- (grécky trapéz). 1) v geometrii štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné, ale dve nie sú. 2) postava prispôsobená na gymnastické cvičenia. Slovník cudzie slová zahrnuté v ruskom jazyku. Chudinov AN, 1910. KEYSTONE ... ... Slovník cudzích slov ruského jazyka

Lichobežník- Trapéz. KEYSTONE (z gréckeho lichobežníka, doslova stôl), konvexný štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné (základy lichobežníka). Plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovičného súčtu báz (stredová čiara) a výšky. ... Ilustrovaný encyklopedický slovník

lichobežník- štvoruholník, projektil, priečka Slovník ruských synoným. lichobežník č., počet synoným: 3 priečniky (21) ... Synonymický slovník

KEYSTONE- (z gréckeho lichobežníka, doslova stôl), konvexný štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné (základy lichobežníka). Plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovičného súčtu báz (stredovej čiary) a výšky ... Moderná encyklopédia

KEYSTONE- (z gréčtiny.trapézové písmená.stôl), štvoruholník, v ktorom dva opačné strany, nazývané základy lichobežníka, sú rovnobežné (na obrázku AD a BC) a ďalšie dva nie sú rovnobežné. Vzdialenosť medzi základňami sa nazýva výška lichobežníka (na ... ... Veľký encyklopedický slovník

KEYSTONE- KEYSTONE, štvoruholníková plochá postava, v ktorej sú dve protiľahlé strany rovnobežné. Plocha lichobežníka sa rovná polovičnému súčtu rovnobežných strán vynásobenému dĺžkou kolmice medzi nimi ... Vedecký a technický encyklopedický slovník

KEYSTONE- KEYSTONE, trapéz, ženy. (z tabuľky Greek.trapeza). 1. Štvoruholník s dvoma rovnobežnými a dvoma nerovnobežnými stranami (mat.). 2. Gymnastický prístroj pozostávajúci z hrazdy zavesenej na dvoch lanách (športové). Akrobatické ... ... Vysvetľujúci slovník Ushakova

KEYSTONE- KEYSTONE a manželky. 1. Štvoruholník s dvoma rovnobežnými a dvoma nerovnobežnými stranami. Základne lichobežníka (jeho rovnobežné strany). 2. Cirkusový alebo gymnastický prístroj, priečka zavesená na dvoch kábloch. Ozhegovov výkladový slovník. S… Ozhegovov výkladový slovník

KEYSTONE- žena, geom. štvoruholník s nerovnými stranami, z ktorých dva sú nástenné (rovnobežné). Lichobežník, ako štvoruholník, v ktorom sa všetky strany rozpadajú. Trapezohedron, telo s lichobežníkmi. Dahlov výkladový slovník. IN A. Dahl. 1863 1866 ... Dahlov výkladový slovník

KEYSTONE- (Trapeze), USA, 1956, 105 min. Melodrama. Ašpirujúci akrobat Tino Orsini vstupuje do cirkusového súboru, kde pracuje Mike Ribble, v minulosti známy letec. Raz Mike vystupoval s Tinovým otcom. Mladý Orsini chce Mika ... ... Encyklopédia filmu

Lichobežník- štvoruholník, ktorého dve strany sú rovnobežné a ďalšie dve strany nie sú rovnobežné. Vzdialenosť medzi rovnobežnými stranami výška T. Ak rovnobežné strany a výška obsahujú a, b a h metre, potom oblasť T. obsahuje metrov štvorcových … Encyklopédia Brockhausu a Efrona

Knihy

• Sada stolov. Geometria. 8. ročník. 15 tabuliek + metodika ,. Tabuľky sú vytlačené na hrubom polygrafickom kartóne s rozmermi 680 x 980 mm. Obsahuje brožúru s usmernenia pre učiteľa. Vzdelávací album 15 listov. Polygóny ... Kúpte za 3828 rubľov
• Sada stolov. Matematika. Polygóny (7 tabuliek) ,. Vzdelávací album 7 listov. Konvexné a nekonvexné mnohouholníky. Štvoruholníky. Rovnobežník a lichobežník. Znaky a vlastnosti rovnobežníka. Obdĺžnik Kosoštvorec. Námestie. Námestie…

Polygón je časť roviny ohraničená uzavretou krivkou. Rohy mnohouholníka sú označené bodmi vrcholov krivky. Vrcholy rohov mnohouholníka a vrcholy mnohouholníka sú zhodné body.

