Definicija. Ako je svaki od dva polinoma podijeljen bez ostatka trećeg, tada se naziva zajednički razvodnik prva dva.

Najveći zajednički divizor (čvor) dva polinoma nazivaju se njihovim cjelokupnim diplomima.

Čvor se može naći razgradnjom na nepovratnim multiplikatorima ili uz pomoć algoritma Euclidea.

Primjer 40.Pronađite planine čvora
.

Odluka.Razgrađujemo oba polinoma na množitelju:

Iz raspadanja se može vidjeti da će potrebni čvor biti polinom ( h.– 1).

Primjer 41.Pronađite polinoma čvora
i
.

Odluka.Razgrađujemo oba polinoma na množiteljima.

Za polinoma
h.h.- 1) Prema shemi hornera.

Za polinoma
mogući racionalni korijeni bit će brojevi1, 2, 3 i 6. Uz pomoć supstitucije, mi smo uvjereni u to h.\u003d 1 je korijen. Podijelimo polinom na ( h.- 1) Prema shemi hornera.

Stoga, gdje razgradnja kvadrata tri
proizvedeno je na teoremi Vieta.

Upoređujući raspadanje polinoma na množitelje, smatramo da će željeni čvor biti polinom ( h.– 1)(h.– 2).

Slično tome, možete pronaći čvor za nekoliko polinoma.

Ipak, metoda pronalaska čvora širenjem faktora nije uvijek dostupna. Način za pronalaženje čvora za sve slučajeve naziva se algoritam euklida.

Dijagram algoritma Euclidea je. Jedan od dva polinoma bit će podijeljen u drugi, čiji stupanj ne prelazi stepen prvog. Nadalje, za podjele svaki put kada su uzeli polinom, koji su služili u prethodnoj operaciji od strane razdjelnika, a za razvodnik je ostatak dobiven na istoj operaciji. Ovaj se proces prestaje čim se ostatak pokaže nula. Pokažite ovaj algoritam na primerima.

Razmislite o polinomima koji se koriste u dva prethodna primjera.

Primjer 42.Pronađite polinoma čvora
i
.

Odluka.Mršavljenje
na
"Corner":

x.

Sada podijelimo razdjelnik
na ostatku h.– 1:

x.+ 1

Budući da se posljednja divizija dogodila bez ostatka, tada će čvor biti h.- 1, i.e., polinom se koristio kao razvodnik sa ovom divizijom.

Primjer 43.Pronađite polinoma čvora
i
.

Odluka. Da biste pronašli čvor, koristimo algoritam Euclidea. Mršavljenje
na
"Corner":

1

Izradit ćemo drugu diviziju. Da bi to učinili, morali bi podijeliti prethodni razdjelnik
na ostatku
, ali od
=
Radi praktičnosti podijelit ćemo polinom
ne na
, A.
. Od takve zamjene, rješenje problema neće se mijenjati, jer se čvor parovi polinoma određuju s tačnošću stalnog multiplikatora. Imamo:

Ostatak je bio jednak nuli, to znači da je posljednji razdjelnik, odnosno polinom

i to će biti željeni čvor.

1. Frakcijske racionalne funkcije

Definicije i odobrenje na 2,5 mogu se naći u.

Frakcijska racionalna funkcija s važećim koeficijentima naziva se izraz gde
i
- Polinomi.

Frakcijska racionalna funkcija (u budućnosti ćemo ga nazvati "frakcijom") zvani pravoAko je stupanj polinomnog stajanja u brojevniku strogo manji od stupnja polinomnog stajanja u nazivniku. Inače se zove pogrešno.

Algoritam za dovođenje pogrešne frakcije na tačno se naziva "raspodjela cijelog dijela".

Primjer 44.Dodijelite cijeli dio Fraci:
.

Odluka.Da bi se razlikovao cijeli dio frakcije, potrebno je podijeliti frakcijski brojeve na svoj nazivnik. Brojčanik ove frakcije podijelimo na svoj denominator "Corner":

Od stupnja primljenog polinoma je manji od stupnja razdjelnika, postupak divizije je završen. Na kraju:

=
. Rezultirajući frakcijom
tačno je.

Djelić tipa
nazvao je najjednostavnije ako je φ ( x. ) - neodrediv polinom i stepen
manje stepena φ ( x. ).

Komentar.Imajte na umu da se uspoređuje stupanj brojača i neodredivog polinoma u nazivniku (osim stupnja α).

