Логарифмнің рұқсат етілген мәндерінің диапазоны (ODV).

Енді шектеулер туралы сөйлесейік (ODZ - айнымалылардың рұқсат етілген мәндерінің ауқымы).

Біз, мысалы, квадрат түбірді теріс сандардан шығаруға болмайтынын есте ұстаймыз; немесе бізде бөлшек болса, онда бөлгіш нөл болуы мүмкін емес. Логарифмдерде ұқсас шектеулер бар:

Яғни, аргумент те, негіз де нөлден үлкен болуы керек, ал негіз де тең бола алмайды.

Неге бұлай?

Қарапайым бастайық: солай делік. Сонда, мысалы, сан жоқ, өйткені біз қандай дәрежені көтерсек те, ол әрқашан шығады. Оның үстіне, ол ешкім үшін жоқ. Бірақ сонымен бірге ол кез келген нәрсеге тең болуы мүмкін (сол себепті ол кез келген дәрежеге тең). Сондықтан объект қызығушылық тудырмайды және ол жай ғана математикадан лақтырылды.

Бұл жағдайда бізде ұқсас мәселе бар: кез келген оң дәрежеде ол бар, бірақ оны мүлдем теріс дәрежеге көтеру мүмкін емес, өйткені нөлге бөлу нәтиже береді (оны есте сақтаңыз).

Біз бөлшек дәрежеге көтеру мәселесіне тап болған кезде (ол түбір ретінде берілген:. Мысалы, (яғни), бірақ жоқ.

Сондықтан, теріс негіздермен айналысқаннан гөрі, оларды тастау оңайырақ.

Бізде тек оң негіз болғандықтан, оны қандай дәрежеде көтерсек те, біз әрқашан қатаң оң сан аламыз. Демек, аргумент оң болуы керек. Мысалы, ол жоқ, өйткені ол ешқандай жағдайда теріс сан болмайды (тіпті нөлге тең, сондықтан ол да жоқ).

Логарифмдермен есептердегі бірінші қадам ODV жазу болып табылады. Мысал келтірейін:

Теңдеуді шешейік.

Анықтаманы еске түсірейік: логарифм - аргумент алу үшін негізді көтеру дәрежесі. Ал шарт бойынша бұл дәреже мынаған тең:.

Біз әдеттегідей аламыз квадрат теңдеу:. Оны Виет теоремасын пайдаланып шешейік: түбірлердің қосындысы тең, көбейтіндісі. Таңдау оңай, бұл сандар және.

Бірақ жауапта осы екі санды бірден алып, жазып алсаңыз, есеп бойынша 0 ұпай алуға болады. Неліктен? Осы түбірлерді бастапқы теңдеуге ауыстырсақ, не болатынын ойланайық?

Бұл анық дұрыс емес, өйткені негіз теріс болуы мүмкін емес, яғни түбір «сыртында».

Осындай жағымсыз амалдарды болдырмау үшін теңдеуді шешуді бастамас бұрын ODV-ді жазып алу керек:

Содан кейін түбірлерді алып, біз бірден түбірді алып тастап, дұрыс жауапты жазамыз.

1-мысал(оны өзіңіз шешуге тырысыңыз) :

Теңдеудің түбірін табыңыз. Бірнеше түбір болса, жауабында олардың ең кішісін көрсетіңіз.

Шешімі:

Алдымен ODZ жазайық:

Енді логарифмнің не екенін еске түсірейік: аргумент алу үшін негізді қандай дәрежеге көтеру керек? Екінші. Яғни:

Кіші түбір тең болып көрінетін. Бірақ бұл олай емес: ОДЗ бойынша түбір сыртқы, яғни ол берілген теңдеудің түбірі мүлде емес. Осылайша, теңдеудің бір ғана түбірі бар:.

Жауап: .

Негізгі логарифмдік сәйкестік

Жалпы логарифмнің анықтамасын еске түсірейік:

Логарифмнің орнына екінші теңдікте:

Бұл теңдік деп аталады негізгі логарифмдік сәйкестік... Негізінде бұл теңдік басқаша жазылғанымен логарифмнің анықтамасы:

Бұл алу үшін қандай дәрежеде көтеру керек.

Мысалы:

Келесі мысалдарды шешіңіз:

2-мысал.

