Практикалық тұрғыдан алғанда, функцияның ең үлкен және ең кіші функциясын табу үшін туынды пайдалану - үлкен қызығушылық. Бұл не байланысты? Пайдаларды ұлғайту, шығындарды азайту, оңтайлы жабдықты жүктеуді анықтайды ... Басқаша айтқанда, көптеген өмір салаларында кез-келген параметрлерді оңтайландыру мәселелерін шешу керек. Бұл функцияның ең үлкен және ең кіші функциясын табу міндеттері.

Айта кету керек, функцияның ең үлкен және ең кіші құны, әдетте, белгілі бір аралық x іздейді, бұл анықтамалық аймақтың функциясын немесе бөлігін анықтаудың бүкіл функциясы болып табылады. X аралық x өзі сегмент, ашық аралық болуы мүмкін , шексіз алшақтық.

Бұл мақалада біз бір айнымалы функцияның y \u003d f (x) нақты көрсетілген функциясының ең үлкен және кіші мәндерін табу туралы сөйлесеміз.

Навигация беті.

Функцияның ең үлкен және ең кіші құны - анықтама, иллюстрация.

Негізгі анықтамаларға қысқаша назар аударыңыз.

Ең үлкен функцияның мәні Кез-келгені үшін не Әділ теңсіздік.

Функцияның ең кіші мәні y \u003d f (x) X-тің X-трафигі бойынша мұндай мән Кез-келгені үшін не Әділ теңсіздік.

Бұл анықтамалар интуитивті: функцияның ең үлкен (ең кіші) мәні - абсцисса кезінде қарастыру кезінде үлкен (кіші) мәні.

Тұрақты ұпайлар - Бұл туынды функция нөлге түсетін дәлелдердің мәні.

Неліктен біз ең үлкен және кіші мәндерді таба отырып, стационарлық нүктелеріміз бар? Бұл сұрақтың жауабы ферма теоремасын береді. Осы теоремадан бастап дифференциалды функцияның экстремумы болса (жергілікті минимум немесе жергілікті максимум), содан кейін бұл нүкте тұрақты болып табылады. Осылайша, функция көбінесе бұл алшақтықтан стационарлық нүктелердің бірінде x аралығында оның ең үлкен (ең кіші) мәнін алады.

Сондай-ақ, ең үлкен және ең кіші функция осы функцияның алғашқы туындысы жоқ ұпайларда қабылдауы мүмкін, ал функцияның өзі анықталған.

Осы тақырыптағы ең жиі кездесетін сұрақтардың біріне жауап беріңіз: «Сіз әрқашан ең үлкен (ең кіші) функциясын анықтай аласыз ба?» Ешқандай емес. Кейде x Gap-тің шекаралары функцияны немесе аралық x функциясының шекараларымен сәйкес келеді, бұл Infinite болып табылады. Және шексіздіктеріндегі кейбір функциялар және анықтамалық аймақтың шекараларында шексіз үлкен және шексіз кішігірім шамалар болуы мүмкін. Мұндай жағдайларда ең үлкен және кіші функцияның мәні туралы ештеңе айтуға болмайды.

Түсінікті болу үшін графикалық иллюстрация беріңіз. Суреттерге қараңыз - және көп нәрсе айқын болады.

Кесу туралы

Бірінші сызбада функция ең үлкен (макс у) және сегмент ішіндегі стационарлық нүктелердегі ең кіші (мин) мәндерін алады [-6; 6].

Екінші ұтыс кезінде бейнеленген жағдайды қарастырыңыз. Сегментті қосыңыз. Бұл мысалда функцияның ең кішкентай функциясы тұрақты нүктеде қол жеткізіледі, ал ең үлкені - аралық шекараға сәйкес келетін абсцисса нүктесінде.

2-сурет, сегменттің шекаралық пункттері [-3; 2] функцияның ең үлкен және ең кіші мәніне сәйкес келетін нүктелердің абсценті болып табылады.

Ашық аралық

Төртінші сызбада функция ең үлкен (макс у) және ашық аралықтағы стационарлық нүктелердегі ең кіші (мин) (-6; 6) алады.

Аралықта сіз ең үлкен құндылық туралы қорытынды жасай алмайсыз.

Шексіздікке

Жетінші өрнекте ұсынылған мысалда, функция ABSCISSA X \u003d 1-мен стационарлық нүктеде ең үлкен мәнді (MAX Y) алады, ал ең кіші мән (мин) (мин) аралыққа қол жеткізіледі. Минус шексіз болған кезде, функцияның мәндері Y \u003d 3-ке асимптотикалық түрде жақындап келеді.

Аралықта функция ең кіші немесе ең үлкен мәнге жетпейді. X \u003d 2 дұрыс болған кезде, функцияның мәндері минус шексіздігіне бейім болған кезде (түзу x \u003d 2 тік асимптота), ал абсцисса шексіздікке ұмтылған кезде, олардың мәндері Функциясы y \u003d 3 функциясы. Бұл мысалдың графикалық суреттері №8 суретте көрсетілген.

Сегменттегі ең үлкен және кіші үздіксіз функцияны табу алгоритмі.

Біз сегменттегі функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін табуға мүмкіндік беретін алгоритмді жазамыз.

1. Функцияны анықтайтын функцияны тауып, оның барлық сегменті бар-жоғын тексеріңіз.
2. Біз бірінші туынды және сегментте бар барлық ұпайларды табамыз (әдетте мұндай ұпайлар модуль белгісімен және фракциялық рационалды индикатормен қуат функциялары бар функцияларда қолданылады). Егер мұндай нүктелер болмаса, келесі элементке өтіңіз.
3. Біз барлық стационарлық нүктелерді сегментте анықтаймыз. Бұл үшін біз оны нөлге теңестіреміз, алынған теңдеуді шешіп, оң тамырларды таңдаңыз. Егер стационарлық нүктелер болмаса немесе олардың ешқайсысы сегментке түссе, онда біз келесі элементке жүгінеміз.
4. Таңдалған стационарлық нүктелердегі функциялардың мәндерін (бар болса) есептеңіз, онда алғашқы туынды (бар болса), сонымен қатар x \u003d a және x \u003d b.
5. Функцияның алынған мәндерінен ең үлкен және кішігімді таңдаңыз - олар сәйкесінше ең танымал және ең танымал мәндер болады.

