1. ročník, vyššia matematika, štúdium matice a základné úkony na nich. Tu systematizujeme základné operácie, ktoré možno vykonávať s maticami. Kde začať so zoznamovaním sa s matrikami? Samozrejme, od tých najjednoduchších vecí – definície, základné pojmy a jednoduché operácie. Uisťujeme vás, že matrikám bude rozumieť každý, kto sa im aspoň trochu venuje!

Definícia matice

Matrix je obdĺžniková tabuľka prvkov. Jednoducho povedané – číselná tabuľka.

Matice sa zvyčajne označujú veľkými latinskými písmenami. Napríklad matrix A , matica B a tak ďalej. Matice môžu mať rôznu veľkosť: obdĺžnikové, štvorcové a existujú aj riadkové a stĺpcové matice nazývané vektory. Veľkosť matice je určená počtom riadkov a stĺpcov. Napíšme napríklad obdĺžnikovú maticu veľkosti m na n , Kde m – počet riadkov a n – počet stĺpcov.

Položky, pre ktoré i=j (a11, a22, .. ) tvoria hlavnú uhlopriečku matice a nazývajú sa uhlopriečka.

Čo môžete robiť s matrikami? Pridať/Odčítať, vynásobiť číslom, množiť sa medzi sebou, transponovať. Teraz o všetkých týchto základných operáciách s maticami v poradí.

Operácie sčítania a odčítania matice

Okamžite vás upozorňujeme, že pridávať môžete len matice rovnakej veľkosti. Výsledkom bude matica rovnakej veľkosti. Pridávanie (alebo odčítanie) matíc je jednoduché - stačí sčítať ich zodpovedajúce prvky . Uveďme si príklad. Vykonajte sčítanie dvoch matíc A a B veľkosti dva krát dva.

Odčítanie sa vykonáva analogicky, iba s opačným znamienkom.

Každá matica môže byť vynásobená ľubovoľným číslom. Robiť to, musíte vynásobiť každý jeho prvok týmto číslom. Napríklad vynásobme maticu A z prvého príkladu číslom 5:

Operácia násobenia matice

Nie všetky matice sa dajú spolu násobiť. Napríklad máme dve matice - A a B. Vzájomne ich možno vynásobiť len vtedy, ak sa počet stĺpcov matice A rovná počtu riadkov matice B. V tomto prípade každý prvok výslednej matice, ktorý sa nachádza v i-tom riadku a j-tom stĺpci, sa bude rovnať súčtu súčinov zodpovedajúcich prvkov v i-tom riadku prvého faktora a j-tom stĺpci druhy. Aby sme pochopili tento algoritmus, napíšme si, ako sa násobia dve štvorcové matice:

A príklad s reálnymi číslami. Vynásobme matice:

Operácia maticovej transpozície

Maticová transpozícia je operácia, pri ktorej sa vymenia zodpovedajúce riadky a stĺpce. Napríklad transponujme maticu A z prvého príkladu:

Maticový determinant

Determinant alebo determinant je jedným zo základných pojmov lineárnej algebry. Kedysi ľudia vymýšľali lineárne rovnice a po nich mali prísť s determinantom. Nakoniec je len na vás, ako sa s tým všetkým vysporiadate, takže posledný tlak!

Determinant je numerická charakteristika štvorcovej matice, ktorá je potrebná na riešenie mnohých problémov.
Na výpočet determinantu najjednoduchšej štvorcovej matice je potrebné vypočítať rozdiel medzi produktmi prvkov hlavnej a sekundárnej uhlopriečky.

Determinant matice prvého rádu, ktorá pozostáva z jedného prvku, sa rovná tomuto prvku.

Čo ak je matica tri na tri? Je to náročnejšie, ale dá sa to zvládnuť.

Pre takúto maticu sa hodnota determinantu rovná súčtu súčinov prvkov hlavnej uhlopriečky a súčinov prvkov ležiacich na trojuholníkoch s plochou rovnobežnou s hlavnou uhlopriečkou, z ktorých je súčin prvky vedľajšej uhlopriečky a súčin prvkov ležiacich na trojuholníkoch s plochou rovnobežnej vedľajšej uhlopriečky sa odčítajú.

Našťastie v praxi je zriedka potrebné vypočítať determinanty matíc veľkých veľkostí.

Tu sme sa pozreli na základné operácie s maticami. Samozrejme, v reálnom živote sa možno nikdy nestretnete ani s náznakom maticového systému rovníc, alebo naopak, môžete sa stretnúť s oveľa zložitejšími prípadmi, kedy si budete musieť poriadne polámať hlavu. Práve pre takéto prípady existujú profesionálne študentské služby. Požiadajte o pomoc, získajte kvalitné a podrobné riešenie, užívajte si akademické úspechy a voľný čas.

Problémy lineárnej algebry. Pojem matice. Typy matríc. Operácie s maticami. Riešenie problémov s transformáciou matice.

Pri riešení rôznych úloh z matematiky sa často musíte zaoberať tabuľkami čísel, ktoré sa nazývajú matice. Pomocou matíc je vhodné riešiť sústavy lineárnych rovníc, vykonávať mnohé operácie s vektormi, riešiť rôzne problémy počítačovej grafiky a iné inžinierske problémy.

Matica sa nazýva obdĺžniková tabuľka čísel obsahujúca množstvo m riadkov a určitý počet P stĺpci. čísla T A P sa nazývajú maticové objednávky. Ak T = P, matica sa nazýva štvorec a číslo m = n - jej príkaz.

