Uvodne napomene i jednostavni primjeri

Primjer 1. Za koje vrijednosti a jednadžba ax 2 + 2x + 1 = 0 ima dva različita korijena?

Rješenje.

Ova jednadžba je kvadratna s obzirom na varijablu x za a№ 0 i ima različite korijene kada je diskriminirajući

odnosno za a< 1.

Osim toga, za a = 0, dobiva se jednadžba 2x + 1 = 0, koja ima jedan korijen.

Dakle, O (- Ґ; 0) I (0; 1).

Pravilo 1. Ako koeficijent pri x 2 polinoma drugog stepena sadrži parametar, potrebno je analizirati slučaj kada on nestaje.

Primjer 2. Jednadžba ax 2 + 8x + c = 0 ima jedan korijen jednak 1. Što su a i c?

Rešenje. Započnimo rješavanje problema sa posebnim slučajem a = 0, jednadžba ima oblik 8x + c = 0. Ova linearna jednadžba ima rješenje x 0 = 1 pri c = - 8.

Sa br. 0 kvadratna jednadžba ima jedan korijen if

Osim toga, zamjenom korijena x 0 = 1 u jednačinu, dobijamo a + 8 + c = 0.

Rješavajući sistem dviju linearnih jednadžbi, nalazimo a = c = - 4.

Teorem 1.

Za redukovani kvadratni trinom y = x 2 + px + q (pod uslovom p 2і 4q)
zbir korijena x 1 + x 2 = - p, proizvod korijena x 1 x 2 = q, razlika korijena je
a zbir kvadrata korijena je x 1 2 + x 2 2 = p 2 - 2q.

Teorema 2.

Za kvadratni trinom y = ax 2 + bx + c sa dva korijena x 1 i x 2,
dekompozicija ax 2 + bx + c = a (x - x 1) (x - x 2), za trinom s jednim korijenom x 0 - dekompozicija
ax 2 + bx + c = a (x - x 0) 2.

Komentar. Često o kvadratnim jednadžbama s diskriminatorom jednakim nuli i jednim korenom, kažu da ima dva korena koja se podudaraju (?). To je zbog faktorizacije polinoma danog u Teoremu 2.(Tačno govoreći i razumijevajući u ovom slučaju, potreban vam je "jedan korijen mnoštva dva." - Urednik.)

Obratit ćemo pažnju na ovu suptilnost i izabrati slučaj jednog korijena višestrukosti 2.

Primjer 3. U jednadžbi x 2 + ax + 12 = 0 odredite a tako da je razlika između korijena jednadžbe jednaka jedan.

Rešenje. Razlika u korijenima
odakle je a = ± 7.

Primjer 4. Za koliko je a zbir kvadrata korijena jednadžbe 2x 2 + 4x + a = 0 jednak 6?

Rješenje. Jednačinu zapisujemo u obliku
odakle je x 1 2 + x 2 2 = 4 - a = 6 i a = - 2.

Primjer 5. Za sve a riješite jednačinu ax 2 - 2x + 4 = 0.

Rešenje. Ako je a = 0, tada je x = 2. Ako je a№ 0, tada jednadžba postaje kvadratna. To je diskriminatorno
jednak je D = 4 - 16a. Ako je D< 0, т. е. a > ,
jednadžba nema rješenja. Ako je D = 0, tj. a =,
x = 4. Ako je D> 0, to jest, a< ,
jednadžba ima dva korijena

Položaj korijena kvadratnog trinoma

Grafikon kvadratne jednadžbe je parabola, a rješenja kvadratne jednadžbe su apscise točaka presjeka ove parabole sa Ox osom. Osnova za rješavanje svih problema u ovom dijelu je proučavanje posebnosti rasporeda parabola sa datim svojstvima na koordinatnoj ravni.

Primjer 6. Za koji korijeni jednadžbe x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 = 0 imaju različite predznake?

Rješenje (sl. 1).

Kvadratna jednadžba ili nema rješenja (grafikon je parabola oblika D), ili ima jedan ili dva pozitivna korijena (parabola C), ili ima jedan ili dva negativna korijena (parabola A), ili ima korijene suprotnih znakova ( parabola B).

Lako je razumjeti da posljednju vrstu parabola, za razliku od drugih, karakterizira činjenica da je f (0)< 0. Таким образом, f(0) = a 2 – a – 6 < 0, откуда 0 < a < .