Za frakcije sa važećim koeficijentima, postoje 4 vrste jednostavnih žitarica:

Bilo koji pravi način može se prezentirati u obliku zbroja najjednostavnijih frakcija, čiji su nazivnici sve vrste razdjelnika
.

Algoritam dekomiziranja frakcije na najjednostavniju:

Ako je frakcija netačna, onda dodijelimo cijeli dio, a na najjednostavniju smo postavljali dostavinu ispravnu frakciju.

Otključajte nazivnik ispravne frakcije na množitelje.

Zapisujemo ispravnu frakciju u obliku zbroja najjednostavnijih frakcija sa neizvjesnim koeficijentima.

Dovodimo do zajedničkog nazivnika količinu frakcija na desnoj strani.

Pronalazimo nedefinirane koeficijente:

Ili izjednačavajući koeficijente s istim stupnjevima s lijevih i desnih brojeva;

Ili zamjenjujući specifične (u pravilu korijene ukupnog nazivnika) vrijednosti x..

Zapišemo odgovor koji uzima u obzir cijeli dio frakcije.

Primjer 45.Otpremi na najjednostavniju
.

Odluka.Budući da je ta frakcionalna racionalna funkcija netačna, ističemo cijeli dio:

1

= 1 +
.

Raširite rezultirajuće frakcije
na najjednostavnijoj. U početku će se denominator raspasti na multiplikatoru. Da biste to učinili, pronađite svoje korijene prema standardnoj formuli:

Otkrivamo razgradnju frakcijsku racionalnu funkciju najjednostavnije koristeći nedefinirane koeficijente:

Dajmo desni dio ravnopravnosti generalnom nazivniku:

Napravimo sustav, izjednačavajući koeficijente sa istim stepenom u brojevima lijeve i desne frakcije:

Odgovor:
.

Primer 46.Otpremi na najjednostavniju
.

Odluka.Budući da je ta frakcija tačna (tj. Stupanj brojača je manji od stupnja nazivnika), nije potrebno izdvojiti cijeli dio. Raširite nazivnik frakcija na multiplikatoru :.

Otkrivamo razgradnju ove frakcije na najjednostavniju korištenju neizvjesnih koeficijenata:

Prema odobrenju, trebaju biti nazivnici najjednostavnijih frakcija sve vrstedenyalers of the Denomoter:

. (2.2) Bilo bi moguće napraviti sustav jednadžbi, koji izjednačava brojeve lijeve i desne frakcije, ali u ovom primjeru, izračun će biti previše glomazan. Sljedeći će prijem pomoći pojednostavljujući ih: zamijenit ćemo u brojevima za prijelaz korijena nazivnika.

Za x \u003d1:

Za h.= ‑1:

Sada da odredite preostale koeficijente Alii Odbit će dovoljno da koeficijenti izjednačite sa visokim stepenom i besplatnim članovima. Mogu se naći bez otvaranja nosača:

Na lijevoj strani prve jednadžbe iznosi 0, jer je u brojevima lijeve frakcije u (2.2) ne postoji temelj sa , i u pravom dijelu fondacije sa koeficijent SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: + C.. U lijevom dijelu druge jednadžbe iznosi 0, jer je u lijevom broju frakcijskog broja u (2.2), besplatni član je nula, a desni frakcija u (2.2) je besplatan član jednak (- SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: + B. + C. + D.). Imamo:

Odgovor:
.

Osnovne informacije iz teorije

Definicija 4.1.

Polinomijski J (x) iz P [x] se zove zajednički razdjelnik Polinomiji G (x) i F (x) iz P [x], ako su f (x) i g (x) podijeljeni bez ostatka na j (x).

Primjer 4.1. Daju se dva polinoma: (x) g (x) \u003d x 4 - 3x 3 - 4x 2 + 2x + 2 î r [x]. Generalni zvenici ovih polinoma: j 1 (x) \u003d x 3 - 4x 2 + 2 \u003d î r [x], j 2 (x) \u003d(x 2 - 2x - 2) î r [x], j 3 (x) \u003d(x - 1) î r [x], J 4 (x) \u003d1 î r [x]. (Provjeri!)

Definicija 4.2.

Najveći zajednički divizor Različite od nula polinoma F (x) i G (x) iz P [x] naziva se tako polinomnom D (x) iz P [X], koji je njihov zajednički razdjelnik i podijeljen je u bilo koji drugi zajednički razvodnik ovih polinoma.