V budúcnosti sa na písanie matíc budú používať buď dvojité pomlčky alebo zátvorky:

Alebo

Na stručné označenie matice sa často používa buď jedno veľké písmeno (napríklad A) alebo symbol || a ij || a niekedy aj s vysvetlením: A = || a ij || = (a ij), Kde (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n).

čísla aij, zahrnuté v tejto matici sa nazývajú jej prvky. V nahrávaní a ij prvý index і znamená číslo riadku a druhý index j- číslo stĺpca. V prípade štvorcovej matice

(1.1)

Zavádzajú sa pojmy hlavná a vedľajšia uhlopriečka. Hlavná uhlopriečka matice (1.1) sa nazýva uhlopriečka od 11 do 12 … ann z ľavého horného rohu tejto matice do jej pravého dolného rohu. Bočná uhlopriečka tej istej matice sa nazýva uhlopriečka a n 1 a (n-1)2… a 1 n, prechádza z ľavého dolného rohu do pravého horného rohu.

Základné operácie s maticami a ich vlastnosti.

Prejdime k definovaniu základných operácií s maticami.

Pridanie matice. Súčet dvoch matíc A = || a ij || , Kde A B = || b ij || , Kde (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n) rovnaké príkazy T A P nazývaná matica C = || c ij || (i = 1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n) rovnaké príkazy T A P, prvkov s ij ktoré sú určené vzorcom

, Kde (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.2)

Na označenie súčtu dvoch matíc sa používa zápis C = A + B. Operácia skladania súčtu matíc sa nazýva ich sčítanie. Takže podľa definície:

+ =

Z definície súčtu matíc, presnejšie zo vzorcov (1.2) hneď vyplýva, že operácia sčítania matíc má rovnaké vlastnosti ako operácia sčítania reálnych čísel, a to:

1) komutatívna vlastnosť: A + B = B + A,

2) asociatívna vlastnosť: ( A + B) + C = A + (B + C).

Tieto vlastnosti umožňujú nestarať sa o poradie maticových členov pri pridávaní dvoch alebo viacerých matíc.

Násobenie matice číslom. Súčin matice A = || a ij || , kde (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) reálnym číslom l, sa nazýva matica C = || c ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), ktorého prvky sú určené vzorcom:

, Kde (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.3)

Na označenie súčinu matice a čísla sa používa zápis C = 1 A alebo C = Al. Operácia skladania súčinu matice číslom sa nazýva násobenie matice týmto číslom.

Priamo zo vzorca (1.3) je zrejmé, že vynásobenie matice číslom má tieto vlastnosti:

1) asociatívna vlastnosť týkajúca sa číselného násobiteľa: (l m) A = l (m A);

2) distribučná vlastnosť vzhľadom na súčet matíc: 1 (A + B) = 1 A + 1 B;

3) distributívna vlastnosť týkajúca sa súčtu čísel: (l + m) A = lA + mA

Komentujte. Rozdiel dvoch matíc A A IN identické objednávky T A P je prirodzené nazývať takú matricu S rovnaké príkazy T A P,čo sa sčíta s maticou B dáva maticu A. Na označenie rozdielu dvoch matíc sa používa prirodzený zápis: C = A - B.

Je veľmi ľahké overiť tento rozdiel S dve matrice A A IN možno získať podľa pravidla C = A + (–1) V.

Súčin matríc alebo násobenie matice.

Matrixový produkt A = || a ij || , kde (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) majúce objednávky zodpovedajúco rovnaké T A n, do matice B = || b ij || , Kde (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., p), majúce objednávky zodpovedajúco rovnaké n A R, nazývaná matica C = || c ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p) so zodpovedajúcimi rovnakými objednávkami T A R ktorých prvky sú určené vzorcom:

Kde (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

Na označenie súčinu matice A do matice IN použiť nahrávanie C = A × B. Operácia skladania matricového produktu A do matice IN sa nazýva násobenie týchto matíc.

Z vyššie formulovanej definície vyplýva, že Maticu A nemožno vynásobiť každou maticou B, je potrebné, aby počet stĺpcov matice A sa rovnalo počtu riadkov matice IN.

Vzorec (1.4) je pravidlom pre skladanie prvkov matice C, ktorá je súčinom matice A do matice IN. Toto pravidlo možno formulovať slovne: prvok c i j stojaci v priesečníku i-teho riadku a j-tého stĺpca matice C = A B sa rovná súčtu párových súčinov zodpovedajúcich prvkov i-teho riadku matice A a j-tého stĺpca. matice B.

Ako príklad aplikácie tohto pravidla uvádzame vzorec na násobenie štvorcových matíc druhého rádu.

× =

Zo vzorca (1.4) vyplývajú nasledujúce vlastnosti matricového produktu: A na matricu IN:

1) asociatívna vlastnosť: (AB) C = A (BC);

2) distributívna vlastnosť vo vzťahu k súčtu matíc:

(A + B) C = AC + B C alebo A (B + C) = A B + AC.

Otázka o komutatívnej vlastnosti súčinu matice A do matice IN má zmysel ho nastaviť len pre štvorcové matice A a B rovnaké poradie.

Uveďme dôležité špeciálne prípady matíc, pre ktoré platí aj permutačná vlastnosť. Dve matice, ktorých súčin má vlastnosť komutácie, sa zvyčajne nazývajú komutačné.

Medzi štvorcovými maticami vyzdvihujeme triedu takzvaných diagonálnych matíc, z ktorých každá má prvky umiestnené mimo hlavnej uhlopriečky rovné nule. Každá diagonálna matica poriadku P vyzerá ako

D= (1.5)

Kde d 1, d 2,… ,dn- ľubovoľné čísla. Je ľahké vidieť, že ak sú všetky tieto čísla navzájom rovnaké, t.j. d1 = d2 =… = d n potom pre ľubovoľnú štvorcovú maticu A objednať P rovnosť je pravda A D = D A.