Өрнектің мағынасын табыңыз.

Шешімі:

Бөлімдегі ережені еске түсірейік: яғни қуатты қуатқа көтерген кезде көрсеткіштер көбейтіледі. Оны қолданайық:

3-мысал.

Дәлелдеңіз.

Шешімі:

Логарифмдердің қасиеттері

Өкінішке орай, тапсырмалар әрқашан соншалықты қарапайым емес - көбінесе алдымен өрнекті жеңілдету керек, оны әдеттегі пішінге келтіру керек, содан кейін ғана мәнді есептеу мүмкін болады. Мұны істеудің ең оңай жолы - білу логарифмдердің қасиеттері... Ендеше логарифмдердің негізгі қасиеттерін білейік. Мен олардың әрқайсысын дәлелдеймін, өйткені оның қайдан шыққанын білсеңіз, кез келген ережені есте сақтау оңайырақ.

Барлық осы қасиеттерді есте сақтау керек, оларсыз логарифмдермен есептердің көпшілігін шешу мүмкін емес.

Ал енді толығырақ логарифмдердің барлық қасиеттері туралы.

1-қасиет:

Дәлелдеу:

Онда рұқсат етіңіз.

Бізде: және т.б.

2-қасиет: Логарифмдердің қосындысы

Негіздері бірдей логарифмдердің қосындысы көбейтіндінің логарифміне тең: .

Дәлелдеу:

Онда рұқсат етіңіз. Онда рұқсат етіңіз.

Мысалы:Өрнектің мағынасын табыңыз:.

Шешуі: .

Сіз жаңа ғана үйренген формула айырмашылықты емес, логарифмдердің қосындысын жеңілдетуге көмектеседі, сондықтан бұл логарифмдерді бірден біріктіру мүмкін емес. Бірақ сіз керісінше жасай аласыз - бірінші логарифмді екіге «бөліңіз»: Міне, уәде етілген жеңілдету:
.
Бұл не үшін қажет? Мысалы: бұл не маңызды?

Бұл енді белгілі болды.

Қазір өзіңізді жеңілдетіңіз:

Тапсырмалар:

Жауаптары:

3-қасиет: Логарифмдердің айырымы:

Дәлелдеу:

Барлығы 2-тармақтағыдай:

Онда рұқсат етіңіз.

Онда рұқсат етіңіз. Бізде бар:

Соңғы абзацтағы мысал енді оңайырақ болады:

Күрделі мысал:. Қалай шешуге болатынын болжай аласыз ба?

Осы жерде айта кететін жайт, бізде шаршыдағы логарифмдер туралы бірде-бір формула жоқ. Бұл өрнекке ұқсас нәрсе - оны бірден жеңілдету мүмкін емес.

Сондықтан логарифмдер туралы формулалардан алшақтап, математикада қандай формулаларды жиі қолданатынымыз туралы ойланайық? Тіпті 7-сыныптан бастап!

Бұл -. Сіз олардың барлық жерде бар екеніне үйренуіңіз керек! Олар экспоненциалды, тригонометриялық және иррационалдық есептерде кездеседі. Сондықтан оларды есте сақтау керек.

Алғашқы екі терминге мұқият қарасаңыз, бұл анық болады квадраттардың айырмашылығы:

Тексеруге жауап:

Өзіңізді жеңілдетіңіз.

мысалдары

Жауаптар.

4-қасиет: логарифм аргументінен көрсеткішті жою:

Дәлелдеу:Және бұл жерде біз логарифмнің анықтамасын да қолданамыз: болсын, онда. Бізде: және т.б.

Бұл ережені келесідей түсінуге болады:

Яғни, аргумент дәрежесі коэффициент ретінде логарифмнен жоғары қойылады.

Мысалы:Өрнектің мағынасын табыңыз.

Шешімі: .

Өзіңіз шешіңіз:

Мысалдар:

Жауаптары:

5-қасиет: Көрсеткішті логарифм негізінен алып тастау:

Дәлелдеу:Онда рұқсат етіңіз.

Бізде: және т.б.
Есіңізде болсын: бастап негіздерідәрежесі ретінде көрсетіледі қарама-қарсысаны, алдыңғы жағдайға қарағанда!