Біз алгоритмді талдау жасаймыз, мысалы, сегменттегі функцияның ең үлкен және кіші функциясын табу үшін мысалды шешеміз.

Мысал.

Ең үлкен және кіші функцияны табыңыз

• сегментке;
• сегментте [-4; -1].

Шешім.

Өріс анықтамасы аймағы нөлден басқа барлық жарамды нөмірлер болып табылады, яғни. Екі сегменттер де анықтама аймағына түседі.

Туынды функцияны табыңыз:

Туынды функция барлық сегменттердің барлық нүктелерінде бар екені анық, [-4; -1].

Тұрақты ұпайлар Біз теңдеуден анықтаймыз. Жалғыз жарамды тамыр - x \u003d 2. Бұл стационарлық нүкте бірінші сегменттен өтеді.

Бірінші жағдайда, сегменттің ұштарындағы және сегменттің ұштарындағы функциялардың мәндерін есептеңіз, яғни X \u003d 1, x \u003d 2 және x \u003d 4 мекен-жайы бойынша:

Сондықтан, функцияның ең үлкен мәні x \u003d 1-де және ең кіші мәнге қол жеткізілді - x \u003d 2-де.

Екінші жағдай үшін функцияның мәндерін тек сегменттің ұштарында есептеңіз [-4; -1] (-4; -1] (бір стационарлық нүкте жоқ):

Шешім.

Өрісті анықтау аймағынан бастайық. Домеромотадағы квадрат кесектер нөлге қосылмауы керек:

Тапсырманың барлық аралықтарының барлық аралықтарының өрісті анықтау аймағына жататындығын тексеру оңай.

Дифференциация функциясы:

Әлбетте, туынды функцияның анықтамасы өрісінде бар екені анық.

Тұрақты ұпайларды табыңыз. Туынды нөлге жатады. Бұл стационарлық нүкте аралықтарға түседі (-3; 1] және (-3; 2).

Енді сіз әр элементте алынған нәтижелерге Функция графигімен сәйкес келуі мүмкін. Көк сызылған сызықтар асимптоталарды көрсетеді.

Мұны функцияның ең үлкен және кіші функциясын табумен аяқтауға болады. Осы мақалада бөлшектелген алгоритмдер нәтижелерді ең аз әрекетке алуға мүмкіндік береді. Дегенмен, алдымен функцияның өсіп-ұлғайтылу және азаюы туралы үзінділерді анықтап, осыдан кейін, кез-келген аралықта жұмыстың ең үлкен және ең төменгі мәні туралы қорытынды жасау пайдалы. Бұл нақты суретті және нәтижелерді қатаң негіздейді.

Іс жүзінде, ең үлкен және кіші функция мәнін есептеу үшін туынды пайдалану қажет. Біз бұл әрекетті біз шығындарды азайту, кірістерді қалай азайту, пайда ұлғайту, өндіріске оңтайлы жүктемені есептеу және т.с.с., яғни кез-келген параметрдің оңтайлы мәнін анықтау қажет болса, біз осы акцияны жүзеге асырамыз. Мұндай тапсырмаларды дұрыс шешу үшін функцияның ең үлкен және ең кіші құны туралы жақсы түсіну керек.

Әдетте біз осы мәндерді белгілі бір аралық х ішінде анықтаймыз, ол өз кезегінде функцияны немесе оның бөлігін анықтаудың бүкіл өрісіне сәйкес келуі мүмкін. Бұл сегмент сияқты болуы мүмкін [a; b] және ашық аралық (A; B), (A; B], [a; b), шексіз аралық (A; B), (A; B), [a; b), [a; b) немесе шексіз алшақтық - ∞ ; A, (- ∞; A], [a; + ∞), (- ∞; ∞ ∞).

Бұл материалда біз бір айнымалы функциямен y \u003d f (x) y \u003d f (x) (x) Y \u003d F (x) бар ең үлкен және ең кіші функцияның қалай болатынын сипаттаймыз.

Негізгі анықтамалар

Әдеттегідей, негізгі анықтамалардың тұжырымымен бастайық.

Анықтама 1.

Y \u003d f (x) функциясының ең үлкен мәні, кейбір алшақтықта maxy \u003d f (x 0) x x, олар XX ∈ x, x x x 0 мағынасы x ≠ x 0 теңсіздігімен f (x) ≤ f ( x 0).

Анықтама 2.

Y \u003d f (x) функциясының ең кіші мәні, кейбір алшақтықта минакс ∈ xy \u003d f (x 0), ол x ∈ x x, x ≠ x 0 шамасы x, x x x 0 теңсіздігімен f (x f (x) ≥ f (x 0).

Бұл анықтамалар өте айқын. Одан да оңайырақ айтуға болады: функцияның ең үлкен мәні - бұл ең көп үлкен маңыздылық X 0-де белгілі аралық кезінде, ал ең кішісі - x 0 аралығында ең кіші мән.

Анықтама 3.

Стационарлық нүктелер - бұл оның туындысы 0-ге жатады.

Неліктен біз полигон ұпайларын білуіміз керек? Бұл сұраққа жауап беру үшін ферма теоремасын есте сақтау керек. Тұрақты нүкте - бұл сарфыратын функцияның экстремумы орналасқан (яғни оның жергілікті минимум немесе максимум). Демек, функция стационарлық нүктелердің бірінде ең кішкентай немесе ең маңыздыларын алады.

Тағы бір функция функцияның өзі анықталған нүктелерде ең үлкен немесе кіші мәнді ала алады, ал оның алғашқы туындысы жоқ.

Осы тақырыпты зерттеген кезде пайда болатын бірінші сұрақ: Барлық жағдайларда, біз берілген сегменттегі функцияның ең үлкен немесе ең кішісін анықтай аламыз ба? Жоқ, біз мұны көрсетілген алшақтықтың шекаралары анықтама аймағының шекараларымен сәйкес болған кезде жасай алмаймыз немесе шексіз аралықпен араласатын болсақ. Бұл сонымен қатар берілген сегменттегі немесе шексіздіктегі функция шексіз кішкентай немесе шексіз үлкен мәндер болатын болады. Мұндай жағдайларда ең үлкен және / немесе ең аз мәнді анықтау мүмкін емес.

