S praktičnog gledišta, najzanimljivija je upotreba izvedenice za pronalaženje najvećih i najmanjih vrijednosti funkcije. Šta je razlog tome? Maksimiziranje dobiti, smanjenje troškova, određivanje optimalnog opterećenja opreme ... Drugim riječima, u mnogim sferama života potrebno je riješiti problem optimizacije bilo kojih parametara. A to su zadaci pronalaženja najvećih i najmanjih vrijednosti funkcije.

Treba napomenuti da se najveća i najmanja vrijednost funkcije obično traži na nekom intervalu X, što je ili cijelo područje funkcije ili dio domene. Sam X interval može biti segment linije, otvoreni interval , beskonačan interval.

U ovom ćemo članku govoriti o pronalaženju najvećih i najmanjih vrijednosti eksplicitno date funkcije jedne varijable y = f (x).

Navigacija po stranici.

Najviša i najniža vrijednost funkcije - definicije, ilustracije.

Zadržimo se ukratko na glavnim definicijama.

Najveća vrijednost funkcije to za bilo koje nejednakost je tačna.

Najmanja vrijednost funkcije y = f (x) na intervalu X naziva se takva vrijednost to za bilo koje nejednakost je tačna.

Ove definicije su intuitivno jasne: najveća (najmanja) vrijednost funkcije je najveća (najmanja) prihvaćena vrijednost na razmatranom intervalu na apscisi.

Stacionarne tačke Jesu li vrijednosti argumenta pri kojima derivacija funkcije nestaje.

Zašto su nam potrebne stacionarne točke pri pronalaženju najvećih i najmanjih vrijednosti? Odgovor na ovo pitanje daje Fermatova teorema. Iz ove teoreme slijedi da ako diferencibilna funkcija u nekom trenutku ima ekstrem (lokalni minimum ili lokalni maksimum), onda je ta tačka stacionarna. Stoga funkcija često uzima najveću (najmanju) vrijednost na intervalu X u jednoj od stacionarnih točaka iz ovog intervala.

Također, funkcija često može uzeti najveću i najmanju vrijednost u tačkama u kojima prvi derivat ove funkcije ne postoji, a sama funkcija je definirana.

Odmah odgovorimo na jedno od najčešćih pitanja o ovoj temi: "Je li uvijek moguće odrediti najveću (najmanju) vrijednost funkcije"? Ne ne uvijek. Ponekad se granice intervala X poklapaju s granicama domena definicije funkcije, ili je interval X beskonačan. A neke funkcije na beskonačnosti i na granicama domena definicije mogu uzeti i beskonačno velike i beskrajno male vrijednosti. U tim se slučajevima ne može ništa reći o najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

Radi jasnoće, dat ćemo grafičku ilustraciju. Pogledajte slike i mnogo će vam toga biti jasno.

Na segmentu

Na prvoj slici funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim točkama unutar segmenta [-6; 6].

Razmotrimo slučaj prikazan na drugoj slici. Promijenite segment u. U ovom primjeru najmanja vrijednost funkcije postiže se u stacionarnoj točki, a najveća u točki s apscisom koja odgovara desnoj granici intervala.

Na slici 3 granične točke segmenta [-3; 2] su apscise točaka koje odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

Na otvorenom intervalu

Na četvrtoj slici, funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u nepomičnim tačkama koje se nalaze unutar otvorenog intervala (-6; 6).

Na intervalu se ne mogu izvući zaključci o najvećoj vrijednosti.

Na beskonačnosti

U primjeru prikazanom na sedmoj slici, funkcija uzima najveću vrijednost (max y) u stacionarnoj tački s apscisom x = 1, a najmanja vrijednost (min y) postiže se na desnoj granici intervala. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije se asimptotski približavaju y = 3.

U intervalu funkcija ne doseže ni najmanju ni najveću vrijednost. Kako x = 2 teži nadesno, vrijednosti funkcije teže minus beskonačnosti (ravna linija x = 2 je okomita asimptota), a kako apscisa teži plus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski pristup y = 3. Grafička ilustracija ovog primjera prikazana je na slici # 8.

Algoritam za pronalaženje najvećih i najmanjih vrijednosti kontinuirane funkcije na segmentu.

Napisimo algoritam koji nam omogućava da pronađemo najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.

1. Pronađite domenu funkcije i provjerite sadrži li cijeli segment.
2. Pronalazimo sve točke u kojima prvi izvod ne postoji i koje su sadržane u segmentu (obično se takve točke nalaze u funkcijama s argumentom pod predznakom modula i y funkcije napajanja sa frakcionim racionalni pokazatelj). Ako nema takvih točaka, prijeđite na sljedeću stavku.
3. Odredite sve stacionarne tačke koje spadaju u segment. Da bismo to učinili, izjednačujemo ga s nulom, rješavamo dobivenu jednadžbu i odabiremo odgovarajuće korijene. Ako nema stacionarnih točaka ili nijedna od njih ne spada u segment, prijeđite na sljedeću stavku.
4. Izračunavamo vrijednosti funkcije u odabranim stacionarnim tačkama (ako ih ima), u tačkama gdje ne postoji prva izvedenica (ako postoji), kao i za x = a i x = b.
5. Od dobivenih vrijednosti funkcije odabiremo najveću i najmanju - to će biti željene najveće i najmanje vrijednosti funkcije.