Primjer 4.2. Za polinoma iz primjera 4.1. f (x) \u003d x 4 - 4x 3 + 3x 2 + 2x - 6 î r [x], g (x) \u003d x 4 - 3x 3 - 4x 2 + 2x + 2 î r [x] Najveći zajednički razdjelnik bit će polinom d (x) \u003d J 1 (x) \u003d x 3 - 4x 2 + 2 î r [x], t. to. ovo o polinom D (x) Podijeljen je u sve ostale zajedničke djelitese J 2 (x), J 3 (x), J 4 (x).

Najveći zajednički razdjelnik (čvor) označen je simbolom:

d (x) = (f (x), g (x)).

Najveći zajednički divizor postoji za bilo koji dva polinoma. f (x), g (x) î p [x] (g (x)¹ 0). Njegovo postojanje određuje algoritam Euclidašto je sledeće.

Delim. f (x)na g (x). Ostatak i privatni, dobiveni u odjeljenju, označavamo r 1 (x) i q 1 (x). Onda, ako r 1 (x)¹ 0, Delim g (x) na r 1 (x),dobijamo ostatak r 2 (x) i privatno q 2 (x) itd. Stupnjevi od prenosivih ostataka r 1 (x), R 2 (x), ... smanjit će se. Ali niz cijelih negativnih brojeva ograničen je na dno broja 0. Stoga će proces podjele biti konačan, a mi ćemo doći do ostatka r k (x), na koji je prethodni saldo podijeljen r K - 1 (x). Cijeli postupak odjeljenja može se napisati na sljedeći način:

f (x)= g (x) × q 1 (x) + r 1 (x), deg r 1 (x)< deg g (x);

g (x)= r 1 (x)× q 2 (x) + r 2 (x), deg r 2 (x) < deg r 1 (x);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

r K - 2 (x)= r K - 1 (x)× q k (x) + r k (x), deg r K (x)< deg r K - 1 (x);

r K - 1 (x) = r K (x) × q K +1 (x).(*)

To dokazujemo r K (x) To će biti najveći zajednički razvodnik polinoma f (x)i g (x).

1) To ćemo pokazati r K (x) je zajednički razdjelnik Polinomi podataka.

Okrenimo se do pretposljedžbene jednakosti:

r K --2 (x)= r K --1 (x)× q k (x) + r k (x), ili r K --2 (x)= r K (x) × q k +1 (x) × q k (x) + r K (x).

Njegov desni dio je podijeljen u r K (x). Shodno tome, lijeva strana je također podijeljena u r k (x), Oni. r K --2 (x)podijeljena r K (x).

r K - 3 (x)= r K - 2 (x)× q K - 1 (x) + r K - 1 (x).

Ovdje r K - 1 (x)i r K - 2 (x)su podijeljeni u r k (x), Slijedi da je iznos u desnom dijelu jednakosti podijeljen u r K (x).To znači da je lijevi dio jednakosti podijeljen u r k (x), Oni. r K - 3 (x)podijeljena r K (x).Krežući se na ovaj način dosljedno, dobijamo taj polinom f (x)i g (x) su podijeljeni u r K (x). Tako smo to pokazali r K (x) je zajednički razdjelnik Politički podaci (Definicija 4.1.).

2) Pokazaćemo to r K (x) podijeljena bilo koji drugi General Divisor j (x) polinomi f (x)i g (x),to jest najveći zajednički divizorovi polinomi .

Okrenite se prvoj ravnopravnosti: f (x)= G (x) × p 1 (x) + r 1 (x).

Neka bude d (x) - Neki zajednički razdjelnik f (x)i g (x). Tada prema svojstvima razdjela, razlika f (x)– G (x) × p 1 (x)takođe podijeljeno sa d (x), To je, lijevi dio ravnopravnosti f (x)– G (x) × p 1 (x)= r 1 (x)podijeljena d (x). Onda sam. r 1 (x)dijelit će se dalje d (x). Kontinuirano obrazloženje na sličan način, dosljedno padne za jednake, to shvaćamo r K (x) podijeljena d (x). Zatim, prema definicija 4.2.r K (x) bice najveći zajednički divizor polinomi f (x)i g (x): d (x) = (f (x), g (x)) = r K (x).

Najveći opći razdjelnik polinoma f (x)i g (x) je jedini s točnošću multiplikatora - polinom od nulte diplome ili se može reći s tačnošću udruženja(Definicija 2.2.).

Dakle, dokazali smo teoremu:

Theorem 4.1. / Algoritam Evklida.

