Voľné vibrácie nastávajú pôsobením vnútorných síl systému po tom, ako je systém vyvedený z rovnovážnej polohy.

Komu voľné vibrácie boli vykonávané podľa harmonického zákona, je potrebné, aby sila smerujúca k návratu telesa do rovnovážnej polohy bola úmerná posunu telesa z rovnovážnej polohy a smerovala v opačnom smere, ako je posunutie (pozri § 2.1):

Nazývajú sa sily akejkoľvek inej fyzickej povahy, ktoré spĺňajú túto podmienku kvázi elastické .

Teda zaťaženie určitej hmotnosti m pripevnené k výstužnej pružine k, ktorého druhý koniec je nehybný (obr. 2.2.1), predstavujú systém schopný vykonávať voľné harmonické kmity bez trenia. Nazýva sa zaťaženie pružinou lineárna harmonická oscilátor.

Kruhová frekvencia ω 0 voľných kmitov zaťaženia pružiny je odvodená z druhého Newtonovho zákona:

Pri horizontálnom usporiadaní systému pružinového zaťaženia je gravitačná sila pôsobiaca na zaťaženie kompenzovaná reakčnou silou podpery. Ak je zaťaženie zavesené pružinou, gravitačná sila je nasmerovaná pozdĺž línie pohybu bremena. V rovnovážnej polohe je pružina natiahnutá o množstvo X 0 rovná sa

Preto Newtonov druhý zákon o zaťažení pružiny možno napísať ako

Rovnica (*) sa nazýva rovnica voľných vibrácií ... Vezmite prosím na vedomie, že fyzikálne vlastnosti oscilačný systém určte iba vlastnú frekvenciu kmitov ω 0 alebo bodku T ... Také parametre procesu oscilácie ako amplitúda X m a počiatočná fáza φ 0 sú určené metódou, ktorou bol systém vyvedený z rovnováhy v počiatočnom časovom okamihu.

Ak bolo napríklad zaťaženie posunuté z rovnovážnej polohy o vzdialenosť Δ l a potom v okamihu t= 0, potom uvoľnené bez počiatočnej rýchlosti X m = Δ l, φ 0 = 0.

Ak však bolo zaťaženie, ktoré bolo v rovnováhe, prenesené pomocou ostrého rázu štartovacia rýchlosť± υ 0, potom,

Teda amplitúda X určí sa m voľných kmitov a jeho počiatočná fáza φ 0 počiatočné podmienky .

Existuje mnoho typov mechanických vibračných systémov, ktoré používajú elastické deformačné sily. Na obr. 2.2.2 ukazuje uhlový analóg lineárneho harmonického oscilátora. Horizontálne umiestnený disk visí na elastickom vlákne upevnenom v strede hmotnosti. Keď sa disk otáča o uhol θ, vzniká moment síl M kontrola pružnej torznej deformácie:

kde Ja = Ja C je moment zotrvačnosti disku okolo osi prechádzajúcej ťažiskom, ε je uhlové zrýchlenie.

Analogicky s hmotnosťou na pružine môžete získať:

Voľné vibrácie. Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo sa nazýva teleso malej veľkosti, zavesené na tenkom nerozťažiteľnom vlákne, ktorého hmotnosť je v porovnaní s hmotnosťou tela zanedbateľná. V rovnovážnej polohe, keď kyvadlo visí pozdĺž olovnice, je gravitačná sila vyvážená silou napätia na niti. Keď je kyvadlo vychýlené z rovnovážnej polohy o určitý uhol φ, objaví sa tangenciálna zložka gravitácie F τ = - mg sin φ (obr. 2.3.1). Znamienko mínus v tomto vzorci znamená, že dotyčná zložka je nasmerovaná v opačnom smere, ako je výchylka kyvadla.

