Rešebnik Kuznecov.
III Grafy

Úloha 7. Vykonajte kompletnú štúdiu funkcie a vytvorte jej graf.

        Skôr ako začnete sťahovať svoje možnosti, skúste problém vyriešiť podľa príkladu nižšie pre možnosť 3. Niektoré možnosti sú archivované vo formáte .rar

        7.3 Vykonajte kompletnú štúdiu funkcie a zakreslite ju

Riešenie.

        1) Rozsah:         alebo         t.j.        .
.
Teda:         .

        2) Neexistujú žiadne priesečníky s osou Ox. V skutočnosti rovnica         nemá žiadne riešenia.
Neexistujú žiadne priesečníky s osou Oy, pretože        .

        3) Funkcia nie je párna ani nepárna. Neexistuje žiadna symetria okolo osi y. Ani o pôvode nie je symetria. Pretože
.
Vidíme, že         a        .

        4) Funkcia je spojitá v doméne
.

; .

; .
Preto je bod         bodom diskontinuity druhého druhu (nekonečná diskontinuita).

5) Vertikálne asymptoty:       

Nájdite šikmú asymptotu        . Tu

;
.
Preto máme horizontálnu asymptotu: y=0. Neexistujú žiadne šikmé asymptoty.

        6) Nájdite prvú deriváciu. Prvá derivácia:
.
A preto
.
Nájdite stacionárne body, v ktorých sa derivácia rovná nule, tj
.

        7) Nájdite druhú deriváciu. Druhý derivát:
.
A to je ľahké overiť, pretože

Táto lekcia sa zaoberá témou „Skúmanie funkcií a súvisiacich úloh“. Táto lekcia pojednáva o konštrukcii grafov funkcií pomocou derivácií. Študuje sa funkcia, skonštruuje sa jej graf a rieši sa množstvo súvisiacich problémov.

Téma: Derivát

Lekcia: Skúmanie funkciea súvisiace úlohy

Je potrebné túto funkciu preskúmať, zostaviť graf, nájsť intervaly monotónnosti, maximá, minimá a aké úlohy sprevádzajú znalosť tejto funkcie.

Najprv naplno využijeme informácie, ktoré poskytuje funkcia bez derivácie.

1. Nájdite intervaly stálosti funkcie a zostavte náčrt grafu funkcie:

1) Nájdite.

2) Korene funkcie: , odtiaľto

3) Intervaly stálosti funkcie (pozri obr. 1):

Ryža. 1. Intervaly konštantného znamienka funkcie.

Teraz vieme, že na intervale a graf je nad osou X, na intervale - pod osou X.

2. Zostrojme graf v blízkosti každého koreňa (pozri obr. 2).

Ryža. 2. Graf funkcie v okolí koreňa.

3. Zostavme graf funkcie v blízkosti každého bodu nespojitosti definičného oboru. Doména definície sa zlomí v bode . Ak je hodnota blízka bodu , potom má hodnota funkcie tendenciu (pozri obr. 3).

Ryža. 3. Graf funkcie v okolí bodu nespojitosti.

4. Určme, ako vedie graf v okolí nekonečne vzdialených bodov:

Poďme písať pomocou limitov

. Je dôležité, že pre veľmi veľké sa funkcia takmer nelíši od jednoty.

Nájdeme deriváciu, intervaly jej stálosti a budú to intervaly monotónnosti funkcie, nájdime tie body, v ktorých sa derivácia rovná nule, a zistime, kde je maximálny bod, kde je minimálny bod.

Preto, . Tieto body sú vnútornými bodmi domény definície. Poďme zistiť, aké je znamienko derivácie na intervaloch a ktorý z týchto bodov je maximálny a ktorý minimálny (pozri obr. 4).

Ryža. 4. Intervaly konštantného znamienka derivácie.

Z obr. 4 je vidieť, že bod je minimálny bod, bod je maximálny bod. Hodnota funkcie v bode je . Hodnota funkcie v bode je 4. Teraz nakreslíme funkciu (pozri obr. 5).

