ідеальна рідина - в гідродинаміці - уявна нестисливої \u200b\u200bрідина, в якій відсутні в'язкість і теплопровідність. Так як в ній відсутня внутрішнє тертя, то немає дотичних напружень між двома сусідніми шарами рідини.

Моделлю ідеальної рідини користуються при теоретичному розгляді завдань, в яких в'язкість не є визначальним фактором і нею можна знехтувати. Зокрема, така ідеалізація допустима в багатьох випадках течії, рассматріваемихгідроаеромеханікой, і дає хороший опис реальних течій рідин і газів на достатньому видаленні від омиваються твердих поверхонь і поверхонь розділу з нерухомою середовищем. Математичний опис течій ідеальних рідин дозволяє знайти теоретичне вирішення низки завдань про рух рідин і газів в каналах різної форми, При закінченні струменів і при обтіканні тіл.

Закон Пуазейля являє собою формулу для об'ємної швидкості течії рідини. Він був відкритий експериментально французьким фізіологом Пуазейль, який досліджував протягом крові в кровоносних судинах. Закон Пуазейля часто називають головним законом гідродинаміки.

Закон Пуазейля пов'язує об'ємну швидкість течії рідини з різницею тиску на початку і кінці трубки як рушійною силою потоку, в'язкістю рідини, радіусом і довжиною трубки. Закон Пуазейля використовують в разі, якщо протягом рідини ламінарний. Формула закону Пуазейля:

де Q - об'ємна швидкість рідини (м 3 / с), (P 1- P 2) - відмінність тиску через кінці трубки ( па), r - внутрішній радіус трубки ( м),l - довжина трубки ( м), Η - в'язкість рідини ( па з).

Закон Пуазейля показує, що величина Q пропорційна різниці тиску P 1 - P 2на початку і кінці трубки. якщо P 1 дорівнює P 2, Потік рідини припиняється. Формула закону Пуазейля також показує, що висока в'язкість рідини призводить до зниження об'ємної швидкості течії рідини. Воно також показує, що об'ємна швидкість рідини надзвичайно залежна від радіусу трубки. Це має на увазі, що помірні зміни радіуса кровоносних судин можуть забезпечувати великі відмінності об'ємної швидкості рідини, що протікає через посудину.

Формула закону Пуазейля спрощується і стає більш універсальною при введенні допоміжної величини - гідродинамічного опору R, Яке для циліндричної трубки може бути визначено за формулою:

протягом Пуазейля- ламінарний плин рідини через тонкі циліндричні трубки. Описується законом Пуазейля.

Остаточно втрати напору при ламінарному русі рідини в трубі:

Кілька перетворивши формулу для визначення втрат напору, отримаємо формулу Пуазейля:

Закон сталого плину в в'язкої нестисливої \u200b\u200bрідини в тонкій циліндричній трубці круглого перетину. Сформульовано вперше Готтфільхом Хагеном в 1839 і незабаром повторно виведений Ж.Л. Пуазейль в 1840. Відповідно до закону, секундний об'ємний витрата рідини пропорційний перепаду тиску на одиницю довжини трубки . закон Пуазейля застосовується лише при ламінарному плині і за умови, що довжина трубки перевищує так звану довжину початкової ділянки необхідну для розвитку ламінарного течії в трубці.

Властивості течії Пуазейля:

Протягом Пуазейля характеризується параболічних розподілом швидкості по радіусу трубки.

У кожному поперечному перерізі трубки середня швидкість вдвічі менше максимальної швидкості в цьому перерізі.

З формули Пуазейля видно, що втрати напору при ламінарному русі пропорційні першого ступеня швидкості або витрати рідини.

Формулою Пуазейля користуються при розрахунках показників транспортування рідин і газів в трубопроводах різного призначення. Ламінарний режим роботи нафто- і газопроводів є найбільш вигідним в енергетичному відношенні. Так, зокрема, коефіцієнт тертя при ламінарному режимі практично не залежить від шорсткості внутрішньої поверхні труби (гладкі труби).

