Біраз уақыт бойы TheBat жүйесінде SSL сертификаттарының кіріктірілген дерекқоры (қандай себеппен екені белгісіз) дұрыс жұмысын тоқтатады.

Хабарламаларды тексеру кезінде қате пайда болады:

Белгісіз CA сертификаты
Сервер сеанста түбірлік сертификат ұсынбады және сәйкес түбірлік сертификат мекенжай кітабынан табылмады.
Бұл байланыс жасырын болуы мүмкін емес. өтінемін
сервер әкімшісіне хабарласыңыз.

Жауаптарды таңдау бар - ИӘ / ЖОҚ. Сонымен, сіз поштаны алған сайын.

Шешім

Бұл жағдайда сізге S / MIME және TLS енгізу стандартын TheBat -те Microsoft CryptoAPI -мен ауыстыру қажет!

Барлық файлдарды бір файлға біріктіру қажет болғандықтан, мен алдымен барлық құжаттарды бір файлға айналдырдым pdf файлы(Acrobat бағдарламасының көмегімен), содан кейін онлайн түрлендіргіш арқылы fb2 түрлендіріледі. Сіз сондай -ақ файлдарды бөлек түрлендіре аласыз. Пішімдер кез келген (бастапқы) және doc, jpg, тіпті zip мұрағаты болуы мүмкін!

Сайттың атауы мәнге сәйкес келеді :) Онлайн Photoshop.

2015 жылдың мамырын жаңартыңыз

Мен тағы бір керемет сайт таптым! Бұл мүлдем ерікті коллаж жасау үшін одан да ыңғайлы және функционалды! Бұл сайт http://www.fotor.com/kz/collage/. Оны денсаулығыңызға пайдаланыңыз. Ал мен оны өзім қолданамын.

Менің өмірімде электр плитасын жөндеумен бетпе -бет келді. Мен қазірдің өзінде көп нәрсе жасадым, көп нәрсені үйрендім, бірақ әйтеуір плиткамен жұмысым аз болды. Реттегіштер мен оттықтардағы контактілерді ауыстыру қажет болды. Сұрақ туды - электр плитасындағы оттықтың диаметрін қалай анықтауға болады?

Жауап қарапайым болды. Сізге ештеңені өлшеудің қажеті жоқ, сіз өзіңізге қандай өлшем қажет екенін тыныш анықтай аласыз.

Ең кішкентай оттықол 145 миллиметр (14,5 сантиметр)

Орташа ыстық пешол 180 миллиметр (18 сантиметр).

Және, ең соңында үлкен оттық 225 миллиметр (22,5 сантиметр).

Өлшемді көзбен анықтау және сізге қыздырғыштың қандай диаметрі қажет екенін түсіну жеткілікті. Мен мұны білмегенде, мен осы өлшемдермен ұшып жүрдім, қалай өлшеу керектігін, қай шетін бағдарлау керектігін білмедім және т. Енді мен ақылдымын :) Мен сізге көмектестім деп үміттенемін!

Өмірімде мен осындай міндетке тап болдым. Мен жалғыз емеспін деп ойлаймын.

Егер тапсырмада өндіру қажет болса толық зерттеу f (x) = x 2 4 x 2 - 1 функциясы оның графигінің құрылысы бойынша, онда біз бұл принципті егжей -тегжейлі қарастырамыз.

Мұндай есепті шешу үшін негізгі элементарлы функциялардың қасиеттері мен графиктерін қолдану керек. Зерттеу алгоритмі келесі қадамдарды қамтиды:

Ауқымды табу

Зерттеу функцияны анықтау аймағында жүргізілетіндіктен, осы қадамнан бастау қажет.

Мысал 1

Пер берілген мысалоларды ОДЗ -дан шығару үшін бөлгіштің нөлдерін табуды болжайды.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; + ∞

Нәтижесінде сіз түбірлерді, логарифмдерді және т.б. Одан кейін ODV g (x) 4 типінің жұп дәрежесінің түбірін g (x) ≥ 0 теңсіздігімен, log a g (x) логарифмі үшін g (x)> 0 теңсіздігімен іздеуге болады.

ODZ шекараларын зерттеу және тік асимптоталарды табу

Мұндай нүктелердегі біржақты шектер шексіз болған кезде функцияның шекараларында вертикальды асимптоталар болады.

Мысал 2

Мысалы, x = ± 1 2 -ге тең шекара нүктелерін қарастырыңыз.