Ryža. 5. Graf funkcie.

Takto postavený funkčný graf. Poďme si to popísať. Napíšme intervaly, na ktorých funkcia monotónne klesá: , - to sú intervaly, v ktorých je derivácia záporná. Funkcia monotónne narastá na intervaloch a . - minimálny bod, - maximálny bod.

Nájdite počet koreňov rovnice v závislosti od hodnôt parametrov.

1. Zostavte graf funkcie. Graf tejto funkcie je zostavený vyššie (pozri obr. 5).

2. Vystrihnite graf s rodinou rovných čiar a napíšte odpoveď (pozri obr. 6).

Ryža. 6. Priesečník grafu funkcie s priamkami.

1) Pre - jedno riešenie.

2) Pre - dve riešenia.

3) Pre - tri riešenia.

4) Pre - dve riešenia.

5) At - tri riešenia.

6) At - dve riešenia.

7) At - jedno riešenie.

Tým sme vyriešili jeden z dôležitých problémov, a to zistenie počtu riešení rovnice v závislosti od parametra . Môžu existovať rôzne špeciálne prípady, napríklad v ktorých bude jedno riešenie alebo dve riešenia alebo tri riešenia. Všimnite si, že tieto špeciálne prípady, všetky odpovede na tieto špeciálne prípady sú obsiahnuté vo všeobecnej odpovedi.

1. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie ( úroveň profilu) vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Zošit úloh pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartburd S.I. Algebra a matematická analýza pre ročník 10 ( tutoriál pre študentov škôl a tried s hĺbkovým štúdiom matematiky).-M .: Vzdelávanie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Hĺbkové štúdium algebry a matematickej analýzy.-M.: Education, 1997.

5. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov na technické univerzity (pod redakciou M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraický tréner.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra a začiatky analýzy. 8-11 bunky: Príručka pre školy a triedy s prehĺbeným štúdiom matematiky (didaktické materiály) - M .: Drofa, 2002.

8. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Úlohy z algebry a začiatky analýzy (príručka pre študentov 10. až 11. ročníka všeobecných vzdelávacích inštitúcií).-M .: Vzdelávanie, 2003.

9. Karp A.P. Zbierka úloh z algebry a začiatky analýzy: učebnica. príspevok na 10-11 buniek. s hlbokým štúdium matematika.-M.: Vzdelávanie, 2006.

10. Glazer G.I. História matematiky v škole. Ročníky 9-10 (príručka pre učiteľov).-M.: Osveta, 1983

Ďalšie webové zdroje

2. Portál Prírodné vedy ().

robiť doma

č. 45.7, 45.10 (Algebra a začiatky analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Zošit úloh pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu) spracoval A. G. Mordkovich. - M .: Mnemozina, 2007.)

Pri vytváraní funkčných grafov je užitočné dodržiavať nasledujúci plán:

1. Nájdite doménu funkcie a určte zarážky, ak nejaké existujú.

2. Nastavte, či je funkcia párna alebo nepárna alebo žiadna. Ak je funkcia párna alebo nepárna, potom stačí zvážiť jej hodnoty pre x>0 a potom, symetricky okolo osi OY alebo začiatku súradníc, ju obnovte a pre hodnoty X<0 .

3. Preskúmajte periodicitu funkcie. Ak je funkcia periodická, stačí ju zvážiť na jednej perióde.

4. Nájdite priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami (ak je to možné)

5. Vykonajte štúdiu funkcie do extrému a nájdite intervaly nárastu a poklesu funkcie.

6. Nájdite inflexné body krivky a intervaly konvexnosti, konkávnosti funkcie.

7. Nájdite asymptoty grafu funkcie.

8. Pomocou výsledkov krokov 1-7 vytvorte graf funkcie. Niekedy sa pre väčšiu presnosť nájde niekoľko ďalších bodov; ich súradnice sa vypočítajú pomocou rovnice krivky.

Príklad. Funkcia Preskúmať y=x 3-3x a zostavte graf.