гідравлічний опір

в трубопроводах ( a. hydraulic resistance; н. hydraulischer Widerstand; ф. resistance hydraulique; і. perdida de presion por rozamiento) - опір руху рідин (і газів), який чиниться трубопроводом. Г. с. на ділянці трубопроводу оцінюється величиною "втраченого" тиску Δp, що представляє собою ту частину питомої енергії потоку, к-раю необоротно витрачається на роботу сил опору. При сталому перебігу рідини (газу) в трубопроводі круглого перетину Δp (н / м 2) визначається за формулою

де λ - коеф. гідравлічні. опору трубопроводу; u - пор. по перетину швидкість потоку, м / с; D - внутр. діаметр трубопроводу, м; L - довжина трубопроводу, м; ρ - плотностьжідкості, кг / м 3.
Місцеві Г. с. оцінюються за формулою

де ξ - коеф. місцевого опору.
В процесі експлуатації магістральних трубопроводів Г. с. зростає вследствіеотложенія парафіну (нафтопроводи), скупчень води, конденсату або утворення гідратів вуглеводневих газів (газопроводи). Для зниження Г. с. виробляють периодич. очистку внутр. порожнини трубопроводів спец. скребками або роздільниками

У 1851 Джордж Стокс отримав вираз для сили тертя (також званої сілойлобового опору), що діє на сферичні об'єкти з дуже маленькімічісламі Рейнольдса (наприклад, дуже маленькі частинки) в безперервній вязкойжідкості, вирішуючи рівняння Нав'є - Стокса:

· g - прискорення вільного падіння (М / с),

· ρ p - щільність частинок (кг / м³),

· ρ f - щільність рідини (кг / м³),

· - динамічна в'язкість рідини (Па с).

протягом Пуазейля - ламінарний плин рідини через канали в вигляді прямого кругового циліндра або шару між паралельними площинами. Протягом Пуазейля - одне з найпростіших точних рішень рівнянь Нав'є - Стокса. описується законом Пуазейля (Хагена - Пуазейля).

Постановка задачі

Розглядається усталене протягом нестисливої \u200b\u200bрідини з постійною в'язкістю в тонкій циліндричній трубці круглого перетину під дією постійної різниці тисків. Якщо припустити, що протягом буде ламінарним і одновимірним (мати тільки компоненту швидкості, спрямовану уздовж каналу), то рівняння вирішується аналітично, і для швидкості виходить параболічний профіль (часто званий профілем Пуазейля) - розподіл швидкості в залежності від відстані до осі каналу:

texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): V \\ left (r \\ right) \u003d \\ frac (p_1-p_2) (4 \\ eta L) (R ^ 2-r ^ 2),

• Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): V - швидкість рідини уздовж трубопроводу;
• Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): R - відстань від осі трубопроводу;
• Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): R - радіус трубопроводу;
• Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): P_1-p_2 - різниця тисків на вході і на виході з труби;
• Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \\ Eta - в'язкість рідини;
• Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): L - довжина труби.

Такий же профіль у відповідних позначеннях має швидкість при перебігу між двома нескінченними паралельними площинами. Такий перебіг також називають плином Пуазейля.

Закон Пуазейля (Гагена - Пуазейля)

рівняння або закон Пуазейля (Закон Хагена - Пуазейля або закон Хагена - Пуазейля) - закон, що визначає витрата рідини при сталому перебігу в'язкої нестисливої \u200b\u200bрідини в тонкій циліндричній трубці круглого перетину.