Medzi všetkými diagonálnymi maticami (1.5) so zhodnými prvkami d1 = d2 =… = dn= = d Dve matrice zohrávajú obzvlášť dôležitú úlohu. Prvá z týchto matíc sa získa pomocou d = 1, nazývaná matica identity n E. Druhá matica sa získa, keď d = 0, sa nazýva nulová matica n-tého rádu a označuje sa symbolom O. teda

E= O=

Vzhľadom na to, čo bolo dokázané vyššie A E = E A A A O = O A. Navyše je ľahké to ukázať

AE = E A = A, A O = O A = 0. (1.6)

Prvý zo vzorcov (1.6) charakterizuje špeciálnu úlohu matice identity E, podobnú úlohu, akú hrá číslo 1 pri násobení reálnych čísel. Čo sa týka špeciálnej úlohy nulovej matice O, potom to prezrádza nielen druhý zo vzorcov (1.7), ale aj elementárna overiteľná rovnosť

A + 0 = 0 + A = A.

Na záver poznamenávame, že pojem nulová matica možno zaviesť aj pre neštvorcové matice (nula je tzv. akýkoľvek matica, ktorej všetky prvky sú rovné nule).

Blokové matice

Predpokladajme, že nejaká matica A = || a ij || pomocou vodorovných a zvislých čiar sa rozdelí na samostatné obdĺžnikové bunky, z ktorých každá je maticou menších veľkostí a nazýva sa blok pôvodnej matice. V tomto prípade je možné zvážiť pôvodnú maticu A ako nejaká nová (tzv. bloková) matica A = || A a b ||, ktorého prvkami sú označené bloky. Tieto prvky označujeme veľkým písmenom, aby sme zdôraznili, že vo všeobecnosti ide o matice a nie čísla a (ako bežné číselné prvky) poskytujeme dva indexy, z ktorých prvý označuje číslo riadku „bloku“ a druhý - číslo stĺpca „blok“.

Napríklad matica

možno považovať za blokovú maticu

ktorých prvkami sú tieto bloky:

Pozoruhodným faktom je, že hlavné operácie s blokovými maticami sa vykonávajú podľa rovnakých pravidiel, podľa ktorých sa vykonávajú s bežnými numerickými maticami, iba bloky fungujú ako prvky.

Pojem determinantu.

Uvažujme ľubovoľnú štvorcovú maticu ľubovoľného rádu P:

A= (1.7)

S každou takouto maticou spájame dobre definovanú číselnú charakteristiku, nazývanú determinant, zodpovedajúcu tejto matici.

Ak je objednávka n matica (1.7) sa rovná jednej, potom táto matica pozostáva z jedného prvku a ja j determinant prvého rádu zodpovedajúci takejto matici, nazveme hodnotu tohto prvku.

potom determinant druhého rádu zodpovedajúci takejto matici je číslo rovné od 11 do 22 - od 12 do 21 a označené jedným zo symbolov:

Takže podľa definície

(1.9)

Vzorec (1.9) je pravidlom na zostavenie determinantu druhého rádu z prvkov zodpovedajúcej matice. Slovná formulácia tohto pravidla je nasledovná: determinant druhého rádu zodpovedajúci matici (1.8) sa rovná rozdielu medzi súčinom prvkov na hlavnej diagonále tejto matice a súčinom prvkov na jej vedľajšej diagonále. Determinanty druhého a vyššieho rádu sa široko používajú pri riešení sústav lineárnych rovníc.

Pozrime sa, ako sa vykonávajú operácie s maticami v systéme MathCad . Najjednoduchšie operácie maticovej algebry sú v MathCade implementované vo forme operátorov. Písanie operátorov je významovo čo najbližšie k ich matematickej činnosti. Každý operátor je vyjadrený zodpovedajúcim symbolom. Zoberme si maticové a vektorové operácie v MathCad 2001. Vektory sú špeciálnym prípadom matíc dimenzií n x 1, preto pre nich platia všetky rovnaké operácie ako pre matice, pokiaľ nie sú špecificky uvedené obmedzenia (napríklad niektoré operácie sú použiteľné len pre štvorcové matice n x n). Niektoré akcie sú platné len pre vektory (napríklad skalárny súčin) a niektoré, napriek rovnakému pravopisu, pôsobia na vektory a matice odlišne.

V zobrazenom dialógovom okne zadajte počet riadkov a stĺpcov matice.

q Po stlačení tlačidla OK sa otvorí pole pre zadávanie maticových prvkov. Ak chcete zadať prvok matice, umiestnite kurzor na označené miesto a zadajte číslo alebo výraz z klávesnice.

Ak chcete vykonať akúkoľvek operáciu pomocou panela nástrojov, musíte:

q vyberte maticu a kliknite na tlačidlo operácie na paneli,

q alebo kliknite na tlačidlo v paneli a na označenú pozíciu zadajte názov matice.

Ponuka „Symboly“ obsahuje tri operácie - transponovať, inverzia, determinant.

To znamená, že napríklad spustením príkazu môžete vypočítať determinant matice Symboly/matice/determinant.

MathCAD ukladá číslo prvého riadku (a prvého stĺpca) matice do premennej ORIGIN. Štandardne sa počítanie začína od nuly. V matematickom zápise je bežnejšie počítať od 1. Aby MathCAD počítal čísla riadkov a stĺpcov od 1, musíte nastaviť hodnotu premennej ORIGIN:=1.