1) Funkcia je definovaná na intervale (-∞; +∞). Neexistujú žiadne body zlomu.

2) Funkcia je nepárna, pretože f(-x) = -x 3 -3 (-x) = -x 3 +3x = -f(x), preto je symetrický vzhľadom na pôvod.

3) Funkcia nie je periodická.

4) Priesečníky grafu so súradnicovými osami: x 3 -3x \u003d 0, x \u003d, x \u003d -, x \u003d 0, tie. graf funkcie pretína súradnicové osi v bodoch: ( ; 0 ), (0; 0 ), (-; 0 ).

5) Nájdite body možného extrému: y′ \u003d 3x 2 -3; 3x 2-3=0; x =-1; x = 1. Oblasť definície funkcie bude rozdelená na intervaly: (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞). Nájdite znamienka derivácie v každom výslednom intervale:

V intervale (-∞; -1) y′>0 – funkcia sa zvyšuje

V intervale (-1; 1) y′<0 – funkcia sa znižuje

Na intervale (1; +∞) y′>0 – funkcia sa zvyšuje. Bodka x =-1 - maximálny bod; x = 1 - minimálny bod.

6) Nájdite inflexné body: y′′ = 6x; 6x = 0; x = 0. Bodka x = 0 rozdeľuje doménu definície na intervaly (-∞; 0), (0; +∞). Nájdite znamienka druhej derivácie v každom výslednom intervale:

V intervale (-∞;0) y′′<0 – konvexná funkcia

Na intervale (0; +∞) y′′>0 – konkávna funkcia. x = 0- inflexný bod.

7) Graf nemá asymptotu

8) Zostavme graf funkcie:

Príklad. Preskúmajte funkciu a nakreslite jej graf.

1) Definičným oborom funkcie sú intervaly (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Oblasť hodnoty tejto funkcie je interval (-¥; ¥).

Body zlomu funkcie sú body x = 1, x = -1.

2) Funkcia je nepárna, pretože .

3) Funkcia nie je periodická.

4) Graf pretína súradnicové osi v bode (0; 0).

5) Nájdite kritické body.

Kritické body: X = 0; X = -; X = ; X = -1; X = 1.

Nájdite intervaly nárastu a poklesu funkcie. Na to určíme znamienka derivácie funkcie na intervaloch.

-¥ < X< -, y¢> 0, funkcia je rastúca

-< X < -1, r¢ < 0, функция убывает

1 < X < 0, r¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, r¢ < 0, функция убывает

1 < X < , r¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, r¢ > 0, funkcia sa zvyšuje

Je vidieť, že pointa X= - je maximálny bod a bod X= je minimálny bod. Funkčné hodnoty v týchto bodoch sú 3/2 a -3/2.

6) Nájdite druhú deriváciu funkcie

Šikmá asymptotová rovnica: y=x.

8) Zostavme graf funkcie.

Úlohou je: vykonať kompletnú štúdiu funkcie a zostaviť jej graf.

Každý študent si prešiel podobnými úlohami.

To, čo nasleduje, predpokladá dobré znalosti. Ak máte nejaké otázky, odporúčame vám prečítať si túto časť.

Algoritmus výskumu funkcií pozostáva z nasledujúcich krokov.

Nájdenie rozsahu funkcie.

Toto je veľmi dôležitý krok funkčný výskum, keďže všetky ďalšie činnosti sa budú vykonávať v oblasti definície.

V našom príklade musíme nájsť nuly menovateľa a vylúčiť ich z oblasti reálnych čísel.



(V iných príkladoch môžu existovať korene, logaritmy atď. Pripomeňme, že v týchto prípadoch sa doména hľadá takto:
pre odmocninu párneho stupňa, napríklad, - doména definície sa zistí z nerovnosti ;
pre logaritmus - definičný obor sa zistí z nerovnosti ).

Skúmanie správania sa funkcie na hranici definičného oboru, nájdenie vertikálne asymptoty.

Na hraniciach definičného oboru má funkcia vertikálne asymptoty, ak sú v týchto hraničných bodoch nekonečné.

