Сабақтың мазмұны

Дәреже дегеніміз не?

Дәрежебірнеше бірдей факторлардың туындысы деп аталады. Мысалға:

2 × 2 × 2

Бұл өрнектің мәні - 8

2 × 2 × 2 = 8

Бұл теңдіктің сол жағын қысқартуға болады - алдымен қайталанатын коэффициентті жазып, оның үстіне қанша рет қайталанатынын көрсетіңіз. Бұл жағдайда қайталанатын фактор - 2. Ол үш рет қайталанады. Сондықтан екеуінің үстіне үшеуін жазамыз:

2 3 = 8

Бұл өрнек келесідей: « екіншісінен үшінші дәрежеге дейін сегізге тең » немесе « 2 санының үшінші дәрежесі - 8 дюйм.

Бір факторларды көбейтудің қысқа формасы жиі қолданылады. Егер біз белгілі бір санның үстіне басқа сан жазылса, онда бұл бірнеше бірдей факторлардың көбейтіндісі екенін есте ұстауымыз керек.

Мысалы, егер 5 3 өрнегі берілсе, онда бұл өрнек 5 × 5 × 5 жазуға барабар екенін ескеру қажет.

Қайталанатын сан аталады базалық дәреже... 5 3 өрнегіндегі қуаттың негізі 5 саны болып табылады.

Ал 5 санының үстіне жазылған сан аталады көрсеткіш... 5 3 өрнегінде дәреже - 3 саны. Көрсеткіш көрсеткіштің негізі неше рет қайталанатынын көрсетеді. Біздің жағдайда 5 негізі үш рет қайталанады.

Бірдей факторларды көбейту операциясы деп аталады дәрежелеу.

Мысалы, егер сізге әрқайсысы 2 -ге тең төрт бірдей фактордың көбейтіндісін табу қажет болса, онда олар 2 саны дейді төртінші дәрежеге көтеріледі:

Төртінші биліктегі 2 саны 16 екенін көреміз.

Назар аударыңыз, бұл сабақта біз қарастырамыз табиғи көрсеткіш... Бұл дәрежедегі натурал сан болатын дәреже көрсеткіші. Есіңізде болсын, бүтін сандар нөлден үлкен натурал сандар. Мысалы, 1, 2, 3 және т.б.

Жалпы алғанда, табиғи көрсеткіші бар дәреженің анықтамасы келесідей:

Дәрежесі атабиғи жылдамдықпен nБұл форманың көрінісі а, бұл өнімге тең nфакторлар, олардың әрқайсысы тең а

Мысалдар:

Санды күшке көтергенде абай болу керек. Көбінесе, байқаусыздықтан, адам дәреженің негізін көрсеткішке көбейтеді.

Мысалы, екінші қуаттағы 5 саны екі фактордың туындысы, олардың әрқайсысы 5 -ке тең. Бұл өнім 25 -ке тең

Енді елестетіп көріңізші, біз байқаусызда 5 -ші негізді 2 -ші дәрежеліге көбейттік

Біз қате алдық, себебі 5 екінші қуатқа 10 -ға тең емес.

Сонымен қатар, 1 -ші дәрежелі санның күші осы санның өзі екенін айту керек:

Мысалы, бірінші дәрежедегі 5 саны - 5 санының өзі

Тиісінше, егер санның индикаторы болмаса, онда индикатор бірге тең деп қабылдау керек.

Мысалы, 1, 2, 3 сандары индикаторсыз берілген, сондықтан олардың көрсеткіштері бірге тең болады. Бұл сандардың әрқайсысын 1 дәрежесімен жазуға болады

Ал егер сіз 0 -ді қандай да бір дәрежеге көтерсеңіз, онда сіз 0 -ге жетесіз. Шынында да, ештеңе қанша рет өздігінен көбейтілмесе де, ештеңе шықпайды. Мысалдар:

Ал 0 0 өрнегі мағынасыз. Бірақ математиканың кейбір салаларында, атап айтқанда талдау мен жиынтық теорияда 0 0 өрнегі мағыналы болуы мүмкін.

Жаттығу үшін сандарды билікке көтерудің бірнеше мысалын шешейік.

Мысал 1. 3 санын екінші дәрежеге көтеріңіз.

Екінші қуаттағы 3 саны - әрқайсысы 3 -ке тең екі фактордың туындысы

3 2 = 3 × 3 = 9

Мысал 2. 2 санын төртінші дәрежеге көтеріңіз.

2 -ден төртінші дәрежеге дейінгі сан төрт фактордың туындысы болып табылады, олардың әрқайсысы 2 -ге тең

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Мысал 3. 2 санын үшінші дәрежеге көтеріңіз.

2 -ден үшінші дәрежеге дейінгі сан - әрқайсысы 2 -ге тең болатын үш фактордың туындысы

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

10 -ның экспонентациясы

10 санын қуат деңгейіне көтеру үшін экспонентке тең нөлдердің санын бірінен кейін қосу жеткілікті.

Мысалы, 10 санын екінші дәрежеге көтерейік. Алдымен біз 10 санының өзін жазамыз және индикатор ретінде 2 санын көрсетеміз.

10 2

Енді біз теңдік белгісін қоямыз, біреуін жазамыз, содан кейін екі нөлді жазамыз, өйткені нөл саны экспонентке тең болуы керек.

10 2 = 100

Бұл екінші қуаттағы 10 саны 100 саны екенін білдіреді. Бұл екінші қуаттағы 10 саны екі фактордың туындысы, олардың әрқайсысы 10 -ға тең.

10 2 = 10 × 10 = 100

Мысал 2... 10 санын үшінші дәрежеге көтерейік.

Бұл жағдайда бір нөлден кейін үш нөл болады:

10 3 = 1000

Мысал 3... 10 санын төртінші билікке көтерейік.

Бұл жағдайда бір нөлден кейін төрт нөл болады:

10 4 = 10000

Мысал 4... 10 санын бірінші дәрежеге көтерейік.

Бұл жағдайда бір нөлден кейін нөл болады:

10 1 = 10

10, 100, 1000 сандарының негізі 10 болатын дәрежелер түрінде ұсынылуы

10, 100, 1000 және 10000 сандарын 10 негізі бар қуат түрінде көрсету үшін 10 -негізді жазып, индикатор ретінде бастапқы сандағы нөлдердің санына тең санды көрсету қажет.

10 санын 10 негізі бар дәреже ретінде көрсетейік, оның бір нөлі бар екенін көреміз. Демек, 10 саны 10 негізі бар қуат ретінде 10 1 түрінде ұсынылатын болады

10 = 10 1

Мысал 2... 100 санын 10 негізінің қуаты ретінде көрсетейік. 100 санында екі нөл бар екенін көреміз. Демек, негізі 10 болатын қуат түріндегі 100 саны 10 2 түрінде беріледі

100 = 10 2

Мысал 3... 1000 санын 10 негізі бар дәреже ретінде көрсетейік.

1 000 = 10 3

Мысал 4... 10,000 санын цифры 10 болатын қуат ретінде көрсетейік.

10 000 = 10 4

Теріс санның дәрежесі

Теріс санды дәрежеге көтергенде, оны жақшаға алу керек.

Мысалы, теріс санды −2 екінші дәрежеге көтерейік. -2 саны екінші дәрежеге дейін екі фактордың туындысы болып табылады, олардың әрқайсысы (-2)

(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4

Егер біз -2 санын жақшаға алмасақ, онда -2 2 өрнегін есептеген болар едік, тең емес 4. −2² өрнегі −4 -ке тең болады. Мұның себебін түсіну үшін кейбір тармақтарға тоқталайық.

Оң санның алдына минус қойсақ, біз осылайша орындаймыз қарама -қарсы операция.

Айталық, 2 саны берілген, және оған қарама -қарсы санды табу керек. Біз 2 -ге қарама -қарсы болатынын білеміз. Басқаша айтқанда, 2 -ге қарсы санды табу үшін осы санның алдына минус қойыңыз. Санның алдында минус енгізу математикадағы толыққанды операция болып саналады. Бұл операция, жоғарыда көрсетілгендей, қарама -қарсы мәнді алу операциясы деп аталады.

-2 2 өрнегі жағдайында екі амал бар: қарама -қарсы мәнді алу және дәрежеге көтеру операциясы. Экспоненциализация қарама -қарсы мәнді қабылдаудан басым болады.

Сондықтан -2 2 өрнегі екі сатыда бағаланады. Алдымен экспонентация операциясы орындалады. Бұл жағдайда оң саны 2 екінші дәрежеге көтерілді

Содан кейін қарама -қарсы мән алынды. Бұл қарама -қарсы мән 4 мәні үшін табылды. Ал 4 үшін қарама -қарсы мән –4

−2 2 = −4

Жақшаның орындалу басымдылығы жоғары. Демек, (-2) 2 өрнегін есептеген жағдайда алдымен қарама -қарсы мән алынады, содан кейін теріс сан −2 екінші дәрежеге көтеріледі. Нәтиже 4 -ке оң жауап береді, өйткені теріс сандардың көбейтіндісі оң сан.

Мысал 2... −2 санын үшінші дәрежеге көтеріңіз.

-2 саны үшінші дәрежеге дейін үш фактордың туындысы болып табылады, олардың әрқайсысы (-2)

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

Мысал 3... −2 санын төртінші дәрежеге көтеріңіз.

-2 -ден төртінші дәрежеге дейінгі сан төрт фактордың туындысы болып табылады, олардың әрқайсысы (-2)

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

Теріс санды дәрежеге көтеру оң немесе теріс жауапқа әкелетінін байқау қиын емес. Жауап белгісі бастапқы дәреже көрсеткішіне байланысты.

Егер экспонент жұп болса, онда жауап иә. Егер экспонент тақ болса, онда жауап жоқ. Мұны −3 санының мысалында көрсетейік

Бірінші және үшінші жағдайда көрсеткіш болды тақсан, сондықтан жауап болды теріс.

Екінші және төртінші жағдайда көрсеткіш болды тіптісан, сондықтан жауап болды оң.

Мысал 7.−5 санын үшінші дәрежеге көтеріңіз.