Definícia. Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné.

Vlastnosti rovnobežníka

1. Protiľahlé strany sú si rovné.
Na obr. jedenásť AB = CD; Pred Kr = AD.

2. Opačné uhly sú rovnaké (dva ostré a dva tupé rohy).
Na obr. 11 ∠ A = ∠C.; ∠B = ∠D.

3 Diagonály (úsečky spájajúce dva protiľahlé vrcholy) sa pretnú a priesečník sa zníži na polovicu.

Na obr. 11 segmentov AO = OC; BO = OD.

Definícia. Lichobežník je štvoruholník, v ktorom sú dve protiľahlé strany rovnobežné a ostatné dve nie sú.

Paralelné strany zavolala jej dôvody a ďalšie dve strany sú bočné strany.

Druhy lichobežníkov

1. Lichobežník, v ktorých nie sú strany rovnaké,
zavolal všestranný(obr. 12).

2. Nazýva sa lichobežník, ktorého strany sú si rovné rovnoramenné(obr. 13).

3. Hovorí sa lichobežník, v ktorom jedna bočná strana zviera so základňami pravý uhol obdĺžnikové(obr. 14).

Segment spájajúci stredy bočných strán lichobežníka (obr. 15) sa nazýva stredná čiara lichobežníka ( MN). Stredná čiara lichobežníka je rovnobežná so základňami a rovná sa ich polovičnému súčtu.

Lichobežník možno nazvať skráteným trojuholníkom (obr. 17), preto sú názvy lichobežníkových názvov podobné názvom trojuholníkov (trojuholníky sú mnohostranné, rovnoramenné, obdĺžnikové).

Rovnobežník a lichobežníková oblasť

Pravidlo. Oblasť rovnobežníka sa rovná súčinu jeho strany výškou nakreslenou k tejto strane.

Lichobežník Je štvoruholník s dvoma rovnobežnými stranami, ktoré sú základňami, a dvoma nerovnobežnými stranami, ktoré sú bočnými stranami.

Existujú aj mená ako napr rovnoramenné alebo rovnoramenné.

Je lichobežník, ktorého bočné rohy sú rovné.

Trapézové prvky

a, b - základňa lichobežníka(rovnobežka k b),

m, n - bočné strany lichobežník,

d 1, d 2 - uhlopriečky lichobežník,

h - výška lichobežník (segment spájajúci základne a súčasne na ne kolmý),

MN - stredná čiara(segment spájajúci stredové body strán).

Trapézová oblasť

1. Polovičný súčet základov a, b a výšky h: S = \ frac (a + b) (2) \ cdot h
2. Prostredníctvom strednej čiary MN a výšky h: S = MN \ cdot h
3. Prostredníctvom uhlopriečok d 1, d 2 a uhla (\ sin \ varphi) medzi nimi: S = \ frac (d_ (1) d_ (2) \ sin \ varphi) (2)

Trapézové vlastnosti

Stredná čiara lichobežníka

stredná čiara je rovnobežná so základňami, rovná sa ich polovičnému súčtu a rozdeľuje každý segment s koncami umiestnenými na priamych líniách, ktoré obsahujú základy (napríklad výšku obrázku) na polovicu:

MN || a, MN || b, MN = \ frac (a + b) (2)

Súčet uhlov lichobežníka

Súčet uhlov lichobežníka na každej strane je 180 ^ (\ circle):

\ alpha + \ beta = 180 ^ (\ Cir)

\ gamma + \ delta = 180 ^ (\ Cir)

Trapézové trojuholníky s rovnakou plochou

Rovnaká, to znamená, že majú rovnaké oblasti, sú segmenty uhlopriečok a trojuholníkov AOB a DOC tvorené bočnými stranami.