6-қасиет: Көрсеткішті негізден және логарифм аргументінен жою:

Немесе дәрежелер бірдей болса:.

7-қасиет: Жаңа базаға көшу:

Дәлелдеу:Онда рұқсат етіңіз.

Бізде: және т.б.

8-қасиет: негізді және логарифм аргументін ауыстырыңыз:

Дәлелдеу:Бұл жеке оқиға 7 формулалар: алмастырсақ:, ч.т.д.

Тағы бірнеше мысалды қарастырайық.

4-мысал.

Өрнектің мағынасын табыңыз.

№2 логарифмдердің қасиетін қолданамыз – негізі бірдей логарифмдердің қосындысы туындының логарифміне тең:

5-мысал.

Өрнектің мағынасын табыңыз.

Шешімі:

№3 және №4 логарифмдердің қасиетін қолданамыз:

6-мысал.

Өрнектің мағынасын табыңыз.

Шешімі:

№7 сипатты пайдалану - 2-базаға өтіңіз:

7-мысал.

Өрнектің мағынасын табыңыз.

Шешімі:

Сізге мақала қалай ұнады?

Егер сіз осы жолдарды оқып жатсаңыз, онда сіз мақаланы толығымен оқыдыңыз.

Және бұл тамаша!

Енді айтыңызшы, сізге мақала ұнады ма?

Сіз логарифмдерді шешуді үйрендіңіз бе? Егер жоқ болса, мәселе неде?

Төмендегі түсініктемелерде бізге жазыңыз.

Иә, емтихандарыңызға сәттілік.

Емтихан мен емтиханда және жалпы өмірде

Бұл орта мектеп бағдарламасынан белгілі

кез келген оң санбелгілі бір дәрежеде 10 саны ретінде қарастыруға болады.

Дегенмен, бұл сан 10-ға еселік болғанда оңай.
Мысал :

• саны100 - 10x10 немесе 102
• 1000 саны 10x10x10 немесе 103
• жәнет.б.

Мысалы, 8299 санын белгілі бір дәрежеде 10 саны ретінде көрсету керек болса ше? Бұл жағдайда 3,919 ... болатын белгілі бір дәлдік дәрежесімен бұл санды қалай табуға болады?

Шығару - логарифмдік және логарифмдік кестелер

Логарифмдерді білу және логарифмдік кестелерді қолдана білу көптеген күрделі арифметикалық амалдарды айтарлықтай жеңілдетеді.Ондық логарифмдерді практикалық қолдану үшін ыңғайлы.

Тарих анықтамасы.
Кез келген логарифмдер жүйесінің негізінде жатқан принцип өте ұзақ уақыт бойы белгілі және оны ежелгі Вавилон математикасынан (шамамен б.з.д. 2000 ж.) байқауға болады. Дегенмен, логарифмдердің алғашқы кестелерін шотланд математигі HUJ дербес құрастырған. Непье (1550-1617) Ю Х және швейцариялық И. Бурги (1552-1632). Ондық логарифмдердің алғашқы кестелерін ағылшын математигі Х.Бриггс (1561-1630) құрастырып, жариялады.

Біз оқырманға мәселенің математикалық мәніне тереңірек бармай-ақ, бірнеше қарапайым анықтамаларды, тұжырымдарды және формулаларды есте сақтауды немесе қалпына келтіруді ұсынамыз:

• Логарифмнің анықтамасыа.

Берілген санның логарифмі басқа санды көтеру керек көрсеткіш, логарифмнің негізі деп аталады (а ), алу үшін берілген нөмір.

• Кез келген себеппен біреудің логарифмі нөлге тең:

a0 = 1

• Теріс сандарда логарифмдер болмайды
• Әрбір оң санның логарифмі бар
• 1-ден үлкен радикс үшін 1-ден кіші сандардың логарифмдері теріс, 1-ден үлкен сандардың логарифмдері оң.
• Журнал негізі 1
• Үлкен сан үлкен логарифмге сәйкес келеді
• Сан 0-ден 1-ге дейін өскен сайын, оның логарифмі бастап өседі-∞ 0-ге дейін; санының 1-ден ұлғаюымен+∞ оның логарифмі 1-ден артады+∞ (мұнда, ±∞ - сандардың теріс немесе оң шексіздігін белгілеу үшін математикада қабылданған белгі)
• Практикалық қолдану үшін логарифмдер ыңғайлы, олардың негізі 10 саны