−5 -тен үшінші дәрежеге дейінгі сан үш фактордың туындысы болып табылады, олардың әрқайсысы -5. 3 -ші дәреже - бұл тақ сан, сондықтан біз жауаптың теріс болатынын алдын ала айта аламыз:

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

Мысал 8.−4 санын төртінші дәрежеге көтеріңіз.

−4 -тен төртінші дәрежеге дейінгі сан төрт фактордың туындысы болып табылады, олардың әрқайсысы -4. Бұл жағдайда 4 индикаторы біркелкі, сондықтан жауап оң болады деп алдын ала айта аламыз:

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

Өрнек мәндерін табу

Жақшасы жоқ өрнектердің мәндері табылғанда, алдымен дәреже шығарылады, содан кейін олардың реті бойынша көбейту мен бөлу, содан кейін қосу және азайту ретімен орындалады.

Мысал 1... 2 + 5 2 өрнегінің мәнін табыңыз

Біріншіден, экспонентация орындалады. Бұл жағдайда 5 саны екінші дәрежеге көтеріледі - 25 шығады. Содан кейін бұл нәтиже 2 санына қосылады.

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

Мысал 10... −6 2 × (−12) өрнегінің мәнін табыңыз

Біріншіден, экспонентация орындалады. Назар аударыңыз, -6 саны жақшаға алынбайды, сондықтан 6 саны екінші дәрежеге көтеріледі, содан кейін нәтиженің алдына минус қойылады:

−6 2 × (−12) = −36 × (−12)

Мысалды -36 -ға (-12) көбейту арқылы аяқтау

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

Мысал 11... −3 × 2 2 өрнегінің мәнін табыңыз

Біріншіден, экспонентация орындалады. Содан кейін нәтиже -3 санына көбейтіледі

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

Егер өрнекте жақшалар болса, онда алдымен осы жақшалардағы әрекеттерді орындау керек, содан кейін дәрежеге келтіру, содан кейін көбейту мен бөлу, содан кейін қосу мен азайту.

Мысал 12... (3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 өрнегінің мәнін табыңыз

Біріншіден, біз жақшалардағы әрекеттерді орындаймыз. Жақшаның ішінде біз бұрын зерттелген ережелерді қолданамыз, дәлірек айтқанда, алдымен 3 санын екінші дәрежеге көтереміз, содан кейін 1 × 3 көбейтуді орындаймыз, содан кейін көтеру нәтижелерін 3 санының күшіне қосамыз. көбейту 1 × 3. Әрі қарай, азайту мен қосу олардың пайда болу ретімен орындалады. Бастапқы өрнек бойынша әрекеттерді орындаудың келесі тәртібін реттейік:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

Мысал 13... 2 × 5 3 + 5 × 2 3 өрнегінің мәнін табыңыз

Алдымен біз сандарды дәрежеге көтереміз, содан кейін көбейтуді орындаймыз және нәтижелерді қосамыз:

2 × 5 3 + 5 × 2 3 = 2 × 125 + 5 × 8 = 250 + 40 = 290

Бірдей дәрежелі түрлендірулер

Дәрежелер бойынша әр түрлі ұқсас түрлендірулер жүргізілуі мүмкін, осылайша оларды жеңілдетеді.

(2 3) 2 өрнегін есептеу қажет болды делік. Бұл мысалда екіден үшіншіге дейін екінші қуатқа көтеріледі. Басқаша айтқанда, дәреже басқа дәрежеге көтеріледі.

(2 3) 2 - бұл екі градустың туындысы, олардың әрқайсысы 2 3 -ке тең

Сонымен қатар, бұл дәрежелердің әрқайсысы үш фактордың туындысы болып табылады, олардың әрқайсысы 2 -ге тең

Өнімді 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 алды, бұл 64 -ке тең. Демек (2 3) 2 өрнегінің мәні 64 немесе тең

Бұл мысалды айтарлықтай жеңілдетуге болады. Ол үшін (2 3) 2 өрнегінің дәрежесін көбейтуге болады және бұл туынды 2 -ге жазылуы мүмкін

26 алды. Екіден алтыншыға дейінгі күш - әрқайсысы 2 болатын алты фактордың туындысы. Бұл өнім 64

Бұл қасиет 2 3 2 × 2 × 2 өнім болғандықтан жұмыс істейді, ол өз кезегінде екі рет қайталанады. Сонда 2 -негіз алты рет қайталанады екен. Осыдан біз 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 - 2 6 деп жаза аламыз

Жалпы, қандай да бір себеппен акөрсеткіштермен мжәне n, келесі теңдік сақталады:

(а)m = a n × m

Бұл бірдей түрлендіру деп аталады дәрежелеу... Оны былай оқуға болады: «Дәрежені дәрежеге көтергенде, база өзгеріссіз қалады, ал көрсеткіштер көбейтіледі» .

Көрсеткіштерді көбейткеннен кейін сіз басқа дәреже аласыз, оның мәнін табуға болады.

Мысал 2... (3 2) 2 өрнегінің мәнін табыңыз

Бұл мысалда база 3, ал 2 және 2 сандары индикатор болып табылады. Көрсеткіштік ережені қолданайық. Базаны өзгеріссіз қалдырыңыз және индикаторларды көбейтіңіз:

3 4 қабылданды. Ал төртінші биліктегі 3 саны - 81

Қалған трансформацияларды қарастырайық.

Дәрежелерді көбейту

Дәрежелерді көбейту үшін әр дәрежені бөлек есептеп, алынған нәтижелерді көбейту қажет.

Мысалы, 2 2 3 3 -ке көбейтіңіз.

2 2 - 4 саны, ал 3 3 - 27 саны. Біз 4 пен 27 сандарын көбейтеміз, 108 аламыз

2 2 × 3 3 = 4 × 27 = 108

Бұл мысалда дәрежелердің негіздері әр түрлі болды. Егер негіздер бірдей болса, онда сіз бір базаны жаза аласыз, ал индикатор ретінде бастапқы дәреже көрсеткіштерінің қосындысын жаза аласыз.

Мысалы, 2 2 -ні 2 3 -ке көбейтіңіз

Бұл мысалда дәрежелердің негіздері бірдей. Бұл жағдайда сіз бір негізді 2 жазып, индикатор ретінде 2 2 және 2 3 көрсеткіштерінің қосындысын жаза аласыз. Басқаша айтқанда, іргетасты өзгеріссіз қалдырыңыз және бастапқы дәрежелердің көрсеткіштерін қосыңыз. Ол келесідей болады:

25 алды. Бесінші билікке дейінгі 2 саны - 32

Бұл қасиет жұмыс істейді, себебі 2 2 - 2 × 2 өнім, ал 2 3 - 2 × 2 × 2 өнім. Содан кейін өнім әрқайсысы 2 -ге тең бес бірдей фактордан алынады. Бұл жұмысты 25 түрінде ұсынуға болады

Жалпы, кез келген адам үшін ажәне көрсеткіштер мжәне nкелесі теңдік сақталады:

Бұл бірдей түрлендіру деп аталады дәреженің негізгі қасиеті... Оны былай оқуға болады: « NSДәрежелерді бірдей негіздермен көбейткенде, негіз өзгеріссіз қалады, ал индикаторлар қосылады » .

Бұл түрлендіруді кез келген дәрежеде қолдануға болатынын ескеріңіз. Ең бастысы - база бірдей.

Мысалы, 2 1 × 2 2 × 2 3 өрнегінің мәнін табайық. 2 -негіз

Кейбір мәселелерде соңғы дәрежені есептеместен тиісті түрлендіруді орындау жеткілікті болуы мүмкін. Бұл, әрине, өте ыңғайлы, өйткені үлкен қуаттарды есептеу оңай емес.

Мысал 1... 5 8 × 25 өрнегін күшейтіңіз

Бұл есепте 5 8 × 25 өрнегінің орнына бір дәреже алатындай етіп жасау керек.

25 санын 5 2 түрінде беруге болады. Содан кейін біз келесі өрнекті аламыз:

Бұл өрнекте сіз дәреженің негізгі қасиетін қолдана аласыз - базаны 5 өзгеріссіз қалдырыңыз және 8 және 2 индикаторларын қосыңыз:

Шешімді қысқаша жазайық:

Мысал 2... 2 9 × 32 өрнегін күшейтіңіз

32 санын 2 5 түрінде беруге болады. Содан кейін біз 2 9 × 2 5 өрнегін аламыз. Әрі қарай, сіз дәреженің негізгі қасиетін қолдана аласыз - 2 -базаны өзгеріссіз қалдырып, 9 және 5 индикаторларын қосыңыз. Нәтиже келесі шешім болады:

Мысал 3... 3 × 3 көбейтіндісін негізгі қуат қасиетін пайдаланып есептеңіз.

Барлығы үш есе үш тоғызға тең екенін біледі, бірақ мәселе шешім барысында дәреженің негізгі қасиетін пайдалануды талап етеді. Бұны қалай істейді?

Егер сан индикаторсыз берілсе, онда индикатор бірге тең деп есептелуі керек екенін еске түсіреміз. Сондықтан 3 және 3 факторларды 3 1 және 3 1 деп жазуға болады

3 1 × 3 1

Енді біз дәреженің негізгі қасиетін қолданатын боламыз. 3 -базаны өзгеріссіз қалдырыңыз және 1 және 1 индикаторларын қосыңыз:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

Мысал 4... Негізгі қуат қасиетін пайдаланып, өнімді 2 × 2 × 3 2 × 3 3 есептеңіз.

2 × 2 көбейтіндісі 2 1 × 2 1 -ге, содан кейін 2 1 + 1 -ге, сосын 2 2 -ге ауыстырылады. 3 2 × 3 3 көбейтіндісі 3 2 + 3 -ке, содан кейін 3 5 -ке ауыстырылады

Мысал 5... Көбейтуді орындаңыз x × x

Бұл көрсеткіштері бар екі бірдей алфавиттік фактор 1. Айқын болу үшін біз бұл көрсеткіштерді жазамыз. Әрі қарай негіз xбіз өзгеріссіз қалдырамыз және индикаторларды қосамыз:

Тақтада болған кезде, дәл осында жасалған дәрежелерді дәл осында егжей -тегжейлі жазуға болмайды. Мұндай есептеулер ақылмен жасалуы керек. Егжей -тегжейлі жазба мұғалімді ашуландыруы мүмкін және ол оның бағасын төмендетеді. Бұл жерде материалды түсіну үшін барынша қолжетімді болу үшін егжей -тегжейлі жазба берілген.