Ak označíme podľa X lineárny posun kyvadla z rovnovážnej polohy pozdĺž oblúka kruhu s polomerom l, potom sa jeho uhlový posun bude rovnať φ = X / l... Newtonov druhý zákon, napísaný pre projekcie vektorov zrýchlenia a sily na smer dotyčnice, uvádza:

Tento vzťah ukazuje, že matematické kyvadlo je komplexné nelineárne systému, pretože sila smerujúca k návratu kyvadla do rovnovážnej polohy nie je úmerná posunu X, a

Iba v prípade malé výkyvy keď približne môže byť nahradené matematickým kyvadlom je harmonický oscilátor, to znamená systém schopný vykonávať harmonické kmity. V praxi táto aproximácia platí pre uhly rádovo 15-20 °; v tomto prípade sa hodnota nelíši od viac ako 2%. Oscilácie kyvadla vo veľkých amplitúdach nie sú harmonické.

Pre malé oscilácie matematického kyvadla je druhý Newtonov zákon napísaný vo forme

Tento vzorec vyjadruje prirodzená frekvencia malých kmitov matematického kyvadla .

Preto,

Každé teleso zasadené na horizontálnej osi otáčania je schopné vykonávať voľné kmity v gravitačnom poli, a preto je tiež kyvadlo. Takéto kyvadlo sa zvyčajne nazýva fyzické (obr. 2.3.2). Líši sa od matematického iba v distribúcii hmôt. Tehotná stabilná rovnováhaťažisko C. fyzikálne kyvadlo je umiestnené pod osou rotácie O na zvislici prechádzajúcou osou. Keď je kyvadlo vychýlené o uhol φ, vzniká gravitačný moment, ktorý má tendenciu vrátiť kyvadlo do rovnovážnej polohy:

a Newtonov druhý zákon o fyzickom kyvadle má formu (pozri §1.23)

Tu ω 0 - prirodzená frekvencia malých kmitov fyzického kyvadla .

Preto,

Rovnicu vyjadrujúcu druhý Newtonov zákon pre fyzické kyvadlo je preto možné napísať vo forme

Nakoniec pre kruhovú frekvenciu ω 0 voľných kmitov fyzického kyvadla dostaneme nasledujúci výraz:

Transformácie energie pri voľných mechanických vibráciách

S bezplatným mechanické vibrácie kinetické a potenciálne energie sa periodicky menia. S maximálnou odchýlkou ​​tela od rovnovážnej polohy jeho rýchlosť, a teda aj kinetická energia, zmizne. V tejto polohe dosahuje potenciálna energia kmitajúceho telesa maximálnu hodnotu. Pri zaťažení pružiny je potenciálna energia pružnou deformačnou energiou pružiny. V prípade matematického kyvadla je to energia v gravitačnom poli Zeme.

Keď telo počas pohybu prechádza rovnovážnou polohou, je jeho rýchlosť maximálna. Telo kĺže rovnovážnu polohu podľa zákona zotrvačnosti. V tejto chvíli má maximálnu kinetickú a minimálnu potenciálnu energiu. Zvýšiť Kinetická energia nastáva v dôsledku poklesu potenciálnej energie. S ďalším pohybom sa potenciálna energia začína zvyšovať v dôsledku poklesu kinetickej energie atď.

Preto pre harmonické vibrácie dochádza k periodickej transformácii kinetickej energie na potenciál a naopak.

Ak v oscilačnom systéme nedochádza k treniu, potom celková mechanická energia počas voľných kmitov zostáva nezmenená.

Na zaťaženie pružinou(pozri §2.2):

V reálnych podmienkach je každý oscilačný systém pod vplyvom síl trenia (odporu). V tomto prípade sa časť mechanickej energie premení na vnútornú energiu tepelného pohybu atómov a molekúl a vibrácie sa stanú chátrajúci (obr. 2.4.2).

Miera tlmenia vibrácií závisí od veľkosti trecích síl. Časový interval τ, počas ktorého sa amplitúda kmitov zníži o e≈ 2,7 -krát, volaný doba rozpadu .

Frekvencia voľných kmitov závisí od rýchlosti tlmenia kmitov. S rastúcimi silami trenia klesá prirodzená frekvencia. Zmena prirodzenej frekvencie sa však prejaví až pri dostatočne veľkých trecích silách, keď prirodzené kmity rýchlo upadajú.

Dôležitou charakteristikou oscilačného systému vykonávajúceho voľne tlmené kmity je faktor kvality Q... Tento parameter je definovaný ako číslo N. celkové kmity vykonávané systémom počas doby rozpadu τ, vynásobené π:

Hodnota zásluhy teda charakterizuje relatívnu stratu energie oscilačného systému v dôsledku prítomnosti trenia v časovom intervale rovnajúcom sa jednej perióde oscilácie.

