точка - Так як - медіана і висота трикутника, то легко знаходиться по теоремі Піфагора в трикутнику. Тоді точка має координати: Знайдемо аплікат точки Для цього розглянемо прямокутний трикутник

Тоді отримуємо ось такі координати: складає рівняння площині.

Обчислюємо кут між площинами:

відповідь:

2. Робимо малюнок:

Найскладніше - це зрозуміти, що це така за таємнича площина, що проходить через точку перпендикулярно. Ну що ж, головне, це що? Головне - це уважність! Справді, пряма перпендикулярна. Пряма також перпендикулярна. Тоді площина, що проходить через ці дві прямі, буде перпендикулярна прямий, і, до речі, проходити через точку. Ця площина також проходить через вершину піраміди. Тоді шукана площина - А площину нам вже дана. Шукаємо координати точок.

Координату точки знайдемо через точку. З маленького малюнка легко вивести, що координати у точки будуть такі: Що тепер залишилося знайти, щоб знайти координати вершини піраміди? Ще потрібно обчислити її висоту. Це робиться за допомогою все тієї ж теореми Піфагора: спочатку доведи, що (тривіально з маленьких трикутничків, що утворюють квадрат в основі). Оскільки за умовою, то маємо:

Тепер все готово: координати вершини:

Складаємо рівняння площині:

Ти вже спец в обчисленні визначників. Без праці ти отримаєш:

Або інакше (якщо домножимо обидві частини на корінь з двох)

Тепер знайдемо рівняння площині:

(Ти ж не забув, як ми отримуємо рівняння площині, правда? Якщо ти не зрозумів, звідки взялася ця мінус одиниця, то повернися до визначення рівняння площині! Просто завжди до цього виявлялося так, що моєї площині належало початок координат!)

Обчислюємо визначник:

(Ти можеш помітити, що рівняння площини збіглося з рівнянням прямої, що проходить через точки і! Подумай, чому!)

Тепер обчислюємо кут:

Нам же потрібно знайти синус:

відповідь:

3. Каверзне питання: а що таке прямокутна призма, як ти думаєш? Це ж всього-навсього добре відомий тобі паралелепіпед! Відразу ж робимо креслення! Можна навіть окремо не зображати підставу, користі від нього тут небагато:

Площина, як ми вже раніше помітили, записується у вигляді рівняння:

Тепер складаємо площину

Відразу ж складаємо рівняння площині:

Шукаємо кут:

Тепер відповіді до останніх двох завдань:

Ну що ж, тепер саме час трохи перепочити, адже ми з тобою молодці і виконали величезну роботу!

Координати і вектори. Просунутий рівень

У цій статті ми обговоримо з тобою ще один клас задач, які можна вирішувати за допомогою методу координат: завдання на обчислення відстані. А саме, ми з тобою розглянемо такі випадки:

1. Обчислення відстані між перехресними прямими.

Я упорядкував дані завдання в міру збільшення їх складності. Найбільш просто виявляється знайти відстань від точки до площини, А найскладніше - знайти відстань між перехресними прямими. Хоча, звичайно, немає нічого неможливого! Облишмо відкладати в довгий ящик і відразу приступимо до розгляду першого класу задач:

Обчислення відстані від точки до площини

Що нам буде потрібно для вирішення цього завдання?

1. Координати точки

Отже, як тільки ми отримаємо всі необхідні дані, то застосовуємо формулу:

Як ми будуємо рівняння площини тобі вже повинно бути відомо з попередніх завдань, які я розбирав в минулій частині. Давай відразу приступимо до завдань. Схема наступна: 1, 2 -я допомагаю тобі вирішувати, причому досить детально, 3, 4 - тільки відповідь, рішення ти проводиш сам і порівнюєш. Почали!

завдання:

1. Дан куб. Довжина ребра куба дорівнює. Най-ді-ті рас-сто-я-ня від се-ре-ді-ни від-рез-ка до пло-ко-сти

2. Дана пра-Віль-ва че-ти-рьох-вугілля-ва пі-ра-мі-да Бо-ко-ше ребро сто-ро-на ос-но-ва-ня дорівнює. Най-ді-ті рас-сто-я-ня від точки до пло-ко-сти де - се-ре-ді-на ребра.

3. У пра-Віль-ний тре-вугілля-ний пі-ра-мі-де з ос-но-ва-ні-му бо-ко-ше ребро одно, а сто-ро-на ос-но-ва ня дорівнює. Най-ді-ті рас-сто-я-ня від вер-ши-ни до пло-ко-сти.

4. У пра-Віль-ної ше-сти-вугілля-ний приз-ме все ребра рівні. Най-ді-ті рас-сто-я-ня від точки до пло-ко-сти.

рішення:

1. Малюємо кубик з одиничними ребрами, будуємо відрізок і площина, середину відрізка позначимо літерою

.

Спочатку давай почнемо з легкого: знайдемо координати точки. Так як то (згадай координати середини відрізка!)