Ako za polinom f (x), g (x) î p [x] (g (x)¹ 0) verne sistem jednakosti i nejednakosti(*), potonji, nije jednak nulti ostatku, bit će najveći zajednički razvodnik ovih polinoma.

Primjer 4.3. Pronađite najveći opći razvodnik polinoma

f (x)\u003d x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1 i g (x)\u003d x 3 -2x 2 + x -2.

Odluka.

1shg.2Shag.

x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1	x 3 -2x 2 + x -2		x 3 -2x 2 + x -2	7x 2 + 7
– (x 4 -2x 3 + x 2 - 2x)	x + 3 \u003d q 1 (x)	– (x 3 + x)	1 / 7x.-2/7 \u003d q 2 (x)
3x 3 + x 2 + 3x + 1 - ( 3x 3 -6x 2 + 3x -6)		-2x 2 -2 - ( -2x 2 -2)
7x 2 + 7 \u003d R 1 (x)		0 \u003d R 2 (x)

Zapisujemo korake iz fisije u obliku sistema jednakosti i nejednakosti, kao u (*) :

f (x)= g (x) × 1. kolo (x) + r 1 (x), deg r 1 (x)< deg g (x);

g (x)= r 1 (x)× q 2 (x).

Prema Theorem 4.1./ Algoritam Euklid / Zadnji, nije jednak nulti ostatak R 1 (x) \u003d 7x 2 + 7 bit će najveći zajednički divizor d (x) Ovi polinomi :

(f (x), g (x)) \u003d 7x 2 + 7.

Budući da se razdjelljivost u prstenu polinoma određuje s tačnošću udruženju ( Objekt 2.11.), zatim kao čvor možete uzeti 7x 2 + 7, ali (7x 2 + 7) \u003d x 2 + 1.

Definicija 4.3.

Najveći zajednički razdvojenik sa višim koeficijentom 1 bit će pozvan normalizirani najveći zajednički divizor.

Primjer 4.4. U primjeru 4.2. Nađen je najveći zajednički razdjelnik. d (x) = (f (x), g (x)) \u003d 7x 2 + 7 polinoma f (x)\u003d x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1 i g (x)\u003d x 3 -2x 2 + x -2. Zamjena na polinom povezanu s njim d 1 (x) \u003d x 2 + 1, dobivamo normalizirani najveći zajednički razvodnik ovih polinoma ( f (x), g (x)) \u003d x 2 + 1.

Komentar.Koristeći euklidski algoritam prilikom pretraživanja najvećeg općeg razdjelnika dva polinoma, možete izvršiti sljedeći zaključak. Najveći opći razdjelnik polinoma f (x)i g (x)ne ovisi o tome da li ćemo razmotriti f (x)i g (x)iznad polja P. ili preko njegovog širenja P '.

Definicija 4.4.

Najveći zajednički divizor Polinomi F 1 (x), F 2 (x), F 3 (x), ... F n (x) Î P [X] zvani takav polinom D (x)Î P [X], koji je njihov zajednički razdvojenik i podijeljen je u bilo koji drugi zajednički razvodnik ovih polinoma.

Budući da je euklidski algoritam pogodan samo za pronalaženje najvećeg općeg razdjelnika dva polinoma, potrebno je dokazati sljedeću teoremu za traženje najvećeg zajedničkog razdjelnika N polinoma.

Euklidski algoritam za polinoma.Algoritam euklida omogućava vam da pronađete najveći zajednički razvodnik dva polinoma, I.E. Najveća stepena na kojoj se podijeli bez ravnoteže oba polinimnih podataka.
Algoritam se temelji na činjenici da za bilo koji dva polinom iz jedne varijable, f.(x.) I. g.(x.) postoje takvi polinomi tUŽILAC WHITING - PITANJE:(x.) I. r.(x.), naziva privatnim i ostacima, odnosno

f.(x.) = g.(x.)∙tUŽILAC WHITING - PITANJE:(x.) + r.(x.), (*)

istovremeno, stupanj ostataka je manji od stupnja razdjelnika, polinom g.(x.) i, štaviše, prema ovim polinomima f.(x.) I. g.(x.) Privatni i ostaci su definitivno. Ako u ravnopravnosti (*) ostatku r.(x.) jednak je nuli polinoma (nula), a zatim kažu taj polinom f.(x.) podijeljena g.(x.) Nema ostataka.
Algoritam se sastoji od dosljedne podjele sa ostatkom prvog prvog polnom, f.(x.), Na drugom, g.(x.):