Содан кейін біржақты шекті табу үшін функцияға зерттеу жүргізу қажет. Сонда біз мынаны аламыз: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) ) (2 x + 1) = 1 4 ( - 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( - 2) ( + 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( - 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Демек, бір жақты шектердің шексіз екенін көруге болады, яғни x = ± 1 2 түзулері графиктің тік асимптоталары болып табылады.

Функцияны және жұп немесе тақ жұптықты зерттеу

Y (- x) = y (x) шарты орындалған кезде функция жұп болып саналады. Бұл график O -ге қатысты симметриялы орналасқанын көрсетеді. Y ( - x) = - y (x) шарты орындалған кезде функция тақ деп есептеледі. Бұл симметрияның шығу тегіне қатысты екенін білдіреді. Егер кем дегенде бір теңсіздік қанағаттандырылмаса, біз жалпы функция аламыз.

Y (- x) = y (x) теңдігі функцияның жұп екенін білдіреді. Құрылыс кезінде O y қатысты симметрия болатынын ескеру қажет.

Теңсіздікті шешу үшін, сәйкесінше f «(x) ≥ 0 және f» (x) ≤ 0 шарттарымен өсу мен кему интервалдары қолданылады.

Анықтама 1

Тұрақты нүктелер- бұл туынды нөлге айналдыратын нүктелер.

Сыни нүктелер- бұл функцияның туындысы нөлге тең немесе жоқ доменнің ішкі нүктелері.

Шешім қабылдау кезінде келесі ескертулерді ескеру қажет:

• f «(x)> 0 түріндегі теңсіздіктердің өсуі мен төмендеуінің қол жетімді интервалдарымен шешуші нүктелер енгізілмейді;
• соңғы туындысыз функция анықталатын нүктелер өсу мен кему аралықтарына қосылуы керек (мысалы, у = х 3, мұнда x = 0 нүктесі функцияны анықтайды, туындыда шексіздік мәні бар бұл нүкте, y «= 1 3 x 2 3, y» (0) = 1 0 = ∞, x = 0 өсу интервалына қосылады);
• дауларды болдырмау үшін білім министрлігі ұсынған математикалық әдебиеттерді қолдану ұсынылады.

Критикалық нүктелерді функцияның өрісін қанағаттандырған жағдайда олардың өсу және кему аралықтарына қосылуы.

Анықтама 2

Үшін функцияның өсу және кему аралықтарын анықтау үшін табу керек:

• туынды;
• сыни нүктелер;
• сыни нүктелерді қолдана отырып, анықтау аймағын интервалға бөлу;
• әр интервалдағы туынды белгіні анықтаңыз, мұндағы + - өсу және - кему.

Мысал 3

F «(x) = x 2» (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 «(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) доменіндегі туындысын табыңыз. 2 ...

Шешім

Шешу үшін сізге қажет:

• стационарлық нүктелерді табыңыз, бұл мысалда x = 0 бар;
• бөлгіштің нөлдерін табыңыз, мысал x = ± 1 2 кезінде нөл мәнін алады.

Әр интервалдағы туынды анықтау үшін сандық осьте нүктелерді ашамыз. Ол үшін интервалдан кез келген нүктені алып, есепті орындау жеткілікті. Ат оң нәтижеграфикте біз функцияны ұлғайтуды білдіретін +және оның төмендеуін бейнелейміз.

Мысалы, f «( - 1) = - 2 · ( - 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9> 0, бұл сол жақтағы бірінші интервалда + белгісі бар екенін білдіреді. Сандар жолында қарастырайық.

Жауап:

• функция - ∞ аралығында артады; - 1 2 және (- 1 2; 0];
• интервалдың төмендеуі байқалады [0; 1 2) және 1 2; + ∞.

Диаграммада + және - көмегімен функцияның позитивтігі мен негативтілігі бейнеленеді, ал көрсеткілер - азаюы мен жоғарылауы.

Функцияның экстремум нүктелері - бұл функция анықталатын және туынды өзгеріс белгісі болатын нүктелер.

Мысал 4

Егер мысалды қарастырсақ, мұнда x = 0 болса, онда ондағы функцияның мәні f (0) = 0 2 4 0 2 - 1 = 0 -ге тең. Туынды белгісі + -дан -ға өзгеріп, x = 0 нүктесі арқылы өтсе, онда координатасы бар нүкте (0; 0) максималды нүкте болып саналады. Белгісі - -ден +-ға өзгергенде, біз ең төменгі ұпай аламыз.