Ovo rješenje se može generalizirati, što ćemo formulirati kao sljedeće pravilo.

Pravilo 2. Za jednačinu ax 2 + bx + c = 0

imao dva različita korijena x 1 i x 2 tako da je x 1< M < x 2 , необходимо и достаточно, чтобы a f(M) < 0.

Primjer 7. Za koje a jednadžba x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 = 0 ima dva različita korijena istog znaka?

Rješenje. Zanimaju nas parabole tipova A i C (vidi sliku 1). Odlikuje ih činjenica da

odakle je O ( - 6; - 2) I (3; + Ґ).

Primjer 8. Za šta a jednadžba x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 = 0 ima dva različita pozitivna korijena?

Rješenje. Zanimaju nas parabole tipa C na Sl. 1.

Da bi jednadžba imala korijene, potrebno nam je

Budući da oba korijena jednadžbe prema uvjetu moraju biti pozitivna, tada je apscisa vrha parabole koja leži između korijena pozitivna: x 0 = a> 0.

Ordinata vrha f (x 0)< 0 в силу того, что мы потребовали существование корней, поэтому если, кроме того, потребовать выполнение условия f(x 0) >0, dakle, zbog kontinuiteta funkcije koja se proučava, postoji točka x 1 O (0; x 0) takav da je f (x 1) = 0. Očigledno, ovo je manji korijen jednadžbe.

Dakle, f (0) = a 2 - a - 6> 0, i sakupivši sve uslove zajedno, dobijamo sistem

s rješenjem a O (3; + Ґ).

Primjer 9. Za koje a jednačina x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 ima dva različita negativna korijena?

Rešenje. Ispitivanjem parabola tipa A na Sl. 1, dobijamo sistem

odakle je O ( - 6; - 2).

Općenito riješimo prethodne probleme u obliku sljedećeg pravila.

Pravilo 3. Da bi jednadžba ax 2 + bx + c = 0 imala dva različita korijena x 1 i x 2, od kojih je svaki veći (manji) M, potrebno je i dovoljno da

Primjer 10. Funkcija f (x) je data formulom

Pronađite sve vrijednosti parametra a za koje jednačina f (x) = 0 ima barem jedno rješenje.

Rješenje. Sva moguća rješenja ove jednadžbe dobivaju se kao rješenja kvadratne jednadžbe

x 2 - (4a + 14) x + 4a 2 + 33a + 59 = 0

uz dodatni uvjet da barem jedan (očito veći) korijen x 2 i a.

Naravno, da bi jednadžba imala korijen, mora biti = - 5 (a + 2) і 0,
odakle a Ј - 2.

Grafikon lijeve strane odabrane jednačine je parabola čija je apscisa vrha jednaka x 0 = 2a + 7. Rješenje zadatka daju dvije vrste parabola (slika 2).

O: x 0 í a, odakle a í - 7. U ovom slučaju veći korijen polinoma x 2 i x 0 i a.

B: x 0< a, f(a) Ј 0, odakle .
U ovom slučaju i veći korijen polinoma x 2 i a.

Konačno .

Tri rješenja iste nejednakosti

Primjer 11. Pronađite sve vrijednosti parametra a za koje je nejednakost x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3> 0

izvedeno:

1) za sve vrijednosti x;
2) za sve pozitivne vrijednosti x;
3) za sve vrijednosti x O [- 1; 1].

Rješenje.

Prvi način.

1) Očigledno, ova nejednakost vrijedi za sve x, kada je diskriminanta negativna, tj.

= a 2 - (a 2 + 2a - 3) = - 2a + 3< 0,

odakle a>.

2) Da bismo bolje razumjeli šta je potrebno u iskazu problema, primijenit ćemo jednostavnu tehniku: na koordinatnoj ravnini ćemo nacrtati neke parabole, a zatim ćemo uzeti i zatvoriti lijevu poluravninu u odnosu na Oy osi. Dio parabole koji ostaje vidljiv mora biti iznad ose Ox.

Uslov problema je ispunjen u dva slučaja (vidi sliku 3):

< 0, откуда a > ;

B: oba korijena (možda jedan, ali dvostruki) jednadžbe x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 = 0 su lijevo od ishodišta. Po pravilu 3, ovaj uslov je ekvivalentan sistemu nejednakosti D i 0, x 0 Ј 0 i f (0) i 0.