Бұл логарифмдер ондық деп аталады және белгіленедіlg ... Мысалы:

• 10 санының 10 логарифмінің негізі 1. Басқаша айтқанда, 10 санын алу үшін 10 санын бірінші дәрежеге көтеру керек (101 = 10), яғни,lg10 = 1
• 100 логарифмінің 10 негізі 2. Басқаша айтқанда, 100 (102 = 100) алу үшін 10-ды квадраттау керек, яғни. lg100 = 2

У Қорытынды №1 У : бір және одан кейін нөлдермен көрсетілген бүтін санның логарифмі санның суретінде қанша нөл болса, сонша бірлерді қамтитын оң бүтін сан

• 0,1 санының 10 логарифмдік негізі -1. Басқаша айтқанда, 0,1 санын (10-1 = 0,1) алу үшін 10 санын минус бірінші қуатқа дейін көтеру керек, яғни.lg0,1 = -1
• 0,01 санының 10 логарифмдік негізі -2. Басқаша айтқанда, 0,1 санын (10-2 = 0,01) алу үшін 10 санын минус екінші дәрежеге дейін көтеру керек, яғни.lg0,01 = -2

У Қорытынды №2 У : алдыңғы нөлдері бар бірмен берілген ондық бөлшектің логарифмі бөлшек кескінінде 0 бүтін сандарды қосқанда қанша нөл болса, сонша теріс санды қамтитын бүтін теріс сан.

• № 1 анықтамаға сәйкес (жоғарыдан қараңыз):

lg1 = 0

• 8300 санының 10 негізіне логарифмі 3,9191 ... Басқаша айтқанда, 8300 (103,9191 ... = 8300) санын алу үшін 10 санын 3,9191 ... дәрежесіне дейін көтеру керек, яғни. lg8300 = 3,9191 ...

У Қорытынды №3 У : 1-ден кейін нөлдермен өрнектелмейтін санның логарифмі иррационал сан, сондықтан сандармен дәл өрнектелмейді.
Әдетте иррационал логарифмдер шамамен бірнеше ондық таңбалары бар ондық бөлшек түрінде өрнектеледі. Бұл бөлшектің бүтін саны («0 бүтін» болса да) шақырылады тән, ал бөлшек бөлігі болады мантиссалогарифм. Егер, мысалы, логарифм болса 1,5441 , онда оның сипаттамасы болады 1 , ал мантисса 0,5441 .

• Логарифмдердің негізгі қасиеттері, соның ішінде. ондық:
• туындының логарифмі сомасына теңфакторлардың логарифмдері:lg ( а. б) = lga + lgb
• бөліндінің логарифмі бөлгіштің логарифмінсіз дивидендтің логарифміне тең, яғни. Бөлшектің логарифмі азайғыштың логарифмсіз алымының логарифміне тең:

• бір негіздегі екі кері санның логарифмдері бір-бірінен тек таңбасы арқылы ғана ерекшеленеді

• дәреженің логарифмі көрсеткіштің оның негізінің логарифміне көбейтіндісіне тең, яғни. дәреженің логарифмі осы дәреженің дәрежесін дәрежеге көтерілген санның логарифміне көбейткенге тең:

lg ( bk) = к. lg б

Ақырында еркін санның ондық логарифмінің не екенін түсіну үшін бірнеше мысалды толығырақ қарастырайық.

У № 2.1.1 мысал У.
623 сияқты бүтін санды және 623,57 сияқты аралас санды алайық.
Санның логарифмі сипаттама мен мантиссадан тұратынын білеміз.
Берілген бүтін санда немесе бүтін бөлікте қанша цифр бар екенін есептейік аралас сан... Біздің мысалдарымызда бұл сандар 3-ке тең.
Демек, 623 және 623,57 сандарының әрқайсысы 100-ден үлкен, бірақ 1000-нан аз.
Осылайша, біз бұл сандардың әрқайсысының логарифмі lg 100-ден үлкен, яғни 2-ден көп, бірақ lg 1000-ден аз, яғни 3-тен аз болады деп қорытынды жасауға болады (үлкен санның логарифмі үлкенірек екенін есте сақтаңыз) .
Демек:
lg 623 = 2, ...
lg 623,57 = 2, ...
(нүктелер белгісіз мантисаларды ауыстырады).