Analizirajmo algoritam pri rješavanju primjera za pronalaženje najvećih i najmanjih vrijednosti funkcije na segmentu.

Primjer.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

• na segmentu;
• na segmentu [-4; -1].

Rešenje.

Domen funkcije je cijeli skup realnih brojeva, osim nule, tj. Oba segmenta spadaju u područje definicije.

Pronađite derivaciju funkcije s obzirom na:

Očigledno je da derivacija funkcije postoji u svim tačkama segmenata i [-4; -1].

Stacionarne tačke se određuju iz jednačine. Jedini valjani korijen je x = 2. Ova stacionarna točka spada u prvi segment.

U prvom slučaju izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i u stacionarnoj točki, odnosno za x = 1, x = 2 i x = 4:

Dakle, najveća vrijednost funkcije postiže se pri x = 1, a najmanja vrijednost - za x = 2.

U drugom slučaju, izračunavamo vrijednosti funkcije samo na krajevima segmenta [-4; -1] (budući da ne sadrži niti jednu stacionarnu točku):

Rešenje.

Počnimo s opsegom funkcije. Kvadratni trinom u nazivniku razlomka ne smije nestati:

Lako je provjeriti da li svi intervali iz izraza problema pripadaju domeni funkcije.

Hajde da razlikujemo funkciju:

Očigledno je da derivat postoji u čitavom domenu funkcije.

Pronađimo stacionarne tačke. Derivacija nestaje pri. Ova stacionarna tačka pada u intervalima (-3; 1] i (-3; 2).

A sada možete usporediti rezultate dobivene u svakoj točki s grafikonom funkcija. Asimptote su označene plavim isprekidanim linijama.

Ovdje možete pronaći najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Algoritmi razmotreni u ovom članku omogućuju vam da dobijete rezultate s minimalnim radnjama. Međutim, može biti korisno prvo odrediti intervale povećanja i smanjenja funkcije, pa tek nakon toga donijeti zaključke o najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije na bilo kojem intervalu. To daje jasniju sliku i snažno obrazloženje za rezultate.

U praksi je uobičajeno koristiti izvedenicu za izračunavanje najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Ovu radnju izvodimo kada smislimo kako smanjiti troškove, povećati profit, izračunati optimalno opterećenje proizvodnje itd., Odnosno u onim slučajevima kada je potrebno odrediti optimalnu vrijednost bilo kojeg parametra. Da biste ispravno riješili takve probleme, morate dobro razumjeti koja je najveća i najmanja vrijednost funkcije.

Obično definiramo ove vrijednosti unutar određenog intervala x, koji pak može odgovarati cijeloj domeni funkcije ili njenom dijelu. Može biti poput segmenta [a; b] i otvoreni interval (a; b), (a; b], [a; b), beskonačni interval (a; b), (a; b], [a; b) ili beskonačni interval - ∞ ; a, (- ∞; a], [a; + ∞), (- ∞; + ∞).

U ovom ćemo članku opisati kako se izračunava najveća i najmanja vrijednost eksplicitno date funkcije s jednom varijablom y = f (x) y = f (x).

Osnovne definicije

Počnimo, kao i uvijek, s formuliranjem osnovnih definicija.

Definicija 1

Najveća vrijednost funkcije y = f (x) na nekom intervalu x je vrijednost maxy = f (x 0) x ∈ X, koja za bilo koju vrijednost xx ∈ X, x ≠ x 0 čini nejednakost f (x) ≤ f (x 0).

Definicija 2

Najmanja vrijednost funkcije y = f (x) na nekom intervalu x je vrijednost minx ∈ X y = f (x 0), koja za bilo koju vrijednost x ∈ X, x ≠ x 0 čini nejednakost f (X f ( x) ≥ f (x 0).

Ove definicije su prilično očigledne. Još je lakše reći ovo: najveća vrijednost funkcije je sama po sebi veliki značaj na poznatom intervalu na apscisi x 0, a najmanja je najmanja prihvaćena vrijednost u istom intervalu pri x 0.

Definicija 3

Stacionarne tačke su one vrijednosti argumenta funkcije pri kojima njen derivat nestaje.

Zašto moramo znati šta su stacionarne tačke? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, moramo se prisjetiti Fermatove teoreme. Iz toga slijedi da je stacionarna točka tačka u kojoj se nalazi ekstrem diferencibilne funkcije (tj. Njen lokalni minimum ili maksimum). Zbog toga će funkcija uzeti najmanju ili najveću vrijednost u određenom intervalu točno u jednoj od stacionarnih točaka.