V našom príklade sú hraničné body oblasti definície .

Skúmame správanie funkcie pri približovaní sa k týmto bodom zľava a sprava, pre ktoré nájdeme jednostranné limity:


Keďže jednostranné limity sú nekonečné, čiary sú zvislé asymptoty grafu.

Vyšetrovanie funkcie pre párnu alebo nepárnu paritu.

Funkcia je dokonca, ak . Parita funkcie udáva symetriu grafu okolo osi y.

Funkcia je zvláštny, ak . Nepárnosť funkcie udáva symetriu grafu vzhľadom na počiatok.

Ak nie je splnená žiadna z rovnosti, máme funkciu všeobecného tvaru.

V našom príklade platí rovnosť, preto je naša funkcia párna. Zohľadníme to pri vykresľovaní grafu - bude symetrický podľa osi y.

Hľadanie intervalov rastúcich a klesajúcich funkcií, extrémne body.

Intervaly nárastu a poklesu sú riešeniami nerovností resp.

Body, v ktorých derivácia mizne, sa nazývajú stacionárne.

Kritické body funkcie volajte vnútorné body definičného oboru, v ktorom je derivácia funkcie rovná nule alebo neexistuje.

KOMENTÁR(či zahrnúť kritické body do intervalov nárastu a poklesu).

Kritické body zahrnieme do vzostupných a zostupných intervalov, ak patria do oblasti funkcie.

Touto cestou, určiť intervaly nárastu a poklesu funkcie

• najprv nájdeme derivát;
• po druhé, nájdeme kritické body;
• po tretie, oblasť definície rozdeľujeme podľa kritických bodov na intervaly;
• po štvrté, určíme znamienko derivácie na každom z intervalov. Znamienko plus bude zodpovedať intervalu zvyšovania, znamienko mínus - intervalu poklesu.

Choď!

Deriváciu nájdeme na doméne definície (v prípade ťažkostí pozri časť).


Nájdeme na to kritické body:

Dali sme tieto body číselná os a určiť znamienko derivácie vo vnútri každého výsledného intervalu. Prípadne môžete vziať ľubovoľný bod v intervale a vypočítať hodnotu derivácie v tomto bode. Ak je hodnota kladná, vložte znamienko plus nad tento interval a prejdite na ďalší, ak je záporná, zadajte mínus atď. napr. , preto dáme plus nad prvý interval vľavo.


Dospeli sme k záveru:

Schematicky plusy / mínusy označujú intervaly, v ktorých je derivácia kladná / záporná. Vzostupné / zostupné šípky ukazujú vzostupný / zostupný smer.

extrémne body funkcie sú body, v ktorých je funkcia definovaná a prechádza cez ktoré derivácia mení znamienko.

V našom príklade je extrémny bod x=0. Hodnota funkcie v tomto bode je . Keďže derivácia pri prechode bodom x=0 mení znamienko z plus na mínus, potom (0; 0) je lokálny maximálny bod. (Ak by derivácia zmenila znamienko z mínus na plus, potom by sme mali lokálny minimálny bod).

Hľadanie intervalov konvexnosti a konkávnosti funkcie a inflexných bodov.

Intervaly konkávnosti a konvexnosti funkcie sa zistia riešením nerovníc, resp.

Niekedy sa konkávnosť nazýva klesajúca konvexnosť a konvexita sa nazýva vzostupná konvexnosť.

Aj tu platia poznámky podobné tým z odseku o intervaloch nárastu a poklesu.

Touto cestou, určiť rozsahy konkávnosti a konvexnosti funkcie:

• najprv nájdeme druhú deriváciu;
• po druhé, nájdeme nuly v čitateli a menovateli druhej derivácie;
• po tretie, doménu definície rozdelíme získanými bodmi na intervaly;
• po štvrté, určíme znamienko druhej derivácie na každom z intervalov. Znamienko plus bude zodpovedať intervalu konkávnosti, znamienko mínus - konvexnému intervalu.

Choď!

Druhú deriváciu nájdeme na doméne definície.