Međutim, pri rješavanju ovog sistema prva nejednakost se može izostaviti, jer čak i ako neka vrijednost a ne zadovoljava uvjet Dі 0, onda automatski pada u rješenje tačke A. Tako rješavamo sistem

odakle a Ј - 3.

Kombinirajući rješenja tačaka A i B, dobijamo

odgovor:

3) Uslov problema je ispunjen u tri slučaja (vidi sliku 4):

A: grafik funkcije y = x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 leži iznad ose Ox, tj. D< 0, откуда a > ;

B: oba korijena (možda jedan od višestrukosti 2) jednačine x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 = 0 su lijevo od - 1. Ovaj uvjet je ekvivalentan, kao što znamo iz pravila 3, sistemu nejednakosti Dі 0, x 0< – 1, f(– 1) > 0;

C: oba korijena jednačine x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 = 0 su desno od 1.
Ovo stanje je ekvivalentno D i 0, x 0> 1, f (1)> 0.

Međutim, u stavkama B i C, kao iu rješenju prethodnog problema, nejednakost povezana s diskriminatorom može se izostaviti.

U skladu s tim dobivamo dva sistema nejednakosti

Nakon razmatranja svih slučajeva, dobivamo rezultat: a>
u tački
u C.
Odgovor na problem je sjedinjenje ova tri skupa.

Drugi način. Da bi se ispunio uvjet svake od tri točke problema, najmanja je vrijednost funkcije
y = x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 u svakom od odgovarajućih intervala mora biti pozitivno.

1) Vrh parabole y = x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 nalazi se u točki (a; 2a - 3), pa je najmanja vrijednost funkcije na cijeloj brojevnoj pravoj 2a - 3, i a>.

2) na poluosi x i 0 najmanja vrijednost funkcije je f (0) = a 2 + 2a - 3 ako je a< 0, и f(a) = 2a – 3, если a і 0. Analizirajući oba slučaja, dobijamo

3) Najmanji na segmentu [- 1; 1] vrijednost funkcije je

Pošto najmanja vrijednost mora biti pozitivna, dobijamo sisteme nejednakosti

Rješenje za ova tri sistema je mnogo

Treći način. 1) Tem parabole y = x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3

je u tački (a; 2a - 3). Nacrtajmo na koordinatnoj ravni skup koji čine vrhovi svih parabola za različita a (slika 5).

Ovo je prava linija y = 2x - 3. Podsjetimo da svaka tačka ove prave odgovara svojoj vrijednosti parametra, a iz svake tačke ove prave "izlazi" parabola koja odgovara datoj vrijednosti parametra. Parabole u potpunosti iznad osi Ox karakteriziraju uvjeti 2a - 3> 0.

2) Rješenja ove stavke su sva rješenja prve stavke, i, pored toga, parabole za koje je a negativan i f (0) = a 2 + 2a - 3і 0.

3) Sa sl. 5 da nas zanimaju parabole za koje je ili a negativno i f (- 1) = a 2 + 4a - 2> 0,
ili a je pozitivno i f (1) = a 2 - 2> 0.

Jednadžbe i nejednakosti reduciraju se na kvadrat

Primjer 12. Za koje vrijednosti a jednačina 2x 4 - 2ax 2 + a 2 - 2 = 0 nema rješenja?

Rešenje. Zamjenom y = x 2 dobivamo kvadratnu jednadžbu f (y) = 2y 2 - 2ay + a 2 - 2 = 0.

Rezultirajuća jednačina nema rješenja kada je D< 0. Кроме того, первоначальное уравнение не имеет решений, когда корни уравнения f(y) = 0 отрицательны.

Ovi se uvjeti mogu zapisati kao zbir

gdje

Primjer 13. Za svaku vrijednost parametra a riješite jednadžbu cos x sin 2x = asin 3x.

Rešenje. Budući da je 2cos x sin 2x = sin x + sin 3x i sin 3x = 3sin x - 4sin 3 x,

tada će jednadžba biti zapisana kao sin x (sin 2 x (4a - 2) - (3a - 2)) = 0.

Dakle, dobijamo rješenja x = p n, n O Z za bilo koji a. Jednačina

ima rješenja

ne podudaraju se s rješenjima prve jednadžbe, samo pod uvjetom

Posljednja ograničenja su ekvivalentna

Odgovor: x = p n, n O Z za bilo koje a; Osim toga,

Primjer 14. Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je nejednakost
a 2 + 2a - sin 2 x - 2acos x> 2 vrijedi za bilo koji broj x.