Сформульовано вперше Готтхільфом Хагеном (нім. Gotthilf Hagen, іноді Гаген) В 1839 році на основі експериментальних даних і незабаром повторно виведений Ж. Л. Пуазейля (фр. J. L. Poiseuille) В 1840 році (також на підставі експерименту). Відповідно до закону, секундний об'ємний витрата рідини пропорційний перепаду тиску на одиницю довжини трубки (градієнту тиску в трубі) і четвертого ступеня радіуса (діаметра) труби:

Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): Q \u003d \\ int \\ limits_ (S) v \\ left (r \\ right) dS \u003d 2 \\ pi \\ int \\ limits_0 ^ R v \\ left (r \\ right) r dr \u003d \\ frac (\\ pi D ^ 4 (p_1-p_2)) (128 \\ eta L) \u003d \\ frac (\\ pi R ^ 4 (p_1-p_2)) (8 \\ eta L),

• Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): Q - витрата рідини в трубопроводі;
• Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): D - діаметр трубопроводу;

Закон Пуазейля працює тільки при ламінарному плині і за умови, що довжина трубки перевищує так звану довжину початкової ділянки, яка необхідна для розвитку в трубці ламінарної течії з параболічним профілем швидкості.

властивості

• Протягом Пуазейля характеризується параболічних розподілом швидкості по радіусу трубки.
• У кожному поперечному перерізі трубки середня швидкість вдвічі менше максимальної швидкості в цьому перерізі.

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Перебіг Пуазейля"

література

• Касаткін А. Г. Основні процеси та апарати хімічної технології. - М .: ДХІ, - 1961. - 831 с.

посилання

Уривок, що характеризує Перебіг Пуазейля

- Ми недавно ... Він весь час приносить нових людей, а іноді і маленьких звірів, і потім вони пропадають, а він приносить нових.
Я з жахом подивилася на Стеллу:
- Це справжнісінький, реальний світ, і зовсім реальна небезпека! .. Це вже не та невинна краса, яку ми створювали! .. Що будемо робити?
- Йти. - Знову наполегливо повторила дівчинка.
- Адже ми можемо спробувати, правда? Та й бабуся нас не залишить, якщо вже буде по-справжньому небезпечно. Мабуть поки ми ще можемо вибратися самі, якщо вона не приходить. Ти не турбуйся, вона нас не кине.
Мені б її впевненість! .. Хоча зазвичай я була далеко не з лякливих, але ця ситуація змушувала мене дуже сильно нервувати, так як тут знаходилися не тільки ми, а й ті, за ким ми прийшли в цей жах. А як з даного кошмару виходити - я, на жаль, не знала.
- Тут немає часу, але він приходить зазвичай через однаковий проміжок, приблизно як були добу на землі. - Раптом відповів на мої думки хлопчик.
- А сьогодні вже був? - явно зраділа, запитала Стелла.
Хлопчина кивнув.
- Ну що - пішли? - вона уважно дивилася на мене і я зрозуміла, що вона просить «надіти» на них мою «захист».
Стелла перша висунула свою руду голівку назовні ...
- Нікого! - зраділа вона. - Ух ти, який же це жах! ..
Я, звичайно, не витерпіла і полізла за нею. Там і справді був справжній «нічний кошмар»! .. Поруч з нашим дивним «місцем ув'язнення», абсолютно незрозумілим способом, повішені «пучками» вниз головою, висіли людські сутності ... Вони були підвішені за ноги, і створювали як би перевернений букет .
Ми підійшли ближче - жоден з людей не показував ознак життя ...
- Вони ж повністю «відкачано»! - жахнулася Стелла. - У них не залишилося навіть крапельки життєвої сили! .. Все, давайте тікати !!!
Ми помчали, що було сил, кудись в сторону, абсолютно не знаючи - куди біжимо, просто подалі б від усієї цієї, замораживающей кров, остраху ... Навіть не думаючи про те, що можемо знову вляпатися в таку ж, або ж ще гіршу, жах ...
Раптом різко потемніло. Синяво-чорні хмари мчали по небу, ніби гнані сильним вітром, Хоча ніякого вітру поки що не було. У надрах чорних хмар палахкотіли сліпучі блискавки, червоною загравою палахкотіли вершини гір ... Іноді набряклі хмари розпорювали про злі вершини і з них водоспадом лилася темно-бура вода. Вся ця страшна картинка нагадувала, найжахливіший зі страшних нічний кошмар ....
- Таточку, рідний, мені так страшно! - тоненько верещав, забувши свою колишню войовничість, хлопчина.
Раптом одна з хмар «порвалася», і з неї спалахнув сліпуче яскраве світло. А в цьому світі, в блискучому коконі, наближалася фігурка дуже худого юнака, з гострим, як лезо ножа, особою. Навколо нього все сяяло і світилося, від цього світла чорні хмари «плавилися», перетворюючись в брудні, чорні клаптики.
- Оце так! - радісно закричала Стелла. - Як же у нього це виходить?!.
- Ти його знаєш? - невимовно здивувалася я, але Стелла заперечливо похитала голівкою.
Юнак опустився поруч з нами на землю і ласкаво посміхнувшись запитав:
- Чому ви тут? Це не ваше місце.
- Ми знаємо, ми якраз намагалися вибратися на гору! - вже у всю щебетала радісна Стелла. - А ти допоможеш нам повернутися наверх? .. Нам обов'язково треба швидше повернутися додому! А то нас там бабусі чекають, і ось їх теж чекають, але інші.