Бұл сәттерді түсіну кестедегі кескіннен кейін болады:

Бірінші сурет бізге сегментінде орналасқан стационарлық пункттерде ең үлкен және кіші мәндерді (M a x y y және m i n y) алатын функцияны көрсетеді [6; 6; ].

Екінші диаграммада көрсетілген жағдайды егжей-тегжейлі талдаймыз. Сегменттің мәнін [1; 6] және біз функцияның ең үлкен құндылығына абсценсадан аралықпен, ал ең кішкентай, ал ең кіші нүктеде қол жеткізілетін болады.

ABSCISSA үшінші ұтыс ойынында ұпайлар - сегменттің шекаралық пункттері [- 3; ] 2]. Олар көрсетілген функцияның ең үлкен және ең кіші мәніне сәйкес келеді.

Енді төртінші суретке қараңыз. Онда функция ашық аралықта стационарлық нүктелердегі x x (ең үлкен мән) және м i және m i n y (ең кіші мән) (ең кіші мән) алады (- 6; 6).

Егер біз аралықты алсақ [1; 6), ол функцияның ең аз құнын стационарлық нүктеде алуға болады деп айтуға болады. Бұл ең үлкен мән ретінде белгісіз болады. Функция x-дегі x-те ең үлкен мәнді алуы мүмкін, егер X \u003d 6 араласқа тиесілі болса, 6-ға тең болуы мүмкін. Бұл жағдай 5-графикте тартылады.

6-графикте, осы функцияның ең кіші мәні интервалдың оң жағында (- 3; 2] алады және біз ең үлкен құндылық туралы белгілі бір қорытынды жасай алмаймыз.

7-суретте біз функцияның x x-ді 1-ге тең, стационарлық нүктеде болады деп білеміз. Ең кішкентай функция оң жақтағы аралық шекарада болады. Минус шексіз болған кезде, функцияның мәндері Y \u003d 3-ке асимптотикалық түрде жақындайтын болады.

Егер біз x ∈ 2 аралығын алсақ; + ∞, біз көрсетілген функция оны ең кіші немесе ең үлкен мәнді қабылдамайтынын көреміз. Егер x 2-ге талғайын болса, функцияның мәндері шексіздік минусы үшін тырысады, өйткені Direct X \u003d 2 тік асимптота. Егер абсцисса шексіздікке ие болса, онда функцияның мәні y \u003d 3 асимптотикалық тұрғыдан жақындайтын болады. Бұл іс 8-суретте көрсетілген.

Осы кезде біз кейбір сегменттегі функцияның ең үлкен немесе ең кіші мәнін табу үшін орындалуы керек әрекеттер тізбегін ұсынамыз.

1. Бастау үшін, біз далалық анықтама аймағын табамыз. Сегмент күйінде болатынын тексеріңіз.
2. Қазір біз осы сегменттегі пункттерді есептейміз, онда алғашқы туынды жоқ. Көбінесе оларды дәлелдеу модульдің белгісі бойынша немесе қуат функциялары бойынша жазылған функциялардан табуға болады, оның индикаторы фракциялық рационалды сан болып табылады.
3. Әрі қарай, қандай стационарлық нүктелер берілген сегментке түсетінін біліңіз. Ол үшін туынды функцияны есептеу керек, содан кейін оны 0-ге теңестіріп, соңына дейін теңдеуді шешіңіз, содан кейін тиісті тамырларды таңдауға болады. Егер біз бір стационарлық нүктеде жетістікке жете алмасақ немесе олар берілген сегментке түспесе, онда біз келесі қадамға барамыз.
4. Көрсетілген стационарлық нүктелерде (бар болса), немесе бірінші туынды (бар болса) немесе X \u003d A және x \u003d b мәндерін есептейтін пункттердің қандай мәндерін анықтайтынын анықтаймыз. .
5. 5. Біз функцияның бірқатар функцияларын шешіпдік, оның ішінде сіз енді ең кішісін таңдауыңыз керек. Бұл біз табу керек функциялардың ең үлкен және кіші мәндері болады.

Тапсырмаларды шешу кезінде осы алгоритмді қалай дұрыс қолдану керектігін көрейік.

1-мысал.

Жағдайы: Y \u003d x 3 + 4 x 2 функциясы көрсетілген. Сегменттердегі ең үлкен және ең кіші мәнін анықтаңыз [1; 4] және [- 4; - бір ] .

Шешім:

Осы функцияның анықтамалық аймағынан бастайық. Бұл жағдайда, ол 0-ден басқа көптеген жарамды сандар болады. Басқаша айтқанда, D (y): x ∈ (- ∞; 0) ∪ 0; + ∞. Шартта көрсетілген екі сегмент де анықтама аймағында болады.

Енді деривативті функцияны саралау күйіне қарай есептеңіз:

y «\u003d x 3 + 4 x 2» \u003d x 3 + 4 x 3 + 4 x x 2 + 4 x x 4 \u003d 3 x 4 \u003d 3 x 2 - (X 3 - 4) · (x 3 - 4) · 2 xx 4 \u003d x 3 - 8 x 3

Біз алынған функция сегменттердің барлық нүктелерінде болатынын білдік [1; 4] және [- 4; - бір ] .

Енді біз жұмыстың стационарлық нүктелерін анықтауымыз керек. Біз мұны x 3 - 8 x 3 \u003d 0 теңдеуімен жасаймыз. Оның тек бір ғана жарамды тамыры бар, 2-ге тең. Бұл стационарлық функция болады және бірінші сегментке түседі [1; Төрт].

Бірінші сегменттің ұштарындағы функцияның мәндерін есептеңіз және осы кезде, I.E. X \u003d 1, x \u003d 2 және x \u003d 4 үшін:

y (1) \u003d 1 3 + 4 1 2 \u003d 5 y (2) \u003d 2 3 + 4 2 2 2 \u003d 3 y (4) \u003d 4 3 3 + 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

Біз функцияның ең үлкен мәні, m a x x x ∈ [1; 4] \u003d y (2) \u003d 3 X \u003d 1-де, ал ең кішкентай m i n x ∈ [1; 4] \u003d y (2) \u003d 3 - x \u003d 2-де.

