Dajte predstavu o novej triede úlohy - budovanie geometrické čísla S pomocou cirkulácie a pravítka bez rozsiahlych divízií.

Zadajte koncept GMT.

Dať definíciu stredného kolmého, aby sa vyučoval stavať a dokázať terem o strednej kolmej, ako aj na opak.

Pomocou počítačového kreslenia systému "Compass-3D" vykonajte geometrické konštrukcie, ktoré sa odporúčajú v priebehu geometrie s cirkuláciou a pravítkom.

Distribučný materiál (dodatok č. 1)

Úlohy na budovanie cirkulácie a pravítko bez divízií sa najčastejšie riešia podľa špecifickej schémy:

I. Analýza: Schematicky skontrolujte požadovanú hodnotu a vytvorte odkazy medzi úlohami a požadovanými prvkami.

II. Budovanie: Podľa plánovaného plánu, budovanie kruhového a pravítka.

III. Dôkaz: Dokážte, že vytvorená hodnota spĺňa podmienky úlohy.

IV. Študovať: Vykonajte štúdiu, s akýmikoľvek údajmi má úloha riešenie a ak má, koľko riešení (nevykonávajte vo všetkých úlohách).

Tu sú niektoré príklady základných úloh pre výstavbu, ktorú zvážime:

1. Odložiť segment rovný tomuto (študovaný skôr).

2. Budovanie stredného kolmého na segment:

• postaviť stred tohto segmentu;
• vytvorte priamku prechádzajúcu cez určený bod a kolmého na určenú priamku (bod môže ležať alebo ležať na danej priamke).

3. Budova uhol bisector.

4. Zostavte uhol rovnakého.

Stredná kolmá na rezanie.

Definícia: Stredná kolmo na segment je priamy prechod cez stred segmentu a kolmého na ňu.

Úloha: "Zostavte strednú kolmo na segment." Prezentácia

O - Stredná AV

Popis výstavby ( slide číslo 4.):

Lúč A; A - lúč lúč

Kruh (A; R \u003d M)

Kruh A \u003d B; Ab \u003d M.

Kruh 1 (A; R1\u003e M / 2)

Kruh 2 (B; R 1)

Kruh 1 Kruh 2 \u003d

Mn; Mn ab \u003d 0, (Mn \u003d l)

kde MN AB, O - Stred Ab

III. Dôkaz(Slide číslo 5, 6)

1. Zvážte AMN a BNM:

AM \u003d MB \u003d BN \u003d A \u003d R2, preto AM \u003d BN, A \u003d BM MN - Všeobecná strana

(Obrázok 3)

V dôsledku toho AMN \u003d BNM (na 3. stranách),

Teda

1 \u003d 2 (podľa definície rovnosti)

3 \u003d 4 (podľa definície rovnosti)

2. Človek a NBM - EQUAL (podľa definície) -\u003e

1 \u003d 4 a 3 \u003d 2 (podľa vlastnosti rovnosti)

3. Z odsekov 1 a 2 -\u003e 1 \u003d 3 V dôsledku toho MO - Bisector Rovnako zdieľanej AMP

4. Takže sme sa dokázali, že MN je stredná kolmá na AB

IV. Študovať

Táto úloha má jedno riešenie, pretože Akýkoľvek segment má len jeden stred, a prostredníctvom určeného bodu môžete vykonať jediný priamy kolmky na to.

Definícia: Geometrický súbor bodov (GMT) je množstvo bodov s určitým majetkom. (Dodatok č. 2)

Slávny GMT:

1. Stredný kolmý na segment je rôzne body ekvidistant z konca segmentu.
2. Bisector Uhol - mnoho bodov ekvidistant zo strany rohu

Takže, dokazujeme teorem:

Veta: "Každý bod stredného kolmo k segmentu je ekvidistant od koncov tohto segmentu."