Ламінарний плин в'язкої нестисливої \u200b\u200bрідини в циліндричній трубі

анімація

опис

Внаслідок ламинарного (шаруватого) характеру перебігу в'язкої нестисливої \u200b\u200bрідини в циліндричній трубі швидкість потоку деяким чином розподілена по перерізу труби (рис. 1).

Розподіл швидкостей біля входу в трубу при ламінарному плині

Мал. 1

L1 - довжина початкової ділянки формування постійного профілю швидкостей.

Закон Пуазейля (математичним виразом якого є формула Пуазейля) Встановлює залежність між обсягом рідини, що протікає через трубу в одиницю часу (витратою), довжиною і радіусом труби, і перепадом тиску в ній.

Нехай вісь труби збігається з віссю Oz прямокутної декартової системи координат. При ламінарному плині швидкість v рідини у всіх точках труби паралельна осі Oz, тобто v x \u003d v y \u003d 0, v z \u003d v. З рівняння нерозривності

dv / dt \u003d F - (1 / r) grad p,

де F - напруженість поля масових сил;

р - тиск;

r - щільність рідини,

випливає, що

дv / дz \u003d 0, тобто v \u003d f (x, y).

З рівняння руху в'язкої нестисливої \u200b\u200bрідини (Нав'є-Стокса) слід:

дp / дx \u003d дp / дy \u003d 0,

дp / дz \u003d dp / dz \u003d h (д \u200b\u200b2 v / дx 2 + д 2 v / дy 2) \u003d const \u003d - (D p / l),

де D p - падіння тиску на ділянці труби довжиною l.

Для круглої циліндричної труби дане рівняння можна представити у вигляді

(1 / r) d (r (dv / dr)) / dr \u003d - D p / h l,

де r \u003d sqr (x 2 + y 2) - відстань від осі труби.

Розподіл швидкостей по перетину труби є параболічним і виражається формулою:

v (r) \u003d (D p / 4 h l) (R 2 - r 2),

де R - радіус труби;

r - відстань від осі до розглянутої точки поперечного перерізу;

h - динамічна в'язкість рідини;

D p - падіння тиску на ділянці труби довжиною l.

Секундний об'ємний витрата рідини визначається по формулою Пуазейля:

Q c \u003d [(p R 4) / 8 h l] D p.

Дана формула справедлива для ламінарних потоків, умова існування яких характеризуються критичним числом Рейнольдса Re кр (Re \u003d 2Q c / p R n, n - кінематична в'язкість). При Re \u003d Re кр ламінарний плин переходить в турбулентний. Для гладких круглих труб Re кр »2300.

тимчасові характеристики

Час ініціації (log to від -1 до 1);

Час існування (log tc від -1 до 5);

Час деградації (log td від -1 до 1);

Час оптимального прояви (log tk від 0 до 2).