Funkcija također može uzeti najveću ili najmanju vrijednost na onim mjestima gdje je sama funkcija određena, a njen prvi izvod ne postoji.

Prvo pitanje koje se postavlja prilikom proučavanja ove teme: u svim slučajevima možemo odrediti najveću ili najmanju vrijednost funkcije na danom segmentu? Ne, to ne možemo učiniti ako se granice datog intervala podudaraju s granicama domena definicije ili ako imamo posla s beskonačnim intervalom. Takođe se dešava da funkcija u datom segmentu ili u beskonačnosti poprimi beskonačno male ili beskonačno velike vrijednosti. U tim slučajevima nije moguće odrediti najveću i / ili najnižu vrijednost.

Ove točke će postati jasnije nakon što se prikažu na grafikonima:

Prva slika prikazuje nam funkciju koja uzima najveće i najmanje vrijednosti (m a x y i m i n y) u stacionarnim točkama koje se nalaze na segmentu [- 6; 6].

Ispitajmo detaljno slučaj naveden na drugom grafikonu. Promijenimo vrijednost segmenta u [1; 6] i dobivamo da će najveća vrijednost funkcije biti postignuta u točki s apscisom na desnoj granici intervala, a najmanja - u stacionarnoj točki.

Na trećoj slici, apscise tačaka predstavljaju granične tačke segmenta [- 3; 2]. Oni odgovaraju najvišoj i najnižoj vrijednosti date funkcije.

Pogledajmo sada četvrtu brojku. U njoj funkcija uzima m a x y (najveću vrijednost) i m i n y (najmanju vrijednost) u nepomičnim tačkama na otvorenom intervalu (- 6; 6).

Uzmemo li interval [1; 6), tada možemo reći da će se najmanja vrijednost funkcije na njoj postići u stacionarnoj točki. Najveća vrijednost bit će nam nepoznata. Funkcija bi mogla uzeti najveću vrijednost pri x jednaku 6 ako je x = 6 pripadalo intervalu. Ovaj slučaj je prikazan na grafikonu 5.

Na grafikonu 6, ova funkcija dobiva najmanju vrijednost na desnoj granici intervala (- 3; 2], i ne možemo donijeti konačne zaključke o najvećoj vrijednosti.

Na slici 7 vidimo da će funkcija imati m a x y u stacionarnoj tački sa apscisom jednakom 1. Funkcija će doseći svoju najmanju vrijednost na granici intervala s desne strane. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije će se asimptotski približiti y = 3.

Uzmimo interval x ∈ 2; + ∞, tada ćemo vidjeti da data funkcija neće uzeti ni najmanju ni najveću vrijednost. Ako x teži 2, tada će vrijednosti funkcije težiti minus beskonačnosti, budući da je ravna linija x = 2 vertikalna asimptota... Ako apscisa teži ka plus beskonačnosti, vrijednosti funkcije će se asimptotski približiti y = 3. Ovaj slučaj je prikazan na slici 8.

U ovom odjeljku dat ćemo slijed radnji koje se moraju izvršiti kako bi se pronašla najveća ili najmanja vrijednost funkcije na određenom segmentu.

1. Prvo, pronađimo domen funkcije. Provjerimo je li segment naveden u uvjetu uključen u njega.
2. Sada izračunajmo bodove sadržane u ovom segmentu, gdje prvi derivat ne postoji. Najčešće se mogu pronaći u funkcijama čiji je argument zapisan pod predznakom modula ili u funkcijama stepena čiji je eksponent djelimično racionalan broj.
3. Zatim saznajmo koje stacionarne tačke spadaju u dati segment. Da biste to učinili, morate izračunati derivaciju funkcije, zatim je izjednačiti s 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu, a zatim odabrati odgovarajuće korijene. Ako ne dobijemo nikakve stacionarne točke ili one ne spadaju u zadani segment, prelazimo na sljedeći korak.
4. Određujemo koje će vrijednosti funkcija poprimiti u danim stacionarnim točkama (ako ih ima) ili u onim točkama gdje prvi derivat ne postoji (ako ih ima) ili izračunavamo vrijednosti za x = a i x = b.
5. 5. Imamo niz vrijednosti funkcija, od kojih sada trebamo izabrati najveću i najmanju. To će biti najveće i najmanje vrijednosti funkcije koje moramo pronaći.

Pogledajmo kako pravilno primijeniti ovaj algoritam pri rješavanju problema.

Primjer 1

Stanje: data je funkcija y = x 3 + 4 x 2. Odredite njegovu najveću i najmanju vrijednost na segmentima [1; 4] i [- 4; - 1].

Rešenje:

Počnimo s pronalaženjem domene ove funkcije. U ovom slučaju to će biti skup svih realnih brojeva osim 0. Drugim riječima, D (y): x ∈ (- ∞; 0) ∪ 0; + ∞. Oba segmenta navedena u uvjetu bit će unutar područja definicije.