Ісіну мен ойысу f «» (x) ≥ 0 және f «» (x) ≤ 0 түріндегі теңсіздіктерді шешу арқылы анықталады. Әдетте бұл атау ойыстың орнына дөңес, ал дөңестің орнына дөңес қолданылады.

Анықтама 3

Үшін ойыс және дөңес интервалдарын анықтауқажетті:

• екінші туындысын табыңыз;
• екінші туынды функцияның нөлдерін табу;
• пайда болған нүктелермен анықтау аймағын интервалға бөлу;
• алшақтық белгісін анықтаңыз.

Мысал 5

Доменнің екінші туындысын табыңыз.

Шешім

f «» (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 «= = ( - 2 x)» (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 «(4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Біз бөлгіш пен бөлгіштің нөлдерін табамыз, мұнда біздің мысалда бөлгіштің нөлдері x = ± 1 2 бар

Енді сіз нүкте қоюыңыз керек сан осіжәне әр аралықтан екінші туынды белгісін анықтаңыз. Біз мұны аламыз

Жауап:

• функция интервалдан дөңес - 1 2; 12;
• функция - ∞ интервалдарынан ойыс. - 1 2 және 1 2; + ∞.

Анықтама 4

Иілу нүктесі X 0 түріндегі нүкте; f (x 0). Егер ол функцияның графигіне жанамасы бар болса, онда ол x 0 арқылы өткенде функция өз таңбасын керісінше өзгертеді.

Басқаша айтқанда, бұл екінші туынды белгі арқылы өтетін және өзгеретін нүкте, ал нүктелердің өзінде нөлге тең немесе жоқ. Барлық нүктелер функцияның домені болып саналады.

Мысалда бұрылу нүктелері жоқ екені көрінді, себебі екінші туынды x = ± 1 2 нүктелері арқылы өту кезінде белгі береді. Олар, өз кезегінде, анықтау аясына кірмейді.

Көлденең және қиғаш асимптоталарды табу

Функцияны шексіз анықтағанда көлденең және қиғаш асимптоталарды іздеу керек.

Анықтама 5

Қиғаш асимптоталар y = k x + b теңдеуімен анықталған сызықтармен бейнеленеді, мұнда k = lim x → ∞ f (x) x және b = lim x → ∞ f (x) - k x.

K = 0 және b шексіздікке тең емес болса, біз қиғаш асимптотаның болатынын білеміз көлденең.

Басқаша айтқанда, асимптоталар - бұл функция графигі шексіз жақындайтын сызықтар. Бұл функцияның тез сызылуын жеңілдетеді.

Егер асимптоталар болмаса, бірақ функция екі шексіздікте де анықталса, функцияның графигінің қалай әрекет ететінін түсіну үшін осы шексіздіктердегі функцияның шегін есептеу қажет.

Мысал 6

Мысалы, мұны қарастырыңыз

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - kx) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

көлденең асимптотасы болып табылады. Функцияны зерттегеннен кейін оны құруға кірісуге болады.

Функцияның аралық нүктелердегі мәнін есептеу

Сызбаны барынша дәл ету үшін функцияның бірнеше мәндерін аралық нүктелерде табу ұсынылады.

Мысал 7

Біз қарастырған мысалдан x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 нүктелеріндегі функцияның мәндерін табу қажет. Функция жұп болғандықтан, біз мәндердің осы нүктелердегі мәндермен сәйкес келетінін аламыз, яғни x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4 аламыз.

Жазып, шешейік:

F ( - 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0,27 f ( - 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0,45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Функцияның максимумдары мен минимумдарын, иілу нүктелерін, аралық нүктелерін анықтау үшін асимптоталар құру қажет. Ыңғайлы белгілеу үшін өсу, кему, дөңес, ойыс аралықтары бекітілген. Төмендегі суретті қарастырыңыз.

Белгіленген нүктелер арқылы графикалық сызықтарды жүргізу қажет, бұл көрсеткілердің артынан асимптоталарға жақындауға мүмкіндік береді.

Бұл функцияның толық зерттелуін аяқтайды. Геометриялық түрлендірулер қолданылатын кейбір қарапайым функцияларды құру жағдайлары бар.

Егер сіз мәтіннен қате байқасаңыз, оны таңдап, Ctrl + Enter пернелер тіркесімін басыңыз

Функцияны қалай тексеруге және оны құруға болады?