Бұл мысалдың шешімін келесі түрде жазған жөн:

Мысал 6... Көбейтуді орындаңыз x 2 × x

Екінші фактордың көрсеткіші біреуіне тең. Түсінікті болу үшін жазайық. Әрі қарай, біз базаны өзгеріссіз қалдырамыз және индикаторларды қосамыз:

Мысал 7... Көбейтуді орындаңыз ж 3 ж 2 ж

Үшінші фактордың көрсеткіші біреуіне тең. Түсінікті болу үшін жазайық. Әрі қарай, біз базаны өзгеріссіз қалдырамыз және индикаторларды қосамыз:

Мысал 8... Көбейтуді орындаңыз аа 3 а 2 а 5

Бірінші фактордың көрсеткіші біреуіне тең. Түсінікті болу үшін жазайық. Әрі қарай, біз базаны өзгеріссіз қалдырамыз және индикаторларды қосамыз:

Мысал 9... 3 8 дәрежесін негіздері бірдей дәрежелердің туындысы ретінде көрсетіңіз.

Бұл есепте негіздері 3 -ке, ал көрсеткіштерінің қосындысы 8 -ге тең болатын дәреже көбейтіндісін құрастыру қажет. Кез келген көрсеткіштерді қолдануға болады. Біз 3 8 қуатын 3 5 және 3 3 күштерінің туындысы ретінде ұсынамыз

Бұл мысалда біз қайтадан дәреженің негізгі қасиетіне сүйендік. Өйткені, 3 5 × 3 3 өрнегін 3 5 + 3 түрінде жазуға болады, содан кейін 3 8.

Әрине, 3 8 дәрежесін басқа дәрежедегі өнім түрінде ұсыну мүмкін болды. Мысалы, 3 7 × 3 1 түрінде, өйткені бұл өнім де 3 8

Дәрежені бірдей негіздері бар дәреже туындысы ретінде ұсыну көбінесе шығармашылық жұмыс болып табылады. Сондықтан эксперимент жасаудан қорықпаңыз.

Мысал 10... Дәреже жіберу x 12 негіздері бар әр түрлі дәрежедегі өнімдер ретінде x .

Дәреженің негізгі қасиетін қолданайық. Елестетіп көріңіз x 12 негізі бар жұмыстар түрінде x, ал көрсеткіштердің қосындысы - 12

Айқын болу үшін индикаторлардың сомасы бар конструкциялар жазылды. Көбінесе оларды өткізіп жіберуге болады. Содан кейін сіз ықшам шешім аласыз:

Шығарманың экспоненциясы

Өнімді қуат деңгейіне көтеру үшін осы өнімнің әрбір факторын көрсетілген қуатқа дейін көтеріп, алынған нәтижелерді көбейту қажет.

Мысалы, өнімді 2 × 3 екінші қуатқа көтерейік. Бұл өнімді жақшаға алып, 2 санын көрсетейік

Енді біз өнімнің әрбір коэффициентін 2 × 3 екінші қуатқа көтереміз және алынған нәтижелерді көбейтеміз:

Бұл ереженің әрекет ету принципі ең басында берілген дәрежені анықтауға негізделген.

2 × 3 өнімді екінші деңгейге көтеру берілген өнімді екі рет қайталауды білдіреді. Егер сіз оны екі рет қайталасаңыз, мынаны аласыз:

2 × 3 × 2 × 3

Өнім факторлардың орындарының ауысуынан өзгермейді. Бұл бірдей факторларды топтастыруға мүмкіндік береді:

2 × 2 × 3 × 3

Қайталанатын көбейткіштерді қысқа жазбалармен ауыстыруға болады - индикаторлары бар негіздер. 2 × 2 туындысын 2 2 -ге ауыстыруға болады, ал 3 × 3 өнімді 3 2 -ге ауыстыруға болады. Содан кейін 2 × 2 × 3 × 3 өрнегі 2 2 × 3 2 өрнегіне айналады.

Болсын абтүпнұсқа жұмыс. Берілген жұмысты билікке көтеру n, факторларды бөлек көтеру қажет ажәне ббелгіленген дәрежеде n

Бұл қасиет кез келген факторларға жарамды. Келесі өрнектер де дұрыс:

Мысал 2... Өрнектің мәнін табыңыз (2 × 3 × 4) 2

Бұл мысалда өнімді 2 × 3 × 4 екінші қуатқа көтеру керек. Мұны істеу үшін сіз осы өнімнің әрбір факторын екінші деңгейге көтеріп, алынған нәтижелерді көбейтуіңіз керек:

Мысал 3... Жұмысты үшінші билікке көтеріңіз a × b × c

Біз бұл өнімді жақшаға аламыз және индикатор ретінде 3 санын көрсетеміз

Мысал 4... Өнімді 3 үшінші қуатқа көтеріңіз xyz

Біз бұл өнімді жақшаға аламыз және индикатор ретінде 3 -ті көрсетеміз

(3xyz) 3

Осы өнімнің әрбір факторын үшінші қуатқа көтерейік:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 ж 3 z 3

Үшінші дәрежедегі 3 саны 27 санына тең. Қалғанын өзгеріссіз қалдырыңыз:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 ж 3 z 3 = 27x 3 ж 3 z 3

Кейбір мысалдарда бірдей көрсеткішті дәрежелерді көбейтуді бір көрсеткішті негіздердің көбейтіндісімен алмастыруға болады.

Мысалы, 5 2 × 3 2 өрнегінің мәнін есептейік. Әр санды екінші дәрежеге көтеріп, алынған нәтижелерді көбейтейік:

5 2 × 3 2 = 25 × 9 = 225

Бірақ әр дәрежені бөлек есептеудің қажеті жоқ. Оның орнына, берілген дәреже көбейтіндісін бір дәрежелі өніммен алмастыруға болады (5 × 3) 2. Содан кейін жақшаның ішіндегі мәнді есептеп, нәтижені екінші дәрежеге көтеріңіз:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

Бұл жағдайда тағы да туындының күшіне көтерілу ережесі қолданылды. Өйткені, егер (a × b)n = a n × b n , онда a n × b n = (a × b) n... Яғни, теңдіктің сол және оң жақтары керісінше.

Экспоненциализация

Біз бір дәрежелі түрлендірулердің мәнін түсінуге тырысқанда, бұл түрлендіруді мысал ретінде қарастырдық.

Дәрежені дәрежеге көтергенде, база өзгеріссіз қалады, ал көрсеткіштер көбейтіледі:

(а)m = a n × m

Мысалы, (2 3) 2 өрнегі қуатты күшке көтереді - үшінші дәрежеде екеуі екінші дәрежеге көтеріледі. Бұл өрнектің мәнін табу үшін базаны өзгеріссіз қалдыруға болады, ал көрсеткіштерді көбейтуге болады:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

Бұл ереже алдыңғы ережелерге негізделеді: өнімді дәрежеге көтеру мен негізгі қасиетке көтеру.

(2 3) 2 өрнегіне оралайық. 2 3 жақшасындағы өрнек - әрқайсысы 2 болатын үш бірдей фактордың туындысы. Содан кейін (2 3) 2 өрнегінде жақшаның ішіндегі қуатты 2 × 2 × 2 көбейтіндісімен ауыстыруға болады.

(2 × 2 × 2) 2

Бұл біз бұрын зерттеген жұмыстың күшін арттырады. Естеріңізге сала кетейік, өнімді қуатты деңгейге көтеру үшін осы өнімнің әрбір факторын көрсетілген қуатқа көтеріп, алынған нәтижелерді көбейту қажет:

(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2

Енді біз дәреженің негізгі қасиетімен айналысамыз. Біз базаны өзгеріссіз қалдырамыз және индикаторларды қосамыз:

(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

Бұрынғыдай бізде 26 бар. Бұл қуаттың мәні 64

(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

Өнімді күшке де көтеруге болады, оның факторлары да күш.

Мысалы, өрнектің мәнін табайық (2 2 × 3 2) 3. Мұнда әрбір мультипликатордың көрсеткіштерін 3 -тің жалпы көрсеткішіне көбейту керек. Содан кейін әр дәреженің мәнін тауып, өнімді есептеңдер:

(2 2 × 3 2) 3 = 2 2 × 3 × 3 2 × 3 = 2 6 × 3 6 = 64 × 729 = 46656

Дәл осындай жағдай туындының күшіне көтерілгенде де болады. Біз өнімді қуатқа көтергенде, бұл өнімнің әрбір факторы көрсетілген қуатқа көтерілетінін айттық.

Мысалы, 2 × 4 көлеміндегі өнімді үшінші дәрежеге көтеру үшін келесі өрнекті жазу керек:

Бірақ бұрын егер индикаторсыз сан берілсе, онда индикаторды бірге тең деп санау керек деп айтылған. 2 × 4 өнімінің факторларының бастапқыда 1 -ге тең көрсеткіштері бар екені белгілі болды. Осылайша 2 1 × 4 1 ​​өрнегі үшінші дәрежеге көтерілді. Және бұл билікті күшке көтеру.

Қуат-қуат ережесін қолданып шешімді қайта жазайық. Біз дәл осындай нәтиже алуымыз керек:

Мысал 2... (3 3) 2 өрнегінің мәнін табыңыз

Біз базаны өзгеріссіз қалдырамыз және индикаторларды көбейтеміз:

Алынған 3 6. Алтыншы билікке дейінгі 3 саны - 729 саны

Мысал 3xy)³

Мысал 4... Өрнекте экспоненциалауды орындаңыз ( abc)⁵

Өнімнің әрбір мультипликаторын бесінші дәрежеге көтерейік:

Мысал 5балта) 3

Өнімнің әрбір мультипликаторын үшінші дәрежеге көтерейік:

-2 теріс саны үшінші дәрежеге көтерілгендіктен, ол жақшаға алынды.