У Қорытынды №4 У : ондық логарифмдердің ыңғайлылығы бар, олардың сипаттамаларын әрқашан бір сан түрі арқылы табуға болады .

Жалпы алғанда, берілген бүтін санда немесе берілген аралас санның бүтін бөлігінде m цифр бар делік. Құрамында m цифры бар ең кіші бүтін сан соңында m-1 нөлдері бар бір болғандықтан (осы санды N арқылы белгілей отырып) теңсіздікті жаза аламыз:

демек,
м-1< lg N < m,
Сондықтан
lg N = (m-1) + оң бөлшек.
білдіреді
сипаттамасы lgN = m-1

У Қорытынды №5 У : бүтін санның немесе аралас санның ондық логарифмінің сипаттамасы санның бүтін бөлігінде бір минусты алып тастағанда қанша цифр болса, сонша оң сандарды қамтиды.

У № 2.1.2 мысал.

Енді бірнеше ондық бөлшектерді алайық, яғни. 1-ден кіші сандар (басқаша айтқанда, 0 бүтін сандары бар):
0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008 және т.б.
Осы сандардың әрқайсысының логарифмдері бір бірлікке ерекшеленетін екі теріс бүтін санның арасында болады. Оның үстіне олардың әрқайсысы кейбір оң бөлшекке артқан осы теріс сандардың кішісіне тең.
Мысалы,
lg0,0056 = -3 + оң бөлшек
Бұл жағдайда оң бөлшек 0,7482 болады.
Содан кейін:
lg 0,0056 = -3 + 0,7482
У Ескертулер (өңдеу) U:
Теріс бүтін сан мен оң ондық бөлшектен тұратын -3 + 0,7482 сияқты қосындылар логарифмдік есептеулерде қысқартылған түрде келесідей жазуға келісті:
,7482
(мұндай сан оқылады: минуспен, 7482 он мыңдық), яғни оң болып қалатын мантисаға емес, тек осы сипаттамаға қатысты екенін көрсету үшін олар сипаттамадан жоғары минус таңбасын қояды.

Осылайша, жоғарыдағы сандарды ондық логарифмдер түрінде жазуға болады
lg 0,35 =, ...
lg 0,07 =, ...
lg 0,00008 =, ...
Жалпы алғанда, А саны ондық бөлшек болсын, онда бірінші маңызды α цифрының алдында m нөл бар, оның ішінде 0 бүтін сандар:

сонда бұл анық

Демек:

яғни
-м< log A < -(m-1).
Өйткені екі бүтін саннан:
-m және - (m-1) кішірек -м
содан кейін
lg А = -m + оң бөлшек

У Қорытынды №6 У : ондық бөлшектің логарифмінің сипаттамасы, яғни. 1-ден кіші сандар, нөлдік бүтін сандарды қоса алғанда, бірінші маңызды цифрдың алдындағы ондық бөлшекте қанша нөл болса, сонша теріс сандарды қамтиды; мұндай логарифмнің мантиссасы оң болады

№ 2.1.3 мысал.

Кейбір N санын (бүтін немесе бөлшек - бәрі тең) 10-ға, 100-ді 1000-ға ..., жалпы нөлдермен бірге 1-ге көбейтейік және lg N қалай өзгеретінін көрейік.
Көбейтіндінің логарифмі көбейткіштердің логарифмдерінің қосындысына тең болғандықтан, онда
log (N.10) = log N + log 10 = log N + 1;
log (N.100) = log N + log 100 = log N + 2;
log (N.1000) = log N + log 1000 = log N + 3, т.б.

lg N-ге бүтін санды қосқанда, бұл сан әрқашан сипаттамаға қосылады; бұл жағдайда мантисса бұл жағдайларда әрқашан өзгеріссіз қалады.

Мысал
егер lg N = 2,7804, онда 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801, т.б.;
немесе lg N = 3,5649 болса, онда 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 - 2 = 1,5649, т.б.

Қорытынды №7 : санды 10-ға, 100-ге, 1000-ға, ..-ға, әдетте 1-ге нөлдермен көбейтуден логарифмнің мантиссасы өзгермейді, ал сипаттама коэффициентте қанша нөл болса, сонша бірлікке артады.