(Obrázok 4)

DANAR: AV; MO - Stredné kolmo

Preukázať: AM \u003d VM

Dôkaz: 1. MO - Stredný kolmý (pod podmienkou) -\u003e O - Stred segmentu AV, MoAV 2. Zvážte IMO a WMO - obdĺžnikové MO - Common Cath

JSC \u003d IN (O - Stred Av) -\u003e Амо \u003d WMO (2ND kategórie) -\u003e AM \u003d VM (podľa definície rovnaké trojuholníkyAko vhodné strany) Q.E.E.E

Domáca úloha: "Dokážte teorem, inverzné to"

Theorem: "Každý bod nepriaznivý k koncom segmentu leží na strednom kolmej na tento segment."

(Obrázok 5)

DANAR: AV; Ma \u003d mv.

Ukázať: Bod m leží na strednom kolmej

Dôkaz:

Tak Mo je stredná kolmá, ktorá obsahuje všetky body ekvidistant od koncov segmentu.

Majetku stredného kolmého na stranách trojuholníka

Pretínajú sa v jednom bode a tento bod je stred opísaného kruhu v blízkosti trojuholníka, budeme študovaný v ôsmom ročníku.

Dielňa

Znateľne Technické vybavenie:

Distribúcia: 29 574 KB

OS: Windows 9x / 2000 / XP

Stránka: http://www.ascon.ru.

Teraz budeme preniesť výstavbu na grafické prostredie počítača. (Slide číslo 7)

Získané znalosti a zručnosti by sa mali uplatňovať na konkrétnu úlohu. Uvidíte, že stavba bude trvať váš čas viac ako budovanie notebooku. Okrem iného je zaujímavé vidieť, ako počítačové prostredie vykonáva tím človeka, aby vytvoril rovné čísla. Pred uplatnením č. 3, v ktorom sú vaše konštrukčné kroky podrobne opísané. Stiahnite si program a otvorte nový kresbu ( slide číslo 8., 9).

Nakreslite geometrické objekty uvedené v podmienke TerK: Ray ales začiatkom v bode ALE A rez je rovnaký m. - ľubovoľná dĺžka ( slide číslo 10.).

Zadajte označenie lúča, segment, spustite lúč na výkrese pomocou karty "Nástroje"Text.

Vybudovať kruh s polomerom rovným segmentom m. S centrom v hornej časti zadaného bodu ALE (slide číslo 11.).

m. S centrom v hornej časti zadaného bodu A ( slide číslo 12, 13).

Zostavte kruh s polomerom rovnajúcim sa segmentu väčším ako 1/2 m. Ak to chcete urobiť, vyberte poloľku v kontextovej ponuke. Medzi 2 bodmi " (snímka №14, 15, 16).

Cez obvodové body M a N. Stráviť rovno ( slide číslo 17,18.).

Použité knihy:

1. Ugrinovich nd informatika. Základný kurz"7. ročník. - M.: BINOM - 2008 - 175 p.
2. Ugrinovich ND "workshop o počítačovej vede a informačné technológie". Tutoriál. - M.: BININ, 2004-2006. -
3. Ugrinovich ND "Výučba kurzu" Informatika a IKT "v hlavnej a staršej škole 8-11 tried M.: Binin Laboratory poznatkov, 2008. - 180 p.
4. Ugrinovich ND Computer Workshop na CD-ROM. - M.: BININ, 2004-2006.
5. Boguslavsky a.a, Tretyak T.M. Farafonov A.A. "Compass - 3D V 5.11-8.0 Workshop pre začiatočníkov" - M.: SOLON - Press, 2006 - 272 p.
6. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. a DR "Geometria 7-9. Učebnica pre všeobecné vzdelávacie školy "- M: Vzdelávanie 2006 - 384 p.
7. Atanasyan L.S., Butuzov v.f., Kadomtsev S.B. a DR "štúdium geometrie 7-9 triedy. Metodické odporúčania pre učebnicu "- M: Vzdelávanie 1997 - 255 p.
8. Afanasyev T.L. Tapilina L.A. "Pounding plány na učebnicu 8 triedy Atanasyan L.S. - Volgograd "Učiteľ" 2010, 166 p.

Príloha č. 1.

Plán na riešenie problémov budovania cirkulácie a vládcu.