Sada izračunavamo derivaciju funkcije prema pravilu za razlikovanje razlomka:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 "x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 xx 4 = x 3 - 8 x 3

Saznali smo da će derivacija funkcije postojati u svim točkama segmenata [1; 4] i [- 4; - 1].

Sada moramo definirati stacionarne točke funkcije. To radimo koristeći jednadžbu x 3 - 8 x 3 = 0. Ima samo jedan valjani korijen, a to je 2. To će biti stacionarna točka funkcije i spadat će u prvi segment [1; 4].

Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima prvog segmenta i u određenoj točki, tj. za x = 1, x = 2 i x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Dobili smo da je najveća vrijednost funkcije m a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 će se postići pri x = 1, a najmanji m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 - za x = 2.

Drugi segment ne sadrži nikakve stacionarne tačke, pa moramo izračunati vrijednosti funkcije samo na krajevima datog segmenta:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Dakle, m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y ( - 4) = - 3 3 4.

Odgovor: Za segment [1; 4] - m a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, za segment [- 4; - 1] - m a x y x ∈ [ - 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y ( - 4) = - 3 3 4.

Pogledajte sliku:

Prije istraživanja ovuda, savjetujemo vam da ponovite kako pravilno izračunati jednostranu granicu i granicu u beskonačnosti, kao i naučiti osnovne metode za njihovo pronalaženje. Da biste pronašli najveću i / ili najmanju vrijednost funkcije na otvorenom ili beskonačnom intervalu, izvedite sljedeće korake u nizu.

1. Prvo morate provjeriti hoće li navedeni interval biti podskup opsega ove funkcije.
2. Odredimo sve tačke koje su sadržane u traženom intervalu i u kojima prvi derivat ne postoji. Obično su u funkcijama u kojima je argument zatvoren u znak modula, i u funkcijama stepena s razlomačno eksponentom. Ako ove točke nedostaju, možete prijeći na sljedeći korak.
3. Sada ćemo odrediti koje stacionarne tačke spadaju u dati interval. Prvo izjednačujemo derivaciju s 0, rješavamo jednadžbu i pronalazimo odgovarajuće korijene. Ako nemamo jednu stacionarnu točku ili one ne spadaju u navedeni interval, odmah prelazimo na daljnje radnje. Određuju se prema vrsti intervala.

• Ako je interval oblika [a; b), tada moramo izračunati vrijednost funkcije u točki x = a i jednosmjerno limit lim x → b - 0 f (x).
• Ako interval ima oblik (a; b], tada moramo izračunati vrijednost funkcije u točki x = b i jednostranoj granici lim x → a + 0 f (x).
• Ako interval ima oblik (a; b), tada moramo izračunati jednostrane granice lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Ako je interval oblika [a; + ∞), tada je potrebno izračunati vrijednost u točki x = a i granicu u plus beskonačnosti lim x → + ∞ f (x).
• Ako interval izgleda kao ( - ∞; b], izračunajte vrijednost u točki x = b i granicu u minus beskonačnosti lim x → - ∞ f (x).
• Ako - ∞; b, tada pretpostavljamo jednostranu granicu lim x → b - 0 f (x) i granicu na minus beskonačnosti lim x → - ∞ f (x)
• Ako - ∞; + ∞, tada razmatramo granice pri minus i plus beskonačnosti lim x → + ∞ f (x), lim x → - ∞ f (x).

1. Na kraju, morate donijeti zaključak na temelju dobivenih vrijednosti i granica funkcija. Ovdje postoji mnogo mogućnosti. Dakle, ako je jednostrana granica jednaka minus beskonačnosti ili plus beskonačnosti, odmah je jasno da se ništa ne može reći o najmanjoj i najvećoj vrijednosti funkcije. U nastavku ćemo analizirati jedan tipičan primjer. Detaljni opisi pomoći vam da shvatite šta je šta. Ako je potrebno, možete se vratiti na slike 4 - 8 u prvom dijelu materijala.

Primjer 2

Uvjet: s obzirom na funkciju y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4. Izračunajte njegove najveće i najniže vrijednosti u intervalima - ∞; - 4, - ∞; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Rešenje

Prvi korak je pronaći domenu funkcije. Nazivnik razlomka sadrži kvadratni trinom, koji ne bi trebao nestati:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 ( - 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y): x ∈ (- ∞;- 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2; + ∞)

Dobili smo domenu funkcije kojoj pripadaju svi intervali navedeni u uvjetu.

Hajde sada razlikovati funkciju i dobiti:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 "= 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6" = = 3 · E 1 x 2 + x - 6 · 1 "x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Posljedično, derivati ​​funkcije postoje u čitavom domenu njene definicije.

Prijeđimo na pronalaženje stacionarnih točaka. Derivacija funkcije nestaje pri x = - 1 2. Ovo je stacionarna tačka koja se nalazi u intervalima (- 3; 1] i (- 3; 2).