Podobnosť vytvorených lichobežníkových trojuholníkov

Podobné trojuholníky sú AOD a COB, ktoré sú tvorené ich základňami a segmentmi čiar.

\ trojuholník AOD \ sim \ trojuholník COB

Koeficient podobnosti k sa nachádza podľa vzorca:

k = \ frac (AD) (BC)

Pomer plôch týchto trojuholníkov je navyše rovný k ^ (2).

Pomer dĺžok segmentov a základov

Každý úsečka spájajúca základne a prechádzajúca priesečníkom uhlopriečok lichobežníka je týmto bodom delená v pomere:

\ frac (OX) (OY) = \ frac (BC) (AD)

To platí pre výšku so samotnými uhlopriečkami.

V materiáloch rôznych kontrolné práce a skúšky sú veľmi časté lichobežníkové úlohy, ktorého riešenie si vyžaduje znalosť jeho vlastností.

Poďme zistiť, aké zaujímavé a užitočné vlastnosti má lichobežník na riešenie problémov.

Po štúdiu vlastností stredovej čiary lichobežníka môžeme sformulovať a dokázať vlastnosť úsečky spájajúcej stredy uhlopriečok lichobežníka... Segment spájajúci stredy uhlopriečok lichobežníka je rovný polovičnému rozdielu báz.

MO je stredová čiara trojuholníka ABC a je rovná 1 / 2BC (obr. 1).

MQ je stredná čiara trojuholníka ABD a je rovná 1 / 2AD.

Potom OQ = MQ - MO, teda OQ = 1 / 2AD - 1 / 2BC = 1/2 (AD - BC).

Pri riešení mnohých problémov na lichobežníku je jednou z hlavných techník držanie dvoch výšok.

Zvážte nasledujúce úloha.

Nech BT je výška rovnoramenného lichobežníka ABCD so základňami BC a AD a BC = a, AD = b. Nájdite dĺžky segmentov AT a TD.

Riešenie.

Riešenie problému je priamočiare (obr. 2), ale umožňuje vám získať výšková vlastnosť rovnoramenného lichobežníka ťahaného z vrcholu tupého uhla: výška rovnoramenného lichobežníka, nakresleného z vrcholu tupého uhla, rozdeľuje väčšiu základňu na dva segmenty, z ktorých menší je rovný polovičnému rozdielu báz a väčší na polovičný súčet základne.

Pri štúdiu vlastností lichobežníka musíte venovať pozornosť takej vlastnosti ako podobnosti. Uhlopriečky lichobežníka ho napríklad delia na štyri trojuholníky a trojuholníky susediace so základňami sú podobné a trojuholníky susediace s bočnými stranami sú rovnaké. Toto tvrdenie sa dá nazvať vlastnosť trojuholníkov, na ktoré je lichobežník rozdelený svojimi uhlopriečkami... Prvá časť tvrdenia sa navyše veľmi ľahko dokazuje pomocou kritéria podobnosti trojuholníkov v dvoch uhloch. Dokážme druhá časť vyhlásenia.

Trojuholníky BOC a CHSK majú spoločnú výšku (obr. 3) ak za svoje základy vezmeme segmenty BO a OD. Potom S BOC / S COD = BO / OD = k. Preto S COD = 1 / k S BOC.

Podobne majú trojuholníky BOC a AOB spoločnú výšku, ak ako základ vezmeme segmenty CO a OA. Potom S BOC / S AOB = CO / OA = k a S A O B = 1 / k S BOC.

Z týchto dvoch viet vyplýva, že S COD = S A O B.

Nebudeme sa pozastavovať nad formulovaným tvrdením, ale nájdeme spojenie medzi oblasťami trojuholníkov, do ktorých je lichobežník rozdelený svojimi uhlopriečkami... Aby sme to urobili, vyriešime nasledujúci problém.

Nech je bod O priesečníkom lichobežníkových uhlopriečok ABCD so základňami BC a AD. Je známe, že oblasti trojuholníkov BOC a AOD sú rovnaké ako S 1 a S 2. Nájdite oblasť lichobežníka.