Vynútené vibrácie. Rezonancia. Vlastné oscilácie

Oscilácie vyskytujúce sa pod vplyvom vonkajšej periodickej sily sa nazývajú nútený.

Vonkajšia sila vykonáva pozitívnu prácu a poskytuje príliv energie do oscilačného systému. Napriek pôsobeniu trecích síl neumožňuje tlmenie vibrácií.

Periodická vonkajšia sila sa môže v priebehu času meniť podľa rôznych zákonov. Zvlášť zaujímavý je prípad, keď vonkajšia sila, meniaca sa harmonicky s frekvenciou ω, pôsobí na oscilačný systém schopný vykonávať prirodzené kmity na určitej frekvencii ω 0.

Ak dochádza k voľným osciláciám na frekvencii ω 0, ktorá je určená parametrami systému, potom sa ustálené nútené kmity vyskytujú vždy pri frekvencia ω vonkajšej sily.

Po začiatku pôsobenia vonkajšej sily na oscilačný systém trvá určitý čas Δ t na zavedenie vynútených oscilácií. Čas ustálenia rádovo sa rovná času rozpadu τ voľných kmitov v oscilačnom systéme.

V počiatočnom okamihu sú v oscilačnom systéme excitované oba procesy - nútené kmity na frekvencii ω a voľné kmity na vlastnej frekvencii ω 0. Voľné vibrácie sú však tlmené kvôli nevyhnutnej prítomnosti trecích síl. Preto po určitom čase zostanú v oscilačnom systéme iba stacionárne oscilácie na frekvencii ω vonkajšej hnacej sily.

Uvažujme ako príklad nútené vibrácie telesa na pružine (obr. 2.5.1). Na voľný koniec pružiny pôsobí vonkajšia sila. Podľa zákona sa pohybuje voľný (vľavo na obr. 2.5.1) koniec pružiny

Ak je ľavý koniec pružiny posunutý o vzdialenosť r, a ten pravý - na diaľku X z ich pôvodnej polohy, keď bola pružina nedeformovaná, potom predĺženie pružiny Δ l rovná sa:

V tejto rovnici je sila pôsobiaca na telo reprezentovaná vo forme dvoch pojmov. Prvý výraz na pravej strane je elastická sila, ktorá má tendenciu vrátiť telo do rovnovážnej polohy ( X= 0). Druhý termín je vonkajší periodický účinok na telo. Tento termín sa nazýva presvedčivá sila.

Rovnica vyjadrujúca druhý Newtonov zákon pre teleso na pružine za prítomnosti vonkajšieho periodického pôsobenia môže byť sprísnená matematická forma, ak vezmeme do úvahy vzťah medzi zrýchlením telesa a jeho súradnicou: Potom bude zapísaný ako

Rovnica (**) neberie do úvahy pôsobenie trecích síl. Na rozdiel od rovnice voľných vibrácií(*) (pozri § 2.2) rovnica nútených vibrácií(**) obsahuje dve frekvencie - frekvenciu ω 0 voľných kmitov a frekvenciu ω hnacej sily.

Vyrovnané nútené vibrácie zaťaženia pružiny sa podľa zákona vyskytujú pri frekvencii vonkajšieho vplyvu

Vynútená amplitúda vibrácií X m a počiatočná fáza θ závisia od pomeru frekvencií ω 0 a ω a od amplitúdy r m vonkajšej sily.

Pri veľmi nízkych frekvenciách, keď ω<< ω 0 , движение тела массой m pripevnený k pravému koncu pružiny sleduje pohyb ľavého konca pružiny. Kde X(t) = r(t) a pružina zostáva prakticky nedeformovaná. Vonkajšia sila pôsobiaca na ľavý koniec pružiny nevykonáva prácu, pretože modul tejto sily pri ω<< ω 0 стремится к нулю.

Ak sa frekvencia ω vonkajšej sily blíži k prirodzenej frekvencii ω 0, dôjde k prudkému zvýšeniu amplitúdy nútených kmitov. Tento jav sa nazýva rezonancia ... Závislosť na amplitúde X m sa nazýva nútené kmitanie z frekvencie ω hnacej sily rezonančná charakteristika alebo rezonančná krivka(obr. 2.5.2).