Funkcie určené na prácu s problémami lineárnej algebry sú zhromaždené v sekcii „Vektory a matice“ dialógového okna „Vložiť funkciu“ (pripomíname, že sa volá tlačidlom na paneli „Štandard“). Hlavné z týchto funkcií budú popísané neskôr.

Transponovať

Obr.2 Transponujúce matice

V MathCAD môžete pridávať matice a odčítavať ich od seba. Symboly používané pre tieto operátory sú <+> alebo <-> podľa toho. Matice musia mať rovnaký rozmer, inak sa vygeneruje chybové hlásenie. Každý prvok súčtu dvoch matíc sa rovná súčtu zodpovedajúcich prvkov maticových príkazov (príklad na obr. 3).
Okrem pridávania matíc podporuje MathCAD operáciu pridávania matice so skalárnou veličinou, t.j. číslo (príklad na obr. 4). Každý prvok výslednej matice sa rovná súčtu zodpovedajúceho prvku pôvodnej matice a skalárneho množstva.
Ak chcete zadať symbol násobenia, musíte stlačiť tlačidlo s hviezdičkou<*>alebo použite panel s nástrojmi Matrix stlačením tlačidla na ňom Bodový produkt (násobenie)(obr. 1). Maticové násobenie je štandardne označené bodkou, ako je znázornené v príklade na obrázku 6. Symbol maticového násobenia je možné zvoliť rovnakým spôsobom ako v skalárnych výrazoch.
Ďalší príklad súvisiaci s násobením vektora riadkovou maticou a naopak riadku vektorom je na obr. 7. Druhý riadok tohto príkladu ukazuje, ako vyzerá vzorec, keď vyberiete zobrazenie operátora násobenia Žiadny priestor (Spolu). Rovnaký operátor násobenia však pôsobí odlišne na dva vektory .

Súvisiace informácie.

Definícia. Matica je množina čísel, ktorá tvorí obdĺžnikovú tabuľku pozostávajúcu z m riadkov a n stĺpcov

Stručne, matica je označená takto:

kde prvky tejto matice, i je číslo riadku, j je číslo stĺpca.

Ak sa počet riadkov v matici rovná počtu stĺpcov ( m = n), potom sa zavolá matica námestie n-tý poriadok a inak - pravouhlý.

Ak m= 1 a n > 1, potom dostaneme jednoriadkovú maticu

ktorá sa volá riadkový vektor , ak m>1 a n=1, potom dostaneme jednostĺpcovú maticu

ktorá sa volá stĺpcový vektor .

Nazýva sa štvorcová matica, v ktorej sú všetky prvky okrem tých na hlavnej uhlopriečke rovné nule uhlopriečka.

Diagonálna matica, ktorej hlavné diagonálne prvky sú rovné jednej, sa nazýva individuálne, označené E.

Zavolá sa matica získaná z danej matice nahradením jej riadku stĺpcom s rovnakým číslom transponované k tomuto. Uvedené.

Dve matice sú rovnaké, ak sa prvky na rovnakých miestach navzájom rovnajú, teda ak

pred všetkými i A j(v tomto prípade počet riadkov (stĺpcov) matíc A A B by malo byť rovnaké).

1°. Súčet dvoch matíc A=(a ij) A B=(b ij) s rovnakou sumou m linky a n stĺpcov sa nazýva matica C=(c ij), ktorých prvky určuje rovnosť

Súčet matíc je označený C=A+B.

Príklad.

20. Matrixový produkt A=(a ij) za číslo λ je matica, v ktorej sa každý prvok rovná súčinu zodpovedajúceho prvku matice A za číslo λ :

λA=λ (a ij)=(λa ij), (i=1,2…,m; j=1,2…,n).

Príklad.

tridsať . Matrixový produkt A=(a ij), majúce m linky a k stĺpcov na maticu B=(b ij), majúce k linky a n stĺpcov sa nazýva matica C=(c ij), majúce m linky a n stĺpce, ktorých prvok c ij rovná súčtu súčinov prvkov i riadok matice A A j stĺpec matice B, teda

V tomto prípade počet stĺpcov matice A sa musí rovnať počtu riadkov matice B. V opačnom prípade je produkt nedefinovaný. Označuje sa súčin matíc A*B=C.

Príklad.

Pre súčin matíc neplatí rovnosť medzi matricami A* B A B* A, vo všeobecnom prípade nemusí byť jeden z nich definovaný.

Vynásobením štvorcovej matice ľubovoľného rádu zodpovedajúcou maticou identity sa matica nezmení.

Príklad. Nech,, potom podľa pravidla násobenia matíc máme

,

odkiaľ sme dospeli k záveru

Determinanty a ich vlastnosti.

Nech je daná štvorcová matica tretieho rádu:

Definícia. Determinant tretieho rádu zodpovedajúci matici (1) je číslo označené symbolom

a definované rovnosťou

Aby ste si zapamätali, ktoré produkty na pravej strane rovnosti (2) sú brané so znamienkom „+“ a ktoré so znamienkom „-“, je užitočné použiť nasledujúce trojuholníkové pravidlo.

Príklad.

Sformulujme základné vlastnosti pre determinanty tretieho rádu, hoci sú vlastné determinantom akéhokoľvek rádu.