діаграма:

Технічні реалізації ефекту

Закон Пуазейля застосовується для визначення коефіцієнтів різних рідин при різних температурах за допомогою капілярних віскозиметрів.

Технічна реалізація ефекту

Мал. 2

позначення:

1 - контрольний ділянку труби;

2 - балон;

3 - редуктор;

4 - регулятор тиску;

5 - манометр;

6 - вентиль;

7 - витратомір.

Рівняння Пуазейля грає важливу роль в фізіології нашого кровообігу.

застосування ефекту

Формулою Пуазейля користуються при розрахунках показників транспортування рідин і газів в трубопроводах різного призначення. Ламінарний режим роботи нафто- і газопроводів є найбільш вигідним в енергетичному відношенні. Так, зокрема, коефіцієнт тертя при ламінарному режимі практично не залежить від шорсткості внутрішньої поверхні труби (гладкі труби).

література

1.Бреховскіх Л.М., Гончаров В.В. Введення в механіку суцільних сред.- М .: Наука, 1982.

2. Розробка і експлуатація нафтових, газових і газоконденсатних родовищ / Под ред. Ш.К. Гіматудінова.- М .: Недра, 1988.

Ключові слова

• в'язкість
• тиск
• динамічна в'язкість
• гідродинаміка
• рідина в'язка
• ламінарний плин
• натиск
• перепад тиску
• труба
• Пуазейля закон
• Пуазейля формула
• число Рейнольдса
• число Рейнольдса критичне

Розділи природничих наук:

Зміст

1. Постановка завдання

2. Рівняння нерозривності

4. Стале ламінарний плин між паралельним площинами

5. Перебіг Куетта

6. Перебіг Пуазейля

7. Загальний випадок перебігу між паралельними стінками

8. Приклад завдання

Постановка задачі

Ламінарні течії, деякі з яких розглянуті в даному курсовому проекті, зустрічаються в різноманітних технічних завданнях, зокрема, в зазорах і малих порожнинах машин. Особливо при перебігу таких в'язких рідин як масло, нафта, різні рідини для гидропередач утворюються стійкі ламінарні течії, для опису яких надійною базою можуть послужити рівняння Нав'є-Стокса. Перебіг Гартмана, подібне течією Пуазейля, застосовується, наприклад, в МГД-насосах. В цьому випадку розглядається плоске стаціонарне протягом електропровідний рідини між двома ізольованими пластинами в поперечному магнітному полі.

Завдання даного курсового проекту - розгляд і знаходження основних характеристик плоского стаціонарного ламінарного течії в'язкої нестисливої \u200b\u200bрідини при параболическом розподілі швидкостей (течії Пуазейля).

рівняння нерозривності

Закон збереження маси для рухається довільним чином рідини виражається рівнянням нерозривності або суцільності, яке є одним з фундаментальних рівнянь гідромеханіки. Для його виведення проведемо в рідини фіксовану в просторі замкнуту поверхню S, що обмежує обсяг W, і виділимо на ній елементарну площадкуdS.Черезn позначимо одиничний вектор зовнішньої до Sнормалі. Тоді твір СV n dSбудет являти собою масу, яка з обсягу Wілі надійшла в нього за одиницю часу, в залежності від напрямку швидкості на площадкеdS.Так какnвнешняя нормаль, ТОV п\u003e 0 на тих площадкахdS, де рідина витікає з об'єму W, і V п< 0 на той части поверхности S, через которую она втекает в этот объем. Следовательно, интеграл представляет собой разность масс жидкости, вытекшей из объема и поступившей в него за единицу времени.

Ця зміна маси можна підрахувати і іншим способом. Для цього виділимо елементарний об'єм dW. Маса рідини в цьому обсязі може змінюватися через неоднаковість припливу і відпливу. Секундне зміна маси в обсязі dW дорівнюватиме а секундне зміна маси в обсязі W виразиться інтегралом.