Сол сияқты, бөлгіштің логарифмі бөлгіштің логарифмінсіз дивидендтің логарифміне тең екенін ескерсек, мынаны аламыз:
журнал N / 10 = журнал N - журнал 10 = журнал N - 1;
журнал N / 100 = журнал N - журнал 100 = журнал N - 2;
журнал N / 1000 = журнал N - журнал 1000 = журнал N - 3 т.б.
Логарифмадан lg N-ден бүтін санды алып тастағанда, сипаттамадан әрқашан шығатын бұл бүтін санды алып тастаңыз және мантиссаны өзгеріссіз қалдырыңыз. онда біз айта аламыз:

Қорытынды №8 : Санды нөлдермен 1-ге бөлуден логарифмнің мантиссасы өзгермейді, ал бөлгіште қанша нөл болса, сипаттамасы сонша бірлікке азаяды.

Қорытынды №9 : логарифмнің мантиссасы ондық сансанда үтірді алып жүруден өзгермейді, өйткені үтірді алып жүру 10, 100, 1000 және т.б. көбейтуге немесе бөлуге тең.

Сонымен, сандардың логарифмдері:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
сипаттамалары бойынша ғана ерекшеленеді, бірақ мантыда емес (барлық мантылар оң болған жағдайда).

Қорытынды №9 : мәнді бөлігі бірдей, бірақ соңында тек нөлмен ғана ерекшеленетін сандардың мантисалары бірдей: мысалы, сандардың логарифмдері: 23, 230, 2300, 23 000 тек сипаттамалары бойынша ерекшеленеді.

Сонымен, біздің алдымызда екі күш бар. Егер сіз санды төменгі жолдан алсаңыз, онда сіз бұл санды алу үшін екі көтеру керек дәрежесін оңай таба аласыз. Мысалы, 16-ны алу үшін екіден төртінші дәрежеге дейін көтеру керек. Ал 64 алу үшін екіден алтыншы дәрежеге дейін көтеру керек. Мұны кестеден көруге болады.

Ал енді - шын мәнінде, логарифмнің анықтамасы:

х аргументінің а логарифмдік негізі х санын алу үшін а санын көтеру керек дәреже болып табылады.

Белгі: log a x = b, мұндағы a - негіз, x - аргумент, b - шын мәнінде логарифм.

Мысалы, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8-дің 2-негізі үш, өйткені 2 3 = 8). Бірдей табыс журналымен 2 64 = 6, өйткені 2 6 = 64.

Берілген негіздегі санның логарифмін табу операциясы логарифм деп аталады. Сонымен, кестемізге жаңа жолды қосайық:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	журнал 2 8 = 3	журнал 2 16 = 4	журнал 2 32 = 5	журнал 2 64 = 6

Өкінішке орай, барлық логарифмдер оңай есептелмейді. Мысалы, 2 журналын табуға тырысыңыз 5. 5 саны кестеде жоқ, бірақ логика логарифм сегменттің бір жерінде болатынын айтады. Өйткені 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Мұндай сандар иррационал деп аталады: ондық бөлшектен кейінгі сандар шексіз жазылуы мүмкін және олар ешқашан қайталанбайды. Егер логарифм иррационал болып шықса, оны осылай қалдырған дұрыс: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Логарифм екі айнымалысы бар өрнек (негіз және аргумент) екенін түсіну маңызды. Бастапқыда көпшіліктің негізі қай жерде, ал аргумент қай жерде екенін білмей абдырап қалады. Болдырмау үшін тітіркендіргіш түсінбеушілік, жай ғана суретке қараңыз:

Біздің алдымызда логарифмнің анықтамасынан басқа ештеңе жоқ. Есіңізде болсын: логарифм – дәрежедәлелді алу үшін негізді көтеру керек. Бұл қуатқа көтерілетін негіз - суретте ол қызыл түспен белгіленген. База әрқашан төменгі жағында болады екен! Мен бұл тамаша ережені студенттеріме ең бірінші сабақта айтамын - және ешқандай шатасушылық болмайды.