V našom príklade neexistujú žiadne nuly v čitateli, nuly v menovateli.

Tieto body umiestnime na reálnu os a určíme znamienko druhej derivácie vo vnútri každého výsledného intervalu.



Dospeli sme k záveru:

Pointa sa volá inflexný bod, ak v danom bode existuje dotyčnica ku grafu funkcie a druhá derivácia funkcie pri prechode mení znamienko .

Inými slovami, inflexné body môžu byť body, cez ktoré druhá derivácia mení znamienko, v bodoch samých sa rovná nule alebo neexistujú, ale tieto body sú zahrnuté v definičnom obore funkcie.

V našom príklade neexistujú žiadne inflexné body, pretože druhá derivácia pri prechode bodmi mení znamienko a nie sú zahrnuté v definičnom obore funkcie.

Hľadanie horizontálnych a šikmých asymptot.

Horizontálne alebo šikmé asymptoty by sa mali hľadať iba vtedy, keď je funkcia definovaná v nekonečne.

Šikmé asymptoty sa hľadajú vo forme priamych čiar , kde a .

Ak k=0 a b sa nerovná nekonečnu, potom sa stane šikmá asymptota horizontálne.

Kto sú vlastne tieto asymptoty?

Sú to čiary, ku ktorým sa graf funkcie približuje v nekonečne. Preto veľmi pomáhajú pri vykresľovaní funkcie.

Ak neexistujú žiadne horizontálne alebo šikmé asymptoty, ale funkcia je definovaná v plus nekonečne a/alebo mínus nekonečne, potom by sa mala vypočítať limita funkcie v plus nekonečne a/alebo mínus nekonečne, aby ste získali predstavu o správaní funkčný graf.

Pre náš príklad

je horizontálna asymptota.

Tým je štúdium funkcie ukončené, pristúpime k vykresľovaniu.

Hodnoty funkcií vypočítame v medziľahlých bodoch.

Pre presnejšie vykresľovanie odporúčame nájsť niekoľko funkčných hodnôt v medziľahlých bodoch (to znamená v ľubovoľných bodoch z oblasti definície funkcie).

Pre náš príklad nájdime hodnoty funkcie v bodoch x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4. Vďaka parite funkcie sa tieto hodnoty budú zhodovať s hodnotami v bodoch x=2, x=1, x=3/4, x=1/4.


Zostavenie grafu.

Najprv zostavíme asymptoty, nakreslíme body lokálnych maxím a miním funkcie, inflexné body a medziľahlé body. Pre pohodlie vykresľovania môžete použiť aj schematické označenie intervalov nárastu, poklesu, konvexnosti a konkávnosti, nie nadarmo sme študovali funkciu =).


Zostáva nakresliť čiary grafu cez označené body, priblížiť sa k asymptotám a sledovať šípky.


Týmto majstrovským dielom výtvarné umenieúloha úplného preskúmania funkcie a vykreslenia je dokončená.

Grafy niektorých elementárne funkcie možno zostaviť pomocou grafov základných elementárnych funkcií.

Ak je v úlohe potrebné vykonať úplnú štúdiu funkcie f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 s konštrukciou jej grafu, potom tento princíp podrobne zvážime.

Na vyriešenie problému tohto typu je potrebné použiť vlastnosti a grafy hlavných elementárnych funkcií. Algoritmus výskumu zahŕňa nasledujúce kroky:

Nájdenie domény definície

Keďže výskum sa vykonáva na doméne funkcie, je potrebné začať týmto krokom.

Príklad 1

pozadu uvedený príklad zahŕňa nájdenie núl menovateľa s cieľom vylúčiť ich z DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; +∞

V dôsledku toho môžete získať korene, logaritmy atď. Potom možno ODZ hľadať koreň párneho stupňa typu g (x) 4 pomocou nerovnosti g (x) ≥ 0 , pre logaritmus log a g (x) nerovnosťou g (x) > 0 .

Skúmanie hraníc ODZ a hľadanie vertikálnych asymptot

Na hraniciach funkcie sú vertikálne asymptoty, kedy sú jednostranné limity v takýchto bodoch nekonečné.