Rešenje. Pretvorite nejednakost u cos 2 x - 2acos x + a 2 + 2a - 3> 0

i napravite promjenu t = cos x. Važno je napomenuti da se parametar t kreće od vrijednosti od - 1 do 1, pa se problem preformulira na sljedeći način: pronađite sve takve da

t 2 - 2at + a 2 + 2a - 3> 0

važi za sve t O [- 1; 1]. Ovaj problem smo već riješili.

Primjer 15. Odrediti za koje vrijednosti a jednačina log 3 (9 x + 9a 3) = x ima rješenja i pronađi ih.

Rješenje. Prepišite jednadžbu na 9 x - 3 x + 9a 3 = 0

i, vršeći promenu y = 3 x, dobijamo y 2 - y + 9a 3 = 0.

U slučaju kada je diskriminanta negativna, jednačina nema rješenja. Kada je diskriminator

D = 1 - 36a 3 = 0, jednadžba ima jedan korijen,
i x = - log 3 2. Konačno, kada je diskriminant pozitivan, tj.
originalna jednadžba ima jedan korijen ,
i ako je, osim toga, izraz 1 pozitivan,
tada jednadžba ima i drugi korijen .

Dakle, konačno smo dobili

,

nema rješenja za preostale a.

Primjer 16. Za svaku vrijednost parametra a riješite jednadžbu sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x + a = 0.

Rešenje. Jer
prepiši jednačinu kao sin 2 x - 2sin x - 2a - 2 = 0.
Neka je y = sin 2x, tada y 2 - 2y - 2a - 2 = 0 (| y | J 1).

Grafikon funkcije na lijevoj strani jednadžbe je parabola s vrhom čija je apscisa y 0 = 1; vrijednost funkcije u točki y = - 1 jednaka je 1 - 2a; diskriminator jednadžbe je 8a + 12. To znači da je veći korijen y 2 jednadžbe y 2 - 2y - 2a - 2 = 0, čak i ako postoji, veći od 1, a odgovarajuća jednadžba sin 2x = y 2 nema rješenja. 3. Za koje vrijednosti a jednadžba 2x 2 + (3a + 1) x + a 2 + a + 2 = 0 ima najmanje jedan korijen?
4. Jednačina ax 2 + bx + 5 = 0 ima jedan korijen jednak 1. Čemu su a i b jednake?
5. Za koje se vrijednosti parametra a korijeni kvadratne jednadžbe 5x 2 - 7x + a = 0 odnose kao 2 do 5?
6. U jednadžbi ax 2 + 8x + 3 = 0 odredite a tako da je razlika između korijena jednadžbe jednaka jedan.
7. Za koliko je a zbir kvadrata korijena jednadžbe x 2 - 2ax + 2 (a + 1) = 0 jednak 20?
8. Za koje b i c jednadžba c + bx - 2x 2 = 0 ima jedan pozitivan i jedan negativan korijen?
9. Pronađite sve vrijednosti parametra a kod kojih je jedan korijen jednačine x 2 - (a + 1) x + 2 = 0 veći od a, a drugi manji od a.
10. Pronađite sve vrijednosti parametra a za koje jednadžba x 2 + (a + 1) x + 2 = 0 ima dva različita korijena istog znaka.
11. Za koje su vrijednosti a svi rezultirajući korijeni jednadžbe (a - 3) x 2 - 2ax + 6a = 0 pozitivni?
12. Za šta su a svi rezultirajući korijeni jednadžbe (1 + a) x 2 - 3ax + 4a = 0 veći od 1?
13. Pronađite sve vrijednosti parametra a za koje su oba različita korijena jednadžbe x 2 + x + a = 0 veća od a.
14. Za koje vrijednosti a su oba korijena jednadžbe 4x 2 - 2x + a = 0 između - 1 i 1?
15. Za koje vrijednosti a jednačina x 2 + 2 (a - 1) x + a + 5 = 0 ima barem jedan pozitivan korijen?
16. Funkcija f (x) je data formulom