Мысал 6... Өрнектегі экспонентацияны орындаңыз (10 xy) 2

Мысал 7... Өрнекте экспоненциалауды орындаңыз (-5 x) 3

Мысал 8... Өрнекте экспоненциалауды орындаңыз (-3 ж) 4

Мысал 9... Өрнекте экспоненциалауды орындаңыз (-2 abx)⁴

Мысал 10... Өрнекті жеңілдетіңіз x 5 × ( x 2) 3

Дәреже x 5 әзірге өзгеріссіз қалады және өрнекте ( x 2) 3 біз күштің дәрежесін көрсетеміз:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2 × 3 = x 5 × x 6

Енді көбейтуді орындайық x 5 × x 6. Ол үшін біз дәреженің негізгі қасиетін - базаны қолданатын боламыз xбіз өзгеріссіз қалдырамыз және индикаторларды қосамыз:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2 × 3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11

Мысал 9... Дәреженің негізгі қасиетін пайдаланып 4 3 × 2 2 өрнегінің мәнін табыңыз.

Дәреженің негізгі қасиетін бастапқы дәрежелердің негіздері бірдей болған жағдайда қолдануға болады. Бұл мысалда негіздер әр түрлі, сондықтан бастапқы өрнекті сәл өзгерту керек, дәлірек айтқанда, дәрежелердің негіздерін бірдей ету үшін.

4 3 дәрежесін мұқият қарастырайық. Бұл дәреженің негізі 4 саны болып табылады, оны 2 2 түрінде беруге болады. Содан кейін бастапқы өрнек (2 2) 3 × 2 2 формасын алады. (2 2) 3 өрнегіндегі дәрежелеуді орындап, біз 2 6 аламыз. Содан кейін бастапқы өрнек 2 6 × 2 2 формасын алады, оны дәреженің негізгі қасиетін қолдана отырып есептеуге болады.

Бұл мысалдың шешімін жазайық:

Дәрежелердің бөлінуі

Дәрежелерді бөлу үшін әр дәреженің мәнін табу керек, содан кейін қарапайым сандарды бөлу керек.

Мысалы, 4 3 -ті 2 -ге бөліңіз.

4 3 есептейік, біз 64 аламыз. 2 2 есептеңіз, 4 алыңыз. Енді 64 -ті 4 -ке бөліңіз, 16 -ны алыңыз

Егер негіздердің дәрежелерін бөлу кезінде олар бірдей болып шықса, онда негізді өзгеріссіз қалдыруға болады, ал дивидендтің көрсеткішінен бөлгіштің дәрежесін алып тастауға болады.

Мысалы, 2 3: 2 2 өрнегінің мәнін табайық

2 -базаны өзгеріссіз қалдырыңыз және дивидендтің дәрежесінен бөлгіштің дәрежесін алып тастаңыз:

Демек, 2 3: 2 2 өрнегінің мәні 2 -ге тең.

Бұл қасиет бірдей негіздері бар дәрежелерді көбейтуге негізделген немесе біз дәреженің негізгі қасиеті туралы айтатынбыз.

Алдыңғы мысалға оралайық 2 3: 2 2. Мұнда дивиденд 2 3, ал бөлуші 2 2 болады.

Бір санды екіншісіне бөлу бөлгішке көбейткенде дивиденд алатын санды табуды білдіреді.

Біздің жағдайда 2 3 -ті 2 2 -ге бөлу 2 2 -ге бөлгішке көбейткенде 2 3 болатын дәрежені табуды білдіреді. Ал 2 3 -ке қай дәрежеде 2 2 -ге көбейтуге болады? Әлбетте, тек 2 дәрежесі 1. Дәреженің негізгі қасиетінен бізде:

2 3: 2 2 өрнегінің мәні 2 1 екенін 2 3: 2 2 өрнегін тікелей бағалау арқылы тексеруге болады. Ол үшін алдымен қуаттылықтың мәнін табамыз 2 3, 8 аламыз. Содан кейін біз 2 2 күшінің мәнін табамыз, 4 аламыз. 8 -ді 4 -ке бөліңіз, біз 2 немесе 2 1 аламыз, өйткені 2 = 2 1.

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

Осылайша, негіздері бірдей дәрежелерді бөлу кезінде келесі теңдік сақталады:

Сонымен қатар, негіздер ғана емес, көрсеткіштер де бірдей болуы мүмкін. Бұл жағдайда жауап бір болады.

Мысалы, 2 2: 2 2 өрнегінің мәнін табайық. Әр дәреженің мәнін есептеп, алынған сандардың бөлінуін орындайық:

2 2: 2 2 мысалын шешкенде, сол негіздері бар күштерді бөлу ережесін қолдануға болады. Нәтиже нөлдік дәрежедегі сан болып табылады, өйткені 2 2 және 2 2 дәреже көрсеткіштері арасындағы айырмашылық нөлге тең:

Неліктен нөлдік дәрежеде 2 саны бірге тең, біз жоғарыда білдік. Егер сіз 2 2: 2 2 -ді әдеттегідей есептесеңіз, билікті бөлу ережесін қолданбай, біреуін аласыз.

Мысал 2... 4 12: 4 10 өрнегінің мәнін табыңыз

Біз 4 -ті өзгеріссіз қалдырамыз, ал дивидендтің дәрежесінен бөлгіштің дәрежесін алып тастаймыз:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

Мысал 3... Жеке жіберіңіз x 3: xрадиусы бар дәреже ретінде x

Дәрежелерді бөлу ережесін қолданайық. Негіз xОны өзгеріссіз қалдырыңыз және дивидендтің дәрежесінен бөлгіштің дәрежесін алып тастаңыз. Бөлгішті дәреже бірге тең. Түсінікті болу үшін оны жазайық:

Мысал 4... Жеке жіберіңіз x 3: x 2 радиусы бар қуат ретінде x

Дәрежелерді бөлу ережесін қолданайық. Негіз x

Дәрежелердің бөлінуін бөлшек түрінде жазуға болады. Сонымен, алдыңғы мысалды келесі түрде жазуға болады:

Бөлшектің бөлгіштері мен бөлгіштерін кеңейтілген түрде, дәл сол факторлардың туындылары түрінде жазуға рұқсат етіледі. Дәреже x 3 деп жазуға болады x × x × xжәне дәрежесі x 2 қалай x × x... Содан кейін құрылыс x 3 - 2 бөлігін азайтуды өткізіп қолдануға болады. Нөмірде және бөлгіште екі фактордан бас тартуға болады x... Нәтижесінде бір фактор қалады x

Немесе одан да қысқа:

Қуат фракцияларын тез азайту да пайдалы. Мысалы, бөлшекті жоюға болады x 2018-05-07 121 2. Бөлшекті азайту үшін x 2 бөлшектің алымы мен бөлімін бөлу керек x 2

Дәрежелердің бөлінуін егжей -тегжейлі алып тастауға болады. Бұл қысқартуды қысқартуға болады:

Немесе одан да қысқа:

Мысал 5... Бөлуді орындау x 12 : x 3

Дәрежелерді бөлу ережесін қолданайық. Негіз xБіз оны өзгеріссіз қалдырамыз және дивидендтің дәрежесінен бөлгіштің дәрежесін алып тастаймыз:

Бөлшекті азайту арқылы шешімін жазайық. Дәрежелердің бөлінуі x 12 : x 3 формада жазылады. Әрі қарай, біз бұл үлесті азайта аламыз x 3 .

Мысал 6... Өрнектің мәнін табыңыз

Нөмірде біз бірдей негіздермен күштерді көбейтуді орындаймыз:

Енді біз негіздері бірдей дәрежелерді бөлу ережесін қолданамыз. Біз 7 -базаны өзгеріссіз қалдырамыз және дивидендтің дәрежесінен бөлгіштің дәрежесін алып тастаймыз:

7 2 дәрежесін есептеу арқылы мысалды аяқтаңыз

Мысал 7... Өрнектің мәнін табыңыз

Нумератордағы көрсеткішті орындайық. Мұны (2 3) 4 өрнегімен жасау керек

Енді нумераторда бірдей негіздері бар күштерді көбейтуді орындайық.

Дәрежелерді қалай көбейтуге болады? Қандай дәрежелерді көбейтуге болады, ал қайсысы мүмкін емес? Санды дәрежеге қалай көбейтуге болады?

Алгебрада дәрежелердің көбейтіндісін екі жағдайда табуға болады:

1) егер дәрежелердің негіздері бірдей болса;

2) егер дәрежелер бірдей көрсеткіштерге ие болса.

Дәрежелерді бірдей негіздермен көбейткенде, базаны сол күйінде қалдырып, индикаторларды қосу керек:

Дәл сол көрсеткіштермен дәрежелерді көбейту кезінде жалпы көрсеткішті жақшадан шығаруға болады:

Нақты мысалдар арқылы дәрежелерді қалай көбейту керектігін қарастырайық.

Экспоненттегі бірлік жазылмайды, бірақ дәрежелерді көбейткенде олар мыналарды ескереді:

Көбейту кезінде дәрежелер саны кез келген болуы мүмкін. Есіңізде болсын, әріптен бұрын көбейту белгісін жазудың қажеті жоқ:

Өрнектерде экспонентация алдымен орындалады.

Егер санды дәрежеге көбейту қажет болса, алдымен экспонентацияны орындау керек, содан кейін ғана көбейту:

www.algebraclass.ru

Билікті қосу, азайту, көбейту және бөлу

Күштерді қосу және азайту

Әлбетте, басқа шамалар сияқты қуаты бар сандарды қосуға болады , оларды белгілерімен бір -бірлеп қосу арқылы.

Сонымен, 3 пен b 2 -нің қосындысы 3 + b 2 болады.
3 - b n және h 5 -d 4 қосындысы 3 - b n + h 5 - d 4.

Мүмкіндіктер бірдей айнымалылардың бірдей дәрежелеріқосуға немесе азайтуға болады.

Сонымен, 2а 2 және 3а 2 қосындысы 5а 2 болады.

Егер сіз екі квадрат а, немесе үш квадрат а немесе бес квадрат а алсаңыз, бұл анық.

Бірақ дәрежелер әр түрлі айнымалыларжәне әр түрлі дәрежеде бірдей айнымалылар, белгісімен оларды қосу арқылы қосу керек.

Сонымен, 2 мен 3 -тің қосындысы 2 + a 3 қосындысы болып табылады.

А -ның квадраты мен а -ның кубы а -ның квадратының екі есесіне тең емес, а -ның текшесінен екі есе көп екені анық.