Екінші сегменттің бір стационарлық нүктесі жоқ, сондықтан біз функцияның мәндерін көрсетілген сегменттің соңында ғана есептеуіміз керек:

y (- 1) \u003d (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 \u003d 3

Бұл дегеніміз - x x x ∈ [- 4; - 1] \u003d y (- 1) \u003d 3, м i n x ∈ [- 4; - 1] \u003d y (- 4) \u003d - 3 3 4.

Жауап:Сегмент үшін [1; 4] - m A x y x ∈ [1; 4] \u003d y (2) \u003d 3, м i n x ∈ [1; 4] \u003d y (2) \u003d 3, сегмент үшін [- 4; - 1] - m a x x ∈ [- 4; - 1] \u003d y (- 1) \u003d 3, м i n x ∈ [- 4; - 1] \u003d y (- 4) \u003d - 3 3 4.

Суретті қараңыз:

Оқу алдында бұл әдісБіз сізге бір жақты шегі мен шексіздіктің шегі қалай есептеу керектігін қайталауға кеңес береміз, сонымен қатар олардың орналасқан жерінің негізгі әдістерін біліңіз. Сыртқы немесе шексіз аралық функцияның ең көп және / немесе ең аз мәнін табу үшін келесі әрекеттерді орындаңыз.

1. Алдымен, берілген аралық осы функцияны анықтау аймағының ішкі жиынтығын тексеру керек.
2. Біз қалаған интервалда және бірінші туынды болмаса, біз барлық нүктелерді анықтаймыз. Әдетте оларда дәлелдер модуль белгісінде және қуат функциялары бөлшек функциялары бар функциялары бар, ал қуат функциялары FROWARD FROUNCTION. Егер бұл нүктелер болмаса, келесі қадамға өтуге болады.
3. Енді біз стационарлық нүктелер белгілі бір алшақтықта не болатынын анықтаймыз. Біріншіден, туынды 0-ге теңестіріңіз, теңдеуді шешіп, оң тамырларды таңдаңыз. Егер бізде бір стационарлық нүкте болмаса немесе олар белгілі бір интервалға түспесе, содан кейін дереу одан әрі әрекеттерге барыңыз. Олар аралық көзқараспен анықталады.

• Егер аралықта [a; b), содан кейін X \u003d A және бір жақты нүктеде функцияның мәнін есептеу керек кемшілік шегі X → → b - 0 f (x).
• Егер аралықта (A; B] пішіні болса, онда біз X \u003d B нүктесінде және x x x x x x x arm x arm x arh x → a + 0 f (x) функциясының мәнін есептеуіміз керек.
• Егер аралықта (а; b) пішіні болса, онда біз LIM X x → B - 0 F (X), LIM X x → A + 0 F (x) санының бір жақты шегін есептеуіміз керек.
• Егер аралықта [a; + ∞), содан кейін X \u003d A нүктесіндегі мәнді және шексіздік Lim x x} → + ∞ f (x) бойынша мәнді есептеу қажет.
• Егер аралыққа ұқсаса (- ∞; b], біз X \u003d B нүктесінде мәнді есептейміз және x x x x x x ∞ ∞ ∞ f (x).
• Егер - ∞; b, содан кейін біз бір жақты Lime Lim X → B - 0 F (x) және минус шексіздігінің лимиті және минус шексіз Lim x → ∞ f (x)
• Егер - ∞; + ∞, біз шексіз LIM X ox x → + ∞ F (x), LIM X → - ∞ F (x) шегіне шектеулер деп санаймыз.

1. Соңында алынған функциялар мен шектеулер негізінде қорытынды жасау қажет. Мұнда көптеген нұсқалар бар. Сонымен, егер бір жақты шегі болмаса, шексіздіктен немесе шексіздікке ұшыраса, функцияның ең кішкентай және ең үлкен мәні туралы ештеңе айтуға болмайды. Төменде біз бір үлгі талдамыз. Толық сипаттамалар сізге не түсінуге көмектеседі. Қажет болса, сіз материалдың бірінші бөлігіндегі 4 - 8 суреттерге оралуға болады.

2-мысал.

Шарты: y \u003d 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 функциясы берілген. Интервалдардағы ең үлкен және ең кіші мәнді есептеңіз - ∞; - 4, - ∞; - 3, (- 3; 1), (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Шешім

Біріншіден, біз далалық анықтама аймағын табамыз. Дені Донотерде Фраси - үш мелан, ол 0-ге хабарласпауы керек шаршы мелан

x 2 + x - 6 \u003d 0 d \u003d 1 2 - 4 · 1 · 1 · (6) \u003d 25 x 1 \u003d - 1 - 5 2 \u003d - 3 x 2 \u003d - 1 + 5 2 \u003d 2 \u003d 2 ⇒ D (y): x ∈ (- ∞; - 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2; 2; + ∞)

Біз шартта көрсетілген барлық аралықтарды анықтау өрісін алдық.

Енді функцияның саралануын орындаңыз және алыңыз:

y «\u003d 3 e 1 x 2 + x 2 + x - 6» \u003d 3 x 2 + x 2 + x - 6 »\u003d 3 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 + x - 6» \u003d \u003d 3 · E 1 x 2 + x - 6 · 1 «x 2 + x - 6» (2 + x - 6 »(x 2 + x - 6) 2 \u003d 3 · (2 \u200b\u200bx + 1) · E 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Демек, туынды құралдар оның анықтамасы бар.

Тұрақты ұпайларды табуға тырысайық. Туынды 0 x \u003d - 1 2-ге дейін. Бұл стационарлық нүкте, ол аралықта орналасқан (- 3; 1] және (- 3; 2).

X \u003d 4-те функцияның мәнін (- ∞; - 4], сонымен қатар минус шексіздігінің шегі:

y (- 4) \u003d 3 E 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 LIN X → - ∞ 3 e 1 x 2 + X - 6 \u003d 6 \u003d 3 e 0 - 4 \u003d - 1

3 e 1 6 - 4\u003e - 1, сондықтан, демек, maxyx ∈ (- ∞; 4] \u003d y (- 4) \u003d 3 e 1 6 - 4. Бізге ең аз мәнді бірегей ету мүмкіндігін бермейді Функция. Біз тек төмендегі қорытынды - бұл тек лимит - 1, өйткені бұл функцияның дәл осыған қарамастан, бұл функция минус шексіздікке асимптотикалық жағынан жақындап келеді.