Pretože S CHSK = S A O B, potom S ABC D = S 1 + S 2 + 2S CHSK.

Z podobnosti trojuholníkov BОC a AOD vyplýva, že BO / OD = √ (S₁ / S 2).

Preto S₁ / S COD = BO / OD = √ (S₁ / S 2), a teda S COD = √ (S 1 S 2).

Potom S ABC D = S 1 + S 2 + 2√ (S 1 S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

Použitím podobnosti je dokázané, že vlastnosť úsečky prechádzajúcej priesečníkom uhlopriečok lichobežníka rovnobežných so základňami.

Zvážte úloha:

Nech je bod O priesečníkom uhlopriečok lichobežníka ABCD so základňami BC a AD. BC = a, AD = b. Nájdite dĺžku segmentu PK, ktorý prechádza priesečníkom uhlopriečok lichobežníka rovnobežných so základňami. Do ktorých segmentov je PK delená bodom O (obr. 4)?

Z podobnosti trojuholníkov AOD a BOC vyplýva, že AO / OC = AD / BC = b / a.

Z podobnosti trojuholníkov AOP a ACB vyplýva, že AO / AC = PO / BC = b / (a+ b).

Preto PO = BC b / (a+ b) = ab / (a+ b).

Podobne z podobnosti trojuholníkov DOK a DBC vyplýva, že OK = ab / (a+ b).

Preto PO = OK a PK = 2ab / (a+ b).

Dokázanú vlastnosť je teda možné formulovať nasledovne: segment rovnobežný so základňami lichobežníka prechádzajúci bodom priesečníka uhlopriečok a spájajúcim dva body na bočných stranách je delený priesečníkom uhlopriečok na polovicu. Jeho dĺžka je harmonickým priemerom základne lichobežníka.

Sledovanie štvorbodová vlastnosť: v lichobežníku leží priesečník uhlopriečok, priesečník pokračovania bočných strán, stredy základov lichobežníka ležia na tej istej čiare.

Trojuholníky BSC a ASD sú podobné (obr. 5) a v každom z nich mediány ST a SG rozdeľujú uhol na vrchole S na rovnaké časti. Body S, T a G sú teda kolineárne.

Rovnako tak body T, O a G sú umiestnené na jednej priamke. Vyplýva to z podobnosti trojuholníkov BOC a AOD.

Všetky štyri body S, T, O a G teda ležia na jednej priamke.

Môžete tiež nájsť dĺžku segmentu rozdeľujúceho lichobežník na dva podobné.

Ak sú lichobežníky ALFD a LBCF podobné (obr. 6), potom a / LF = LF / b.

Preto LF = √ (ab).

Segment rozdeľujúci lichobežník na dva podobné lichobežníky má teda dĺžku rovnajúcu sa geometrickému priemeru dĺžok základní.

Dokážme vlastnosť segmentu rozdeľujúceho lichobežník na dve rovnaké.

Nech je oblasť lichobežníka S (obr. 7). h 1 a h 2 sú časti výšky a x je dĺžka požadovaného segmentu.

Potom S / 2 = h 1 (a + x) / 2 = h 2 (b + x) / 2 a

S = (h 1 + h 2) (a + b) / 2.

Poďme zostaviť systém

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 (a + x) = (h 1 + h 2) (a + b) / 2.

Riešenie tento systém, dostaneme x = √ (1/2 (a 2 + b 2)).

Preto dĺžka segmentu rozdeľujúceho lichobežník na dve rovnaké veľkosti je √ ((a 2 + b 2) / 2)(stredný stredný štvorec dĺžok základne).

Takže pre lichobežníkový ABCD so základňami AD a BC (BC = a, AD = b) sme dokázali, že segment:

1) MN, spájajúca stredy bočných strán lichobežníka, je rovnobežná so základňami a rovná sa ich polovičnému súčtu (aritmetický priemer čísel a a b);

2) PK prechádzajúca bodom prieniku lichobežníkových uhlopriečok rovnobežných so základňami je rovná
2ab / (a+ b) (harmonický priemer čísiel a a b);

3) LF rozdelenie lichobežníka na dva podobné lichobežníky má dĺžku rovnajúcu sa priemeru geometrické čísla a a b, √ (ab);

4) EH, rozdeľujúca lichobežník na dve rovnaké veľkosti, má dĺžku √ ((a 2 + b 2) / 2) (priemer druhej mocniny čísel a a b).