Мен 55 томдық жинақтардың авторы, әлемдік пролетариат көсемінің жанды, жанды жүзін түсіне бастаған сияқтымын .... Баяу жол туралы қарапайым ақпараттан басталды функциялар мен графиктер, ал енді күрделі тақырыппен жұмыс табиғи нәтижемен аяқталады - мақала функциясын толық зерттеу туралы... Көптен күткен тапсырма келесідей тұжырымдалады:

Функцияны дифференциалды есептеу әдістерін қолдана отырып зерттеп, зерттеу нәтижелері бойынша оның графигін құрыңыз

Немесе қысқаша айтқанда: функцияны зерттеп, графикті салыңыз.

Неліктен зерттеу?Қарапайым жағдайларда бізбен күресу қиын болмайды элементар функциялар, көмегімен алынған графикті салыңыз қарапайым геометриялық түрлендірулержәне т.б. Дегенмен, қасиеттер мен графика көбірек күрделі функцияларанық емес, сондықтан толық зерттеу қажет.

Шешімнің негізгі кезеңдері қысқаша сипатталған анықтамалық материал Функцияны зерттеу диаграммасы, бұл бөлімге сіздің нұсқаулығыңыз. Манекендер тақырыпты кезең-кезеңмен түсіндіруді қажет етеді, кейбір оқырмандар сабақты неден бастауды және қалай ұйымдастыру керектігін білмейді, ал алдыңғы қатарлы оқушыларды тек бірнеше тармақтар қызықтыруы мүмкін. Бірақ сіз кім болсаңыз да, құрметті келуші, нұсқаулықпен ұсынылған конспект әр түрлі сабақтар v ең қысқа уақытсізді қызығушылыққа бағыттайды және бағыттайды. Роботтар көз жасын төкті =) Нұсқаулық pdf файл түрінде беріліп, бетте лайықты орын алды Математикалық формулалар мен кестелер.

Мен функцияны зерттеуді 5-6 нүктеге бөлетінмін:

6) Зерттеу нәтижелері бойынша қосымша нүктелер мен график.

Ақырғы әрекет есебінен, мен бәрін түсінемін деп ойлаймын - егер бірнеше секунд ішінде оны сызып тастап, тапсырма пысықтауға қайтарылса, бұл өте қорқынышты болады. ДҰРЫС ЖӘНЕ НАҚТЫ СУРЕТ - шешімнің басты нәтижесі! Бұл аналитикалық қадағалауды «жасырады», ал дұрыс емес және / немесе жоспарсыз кесте өте жақсы жүргізілген зерттеулерде де қиындық туғызады.

Айта кету керек, басқа дереккөздерде зерттеу нүктелерінің саны, оларды енгізу тәртібі мен дизайн стилі мен ұсынған схемадан айтарлықтай ерекшеленуі мүмкін, бірақ көп жағдайда бұл жеткілікті. Есептің қарапайым нұсқасы небәрі 2-3 кезеңнен тұрады және келесідей тұжырымдалады: «туынды көмегімен функцияны зерттеп, график құр» немесе «функцияны 1-ші және 2-ші туындыларды пайдаланып тексер, график құр».

Әрине, егер сіздің оқу құралыңызда басқа алгоритм егжей -тегжейлі талданса немесе сіздің мұғалім сізден оның дәрістерін ұстануды қатаң талап етсе, онда сіз шешімге кейбір түзетулер енгізуге тура келеді. Шанышқыны шынжырлы қасықпен ауыстыру сияқты оңай.

Функцияны жұп / тақ паритетіне тексерейік:

Осыдан кейін жазылымнан бас тарту үлгісі пайда болады:
, сондықтан бұл функция жұп немесе тақ емес.

Функция үздіксіз қосылғандықтан, тік асимптоталар болмайды.

Қиғаш асимптоталар да жоқ.

Ескерту : жоғары екенін еске саламыз өсу тәртібісондықтан, соңғы шегі дәл « плюсшексіздік ».

Функция шексіз қалай әрекет ететінін білейік:

Басқаша айтқанда, егер біз оңға қарай жүретін болсақ, онда диаграмма шексіз жоғары көтеріледі, егер солға - шексіз алыс. Иә, сонымен қатар бір жазбаның астында екі шектеу бар. Егер сізде белгілерді шешуде қиындықтар туындаса, сабаққа кіріңіз шексіз кіші функциялар.

Сонымен функция жоғарыдан шектелмейдіжәне төменнен шектелмейді... Бізде тоқтау нүктелері жоқ екенін ескере отырып, түсінікті болады функция диапазоны: - сонымен қатар кез келген нақты сан.