3 b n және 3a 5 b 6 қосындысы - 3 b n + 3a 5 b 6.

Азайтудәрежелер қосу әдісімен жүзеге асырылады, тек шегерілетін белгілер сәйкесінше өзгертілуі керек.

Немесе:
2а 4 - (-6а 4) = 8а 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Дәрежелерді көбейту

Дәрежесі бар сандарды, басқа шамалар сияқты, олардың арасына көбейту белгісі бар немесе жоқ кезекпен жазу арқылы көбейтуге болады.

Сонымен, 3 -ті b 2 -ге көбейтудің нәтижесі 3 b 2 немесе aaabb болады.

Немесе:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3а 6 у 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Соңғы мысалдағы нәтижеге бірдей айнымалыларды қосу арқылы тапсырыс беруге болады.
Өрнек келесі түрде болады: a 5 b 5 y 3.

Бірнеше сандарды (айнымалыларды) дәрежелермен салыстыра отырып, егер олардың кез келген екеуі көбейтілсе, онда нәтиже санына (айнымалыға) тең болатын дәрежеде болатынын көреміз. қосындытерминдердің дәрежелері.

Сонымен, 2 .a 3 = a.aaa = aaaaa = a 5.

Мұндағы 5 - көбейту нәтижесінің күші, 2 + 3 -ке тең, мүшелердің дәрежелерінің қосындысы.

Сонымен, a n .a m = a m + n.

A n үшін а -ның коэффициенті n -ге тең болғанша қабылданады;

Ал m, m күші қанша есе болса да фактор ретінде қабылданады;

Сондықтан, бірдей сабақтары бар дәрежелерді көрсеткіштерді қосу арқылы көбейтуге болады.

Сонымен, 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8. Және x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

Немесе:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

Көбейту (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Жауабы: x 4 - y 4.
Көбейту (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Бұл ереже көрсеткіштері болатын сандарға да қатысты - теріс.

1. Сонымен, a -2 .a -3 = a -5. Мұны (1 / аа) деп жазуға болады. (1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2.y -n .y -m = y -n -m.

3.a -n .a m = a m -n.

Егер a + b a - b -ге көбейтілсе, нәтиже 2 - b 2: яғни

Екі санның қосындысын немесе айырмасын көбейтудің нәтижесі олардың квадраттарының қосындысына немесе айырмасына тең.

Егер екі санның қосындысы мен айырмасы көбейтілсе шаршы, нәтиже осы сандардың қосындысына немесе айырмасына тең болады төртіншідәреже.

Сонымен, (a - y). (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Дәрежелердің бөлінуі

Қуат сандарын басқа сандар сияқты бөлгіштен азайту немесе бөлшек түрінде орналастыру арқылы бөлуге болады.

Демек, b 2 -ге бөлінген 3 b 2 а 3 -ке тең.

5 -ті 3 -ке бөлу $ \ frac сияқты $. Бірақ бұл 2 -ге тең. Сандар сериясында
а +4, а +3, а +2, а +1, а 0, а -1, а -2, а -3, а -4.
кез келген санды екіншісіне бөлуге болады, ал көрсеткіш көрсеткішке тең болады айырмашылықбөлінетін сандардың көрсеткіштері.

Дәрежелерді бірдей базаға бөлу кезінде олардың көрсеткіштері алынады..

Сонымен, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Яғни $ \ frac = y $.

Ал n + 1: a = a n + 1-1 = a n. Яғни $ \ frac = a ^ n $.

Немесе:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Бұл ереже сандарға да қатысты терісдәрежелердің мәндері.
A -5 -ті -3 -ке бөлудің нәтижесі -2.
Сонымен қатар, $ \ frac: \ frac = \ frac. \ Frac = \ frac = \ frac $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 немесе $ h ^ 2: \ frac = h ^ 2. \ frac = h ^ 3 $

Дәрежелерді көбейту мен бөлуді өте жақсы меңгеру қажет, өйткені мұндай амалдар алгебрада кеңінен қолданылады.

Дәрежесі бар сандары бар бөлшектері бар мысалдарды шешу мысалдары

1. $ \ frac $ экспоненттерін азайтыңыз Жауабы: $ \ frac $.

2. $ \ frac $ экспоненттерін азайтыңыз. Жауап: $ \ frac $ немесе 2x.

3. 2 / a 3 және a -3 / a -4 дәреже көрсеткіштерін азайтып, оларды ортақ бөлімге келтір.
a 2 .a -4 --2 бірінші алғыш.
а 3 .а -3 -0 = 1, екінші санағыш.
а 3 .а -4 --1, ортақ санағыш.
Оңайлатудан кейін: a -2 / a -1 және 1 / a -1.

4. 2а 4 / 5а 3 және 2 / а 4 дәреже көрсеткіштерін азайтып, оларды ортақ бөлімге келтір.
Жауабы: 2а 3 / 5а 7 және 5а 5 / 5а 7 немесе 2а 3 / 5а 2 және 5 / 5а 2.

5. (a 3 + b) / b 4 -ті (a - b) / 3 -ке көбейтіңіз.

6. (a 5 + 1) / x 2 санын (b 2 - 1) / (x + a) көбейтіңіз.

7. b 4 / a -2 санын h -3 / x және a / n -3 -ке көбейтіңіз.

8. 4 / y 3 -ті 3 / y 2 -ге бөліңіз. Жауап: а / ж.

Дәреже қасиеттері

Бұл сабақ түсінетінін еске саламыз қуат қасиеттерітабиғи көрсеткіштермен және нөлмен. Рационалды дәрежелер мен олардың қасиеттері 8 сынып сабақтарында қарастырылатын болады.

Табиғи көрсеткіште экспонент мысалдарында есептеулерді жеңілдететін бірнеше маңызды қасиеттер бар.

Меншік нөмірі 1
Дәрежелер туындысы

Дәрежелерді бірдей негіздермен көбейткенде, негіз өзгеріссіз қалады, ал көрсеткіштер қосылады.

a m · a n = a m + n, мұнда «а» - кез келген сан, ал «m», «n» - кез келген натурал сандар.

Дәрежелердің бұл қасиеті үш немесе одан да көп дәрежелі өнімге әсер етеді.

Өрнекті жеңілдетіңіз.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Дәреже ретінде ұсыну.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Дәреже ретінде ұсыну.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Назар аударыңыз, көрсетілген мүлікте тек сол негіздері бар өкілеттіктерді көбейту туралы болды.... Бұл олардың қосылуына қолданылмайды.

Сіз соманы (3 3 + 3 2) 3 5 -ке ауыстыра алмайсыз. Бұл түсінікті, егер
санау (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 және 3 5 = 243

Меншік нөмірі 2
Жеке дәрежелер

Дәрежелерді бірдей негіздермен бөлгенде, негіз өзгеріссіз қалады, ал дивидендтің көрсеткішінен бөлгіштің дәрежесі алынады.

Бөлшекті дәреже ретінде жазыңыз
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2

Есептеу.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Мысал. Теңдеуді шешіңіз. Біз жеке дәрежедегі мүлікті қолданамыз.
3 8: t = 3 4

Жауабы: t = 3 4 = 81

# 1 және # 2 қасиеттерін қолдана отырып, өрнектерді жеңілдетуге және есептеулер жүргізуге болады.

Мысал. Өрнекті жеңілдетіңіз.
4 5м + 6 4 м + 2: 4 4м + 3 = 4 5м + 6 + м + 2: 4 4м + 3 = 4 6м + 8 - 4м - 3 = 4 2м + 5

Мысал. Дәреженің қасиеттерін пайдаланып өрнектің мәнін табыңыз.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Назар аударыңыз, 2 -ші қасиет сол негіздері бар дәрежелерді бөлуге ғана қатысты.

Сіз айырмашылықты (4 3 -4 2) 4 1 -ге алмастыра алмайсыз. Егер (4 3 -4 2) = (64 - 16) = 48 және 4 1 = 4 есептесек, бұл түсінікті

Меншік нөмірі 3
Экспоненциализация

Дәрежені дәрежеге көтеру кезінде дәреженің негізі өзгеріссіз қалады, ал көрсеткіштер көбейтіледі.

(a n) m = a n · m, мұнда «а» - кез келген сан, ал «m», «n» - кез келген натурал сандар.

Назар аударыңыз, №4 қасиет басқа дәрежелік қасиеттер сияқты кері тәртіпте қолданылады.

(a n b n) = (a b) n

Яғни, сол көрсеткіштермен дәрежелерді көбейту үшін негіздерді көбейтуге болады, ал көрсеткішті өзгеріссіз қалдыруға болады.

Мысал. Есептеу.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Мысал. Есептеу.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Күрделі мысалдарда көбейту мен бөлуді әр түрлі негіздер мен әр түрлі көрсеткіштері бар дәрежелер бойынша орындау керек жағдайлар болуы мүмкін. Бұл жағдайда сізге келесі әрекеттерді орындауға кеңес береміз.

Мысалы, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Ондық дәрежеге көтерудің мысалы.

4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Қасиеттері 5
Қатысу дәрежесі (бөлшек)

Күшті деңгейге көтеру үшін сіз бұл дивиденд пен бөлгішті көтере аласыз және бірінші нәтижені екіншіге бөле аласыз.

(a: b) n = a n: b n, мұнда “a”, “b” - кез келген рационал сандар, b ≠ 0, n - кез келген натурал сан.

Мысал. Өрнекті жеке дәреже түрінде беріңіз.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Ескертеміз, бөлік бөлшек түрінде ұсынылуы мүмкін. Сондықтан біз келесі бетте бөлшекті дәрежеге шығару туралы толығырақ тоқталамыз.

Дәрежелер мен тамырлар

Күштері мен тамырлары бар операциялар. Теріспен дәреже ,

нөлдік және бөлшек көрсеткіш. Мағынасы жоқ өрнектер туралы.

Дәрежелері бар операциялар.

1. Дәрежелерді бірдей негізге көбейткенде олардың көрсеткіштері қосылады:

а м · a n = a m + n.

2. Дәрежелерді бірдей базаға бөлу кезінде олардың көрсеткіштері шегерілді .

3. Екі немесе одан да көп факторлардың туындысының дәрежесі осы факторлардың дәрежелерінің көбейтіндісіне тең.