1. Hodnota determinantu sa nezmení, ak sú jeho riadky a stĺpce prehodené, t.j.

2. Preusporiadanie dvoch stĺpcov alebo dvoch riadkov determinantu sa rovná jeho vynásobeniu -1.

3. Ak má determinant dva rovnaké stĺpce alebo dva rovnaké riadky, potom sa rovná nule.

4. Vynásobenie všetkých prvkov jedného stĺpca alebo jedného riadku determinantu ľubovoľným číslom λ je ekvivalentné vynásobeniu determinantu týmto číslom λ .

5. Ak sú všetky prvky určitého stĺpca alebo niektorého riadku determinantu rovné nule, potom samotný determinant je rovný nule.

6. Ak sú prvky dvoch stĺpcov alebo dvoch riadkov determinantu úmerné, potom sa determinant rovná nule.

7. Ak každý prvok n stĺpec ( n-tý riadok) determinantu je súčet dvoch členov, potom determinant môže byť reprezentovaný ako súčet dvoch determinantov, z ktorých jeden je v n-tý stĺpec ( n-tý riadok) obsahuje prvý z uvedených výrazov a druhý - druhý; prvky na zvyšných pozíciách sú rovnaké pre všetky tri determinanty.

Napríklad,

8 0 . Ak k prvkom určitého stĺpca (riadku) determinantu pripočítame zodpovedajúce prvky iného stĺpca (riadku), vynásobené akýmkoľvek spoločným faktorom, potom sa hodnota determinantu nezmení.

Napríklad,

Menší určitého prvku determinantu sa nazýva determinant získaný z daného determinantu prečiarknutím riadku a stĺpca, v priesečníku ktorého sa tento prvok nachádza.

Napríklad vedľajší prvok A 1 kvalifikant Δ je determinantom 2. rádu

Algebraický doplnok niektorého prvku determinantu je vedľajším prvkom tohto prvku vynásobeným (-1) p, Kde R- súčet čísel riadkov a stĺpcov, na ktorých priesečníku sa tento prvok nachádza.

Ak je napr A 2 sú na priesečníku 1. stĺpca a 2. riadku, potom za to R=1+2=3 a algebraický doplnok je

9 0 . Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov ľubovoľného stĺpca alebo riadku a ich algebraických doplnkov.

100 . Súčet súčinov prvkov ktoréhokoľvek stĺpca alebo riadku determinantu algebraickými doplnkami zodpovedajúcich prvkov iného stĺpca alebo iného riadku sa rovná nule.

Vzniká otázka: je možné pre štvorcovú maticu A vyberte si nejakú maticu takú, že vynásobením matice ňou A ako výsledok získať maticu identity E Takáto matica sa nazýva inverzná matica A.

Definícia. Matica sa nazýva inverzná k štvorcovej matici A if.

Definícia. Štvorcová matica sa nazýva nesingulárna, ak je jej determinant nenulový. V opačnom prípade sa štvorcová matica nazýva singulárna.

Každá nesingulárna matica má inverznú hodnotu.

Elementárne maticové transformácie sú:

výmena dvoch paralelných radov matice;

násobenie všetkých prvkov matice číslom iným ako nula;

pridanie ku všetkým prvkom maticového radu zodpovedajúcich prvkov paralelného radu, vynásobených rovnakým číslom.

Matrix IN, získané z matrice A pomocou elementárnych transformácií je tzv ekvivalent matice.

Pre nesingulárnu štvorcovú maticu

inverzná matica tretieho rádu A-1 možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca

tu je Δ determinant matice A,A ij – algebraické sčítania prvkov a ij matice A.

Riadkový prvok matice sa nazýva extrémna , ak je nenulový a všetky prvky reťazca naľavo od neho sa rovnajú nule. Matica sa nazýva stupňovaný , ak je najvzdialenejší prvok každého riadku napravo od najvzdialenejšieho prvku predchádzajúceho riadku. Napríklad:

Nie je stupňovité; - stupňovaný.

Pridanie matice:

Odčítanie a sčítanie matíc redukuje na zodpovedajúce operácie na ich prvkoch. Operácia sčítania matice zadané len pre matice rovnakej veľkosti, t.j matice, v ktorom je počet riadkov a stĺpcov rovnaký. Súčet matíc A a B sa nazývajú matice C, ktorých prvky sa rovnajú súčtu zodpovedajúcich prvkov. C = A + B c ij = a ij + b ij Definované podobne maticový rozdiel.

Vynásobenie matice číslom:

Operácia násobenia (delenia) maticeľubovoľnej veľkosti ľubovoľným číslom sa zníži na vynásobenie (delenie) každého prvku matice pre toto číslo. Matrixový produkt A volá sa číslo k matice B, také že

b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij. Matrix- A = (-1) × A sa nazýva opak matice A.

Vlastnosti sčítania matíc a násobenia matice číslom:

Operácie sčítania matice A násobenie matice na čísle majú tieto vlastnosti: 1. A + B = B + A; 2. A+ (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5,1 x A = A; 6. a x (A + B) = aA + aB; 7. (a + p) × A = aA + pA; 8. a x (pA) = (ap) x A; , kde A, B a C sú matice, α a β sú čísla.

Násobenie matice (produkt matice):

Operácia násobenia dvoch matíc sa zadáva len pre prípad, keď počet stĺpcov prvého matice rovný počtu riadkov druhého matice. Matrixový produkt A m×n ďalej matice V n×p, tzv matice S m×p také, že s ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a v × b nk , t. j. nájde sa súčet súčinov prvkov i-tého radu matice A k zodpovedajúcim prvkom j-tého stĺpca matice B. Ak matice A a B sú štvorce rovnakej veľkosti, potom vždy existujú produkty AB a BA. Je ľahké ukázať, že A × E = E × A = A, kde A je štvorec matice, E - jednotka matice rovnakej veľkosti.