Екінші аралықтың ерекшелігі - бірыңғай стационарлық нүкте және бір қатаң шекарасы жоқ. Демек, біз ең үлкен немесе ең кіші функция мәнін есептей алмаймыз. Минус шексіздігінің шегін анықтап, аргумент сол жақта 3-ке жасалған кезде, біз тек құндылық аралығын ала аламыз:

лим x → - 3 - 0 3 x 2 x 2 + X 2 + X - 6 - 4 \u003d - 3 - 6 - 4 \u003d - 3 - 0 3 e 1 (X + 3) (x + 3) (x + 3) (x + 3) - 4 \u003d 3 e 1 (- 3 - 0) (- 3 - 0) + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 \u003d \u003d 3 E 1 (+ 0) - 4 \u003d 3 ∞ + ∞ - 4 \u003d + ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ x x 2 x 2 + x - 6 - 4 \u003d 3 e 0 - 4 \u003d - 1

Бұл функцияның мәні - 1 аралық жерде орналасатынын білдіреді; + ∞.

Үшінші алшақтықта ең көп функцияны табу үшін, біз оның мәнін x \u003d - 1 2, егер x \u003d 1 болса, анықтайды. Сондай-ақ, біз дәлелдеу үшін біржақты шектеуді білуіміз керек, ал дәлел - 3 оң жақта:

y - 1 2 \u003d 3 e 1 - 1 2 2 2 + - 1 2 - 1 - 6 - 4 \u003d 4 \u003d 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 Y (1) \u003d 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 6 - 4 ≈ - 1. 644 LIN x → - 3 + 0 3 x 2 x 2 + x 2 + x 2 + x - 6 - 4 \u003d - 6 - 4 \u003d - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x + 3) (x + 3) (x + 3) - 4 \u003d 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 \u003d \u003d 3 E 1 (- 0) - 4 \u003d 3 e - 4 \u003d 4 \u003d 3 · 0 - 4 \u003d 4 \u003d 4

Бізде ең көп құндылық стационарлық миниктерде қабылданады (3; 1] \u003d y - 1 2 \u003d 3 e - 4 25 - 4 25 - 4. Ең азы үшін оны анықтау мүмкін емес. Біз бәрін білеміз. - Бұл төменде шектеулердің болуы - 4.

Аралық үшін (- 3; 2), біз алдыңғы есептеу нәтижелерін аламыз және сол жақта 2-ге жету кезінде бір жақты шегіне теңдікті есептейміз:

y - 1 2 \u003d 3 e 1 - 1 2 2 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 \u003d 3 - 4 \u003d 4 25 - 4 25 - 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 LIN X → - 3 + 0 3 x 2 + x 2 + x 2 + x 2 + x 2 + x ► → 2 - 0 3 x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x 2 + X - 6 - 4 \u003d - 3 + 0 3 e → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 \u003d 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) (2 - 0 - 2) - 4 \u003d 3 e 1 - 0 - 4 \u003d 4 \u003d 4 \u003d 3 · 0 - 4 \u003d - 4

Сонымен, m A x y x ∈ (- 3; 2) \u003d y - 1 2 \u003d 3 e - 4 25 - 4, ал ең кіші мән мүмкін емес, ал функцияның мәндері төменгі жағымен шектеледі.

Алдыңғы екі есепте жасағанымызға сүйене отырып, біз оны аралықта [1; 2) функция x \u003d 1-де үлкен мәнді алады, ал ең кішісін табу мүмкін емес.

Аралықта (2; + ∞) функция үлкенге жетпейді, ең кіші мәнге жетпейді, I.E. Ол алшақтықтан - 1; + ∞.

→ 2 + 0 3 e 1 x 2 + x 2 + x 2 + x 2 + x 2 \u003d 6 - 4 \u003d - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x + 3) (x + 3) (x + 3) - 4 \u003d 3 e 1 (2 + 0 + 3) ) (2 + 0 - 2) - 4 \u003d 3 e 1 (+ 0) - 4 \u003d 3 ₸ - 4 \u003d ∞ 1 \u003d + ∞ LIM X ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ x ∞ x x x ∞ ∞ 1 x 2 + x 2 + x - 6 - 4 \u003d 4 \u003d 3 e 0 \u003d 3 e 0 - 4 \u003d - 1

X \u003d 4-тегі функцияның мәні қандай болатынын есептеу, біз бұл туралы білеміз, біз оны x x x ∈ [4; + ∞) \u003d y (4) \u003d 3 e 1 14 - 4, ал шексіздіктің плюс қосқан функциясы Y \u003d - 1-ге асимптотикалық түрде жақындап келеді.

Ол біз әр есептеуде болған, берілген функцияның графигімен салыстыруға болады. Суреттегі асимптоталар нүктелі сызық бойынша көрсетіледі.

Міне, біз жұмыстың ең үлкен және кіші мәндерін табу туралы айтқымыз келді. Біз басқарған әрекеттердің тізбегі қажетті есептеулерді тез және жай ғана жасауға көмектеседі. Бірақ есіңізде болсын, алдымен функцияның қай кезеңдерден төмендейтінін және қандай өсіп келе жатқанын білетіндігін ұмытпаңыз, содан кейін сіз одан әрі қорытынды жасай аласыз. Сонымен, сіз функцияның ең үлкен және ең үлкен құнын анықтап, алынған нәтижелерді ақтай аласыз.

Егер сіз мәтіннің қатесін байқасаңыз, оны таңдап, Ctrl + Enter пернелер тіркесімін басыңыз

Кейде B15 тапсырмалары «жаман» функцияларды бастан кешіреді, ол үшін туынды табу қиын. Бұған дейін, бұл тек зондтарда болған, бірақ қазір бұл тапсырмалар соншалықты кең таралған, олар бұдан былай бұл атқа дайындала алмайды.

Бұл жағдайда басқа әдістер жұмыс істейді, олардың бірі - монотон.

F (x) функциясы сегментте монотонды түрде өсіп, егер осы сегменттің x 1 және x 2 тармақтары үшін келесілер болса, келесідей:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

F (x) функциясы сегменттегі монотоникалық азаю деп аталады, егер осы сегменттің x 1 және x 2 және x 2 тармақтары үшін келесілер келесідей болса:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1)\u003e F ( x 2).