4. Қатынастың (бөлшектің) дәрежесі дивидендтің (бөлгіштің) және бөлгіштің (бөлгіштің) дәрежелерінің қатынасына тең:

(а / б) n = a n / b n.

5. Дәрежені дәрежеге көтеру кезінде олардың көрсеткіштері көбейтіледі:

Жоғарыда аталған формулалардың барлығы екі бағытта солдан оңға қарай және керісінше оқылады және орындалады.

МЫСАЛ (2 · 3 · 5/15) ² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900/225 = 4 .

Түбірлік операциялар. Төмендегі барлық формулаларда символ білдіреді арифметикалық түбір(радикалды өрнек оң).

1. Бірнеше факторлардың көбейтіндісінің түбірі осы факторлардың түбірлерінің туындысына тең:

2. Пропорцияның түбірі дивиденд пен бөлгіш түбірлерінің қатынасына тең:

3. Түбірді күшке көтергенде, осы күшке көтеру жеткілікті түбір нөмірі:

4. Егер түбірдің дәрежесін m есе арттырсақ және сонымен қатар радикалды санды m-ші дәрежеге көтерсек, онда түбірдің мәні өзгермейді:

5. Егер түбірдің дәрежесін m есе азайтып, сонымен қатар m -ші дәрежелі түбірді радикал саннан шығаратын болсақ, онда түбірдің мәні өзгермейді:

Дәреже туралы түсініктің кеңеюі. Әзірге біз дәрежелерді тек табиғи көрсеткішпен қарастырдық; бірақ күштері мен тамырлары бар әрекеттер де әкелуі мүмкін теріс, нөлжәне бөлшеккөрсеткіштер. Барлық осы дәреже көрсеткіштері қосымша анықтаманы қажет етеді.

Теріс көрсеткішті дәреже. Теріс (бүтін) дәрежелі көрсеткіші бар санның дәрежесі теріс көрсеткіштің абсолюттік мәніне тең дәрежесі бар сол санның дәрежесіне бөлінген бірлік ретінде анықталады:

Енді формула а м : а = а м - нүшін ғана емес қолдануға болады мүлкен n, сонымен қатар модан азырақ n .

МЫСАЛ а 4: а 7 = а 4 — 7 = а — 3 .

Егер біз формуланы алғымыз келсе а м : а = а м — nқашан әділ болды m = n, бізге нөлдік дәреженің анықтамасы қажет.

Нөлдік баға. Нөлдік көрсеткіші бар кез келген нөлден басқа санның қуаты 1 -ге тең.

МЫСАЛ 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Бөлшектік көрсеткіш. Нақты а санын m / n дәрежесіне дейін көтеру үшін мына санның m -ші дәрежесінің n -ші түбірін алу керек:

Мағынасы жоқ өрнектер туралы. Мұндай бірнеше өрнектер бар.

қайда а ≠ 0 , жоқ.

Шынында да, осылай деп есептегенде x- кейбір сан, содан кейін бөлу операциясының анықтамасына сәйкес бізде: а = 0· x, яғни а= 0, бұл шартқа қайшы келеді: а ≠ 0

— кез келген сан.

Шынында да, егер бұл өрнек қандай да бір санға тең деп есептесек x, онда бөлу операциясының анықтамасы бойынша бізде: 0 = 0 x... Бірақ бұл теңдік сақталады кез келген x саны, талап етілгендей.

0 0 — кез келген сан.

Шешім. Үш негізгі жағдайды қарастырыңыз:

1) x = 0 – бұл мән берілген теңдеуді қанағаттандырмайды

2) кезінде x> 0 аламыз: x / x= 1, яғни 1 = 1, бұл қайдан шығады

не x- кез келген сан; бірақ оны ескере отырып

біздің іс x> 0, жауап x > 0 ;

Әр түрлі радиуспен дәрежелерді көбейту ережелері

РАЦИОНАЛДЫҚ КӨРСЕТКІШТІҢ ДӘРЕЖЕСІ,

ДЕРЕЖЕЛІК ФУНКЦИЯ IV

§ 69. Негіздері бірдей дәрежелерді көбейту және бөлу

Теорема 1.Дәрежелерді бірдей негіздермен көбейту үшін көрсеткіштерді қосу жеткілікті, ал базаны сол күйінде қалдыру, яғни

Дәлел.Дәреженің анықтамасы бойынша

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Біз екі дәрежелі өнімді қарастырдық. Шынында да, дәлелденген қасиет бірдей негіздері бар кез келген дәрежедегі дәрежеге сәйкес келеді.

Теорема 2.Бірдей негіздегі өкілеттіктерді бөлу үшін, дивидендтің индексі бөлуші индексінен үлкен болған кезде, дивидендтің индексінен бөлгіштің индексін алып тастау жеткілікті, яғни базаны сол күйінде қалдыру жеткілікті. кезінде м> н

(а =/= 0)

Дәлел.Естеріңізге сала кетейік, бір санды екіншісіне бөлу коэффициенті - бұл бөлгішке көбейтілгенде дивиденд беретін сан. Сондықтан формуланы дәлелде а = / = 0, бұл формуланы дәлелдеумен бірдей

Егер м> н , содан кейін нөмір t - n табиғи болады; сондықтан 1 теоремасы бойынша

2 теоремасы дәлелденді.

Формула екенін ескеру қажет

деген болжаммен біз дәлелдедік м> н ... Демек, дәлелденген нәрселерден, мысалы, мұндай қорытындыларды шығару мүмкін емес:

Сонымен қатар, біз теріс көрсеткішті дәрежелерді әлі қарастырған жоқпыз және 3 өрнегіне қандай мағына беруге болатынын әлі білмейміз. - 2 .

Теорема 3. Қуатты күшке көтеру үшін индикаторларды көбейту жеткілікті, ал биліктің негізін сол күйінде қалдырады, яғни

Дәлел.Дәреженің анықтамасын және осы бөлімнің 1 -теоремасын қолдана отырып, біз мынаны аламыз:

Q.E.D.

Мысалы, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Ауызша.) Анықтаңыз NS теңдеулерден:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (U st n about.) Жеңілдету үшін:

520. Жеңілдету үшін:

521. Бұл өрнектер бірдей негіздері бар дәреже түрінде берілуі керек?

1) 32 және 64; 3) 8 5 және 16 3; 5) 4 100 және 32 50;

2) -1000 және 100; 4) -27 және -243; 6) 81 75 8 200 және 3 600 4 150.

«Бірдей және әр түрлі көрсеткіштері бар дәрежелерді көбейту мен бөлу ережелері. Мысалдар» тақырыбындағы сабақ.

Қосымша материалдар
Құрметті қолданушылар, пікірлеріңізді, пікірлеріңізді, тілектеріңізді қалдыруды ұмытпаңыз. Барлық материалдар антивирустық бағдарламамен тексерілген.

7 сыныпқа арналған Integral интернет -дүкеніндегі оқу құралдары мен тренажерлер
Оқулыққа арналған нұсқаулық Ю.Н. Макаричева оқулыққа арналған нұсқаулық А.Г. Мордкович

Сабақтың мақсаты: санның күші бар әрекеттерді орындауды үйрену.

Алдымен «санның дәрежесі» ұғымын еске түсірейік. $ \ Underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $ сияқты өрнек $ a ^ n $ түрінде ұсынылуы мүмкін.

Керісінше, бұл да дұрыс: $ a ^ n = \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $.

Бұл теңдік «дәреже туындысы ретінде белгіленуі» деп аталады. Бұл бізге дәрежелерді көбейту мен бөлуді анықтауға көмектеседі.
Есіңізде болсын:
аДәреженің негізі болып табылады.
n- көрсеткіш.
Егер n = 1сондықтан, саны абір рет және сәйкесінше алды: $ a ^ n = a $.
Егер n = 0, содан кейін $ a ^ 0 = 1 $.

Неліктен бұл орын алады, біз көбейту мен билікті бөлу ережелерімен танысқанда біле аламыз.

Көбейту ережелері

а) Егер базасы бірдей күштер көбейтілсе.
$ A ^ n * a ^ m $ үшін, дәрежелерді өнім ретінде жазыңыз: $ \ астыңғы жақша (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ асты жақша (a * a * \ ldots * a) _ ( м) $.
Суретте бұл сан көрсетілген аалды n + mесе, содан кейін $ a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m) $.

Мысал.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Бұл қасиет санды үлкен қуатқа көтеру кезінде жұмысты жеңілдету үшін қолдануға ыңғайлы.
Мысал.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Егер дәрежелер әр түрлі негіздермен көбейтілсе, бірақ көрсеткіштері бірдей болса.
$ A ^ n * b ^ n $ -ге дәрежелерді өнім ретінде жазыңыз: $ \ асты жақша (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ асты жақша (b * b * \ ldots * b) _ ( м) $.
Егер көбейткіштерді ауыстырып, алынған жұптарды санасақ, онда біз аламыз: $ \ underbrace ((a * b) * (a * b) * \ ldots * (a * b)) _ (n) $.

Демек, $ a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n $.

Мысал.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Бөлу ережесі

а) Дәреженің негізі бірдей, көрсеткіштері әр түрлі.
Көрсеткішті кіші дәрежелі экспонентке бөлу арқылы үлкен дәрежелі көрсеткішті бөлуді қарастырыңыз.

Демек, бұл қажет $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) $, қайда n> m.

Билікті бөлшек түрінде жазайық:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (m)) $.

Ыңғайлы болу үшін бөлуді жай бөлшек түрінде жазамыз.

Енді бөлшекті алып тастайық.

$ \ Underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n-m) = a ^ (n-m) $ шығады.
Құралдар, $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) = a ^ (n-m) $.

Бұл қасиет санды нөлге жеткізу жағдайын түсіндіруге көмектеседі. Осыны болжайық n = m, онда $ a ^ 0 = a ^ (n-n) = \ frac (a ^ n) (a ^ n) = 1 $.

Мысалдар.
$ \ frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) = 3 ^ (3-2) = 3 ^ 1 = 3 $.

$ \ frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) = 2 ^ (2-2) = 2 ^ 0 = 1 $.