Vlastnosti násobenia matíc:

Maticové násobenie nie komutatívne, t.j. AB ≠ BA, aj keď sú definované oba produkty. Ak však pre nejaké matice je spokojný vzťah AB=BA, potom napr matice sa nazývajú komutatívne. Najtypickejším príkladom je single matice, ktorý pendluje s ktorýmkoľvek iným matice rovnakej veľkosti. Len štvorcové môžu byť permutovateľné matice rovnakého poradia. A × E = E × A = A

Maticové násobenie má nasledujúce vlastnosti: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A x (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) x C = AC + BC; 4. a x (AB) = (aA) x B; 5. A x 0 = 0; 0 x A = 0; 6. (AB) T = BTA T; 7. (ABC) T = CTVTAT; 8. (A + B) T = AT + BT;

2. Determinanty 2. a 3. rádu. Vlastnosti determinantov.

Maticový determinant druhého rádu, príp determinant druhý rád je číslo, ktoré sa vypočíta podľa vzorca:

Maticový determinant tretieho rádu, príp determinant Tretí rád je číslo, ktoré sa vypočíta podľa vzorca:

Toto číslo predstavuje algebraický súčet pozostávajúci zo šiestich členov. Každý výraz obsahuje presne jeden prvok z každého riadka a každého stĺpca matice. Každý člen pozostáva zo súčinu troch faktorov.

Znamenia s ktorými členmi determinant matice zahrnuté vo vzorci nájdenie determinantu matice tretieho rádu je možné určiť pomocou danej schémy, ktorá sa nazýva pravidlo trojuholníkov alebo Sarrusovo pravidlo. Prvé tri pojmy sa berú so znamienkom plus a určujú sa z ľavého čísla a ďalšie tri pojmy sa berú so znamienkom mínus a určujú sa z pravého čísla.

Určte počet hľadaných výrazov determinant matice, v algebraickom súčte môžete vypočítať faktoriál: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Vlastnosti maticových determinantov

Vlastnosti maticových determinantov:

Nehnuteľnosť č. 1:

Maticový determinant sa nezmení, ak sú jeho riadky nahradené stĺpcami, každý riadok stĺpcom s rovnakým číslom a naopak (Transpozícia). |A| = |A| T

Dôsledok:

Stĺpce a riadky determinant matice sú rovnaké, preto vlastnosti obsiahnuté v riadkoch platia aj pre stĺpce.

Nehnuteľnosť č. 2:

Pri zmene usporiadania 2 riadkov alebo stĺpcov maticový determinant zmení znamienko na opačné, pričom zachová absolútnu hodnotu, t.j.:

Nehnuteľnosť č. 3:

Maticový determinant mať dva rovnaké riadky sa rovná nule.

Nehnuteľnosť č. 4:

Spoločný faktor prvkov ľubovoľného radu determinant matice možno brať ako znamenie determinant.

Dôsledky z vlastností č. 3 a č. 4:

Ak sú všetky prvky určitej série (riadok alebo stĺpec) úmerné zodpovedajúcim prvkom paralelnej série, potom napr maticový determinant rovná nule.

Nehnuteľnosť č. 5:

determinant matice sa teda rovnajú nule maticový determinant rovná nule.

Nehnuteľnosť č. 6:

Ak sú všetky prvky riadka alebo stĺpca determinant prezentované ako súčet 2 termínov, teda determinant matice môže byť vyjadrený ako súčet 2 determinanty podľa vzorca:

Nehnuteľnosť č. 7:

Ak do ktoréhokoľvek riadka (alebo stĺpca) determinant potom pridajte zodpovedajúce prvky iného riadku (alebo stĺpca), vynásobte rovnakým číslom maticový determinant nezmení svoju hodnotu.

Príklad použitia vlastností na výpočet determinant matice:

Matice a determinanty

1. 1 Matrice. Koncepty.

Matica obdĺžnikovej veľkosti m X n volal súpravu mnčísla usporiadané do obdĺžnikovej tabuľky obsahujúcej m linky a n stĺpci. Maticu zapíšeme do formulára

alebo skrátené ako A = (a ij) (i = ; j = ). Čísla a ij, ktoré tvoria túto maticu, sa nazývajú jej prvky; Prvý index označuje číslo riadku, druhý - číslo stĺpca. Dve matice A = (a ij) a B = (b ij) rovnakej veľkosti sa nazývajú rovnaké, ak sú ich prvky na tých istých miestach párovo rovnaké, teda A = B, ak a ij = b ij.

Matica pozostávajúca z jedného riadka alebo jedného stĺpca sa nazýva riadkový vektor alebo stĺpcový vektor. Stĺpcové vektory a riadkové vektory sa jednoducho nazývajú vektory.

Matica pozostávajúca z jedného čísla je označená týmto číslom. Veľkosť Matrix m X n, ktorej všetky prvky sa rovnajú nule sa nazývajú nulová matica a označujú sa 0. Prvky matice s rovnakými indexmi sa nazývajú prvky hlavnej diagonály. Ak sa počet riadkov matice rovná počtu stĺpcov, tzn m = n, potom sa matica nazýva štvorec poriadku n. Štvorcové matice, v ktorých sú iba prvky hlavnej uhlopriečky nenulové, sa nazývajú diagonálne matice a zapisujú sa takto:

Ak sú všetky prvky a ii diagonálnej matice rovné 1, potom sa matica nazýva matica identity a označuje sa písmenom E:

Štvorcová matica sa nazýva trojuholníková, ak sú všetky prvky nad (alebo pod) hlavnou uhlopriečkou rovné nule. Transpozícia je transformácia matice, v ktorej sa zamieňajú riadky a stĺpce pri zachovaní ich počtu. Transpozícia je označená T v hornej časti.