Izračunavamo vrijednost funkcije pri x = - 4 za interval ( - ∞; - 4], kao i granicu na minus beskonačnosti:

y ( - 4) = 3 e 1 ( - 4) 2 + ( - 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Budući da je 3 e 1 6 - 4> - 1, to znači da je maxyx ∈ ( - ∞; - 4] = y ( - 4) = 3 e 1 6 - 4. To nam ne dozvoljava da jednoznačno odredimo najmanju vrijednost Možemo samo zaključiti da postoji ograničenje - 1 pri dnu, budući da se toj vrijednosti funkcija približava asimptotski pri minus beskonačnosti.

Posebnost drugog intervala je u tome što ne sadrži niti jednu stacionarnu točku niti jednu strogu granicu. Stoga ne možemo izračunati najveću ili najmanju vrijednost funkcije. Utvrdivši granicu na minus beskonačnosti i kako argument teži na - 3 s lijeve strane, dobit ćemo samo raspon vrijednosti:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 ( - 3 - 0 + 3) ( - 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 ( + 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

To znači da će se vrijednosti funkcije nalaziti u intervalu - 1; + ∞

Da bismo pronašli najveću vrijednost funkcije u trećem intervalu, određujemo njezinu vrijednost u stacionarnoj točki x = - 1 2, ako je x = 1. Također moramo znati jednostranu granicu za slučaj kada argument teži na - 3 na desnoj strani:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1. 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 ( - 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 ( - 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Utvrdili smo da će funkcija uzeti najveću vrijednost u stacionarnoj točki maxyx ∈ (3; 1] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Što se tiče najmanje vrijednosti, ne možemo je odrediti. prisustvo ograničenja odozdo prema - 4.

Za interval (- 3; 2) uzimamo rezultate prethodnog izračunavanja i ponovo izračunavamo koliko je jednostrana granica jednaka pri težnji ka 2 na lijevoj strani:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Dakle, m a x y x ∈ ( - 3; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, a najmanja vrijednost se ne može odrediti, a vrijednosti funkcije ograničene su odozdo brojem - 4.

Na osnovu onoga što smo dobili u dva prethodna proračuna, možemo reći da na intervalu [1; 2) funkcija će uzeti najveću vrijednost pri x = 1, a nemoguće je pronaći najmanju.

Na intervalu (2; + ∞) funkcija neće dosegnuti ni najveću ni najmanju vrijednost, tj. uzeće vrednosti iz intervala - 1; + ∞.

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 ( + 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Izračunavši kolika će biti vrijednost funkcije za x = 4, otkrivamo da je m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4, a zadana funkcija na plus beskonačnosti će se asimptotski približiti pravoj y = - 1.

Uporedimo ono što smo dobili u svakom proračunu sa grafikonom date funkcije. Na slici su asimptote prikazane isprekidanom linijom.

To je sve što smo vam htjeli reći o pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Slijed radnji koje smo dali pomoći će vam u tome potrebne kalkulaciješto je brže i jednostavnije moguće. Ali zapamtite da je često korisno prvo saznati u kojim intervalima će se funkcija smanjivati, a u kojim će se intervalima povećavati, nakon čega možete izvesti daljnje zaključke. Na ovaj način možete preciznije odrediti najveću i najmanju vrijednost funkcije i opravdati rezultate.

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

Ponekad problemi B15 nailaze na "loše" funkcije za koje je teško pronaći izvedenicu. Ranije je to bilo samo na sondama, ali sada su ti zadaci toliko uobičajeni da se više ne mogu zanemariti u pripremama za pravi ispit.

U ovom slučaju funkcioniraju drugi trikovi, od kojih je jedan - monotone.

Funkcija f (x) se naziva monotono rastućom na segmentu ako za bilo koje točke x 1 i x 2 ovog segmenta vrijedi:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Funkcija f (x) se naziva monotono opadajućom na segmentu ako vrijedi sljedeće za bilo koje točke x 1 i x 2 ovog segmenta:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1)> f ( x 2).

Drugim riječima, za rastuću funkciju, što je veći x, veći je f (x). Za opadajuću funkciju vrijedi suprotno: što je veći x, manji f (x).

Na primjer, logaritam se monotono povećava ako je baza a> 1, a monotono se smanjuje ako je 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a> 0; a ≠ 1; x> 0)

Aritmetički kvadratni (i ne samo kvadratni) korijen monotono se povećava u čitavom domenu definicije:

Eksponencijalna funkcija ponaša se slično logaritmu: raste za a> 1 i smanjuje se za 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a> 0)

Konačno, negativni eksponenti. Možete ih napisati kao razlomak. Imajte tačku diskontinuiteta u kojoj se razbija monotonija.

Sve ove funkcije nikada se ne nalaze u svom čistom obliku. Dodaju polinome, razlomke i druge besmislice, zbog čega postaje teško prebrojiti izvedenicu. Što se događa u ovom slučaju - sada ćemo analizirati.