f.(x.) = g.(x.)∙tUŽILAC WHITING - PITANJE: 1 (x.) + r. 1 (x.), (1)

onda, ako r. 1 (x.) ≠ 0, - drugi polinom, g.(x.), na prvom ostatku - na polinom r. 1 (x.):

g.(x.) = r. 1 (x.)∙tUŽILAC WHITING - PITANJE: 2 (x.) + r. 2 (x.), (2)

r. 1 (x.) = r. 2 (x.)∙tUŽILAC WHITING - PITANJE: 3 (x.) + r. 3 (x.), (3)

onda, ako r. 3 (x.) ≠ 0, - drugi ostatak trećeg:

r. 2 (x.) = r. 3 (x.)∙tUŽILAC WHITING - PITANJE: 4 (x.) + r. 4 (x.), (4)

itd. Budući da u svakoj fazi stupanj sljedećeg ostataka opada, proces se ne može nastaviti u nedogled, pa ćemo u nekoj fazi definitivno doći do situacije kada je sljedeći n. + 1. ostatak r. n. + 1 je nula:

r. n.–2 (x.) = r. n.–1 (x.)∙ TUŽILAC WHITING - PITANJE: n. (x.) + r. n. (x.),	(n.)
r. n.–1 (x.) = r. n. (x.)∙ TUŽILAC WHITING - PITANJE: n.+1 (x.) + r. n.+1 (x.),	(n.+1)
r. n.+1 (x.) = 0.	(n.+2)

Tada potonje nije jednak nulti ostatku r. n. I to će biti najveći zajednički razvodnik početnog para polinoma f.(x.) I. g.(x.).
Zaista, ako zbog jednakosti ( n. + 2) Zamjena 0 umjesto toga r. n. + 1 (x.) u jednakosti ( n. + 1), zatim - dobivena jednakost r. n. – 1 (x.) = r. n. (x.)∙tUŽILAC WHITING - PITANJE: n. + 1 (x.) Umjesto toga r. n. – 1 (x.) - u jednakosti ( n.) Ispada da r. n. – 2 (x.) = r. n. (x.)∙tUŽILAC WHITING - PITANJE: n. + 1 (x.) tUŽILAC WHITING - PITANJE: n. (x.) + r. n. (x.), I.E. r. n. – 2 (x.) = r. n. (x.)(tUŽILAC WHITING - PITANJE: n. + 1 (x.) tUŽILAC WHITING - PITANJE: n. (x.) + 1), itd. U ravnopravnosti (2), nakon zamjene, to smo dobili g.(x.) = r. n. (x.)∙TUŽILAC WHITING - PITANJE:(x.), i na kraju, iz jednakosti (1) - šta f.(x.) = r. n. (x.)∙S.(x.), gdje TUŽILAC WHITING - PITANJE:i S.- Neki polinomi. Na ovaj način, r. n. (x.) - Zajednički razvodnik dvaju izvora polinoma, i činjenica da je najveći (I.E. najveći mogući stepen) slijedi iz postupka algoritma.
Ako najveći zajednički razvodnik dva polinoma ne sadrži varijablu (I.E., broj), originalni polinomi f.(x.) I. g.(x.) Zvani uzajamno jednostavan.

Podjela polinoma. Algoritam Euclida

§One. Podjela polinoma

Tokom podjele, polinomi se dostavljaju u kanoničnom obliku i nalaze se u opadajućim stupnjevima bilo kojeg pisma u odnosu na stupanj dijeljenja i razdjela i razdjelnika. Stupanj djeljivosti trebao bi biti veći ili jednak stupnju razdjelnika.

Rezultat divizije je jedini par polinoma - privatni i ostaci koji mora biti zadovoljan jednakošću:

< делимое > = < делитель > ´ < частное > + < остаток > .

Ako je polinom stepenn pn (x ) je deljiv,

Polinomijski stepenm rk (x ) je razdjelnik (n ³ m)

Polynomial QN - M (x ) - Privatno. Stupanj ovog polinoma jednak je razlikovanju stupnjeva dijeljenja i razdjelnika,

I polinomk rk (x ) je ostatak (k.< m ).

Ta jednakost

PN (x) \u003d FM (x) × QN - M (x) + RK (x) (1.1)

trebalo bi biti identično identično, odnosno ostaju fer za bilo kakve valjane vrijednosti x.

Još jednom primjećujemo da je stepen ravnotežek. treba biti manji od stepena razdjelnikam. . Svrha ostatka - dodajte proizvod polinomaFM (x) i QN - M (x ) Polinom jednakim Delimatu.