1. Analýzy.
2. Budovy.
3. Dôkazov.
4. Študovať.

Vysvetlenie

1. Pri schematickom analýze analýzy je schematicky schematicky a vytvorí prepojenie medzi úlohami a požadovanými prvkami.
2. Podľa plánovaného plánu je postavený s cirkuláciou a vládcom.
3. Ukázalo sa, že vytvorená hodnota spĺňa podmienky úlohy.
4. Vykonávať výskum: S akýmkoľvek údajom má úloha riešenie a ak má, koľko riešení?

Príklady základných úloh pre stavbu

1. Odloží segment rovný tomu.
2. Zostavte stredný kolmého na segment.
3. Postaviť stred segmentu.
4. Vytvorte priamku prechodu cez tento bod kolmý na zadanú priamku (bod môže ležať alebo neležať na danej priamke).
5. Stavať uhol Bisecur.
6. Zostavte uhol rovnajúci sa tomuto.

Príloha č. 2.

Geometrické umiestnenie bodov (GMT) je množstvo bodov s určitým majetkom.

Príklady GMT:

1. Stredná kolmo na segment je súbor bodov, ktoré sú ekvidistant od koncov segmentu.
2. Kruh je rôzne body ekvidistant z určeného bodu stredu kruhu.
3. Bisector z uhla je veľa bodov, ktoré sú ekvidistant z boku uhla.

Každý bod stredného kolmo k segmentu je ekvidistant od koncov tohto segmentu.

Dôkazné teoremy na vlastnosti opísané v blízkosti trojuholníka kruhu

Stredný kolmý na segment

Definícia 1. Stredný kolmý na segment Nazývaný, rovný, kolmý na tento segment a prechod cez stred (obr. 1).

Teorem 1. Každý bod stredného kolmeho na segment sa nachádza v rovnakej vzdialenosti od koncov Tento segment.

Dôkaz. Zvážte ľubovoľný bod d, ležiaci na strednom kolmej na segment AB (obr. 2), a dokážeme, že ADC a BDC trojuholníky sú rovnaké.

Tieto trojuholníky sú skutočne obdĺžnikové trojuholníky, ktoré majú AC a BC Karts sú rovnaké, a DC katedrá je bežné. Z rovnosti trojuholníkov ADC a BDC znamená rovnosť segmentov AD a DB. Torem 1 sa dokáže.

Veta 2 (Späť na teorem 1). Ak je bod v rovnakej vzdialenosti od koncov segmentu, leží na strednom kolmej k tomuto segmentu.

Dôkaz. Dokážeme teorem 2 podľa "protihlástej" metódy. Na tento účel predpokladáme, že nejaký bod E sa nachádza v rovnakej vzdialenosti od koncov segmentu, ale neleží na strednom kolmej na tento segment. Dávame tento predpoklad na rozpor. Zvážiť prvý prípad, keď body e a lež rôzne strany Zo stredného kolmej (obr. 3). V tomto prípade segment EA prechádza stredným kolomom v určitom bode, ktorú označujeme písmeno d.

Dokážeme, že rezanie AE je dlhšie ako segment EB. Naozaj,

Tak, v prípade, keď sme body E a ležali na rôznych smeroch zo stredného kolmo, sme dostali rozpor.

Teraz uvažovať o prípade, keď body E a leží na jednej strane zo stredného kolmej (obr. 4). Dokážeme, že rezanie EB je dlhšie ako segment AE. Naozaj,

Výsledný rozpor a dopĺňa dôkaz o teorem 2

Kruh, popísaný v blízkosti trojuholníka

Definícia 2. Kruh opísaný v blízkosti trojuholníka, Nazývaný kruh prechádzajúci cez všetky tri vrcholy trojuholníka (obr.5). V tomto prípade sa nazýva trojuholník trojuholník, zapísaný v kruhu, alebo trojuholník inscribd.