Pronađite sve vrijednosti parametra a za koje jednačina f (x) = 0 ima barem jedno rješenje.
17. Za koje je a nejednakost (a 2 - 1) x 2 + 2 (a - 1) x + 2> 0 tačna za sve x?
18. Za koje vrijednosti parametra a vrijedi nejednakost ax 2 + 2x> 1 - 3a za sve pozitivne x?
19. Za koje vrijednosti a jednadžba x 4 + (1 - 2a) x 2 + a 2 - 1 = 0 nema rješenja?
20. Za koje vrijednosti parametra a jednadžba 2x 4 - 2ax 2 + a2 - 2 = 0 ima jedno ili dva rješenja?
21. Za svaku vrijednost a riješite jednadžbu acos x cos 2x = cos 3x.
22. Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je nejednakost cos 2 x + 2asin x - 2a< a 2 – 4 выполняется для любого числа x.
23. Za sve a, riješite jednačinu log 2 (4 x + a) = x.
24. Za svaku vrijednost parametra a riješite jednačinu sin 2 x + asin 2 2x = sin.

Kvadratni trinomijalni graf

2019-04-19

Kvadratni trinom

Čitavu racionalnu funkciju drugog stepena nazivamo kvadratnim trinomom:

$ y = ax ^ 2 + bx + c $, (1)

gdje je $ a \ neq 0 $. Dokažimo da je graf kvadratnog trinoma parabola dobijena paralelnim pomacima (u smjerovima koordinatnih osa) iz parabole $ y = ax ^ 2 $. Za to dovodimo izraz (1) pomoću jednostavnih identičnih transformacija u oblik

$ y = a (x + \ alpha) ^ 2 + \ beta $. (2)

Odgovarajuće transformacije dolje napisane poznate su kao "kvadratni odabir":

$ y = x ^ 2 + bx + c = a \ lijevo (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x \ desno) + c = a \ lijevo (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) \ right) - \ frac (b ^ 2) (4a) + c = a \ left (x + \ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 - \ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a) $. (2 ")

Kvadratni trinom doveli smo do oblika (2); pri čemu

$ \ alpha = \ frac (b) (2a), \ beta = - \ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a) $

(ove izraze ne treba pamtiti, prikladnije je svaki put izravno izvesti transformaciju trinoma (1) u oblik (2)).

Sada možete vidjeti da je graf trinoma (1) parabola jednaka paraboli $ y = ax ^ 2 $ i dobijena pomakom parabole $ y = ax ^ 2 $ u smjerovima koordinatnih osa za $ \ alpha $ i $ \ beta $ (uzimajući u obzir znak $ \ alpha $ i $ \ beta $). Vrh ove parabole nalazi se u tački $ ( - \ alpha, \ beta) $, a njena osa je linija $ x = - \ alpha $. Za $ a> 0 $ vrh je najniža tačka parabole, za $ a
Izvršimo sada istraživanje kvadratnog trinoma, odnosno saznat ćemo njegova svojstva ovisno o numeričkim vrijednostima koeficijenata $ a, b, c $ u njegovom izrazu (1).

Označimo u jednakosti (2") vrijednost $ b ^ 2- 4ac $ sa $ d $:

$ y = a \ lijevo (x + \ frac (b) (2a) \ desno) ^ 2 - \ frac (d) (4a) $; (4)

$ d = b ^ 2 - 4ac $ se naziva diskriminacijom kvadratnog trinoma. Svojstva trinoma (1) (i lokacija njegovog grafikona) određena su znakovima diskriminatornog $ d $ i vodećim koeficijentom $ a $.

1) $ a> 0, d 0 $; budući da je $ a> 0 $, grafikon se nalazi iznad vrha $ O ^ (\ prime) $; leži u gornjoj poluravni ($ y> 0 $ - slika a.).

2) $ a
3) $ a> 0, d> 0 $. Tem $ O ^ (\ prost) $ leži ispod $ Ox $ ose, parabola seče osu $ Ox $ u dve tačke $ x_1, x_2 $ (Sl. C.).

4) $ 0 0 $. Vrh $ O ^ (\ prime) $ leži iznad ose $ Ox $, parabola ponovo seče os $ Ox $ u dve tačke $ x_1, x_2 $ (slika D).

5) $ a> 0, d = 0 $. Vrh leži na samoj osi $ Ox $, parabola se nalazi u gornjoj poluravnini (slika E).

6) $ a
Zaključci. Ako je $ d 0 $), ili niže (za $ a
Ako je $ d> 0 $, onda je funkcija naizmjenična (graf je dijelom ispod, dijelom iznad osi $ Ox $). Kvadratni trinom sa $ d> 0 $ ima dva korijena (nule) $ x_1, x_2 $. Za $ a> 0 $, ona je negativna u intervalu između korijena (slika C), a pozitivna izvan ovog intervala. Za $ a

Definisano formulom $ a ((x) ^ (2)) + bx + c $ $ (a \ ne 0). $ Brojevi $ a, b $ i $ c $ su koeficijenti kvadratnog trinoma, oni su obično se naziva: a je najveći, b - drugi ili prosječni koeficijent, c - slobodan termin. Funkcija oblika y = ax 2 + bx + c naziva se kvadratna funkcija.