б) Дәреженің негіздері әр түрлі, көрсеткіштері бірдей.
Сізге $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) $ қажет делік. Сандардың дәрежелерін бөлшек түрінде жазайық:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ (n)) $.

Ыңғайлы болу үшін елестетіп көрейік.

Бөлшектердің қасиетін қолдана отырып, біз үлкен бөлшекті кішілердің көбейтіндісіне бөлеміз, біз аламыз.
$ \ underbrace (\ frac (a) (b) * \ frac (a) (b) * \ ldots * \ frac (a) (b)) _ (n) $.
Тиісінше: $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) = (\ frac (a) (b)) ^ n $.

Мысал.
$ \ frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) = (\ frac (4) (2)) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8 $.

Келіңіздер, күші бар өрнектерді түрлендіру тақырыбын қарастырайық, бірақ алдымен кез келген өрнектермен, соның ішінде экспоненциалды өрнектермен жүзеге асатын бірқатар түрлендірулерге тоқталайық. Біз жақшаларды ашуды, осындай терминдерді келтіруді, radix пен экспонентпен жұмыс жасауды, градус қасиеттерін қолдануды үйренеміз.

Көрсеткіштік өрнектер дегеніміз не?

Мектеп курсында «экспоненциалды өрнектер» тіркесін қолданатындар аз, бірақ бұл термин емтиханға дайындалу үшін үнемі жинақтарда кездеседі. Көп жағдайда фразеологиялық жазбаларда дәрежесі бар өрнектерді білдіреді. Біз мұны өз анықтамамызда көрсететін боламыз.

Анықтама 1

Көрсеткіштік өрнекДәрежелері бар өрнек.

Мұнда натурал көрсеткішті дәрежеден бастап нақты дәрежелі дәрежемен аяқталатын экспоненциалды өрнектердің кейбір мысалдары келтірілген.

Қарапайым дәрежедегі өрнектерді натурал дәрежедегі санның дәрежелері деп санауға болады: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, ( - 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 - a + a 2, x 3 - 1, (a 2) 3. Сонымен қатар нөлдік көрсеткіші бар дәрежелер: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 - 3, 2 0. Теріс бүтін сандары бар дәрежелер: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2: a - 1 6 b 1 2, x π x 1 - π, 2 3 3 + 5.

Индикатор 3 x - 54 - 7 3 x - 58 айнымалысы немесе логарифм болуы мүмкін x 2 l g x - 5 x l g x.

Қуатты өрнектер дегеніміз не деген сұраққа біз анықтадық. Енді оларды түрлендіруге көшейік.

Билік өрнектерін түрлендірудің негізгі түрлері

Ең алдымен, экспоненциалды өрнектермен орындалатын өрнектердің негізгі сәйкестендірулерін қарастырамыз.

Мысал 1

Көрсеткіштік өрнектің мәнін есептеңіз 2 3 (4 2 - 12).

Шешім

Біз барлық өзгерістерді әрекеттер тәртібіне сәйкес жүргізетін боламыз. Бұл жағдайда біз жақшалардағы әрекеттерді орындаудан бастаймыз: дәрежені цифрлық мәнге ауыстырыңыз және екі сан арасындағы айырманы есептеңіз. Бізде бар 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Дәрежені ауыстыру бізге қалады 2 3 оның мәні 8 және өнімді есептеңіз 8 4 = 32... Міне біздің жауабымыз.

Жауап: 2 3 (4 2 - 12) = 32.

Мысал 2

Күштермен өрнекті жеңілдетіңіз 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7.

Шешім

Мәселе туралы мәлімдемеде бізге берілген өрнекте ұқсас терминдер бар, оларды біз бере аламыз: 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7 = 5 a 4 b - 7 - 1.

Жауап: 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7 = 5 a 4 b - 7 - 1.

Мысал 3

9 - b 3 · π - 1 2 күші бар өрнекті туынды ретінде ұсын.

Шешім

9 санын күш ретінде көрсетейік 3 2 және қысқартылған көбейту формуласын қолданыңыз:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Жауап: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1.

Ал енді күштік өрнектерге қатысты дәл қолдануға болатын бірдей түрлендірулерді талдауға көшейік.

Негіз және экспонентпен жұмыс

Негіздегі немесе дәрежедегі дәрежеде сандар, айнымалылар және кейбір өрнектер болуы мүмкін. Мысалға, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7және ... Мұндай жазбалармен жұмыс істеу қиын. Көрсеткіштің негізіндегі өрнекті немесе экспоненттегі өрнекті бірдей тең өрнекке ауыстыру әлдеқайда оңай.

Дәреже мен көрсеткішті түрлендіру бір -бірінен бөлек бізге белгілі ережелерге сәйкес жүзеге асады. Ең бастысы - трансформация нәтижесінде түпнұсқаға ұқсас өрнек алынады.

Түрлендірудің мақсаты - бастапқы өрнекті жеңілдету немесе есептің шешімін алу. Мысалы, жоғарыда келтірілген мысалда, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7, сіз дәрежеге өту үшін қадамдарды орындауға болады. 4 , 1 1 , 3 ... Жақшаны кеңейте отырып, біз дәреже негізінде ұқсас терминдерді бере аламыз (a (a + 1) - a 2) 2 (x + 1)және қарапайым форманың экспоненциалды өрнегін алыңыз a 2 (x + 1).

Қуат қасиеттерін қолдану

Теңдік түрінде жазылған қуат қасиеттері - өрнектерді түрлендірудің негізгі құралдарының бірі. Міне осыларды ескере отырып, негізгісі ажәне бКез келген оң сандар бар, және rжәне с- ерікті нақты сандар:

Анықтама 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r - s;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r s.

Егер біз натурал, бүтін және оң көрсеткіштермен айналысатын болсақ, а және b сандарына шектеулер қатаңырақ болуы мүмкін. Мәселен, егер біз теңдікті қарастыратын болсақ a m a n = a m + n, қайда мжәне nНатурал сандар болса, онда бұл а -ның кез келген мәндері үшін де, оң да, теріс те, сондай -ақ дұрыс болады a = 0.

Дәрежелердің негіздері оң немесе айнымалылары бар, рұқсат етілген мәндер диапазоны ондағы негіздер тек оң мәндерді алатын жағдайларда дәрежелердің қасиеттерін шектеусіз қолдануға болады. Шындығында, мектептің математика бағдарламасы бойынша оқушының міндеті - сәйкес қасиетті таңдау және оны дұрыс қолдану.

Университеттерге түсуге дайындық кезінде мүлікті дұрыс пайдаланбау ОДЗ -ның тарылуына және оны шешуде басқа қиындықтарға әкелетін мәселелер туындауы мүмкін. Бұл бөлімде біз тек осындай екі жағдайды талдаймыз. Бұл тақырып бойынша қосымша ақпаратты «Қуат қасиеттерін қолдана отырып өрнектерді түрлендіру» тақырыбынан табуға болады.

Мысал 4

Өрнекті елестетіп көріңіз 2,5 (а 2) - 3: а - 5,5радиусы бар дәреже ретінде а.

Шешім

Біріншіден, біз экспоненциалдылық қасиетін қолданамыз және оған екінші факторды түрлендіреміз (а 2) - 3... Содан кейін біз көбейту мен бөлу қасиеттерін бірдей негізде қолданамыз:

a 2, 5 a - 6: a - 5, 5 = a 2, 5 - 6: a - 5, 5 = a - 3, 5: a - 5, 5 = a - 3, 5 - ( - 5, 5 ) = 2.

Жауап: a 2.5 (a 2) - 3: a - 5.5 = a 2.

Дәрежелер қасиетіне сәйкес экспоненциалды өрнектерді түрлендіру солдан оңға қарай да, кері бағытта да орындалуы мүмкін.

Мысал 5

Көрсеткіштік өрнектің мәнін табыңыз 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3.

Шешім

Егер теңдікті қолдансақ (a b) r = a r b r, оңнан солға қарай, онда біз 3 · 7 1 3 · 21 2 3 және одан әрі 21 1 3 · 21 2 3 түріндегі өнімді аламыз. Дәрежелерді бірдей негіздермен көбейткенде көрсеткіштерді қосайық: 21 1 3 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Трансформациялаудың тағы бір әдісі бар:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Жауап: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Мысал 6

Көрсеткіштік өрнек беріледі а 1, 5 - а 0, 5 - 6, жаңа айнымалыны енгізіңіз t = 0,5.

Шешім

Дәрежені елестетіп көріңіз а 1, 5Қалай 0,5 3... Біз дәреже дәрежесін дәрежеге қарай қолданамыз (a r) s = a r sоңнан солға қарай және біз (a 0, 5) 3: a 1, 5 - a 0, 5 - 6 = (a 0, 5) 3 - a 0, 5 - 6 аламыз. Алынған өрнекке жаңа айнымалыны оңай енгізуге болады. t = 0,5: Біз алып жатырмыз t 3 - t - 6.

Жауап: t 3 - t - 6.

Күші бар бөлшектерді түрлендіру

Біз әдетте бөлшектері бар экспоненциалды өрнектердің екі нұсқасымен айналысамыз: өрнек күші бар бөлшек немесе осындай бөлшекті қамтиды. Бөлшектердің барлық негізгі түрлендірулері мұндай өрнектерге шектеусіз қолданылады. Оларды кішірейтуге, жаңа бөлікке дейін қысқартуға және бөлгішпен және бөлгішпен бөлек жұмыс жасауға болады. Мұны мысалдармен түсіндірейік.

Мысал 7

Көрсеткішті өрнекті жеңілдетіңіз 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2.

Шешім

Біз бөлшекпен айналысамыз, сондықтан біз бөлгіште де, бөлгіште де түрлендірулер жүргіземіз:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Бөліндінің белгісін өзгерту үшін бөлшектің алдына минус қойыңыз: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Жауап: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Құрамында билігі бар бөлшектер рационал бөлшектер сияқты жаңа бөлімге дейін азаяды. Ол үшін қосымша көбейткішті тауып, ондағы бөлшек пен бөлгішті көбейту керек. Қосымша факторды бастапқы өрнектің ODZ айнымалыларынан айнымалылардың кез келген мәндері жоғалмайтындай етіп таңдау қажет.

Мысал 8

Бөлшектерді жаңа бөлімге дейін азайтыңыз: а) а + 1 а 0, 7 бөліміне а, б) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 x + 8 y 1 2 бөліміне.