Vlastnosti opísané v blízkosti trojuholníka kruhu. Sinusov teorem

Obrázok	Obraz	Nehnuteľnosť
Stredné kolmo na stranách trojuholníka		pretína v jednom bode .
Centrum opísané v blízkosti akútneho trojuholníka kruhu		Centrum opísané v blízkosti osttergačný vnútri Trojuholník.
Centrum opísané v blízkosti pravouhlého trojuholníka kruhu		Centrum opísané v blízkosti obdĺžnikový stredná hypotenusy .
Centrum opísané v blízkosti hlúpy trojuholník Kruh		Centrum opísané v blízkosti hlúpy Trojuholníkový kruh ležiaci z Trojuholník.
		,
Oblasť Trojuholník		S \u003d.2R. 2 hriech. A. hriech. B. hriech. C. ,
Polomer opísaného kruhu		Rovnosť je spravodlivá pre akýkoľvek trojuholník:

Hory kolmé na stranách trojuholníka

Všetky stredné kolmo vykonané na stranách ľubovoľného trojuholníka, \\ t pretína v jednom bode .

Kruh, popísaný v blízkosti trojuholníka

V blízkosti akéhokoľvek trojuholníka môžete opísať kruh . Stred obvodu opísaného v blízkosti trojuholníka je bod, v ktorom sa pretínajú všetky stredné kolmo na stranách trojuholníka.

Centrum opísané v blízkosti akútneho trojuholníka kruhu

Centrum opísané v blízkosti osttergačný Trojuholníkový kruh ležiaci vnútri Trojuholník.

Centrum opísané v blízkosti obdĺžnikového trojuholníka kruhu

Centrum opísané v blízkosti obdĺžnikový Trojuholník kruhu je stredná hypotenusy .

Centrum popísané v blízkosti hlúpeho trojuholníka

Centrum opísané v blízkosti hlúpy Trojuholníkový kruh ležiaci z Trojuholník.

Pre akýkoľvek trojuholník, rovnosť (sinus teorem) platí: , tam, kde A, B, C - Strany trojuholníka, A, B, C - Rohy trojuholníka, R je polomer opísaného kruhu.

Oblasti trojuholníka

Rovnosť je spravodlivá pre akýkoľvek trojuholník: S \u003d.2R. 2 hriech. A. hriech. B. hriech. C. , tam, kde A, B, C - Rohy trojuholníka, S - Trojuholník, R je polomer opísaného kruhu.

Polomer opísaného kruhu

Rovnosť je spravodlivá pre akýkoľvek trojuholník: tam, kde A, B, C - strany trojuholníka, S je trojuholník oblasti, R je polomer opísaného kruhu.

Dôkazné teoremy na vlastnosti opísané v blízkosti trojuholníka kruhu

Veta 3. Všetky stredné kolmo, vykonávané na stranách ľubovoľného trojuholníka, pretínajú sa v jednom bode.

Dôkaz. Zvážte dve stredné kolmo na straníc AC a AB ABC trojuholníka a označujú bod ich priesečníka písmena O (Obr. 6).

Vzhľadom k tomu, že bod o leží na strednom kolmej na strih AC, potom je rovnosť pravdivá na základe teorem 1.

Stredný kolmý (komunálna kolmá alebo mediatris.) - Priamo, kolmé na tento segment a prechádza cez stred.

Vlastnosť

$p\_A\; \backslash u003d\; TFRAC\; (2A)\; (A\; ^\; 2\; +\; B\; ^\; 2\; -\; C\; ^\; 2),\; P\_B\; \backslash u003d\; TFRAC\; (2B)\; (A\; ^\; 2\; +\; B\; ^\; 2\; -\; C\; ^\; 2),\; P\_C\; \backslash u003d\; TFRAC\; (2cs)\; (\; a\; ^\; 2-b\; ^\; 2\; +\; c\; ^\; 2),$ kde nižší index označuje stranu, ku ktorej sa uskutočnil kolmý, $S.$ - trojuholník oblasti, a tiež predpokladá, že strany sú spojené nerovnosti $a\; \backslash \backslash \; geqslant\; b\; \backslash \backslash \; geqslant\; c.$ $p\_a\; \backslash \backslash \; geq\; p\_b$ a $p\_C\; GEQ\; P\_B.$ Inými slovami, trojuholník je najmenší stredný kolmé kolmo označuje priemerný segment.