Басқаша айтқанда, көбейту функциясы үшін, x, одан да көп, көбірек f (x). Функцияны азайту үшін, басқа жол: The Hore, The аздау f (x).

Мысалы, логарифм, егер база\u003e 1 болса және 0 болса, монотоникалық түрде азаяды< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) \u003d log a x (a\u003e 0; a ≠ 1; x\u003e 0)

Арифметикалық квадрат (және тек квадрат емес) тамыры анықтамалық аймақта біртіндеп артады:

Индикативті функция логарифмге ұқсас әрекет етеді: A\u003e 1-де өседі және 0-де азаяды< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) \u003d a x (a\u003e 0)

Соңында, теріс көрсеткіштен. Сіз оларды фракция ретінде жаза аласыз. Монотония бұзылған үзіліс нүктесі бар.

Барлық осы функциялар ешқашан таза түрде болмайды. Олар полиномиалдар, фракциялар және басқа да сандырақ қосады, себебі туынды деп санауға қиын болады. Не болады - енді біз тексереміз.

Vertex параболасының координаттары

Көбінесе, функция дәлелімен ауыстырылады квадрат қатты Y \u003d AX 2 + BX + C қарау. Оның кестесі - бізді қызықтыратын стандартты парабола.

1. Парабола филиалдары - көтерілуі мүмкін (A\u003e 0) немесе төмен (a)< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Параболаның жоғарғы жағы - квадраттық функцияның экстремумдық нүктесі, ол осы функция ең кішкентай (A\u003e 0 үшін) немесе ең үлкені (a)< 0) значение.

Ең үлкен қызығушылық Үздік параболия.ABSCISSA формуласымен есептеледі:

Сонымен, біз квадраттық функцияның экстремумы нүктесін таптық. Бірақ егер монотонның бастапқы функциясы болса, ол үшін X 0 нүктесі экстремумдық нүкте болады. Осылайша, біз негізгі ережені тұжырымдаймыз:

Квадрат квадраттық пункті және кешенді функцияол кіретін, сәйкес келеді. Сондықтан, сіз квадрат үш кілт үшін x 0 іздеуге және функцияны ұсына аласыз.

Жоғарыда келтірілген пайдандардан түсініксіз болып қалады, біз қайсысын аламыз: максимум немесе минимум. Алайда, тапсырмалар арнайы құрылған, сондықтан ол маңызды емес. Өзіңіз үшін судья:

1. Мәселе жағдайында сегмент жоқ. Сондықтан f (a) және f (b) есептеу талап етілмейді. Бұл тек экстремумдық ұпайларды ескеруді қалады;
2. Бірақ парабола x 0-дің жоғарғы жағы тек бір нүкте болып табылады, олардың координаттары сөзсіз ауызша және ешқандай туынды құралдарсыз есептеледі.

Осылайша, мәселенің шешімі күрт жеңілдетіліп, екі сатыға түседі:

1. Parabolla теңдеуін y \u003d ax 2 + bx + c жазып алыңыз және оны Vertex формуласы бойынша, формула бойынша табыңыз: x 0 \u003d -B / -B / 2A;
2. Осы кезде бастапқы функцияның мәнін табыңыз: f (x 0). Егер қосымша жағдайлар болмаса, ол жауап болады.

Бір қарағанда, бұл алгоритм және оның негіздемесі күрделі болып көрінуі мүмкін. Мен әдейі «жалаңаш» шешім схемасын жарияламайды, өйткені мұндай ережелерді ойланбастан қолдану қателіктермен ауырады.

Нақты тапсырмаларды қарастырыңыз trination Ege Математикада - бұл әдіс жиі кездеседі. Сонымен бірге, біз осылайша біз бұл жолмен B15 көптеген тапсырмалар ауызша болатынын көреміз.

Тамырдың құны бойынша квадраттық функция y \u003d x 2 + 6x + 13. Бұл функцияның графигі - парабола бұтақтары, өйткені A \u003d 1\u003e 0 коэффициенті.

Үздік парабола:

x 0 \u003d -B / (2a) \u003d -6 / (2 · 1) \u003d -6/2 \u003d -3

Парабола филиалдары жоғары қарай бағытталғандықтан, x 0 \u003d -3 нүктесінде y \u003d x 2 + 6x + 13 функциясы ең кіші мәнді алады.

Тамыр монотоникалық түрде артады, бұл x 0 дегенді білдіреді - бүкіл функцияның ең төменгі нүктесі. Бізде бар:

Тапсырма. Функцияның ең кішкентай функциясын табыңыз:

y \u003d Журнал 2 (x 2 + 2x + 9)

Квадраттық функцияның астында: y \u003d x 2 + 2x + 9. Диаграмма - парабола филиалдары, өйткені a \u003d 1\u003e 0.

Үздік парабола:

x 0 \u003d -B / (2a) \u003d -2 / (2 · 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Сонымен, x 0 \u003d -1 нүктесінде квадрат функциясы ең аз мәнді алады. Бірақ y \u003d log 2 x функциясы монотонды, сондықтан:

y min \u003d y (-1) \u003d Журнал 2 ((-1) 2 + 2 + 2 (-1) + 9) \u003d ... \u003d ... \u003d log 2 8 \u003d 3

Индикатор - y \u003d 1 - 4x - x 2 квадраттық функциясы. Оны қалыпты түрде қайта жазыңыз: y \u003d -x 2 - 4x + 1.

Бұл функцияның кестесі - парабола, бұтақтар (A \u003d -1)< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 \u003d -B / (2a) \u003d - (- 4) / (- 4) / (2) / (2)) \u003d 4 / (- 2) \u003d -2

Бастапқы функция индикативті, ол монотонна, сондықтан ең үлкен мән табылған жағдайда x 0 \u003d -2 болады:

Мұқият оқырман тамыр мен логарифмнің рұқсат етілген құндылықтарының аймағын есептен шығарғанымызды байқайтын шығар. Бірақ бұл қажет емес еді: функциялардың ішінде әрқашан оң.