Nech je daná matica (4.1). Preusporiadame riadky a stĺpce. Zoberme si matricu

ktorý bude transponovaný vzhľadom na maticu A. Najmä pri transponovaní stĺpcového vektora sa získa riadkový vektor a naopak.

Základné operácie s maticami.

Základné aritmetické operácie s maticami sú násobenie matice číslom, sčítanie a násobenie matíc.

Prejdime k definovaniu základných operácií s maticami.

Pridanie matice : Súčet dvoch matíc, napríklad: A a B, ktoré majú rovnaký počet riadkov a stĺpcov, inými slovami, rovnakého rádu m a n, sa nazýva matica C = (Сij)(i = 1, 2, …m j = 1, 2, …n) rovnakých rádov m a n, ktorých prvky Cij sú rovnaké.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1,2)

Na označenie súčtu dvoch matíc sa používa označenie C = A + B. Operácia skladania súčtu matíc sa nazýva ich sčítanie.

Takže podľa definície máme:

Z definície súčtu matíc, presnejšie zo vzorca (1.2) hneď vyplýva, že operácia sčítania matíc má rovnaké vlastnosti ako operácia sčítania reálnych čísel, a to:

1) komutatívna vlastnosť: A + B = B + A

2) kombinujúca vlastnosť: (A + B) + C = A + (B + C)

Tieto vlastnosti umožňujú nestarať sa o poradie maticových členov pri pridávaní dvoch alebo viacerých matíc.

Násobenie matice číslom :

Súčinom matice A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) reálnym číslom je matica C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n), ktorých prvky sú rovnaké

Cij = Aij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n). (1.3)

Na označenie súčinu matice a čísla sa používa označenie C = A alebo C = A. Operácia skladania súčinu matice číslom sa nazýva násobenie matice týmto číslom.

Priamo zo vzorca (1.3) je zrejmé, že vynásobenie matice číslom má tieto vlastnosti:

1) distributívna vlastnosť týkajúca sa súčtu matíc:

(A + B) = A + B

2) asociatívna vlastnosť týkajúca sa číselného faktora:

3) distributívna vlastnosť týkajúca sa súčtu čísel:

( + ) A = A + A.

komentár: Rozdiel dvoch matíc A a B rovnakých rádov, je prirodzené nazývať takú maticu C rovnakých rádov, ktorá v súčte s maticou B dáva maticu A. Na označenie rozdielu dvoch matíc sa používa prirodzený zápis: C = A – B.

Maticové násobenie :

Súčin matice A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), ktoré majú rády rovné m a n, maticou B = (Bij) (i = 1,2, ..., n;

j = 1, 2, ..., p), ktoré majú rády rovné n a p, sa nazýva matica C = (Сij) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., p) , ktoré majú rády , respektíve rovné m a p, a prvky Cij, definované vzorcom

Cij = (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., p) (1,4)

Na označenie súčinu matice A a matice B použite notáciu

C = AB. Operácia skladania súčinu matice A a matice B sa nazýva násobenie týchto matíc. Z vyššie formulovanej definície vyplýva, že maticu A nemožno násobiť každou maticou B: je potrebné, aby počet stĺpcov matice A bol rovná sa počet riadkov matice B. Na to, aby oba produkty AB aj BA boli nielen definované, ale mali aj rovnaké poradie, je potrebné a postačujúce, aby obe matice A aj B boli štvorcovými maticami rovnakého rádu.

Vzorec (1.4) je pravidlom na skladanie prvkov matice C,

ktorý je súčinom matice A a matice B. Toto pravidlo možno formulovať aj slovne: Prvok Cij nachádzajúci sa v priesečníku i-tého riadku a j-tého stĺpca matice C = AB sa rovná súčtu párových súčinov zodpovedajúcich prvkov i-tého riadku matice A a j-tého stĺpca matice B. Ako príklad aplikácie tohto pravidla uvádzame vzorec na násobenie štvorcových matíc druhého rádu.

Vzorec (1.4) naznačuje nasledujúce vlastnosti súčinu matice A a matice B:

1) zhodná vlastnosť: (AB) C = A (BC);

2) distributívna vlastnosť vzhľadom na súčet matíc:

(A + B) C = AC + BC alebo A (B + C) = AB + AC.

Otázku permutačnej vlastnosti súčinu matíc má zmysel nastoliť len pre štvorcové matice rovnakého rádu. Elementárne príklady ukazujú, že súčin dvoch štvorcových matíc rovnakého rádu vo všeobecnosti nemá komutačnú vlastnosť. V skutočnosti, ak dáme

A =, B =, potom AB = a BA =

Rovnaké matice, ktorých súčin má vlastnosť komutácie, sa zvyčajne nazývajú komutačné.

Medzi štvorcovými maticami vyzdvihujeme triedu takzvaných diagonálnych matíc, z ktorých každá má prvky umiestnené mimo hlavnej uhlopriečky rovné nule. Medzi všetkými diagonálnymi maticami so zhodnými prvkami na hlavnej diagonále hrajú dve matice obzvlášť dôležitú úlohu. Prvá z týchto matíc sa získa, keď sa všetky prvky hlavnej uhlopriečky rovnajú jednej, nazýva sa matica identity n-tého rádu a označuje sa symbolom E. Druhá matica sa získa so všetkými prvkami rovnými nule a nazýva sa nulová matica n-tého rádu a je označená symbolom O. Predpokladajme, že existuje ľubovoľná matica A, potom

AE = EA = A, AO = OA = O.