Ako je proizvod polinomaFM (x) × QN - M (x ) daje polinom jednaku podjelu, a zatim ostatkomR. \u003d 0. U ovom slučaju kaže se da se podjela vrši bez ostatka.

Algoritam podjele polinoma razmotrit će na određenom primjeru.

Neka je potrebno podijeliti polinom (5x5 + x3 + 1) na polinom (x3 + 2).

1. Podijelimo stariji kurac Divide 5x5 na stariji član Dividera X3:

Ispod će biti pokazano da je prvi izraz privatan.

2. Za sljedeću (u početku prvo), bočni su pomnoženi od razdjelnika, a ovaj se proizvod oduzima od podjele:

5x5 + x3 + 1 - 5x2 (x3 + 2) \u003d x3 - 10x2 + 1.

3. Delimi se može zastupati kao

5x5 + x3 + 1 \u003d 5x2 (x3 + 2) + (x3 - 10x2 +

Ako u akciji (2) stupanj razlike bit će veći ili jednak stupnju razdjelnika (kao u primjeru koji se razmotri), tada se s ovom razlikom gore spomenuto gore. Gde

1. Stariji član razlike X3 podijeljen je u viši član divider x3:

Ispod će biti pokazano da je ovo drugi termin privatno.

2. Za sledeće (sada, drugo), bočni se množili od razdjelnika, a ovaj se proizvod oduzima iz posljednje razlike.

X3 - 10x2 + 1 - 1 × (x3 + 2) \u003d - 10x2 - 1.

3. Zatim se posljednja razlika može zastupljena kao

X3 - 10x2 + 1 \u003d 1 × (x3 + 2) + (-10x2 +

Ako je stupanj druge razlike manji od stupnja razdjelnika (kao kada se ponavlja u akciji (2)), podjela je završena ostatkom jednakom posljednjom razlikom.

Da biste potvrdili da je privatni iznos (5x2 + 1), zamijenimo u jednakosti (1.2) rezultat transformacije polinoma X3 - 10x2 + 1 (vidi (1.3)): 5x5 + x3 + 1 \u003d 5x2 (x3 + 2) + 1× (x3 + 2) + (- 10x2 - 1). Zatim, nakon što napravite zajednički faktor (x3 + 2) za zagrade, konačno ćemo dobiti

5x5 + x3 + 1 \u003d (x3 + 2) (5x2 + 1) + (- 10x2 - 1).

Što, u skladu s jednakošću (1.1), treba smatrati rezultat podjele polinoma (5x5 + x3 + 1) po polinom (x3 + 2) sa privatnim (5x2 + 1) i ostatkom (- 10x2 - 1).

Ove akcije se izvlače u obliku šeme koja se naziva "podjela ugla". Istovremeno, u zapisniku podijeljenja i naknadnih razlika, poželjno je proizvesti članove iz iznosa na svim opadajućim stupnjevima argumenta bez preskakanja.

veličina fonta: 14,0pt; visina linija: 150% "\u003e 5x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 2

5x5 + 10x2 5x2 + 1

x3 -10x2 + 0x + 1

X3 + 2.

-10x2 + 0x - 1

pozicija: Relativna; Z-Indeks: 1 "\u003e Vidimo da se podjela polinoma svodi na dosljedno ponavljanje radnji:

1) na početku algoritme, stariji član podjele, kasnije, starija članica sljedeće razlike podijeljena je u viši član razdjelnika;

2) rezultat divizije daje sljedeći mandat u privatnom, koji se pomnoži od razdjelnika. Rezultirajući proizvod napisan je pod djeljivom ili sljedećom razlikom;

3) donji polinom oduzima se iz vrhunskog polinomnog i ako je stupanj dobivenog razlike veći ili jednak stupnju razdjelnika, tada se postupci 1, 2, 3 ponavljaju s njim.

Ako je primljeni stepen razlike manji od diplome razdjelnika, tada se podjela završava. U ovom slučaju, zadnja razlika je ostatak.

Primjer №1

pozicija: apsolut; z-indeks: 9; lijevo: 0px; margin-lijevo: 190px; margin-top: 0px; širina: 2px; visina: 27px "\u003e

4x2 + 0x - 2

4x2 ± 2x ± 2

Dakle, 6x3 + X2 - 3x - 2 \u003d (2x2 - X - 1) (3x + 2) + 2x.

Primjer broj 2.

A3B2 + B5.

A3B2 A2B3.

- A2B3 + B5

± A2B3 ± AB4

AB4 + B5.