Тепер складаємо рівняння площини по трьох точках

\ [\ Left | (\ Begin (array) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\ y & 1 & 0 \\ z & 1 & 1 \ end (array)) \ right | = 0 \]

Тепер я можу приступати до пошуку відстані:

2. Знову починаємо з креслення, на якому відзначаємо всі дані!

Для піраміди було б корисно окремо малювати її підставу.

Навіть той факт, що я малюю як курка лапою, не завадить нам з легкістю вирішити цю задачу!

Тепер легко знайти координати точки

Так як координати точки, то

2. Так як координати точки а - середина відрізка, то

Без проблем знайдемо і координати ще двох точок на площині Складаємо рівняння площини і спростимо його:

\ [\ Left | (\ Left | (\ begin (array) (* (20) (c)) x & 1 & (\ frac (3) (2)) \\ y & 0 & (\ frac (3) (2)) \\ z & 0 & (\ frac ( (\ sqrt 3)) (2)) \ end (array)) \ right |) \ right | = 0 \]

Так як точка має координати:, то обчислюємо відстань:

Відповідь (дуже рідкісний!):

Ну що, розібрався? Мені здається, що тут все так само технічно, як і в тих прикладах, що ми розглядали з тобою в попередній частині. Так що я впевнений, що якщо ти опанував тим матеріалом, то тобі не важко буде вирішити залишилися два завдання. Я лише наведу відповіді:

Обчислення відстані від прямої до площини

Насправді, тут немає нічого нового. Як можуть розташовуватися пряма і площину один щодо одного? У них є всього можливості: перетнутися, або пряма паралельна площині. Як ти думаєш, чому одно відстань від прямої до площини, з якої дана пряма перетинається? Мені здається, що тут ясно, що таке відстань дорівнює нулю. Нецікавий випадок.

Другий випадок хитріше: тут вже відстань нульове. Однак, так як пряма паралельна площині, то кожна точка прямої рівновіддалена від цієї площини:

Таким чином:

А це означає, що моє завдання звелася до попередньої: шукаємо координати будь-якої точки на прямій, шукаємо рівняння площини, обчислюємо відстань від точки до площини. Насправді, такі завдання в ЄДІ зустрічаються вкрай рідко. Мені вдалося знайти лише одну задачу, і то дані в ній були такими, що метод координат до неї був не дуже-то і застосуємо!

Тепер перейдемо до іншого, набагато більш важливого класу задач:

Обчислення відстані точки до прямої

Що нам буде потрібно?

1. Координати точки, від якої ми шукаємо відстань:

2. Координати будь-якої точки, що лежить на прямій

3. Координати направляючого вектора прямої

Яку застосовуємо формулу?

Що означає знаменник даної дробу тобі і так повинно бути ясно: це довжина направляючого вектора прямої. Тут дуже хитрий чисельник! Вираз означає модуль (довжина) векторного добутку векторів і Як обчислювати векторний добуток, ми з тобою вивчали в попередній частині роботи. Освіжи свої знання, нам вони зараз дуже знадобляться!

Таким чином, алгоритм вирішення завдань буде наступний:

1. Шукаємо координати точки, від якої ми шукаємо відстань:

2. Шукаємо координати будь-якої точки на прямій, до якої ми шукаємо відстань:

3. Будуємо вектор

4. Будуємо спрямовує вектор прямої

5. Обчислюємо векторний добуток

6. Шукаємо довжину отриманого вектора:

7. Обчислюємо відстань:

Роботи у нас багато, а приклади будуть досить складними! Так що тепер зосередити всю увагу!

1. Дана пра-Віль-ва тре-вугілля-ва пі-ра-мі-да з вер-ши-ної. Сто-ро-на ос-но-ва-ня пи-ра-мі-ди дорівнює, ви-со-та дорівнює. Най-ді-ті рас-сто-я-ня від се-ре-ді-ни бо-ко-во-го ребра до пря-мій, де точки і - се-ре-ді-ни ребер і з-від- вет-ного-но.

2. Довжини ребер і пря-мо-вугілля-но-го па-ра-ле-ле-пі-пе-да рівні со-від-вет-ного-но і Най-ді-ті рас-сто-я-ня від вер-ши-ни до пря-мій

3. У пра-Віль-ної ше-сти-вугілля-ний приз-ме все ребра до то рій рівні най-ді-ті рас-сто-я-ня від точки до пря-мій

рішення:

1. Робимо акуратний креслення, на якому відзначаємо всі дані:

Роботи у нас з тобою сила-силенна! Я спочатку хотів би описати словами, що ми будемо шукати і в якому порядку:

1. Координати точок і

2. Координати точки

3. Координати точок і

4. Координати векторів і

5. Їх векторний добуток

6. Довжину вектора

7. Довжину векторного твори

8. Відстань від до

Ну що ж, роботи нам належить чимало! Беремося за неї, засукавши рукава!