Pri rezonancii amplitúda X m, kolísanie zaťaženia môže byť mnohokrát väčšie ako amplitúda r m vibrácie voľného (ľavého) konca pružiny spôsobené vonkajším pôsobením. Pri absencii trenia by sa amplitúda nútených vibrácií pri rezonancii mala neobmedzene zvyšovať. V skutočných podmienkach je amplitúda nútených kmitov v ustálenom stave určená podmienkou: práca vonkajšej sily počas oscilačného obdobia sa musí rovnať strate mechanickej energie za rovnaký čas v dôsledku trenia. Čím nižšie je trenie (tj. Čím vyšší je faktor Q) Q oscilačný systém), čím väčšia je amplitúda nútených kmitov pri rezonancii.

Pre oscilačné systémy s nie príliš vysokým faktorom Q (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Fenomén rezonancie môže spôsobiť zničenie mostov, budov a iných štruktúr, ak sa vlastné frekvencie ich kmitov zhodujú s frekvenciou periodicky pôsobiacej sily, ktorá vzniká napríklad v dôsledku otáčania nevyváženého motora.

Vynútené vibrácie sú netlmený výkyvy. Nevyhnutné straty energie v dôsledku trenia sú kompenzované dodávkou energie z externého zdroja periodicky pôsobiacej sily. Existujú systémy, v ktorých trvalé oscilácie nevznikajú nie kvôli pravidelnému vonkajšiemu vplyvu, ale v dôsledku schopnosti týchto systémov regulovať tok energie z konštantného zdroja. Takéto systémy sa nazývajú samokmitajúci, a proces trvalých oscilácií v takýchto systémoch je vlastné oscilácie ... V samooscilačnom systéme je možné rozlíšiť tri charakteristické prvky - oscilačný systém, zdroj energie a zariadenie spätnej väzby medzi oscilačným systémom a zdrojom. Ako oscilačný systém je možné použiť akýkoľvek mechanický systém schopný tlmiť prirodzené kmity (napríklad kyvadlo na nástenné hodiny).

Zdrojom energie môže byť deformácia pružiny alebo potenciálna energia záťaže v gravitačnom poli. Spätnoväzbové zariadenie je mechanizmus, pomocou ktorého samočinný systém reguluje tok energie zo zdroja. Na obr. 2.5.3 ukazuje diagram interakcie rôznych prvkov samočinného systému.

Príkladom mechanického samočinného systému je hodinový stroj s Kotva zdvih (obr. 2.5.4). Pojazdové koleso so šikmými zubami je pevne pripevnené k ozubenému bubnu, cez ktorý je prevlečená reťaz so závažím. Na hornom konci je kyvadlo upevnené Kotva(kotva) s dvoma doskami z pevného materiálu ohnutými v kruhovom oblúku so stredom na osi kyvadla. V náramkových hodinkách je hmotnosť nahradená pružinou a kyvadlo je nahradené vyvažovačkou - ručným kolesom upevneným na špirálovej pružine. Vyvažovač vykonáva torzné vibrácie okolo svojej osi. Oscilačný systém v hodinách je kyvadlo alebo vyvažovač.

Zdrojom energie je závažie zdvihnuté nahor alebo navinutá pružina. Spätnoväzbové zariadenie je kotva, ktorá umožňuje cestovnému kolesu otáčať jeden zub v jednom polovičnom cykle. Spätnú väzbu poskytuje interakcia kotvy s pojazdovým kolesom. Pri každom kmitaní kyvadla zub cestovného kolesa tlačí kotevnú vidlicu v smere pohybu kyvadla a prenáša naň určitú časť energie, ktorá kompenzuje straty energie v dôsledku trenia. Potenciálna energia závažia (alebo skrútenej pružiny) sa teda postupne, v oddelených častiach, prenáša do kyvadla.

Mechanické samoscilačné systémy sú rozšírené v živote okolo nás a v technológiách. Samokmity vykonávajú parné stroje, spaľovacie motory, elektrické zvončeky, struny so sklonenými hudobnými nástrojmi, vzduchové stĺpce v rúrach dychových nástrojov, hlasivky pri rozprávaní alebo speve atď.