Шешім

а) Жаңа бөлгішке қысқартуға мүмкіндік беретін факторды таңдайық. a 0.7 a 0, 3 = a 0.7 + 0, 3 = a,сондықтан қосымша фактор ретінде біз қабылдаймыз 0, 3... А айнымалысының жарамды мәндерінің диапазоны барлық оң нақты сандардың жиынтығын қамтиды. Бұл салада дәреже 0, 3жойылмайды.

Бөлшектің алымы мен бөлімін көбейтейік 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

б) бөлгішке назар аударыңыз:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Бұл өрнекті x 1 3 + 2 y 1 6 көбейтіңіз, біз x 1 3 және 2 y 1 6 кубтарының қосындысын аламыз, яғни. x + 8 ж 1 2. Бұл біздің жаңа бөлшегіміз, оған бастапқы бөлшекті азайту қажет.

Сонымен біз қосымша x 1 3 + 2 · y 1 6 коэффициентін таптық. Айнымалылардың рұқсат етілген мәндерінің диапазоны туралы xжәне ж x 1 3 + 2 y 1 6 өрнегі жоғалмайды, сондықтан бөлшек бөлгіші мен бөлімін көбейте аламыз:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Жауап: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2.

Мысал 9

Бөлшекті азайту: а) 30 x 3 (x 0,5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0,5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Шешім

а) Біз ең үлкен ортақ бөлгішті (GCD) қолданамыз, оның көмегімен бөлгіш пен бөлгішті азайтуға болады. 30 мен 45 сандары үшін бұл 15. Біз де азайта аламыз x 0,5 + 1және x + 2 x 1 1 3 - 5 3 бойынша.

Біз алып жатырмыз:

30 x 3 (x 0,5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0,5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0,5 + 1)

б) Бұл жерде бірдей факторлардың болуы анық емес. Бөлгіш пен бөлгіште бірдей факторларды алу үшін сізге бірнеше түрлендіру қажет болады. Ол үшін квадраттар айырмасының формуласын қолдана отырып, бөлгішті кеңейтеміз:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Жауап:а) 30 x 3 (x 0,5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0,5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 X 3 3 (x 0, 5 + 1) , ә) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4.

Бөлшектермен жасалатын негізгі әрекеттерге жаңа бөлгішке көшу және бөлшектерді азайту жатады. Екі әрекет те бірқатар ережелерге сәйкес орындалады. Бөлшектерді қосу және азайту кезінде алдымен бөлшектер ортақ бөлгішке келтіріледі, содан кейін амалдар (қосу немесе азайту) сандармен орындалады. Бөлгіш өзгеріссіз қалады. Біздің әрекеттеріміздің нәтижесі - бұл жаңа бөлшек, оның бөлгіші көбейтіндінің туындысы, ал бөлгіші - бөлгіштердің туындысы.

Мысал 10

X 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 қадамдарын орындаңыз.

Шешім

Жақшаның ішіндегі бөлшектерді азайтудан бастайық. Оларды ортақ бөлімге келтірейік:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Нөмірлерді алып тастаңыз:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Енді бөлшектерді көбейтеміз:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Дәрежеге қарай азайтыңыз x 1 2, біз 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 аламыз.

Сонымен қатар, квадраттардың айырмасын қолдана отырып, бөлгіштегі экспоненциалды өрнекті жеңілдетуге болады: квадраттар формуласы: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Жауап: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Мысал 11

Көрсеткішті өрнекті жеңілдетіңіз x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Шешім

Біз бөлшекті кішірейте аламыз (x 2, 7 + 1) 2... Біз x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 бөлшегін аламыз.

X x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 дәрежелерінің түрленуін жалғастырайық. Енді сіз өкілеттіктерді бөлу қасиетін бірдей негіздермен пайдалана аласыз: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Біз соңғы өнімнен x 1 3 8 x 2, 7 + 1 бөлшегіне өтеміз.

Жауап: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Көп жағдайда көрсеткішті көрсеткіші бар көбейткіштерді үлестіргіштен бөлімге және керісінше дәреже белгісін өзгерте отырып беру ыңғайлы. Бұл әрекет келесі шешімді жеңілдетуге мүмкіндік береді. Мысал: экспоненциалды өрнек (x + 1) - 0, 2 3 x - 1 x 3 (x + 1) 0, 2 -ге ауыстырылуы мүмкін.

Түбірі мен күші бар өрнектерді түрлендіру

Мәселелерде бөлшек көрсеткіштері бар өкілеттіктерді ғана емес, түбірлерді де қамтитын қуат өрнектері бар. Мұндай өрнектерді тек тамырларға немесе дәрежеге дейін азайту қажет. Дәрежеге барған жөн, өйткені олармен жұмыс істеу оңай. Мұндай ауысу, әсіресе, түпнұсқалық өрнектің айнымалы мәндерінің LDV түбірлерді модульге сілтеме немесе LDV -ді бірнеше аралыққа бөлу қажеттілігінсіз өкілеттіктермен алмастыруға мүмкіндік беретін кезде қолайлы.

Мысал 12

X 1 9 x x 3 6 өрнегін қуат ретінде елестетіп көріңіз.

Шешім

Айнымалы диапазон xекі теңсіздікпен анықталады x ≥ 0және x x 3 ≥ 0, олар жиынтығын анықтайды [ 0 , + ∞) .

Бұл жиынтықта біз тамырдан билікке ауысуға құқығымыз бар:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x x 1 3 1 6

Дәрежелердің қасиеттерін қолдана отырып, алынған экспоненциалды өрнекті жеңілдетеміз.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 X 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 13

Жауап: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3.

Көрсеткішті экспонентті айнымалысы бар түрлендіру

Егер дәреже қасиеттері дұрыс қолданылса, бұл түрлендірулерді орындау өте қарапайым. Мысалға, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

Біз қуаттың туындысын алмастыра аламыз, оған сәйкес айнымалы мен санның қосындысы бар. Сол жақта бұл өрнектің сол жағындағы бірінші және соңғы мүшелермен жасалуы мүмкін:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0,5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0.

Енді теңдіктің екі жағын да бөлеміз 7 2 x... X айнымалысының ODZ өрнегі тек оң мәндерді қабылдайды:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0,5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Бөлшектерді дәрежелері бойынша азайта отырып, біз мынаны аламыз: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0.

Ақырында, көрсеткіштері бірдей өкілеттіктердің арақатынасы 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 теңдеуіне әкелетін коэффициенттердің өкілеттіктерімен ауыстырылады, бұл 5 5 7 x 2 - ге тең. 3 5 7 x - 2 = 0.

Біз 5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0 квадрат теңдеуінің шешіміне бастапқы экспоненциалдық теңдеудің шешімін азайтатын жаңа t = 5 7 x айнымалысын енгіземіз.

Билік пен логарифммен өрнектерді түрлендіріңіз

Дәрежелері мен логарифмдері бар өрнектер есептерде де кездеседі. Мұндай өрнектердің мысалдары: 1 4 1 - 5 · журнал 2 3 немесе журнал 3 27 9 + 5 (1 - журнал 3 5) · журнал 5 3. Мұндай өрнектерді түрлендіру жоғарыда талқыланған логарифмдердің тәсілдері мен қасиеттерін қолдану арқылы жүзеге асады, біз оларды «Логарифмдік өрнектерді түрлендіру» тақырыбында егжей -тегжейлі қарастырдық.

Егер сіз мәтіннен қате байқасаңыз, оны таңдап, Ctrl + Enter пернелер тіркесімін басыңыз

Қуат формулаларыкүрделі өрнектерді азайту және жеңілдету процесінде, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде қолданылады.

Сан c)болып табылады n-санның үшінші дәрежесі ақашан:

Дәрежелері бар операциялар.

1. Дәрежелері бірдей негізге көбейтілсе, олардың көрсеткіштері қосылады:

а мA n = a m + n.

2. Базасы бірдей дәрежелерді бөлуде олардың көрсеткіштері алынады:

3. 2 немесе одан да көп факторлардың туындысының дәрежесі мына факторлардың дәрежелерінің көбейтіндісіне тең:

(abc ...) n = a n b n c n ...

4. Бөлшектің қуаты дивиденд пен бөлушінің күштерінің қатынасына тең:

(a / b) n = a n / b n.

5. Дәрежені дәрежеге дейін көтеріп, көрсеткіштер көбейтіледі:

(a m) n = a m n.

Жоғарыда келтірілген формулалардың әрқайсысы солдан оңға және керісінше дұрыс.

Мысалға. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5²/15² = 900/225 = 4.

Түбірлік операциялар.

1. Бірнеше факторлардың көбейтіндісінің түбірі осы факторлардың түбірлерінің туындысына тең:

2. Қарым -қатынастың түбірі дивиденд пен түбірлерді бөлуші қатынасына тең:

3. Түбірді күшке көтергенде, түбірлік санды осы дәрежеге көтеру жеткілікті:

4. Егер сіз тамырдың дәрежесін жоғарылатсаңыз nбір мезгілде кіргізіңіз n-түбірлік санның күші, содан кейін түбірлік мән өзгермейді:

5. Егер сіз тамырдың дәрежесін төмендетсеңіз nбір уақытта тамырды алып тастаңыз n-радикал санның дәрежесі, онда түбірдің мәні өзгермейді:

Теріс көрсеткішті дәреже.Оң емес (бүтін) дәрежесі бар санның дәрежесі оң емес дәреженің абсолюттік мәніне тең дәрежелі бір санның дәрежесіне бөлінген бірлік ретінде анықталады:

Формула а м: a n = a m - nүшін ғана емес қолдануға болады м> n, сонымен қатар м< n.

Мысалға. а4: а 7 = а 4 - 7 = а -3.

Осылайша формула а м: a n = a m - nқашан әділ болды m = n, нөлдік дәреженің болуы қажет.

Нөлдік баға.Нөлдік көрсеткіші жоқ кез келген нөлден басқа санның дәрежесі бірге тең.

Мысалға. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Бөлшектік көрсеткіш.Нақты санды орнату үшін адәрежеге дейін м / н, сіз тамырды алуыңыз керек n-үшінші дәреже м-бұл санның үшінші күші а.