Príklad 2

Uvažujme napríklad hraničné body rovné x = ± 1 2 .

Potom je potrebné študovať funkciu na nájdenie jednostrannej limity. Potom dostaneme, že: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = limit x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ limit x → 1 2 - 0 f (x) = limit x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = limit x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

To ukazuje, že jednostranné limity sú nekonečné, čo znamená, že čiary x = ± 1 2 sú zvislé asymptoty grafu.

Vyšetrenie funkcie a pre párne alebo nepárne

Keď je splnená podmienka y (- x) = y (x), funkcia sa považuje za párnu. To naznačuje, že graf je umiestnený symetricky vzhľadom na O y. Keď je splnená podmienka y (- x) = - y (x), funkcia sa považuje za nepárnu. To znamená, že symetria ide vzhľadom na pôvod súradníc. Ak zlyhá aspoň jedna nerovnosť, získame funkciu všeobecného tvaru.

Splnenie rovnosti y (- x) = y (x) znamená, že funkcia je párna. Pri konštrukcii je potrebné počítať s tým, že vzhľadom na O y bude symetria.

Na vyriešenie nerovnosti sa používajú intervaly nárastu a poklesu s podmienkami f "(x) ≥ 0 a f" (x) ≤ 0.

Definícia 1

Stacionárne body sú body, ktoré otočia deriváciu na nulu.

Kritické body sú vnútorné body z oblasti, kde sa derivácia funkcie rovná nule alebo neexistuje.

Pri rozhodovaní je potrebné vziať do úvahy nasledujúce body:

• pre existujúce intervaly nárastu a poklesu nerovnosti tvaru f "(x) > 0 nie sú kritické body zahrnuté do riešenia;
• body, v ktorých je funkcia definovaná bez konečnej derivácie, musia byť zahrnuté do intervalov nárastu a poklesu (napríklad y \u003d x 3, kde bod x \u003d 0 robí funkciu definovanú, derivácia má hodnotu nekonečna v tomto bode je y " \u003d 1 3 x 2 3, y " (0) = 1 0 = ∞, x = 0 zahrnuté do intervalu nárastu);
• aby sa predišlo nezhodám, odporúča sa používať matematickú literatúru, ktorú odporúča ministerstvo školstva.

Zahrnutie kritických bodov do intervalov zvyšovania a znižovania v prípade, že spĺňajú definičný obor funkcie.

Definícia 2

Pre určenie intervalov nárastu a poklesu funkcie, je potrebné nájsť:

• derivát;
• kritické body;
• rozdeliť oblasť definície pomocou kritických bodov na intervaly;
• určite znamienko derivácie v každom z intervalov, kde + je nárast a - je pokles.

Príklad 3

Nájdite deriváciu na doméne f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Riešenie

Na vyriešenie potrebujete:

• nájdite stacionárne body, tento príklad má x = 0 ;
• nájdite nuly menovateľa, príklad má hodnotu nula v x = ± 1 2 .

Vystavíme body na číselnej osi, aby sme určili deriváciu na každom intervale. Na to stačí zobrať ľubovoľný bod z intervalu a vykonať výpočet. o pozitívny výsledok na grafe zobrazujeme +, čo znamená zvýšenie funkcie a - znamená jej zníženie.

Napríklad f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, čo znamená, že prvý interval vľavo má znamienko +. Zvážte číslo riadok.

odpoveď:

• dochádza k nárastu funkcie na intervale - ∞ ; -12 a (-12; 0];
• dochádza k poklesu na intervale [0; 12) a 12; +∞ .

V diagrame je pomocou + a - znázornená pozitivita a negativita funkcie a šípky označujú klesanie a zvyšovanie.

Extrémne body funkcie sú body, kde je funkcia definovaná a cez ktoré derivácia mení znamienko.

Príklad 4

Ak vezmeme do úvahy príklad, kde x \u003d 0, potom hodnota funkcie v ňom je f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Keď sa znamienko derivácie zmení z + na - a prechádza bodom x \u003d 0, za maximálny bod sa považuje bod so súradnicami (0; 0). Keď sa znamienko zmení z - na +, dostaneme minimálny bod.