Koordinate vrha parabole

Najčešće se argument funkcije zamjenjuje sa kvadratni trinom oblika y = ax 2 + bx + c. Njegov grafikon je standardna parabola za koju smo zainteresirani:

1. Grane parabole - mogu ići prema gore (za a> 0) ili prema dolje (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Vrh parabole je ekstremna točka kvadratne funkcije u kojoj ta funkcija uzima svoju najmanju (za a> 0) ili najveću (a< 0) значение.

Najveći interes je upravo vrh parabolečija se apscisa izračunava po formuli:

Dakle, pronašli smo ekstremnu točku kvadratne funkcije. Ali ako je izvorna funkcija monotona, za nju će točka x 0 biti i ekstremna točka. Tako ćemo formulirati ključno pravilo:

Ekstremne tačke kvadratni trinom i kompleksna funkcija, u koje ulazi, podudaraju se. Stoga možete tražiti x 0 za kvadratni trinom i ocjenjivati ​​funkciju.

Iz gornjeg obrazloženja ostaje nejasno koju točku dobivamo: maksimalnu ili minimalnu. Međutim, zadaci su posebno osmišljeni tako da to nije važno. Procijenite sami:

1. U izjavi o problemu nema segmenta. Stoga nema potrebe za izračunavanjem f (a) i f (b). Ostaje razmotriti samo ekstremne tačke;
2. Ali postoji samo jedna takva točka - ovo je vrh parabole x 0, čije se koordinate izračunavaju doslovno usmeno i bez ikakvih derivacija.

Stoga je rješavanje problema uvelike pojednostavljeno i svodi se na samo dva koraka:

1. Napišite jednadžbu parabole y = ax 2 + bx + c i pronađite njen vrh po formuli: x 0 = −b / 2a;
2. Nađite vrijednost izvorne funkcije u ovom trenutku: f (x 0). Ako nema dodatnih uvjeta, ovo će biti odgovor.

Na prvi pogled, ovaj algoritam i njegovo obrazloženje mogu izgledati zastrašujuće. Namjerno ne objavljujem "golu" shemu rješenja jer je nepromišljena primjena takvih pravila prepuna grešaka.

Razmotrite stvarne zadatke iz probni ispit u matematici - tu se ova tehnika najčešće javlja. Istovremeno ćemo se pobrinuti da na ovaj način mnogi zadaci B15 postanu gotovo verbalni.

Ispod korijena stoji kvadratna funkcija y = x 2 + 6x + 13. Grafikon ove funkcije je parabola s granama prema gore, budući da je koeficijent a = 1> 0.

Vrh parabole:

x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 1) = −6/2 = −3

Budući da su grane parabole usmjerene prema gore, u točki x 0 = −3 funkcija y = x 2 + 6x + 13 ima najmanju vrijednost.

Korijen se monotono povećava, pa je x 0 minimalna točka cijele funkcije. Imamo:

Zadatak. Pronađite najmanju vrijednost funkcije:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Ispod logaritma postoji opet kvadratna funkcija: y = x 2 + 2x + 9. Grafikon je parabola s granama prema gore, budući da a = 1> 0.

Vrh parabole:

x 0 = −b / (2a) = −2 / (2 1) = −2/2 = −1

Dakle, u točki x 0 = −1, kvadratna funkcija ima najmanju vrijednost. Ali funkcija y = log 2 x je monotona, stoga:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponent sadrži kvadratnu funkciju y = 1 - 4x - x 2. Prepisimo ga u normalnom obliku: y = −x 2 - 4x + 1.

Očigledno, graf ove funkcije je parabola, grana se prema dolje (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b / (2a) =- (- 4) / (2 (−1)) = 4 / (- 2) = −2

Originalna funkcija je eksponencijalna, monotona, pa će najveća vrijednost biti u pronađenoj točki x 0 = −2:

Pažljivi čitalac će vjerovatno primijetiti da nismo ispisali raspon dopuštenih vrijednosti korijena i logaritma. Ali to nije bilo potrebno: unutra postoje funkcije čije su vrijednosti uvijek pozitivne.

Posljedice iz domena funkcije

Ponekad pronalaženje vrha parabole nije dovoljno za rješavanje problema B15. Željena vrijednost može ležati na kraju segmenta, ali ne u ekstremnoj tački. Ako u problemu uopće nije naveden segment, mi ćemo pogledati raspon valjanih vrijednosti originalnu funkciju. Naime:

Imajte na umu još jednom: nula može biti ispod korijena, ali nikada u logaritmu ili nazivniku razlomka. Pogledajmo kako to funkcionira s konkretnim primjerima:

Zadatak. Pronađite najveću vrijednost funkcije:

Ispod korijena je opet kvadratna funkcija: y = 3 - 2x - x 2. Njegov graf je parabola, ali se grana prema dolje, budući da je a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Ispisujemo raspon dopuštenih vrijednosti (ODZ):

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Pronađimo sada vrh parabole:

x 0 = −b / (2a) =- (- 2) / (2 (−1)) = 2 / (- 2) = −1

Tačka x 0 = −1 pripada segmentu ODZ - i to je dobro. Sada izračunavamo vrijednost funkcije u točki x 0, kao i na krajevima ODZ -a:

y (−3) = y (1) = 0

Dakle, dobili smo brojeve 2 i 0. Od nas se traži da pronađemo najveći - ovo je broj 2.