Функцияны анықтау функциясынан салдарлар

Кейде В15 мәселесін шешу үшін параболаның жоғарғы жағын табу жеткіліксіз. Қажетті мән өтірік айтуы мүмкін кесудің соңында, және экстремумның мүлдем жоқ. Егер тапсырма сегментін мүлде көрсетпесе, біз қарастырамыз рұқсат етілетін мәндер Бастапқы функция. Атап айтқанда:

Қайта назар аударыңыз: нөл тамыр астында болуы мүмкін, бірақ логарифмде немесе деномоерде ешқашан болмайды. Оның нақты мысалдармен қалай жұмыс істейтінін көрейік:

Тапсырма. Функцияның ең үлкен мәнін табыңыз:

Түбірдің астында квадраттық функция: y \u003d 3 - 2x - x 2. Оның графикі - парабола, бірақ бұтақтар, өйткені A \u003d -1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Біз рұқсат етілген құндылықтардың (OTZ) ауданын жазамыз:

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x + 3) (x + 3) ≤ 0 ⇒ x ∈ [-3; бір]

Енді біз параболаның жоғарғы жағын табамыз:

x 0 \u003d -B / (2a) \u003d - (- 2) / (2) / (2) / (2)) \u003d 2 / (- 2) \u003d -1

X 0 \u003d -1 нүктесі Отц сегментіне жатады - және бұл жақсы. Енді біз X 0 нүктесіндегі функцияның құнын, сонымен қатар Отцтың ұштарында да қарастырамыз:

y (-3) \u003d y (1) \u003d 0

Сонымен, олар 2-ге және 0 санына ие болды. Бізге ең үлкенін табу сұралады - бұл 2-ші сан.

Тапсырма. Функцияның ең кішкентай функциясын табыңыз:

y \u003d Журнал 0.5 (6x - X 2 - 5)

Логарифмнің ішінде y \u003d 6x - x 2 - 5. квадраттық функцияның ішінде тұрады, бірақ бұл парабола бұтақтары, бірақ логарифмде болмайды теріс сандар, сондықтан біз ...

6x - x 2 - 5\u003e 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Сұраймыз Ескерту: теңсіздік қатаң, сондықтан ұшы OTZ тиесілі емес. Бұл логарифм тамырдан өзгеше, онда сегменттің ұштары өте қолайлы болатын.

Біз параболаның жоғарғы жағын іздейміз:

x 0 \u003d -B / (2A) \u003d -6 / (2 / (2) \u003d -6 / (-1)) \u003d -6 / (- 2) \u003d 3

Параболаның жоғарғы жағы ODZ үшін жарамды: x 0 \u003d 3 ∈ (1; 5). Бірақ сегмент аяқталғаннан кейін бізді қызықтырмайды, функцияның мәнін тек x 0 мәнін ескеріңіз:

y min \u003d y (3) \u003d LOG 0.5 (6 · 3 - 3 2 - 5) \u003d log mail 0.5 (18 - 9 - 5) \u003d LOG 0.5 4 \u003d -2

Функцияның ең үлкен және кіші мәндері туралы түсінік.

Ұпай жинау тұжырымдамасы және ең кіші мәндер функцияның сыни функциясы туралы түсінікпен тығыз байланысты.

Анықтама 1.

$ x_0 $ $ f (x) $ функциясының сыни нүктесі деп аталады, егер:

1) $ x_0 $ - анықтамасы ауданының ішкі нүктесі;

2) $ f «\\ сол жақ (x_0 \\ оң жақ) \u003d 0 $ немесе жоқ.

Біз қазір ұлы және ең кішкентай функциясы құнның анықтамалары енгізу.

Анықтама 2.

$ X $ Gap-та $ y \u003d f (e \u003d f (x) $ функциялары x $ нүктесінде $ x \\ x x \\ x x $ теңдікке сәйкес келеді

Анықтама 3.

барлық $ х \\ х $ теңсіздікті үшін жүзеге асырылады, мұндай, бұл функция $ у \u003d F (х) $ x_0 \\ х $ нүктесі болмаса $ X $ айырмашылыққа анықталады $ оның ең кіші мәнді жетеді,

Функцияның сегментіндегі Weierstrass теоремасы

Біз функцияның сегментінде үздіксіз тұжырымдаманы бастаймыз:

Анықтама 4.

$ F \\ Сол функция (X \\ оң жақ), бұл $ (A, B) $ интервалының әрбір нүктесінде үздіксіз болса, бөлімінде $$ үздіксіз деп аталады, және $ X \u003d а $ оңға үздіксіз болып табылады және х нүктесі \u003d B $ $ қалдырылды.

Функцияның сегментіндегі үздіксіз функция туралы теореманы тұжырымдаймыз.

Теорема 1.

Веерстрстрасс теоремасы

$$ $ $ функциялары $ f \\ LOLD (x \\ оң) $ (x \\ оң) $, оның ең үлкен және ең кіші мәніне жетеді, яғни, $ \\ Alpha, \\ Alpha, \\ beta \\ $ x \\ $ теңсіздік (\\ Alpha) \\ Le F (х) \\ Le F (\\ бета) $ F $ табылады орындады.

Теореманы геометриялық интерпретациялау 1-суретте көрсетілген.

Мұнда $ f (x) $ функциясы ең аз мәнге жетеді $ x \u003d \\ Alpha $ дейін $ x \u003d \\ beta $ құрайды.

$$ сегменттегі $ f (x) $ функциясының ең үлкен және кіші мәндерін табу схемасы

1) $ (х) $ «F бір туынды таба;

2) сол жақ туынды $ F «\\ (х \\ оң) \u003d 0 $ онда ұпай таба;

3) DERIVAY $ F (x) $ () $ () болмаған ұпайларды табыңыз;

4) $$ сегментіне жататын 2 және 3-тармақтарда алынған адамдардан таңдаңыз;

5) есептеңіз 4-тармағында, сондай-ақ $$ кесіндінің ұштарында алынған нүктелерінде функцияның мәні;

6) Мәндерден ең үлкен және кіші мәнді таңдаңыз.

Сегменттегі жұмыстың ең үлкен және кіші мәндерін табу үшін тапсырмалар

1-мысал.

Сегменттегі функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін табыңыз: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + $ 1

Шешім.

1) $ f «\\ сол жақ (x \\ оң жақ) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;

2) $ f «\\ сол жақ (x \\ оң жақ) \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ 2 \\ \\ in \\ in \\ in \\ 3 \\ $ 2;

5) Мәндер:

\ \ \ \

6) Табылған құндылықтарды ірі табылған құндылықтарды ұсақ $ 1 $, $ 33 $ құрайды. Осылайша, біз:

Жауап: $ Max \u003d 33, \\ min \u003d 1 $.