Obrázok 2.5.4. Hodinový stroj s kyvadlom.

Telesá pôsobiace elastickou silou, ktorej potenciálna energia je úmerná štvorcu posunu tela z rovnovážnej polohy:

Pri voľných mechanických vibráciách sa kinetická a potenciálna energia periodicky mení. S maximálnou odchýlkou ​​tela od rovnovážnej polohy jeho rýchlosť, a teda aj kinetická energia, zmizne. V tejto polohe dosahuje potenciálna energia kmitajúceho telesa maximálnu hodnotu. Pri zaťažení vodorovnej pružiny je potenciálna energia pružnou deformačnou energiou pružiny.

Keď telo počas pohybu prechádza rovnovážnou polohou, je jeho rýchlosť maximálna. V tejto chvíli má maximálnu kinetickú a minimálnu potenciálnu energiu. K zvýšeniu kinetickej energie dochádza v dôsledku poklesu potenciálnej energie. S ďalším pohybom sa potenciálna energia začína zvyšovať v dôsledku poklesu kinetickej energie atď.

Pri harmonických osciláciách teda dochádza k periodickej transformácii kinetickej energie na potenciálnu a naopak.

Ak v oscilačnom systéme nedochádza k treniu, potom celková mechanická energia počas voľných kmitov zostáva nezmenená.

Pri zaťažení pružinou:

Oscilačný pohyb tela sa spustí pomocou tlačidla Štart. Tlačidlo Zastaviť vám umožňuje proces kedykoľvek zastaviť.

Vzťah medzi potenciálnymi a kinetickými energiami počas kmitov kedykoľvek je znázornený graficky. Všimnite si toho, že pri absencii tlmenia zostáva celková energia oscilačného systému nezmenená, potenciálna energia dosahuje svoje maximum pri maximálnej odchýlke tela od rovnovážnej polohy a kinetická energia nadobúda maximálnu hodnotu, keď telom prechádza. rovnovážna poloha.

Uvažujme o najjednoduchšom systéme, v ktorom je možná realizácia mechanických vibrácií. Predpokladajme, že zaťaženie s hmotnosťou $ m $ je zavesené na pružnej pružine, ktorej tuhosť je $ k. Zaťaženie sa pohybuje pod vplyvom gravitácie a elastickej sily, ak je systém vyvedený z rovnováhy a ponechaný na seba. Hmotnosť pružiny sa považuje za malú v porovnaní s hmotnosťou zaťaženia.

Rovnica pohybu zaťaženia s takýmito vibráciami má tvar:

\ [\ ddot (x) + (\ omega) ^ 2_0x = 0 \ left (1 \ right), \]

kde $ (\ omega) ^ 2_0 = \ frac (k) (m) $ je frekvencia cyklického kmitania pružinového kyvadla. Riešením rovnice (1) je funkcia:

kde $ (\ omega) _0 = \ sqrt (\ frac (k) (m))> 0 $ je frekvencia cyklického kmitania kyvadla, $ A $ a $ B $ sú amplitúda oscilácie; $ ((\ omega) _0t + \ varphi) $ - fáza oscilácie; $ \ varphi $ a $ (\ varphi) _1 $ sú počiatočné fázy oscilácií.

Frekvencia a perióda kmitania pružinového kyvadla

Kosínus (sínus) je periodická funkcia, ofset $ x $ nadobudne rovnaké hodnoty v určitých rovnakých časových intervaloch, ktoré sa nazývajú obdobie oscilácie. Obdobie je označené písmenom T.

Ďalšou veličinou, ktorá charakterizuje kmity, je recipročná hodnota oscilačného obdobia, nazýva sa frekvencia ($ \ nu $):

Obdobie súvisí s cyklickou frekvenciou kmitov ako:

S vedomím, že pre pružinové kyvadlo $ (\ omega) _0 = \ sqrt (\ frac (k) (m)) $, definujeme jeho dobu oscilácie ako:

Z výrazu (5) vidíme, že perióda kmitania pružinového kyvadla závisí od hmotnosti zaťaženia pružiny a koeficientu pružnosti pružiny, ale nezávisí od amplitúdy kmitov (A). Táto vlastnosť vibrácií sa nazýva izochronizmus. Isochronizmus je splnený, pokiaľ platí Hookeov zákon. Na veľkých úsekoch pružiny je porušený Hookeov zákon a vzniká závislosť kmitov od amplitúdy. Všimnite si toho, že vzorec (5) na výpočet periódy kmitov pružinového kyvadla platí pre malé kmity.