- AB4 B5.

Na ovaj način , A5 + B5 \u003d (A + B) (A4 -A3B + A2B2 - AB3 + B4).

Primer №3

pozicija: apsolut; z-indeks: 26; lijevo: 0px; margina-lijevo: 132px; margin-top: 24px; širina: 2px "\u003e visina: 2px"\u003e X5 - U5 X -

X5 x4U X4 + X3U + X2U2 + HU3 + U4

X3U2 - U5.

X3u2 ± x2u3

HU 4 - u 5

HU 4 - u 5

Dakle, X5 - U5 \u003d (x - y) (x4 + x3u + x2u2 + x3 + u4).

Generalizacija rezultata dobivenih u primjerima 2 i 3 su dvije formule skraćenim množenjem:

(x + a) (x2 N - x2 N -1 A + X2 N -2 A 2 - ... + A2N) \u003d x 2n + 1 + A2N + 1;

(x - a) (x 2n + x 2n-1 A + x 2n-2 A2 + ... + A2N) \u003d x 2n + 1 - A2N + 1, gdje n î N..

Vježbe

Obavljati akciju

1. (- 2x5 + x4 + 2x3 - 4x2 + 2x + 4): (x3 + 2).

Odgovor: - 2x2 + x +2 - privatni, 0 - ostatak.

2. (x4 - 3x2 + 3x + 2): (x - 1).

Odgovor: x3 + x2 - 2x + 1- privatno, 3 - ostatak.

3. (x2 + x5 + x3 + 1): (1 + x + x2).

Odgovor: x3 - x2 + x + 1- privatno, 2x - ostatak.

4. (x4 + x2u2 + U4): (x2 + hu + u2).

Odgovor: X2 - HU + U2- Private, 0 - ostatak.

5. (A 3 + B 3 + C 3 - 3 ABC): (A + B + C).

Odgovor: A 2 - (B + C) A + (B 2 - BC + C 2 ) - Privatno, 0 - ostatak.

§2. Pronalaženje najvećeg zajedničkog razdjelnika od dva polinoma

1. Algoritam Euclida

Ako je svaki od dva polinoma podijeljen bez ostatka trećeg, tada se ovaj treći polinom naziva zajednički razvodnik prve dvije.

Najveći zajednički divizor (čvor) dva polinoma naziva se njihovim cjelokupnim djelistorom.

Imajte na umu da je bilo koji broj nejednake nule zajednički razvodnik dva bilo koji polinoma. Stoga se svaki nejednaki nulta broj naziva trivijalnom zajedničkom razdjelnikom ovih polinoma.

Algoritam euklida nudi niz radnji koje ili dovodi do pronalaženja čvora dva polinomna podataka ili pokazuje da takav razdjelnik u obliku polinomnog ili više ne postoji.

Algoritam euklidea implementiran je kao niz podjela. U prvoj diviziji, polinom se više smatra djeljivom, a manje - kao razvodnik. Ako su polinomi za koje se nalaze čvorovi, imaju isti stupanj, tada su divider i razdjelnik odabrani proizvoljno.

Ako sa sljedećom podjelom, polinom u ostatku ima diplomu veći od ili jednak 1, tada divider postaje djeljiv, a ostatak je razdvojenik.

Ako, uz sljedeću podjelu polinoma, ravnoteža se dobija jednaka nuli, tada se nađe čvor tih polinoma. Oni su razdjelnik sa poslednjom podjelom.

Ako, sa sljedećom podjelom polinoma, ostatak se pokaže nejednakom nulom, a zatim nema čvora za ove polinoma pored trivijalnog.

Primjer №1

Smanjiti frakciju .

Odluka

Pronalazimo čvor tih polinoma, koristeći euklidski algoritam

1) x3 + 6x2 + 11x + 6 x3 + 7x2 + 14x + 8

X3 + 7x2 + 14x + 8 1

- X2 - 3 - 2

pozicija: Apsolut; Z-Indeks: 37; lijevo: 0px; marža-lijevo: 182px; margin-top: 28px; širina: 2px "\u003e visina: 2px"\u003e2) x3 + 7x2 + 14x + 8 - x2 - 3x - 2

X3 + 3x2 + 2x - X - 4

3x2 + 9x + 6

3x2 + 9x + 6

Na ovaj način,

pozicija: apsolut; z-indeks: 49; lijevo: 0px; marža-lijevo: 209px; margin-top: 6px; širina: 20px "\u003e visina: 20px"\u003e veličina fonta: 14,0pt; visina linije: 150% "\u003e Odgovor: Veličina fonta: 14,0pt; visina linije: 150% "\u003e 2. Mogućnosti pojednostavljenja proračuna čvora u euklidskom algoritmu

Teorema

Nakon umnožavanja podjele, broj nije jednak nuli, privatni i ostaci se množi za isti broj.