ПАЙДАЛЫ ТЕХНИКАЛЫҚ КӨМЕК

Тапсырманың әр кезеңі функцияның графигі туралы жаңа ақпарат әкеледісондықтан, шешім барысында LAYOUT түрін қолдану ыңғайлы. Жобаға декарттық координат жүйесін сызайық. Нақты не белгілі? Біріншіден, графикада асимптоталар жоқ, сондықтан түзу сызықтарды салудың қажеті жоқ. Екіншіден, біз шексіздікте функцияның қалай әрекет ететінін білеміз. Талдауға сәйкес, біз бірінші жуықтауды шығарамыз:

Байланысты екенін ескеріңіз сабақтастыққосылады және график осьтен кем дегенде бір рет өтуі керек. Немесе бірнеше қиылысу нүктелері бар шығар?

3) Функцияның нөлдері мен тұрақтылық интервалдары.

Алдымен графиканың ордината осімен қиылысу нүктесін табайық. Бұл оп-оңай. Функцияның мәнін есептеу қажет болғанда:

Теңіз деңгейінен бір жарым биіктікте.

Осьпен қиылысу нүктелерін табу үшін (функцияның нөлдері) теңдеуді шешу керек, және мұнда бізді жағымсыз тосынсый күтеді:

Соңында бос мүше жасырынып қалады, бұл тапсырманы едәуір қиындатады.

Мұндай теңдеудің кем дегенде бір нақты түбірі бар, және көбінесе бұл түбір иррационалды болады. Ең нашар ертегіде бізді үш кішкентай шошқа күтіп тұр. Теңдеу деп аталатын көмегімен шешуге болады Кардано формулаларыбірақ қағазды ысырап ету бүкіл зерттеумен салыстырылады. Осыған байланысты, кем дегенде біреуін табуға тырысқан жөн бүтінтүбір Сандар жоқ екенін тексерейік:
- келмейді;
- Сонда бар!

Мұнда сәттілік. Сәтсіздік болған жағдайда, сіз де тексере аласыз, және егер бұл сандар сәйкес келмесе, онда теңдеудің тиімді шешімінің мүмкіндігі өте аз. Содан кейін зерттеу нүктесін мүлдем өткізіп жіберген дұрыс - мүмкін соңғы нүктеде бір нәрсе анық болады, егер қосымша нүктелер сынса. Ал егер түбір (тамырлар) анық «нашар» болса, онда белгі тұрақтылығының интервалдары туралы үндемей, сызбаны мұқият жасаған жөн.

Дегенмен, бізде әдемі тамыр бар, сондықтан біз көпмүшені бөлеміз қалдықсыз:

Көпмүшені көпмүшеге бөлу алгоритмі сабақтың бірінші мысалында егжей -тегжейлі көрсетілген Күрделі шектеулер.

Нәтижесінде бастапқы теңдеудің сол жағы шығармаға айналады:

Енді аздап туралы сау жолөмір. Мен мұны сөзсіз түсінемін квадрат теңдеулеркүн сайын шешу керек, бірақ бүгін біз ерекшелік жасаймыз: теңдеу екі жарамды түбірі бар.

Сан жолында табылған мәндерді бір жаққа қойыңыз және интервал әдісіфункциясының белгілерін анықтаңыз:


og Осылайша, аралықпен график орналасқан
абсцисса осінің астында және аралықта - осы осьтен жоғары.

Нәтижелер біздің орналасуды егжей -тегжейлі түсіндіруге мүмкіндік береді, ал графиктің екінші жуықтауы келесідей:

Назар аударыңыз, функция интервалда кемінде бір максимумға, ал интервалда кемінде бір минимумға ие болуы керек. Бірақ кесте неше рет, қайда және қашан «бұрылады», біз әлі білмейміз. Айтпақшы, функция шексіз көп болуы мүмкін экстрема.

4) Функцияның ұлғаюы, төмендеуі және экстремасы.

Маңызды сәттерді табайық:

Бұл теңдеудің екі нақты түбірі бар. Біз оларды сан жолына қойып, туынды белгілерді анықтаймыз:


Сондықтан функция ұлғаяды және төмендейді.
Бір сәтте функция максимумға жетеді: .
Бір сәтте функция минимумға жетеді: .