Mernou jednotkou za obdobie je časová jednotka, v medzinárodnom systéme jednotiek sú to sekundy:

\ [\ left = c. \]

Príklady úloh za obdobie kmitania pružinového kyvadla

Príklad 1

Cvičenie. K pružnej pružine bola pripevnená malá hmotnosť, pričom pružina bola natiahnutá o $ \ Delta x $ = 0,09 m. Aké bude obdobie oscilácie tohto pružinového kyvadla, ak je nevyvážené?

Riešenie. Urobme si kresbu.

Zvážte stav rovnováhy pružinového kyvadla. Zaťaženie bolo pripevnené, potom sa pružina natiahla o množstvo $ \ Delta x $, kyvadlo je v stave rovnováhy. Na zaťaženie pôsobia dve sily: gravitačná sila a sila pružnosti. Napíšeme druhý Newtonov zákon pre rovnovážny stav zaťaženia:

Napíšte projekciu rovnice (1.1) na os Y:

Pretože je zaťaženie podľa stavu problému malé, pružina nie je silne natiahnutá, preto je Hookeov zákon splnený, hodnotu pružnej sily nájdeme ako:

Pomocou výrazov (1.2) a (1.3) nájdeme pomer $ \ frac (m) (k) $:

Obdobie oscilácie pružinového kyvadla pri malých kmitoch možno nájsť pomocou výrazu:

Nahradením pomeru hmotnosti zaťaženia k tuhosti pružiny pravou stranou výrazu (1.4) dostaneme:

Vypočítajme periódu oscilácie nášho kyvadla, ak $ g = 9,8 \ \ frac (m) (c ^ 2) $:

Odpoveď.$ T $ = 0,6 s

Príklad 2

Cvičenie. Dve pružiny s tuhosťami $ k_1 $ a $ k_2 $ sú zapojené do série (obr. 2), ku koncu druhej pružiny je pripevnená hmotnosť o hmotnosti $ m $. Aké je obdobie oscilácie tohto pružinového kyvadla, ak hmotnosti pružín je možné zanedbať, pružná sila pôsobiaca na zaťaženie sa riadi Hookeovým zákonom.

Riešenie. Obdobie oscilácie pružinového kyvadla je:

Ak sú dve pružiny zapojené do série, ich výsledná tuhosť ($ k $) sa zistí ako:

\ [\ frac (1) (k) = \ frac (1) (k_1) + \ frac (1) (k_2) \ to k = \ frac (k_1k_2) (k_1 ( + k) _2) \ left (2.2 \ správny). \]

Namiesto $ k $ vo vzorci na výpočet periódy jarného kyvadla nahradíme pravú stranu výrazu (2.2), máme:

Odpoveď.$ T = 2 \ pi \ sqrt (\ frac (m (k_1 (+ k) _2)) (k_1k_2)) $

Vlastnosti pružinového kyvadla

Definícia 1

Ideálne pružinové kyvadlo je zanedbateľná hmotná pružina, ku ktorej je pripevnené bodové teleso. V tomto prípade je jeden alebo oba konce pružiny pevné a treciu silu je možné zanedbať.

Takúto konštrukciu je možné považovať iba za matematický model. Príkladmi skutočných pružinových kyvadiel (valcovité špirály navinuté z elastického drôtu) sú všetky druhy zariadení na tlmenie vibrácií: tlmiče, zavesenia, pružiny atď. V mechanických hodinkách sa používajú pružinové kyvadlá, aj keď trochu odlišného dizajnu (vo forme plochých špirál).

Vlastnosti pružín závisia od látky, z ktorej sú vyrobené (spravidla ide o špeciálnu pružinovú oceľ), od priemeru drôtu, tvaru jeho prierezu, priemeru pružinového valca a jeho dĺžky. Tieto ukazovatele spoločne určujú kľúčovú charakteristiku pružiny - jej tuhosť.