Zadatak. Pronađite najmanju vrijednost funkcije:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Unutar logaritma postoji kvadratna funkcija y = 6x - x 2 - 5. Ovo je parabola s granama prema dolje, ali logaritam ne može sadržavati negativni brojevi, pa ispisujemo ODZ:

6x - x 2 - 5> 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Napomena: nejednakost je stroga, pa krajevi ne pripadaju ODZ -u. Tako se logaritam razlikuje od korijena, gdje su nam krajevi segmenta sasvim prikladni.

Tražimo vrh parabole:

x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 (−1)) = −6 / (- 2) = 3

Vrh parabole je pogodan za ODV: x 0 = 3 ∈ (1; 5). No, budući da nas ne zanimaju krajevi segmenta, vrijednost funkcije razmatramo samo u točki x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = −2

Koncept najvećih i najmanjih vrijednosti funkcije.

Koncept najveće i najniže vrijednosti usko je povezan sa konceptom kritične tačke funkcije.

Definicija 1

$ x_0 $ se naziva kritična tačka funkcije $ f (x) $ ako:

1) $ x_0 $ - unutrašnja tačka domena definicije;

2) $ f "\ left (x_0 \ right) = 0 $ ili ne postoji.

Uvedimo sada definicije najvećih i najmanjih vrijednosti funkcije.

Definicija 2

Funkcija $ y = f (x) $, definirana na intervalu $ X $, dostiže svoju najveću vrijednost ako postoji tačka $ x_0 \ u X $ takva da je za sve $ x \ in X $ nejednakost

Definicija 3

Funkcija $ y = f (x) $, definirana na intervalu $ X $, dostiže svoju najmanju vrijednost ako postoji tačka $ x_0 \ u X $ takva da je za sve $ x \ u X $ nejednakost

Weierstrassova teorema o kontinuiranoj funkciji na intervalu

Za početak uvodimo koncept kontinuirane funkcije na segmentu:

Definicija 4

Funkcija $ f \ left (x \ right) $ naziva se kontinuiranom na segmentu $$ ako je kontinuirana u svakoj tački intervala $ (a, b) $, a kontinuirana je i s desne strane u tački $ x = a $ i s lijeve strane u tački $ x = b $.

Formulirajmo teoremu o kontinuiranoj funkciji na intervalu.

Teorem 1

Weierstrassova teorema

Funkcija $ f \ left (x \ right) $ kontinuirana na segmentu $$ dostiže svoju maksimalnu i minimalnu vrijednost na ovom segmentu, odnosno postoje tačke $ \ alpha, \ beta \ u $ takve da za sve $ x \ u $ nejednakosti $ f (\ alpha) \ le f (x) \ le f (\ beta) $.

Geometrijsko tumačenje teoreme prikazano je na slici 1.

Ovdje funkcija $ f (x) $ dostiže svoju najmanju vrijednost u točki $ x = \ alpha $ i postiže najveću vrijednost u točki $ x = \ beta $.

Shema za pronalaženje najvećih i najmanjih vrijednosti funkcije $ f (x) $ na segmentu $$

1) Pronađite derivaciju $ f "(x) $;

2) Nađite tačke u kojima je derivacija $ f "\ lijevo (x \ desno) = 0 $;

3) Pronađite tačke u kojima derivat $ f "(x) $ ne postoji;

4) Od bodova dobijenih u tačkama 2 i 3 odaberite one koje pripadaju segmentu $$;

5) Izračunajte vrijednost funkcije u tačkama dobijenim u koraku 4, kao i na krajevima segmenta $$;

6) Od dobivenih vrijednosti odaberite najveću i najmanju vrijednost.

Problemi pronalaženja najvećih i najmanjih vrijednosti funkcije na segmentu

Primjer 1

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na intervalu: $ f (x) = (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

Rešenje.

1) $ f "\ lijevo (x \ desno) = 6x ^ 2-30x + 36 $;

2) $ f "\ lijevo (x \ desno) = 0 $;

\ \ \

4) $ 2 \ in \ left, \ 3 \ in $;

5) Vrijednosti:

\ \ \ \

6) Najveća pronađena vrijednost je 33 USD, najmanja pronađena vrijednost je 1 USD. Tako dobijamo:

Odgovor:$ max = 33, \ min = 1 $.

Primjer 2

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu: $ f \ lijevo (x \ desno) = x ^ 3-3x ^ 2-45x + 225 $

Rešenje.

Rješenje će se izvesti prema gornjoj shemi.