Утворені вираження можна прирівняти, так як вони дають одну і ту ж величину. При цьому слід врахувати, що перший інтеграл позитивний, якщо через поверхню S випливає рідини більше, ніж втікає, а другий при цьому ж умови - негативний, оскільки зважаючи на сплошности течії в розглянутому в даному випадку щільність зменшується в часі.

По теоремі Остроградського - Гаусса:

У векторному аналізі сума приватних похідних від проекцій вектора по однойменною координатами називається дивергенцией або розбіжністю вектора. В даному випадку

тому рівняння (1) можна переписати у вигляді

Так як обсяг Wпроізвольний, підінтегральна функція дорівнює нулю, тобто

(2)

Рівняння (2) є рівнянням нерозривності в диференціальної формі для довільного руху стисливої \u200b\u200bрідини. Співвідношення (1) можна розглядати як інтегральну форму рівняння нерозривності.

Якщо будемо розглядати умова збереження маси рухомого рідкого обсягу, то прийдемо також до рівняння (2), якому в цьому випадку можна додати інший вид.

Оскільки з \u003d з (x, y, z, t) і при русі рідкого обсягу х \u003d х (t),

у \u003d у (t), z \u003d z (t), то

т. е. рівняння (2) буде мати вигляд

(3)

гдеdс / dt- повна похідна щільності.

Для усталеного руху стисливої \u200b\u200bжідкості∂с / ∂t \u003d 0 і. отже, з рівняння (2) отримуємо

Для будь-якого руху нестисливої \u200b\u200bрідини з \u003d const і, отже

(5)

3. Рівняння руху в'язкої рідини в формі Нав'є-Стокса

Рівняння руху рідини в напружених:

Відповідно до закону Ньютона вязкостниє напруги при прямолінійній русі рідини пропорційні швидкостям кутових деформацій. Узагальненням цього факту на випадок довільного руху є гіпотеза про те, що дотичні напруження, а також залежать від орієнтації майданчиків частини нормальних напружень пропорційні відповідним швидкостям деформацій. Іншими словами, передбачається у всіх випадках руху рідини лінійного зв'язку між вязкостнимі напруженнями і швидкостями деформацій. При цьому коефіцієнт пропорційності в формулах, що виражають цей зв'язок, повинен бути динамічний коефіцієнт в'язкості м. Скориставшись гіпотезою, що в точці рідини (Вона побічно підтверджується на практиці), можна написати вирази для нормальних і дотичних напружень в в'язкої рідини:

(7)

Вносячи в рівняння (6) вираження (7), отримаємо

Групуючи члени з другими похідними, ділячи на с і використовуючи оператор Лапласа, запишемо:

Ці рівняння називаються рівняннями Нав'є - Стокса; їх використовують для опису рухів в'язких стисливих рідин і газів.

Рівняння руху нев'язких рідин і газів легко отримати з рівнянь Нав'є - Стокса як окремий випадок при м \u003d const; для нестискуваних рідин слід прийняти з \u003d const.

Система рівнянь Нав'є - Стокса незамкнута, бо містить шість невідомих: V x, V y, V z, р, с і м. Ще одним рівнянням, що зв'язує ці невідомі, є рівняння нерозривності (3).

Як рівнянь, що замикають систему, використовують рівняння стану середовища і залежності в'язкості від параметрів стану. У багатьох випадках доводиться застосовувати також інші термодинамічні співвідношення.

Для нестисливої \u200b\u200bрідини divV \u003d 0, отримаємо вирази, безпосередньо випливають із системи (8)

У векторній формі рівняння Нав'є-Стокса для нестисливої \u200b\u200bрідини набуде вигляду:

Стале ламінарний плин між паралельним площинами

Нехай в'язка рідина тече в каналі, утвореному двома паралельними стінками, одна з яких рухається в своїй площині з постійною швидкістю (див. Малюнок).

а - схема течії; б - розподіл швидкостей при відсутності градієнта тиску (протягом Куетта); в - розподіл швидкостей в разі нерухомих граничних площин (течія в плоскому каналі).