Pružina uchováva energiu počas pozdĺžneho napätia alebo stláčania v dôsledku elastických deformácií v kryštálovej mriežke svojej látky.

Poznámka 1

Keď je pružinový materiál príliš natiahnutý alebo stlačený, stráca pružné vlastnosti. Táto deformácia sa nazýva plastová alebo zvyšková.

Vzorec na výpočet frekvencie vibrácií

Ak je pružina so záťažou na nej vystavenou pozdĺžnej elastickej deformácii a potom uvoľnená, začne vykonávať vratné harmonické kmity, počas ktorých je pohyb zaťaženia, ktoré je na nej upevnené, popísaný vzorcom:

$ x = A \ cdot \ cos (\ omega_0 \ cdot t + \ phi) $

Tu $ A $ je amplitúda kmitov, $ \ phi $ je počiatočná fáza, $ \ omega_0 $ je prirodzená cyklická frekvencia oscilácií pružinového kyvadla, vypočítaná ako

$ \ omega_0 = \ sqrt (\ frac (k) (m)) $> $ 0 $,

• $ k $ - tuhosť pružiny,
• $ m $ je hmotnosť tela, ktorá je na ňom upevnená.

Cyklická frekvencia sa líši v tom, že charakterizuje nie počet úplných cyklov za jednotku času, ale počet radiánov „prejdených“ bodom oscilujúcim podľa harmonického zákona.

Perióda oscilácie pružinového kyvadla sa vypočíta ako

Definícia

Oscilačná frekvencia($ \ nu $) je jedným z parametrov, ktoré charakterizujú oscilácie Toto je recipročné číslo oscilačného obdobia ($ T $):

\ [\ nu = \ frac (1) (T) \ vľavo (1 \ vpravo). \]

Preto sa nazýva vibračná frekvencia fyzické množstvo, rovná číslu opakovania kmitov za jednotku času.

\ [\ nu = \ frac (N) (\ Delta t) \ vľavo (2 \ vpravo), \]

kde $ N $ je počet úplných oscilačných pohybov; $ \ Delta t $ - čas, počas ktorého k týmto výkyvom došlo.

Frekvencia cyklickej oscilácie ($ (\ omega) _0 $) súvisí s frekvenciou $ \ nu $ podľa vzorca:

\ [\ nu = \ frac ((\ omega) _0) (2 \ pi) \ vľavo (3 \ vpravo). \]

Mernou jednotkou frekvencie v Medzinárodnom systéme jednotiek (SI) je hertz alebo inverzná sekunda:

\ [\ left [\ nu \ right] = c ^ (- 1) = Hz. \]

Jarné kyvadlo

Definícia

Jarné kyvadlo sa nazýva systém, ktorý pozostáva z pružnej pružiny, ku ktorej je pripevnené zaťaženie.

Predpokladajme, že hmotnosť zaťaženia je $ m $, koeficient pružnosti pružiny je $ k $. Hmotnosť pružiny v takom kyvadle sa zvyčajne neberie do úvahy. Ak vezmeme do úvahy horizontálne pohyby zaťaženia (obr. 1), potom sa pohybuje pod vplyvom elastickej sily, ak je systém vyvedený z rovnováhy a ponechaný sám na seba. Súčasne sa často verí, že trecie sily možno ignorovať.

Rovnice oscilácie pružinového kyvadla

Pružinové kyvadlo, ktoré voľne kmitá, je príkladom harmonického oscilátora. Nechajte vykonávať kmity pozdĺž osi X. Ak sú kmity malé, je splnený Hookeov zákon, potom pohybovú rovnicu zaťaženia možno zapísať ako:

\ [\ ddot (x) + (\ omega) ^ 2_0x = 0 \ left (4 \ right), \]

kde $ (\ omega) ^ 2_0 = \ frac (k) (m) $ je frekvencia cyklického kmitania pružinového kyvadla. Riešením rovnice (4) je sínusová alebo kosínusová funkcia tvaru:

kde $ (\ omega) _0 = \ sqrt (\ frac (k) (m))> 0 $ je frekvencia cyklického kmitania pružinového kyvadla, $ A $ je amplitúda oscilácie; $ ((\ omega) _0t + \ varphi) $ - fáza oscilácie; $ \ varphi $ a $ (\ varphi) _1 $ sú počiatočné fázy oscilácií.