Біз анықтаманы анықтадық - логарифмдерді қалай санауды үйрену қалады, яғни. журнал белгісінен құтылыңыз. Алдымен, анықтамадан екі маңызды факті шығатынын атап өтеміз:

1. Аргумент пен радикс әрқашан нөлден үлкен болуы керек. Бұл дәреженің анықтамасынан туындайды рационалды көрсеткіш, оған логарифмнің анықтамасы қысқарады.
2. Негіз біреуден өзгеше болуы керек, өйткені біреуі кез келген дәрежеде бір. Осыған байланысты «екі алу үшін бірлікті қандай дәрежеге көтеру керек» деген сұрақ мағынасыз. Ондай дәреже жоқ!

Мұндай шектеулер деп аталады жарамды мәндер ауқымы(ОДЗ). Логарифмнің ОДЗ келесідей болады: log a x = b ⇒ x> 0, a> 0, a ≠ 1.

b санына (логарифм мәні) шектеу жоқ екенін ескеріңіз. Мысалы, логарифм теріс болуы мүмкін: log 2 0,5 = −1, өйткені 0,5 = 2 −1.

Дегенмен, қазір біз тек сандық өрнектерді қарастырамыз, мұнда логарифмнің ODV-ін білу қажет емес. Барлық шектеулерді тапсырма компиляторлары ескеріп қойған. Бірақ логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер енгізілгенде, DHS талаптары міндетті болады. Шынында да, негізде және дәлелде жоғарыда аталған шектеулерге сәйкес келмейтін өте күшті конструкциялар болуы мүмкін.

Енді логарифмдерді есептеудің жалпы схемасын қарастырайық. Ол үш қадамнан тұрады:

1. a радиксисін және х аргументін мүмкін болатын ең кіші радикс бірден үлкен дәреже ретінде көрсетіңіз. Жолда ондық бөлшектерден құтылу жақсы;
2. b айнымалысы үшін теңдеуді шешіңіз: x = a b;
3. Нәтижесінде b саны жауап болады.

Осымен болды! Егер логарифм иррационал болып шықса, бұл бірінші қадамда көрінеді. Негіздің біреуден үлкен болуы талабы өте өзекті: бұл қате ықтималдығын азайтады және есептеулерді айтарлықтай жеңілдетеді. Сол сияқты ондық бөлшектер: егер сіз оларды бірден кәдімгіге аударсаңыз, қателер бірнеше есе аз болады.

Бұл схема нақты мысалдармен қалай жұмыс істейтінін көрейік:

Тапсырма. Журналды есептеңіз: log 5 25

1. Негіз мен аргументті бестің дәрежесі ретінде көрсетейік: 5 = 5 1; 25 = 5 2;
2. Теңдеуді құрастырып шешейік:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Жауап алынды: 2.

Тапсырма. Логарифмді есептеңіз:

Тапсырма. Журналды есептеңіз: log 4 64

1. Негіз мен аргументті екінің дәрежесі ретінде көрсетейік: 4 = 2 2; 64 = 2 6;
2. Теңдеуді құрастырып шешейік:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Жауап алынды: 3.

Тапсырма. Логарифмді есептеңіз: log 16 1

1. Негіз мен аргументті екінің дәрежесі ретінде көрсетейік: 16 = 2 4; 1 = 2 0;
2. Теңдеуді құрастырып шешейік:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Жауап алынды: 0.

Тапсырма. Журналды есептеңіз: log 7 14

1. Негіз мен аргументті жеті дәрежесі ретінде көрсетейік: 7 = 7 1; 14 жетінің дәрежесі ретінде көрсетілмейді, өйткені 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Алдыңғы абзацтан логарифм есептелмейтіні шығады;
3. Жауап өзгермейді: журнал 7 14.

Соңғы мысалға шағын ескерту. Санның басқа санның дәл дәрежесі емес екеніне қалай көз жеткізуге болады? Бұл өте қарапайым - жай ғана оны кеңейтіңіз негізгі факторлар... Ал егер мұндай факторларды бірдей көрсеткіштермен қуаттарда жинау мүмкін болмаса, онда бастапқы сан нақты қуат емес.