Розмір каналу у напрямку нормалі до площини креслення (уздовж осі z) вважаємо досить великим, щоб можна було не враховувати вплив стінок, паралельних площині хОу. Крім того, допускаємо, що рух викликаний не тільки переміщенням однієї зі стінок каналу, а й перепадом (або градієнтом) тиску в напрямі осі х. Впливом масових сил нехтуємо, тому що число Фруда мало через малість h, а лінії струму вважаємо прямими, паралельними осі х.

Тоді вихідні умови задачі висловлюємо у вигляді:

З рівняння нерозривності відразу укладемо, що а оскільки це буде виконано у всіх точках, то і Зважаючи на відсутність руху вздовж осі z все похідні по цій координаті також звернуться в нуль, і рівняння Нав'є-Стокса в проекції на вісь z можна не писати.

Тоді система рівнянь руху зведеться до двох рівнянь:

Перше виходить з проекції рівняння Нав'є-Стокса на координатну вісь x, а другий з цих рівнянь свідчить, що тиск залежить тільки від х, тобто p (y) \u003d p (z) \u003d 0, і так як то можна перейти від приватних похідних до повних:

Позначимо, проинтегрируем це рівняння двічі, отримаємо:

Так як відповідно до малюнком і прийнятими припущеннями тиск залежить тільки від координати x. Для відшукання постійних інтегрування і використовуємо граничні умови:

Таким чином закон розподілу швидкостей в плоскому каналі запишеться у вигляді:

(10)

перебіг Куетта

Перебіг Куетта - безградіентное протягом В цьому випадку єдиною причиною руху служить переміщення пластини. Перебіг характеризується лінійним законом розподілу швидкостей (рис. Б).

Дотичне (в'язке) напруга буде постійним по товщині шару, а величина питомої витрати, тобто витрати через живий плин S \u003d h · 1, увлекаемого рухається пластиною, дорівнює:

6. Перебіг Пуазейля

Це випадок напірного течії в плоскому каналі з параболічним розподілом швидкостей (рис. В). Відповідно до рівняння (10) отримаємо:

Максимальна швидкість на осі (при y \u003d h / 2) з огляду на параболічного розподілу швидкостей:

(12)

Розділивши (11) на (12), отримаємо закон розподілу швидкості

Неважко обчислити і інші характеристики течії. дотичне напруження

На стінках, тобто при y \u003d 0 і при y \u003d h, приймає максимальні значення

А на осі при y \u003d h / 2 звертається в нуль. Як видно з цих формул, має місце лінійний закон розподілу дотичних напружень по товщині шару

Питома витрата рідини визначиться формулою

Середня швидкість

(13)

Середня швидкість буде в півтора рази менше максимальної.

Проинтегрировав (13) по х, в припущенні, що при х \u003d 0 тиск р \u003d р 0 *, отримуємо шукану різницю тиску:

Неважко також обчислити інтенсивність вихровий складової руху. Оскільки в даному випадку V y \u003d V z \u003d 0 і V x \u003d V, то

З огляду на, що dp / dx<0, мы получи:

· При y< h/2, щ z < 0, т.е. частицы вращаются по часовой стрелке;

· При y\u003e h / 2, щ z\u003e 0, тобто частинки обертаються проти годинникової стрілки (рис. в).

Таким чином, розглянутий потік є завихрення в усіх точках, впорядковані вихрові лінії являють собою прямі, нормальні площині течії.

Загальний випадок перебігу між паралельними стінками

Для цього випадку характерно

Розподіл швидкостей визначається рівнянням (10), де градієнт тиску dp / dx може бути як негативним, так і позитивним. У першому випадку тиск падає в напрямку швидкості пластини V 0, у другому - зростає. Наявність позитивного градієнта тиску може викликати зворотні течії. Рівняння (10) зручно представити в безрозмірною формі

яка графічно зображується сімейством кривих з одним параметром

Безрозмірні профілі швидкостей для загального випадку течії між паралельними стінками.

приклад завдання

Розглянемо протягом Пуазейля стосовно МГД-генератора.