Белгіленген фактілер біздің үлгіні қатаң негізге итермелейді:

Айтудың қажеті жоқ, дифференциалды есептеу - бұл күшті нәрсе. Ақырында графиктің формасын түсінейік:

5) Дөңгелек, ойыс және иілу нүктелері.

Екінші туындының маңызды нүктелерін табайық:

Белгілерді анықтайық:


Функция графигі дөңес және ойыс. Иілу нүктесінің ординатасын есептейік:.

Барлығы дерлік тазартылды.

6) Графикті дәл құруға және өзін-өзі тексеруге көмектесетін қосымша нүктелерді табу қалады. Бұл жағдайда олардың саны аз, бірақ біз назардан тыс қалмаймыз:

Суретті орындайық:

Жасыл түстеиілу нүктесі белгіленеді, кресттер - қосымша нүктелер. Кубтық функцияның графигі оның бұрылу нүктесіне симметриялы, ол әрқашан максимум мен минимум арасында болады.

Тапсырманы орындау барысында мен үш гипотетикалық аралық сызба бердім. Іс жүзінде координаталар жүйесін құру, табылған нүктелерді белгілеу және зерттеудің әр нүктесінен кейін функция графигінің қалай көрінетінін ойша анықтау жеткілікті. Дайындық деңгейі жақсы студенттерге мұндай талдауды тек жобаға қатыспай тек өз басымен жүргізу қиын болмайды.

Үшін тәуелсіз шешім:

Мысал 2

Функцияны зерттеп, графигін салыңыз.

Мұнда бәрі тезірек және қызықты болады, сабақтың соңында аяқтаудың өрескел мысалы.

Бөлшек-рационалды функцияларды зерттеу арқылы көптеген құпиялар ашылады:

Мысал 3

Дифференциалды есептеу әдістерін қолдана отырып, функцияны зерттеп, зерттеу нәтижелері бойынша оның графигін құрыңыз.

Шешім: Зерттеудің бірінші кезеңі ерекше ештеңемен ерекшеленбейді, анықталу аймағындағы тесікті қоспағанда:

1) Функция нүктеден басқа бүтін сандар сызығында анықталған және үздіксіз, домен: .

, сондықтан бұл функция жұп немесе тақ емес.

Функцияның периодты емес екені анық.

Функцияның графигі сол және оң жарты жазықтықта орналасқан екі үздіксіз тармақты білдіреді - бұл, мүмкін, 1 -тармақтың ең маңызды қорытындысы.

2) Асимптоталар, шексіздіктегі функцияның әрекеті.

а) Бір жақты шектеулерді қолдана отырып, біз күдікті нүктенің жанындағы функцияның әрекетін зерттейміз, онда тік асимптотасы анық болуы керек:

Шынында да, функциялар төзімді шексіз үзіліснүктесінде
және түзу (ось) тік асимптоталарграфика.

б) қиғаш асимптоталардың бар -жоғын тексеріңіз:

Иә, тура қиғаш асимптоталарегер графика.

Шектеулерді талдаудың мағынасы жоқ, өйткені функция өзінің қиғаш асимптотасымен құшақта екені белгілі болды. жоғарыдан шектелмейдіжәне төменнен шектелмейді.

Зерттеудің екінші нүктесі көп нәрсе әкелді маңызды ақпаратфункция туралы. Дөрекі эскиз жасайық:

№1 қорытынды тұрақтылық аралықтарына қатысты. «Минус шексіздікте» функцияның графигі абцисса осінің астында бірегей орналасқан, ал «плюс шексіздік» бойынша - осы осьтің үстінде. Сонымен қатар, біржақты шектер бізге нүктенің сол және оң жағындағы функцияның нөлден үлкен екенін айтты. Назар аударыңыз, сол жақ жазықтықта графика абциссадан кем дегенде бір рет өтуі керек. Оң жақ жарты жазықтықта функцияның нөлдері болмауы мүмкін.

№2 қорытынды - бұл функция нүктенің сол жағына қарай жоғарылайды («төменнен жоғарыға қарай»). Осы нүктенің оң жағында функция төмендейді («жоғарыдан төменге» өтеді). Диаграмманың оң жақ бөлігінде кем дегенде бір минимум болуы керек. Сол жақта шектен шығуға кепілдік берілмейді.

Қорытынды 3 нүктеге жақын орналасқан графиктің ойысы туралы сенімді ақпарат береді. Әзірге шексіздіктердегі дөңес / ойыс туралы ештеңе айта алмаймыз, өйткені сызықты жоғарыда да, төменде де асимптотасына басуға болады. Жалпы айтқанда, дәл қазір анықтаудың аналитикалық әдісі бар, бірақ графиктің формасы «ақысыз» кейінірек анық болады.