Dokaz

Neka je p djeljiv, f - divider, q - privatni, r - Bilans. Onda,

P \u003d F × Q + R.

Pomnožavanje ovog identiteta za broja ¹ 0, imamo

a p \u003d f × (a q) + a r,

gdje je polinom a p može se smatrati djeljivim i polinomimaq i a r - kao privatni i ostaci dobiveni u podjeli polinomaa p po polinom f . Dakle, prilikom množenja dijeljenjaa ¹ 0, privatni i ostaci se takođe pomnoženia, h. itd.

Vijećnjak

Množenje razdjelnika po brojua ¹ 0 se može smatrati množenjem razdvojene po broju.

Slijedom toga, prilikom množenja razdjelnika po brojua ¹ 0 privatni i ostaci se množe.

Primjer broj 2.

Pronađite privatni q i ostatak r Prilikom dijeljenja polinoma

Veličina fonta: 14,0pt; visina linije: 150% "\u003e Odluka

Da biste se prebacili u podelu i razdjelniku na cjelovite koeficijente pomnožite podijeli, koji će dovesti do umnožavanja za 6 traženih privatnihQ i ostatak r . Nakon toga, množite razdjelnik na 5, što će dovesti do množenja privatnog 6Q i ostatak 6 r na . Kao rezultat toga, privatni i ostaci dobiveni u podjeli polinoma sa cijelim koeficijentima razlikuju se u vrijeme traženih vrijednosti privatnogQ i ostatak r dobiveno dijeljenjem ovih polinoma.

12u4 - 22h3 + 18x2u2 - 11x3u + 3x4 2ow2 - 3h + 5x2

12U4 ± 18h3. 30x2u2 6u2 - 2h - 9x2 \u003d

- 4H3 - 12x2u2 - 11x3u + 3x4

± 4H3 6x2u2 ± 10x3u

- 18x2u2 - X3U + 3x4

± 18x2u2 27x3U ± 45x4

- 28x3u + 48x4 \u003d Veličina fonta: 14,0pt; visina linije: 150% "\u003e dakle;

Odgovor: , .

Imajte na umu da ako se nalaze najveći ukupni razdjelnik podataka, pomnožite ga na bilo koji broj, a ne jednak nuli, dobivamo i najveći razvodnik ovih polinoma. Ova okolnost omogućava pojednostavljivanje proračuna u algoritmu Euclidea. Naime, prije sljedeće divizije, podijeli ili razdjelnik se može pomnožiti s brojevima odabranim na poseban način tako da je koeficijent prvog roka u privatnom bio broj cijeli broj. Kao što je prikazano gore, množenje podijeljenja i razdjelnika dovest će do odgovarajuće promjene privatnog ostatka, ali kao rezultat toga, čvor tih polinoma umnožava se na neki jednak nultu broj, što je dopušteno.

Primjer broj 3.

Smanjiti frakciju .

Odluka

Koristeći algoritam euklida, dobivamo

pozicija: apsolut; z-indeks: 59; lijevo: 0px; margin-lijevo: 220px; margin-top: 27px; širina: 2px "\u003e visina: 2px"\u003e1) x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2 x4 + x3 - 3x2 + 4

X4 x3 ± 3x2 veličina fonta: 14,0pt; Visina linije: 150% "\u003e 4 1

2x3 + 6x2 + 3x - 2

veličina fonta: 14,0pt; Visina linije: 150% "\u003e 2) 2 (x4 + x3 - 3x2 + 4) \u003d 2x4 + 2x3 - 6x2 + 8 2x3 + 6x2 + 3x - 2

2x4 6x3 3x2 ± 2 x - 2

- 4x3 - 9x2 + 2x + 8

± 4x3 ± 12x2 ± 6x veličina fonta: 14,0pt; Visina linije: 150% "\u003e 4

3x2 + 8x + 4

3) 3 (2x3 + 6x2 + 3x - 2) \u003d 6x3 + 18x2 + 9x - 6 3x2 + 8x + 4

6x3 Veličina fonta: 14,0pt "\u003e 16x2 Veličina fonta: 14,0pt"\u003e 8x 2x +