1. Щоб знайти координати висоти піраміди, нам потрібно знати координати точки Її аппликата дорівнює нулю, а ордината дорівнює Абсциса її дорівнює довжині відрізка Так як - висота рівностороннього трикутника, то вона ділиться в відношенні, рахуючи від вершини, звідси. Остаточно, отримали координати:

координати точки

2. - середина відрізка

3. - середина відрізка

середина відрізка

4.Коордінати

координати вектора

5. Обчислюємо векторний добуток:

6. Довжина вектора: найпростіше замінити, що відрізок - середня лінія трикутника, а значить, він дорівнює половині підстави. Так що.

7. Вважаємо довжину векторного твори:

8. Нарешті, знаходимо відстань:

Уф, ну все! Чесно тобі скажу: рішення цієї задачі традиційними методами (через побудови), було б набагато швидше. Зате тут я все звів до готового алгоритму! Я так думаю, що алгоритм рішення тобі ясний? Тому попрошу тебе вирішити залишилися два завдання самостійно. Порівняємо відповіді?

Знову-таки повторюся: ці завдання простіше (швидше) вирішувати через побудови, а не вдаючись до координатного методу. Я продемонстрував такий спосіб вирішення лише потім, щоб показати тобі універсальний метод, який дозволяє «нічого не добудовувати».

Нарешті, розглянемо останній клас завдань:

Обчислення відстані між перехресними прямими

Тут алгоритм вирішення завдань буде схожий з попереднім. Що у нас є:

3. Будь-який вектор, що з'єднує точки першої та другої прямої:

Як ми шукаємо відстань між прямими?

Формула наступна:

Чисельник - це модуль змішаного твори (ми його вводили в попередній частині), а знаменник - як і в попередній формулі (модуль векторного добутку напрямних векторів прямих, відстань між якими ми з тобою шукаємо).

Я нагадаю тобі, що

тоді формулу для відстані можна переписати у вигляді:

Такий собі визначник ділити на визначник! Хоча, якщо чесно, мені тут зовсім не до жартів! Дана формула, насправді, дуже громіздка і призводить до досить складних обчислень. На твоєму місці я б удавався до неї тільки в самому крайньому випадку!

Давай спробуємо вирішити кілька завдань, використовуючи викладений вище метод:

1. У пра-Віль-ний тре-вугілля-ний приз-ме, всі ребра до то рій рівні, най-ді-ті рас-сто-я-ня між пря-ми-ми і.

2. Дана пра-Віль-ва тре-вугілля-ва приз-ма все ребра ос-но-ва-ня ко-то-рій рівні Се-че-ня, про-хо-дя-ний через бо-ко-ше ребро і се-ре-ді-ну ребра яв-ля-ет-ся квад-ра-те. Най-ді-ті рас-сто-я-ня між пря-ми-ми і

Першу вирішую я, а спираючись на неї, другу вирішуєш ти!

1. Малюю призму і відзначаю прямі і

Координати точки С: тоді

координати точки

координати вектора

координати точки

координати вектора

координати вектора

\ [\ Left ((B, \ overrightarrow (A (A_1)) \ overrightarrow (B (C_1))) \ right) = \ left | (\ Begin (array) (* (20) (l)) (\ begin (array) (* (20) (c)) 0 & 1 & 0 \ end (array)) \\ (\ begin (array) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (array)) \\ (\ begin (array) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (array)) \ end (array)) \ right | = \ Frac ((\ sqrt 3)) (2) \]

Вважаємо векторний добуток між векторами і

\ [\ Overrightarrow (A (A_1)) \ cdot \ overrightarrow (B (C_1)) = \ left | \ Begin (array) (l) \ begin (array) (* (20) (c)) (\ overrightarrow i) & (\ overrightarrow j) & (\ overrightarrow k) \ end (array) \\\ begin (array ) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (array) \\\ begin (array) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (array) \ end (array) \ right | - \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \ overrightarrow k + \ frac (1) (2) \ overrightarrow i \]

Тепер вважаємо його довжину:

відповідь:

Тепер постарайся акуратно виконати друге завдання. Відповіддю на неї буде:.

Координати і вектори. Короткий опис і основні формули

Вектор - спрямований відрізок. - початок вектора,-кінець вектора.
Вектор позначається або.

абсолютна величинавектора - довжина відрізка, який зображує вектор. Позначається, як.

Координати вектора:

,
де - кінці вектора \ displaystyle a.

Сума векторів:.

Твір векторів:

Скалярний добуток векторів:

Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними:

Залишається 2/3 СТАТТІ ДОСТУПНІ ТІЛЬКИ УЧНЯМ YOUCLEVER!

Стати учнем YouClever,

Підготуватися до ОГЕ або ЄДІ з математики за ціною "чашка кави на місяць",

А також отримати безстроковий доступ до підручника "YouClever", Програмі підготовки (розв'язнику) "100gia", необмеженому пробному ЄДІ і ОГЕ, 6000 завдань з розбором рішень і до інших сервісів YouClever і 100gia.