Неге сонша сөз? Келесі зерттеу нүктелерін бақылау және қателіктерден аулақ болу үшін! Қосымша есептеулер жасалған тұжырымдарға қайшы келмеуі керек.

3) Графиктің координат осьтерімен қиылысу нүктелері, функцияның тұрақты белгісінің интервалдары.

Функциялар графигі осьтен өтпейді.

Интервалдар әдісін қолдана отырып, біз белгілерді анықтаймыз:

, егер;
, егер .

Абзац нәтижелері No1 қорытындыға толық сәйкес келеді. Әр қадамнан кейін жобаны қараңыз, зерттеуге ақылмен жүгініңіз және функция графигін салуды аяқтаңыз.

Қарастырылып отырған мысалда нумератор терминмен терминге бөлінгіш арқылы бөлінеді, бұл дифференциация үшін өте тиімді:

Шындығында, бұл асимптоталарды табу кезінде жасалды.

- сыни нүкте.

Белгілерді анықтайық:

артады және төмендейді

Бір сәтте функция минимумға жетеді: .

No2 Қорытындыда да сәйкессіздіктер болған жоқ, және, бәлкім, біз дұрыс жолдамыз.

Бұл функцияның графигі анықтаманың бүкіл аумағында ойыс екенін білдіреді.

Тамаша - және сізге ештеңе салудың қажеті жоқ.

Айналу нүктелері жоқ.

Шұңқыр №3 Қорытындыға сәйкес келеді, сонымен қатар ол шексіздікте (онда да, онда да) функцияның графигі орналасқанын көрсетеді. жоғарыдаоның қиғаш асимптотасы.

6) тапсырманы саналы түрде қосымша ұпайлармен бекітіңіз. Бұл жерде сіз көп жұмыс істеуіңіз керек, өйткені біз зерттеудің екі ұпайын білеміз.

Және, мүмкін, көптен бері ұсынылған сурет:

Тапсырманы орындау барысында зерттеу кезеңдері арасында қарама-қайшылықтар болмас үшін мұқият бақылау қажет, бірақ кейде жағдай шұғыл немесе тіпті өте тығырыққа тіреледі. Мұнда талдаушы «сәйкес келмейді» - және бұл. Бұл жағдайда мен төтенше жағдай әдісін ұсынамын: біз кестеге мүмкіндігінше көп нүктені табамыз (қанша шыдамдылық жеткілікті) және оларды белгілеңіз координаталық жазықтық... Көп жағдайда табылған мәндердің графикалық талдауы шындық қайда, өтірік қайда екенін көрсетеді. Сонымен қатар, графикті кейбір бағдарламаның көмегімен, мысалы, сол Excel-де алдын ала құрастыруға болады (әрине, бұл дағдыларды қажет етеді).

Мысал 4

Дифференциалды есептеу әдістерін қолдана отырып, функцияны зерттеп, оның графигін құрыңыз.

Бұл өз бетімен шешуге мысал. Онда өзін -өзі бақылау функция паритетімен күшейеді - график оське қатысты симметриялы, ал егер сіздің зерттеуіңізде бұл фактке қайшы келетін нәрсе болса, қатені іздеңіз.

Тіпті немесе тақ функциякезінде зерттеуге болады, содан кейін графиктің симметриясын қолданыңыз. Бұл шешім оңтайлы, бірақ менің ойымша, өте ерекше көрінеді. Мен жеке санның осін қарастырамын, бірақ мен қосымша нүктелерді тек оң жақта табамын:

Мысал 5

Функцияны толық зерттеп, оның графигін құрыңыз.

Шешім: қатты жүгірді:

1) функция бүтін сан жолында анықталған және үздіксіз :.

Бұл дегеніміз, бұл функция тақ, оның графигі шығу тегіне қатысты симметриялы.

Функцияның периодты емес екені анық.

2) Асимптоталар, шексіздіктегі функцияның әрекеті.

Функция үздіксіз қосылғандықтан, тік асимптоталар болмайды

Әдетте көрсеткіші бар функция үшін бөлек«плюс» пен «минус шексіздікті» зерттеу, бірақ біздің өміріміз графиканың симметриясымен жеңілдейді - не сол жақта, не оң жақта асимптоталар бар, немесе жоқ. Сондықтан екі шексіз шектеуді бір жазбамен ресімдеуге болады. Шешу барысында біз қолданамыз Лопитал ережесі:

Түзу (ось) - графигінің көлденең асимптотасы.