Тапсырма. Санның дәл дәрежелері болатынын табыңыз: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 2 2 = 2 3 - дәл дәреже, өйткені бір ғана фактор бар;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - дәл дәреже емес, өйткені екі фактор бар: 3 және 2;
81 = 9 9 = 3 3 3 3 3 = 3 4 - дәл дәреже;
35 = 7 · 5 - тағы да дәл дәреже емес;
14 = 7 2 - тағы да дәл дәреже емес;

Мұны да ескеріңіз жай сандарәрқашан өздерінің нақты дәрежелері.

Ондық логарифм

Кейбір логарифмдердің кең таралғаны сонша, олардың арнайы атауы мен белгіленуі болады.

х-тің ондық логарифмі 10 журнал негізі, яғни. х санын алу үшін 10 санын көтеру керек дәреже. Белгіленуі: lg x.

Мысалы, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - т.б.

Енді оқулықта «Find lg 0.01» деген тіркес пайда болған кезде мынаны білу керек: бұл қате емес. Бұл ондық логарифм. Алайда, егер сіз мұндай белгілеуге үйренбеген болсаңыз, оны әрқашан қайта жаза аласыз:
log x = log 10 x

Қарапайым логарифмдерге қатысты барлық нәрсе ондық бөлшектер үшін де дұрыс.

Натурал логарифм

Өзіндік жазуы бар тағы бір логарифм бар. Бір жағынан, бұл ондық ондықтан да маңыздырақ. Бұл табиғи логарифм.

х-тің натурал логарифмі е логарифмдік негізі, яғни. х санын алу үшін е санын көтеру керек дәреже. Белгіленуі: ln x.

Көбісі сұрақ қояды: е саны тағы қандай? Бұл иррационал сан, оның нақты мағынасын тауып жазып алу мүмкін емес. Мен оның алғашқы сандарын ғана беремін:
e = 2,718281828459 ...

Біз бұл санның не екенін және ол не үшін қажет екенін зерттемейміз. Тек e табиғи логарифмнің негізі екенін есте сақтаңыз:
ln x = log e x

Осылайша, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - т.б. Екінші жағынан, ln 2 иррационал сан. Жалпы кез келгеннің натурал логарифмі рационал санқисынсыз. Әрине, бірліктерді қоспағанда: ln 1 = 0.

Үшін табиғи логарифмдеркәдімгі логарифмдерге қатысты барлық ережелер ақиқат.

АНЫҚТАУ

Ондық логарифм 10 негізі логарифм деп аталады:

Тақырып = "(! LANG: QuickLaTeX.com арқылы көрсетілген">!}

Бұл логарифм шешім болып табылады көрсеткіштік теңдеу... Кейде (әсіресе в шетел әдебиеті) ондық логарифм де былай белгіленеді, дегенмен алғашқы екі белгілеу натурал логарифмге де тән.

Ондық логарифмдердің алғашқы кестелерін 1617 жылы ағылшын математигі Генри Бриггс (1561-1630) басып шығарды (сондықтан шетел ғалымдары ондық логарифмдерді тіпті Бригг деп атайды), бірақ бұл кестелерде қателер болды. Словендік және австриялық математиктер Георг Барталомеус Веганың (Юрий Веха немесе Веховец, 1754-1802) кестелері негізінде (1783), 1857 жылы неміс астрономы және геодезисті Карл Бремикер (1804-1877) бірінші қатесіз басылымын шығарды. . Орыс математигі және педагогы Леонтий Филиппович Магнитскийдің (Телятин немесе Теляшин, 1669-1739) қатысуымен 1703 жылы Ресейде логарифмдердің алғашқы кестелері басылып шықты. Ондық логарифмдер есептеулер үшін кеңінен қолданылды.

Ондық логарифмнің қасиеттері

Бұл логарифм ерікті базалық логарифмнің барлық қасиеттеріне ие:

1. Негізгі логарифмдік сәйкестік:

5. .

7. Жаңа негізге көшу:

Ондық логарифм функциясы функция болып табылады. Бұл қисықтың сызбасын жиі атайды логарифмдік.

y = lg x функциясының қасиеттері

1) Анықтау аясы:.

2) Мәндердің көптігі:.

3) Жалпы функция.

4) Функция периодты емес.

5) Функцияның графигі абсциссамен бір нүктеде қиылысады.

6) Тұрақтылық интервалдары: title = "(! LANG: QuickLaTeX.com арқылы көрсетілген" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для !} сол үшін.