Frekvencia oscilácie pružiny

Zo vzorcov (3) a $ (\ omega) _0 = \ sqrt (\ frac (k) (m)) $ $ vyplýva, že frekvencia kmitania pružinového kyvadla je:

\ [\ nu = \ frac (1) (2 \ pi) \ sqrt (\ frac (k) (m)) \ \ left (6 \ right). \]

Vzorec (6) je platný, ak:

• pružina v kyvadle je považovaná za beztiažovú;
• zaťaženie pripevnené k pružine je absolútne tuhé telo;
• neexistujú žiadne torzné vibrácie.

Výraz (6) ukazuje, že frekvencia kmitov pružinového kyvadla sa zvyšuje so znižovaním hmotnosti zaťaženia a so zvyšovaním koeficientu pružnosti pružiny. Frekvencia kmitania pružinového kyvadla nezávisí od amplitúdy. Ak vibrácie nie sú malé, pružná sila pružiny sa neriadi Hookeovým zákonom, potom sa objaví závislosť frekvencie vibrácií od amplitúdy.

Príklady úloh s riešením

Príklad 1

Cvičenie. Obdobie oscilácie pružinového kyvadla je $ T = 5 \ cdot (10) ^ (- 3) s $. Aká je v tomto prípade frekvencia vibrácií? Aká je cyklická frekvencia tejto hmotnosti?

Riešenie. Frekvencia oscilácie je recipročná perióda oscilácie, a preto na vyriešenie problému stačí použiť vzorec:

\ [\ nu = \ frac (1) (T) \ vľavo (1,1 \ vpravo). \]

Vypočítajme požadovanú frekvenciu:

\ [\ nu = \ frac (1) (5 \ cdot (10) ^ (- 3)) = 200 \ \ left (Hz \ right). \]

Cyklická frekvencia súvisí s frekvenciou $ \ nu $ ako:

\ [(\ omega) _0 = 2 \ pi \ nu \ \ vľavo (1,2 \ vpravo). \]

Vypočítajme cyklickú frekvenciu:

\ [(\ omega) _0 = 2 \ pi \ cdot 200 \ cca 1256 \ \ vľavo (\ frac (rad) (c) \ vpravo). \]

Odpoveď. 1 $ \ \ nu = 200 $ Hz. 2) $ (\ omega) _0 = 1256 \ \ frac (rad) $

Príklad 2

Cvičenie. Hmotnosť bremena visiaceho na pružnej pružine (obr. 2) sa zvýši o $ \ Delta m $, pričom frekvencia sa zníži $ n $ -krát. Aká je hmotnosť prvého nákladu?

\ [\ nu = \ frac (1) (2 \ pi) \ sqrt (\ frac (k) (m)) \ \ left (2,1 \ right). \]

Pri prvom zaťažení bude frekvencia:

\ [(\ nu) _1 = \ frac (1) (2 \ pi) \ sqrt (\ frac (k) (m)) \ \ vľavo (2,2 \ vpravo). \]

Pri druhom zaťažení:

\ [(\ nu) _2 = \ frac (1) (2 \ pi) \ sqrt (\ frac (k) (m + \ Delta m)) \ \ vľavo (2,2 \ vpravo). \]

Podľa podmienky problému $ (\ nu) _2 = \ frac ((\ nu) _1) (n) $ nájdeme vzťah $ \ frac ((\ nu) _1) ((\ nu) _2): \ frac ((\ nu) _1) ((\ nu) _2) = \ sqrt (\ frac (k) (m) \ cdot \ frac (m + \ Delta m) (k)) = \ sqrt (1+ \ frac (\ Delta m) (m)) = n \ \ vľavo (2,3 \ vpravo). $

Z rovnice (2.3) získame požadovanú hmotnosť nákladu. Aby sme to urobili, zarovnáme obidve strany výrazu (2.3) a vyjadríme $ m $:

Odpoveď.$ m = \ frac (\ Delta m) (n ^ 2-1) $