Қиғаш асимптотаны табудың толық алгоритмінен қалай ақылды түрде аулақ болғанымды байқаңыз: бұл шек заңдылық болып табылады және функцияның шексіздігін анықтайды, ал көлденең асимптотаны «бір мезгілде» тапты.

Көлденең асимптотаның үздіксіздігі мен болуына байланысты, бұл функция шығады жоғарыдан шектелгенжәне төменнен шектелген.

3) Графиктің координат осьтерімен қиылысу нүктелері, тұрақтылық интервалдары.

Мұнда біз шешімді қысқартамыз:
График бастапқы нүкте арқылы өтеді.

Координат осьтерімен қиылысатын басқа нүктелер жоқ. Сонымен қатар, белгінің тұрақтылық интервалдары анық және осьті алып тастауға болады: бұл функция белгісі тек «x» -ке байланысты екенін білдіреді:
, егер;
, егер.

4) Функцияның ұлғаюы, төмендеуі, экстремасы.


- сыни нүктелер.

Нүктелер нөлге жуық симметриялы.

Туынды белгілерді анықтайық:


Функция аралықта артады және аралықта төмендейді

Бір сәтте функция максимумға жетеді: .

Меншіктің арқасында (функцияның тақтығы) минимумын алып тастауға болады:

Функция аралықта азаятындықтан, «минус шексіздікте» график орналасатыны анық астындаоның асимптотасы. Аралықта функция да төмендейді, бірақ мұнда керісінше - максималды нүктеден өткеннен кейін сызық оське жоғарыдан жақындайды.

Сонымен қатар, жоғарыда айтылғандардан, функцияның графигі «минус шексіздік» кезінде дөңес, ал «плюс шексіздік» кезінде ойыс болады.

Осы зерттеу нүктесінен кейін функция мәндерінің диапазоны да салынды:

Егер сізде қандай да бір ойды дұрыс түсінбейтін болсаңыз, мен тағы да дәптерге координат осьтерін салуға және қолына қарындашпен тапсырманың әр қорытындысын қайта талдауға шақырамын.

5) Дөңгелек, ойыс, графикалық түйісулер.

- сыни нүктелер.

Нүктелердің симметриясы сақталған, және, мүмкін, біз қателеспейміз.

Белгілерді анықтайық:


Функцияның графигі дөңес және ойыс .

Шектеулі аралықтағы дөңес / ойысуы расталды.

Барлық сыни нүктелерде графикте ауытқулар болады. Иілу нүктелерінің ординаталарын табыңыз, сонымен бірге функцияның таңданысын қолдана отырып, есептеулер санын азайтыңыз:

Рехебник Кузнецов.
III диаграммалар

Тапсырма 7. Функцияны толық зерттеп, оның графигін құрыңыз.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp Параметрлерді жүктеуді бастамас бұрын, 3 -нұсқа үшін төменде келтірілген мысалға сәйкес мәселені шешуге тырысыңыз. Кейбір опциялар .rar форматында мұрағатталған.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7.3 Функцияны толық зерттеп, оның графигін құрыңыз

Шешім.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 1) Қолданылу аясы: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp немесе & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp, яғни & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.
.
Осылайша: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2) Ox осімен қиылысу жоқ. Шынында & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp теңдеуінің шешімі жоқ.
& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp бастап Oy осімен қиылысу жоқ.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3) Функцияжұп та, тақ та емес. Ординатта симметрия жоқ. Сондай -ақ шығу тегіне қатысты симметрия жоқ. Себебі
.
Біз & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp және & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp екенін көреміз.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 4) Функция доменде үздіксіз
.

; .

; .
Демек, & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp нүктесі - екінші түрдегі үзіліс нүктесі (шексіз үзіліс).

5) тік асимптоталар:& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Қиғаш асимптотаны & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp табыңыз. Мұнда

;
.
Сондықтан бізде көлденең асимптотасы бар: y = 0... Қиғаш асимптоталар жоқ.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 6) Бірінші туынды табыңыз. Бірінші туынды:
.
Және сол себепті
.
Туынды нөлге тең болатын стационарлық нүктелерді табыңыз, яғни
.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7) Екінші туынды табыңыз. Екінші туынды:
.
Бұған сенімді болу оңай, өйткені