Napíšte recenziu o článku "Stredné kolmo"

Poznámky

Výňatok charakterizujúci stredný kolmý

Kutuzov, zastavenie žuť, prekvapeného, \u200b\u200bako keby nedošlo k pochopeniu toho, čo mu bolo povedané, pozeral na Volzogen. Volzogén, všimol si vzrušenie des Alten Herrn, [Starý pán (HO.) Povedal s úsmevom:
- Nepovažoval som sa za to, aby som sa schovával pred vašou ľahkosťou toho, čo som videl ... Vojko v plnej poruche ...
- Videl si? Videli ste? .. - zamračené, kričal Kutuzov, rýchlo vstával a postupoval na Volzogen. - Ako vy ... Ako sa odvážiš! .. - Vykonávanie hroziacich gest s triasúcimi rukami a udusením, kričal. - Ako si umývate, milostivý panovník, povedzte mi to. Nevieš nič. Pošlite odo mňa k General Barklaj, že jeho informácie sú nesprávne a že skutočný kurz bitky je mi známy, veliteľ-in-šéf, lepšie ako on.
Volzogén chcel namietať proti niečomu, ale Kutuzov ho prerušil.
"Nepriateľ je odstránený vľavo a ohromený pravým bokom. Ak ste mali zle vidieť, milostivý panovník, potom sa nenechajte povedať, čo neviete. Prepáčte, aby som išiel do General Barclaj a vyjadriť mu najbližší o mojom nepostrádateľnom úmysle zaútočiť na nepriateľa, "povedal Kutuzov striktne. Všetci ticho a počuli jedno ťažké dýchanie smrteľného starého generála bolo vypočutý. - Zapnite všade, pre ktoré som ďakujem Bohu a našej statočnej armáde. Nepriateľ je porazený, a zajtra ho naháňam z posvätnej krajiny ruštiny, - povedal Kutuzov, v ruke; A zrazu sa zrazil z príchode slzy. Volzogén, pokrčil plecami a potiahli jeho pery, ticho sa presťahoval na stranu, prekvapila Uber Diese Egenommenheit des Alten Herrn. [Toto je samomarský starý pán (IT.)]
"Áno, tu je, môj hrdina," povedal Kutuzov úplnému krásnemu Black-Haired General, ktorý bol v tom čase zaradený do Kurgana. Bol to Raevský, ktorý strávil celý deň v hlavnom bode Borodino.
Rajevsky priniesol, že vojaci sú pevne na svojich miestach a že francúzsky sa neodvažuje útočiť na viac. Po vypočutí ho Kutuzov vo francúzštine povedal:
- Vous ne pentsez donc pas comme lesautres que nous sommes zaväzuje de nous odchodera? [Vy, preto si nemyslite, ako ostatní musíme ustúpiť?]

V predchádzajúcej lekcii sme hodnotili vlastnosti uhla bisector oboch priložených v trojuholníku a zadarmo. Trojuholník obsahuje tri rohy a pre každý z nich sú uložené uložené vlastnosti bisecu.

Veta:

Bisector of AA 1, BB 1, SS 1 trojuholník sa pretína v jednom bode O (Obr. 1).

Obr. 1. Ilustrácie pre teorému

Dôkaz:

Zvážte prvý dva bisector BB 1 a SS 1. Pretínajú sa, priesečník je tam. Aby ste to dokázali, predpokladajme, že naopak: Nech sa údaje o biseckek neťahujú, v takom prípade sú paralelné. Potom je priame slnko jednotka a množstvo rohov To je v rozpore so skutočnosťou, že v celom trojuholníku súčet rohov.

Teda existuje bod priesečníka dvoch bisecka. Zvážte jeho vlastnosti:

Bod o leží na bisetore uhla, to znamená, že sa rovná WA a Slnku. Ak je OK kolmé na lietadlo, ol je kolmý na VA, dĺžky týchto kolmých sú rovnaké. Tiež bod o leží na bisetore uhla a je ekvidistantom svojich strán CA a CA, kolmé na OM a OK sú rovnaké.

Nasledujúce prijaté rovnosti:

, To znamená, že všetky tri kolmé, znížené z bodu o na strane trojuholníka sú rovnaké.

Máme záujem o rovnosť kolmého ola a om. Táto rovnosť naznačuje, že bod je ekvidistant zo strany uhla, teda z toho vyplýva, že leží na jeho Bisector AA 1.