Znak a majetok zapísaného a popísaného lichobežníka.

Zapísaná lichobežníková vlastnosť: lichobežník môže byť zapísaný do kruhu iba vtedy, ak je rovnoramenný.

Vlastnosti opísaného lichobežníka. Lichobežník je možné popísať okolo kruhu vtedy a len vtedy, ak sa súčet dĺžok základní rovná súčtu dĺžok bočných strán.

Užitočné dôsledky skutočnosti, že kruh je vpísaný do lichobežníka:

1. Výška lichobežníka je rovná dvom vpísaným polomerom kruhu.

2. Bočná strana popísaného lichobežníka je viditeľná zo stredu zapísanej kružnice v pravom uhle.

Prvá je zrejmá. Na dokázanie druhého dôsledku je potrebné stanoviť, že uhol COD je priamy, čo tiež nie je ťažké. Ale znalosť tohto dôsledku vám umožňuje pri riešení problémov používať pravouhlý trojuholník.

Konkretizujeme dôsledky pre rovnoramenný ohraničený lichobežník:

Výška rovnoramenného popísaného lichobežníka je geometrický priemer základne lichobežníka
h = 2r = √ (ab).

Uvažované vlastnosti vám umožnia hlbšie porozumieť lichobežníku a zaistiť úspech pri riešení problémov s aplikáciou jeho vlastností.

Stále máte otázky? Nie ste si istí, ako vyriešiť problémy s lichobežníkom?
Ak chcete získať pomoc od tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Zvážte niekoľko smerov na riešenie problémov, v ktorých je lichobežník vpísaný do kruhu.

Kedy sa môže lichobežník zmestiť do kruhu? Štvoruholník môže byť zapísaný do kruhu práve vtedy, ak je súčet jeho opačných uhlov 180 °. Preto z toho vyplýva do kruhu je možné vpísať iba rovnoramenný lichobežník.

Polomer kruhu ohraničeného okolo lichobežníka možno nájsť ako polomer kruhu ohraničeného okolo jedného z dvoch trojuholníkov, do ktorých lichobežník rozdeľuje svoju uhlopriečku.

Kde je stred kruhu okolo lichobežníka? Závisí to od uhla medzi uhlopriečkou lichobežníka a jeho stranou.

Ak je uhlopriečka lichobežníka kolmá na jeho bočnú stranu, potom stred kruhu popísaného o lichobežníku leží v strede jeho väčšej základne. Polomer kruhu ohraničeného okolo lichobežníka je v tomto prípade rovný polovici jeho väčšej základne:

Ak uhlopriečka lichobežníka zviera s bočnou stranou ostrý uhol, stred kružnice opísanej okolo lichobežníka leží vo vnútri lichobežníka.

Ak sa uhlopriečka lichobežníka tvorí s bokom Tupý uhol, stred kruhu popísaného o lichobežníku leží mimo lichobežníka, za veľkou základňou.

Polomer kruhu ohraničeného okolo lichobežníka zistíme z dôvodu vety o sínusoch. Z trojuholníka ACD

Z trojuholníka ABC

Ďalšou možnosťou, ako nájsť polomer opísanej kružnice, je

Sínusy uhla D a uhla CAD nájdete napríklad od pravouhlé trojuholníky CFD a ACF:

Pri riešení problémov s lichobežníkom vpísaným do kruhu môžete tiež využiť skutočnosť, že zapísaný uhol sa rovná polovici zodpovedajúceho stredového uhla. Napríklad,

Mimochodom, na nájdenie oblasti lichobežníka môžete použiť aj uhly CHSK a CAD. Podľa vzorca na nájdenie oblasti štvoruholníka cez jeho uhlopriečky