Sve ove parabole imaju vrh u početku; za a> 0 ovo je najniža točka grafikona (najmanja vrijednost funkcije), a za a< 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.

Kao što vidite, za a> 0 parabola je usmjerena prema gore, za a< 0 - вниз.

Postoji jednostavna i zgodna grafička metoda koja vam omogućava da izgradite bilo koji broj tačaka parabole y = ax 2 bez proračuna, ako znate neku tačku parabole osim vrha. Neka tačka M (x 0, y 0) leži na paraboli y = ax 2 (slika 2). Ako želimo izgraditi n dodatnih tačaka između tačaka O i M, tada segment ON ose apscise podijelimo na n + 1 jednakih dijelova i povučemo okomite na osu Ox u tačkama podjele. Odsječak NM dijelimo na isti broj jednakih dijelova i povezujemo tačke podjele zrakama sa ishodištem. Tražene tačke parabole leže u preseku okomica i zraka sa istim brojevima (na slici 2. broj tačaka podele je 9).

Grafikon funkcije y = ax 2 + bx + c razlikuje se od grafika y = ax 2 samo po svom položaju i može se dobiti jednostavnim pomicanjem krive na crtežu. Ovo slijedi iz reprezentacije kvadratnog trinoma u obliku

odakle je lako zaključiti da je graf funkcije y = ax 2 + bx + c parabola y = ax 2, čiji je vrh pomjeren u tačku

a njegova osa simetrije ostala je paralelna s osi Oy (slika 3). Sva njegova osnovna svojstva lako proizlaze iz dobivenog izraza za kvadratni trinom. Izraz D = b 2 - 4ac naziva se diskriminacijom kvadratnog trinomija ax 2 + bx + c i diskriminantom pridružene kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c = 0. Znak diskriminante određuje hoće li grafikon kvadratni trinom prelazi osu apscise ili leži na jednoj strani od nje. Naime, ako je D< 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a >0, tada parabola leži iznad osi Ox, a ako je a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 grafik kvadratnog trinoma siječe osu apscise u dvije tačke x 1 i x 2, koje su korijeni kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c = 0 i jednake su, redom

Za D = 0, parabola dodiruje os Ox u tački

Svojstva kvadratnog trinoma su u osnovi rješenja kvadratnih nejednačina. Objasnimo to primjerom. Neka je potrebno pronaći sva rješenja nejednačine 3x 2 - 2x - 1< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0, tada odgovarajuća kvadratna jednadžba 3x 2 - 2x - 1 = 0 ima dva različita korijena, oni su određeni formulama datim ranije:

x 1 = −1/3 i x 2 = 1.

U razmatranom kvadratnom trinomu, a = 3> 0, što znači da su grane njegovog grafa usmjerene prema gore, a vrijednosti kvadratnog trinoma negativne samo u intervalu između korijena. Dakle, sva rješenja nejednakosti zadovoljavaju uslov

−1/3 < x < 1.

Razne nejednakosti mogu se svesti na kvadratne nejednakosti istim zamjenama s kojima se različite jednadžbe svode na kvadratne.

Lekcija: kako izgraditi parabolu ili kvadratnu funkciju?

TEORIJSKI DIO

Parabola je graf funkcije opisane formulom ax 2 + bx + c = 0.
Da biste izgradili parabolu, morate slijediti jednostavan algoritam radnji:

1) Formula parabole y = ax 2 + bx + c,
ako a> 0 tada su grane parabole usmjerene gore,
inače su grane parabole usmjerene put dolje.
Besplatan član c ova točka siječe parabolu s osi OY;

2), nalazi se po formuli x = (- b) / 2a, zamjenjujemo pronađeno x u jednadžbu parabole i nalazimo y;

3)Nule funkcija ili na drugi način točke presjeka parabole s osi OX, nazivaju se i korijenima jednadžbe. Da bismo pronašli korijene, jednadžbu izjednačujemo s 0 ax 2 + bx + c = 0;

Vrste jednadžbi:

a) Potpuna kvadratna jednačina ima oblik ax 2 + bx + c = 0 i o tome odlučuje diskriminant;
b) Nepotpuna kvadratna jednačina oblika ax 2 + bx = 0. Da biste to riješili, trebate staviti x izvan zagrada, a zatim izjednačiti svaki faktor sa 0:
ax 2 + bx = 0,
x (ax + b) = 0,
x = 0 i ax + b = 0;
c) Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 + c = 0. Da biste to riješili, morate nepoznato pomaknuti u jednom, a poznato u drugom smjeru. x = ± √ (c / a);

4) Pronađite neke dodatne točke za izgradnju funkcije.