Dokázali sme teda, že všetky tri trojuholníkové bisketers sa pretínajú v jednom bode.

Okrem toho trojuholník pozostáva z troch segmentov, znamená to, že by sme mali zvážiť vlastnosti samostatného segmentu.

Nastaviť segment AV. Tam je uprostred akéhokoľvek segmentu a cez ňu je možné držať kolmú - označujeme ho pre p. Preto je p je stredný kolmý.

Obr. 2. ilustrácie pre veta

Akýkoľvek bod ležiaci na strednom kolmej je ekvidistant od koncov segmentu.

Dokážte, že (obr. 2).

Dôkaz:

Zvážiť trojuholníky a. Sú obdĺžnikové a rovnaké, pretože majú spoločný kated, a Karta JSC a H sú rovnaké pod podmienkou, takže máme dve obdĺžnikové trojuholníkyrovné dvom kategóriám. Z toho vyplýva, že hypotenusy trojuholníkov sú tiež rovnaké, to znamená, čo bolo potrebné dokázať.

Nepodarilo sa reverznej teorem.

Každý bod ekvidistant od koncov segmentu leží na strednom kolmej na tento segment.

Segment AB, stredný kolmý na to P, bod m, ekvidistant z konca segmentu. Dokážte, že bod m leží na strednom kolmej na segment (obr. 3).

Obr. 3. Ilustrácie pre teorem

Dôkaz:

Zvážte trojuholník. Je to izolované, pretože podľa stavu. Zvážte trojuholníkový medián: bod o - uprostred základne AV, OM - medián. Podľa majetku rovnako pripútaného trojuholníka je medián strávený na svojom základe súčasne výška a bisetor. Z toho vyplýva, že. Priama čiara je však tiež kolmá na AV. Vieme, že bod o môže vykonávať jediný kolmý na segment AB, znamená to, že rovné čiary a p sa zhodujú, z toho vyplýva, že bod m patrí do priameho P, ktorý bol povinný preukázať.

Rovno I. reverzná teorem Môžete zhrnúť.

Bod leží na strednom kolmej na segment, ak je len vtedy, ak sa rovná koncom tohto segmentu.

Tak zopakujeme, že v trojuholníku sú tri segmenty a každý z nich je použiteľný na majetok stredného kolmého.

Veta:

Stredné kolmé trojuholníky sa pretínajú v jednom bode.

Je nastavený trojuholník. Kolmé na svojich strán: p 1 na boku lietadla, str. 2 na boku reproduktorov, p 3 na stranu AV.

Dokážte, že kolmé P1, P2 a P3 sa pretínajú v bode O (obr. 4).

Obr. 4. Ilustrácie pre teorému

Dôkaz:

Zvážte dve stredné kolmo p2 a p 3, pretínajú sa, priesečníkový bod o existuje. Dokážeme túto skutočnosť z opačného - nechať kolmého P2 a P3 sú rovnobežné. Potom je uhol nasadený, ktorý je v rozpore so skutočnosťou, že súčet troch uhlov trojuholníka je. Takže, je tu bod o priesečníku dvoch z troch stredných kolmých. Vlastnosti bodu o: leží na strednom kolmej na stranu AV, to znamená, že sa rovná koncom segmentu AV :. Tiež leží na strednom kolmej na stranu reproduktorov, to znamená. Dostali tieto rovnosti.

V predchádzajúcej lekcii sme hodnotili vlastnosti uhla bisector oboch priložených v trojuholníku a zadarmo. Trojuholník obsahuje tri rohy a pre každý z nich sú uložené uložené vlastnosti bisecu.

Veta:

Bisector of AA 1, BB 1, SS 1 trojuholník sa pretína v jednom bode O (Obr. 1).

Obr. 1. Ilustrácie pre teorému

Dôkaz:

Zvážte prvý dva bisector BB 1 a SS 1. Pretínajú sa, priesečník je tam. Aby ste to dokázali, predpokladajme, že naopak: Nech sa údaje o biseckek neťahujú, v takom prípade sú paralelné. Potom je priame slnko jednotka a množstvo rohov To je v rozpore so skutočnosťou, že v celom trojuholníku súčet rohov.