Konvexnosť a konkávnosť sú určené riešením nerovností tvaru f "" (x) ≥ 0 a f "" (x) ≤ 0 . Menej často používajú názov vydutie nadol namiesto konkávnosti a vydutie nahor namiesto vydutie.

Definícia 3

Pre určenie medzier konkávnosti a konvexnosti potrebné:

• nájsť druhú deriváciu;
• nájdite nuly funkcie druhej derivácie;
• zlomiť doménu definície bodmi, ktoré sa objavujú v intervaloch;
• určiť znamienko medzery.

Príklad 5

Nájdite druhú deriváciu z oblasti definície.

Riešenie

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Nájdeme nuly čitateľa a menovateľa, kde pomocou nášho príkladu platí, že nuly menovateľa x = ± 1 2

Teraz musíte umiestniť body na číselnú os a určiť znamienko druhej derivácie z každého intervalu. Chápeme to

odpoveď:

• funkcia je konvexná z intervalu - 1 2 ; 12;
• funkcia je konkávna z medzier - ∞ ; - 1 2 a 1 2; +∞ .

Definícia 4

inflexný bod je bod v tvare x 0 ; f(x0) . Keď má dotyčnicu ku grafu funkcie, potom keď prechádza cez x 0, funkcia zmení znamienko na opačné.

Inými slovami, toto je taký bod, cez ktorý prechádza druhá derivácia a mení znamienko a v samotných bodoch sa rovná nule alebo neexistuje. Všetky body sa považujú za doménu funkcie.

V príklade bolo vidieť, že neexistujú žiadne inflexné body, pretože druhá derivácia mení znamienko pri prechode cez body x = ± 1 2 . Na druhej strane nie sú zahrnuté do oblasti definície.

Hľadanie horizontálnych a šikmých asymptot

Pri definovaní funkcie v nekonečne treba hľadať vodorovné a šikmé asymptoty.

Definícia 5

Šikmé asymptoty sú nakreslené pomocou čiar daných rovnicou y = k x + b, kde k = lim x → ∞ f (x) x a b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Pre k = 0 a b, ktoré sa nerovná nekonečnu, zistíme, že šikmá asymptota sa stáva horizontálne.

Inými slovami, asymptoty sú čiary, ku ktorým sa graf funkcie približuje v nekonečne. To prispieva k rýchlej konštrukcii grafu funkcie.

Ak neexistujú žiadne asymptoty, ale funkcia je definovaná v oboch nekonečnách, je potrebné vypočítať limitu funkcie v týchto nekonečnách, aby sme pochopili, ako sa bude graf funkcie správať.

Príklad 6

Zvážte to napríklad

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - kx) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

je horizontálna asymptota. Po preskúmaní funkcie ju môžete začať budovať.

Výpočet hodnoty funkcie v medziľahlých bodoch

Aby bolo vykresľovanie čo najpresnejšie, odporúča sa nájsť niekoľko hodnôt funkcie v medziľahlých bodoch.

Príklad 7

Z príkladu, ktorý sme zvážili, je potrebné nájsť hodnoty funkcie v bodoch x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Keďže funkcia je párna, dostaneme, že hodnoty sa zhodujú s hodnotami v týchto bodoch, to znamená, že dostaneme x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Napíšeme a vyriešime:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Na určenie maxím a miním funkcie, inflexných bodov, medziľahlých bodov je potrebné postaviť asymptoty. Pre pohodlné označenie sú stanovené intervaly nárastu, poklesu, konvexnosti, konkávnosti. Zvážte obrázok nižšie.

Cez označené body je potrebné nakresliť čiary grafu, čo vám umožní priblížiť sa k asymptotám podľa šípok.

Týmto sa kompletná štúdia funkcie končí. Existujú prípady konštrukcie niektorých elementárnych funkcií, na ktoré sa používajú geometrické transformácie.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter