Логарифм дегеніміз не?

Назар аударыңыз!
Қосымша бар
555 арнайы бөлімдегі материалдар.
Өте «өте емес ...» адамдар үшін
Ал «өте біркелкі...» адамдар үшін)

Логарифм дегеніміз не? Логарифмдерді қалай шешесіз? Бұл сұрақтар көптеген түлектерді шатастырады. Дәстүр бойынша логарифмдер тақырыбы қиын, түсініксіз және қорқынышты болып саналады. Әсіресе – логарифмдері бар теңдеулер.

Бұл мүлде олай емес. Мүлдем! Маған сенбейсіз бе? Жақсы. Енді, шамамен 10-20 минуттан кейін сіз:

1. Түсіну логарифм дегеніміз не.

2. Бүкіл сыныпты шешуге үйрету көрсеткіштік теңдеулер... Сіз олар туралы естімеген болсаңыз да.

3. Қарапайым логарифмдерді есептеуді үйрену.

Бұл үшін сізге тек көбейту кестесін білу керек, бірақ санның дәрежеге қалай көтерілетіні ...

Мен сіздің күмәніңіз бар деп ойлаймын ... Уақытты бақылаңыз! Бар!

Мына теңдеуді басыңызда шешуден бастаңыз:

Бұл сайт ұнаса...

Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)

Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге ​​болады. Лезде валидация сынағы. Оқу - қызығушылықпен!)

функциялармен және туындылармен танысуға болады.

Сонымен, біздің алдымызда екі күш бар. Егер сіз санды төменгі жолдан алсаңыз, онда сіз бұл санды алу үшін екі көтеру керек дәрежесін оңай таба аласыз. Мысалы, 16-ны алу үшін екіден төртінші дәрежеге дейін көтеру керек. Ал 64 алу үшін екіден алтыншы дәрежеге дейін көтеру керек. Мұны кестеден көруге болады.

Ал енді - шын мәнінде, логарифмнің анықтамасы:

х аргументінің а логарифмдік негізі х санын алу үшін а санын көтеру керек дәреже болып табылады.

Белгі: log a x = b, мұндағы a - негіз, x - аргумент, b - шын мәнінде логарифм.

Мысалы, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8-дің 2-негізі үш, өйткені 2 3 = 8). Бірдей табыс журналымен 2 64 = 6, өйткені 2 6 = 64.

Берілген негіздегі санның логарифмін табу операциясы логарифм деп аталады. Сонымен, кестемізге жаңа жолды қосайық:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	журнал 2 8 = 3	журнал 2 16 = 4	журнал 2 32 = 5	журнал 2 64 = 6

Өкінішке орай, барлық логарифмдер оңай есептелмейді. Мысалы, 2 журналын табуға тырысыңыз 5. 5 саны кестеде жоқ, бірақ логика логарифм сегменттің бір жерінде болатынын айтады. Өйткені 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Мұндай сандар иррационал деп аталады: ондық бөлшектен кейінгі сандар шексіз жазылуы мүмкін және олар ешқашан қайталанбайды. Егер логарифм иррационал болып шықса, оны осылай қалдырған дұрыс: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Логарифм екі айнымалысы бар өрнек (негіз және аргумент) екенін түсіну маңызды. Бастапқыда көпшіліктің негізі қай жерде, ал аргумент қай жерде екенін білмей абдырап қалады. Болдырмау үшін тітіркендіргіш түсінбеушілік, жай ғана суретке қараңыз:

Біздің алдымызда логарифмнің анықтамасынан басқа ештеңе жоқ. Есіңізде болсын: логарифм – дәрежедәлелді алу үшін негізді көтеру керек. Бұл қуатқа көтерілетін негіз - суретте ол қызыл түспен белгіленген. База әрқашан төменгі жағында болады екен! Мен бұл тамаша ережені студенттеріме ең бірінші сабақта айтамын - және ешқандай шатасушылық болмайды.

Біз анықтаманы анықтадық - логарифмдерді қалай санауды үйрену қалады, яғни. журнал белгісінен құтылыңыз. Алдымен, анықтамадан екі маңызды факті шығатынын атап өтеміз:

1. Аргумент пен радикс әрқашан нөлден үлкен болуы керек. Бұл дәреженің анықтамасынан туындайды рационалды көрсеткіш, оған логарифмнің анықтамасы қысқарады.
2. Негіз біреуден өзгеше болуы керек, өйткені біреуі кез келген дәрежеде бір. Осыған байланысты «екі алу үшін бірлікті қандай дәрежеге көтеру керек» деген сұрақ мағынасыз. Ондай дәреже жоқ!

Мұндай шектеулер деп аталады жарамды мәндер ауқымы(ОДЗ). Логарифмнің ОДЗ келесідей болады: log a x = b ⇒ x> 0, a> 0, a ≠ 1.

b санына (логарифм мәні) шектеу жоқ екенін ескеріңіз. Мысалы, логарифм теріс болуы мүмкін: log 2 0,5 = −1, өйткені 0,5 = 2 −1.

Дегенмен, қазір біз тек сандық өрнектерді қарастырамыз, мұнда логарифмнің ODV-ін білу қажет емес. Барлық шектеулерді тапсырма компиляторлары ескеріп қойған. Бірақ логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер енгізілгенде, DHS талаптары міндетті болады. Шынында да, негізде және дәлелде жоғарыда аталған шектеулерге сәйкес келмейтін өте күшті конструкциялар болуы мүмкін.

Енді логарифмдерді есептеудің жалпы схемасын қарастырайық. Ол үш қадамнан тұрады:

1. a радиксисін және х аргументін мүмкін болатын ең кіші радикс бірден үлкен дәреже ретінде көрсетіңіз. Жолда ондық бөлшектерден құтылу жақсы;
2. b айнымалысы үшін теңдеуді шешіңіз: x = a b;
3. Нәтижесінде b саны жауап болады.

Осымен болды! Егер логарифм иррационал болып шықса, бұл бірінші қадамда көрінеді. Негіздің біреуден үлкен болуы талабы өте өзекті: бұл қате ықтималдығын азайтады және есептеулерді айтарлықтай жеңілдетеді. Сол сияқты ондық бөлшектер: егер сіз оларды бірден кәдімгіге аударсаңыз, қателер бірнеше есе аз болады.

Бұл схема нақты мысалдармен қалай жұмыс істейтінін көрейік:

Тапсырма. Журналды есептеңіз: log 5 25

1. Негіз мен аргументті бестің дәрежесі ретінде көрсетейік: 5 = 5 1; 25 = 5 2;
2. Теңдеуді құрастырып шешейік:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Жауап алынды: 2.

Тапсырма. Логарифмді есептеңіз:

Тапсырма. Журналды есептеңіз: log 4 64

1. Негіз мен аргументті екінің дәрежесі ретінде көрсетейік: 4 = 2 2; 64 = 2 6;
2. Теңдеуді құрастырып шешейік:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Жауап алынды: 3.

Тапсырма. Логарифмді есептеңіз: log 16 1

1. Негіз мен аргументті екінің дәрежесі ретінде көрсетейік: 16 = 2 4; 1 = 2 0;
2. Теңдеуді құрастырып шешейік:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Жауап алынды: 0.

Тапсырма. Журналды есептеңіз: log 7 14

1. Негіз мен аргументті жеті дәрежесі ретінде көрсетейік: 7 = 7 1; 14 жетінің дәрежесі ретінде көрсетілмейді, өйткені 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Алдыңғы абзацтан логарифм есептелмейтіні шығады;
3. Жауап өзгермейді: журнал 7 14.

Соңғы мысалға шағын ескерту. Санның басқа санның дәл дәрежесі емес екеніне қалай көз жеткізуге болады? Бұл өте қарапайым - жай ғана оны кеңейтіңіз негізгі факторлар... Ал егер мұндай факторларды бірдей көрсеткіштермен қуаттарда жинау мүмкін болмаса, онда бастапқы сан нақты қуат емес.

Тапсырма. Санның дәл дәрежелері болатынын табыңыз: 8; 48; 81; 35; он төрт.

8 = 2 2 2 = 2 3 - дәл дәреже, өйткені бір ғана фактор бар;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - дәл дәреже емес, өйткені екі фактор бар: 3 және 2;
81 = 9 9 = 3 3 3 3 3 = 3 4 - дәл дәреже;
35 = 7 · 5 - тағы да дәл дәреже емес;
14 = 7 2 - тағы да дәл дәреже емес;

Сондай-ақ жай сандар әрқашан өздерінің нақты қуаттары екенін ескеріңіз.

Ондық логарифм

Кейбір логарифмдердің кең таралғаны сонша, олардың арнайы атауы мен белгіленуі болады.

х-тің ондық логарифмі 10 журнал негізі, яғни. х санын алу үшін 10 санын көтеру керек дәреже. Белгіленуі: lg x.

Мысалы, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - т.б.

Енді оқулықта «Find lg 0.01» деген тіркес пайда болған кезде мынаны білу керек: бұл қате емес. ол ондық логарифм... Алайда, егер сіз мұндай белгілеуге үйренбеген болсаңыз, оны әрқашан қайта жаза аласыз:
log x = log 10 x

Қарапайым логарифмдерге қатысты барлық нәрсе ондық бөлшектер үшін де дұрыс.

Натурал логарифм

Өзіндік жазуы бар тағы бір логарифм бар. Бір жағынан, бұл ондық ондықтан да маңыздырақ. Бұл табиғи логарифм.

х-тің натурал логарифмі е логарифмдік негізі, яғни. х санын алу үшін е санын көтеру керек дәреже. Белгіленуі: ln x.

Көбісі сұрақ қояды: е саны тағы қандай? ол иррационал сан, оның нақты мағынасын тауып жазып алу мүмкін емес. Мен оның алғашқы сандарын ғана беремін:
e = 2,718281828459 ...

Біз бұл санның не екенін және ол не үшін қажет екенін зерттемейміз. Тек e табиғи логарифмнің негізі екенін есте сақтаңыз:
ln x = log e x

Осылайша, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - т.б. Екінші жағынан, ln 2 иррационал сан. Жалпы кез келгеннің натурал логарифмі рационал санқисынсыз. Әрине, бірліктерді қоспағанда: ln 1 = 0.

Натурал логарифмдер үшін қарапайым логарифмдер үшін дұрыс болатын барлық ережелер ақиқат.

(грек тілінен λόγος – «сөз», «қатыс» және ἀριθμός — «сан») сандар бсебеппен а(журнал α б) мұндай сан деп аталады в, және б= а с, яғни log α б=вжәне b = aвэквивалент болып табылады. Логарифм мағынасы болады, егер a> 0, және ≠ 1, b> 0 болса.

Басқа сөздермен айтқанда логарифмсандар бсебеппен асанды көтеру керек дәрежесінің көрсеткіші ретінде тұжырымдалады анөмірін алу үшін б(Тек оң сандарда логарифм болады).

Бұл тұжырым x = log α есептеуін білдіреді б, a x = b теңдеуін шешуге тең.

Мысалға:

log 2 8 = 3, себебі 8 = 2 3.

Логарифмнің көрсетілген тұжырымы бірден анықтауға мүмкіндік беретінін атап өтеміз логарифм мәні, логарифм таңбасының астындағы сан негіздің қандай да бір дәрежесі болғанда. Ал шындығында, логарифмді тұжырымдау, егер болса, дәлелдеуге мүмкіндік береді b = a c, содан кейін санның логарифмі бсебеппен атең бірге... Логарифм тақырыбы да тақырыппен тығыз байланысты екені анық санның дәрежесі.

Логарифмді есептеу деп аталады логарифмді алу арқылы... Логарифмді қабылдау – логарифмді қабылдаудың математикалық операциясы. Логарифмді қабылдағанда көбейткіштердің көбейтінділері мүшелердің қосындыларына түрленеді.

Потенциациялогарифмге кері математикалық операция болып табылады. Потенциацияда берілген негіз потенциация орындалатын өрнектің дәрежесіне көтеріледі. Бұл жағдайда мүшелердің қосындылары факторлардың көбейтіндісіне айналады.

Негізі 2 (екілік), е Эйлер саны e ≈ 2,718 (натурал логарифм) және 10 (ондық) болатын нақты логарифмдер жиі қолданылады.

Қосулы осы кезеңқарастырған жөн логарифмдердің үлгілеріжурнал 7 2 , лн √ 5, lg0,0001.

Ал lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 жазбалары мағынасы жоқ, өйткені олардың біріншісінде теріс сан логарифм таңбасының астына қойылады, екіншісінде - теріс сан негізі, ал үшіншісінде - логарифм белгісінің астындағы теріс сан және негізі бір.

Логарифмді анықтау шарттары.

a> 0, a ≠ 1, b> 0 шарттарын бөлек қарастырған жөн. логарифмнің анықтамасы.Бұл шектеулердің неліктен қабылданғанын қарастырайық. x = log α түріндегі теңдік б, жоғарыда келтірілген логарифмнің анықтамасынан тікелей шығатын негізгі логарифмдік сәйкестік деп аталады.

Шартты алайық a ≠ 1... Кез келген дәрежеде біреу бірге тең болғандықтан, теңдік x = log α бкезде ғана болуы мүмкін b = 1бірақ журнал 1 1 кез келген нақты сан болады. Бұл екіұштылықты жою үшін біз қабылдаймыз a ≠ 1.

Шарттың қажеттілігін дәлелдеп көрейік a> 0... Сағат a = 0логарифмнің тұжырымы бойынша ол тек үшін ғана өмір сүре алады b = 0... Және сәйкесінше журнал 0 0кез келген нөлдік емес нақты сан болуы мүмкін, өйткені кез келген нөлдік емес дәрежедегі нөл нөлге тең. Бұл екіұштылықты болдырмау үшін шарт беріледі a ≠ 0... Және қашан а<0 логарифмнің рационал және иррационал мәндерін талдаудан бас тартуға тура келеді, өйткені рационал және иррационал көрсеткіші бар дәреже тек теріс емес негіздер үшін анықталады. Сол себепті шарт қойылып отыр a> 0.

Және соңғы шарт b> 0теңсіздіктен шығады a> 0өйткені x = log α б, және оң базасы бар дәреженің мәні аәрқашан позитивті.

Логарифмдердің ерекшеліктері.

Логарифмдеререкшелігімен сипатталады Мүмкіндіктер, бұл олардың күрделі есептеулерді айтарлықтай жеңілдету үшін кеңінен қолданылуына әкелді. «Логарифмдер әлеміне» көшуде көбейту әлдеқайда оңай қосуға, бөлу азайтуға, ал дәреже және түбір шығару сәйкесінше дәрежеге көбейтуге және бөлуге түрленеді.

Логарифмдерді құрастыру және олардың мәндерінің кестесі (үшін тригонометриялық функциялар) алғаш рет 1614 жылы шотланд математигі Джон Непьер басып шығарды. Басқа ғалымдар үлкейтетін және егжей-тегжейлі берген логарифмдік кестелер ғылыми және инженерлік есептеулерде кеңінен қолданылды және электронды есептеуіш машиналар мен компьютерлер қолданысқа енгенге дейін өзекті болып қалды.

Қоғам дамып, өндіріс күрделене түскен сайын математика да дамыды. Қарапайымнан күрделіге көшу. Қосу және азайту әдісімен кәдімгі есепке алудан олардың бірнеше рет қайталануымен біз көбейту және бөлу ұғымына келдік. Көбейтудің қайталанатын операциясын азайту дәрежеге шығару ұғымына айналды. Сандардың негізге тәуелділігі мен дәрежеге көтерілу санының алғашқы кестелерін 8 ғасырда үнді математигі Варасен құрастырған. Олардың ішінен логарифмдердің пайда болу уақытын санауға болады.

Тарихи эскиз

16 ғасырда Еуропаның қайта жандануы механиканың дамуына да түрткі болды. Т көп есептеуді қажет еттікөптаңбалы сандарды көбейту және бөлумен байланысты. Ежелгі үстелдер үлкен қызмет көрсетті. Олар күрделі операцияларды қарапайым амалдармен – қосу және алумен ауыстыруға мүмкіндік берді. Алға үлкен қадам 1544 жылы жарық көрген математик Майкл Штифельдің жұмысы болды, онда ол көптеген математиктердің идеясын жүзеге асырды. Бұл кестелерді жай сандар түріндегі дәрежелер үшін ғана емес, сонымен қатар ерікті рационалдар үшін де қолдануға мүмкіндік берді.

1614 жылы шотландық Джон Непьер осы идеяларды дамыта отырып, алғаш рет «санның логарифмі» деген жаңа терминді енгізді. Жаңа күрделі кестелерсинустар мен косинустардың логарифмдерін, сонымен қатар жанамаларды есептеу. Бұл астрономдардың жұмысын айтарлықтай азайтты.

Жаңа кестелер пайда бола бастады, оларды ғалымдар сәтті қолданды үш ғасыр... Алгебрадағы жаңа операция өзінің дайын түрін алғанша көп уақыт өтті. Логарифмнің анықтамасы беріліп, оның қасиеттері зерттелді.

Тек 20 ғасырда калькулятор мен компьютердің пайда болуымен адамзат 13 ғасырда сәтті жұмыс істеп келе жатқан көне кестелерден бас тартты.

Бүгін біз b санын жасау үшін а-ның дәрежесі болатын х санының негізін логарифм деп атаймыз. Бұл формула түрінде жазылады: x = log a (b).

Мысалы, журнал 3 (9) 2 болады. Егер анықтаманы орындасаңыз, бұл анық. Егер 3-ті 2-нің дәрежесіне көтерсе, онда 9-ды аламыз.

Сонымен, тұжырымдалған анықтама бір ғана шектеу қояды, a және b сандары нақты болуы керек.

Логарифмдердің түрлері

Классикалық анықтама нақты логарифм деп аталады және шын мәнінде a x = b теңдеуінің шешімі болып табылады. a = 1 нұсқасы шекаралық және қызығушылық тудырмайды. Ескерту: 1 кез келген дәрежеде 1-ге тең.

Логарифмнің нақты мәнірадикс пен аргумент 0-ден үлкен болғанда ғана анықталады және радикс 1-ге тең болмауы керек.

Математика саласында алатын орны ерекшелогарифмдерді ойнаңыз, олар базасының шамасына байланысты аталады:

Ережелер мен шектеулер

Логарифмдердің негізгі қасиеті мынада: көбейтіндінің логарифмі логарифмдік қосындыға тең. log abp = log a (b) + log a (p).

Бұл мәлімдеменің нұсқасы ретінде: log c (b / p) = log c (b) - log c (p), бөлім функциясы функциялардың айырмашылығына тең болады.

Алдыңғы екі ережеден мынаны түсіну оңай: log a (b p) = p * log a (b).

Басқа қасиеттерге мыналар жатады:

Пікір. Жалпы қате жасамаңыз - қосындының логарифмі жоқ сомасына теңлогарифмдер.

Көптеген ғасырлар бойы логарифмді табу операциясы өте ауыр жұмыс болды. Математиктер логарифмдік көпмүшенің ыдырау теориясының белгілі формуласын пайдаланды:

ln (1 + x) = x - (x ^ 2) / 2 + (x ^ 3) / 3 - (x ^ 4) / 4 +… + ((-1) ^ (n + 1)) * (( x ^ n) / n), мұндағы n - натурал сан 1-ден жоғары, бұл есептеудің дәлдігін анықтайды.

Басқа негіздері бар логарифмдер бір негізден екіншісіне өту теоремасы және туындының логарифмінің қасиеті арқылы есептелді.

Өйткені бұл әдіс өте көп уақытты қажет етеді және практикалық есептерді шешу кезіндежүзеге асыру қиын, содан кейін біз логарифмдердің алдын ала құрастырылған кестелерін қолдандық, бұл бүкіл жұмысты айтарлықтай жылдамдатты.

Кейбір жағдайларда логарифмдердің арнайы құрастырылған графиктері пайдаланылды, бұл азырақ дәлдік берді, бірақ қажетті мәнді іздеуді айтарлықтай жылдамдатады. Функцияның қисығы y = log a (x) бірнеше нүктелердің үстіне салынған, кез келген басқа нүктедегі функцияның мәндерін табу үшін қалыпты сызғышты пайдалануға мүмкіндік береді. Ұзақ уақыт бойы инженерлер осы мақсаттар үшін графикалық қағаз деп аталатын қағазды пайдаланды.

17 ғасырда алғашқы көмекші аналогтық есептеу шарттары пайда болды, ол арқылы XIX ғаяқталған көрініске ие болды. Ең сәтті құрылғы слайд ережесі деп аталады. Құрылғының барлық қарапайымдылығымен оның сыртқы түрі барлық инженерлік есептеулер процесін айтарлықтай жеделдетті және оны асыра бағалау қиын. Қазіргі уақытта бұл құрылғымен таныс адамдар аз.

Калькуляторлар мен компьютерлердің пайда болуы кез келген басқа құрылғыны пайдалануды мағынасыз етті.

Теңдеулер мен теңсіздіктер

Әртүрлі теңдеулер мен теңсіздіктерді логарифмдер көмегімен шешу үшін келесі формулалар қолданылады:

• Бір негізден екіншісіне өту: log a (b) = log c (b) / log c (a);
• Алдыңғы нұсқаның салдары ретінде: log a (b) = 1 / log b (a).

Теңсіздіктерді шешу үшін мынаны білу пайдалы:

• Логарифмнің мәні негіз мен аргументтің екеуі де біреуден үлкен немесе кіші болғанда ғана оң болады; егер кем дегенде бір шарт бұзылса, логарифмнің мәні теріс болады.
• Егер логарифм функциясы теңсіздіктің оң және сол жағына қолданылса, ал логарифмнің негізі бірден үлкен болса, онда теңсіздік белгісі сақталады; әйтпесе ол өзгереді.

Тапсырмалардың мысалдары

Логарифмдерді және олардың қасиеттерін қолданудың бірнеше нұсқасын қарастырайық. Теңдеулерді шешуге мысалдар:

Логарифмді қуатта орналастыру нұсқасын қарастырыңыз:

• Есеп 3. 25 ^ журнал 5 (3) есептеңіз. Шешуі: есеп шарттарында жазба келесіге ұқсас (5 ^ 2) ^ log5 (3) немесе 5 ^ (2 * log 5 (3)). Оны басқаша жазайық: 5 ^ log 5 (3 * 2), немесе функцияның аргументі ретіндегі санның квадратын функцияның өзінің квадраты ретінде жазуға болады (5 ^ log 5 (3)) ^ 2. Логарифмдердің қасиеттерін пайдаланып, бұл өрнек 3 ^ 2 болады. Жауап: есептеу нәтижесінде біз 9 аламыз.

Практикалық қолдану

Таза математикалық құрал болғандықтан, ол алыс сияқты шын өмірлогарифм кенеттен пайда болды үлкен мәннақты әлемдегі объектілерді сипаттау. Қолданбаған ғылымды табу қиын. Бұл білімнің табиғи ғана емес, гуманитарлық салаларына да толығымен қатысты.

Логарифмдік тәуелділіктер

Мұнда сандық тәуелділіктің кейбір мысалдары берілген:

Механика және физика

Тарихи тұрғыдан алғанда, механика мен физика әрқашан математикалық зерттеу әдістерін қолдана отырып дамыды және сонымен бірге математиканың, соның ішінде логарифмдердің дамуы үшін ынталандыру қызметін атқарды. Физика заңдарының көпшілігінің теориясы математика тілінде жазылған. Логарифм көмегімен физикалық заңдарды сипаттауға екі ғана мысал келтіреміз.

Зымыранның жылдамдығы сияқты күрделі шаманы есептеу мәселесін ғарышты игеру теориясының негізін қалаған Циолковский формуласы арқылы шешуге болады:

V = I * ln (M1 / M2), мұндағы

• V - ұшақтың соңғы жылдамдығы.
• I - қозғалтқыштың меншікті импульсі.
• M 1 - зымыранның бастапқы массасы.
• M 2 - соңғы масса.

Басқа маңызды мысал - бұл термодинамикадағы тепе-теңдік күйін бағалауға қызмет ететін тағы бір ұлы ғалым Макс Планктың формуласында қолданылуы.

S = k * ln (Ω), мұндағы

• S – термодинамикалық қасиет.
• k – Больцман тұрақтысы.
• Ω – әртүрлі күйлердің статистикалық салмағы.

Химия

Химияда логарифмдердің қатынасын қамтитын формулаларды қолдану азырақ анық. Сондай-ақ біз тек екі мысал келтіреміз:

• Нернст теңдеуі, заттардың активтілігіне және тепе-теңдік константасына қатысты ортаның тотығу-тотықсыздану потенциалының шарты.
• Автопролиз индексі және ерітіндінің қышқылдығы сияқты тұрақтыларды есептеу де біздің функциямызсыз аяқталмайды.

Психология және биология

Ал оған психологияның қандай қатысы бар екені мүлдем түсініксіз. Сезім күшін бұл функция тітіркендіргіштің интенсивтілігінің интенсивтіліктің төменгі мәніне кері қатынасы ретінде жақсы сипаттайды екен.

Жоғарыда келтірілген мысалдардан кейін логарифм тақырыбының биологияда кеңінен қолданылуы таңқаларлық емес. Логарифмдік спиральдарға сәйкес келетін биологиялық формалар туралы көлемді жазуға болады.

Басқа аймақтар

Дүниенің өмір сүруі осы функциямен байланыссыз мүмкін емес сияқты және ол барлық заңдарды басқарады. Әсіресе, табиғат заңдары геометриялық прогрессиямен байланысты болғанда. MatProfi веб-сайтына сілтеме жасаған жөн және келесі қызмет салаларында мұндай мысалдар көп:

Тізім шексіз болуы мүмкін. Бұл функцияның негізгі заңдылықтарын меңгере отырып, сіз шексіз даналық әлеміне ене аласыз.

Логарифмнің рұқсат етілген мәндерінің диапазоны (ODV).

Енді шектеулер туралы сөйлесейік (ODZ - айнымалылардың рұқсат етілген мәндерінің ауқымы).

Біз, мысалы, квадрат түбірді теріс сандардан шығаруға болмайтынын есте ұстаймыз; немесе бізде бөлшек болса, онда бөлгіш нөл болуы мүмкін емес. Логарифмдерде ұқсас шектеулер бар:

Яғни, аргумент те, негіз де нөлден үлкен болуы керек, ал негіз де тең бола алмайды.

Неге бұлай?

Қарапайым бастайық: солай делік. Сонда, мысалы, сан жоқ, өйткені біз қандай дәрежені көтерсек те, ол әрқашан шығады. Оның үстіне, ол ешкім үшін жоқ. Бірақ сонымен бірге ол кез келген нәрсеге тең болуы мүмкін (сол себепті ол кез келген дәрежеге тең). Сондықтан объект қызығушылық тудырмайды және ол жай ғана математикадан лақтырылды.

Бұл жағдайда бізде ұқсас мәселе бар: кез келген оң дәрежеде ол бар, бірақ оны мүлдем теріс дәрежеге көтеру мүмкін емес, өйткені нөлге бөлу нәтиже береді (оны есте сақтаңыз).

Біз бөлшек дәрежеге көтеру мәселесіне тап болған кезде (ол түбір ретінде берілген:. Мысалы, (яғни), бірақ жоқ.

Сондықтан, теріс негіздермен айналысқаннан гөрі, оларды тастау оңайырақ.

А негізі бізде тек оң болғандықтан, оны қандай дәрежеде көтерсек те, біз әрқашан қатаң оң сан аламыз. Демек, аргумент оң болуы керек. Мысалы, ол жоқ, өйткені ол ешқашан болмайды теріс сан(және тіпті нөл, сондықтан ол да жоқ).

Логарифмдермен есептердегі бірінші қадам ODV жазу болып табылады. Мысал келтірейін:

Теңдеуді шешейік.

Анықтаманы еске түсірейік: логарифм - аргумент алу үшін негізді көтеру дәрежесі. Ал шарт бойынша бұл дәреже мынаған тең:.

Біз әдеттегідей аламыз квадрат теңдеу:. Оны Виет теоремасын пайдаланып шешейік: түбірлердің қосындысы тең, көбейтіндісі. Таңдау оңай, бұл сандар және.

Бірақ жауапта осы екі санды бірден алып, жазып алсаңыз, есеп бойынша 0 ұпай алуға болады. Неліктен? Осы түбірлерді бастапқы теңдеуге ауыстырсақ, не болатынын ойланайық?

Бұл анық дұрыс емес, өйткені негіз теріс болуы мүмкін емес, яғни түбір «сыртында».

Осындай жағымсыз амалдарды болдырмау үшін теңдеуді шешуді бастамас бұрын ODV-ді жазып алу керек:

Содан кейін түбірлерді алып, біз бірден түбірді алып тастап, дұрыс жауапты жазамыз.

1-мысал(оны өзіңіз шешуге тырысыңыз) :

Теңдеудің түбірін табыңыз. Бірнеше түбір болса, жауабында олардың ең кішісін көрсетіңіз.

Шешімі:

Алдымен ODZ жазайық:

Енді логарифмнің не екенін еске түсірейік: аргумент алу үшін негізді қандай дәрежеге көтеру керек? Екінші. Яғни:

Кіші түбір тең болып көрінетін. Бірақ бұл олай емес: ОДЗ бойынша түбір сыртқы, яғни ол берілген теңдеудің түбірі мүлде емес. Осылайша, теңдеудің бір ғана түбірі бар:.

Жауап: .

Негізгі логарифмдік сәйкестік

Жалпы логарифмнің анықтамасын еске түсірейік:

Логарифмнің орнына екінші теңдікте:

Бұл теңдік деп аталады негізгі логарифмдік сәйкестік... Негізінде бұл теңдік басқаша жазылғанымен логарифмнің анықтамасы:

Бұл алу үшін қандай дәрежеде көтеру керек.

Мысалға:

Келесі мысалдарды шешіңіз:

2-мысал.

Өрнектің мағынасын табыңыз.

Шешімі:

Бөлімнен ережені еске түсірейік: яғни қуатты қуатқа көтерген кезде көрсеткіштер көбейтіледі. Оны қолданайық:

3-мысал.

Дәлелдеңіз.

Шешімі:

Логарифмдердің қасиеттері

Өкінішке орай, тапсырмалар әрқашан соншалықты қарапайым емес - көбінесе алдымен өрнекті жеңілдету керек, оны әдеттегі пішінге келтіру керек, содан кейін ғана мәнді есептеу мүмкін болады. Мұны істеудің ең оңай жолы - білу логарифмдердің қасиеттері... Ендеше логарифмдердің негізгі қасиеттерін білейік. Мен олардың әрқайсысын дәлелдеймін, өйткені оның қайдан шыққанын білсеңіз, кез келген ережені есте сақтау оңайырақ.

Барлық осы қасиеттерді есте сақтау керек, оларсыз логарифмдермен есептердің көпшілігін шешу мүмкін емес.

Ал енді толығырақ логарифмдердің барлық қасиеттері туралы.

1-қасиет:

Дәлелдеу:

Онда рұқсат етіңіз.

Бізде: және т.б.