Teda existuje bod priesečníka dvoch bisecka. Zvážte jeho vlastnosti:

Bod o leží na bisetore uhla, to znamená, že sa rovná WA a Slnku. Ak je OK kolmé na lietadlo, ol je kolmý na VA, dĺžky týchto kolmých sú rovnaké. Tiež bod o leží na bisetore uhla a je ekvidistantom svojich strán CA a CA, kolmé na OM a OK sú rovnaké.

Nasledujúce prijaté rovnosti:

, To znamená, že všetky tri kolmé, znížené z bodu o na strane trojuholníka sú rovnaké.

Máme záujem o rovnosť kolmého ola a om. Táto rovnosť naznačuje, že bod je ekvidistant zo strany uhla, teda z toho vyplýva, že leží na jeho Bisector AA 1.

Dokázali sme teda, že všetky tri trojuholníkové bisketers sa pretínajú v jednom bode.

Okrem toho trojuholník pozostáva z troch segmentov, znamená to, že by sme mali zvážiť vlastnosti samostatného segmentu.

Nastaviť segment AV. Tam je uprostred akéhokoľvek segmentu a cez ňu je možné držať kolmú - označujeme ho pre p. Preto je p je stredný kolmý.

Obr. 2. ilustrácie pre veta

Akýkoľvek bod ležiaci na strednom kolmej je ekvidistant od koncov segmentu.

Dokážte, že (obr. 2).

Dôkaz:

Zvážiť trojuholníky a. Sú obdĺžnikové a rovnaké, pretože majú spoločnú istotu OM, a Karta JSC a O sa rovná stavu, takže máme dva obdĺžnikové trojuholníky rovnajúce sa dve kategórie. Z toho vyplýva, že hypotenusy trojuholníkov sú tiež rovnaké, to znamená, čo bolo potrebné dokázať.

Nepodarilo sa reverznej teorem.

Každý bod ekvidistant od koncov segmentu leží na strednom kolmej na tento segment.

Segment AB, stredný kolmý na to P, bod m, ekvidistant z konca segmentu. Dokážte, že bod m leží na strednom kolmej na segment (obr. 3).

Obr. 3. Ilustrácie pre teorem

Dôkaz:

Zvážte trojuholník. Je to izolované, pretože podľa stavu. Zvážte trojuholníkový medián: bod o - uprostred základne AV, OM - medián. Podľa majetku rovnako pripútaného trojuholníka je medián strávený na svojom základe súčasne výška a bisetor. Z toho vyplýva, že. Priama čiara je však tiež kolmá na AV. Vieme, že bod o môže vykonávať jediný kolmý na segment AB, znamená to, že rovné čiary a p sa zhodujú, z toho vyplýva, že bod m patrí do priameho P, ktorý bol povinný preukázať.

Priame a reverzné teoremy môžu byť zovšeobecnené.

Bod leží na strednom kolmej na segment, ak je len vtedy, ak sa rovná koncom tohto segmentu.

Tak zopakujeme, že v trojuholníku sú tri segmenty a každý z nich je použiteľný na majetok stredného kolmého.

Veta:

Stredné kolmé trojuholníky sa pretínajú v jednom bode.

Je nastavený trojuholník. Kolmé na svojich strán: p 1 na boku lietadla, str. 2 na boku reproduktorov, p 3 na stranu AV.

Dokážte, že kolmé P1, P2 a P3 sa pretínajú v bode O (obr. 4).

Obr. 4. Ilustrácie pre teorému

Dôkaz:

Zvážte dve stredné kolmo p2 a p 3, pretínajú sa, priesečníkový bod o existuje. Dokážeme túto skutočnosť z opačného - nechať kolmého P2 a P3 sú rovnobežné. Potom je uhol nasadený, ktorý je v rozpore so skutočnosťou, že súčet troch uhlov trojuholníka je. Takže, je tu bod o priesečníku dvoch z troch stredných kolmých. Vlastnosti bodu o: leží na strednom kolmej na stranu AV, to znamená, že sa rovná koncom segmentu AV :. Tiež leží na strednom kolmej na stranu reproduktorov, to znamená. Dostali tieto rovnosti.