2-мысал.

Сегменттегі функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін табыңыз: $ F \\ LOLL (x \\ оң жақ) \u003d x ^ 3-3x ^ 2-45x + 225

Шешім.

Шешім жоғарыдағы схема бойынша жүзеге асырылады.

сол жақ 1) $ F «\\ (х \\ оң) \u003d 3x ^ 2-6x-45 $;

2) $ f «\\ сол жақ (x \\ оң жақ) \u003d 0 $;

\ \ \

3) $ f «(x) $ анықтама аймағының барлық нүктелерінде бар;

4) $ -3 \\ notin \\ nour, \\ 5 \\ $ -да;

5) Мәндер:

\ \ \

6) Табылған мәндердің ең көп бөлігі 225 долларды құрайды, табылған мәндердің ең кішісі - $ 50. Осылайша, біз:

Жауап: $ Max \u003d 225, \\ min \u003d $ 50.

3-мысал.

Сегменттегі функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін табыңыз [-2,2]: $ F \\ LELD (x \\ оң жақ) \u003d \\ Frac (x ^ 2-6x + 9) (x - 1) $

Шешім.

Шешім жоғарыдағы схема бойынша жүзеге асырылады.

1) $ f «\\ lint (x \\ оң жақ) \u003d \\ \\ {\\ frac (\\ \\ сол жақ (2x-6 \\ оң жақ) \\ сол жақ (x-1 \\ оң жақ) - (x ^ 2-6x + 9) 1)) ^ 2) \u003d \\ frac (x ^ 2-2x-3) (((x-1)) ^ 2) $;

2) $ f «\\ сол жақ (x \\ оң жақ) \u003d 0 $;

\\ [\\ Frac (x ^ 2-2x-3) (((x - 1)) ^ 2) \u003d 0 \\] \\ \\

3) $ f «(x) $ POIDE $ x \u003d 1 $ жоқ

4) $ 3 \\ \\ солға [-2.2 \\ оңға], \\ -1 \\ \\ қалған [-2.2 \\ оңға], \\ 1 \\ \\ солға [-2.2 \\ оңға], алайда 1 аудандарда тиесілі емес $, жылы notin анықтама;

5) Мәндер:

\ \ \

6) Табылған мәндердің ең көп бөлігі $ 1 $ құрайды, табылған мәндердің ең кішісі - $ -8 \\ Frac (1) (3) (3) $. Осылайша, біз: \\ санаймыз)

Жауап: $ Max \u003d 1, \\ min \u003d\u003d - 8 \\ frac (1) (3) $.

Math Ege-ден B14 тапсырмасында бір айнымалы функцияның ең кіші немесе көп мәнін табу қажет. Бұл өте маңызды мәселе математикалық талдауОсы себепті, мұны қалыпты шешуді үйрену, мүмкін орта мектептің түлектері. Біз мектеп оқушылары шешкен бірнеше мысалды талдаймыз диагностикалық жұмыс Мәскеуде 2011 жылдың 7 желтоқсанында өткен математика бойынша.

Функцияның максималды немесе минималды мәнін тапқыңыз келетін бос орынға байланысты, келесі стандартты алгоритмдердің бірі осы мәселені шешу үшін қолданылады.

I. Сегменттегі функцияның ең үлкен немесе ең кіші мәнін табу үшін алгоритм.

• Туынды функцияны табыңыз.
• Күдікті күдікті тармақтардан, осы сегменттің және функцияны анықтау аймағына жататындар.
• Мәндерді есептеңіз функциялар (Алданбайды!) Осы тармақтарда.
• Алынған құндылықтардың ішінде ең үлкен немесе кішісін таңдаңыз, ол қалаған болады.

1-мысал. Ең кішкентай функцияны табыңыз
y. = х. 3 – 18х. 2 + 81х. 23 сегментте.

Шешім:біз сегменттегі функцияның ең аз мәнін табу алгоритмінде әрекет етеміз:

• Өрісті анықтау аймағы шектелмейді: D (y) = Р.
• Туынды функция: у » = 3х. 2 – 36х. + 81. Туынды функцияның анықтамасы да шектелмейді: D (Y ') = Р.
• Зерос туындысы: у » = 3х. 2 – 36х. + 81 \u003d 0, содан кейін х. 2 – 12х. + 27 \u003d 0, қайдан х. \u003d 3 I. х. \u003d 9, біздің алшақтықтарымыз тек кіреді х. \u003d 9 (бір нүкте, экстремумға күдікті).
• Біз функцияның мәнін экстремумға күдікті және алшақтықтың жиектерінде табамыз. Есептеуге ыңғайлы болу үшін, функцияны формада елестетіңіз: y. = х. 3 – 18х. 2 + 81х. + 23 = х.(х.-9) 2 +23:
  • y.(8) \u003d 8 · (8-9) 2 +23 \u003d 31;
  • y.(9) \u003d 9 · (9-9) 2 +23 \u003d 23;
  • y.(13) \u003d 13 · (13-9) 2 +23 \u003d 231.

Сонымен, ең кішкентай құндылықтардан 23-ке дейін. Жауап: 23.

Ii. Ең үлкен немесе кіші функция мәнін табу алгоритмі:

• Функцияны анықтау аймағын табыңыз.
• Туынды функцияны табыңыз.
• Экстремумға күдікті, (туынды функциясы нөлге түсетін нүктелер мен екі жақты терминалды туынды болмайтын нүктелер) анықтаңыз.
• Осы нүктелер мен өрісті анықтау аймағын сандық бағыттағы және таңбаларды анықтаңыз туынды (Жұмыс істемейді!) Алынған уақыт аралығында.
• Құндылықтарды анықтаңыз функциялар (Болар емес!) Минимум нүктелерінде (минималды өзгерістердің белгісі минусқа өзгереді) осы мәндердің ең кішісі ең кіші функцияның мәні болады. Егер минимумның нүктелері болмаса, онда функцияның ең азы жоқ.
• Құндылықтарды анықтаңыз функциялар (Максимумға дейін! Егер максималды нүктелер болмаса, онда функция ең үлкен мән болмайды.

2-мысал. Функцияның ең үлкен мәнін табыңыз.