Магнітогідродинамічний генератор, МГД-генератор - енергетична установка, в якій енергія робочого тіла (рідкого або газоподібного електропровідного середовища), що рухається в магнітному полі, перетворюється безпосередньо в електричну енергію. Швидкість руху в'язкої середовища може бути як дозвуковій, так і надзвуковий, виберемо швидкість рівну V max \u003d 300 м / c. Нехай довжина лінійного каналу буде дорівнює 10 метрів. Відстань між обкладинками, в яких протікає плазма, дорівнює 1 метр. Максимальне значення в'язкості плазми приймемо 3 · 10 -4 Па · Чс \u003d 8,3 · 10 -8 Па · с.

Підставляючи дані в формулу для різниці тисків, враховуючи, що середня швидкість в півтора рази менше максимальної, отримаємо:

Така втрата тиску при проходженні робочого тіла через лінійний канал МГД-генератора.

Список використаної літератури

1. Бекнев В.С., Панков О.М., Янсон Р.А. - М .: Машинобудування, 1973р. - 389 с.

2. Ємцев Б.Т. Технічна гідромеханіка. - М .: Машинобудування, 1978р. - 458 с.

3. Ємцев Б.Т. Технічна гідромеханіка. - М .: Машинобудування, 1987 р. - 438 с.

4. http://ru-patent.info/21/20-24/2123228.html

5. http://ligis.ru/effects/science/83/index.htm

Перебіг в довгій трубі кругового перетину під дією різниці тисків на кінцях труби було вивчено Гаґен в 1839 р і Пуазейля в 1840 р Можна вважати, що протягом, як і граничні умови, має осьову симетрію, Так що - функція тільки відстані від осі труби. Відповідне рішення Рівняння (4.2.4) таке:

При в цьому рішенні є нереальна особливість (пов'язана з кінцевою силою, що діє на рідину на одиницю

довжини відрізка осі), якщо постійна А не дорівнює нулю; тому виберемо саме це значення А. Вибираючи постійну У такій, щоб отримати на кордоні труби при знаходимо

Практичний інтерес представляє об'ємний потік рідини через будь-який перетин труби, величина якого

де (модифіковані) тиску в початковому і кінцевому перетинах відрізка труби, що має довжину Гаген і Пуазейль встановили в експериментах з водою, що потік залежить від першого ступеня перепаду тиску і четвертого ступеня радіуса труби (половина цієї ступеня виходить внаслідок залежності площі поперечного перерізу труби від її радіуса, а інша половина пов'язана зі збільшенням швидкості і для даної результуючої сили в'язкості при збільшенні радіуса труби). Точність, з якою отримано сталість відносини в спостереженнях, переконливо підтверджує припущення про відсутність ковзання частинок рідини на стінці труби, а також побічно підтверджує гіпотезу про лінійної залежності вузького напруги від швидкості деформації в даних умовах.

Дотичне напруження на стінці труби одно

так що повна сила тертя в напрямку течії на ділянці труби довжиною I дорівнює

Такого виразу для повної сили тертя на стінці труби і слід було очікувати, так як всі елементи рідини всередині цієї частини труби в наразі часу знаходяться в стані усталеного руху під дією нормальних сил на двох кінцевих перетинах і сили тертя на стінці труби. Крім того, з виразу (4.1.5) видно, що швидкість дисипації механічної енергії на одиницю маси рідини під впливом в'язкості визначається в даному випадку виразом

Таким чином, повна швидкість дисипації в рідині, що заповнює в даний момент відрізок кругової труби довжиною I, дорівнює

У разі, в якому середовище в трубі являє собою крапельну рідина і на обох кінцях труби діє атмосферний тиск (як якби рідина надходила в трубу з дрібного відкритого резервуара і витікала з кінця труби), градієнт тиску уздовж труби створюється силою тяжіння. Абсолютний тиск в даному випадку одне і те ж на обох її кінцях і тому постійно у всій рідини, так що модифіковане тиск одно а й