2-қасиет: Логарифмдердің қосындысы

Негіздері бірдей логарифмдердің қосындысы көбейтіндінің логарифміне тең: .

Дәлелдеу:

Онда рұқсат етіңіз. Онда рұқсат етіңіз.

Мысалы:Өрнектің мағынасын табыңыз:.

Шешуі: .

Сіз жаңа ғана үйренген формула айырмашылықты емес, логарифмдердің қосындысын жеңілдетуге көмектеседі, сондықтан бұл логарифмдерді бірден біріктіру мүмкін емес. Бірақ сіз керісінше жасай аласыз - бірінші логарифмді екіге «бөліңіз»: Міне, уәде етілген жеңілдету:
.
Бұл не үшін қажет? Мысалы: бұл не маңызды?

Бұл енді белгілі болды.

Қазір өзіңізді жеңілдетіңіз:

Тапсырмалар:

Жауаптары:

3-қасиет: Логарифмдердің айырымы:

Дәлелдеу:

Барлығы 2-тармақтағыдай:

Онда рұқсат етіңіз.

Онда рұқсат етіңіз. Бізде бар:

Соңғы абзацтағы мысал енді оңайырақ болады:

Күрделі мысал:. Қалай шешуге болатынын болжай аласыз ба?

Осы жерде айта кететін жайт, бізде шаршыдағы логарифмдер туралы бірде-бір формула жоқ. Бұл өрнекке ұқсас нәрсе - оны бірден жеңілдету мүмкін емес.

Сондықтан логарифмдер туралы формулалардан алшақтап, математикада қандай формулаларды жиі қолданатынымыз туралы ойланайық? Тіпті 7-сыныптан бастап!

Бұл -. Сіз олардың барлық жерде бар екеніне үйренуіңіз керек! Олар экспоненциалды, тригонометриялық және иррационалдық есептерде кездеседі. Сондықтан оларды есте сақтау керек.

Алғашқы екі терминге мұқият қарасаңыз, бұл анық болады квадраттардың айырмашылығы:

Тексеруге жауап:

Өзіңізді жеңілдетіңіз.

мысалдары

Жауаптар.

4-қасиет: логарифм аргументінен көрсеткішті жою:

Дәлелдеу:Және бұл жерде біз логарифмнің анықтамасын да қолданамыз: болсын, онда. Бізде: және т.б.

Бұл ережені келесідей түсінуге болады:

Яғни, аргумент дәрежесі коэффициент ретінде логарифмнен жоғары қойылады.

Мысалы:Өрнектің мағынасын табыңыз.

Шешімі: .

Өзіңіз шешіңіз:

Мысалдар:

Жауаптары:

5-қасиет: Көрсеткішті логарифм негізінен алып тастау:

Дәлелдеу:Онда рұқсат етіңіз.

Бізде: және т.б.
Есіңізде болсын: бастап негіздерідәрежесі ретінде көрсетіледі қарама-қарсысаны, алдыңғы жағдайға қарағанда!

6-қасиет: Көрсеткішті негізден және логарифм аргументінен жою:

Немесе дәрежелер бірдей болса:.

7-қасиет: Жаңа базаға көшу:

Дәлелдеу:Онда рұқсат етіңіз.

Бізде: және т.б.

8-қасиет: негізді және логарифм аргументін ауыстырыңыз:

Дәлелдеу:ол жеке оқиға 7 формулалар: алмастырсақ:, ч.т.д.

Тағы бірнеше мысалды қарастырайық.

4-мысал.

Өрнектің мағынасын табыңыз.

№2 логарифмдердің қасиетін қолданамыз – негізі бірдей логарифмдердің қосындысы туындының логарифміне тең:

5-мысал.

Өрнектің мағынасын табыңыз.

Шешімі:

№3 және №4 логарифмдердің қасиетін қолданамыз:

6-мысал.

Өрнектің мағынасын табыңыз.

Шешімі:

№7 сипатты пайдалану - 2-базаға өтіңіз:

7-мысал.

Өрнектің мағынасын табыңыз.

Шешімі:

Сізге мақала қалай ұнады?

Егер сіз осы жолдарды оқып жатсаңыз, онда сіз мақаланы толығымен оқыдыңыз.

Және бұл тамаша!

Енді айтыңызшы, сізге мақала ұнады ма?

Сіз логарифмдерді шешуді үйрендіңіз бе? Егер жоқ болса, мәселе неде?

Төмендегі түсініктемелерде бізге жазыңыз.

Иә, емтихандарыңызға сәттілік.

Емтихан мен емтиханда және жалпы өмірде