PRAKTIČNI DIO

I sada ćemo na primjeru analizirati sve prema radnjama:
Primjer 1:
y = x 2 + 4x + 3
c = 3 znači da parabola siječe OY u točki x = 0 y = 3. Grane parabole gledaju prema gore jer je a = 1 1> 0.
a = 1 b = 4 c = 3 x = (- b) / 2a = (- 4) / (2 * 1) =- 2 y = (-2) 2 +4 * (- 2) + 3 = 4- 8 + 3 = -1 vrh je u tački (-2; -1)
Nađi korijene jednadžbe x 2 + 4x + 3 = 0
Pronađi korijene po diskriminantu
a = 1 b = 4 c = 3
D = b 2 -4ac = 16-12 = 4
x = (- b ± √ (D)) / 2a
x 1 = ( - 4 + 2) / 2 = -1
x 2 = (-4-2) / 2 = -3

Uzmite neke proizvoljne tačke koje su blizu vrha x = -2

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Zamijenite x u jednačinu y = x 2 + 4x + 3 vrijednosti
y = (- 4) 2 +4 * (- 4) + 3 = 16-16 + 3 = 3
y = (- 3) 2 +4 * (- 3) + 3 = 9-12 + 3 = 0
y = (- 1) 2 +4 * (- 1) + 3 = 1-4 + 3 = 0
y = (0) 2 + 4 * (0) + 3 = 0-0 + 3 = 3
Iz vrijednosti funkcije može se vidjeti da je parabola simetrična u odnosu na pravu liniju x = -2

Primjer #2:
y = -x 2 + 4x
c = 0 znači da parabola seče OY u tački x = 0 y = 0. Grane parabole gledaju nadole kao a = -1 -1 Pronađite korijene jednadžbe -x 2 + 4x = 0
Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx = 0. Da biste to riješili, trebate izvaditi x iz zagrada, a zatim svaki faktor izjednačiti sa 0.
x (-x + 4) = 0, x = 0 i x = 4.

Uzmi neke proizvoljne tačke koje su blizu vrha x = 2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Zamijenite x u jednačinu y = -x 2 + 4x vrijednosti
y = 0 2 + 4 * 0 = 0
y = - (1) 2 + 4 * 1 = -1 + 4 = 3
y = - (3) 2 + 4 * 3 = -9 + 13 = 3
y = - (4) 2 + 4 * 4 = -16 + 16 = 0
Iz vrijednosti funkcije može se vidjeti da je parabola simetrična u odnosu na pravu x = 2

Primjer br. 3
y = x 2 -4
c = 4 znači da parabola siječe OY u točki x = 0 y = 4. Grane parabole gledaju prema gore jer je a = 1 1> 0.
a = 1 b = 0 c = -4 x = (- b) / 2a = 0 / (2 * (1)) = 0 y = (0) 2 -4 = -4 vrh je u tački (0; -4 )
Nađi korijene jednadžbe x 2 -4 = 0
Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 + c = 0. Da biste to riješili, morate nepoznato pomaknuti u jednom, a poznato u drugom smjeru. x = ± √ (c / a)
x 2 = 4
x 1 = 2
x 2 = -2

Uzmite neke proizvoljne tačke koje se nalaze u blizini temena x = 0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Zamijenite x u jednadžbu vrijednosti y = x 2 -4
y = (- 2) 2 -4 = 4-4 = 0
y = (- 1) 2 -4 = 1-4 = -3
y = 1 2 -4 = 1-4 = -3
y = 2 2 -4 = 4-4 = 0
Iz vrijednosti funkcije može se vidjeti da je parabola simetrična u odnosu na ravnu liniju x = 0

Subscribe po kanalu na YOUTUBE -u da budete u toku sa svim novim proizvodima i priprema se s nama za ispite.