1) $ f "\ lijevo (x \ desno) = 3x ^ 2-6x-45 $;

2) $ f "\ lijevo (x \ desno) = 0 $;

\ \ \

3) $ f "(x) $ postoji na svim tačkama domena;

4) $ -3 \ notin \ left, \ 5 \ in $;

5) Vrijednosti:

\ \ \

6) Najveća pronađena vrijednost je 225 USD, najmanja pronađena vrijednost je 50 USD. Tako dobijamo:

Odgovor:$ max = 225, \ min = 50 $.

Primjer 3

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu [-2,2]: $ f \ lijevo (x \ desno) = \ frac (x ^ 2-6x + 9) (x-1) $

Rešenje.

Rješenje će se izvesti prema gornjoj shemi.

1) $ f "\ lijevo (x \ desno) = \ frakcija (\ lijevo (2x-6 \ desno) \ lijevo (x-1 \ desno)-(x ^ 2-6x + 9)) (((x- 1)) ^ 2) = \ frac (x ^ 2-2x-3) (((x-1)) ^ 2) $;

2) $ f "\ lijevo (x \ desno) = 0 $;

\ [\ frac (x ^ 2-2x-3) (((x-1)) ^ 2) = 0 \] \ \

3) $ f "(x) $ ne postoji u tački $ x = 1 $

4) $ 3 \ notin \ left [-2,2 \ right], \ -1 \ in \ left [-2,2 \ right], \ 1 \ in \ left [-2,2 \ right] $, ali 1 ne pripada domenu definicije;

5) Vrijednosti:

\ \ \

6) Najveća pronađena vrijednost je 1 USD, najmanja pronađena vrijednost je $ -8 \ frac (1) (3) $. Tako dobivamo: \ end (nabroji)

Odgovor:$ max = 1, \ min == - 8 \ frac (1) (3) $.

U zadatku B14 iz ispita iz matematike potrebno je pronaći najmanju ili najveću vrijednost funkcije jedne varijable. Ovo je prilično beznačajan zadatak matematička analiza, i upravo iz tog razloga svaki maturant može i trebao bi naučiti to normalno rješavati. Analizirajmo nekoliko primjera u kojima su školarci rješavali dijagnostički rad matematike, održanoj u Moskvi 7. decembra 2011.

Ovisno o intervalu u kojem želite pronaći maksimalnu ili minimalnu vrijednost funkcije, jedan od sljedećih standardnih algoritama koristi se za rješavanje ovog problema.

I. Algoritam za pronalaženje najveće ili najmanje vrijednosti funkcije na segmentu:

• Pronađite derivaciju funkcije.
• Odaberite između tačaka sumnjivih za ekstrem, onih koje pripadaju datom segmentu i domenu definicije funkcije.
• Izračunajte vrijednosti funkcije(nije izvedenica!) u ovim točkama.
• Među dobivenim vrijednostima odaberite najveću ili najmanju, bit će željena.

Primjer 1. Pronađite najmanju vrijednost funkcije
y = x 3 – 18x 2 + 81x+ 23 na segmentu.

Rešenje: ponašamo se prema algoritmu za pronalaženje najmanje vrijednosti funkcije na segmentu:

• Opseg funkcije nije ograničen: D (y) = R.
• Derivat funkcije je: y ' = 3x 2 – 36x+ 81. Područje definicije izvedenice funkcije također nije ograničeno: D (y ') = R.
• Izvedene nule: y ' = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, dakle x 2 – 12x+ 27 = 0, odakle x= 3 i x= 9, naš interval uključuje samo x= 9 (jedna tačka sumnjiva u ekstrem).
• Nađite vrijednost funkcije u tački sumnjivoj na ekstrem i na rubovima intervala. Radi lakšeg izračunavanja, funkciju predstavljamo u obliku: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
  • y(8) = 8 (8-9) 2 +23 = 31;
  • y(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
  • y(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

Dakle, od dobivenih vrijednosti najmanja je 23. Odgovor: 23.

II. Algoritam za pronalaženje najveće ili najmanje vrijednosti funkcije:

• Pronađite domenu funkcije.
• Pronađite derivaciju funkcije.
• Odrediti tačke sumnjive na ekstrem (one tačke u kojima derivacija funkcije nestaje i tačke u kojima ne postoji dvostrana konačna derivacija).
• Označite ove tačke i domen funkcije na brojevnoj pravoj i odredite znakove izvedenica(ne funkcionira!) na rezultirajućim intervalima.
• Definirajte vrijednosti funkcije(ne derivat!) u tačkama minimuma (u onim tačkama u kojima se znak izvedenice mijenja iz minus u plus), najmanja od ovih vrijednosti bit će najmanja vrijednost funkcije. Ako nema minimalnih točaka, onda funkcija nema minimalnu vrijednost.
• Definirajte vrijednosti funkcije(ne derivat!) u maksimalnim tačkama (onim tačkama u kojima se znak izvedenice mijenja sa plus na minus), najveća od ovih vrijednosti bit će najveća vrijednost funkcije. Ako nema maksimalnih točaka, onda funkcija nema maksimalnu vrijednost.

Primjer 2. Pronađite najveću vrijednost funkcije.