Prvý zo vzorcov charakterizuje špeciálnu úlohu matice identity E, podobnú úlohe, ktorú zohráva číslo 1 pri násobení reálnych čísel. Čo sa týka špeciálnej úlohy nulovej matice O, prezrádza ju nielen druhý zo vzorcov, ale aj elementárna overiteľná rovnosť: A + O = O + A = A. Možno zaviesť pojem nulová matica. nie pre štvorcové matice.

Hodnosť matice

Uvažujme pravouhlú maticu (4.1). Ak v tejto matici vyberieme ľubovoľne k riadkov a k stĺpce, potom prvky v priesečníku vybraných riadkov a stĺpcov tvoria štvorcovú maticu k- poradie. Determinant tejto matice sa nazýva k-tý rád matice A. Je zrejmé, že matica A má minority ľubovoľného rádu od 1 po najmenšie číslo m A n. Medzi všetkými nenulovými vedľajšími maticami matice A je aspoň jeden vedľajší, ktorého poradie je najväčšie. Najväčší z nenulových menších rádov danej matice sa nazýva poradie matice. Ak je poradie matice A r, to znamená, že matica A má nenulový menší rád r, ale každý menší rád väčší ako r sa rovná nule. Hodnotu matice A označujeme r(A). Je zrejmé, že vzťah platí

0 ≤ r(A) ≤ min (m, n).

Hodnosť matice sa zisťuje buď metódou ohraničenia maloletých, alebo metódou elementárnych transformácií. Pri výpočte poradia matice pomocou prvej metódy by ste mali prejsť od neplnoletých nižšieho rádu k neplnoletým vyššieho rádu. Ak už bolo nájdené vedľajšie D k-teho rádu matice A, odlišné od nuly, potom je potrebný výpočet len ​​(k+1) vedľajších rádov hraničiacich s vedľajším D, t.j. ktorý ho obsahuje ako maloletú. Ak sú všetky rovné nule, potom sa poradie matice rovná k.

Nasledujúce maticové transformácie sa nazývajú elementárne:

1) permutácia akýchkoľvek dvoch riadkov (alebo stĺpcov),

2) vynásobením riadka (alebo stĺpca) nenulovým číslom,

3) pridanie do jedného riadka (alebo stĺpca) ďalšieho riadka (alebo stĺpca), vynásobené určitým číslom.

Dve matice sa považujú za ekvivalentné, ak sa jedna z nich získa z druhej pomocou konečnej množiny elementárnych transformácií.

Ekvivalentné matice nie sú vo všeobecnosti rovnaké, ale ich poradie je rovnaké. Ak sú matice A a B ekvivalentné, zapíšeme to takto:

Kanonická matica je matica, ktorej začiatok

pozdĺž hlavnej uhlopriečky je niekoľko jednotiek v rade (ktorých počet

môže byť nula) a všetky ostatné prvky sú nulové,

Napríklad, .

Pomocou elementárnych transformácií riadkov a stĺpcov možno ľubovoľnú maticu zredukovať na kanonickú. Hodnosť kanonickej matice sa rovná počtu jednotiek na jej hlavnej uhlopriečke.

inverzná matica

Zvážte štvorcovú maticu

Označme Δ = det A.

Štvorcová matica A sa nazýva nesingulárna alebo nesingulárna, ak je jej determinant nenulový, a singulárna alebo špeciálna, ak Δ = 0.

Štvorcová matica B sa nazýva inverzia štvorcovej matice A rovnakého rádu, ak ich súčin A B = B A = E, kde E je matica identity rovnakého rádu ako matice A a B.

Veta. Na to, aby matica A mala inverziu, je potrebné a postačujúce, aby jej determinant bol odlišný od nuly.

Inverzná matica k matici A je označená A -1. Inverzná matica sa vypočíta pomocou vzorca

A-1 = 1/A, (4,5)

kde A ij sú algebraické doplnky prvkov a ij.

Výpočet inverznej matice pomocou vzorca (4.5) pre matice vyššieho rádu je veľmi náročný na prácu, preto je v praxi vhodné nájsť inverznú maticu pomocou metódy elementárnej transformácie (ET). Akákoľvek nesingulárna matica A môže byť zredukovaná na maticu identity E použitím iba stĺpcov (alebo iba riadkov) na maticu identity. Ak sa dokonalé transformácie nad maticou A aplikujú v rovnakom poradí na maticu identity E, výsledkom bude inverzná matica. Je vhodné vykonávať EP na maticách A a E súčasne, pričom obe matice píšte vedľa seba cez riadok. Pripomeňme ešte raz, že pri hľadaní kanonickej formy matice na zistenie jej poradia môžete použiť transformácie riadkov a stĺpcov. Ak potrebujete nájsť inverznú hodnotu matice, mali by ste počas procesu transformácie použiť iba riadky alebo iba stĺpce.

2. Determinanty

Pre každú štvorcovú maticu je definované číslo, ktoré sa nazýva determinant matice, determinant matice alebo jednoducho determinant.

Definícia. Determinant štvorcovej matice prvého rádu je číslo rovné jedinému prvku tejto matice: A=(a), detA=|A|=a.

Nech A je ľubovoľná štvorcová matica rádu n, n>1:

Definícia Determinant n-tého rádu (determinant štvorcovej matice n-tého rádu n), n>1, je číslo rovné

kde je determinant štvorcovej matice získaný z matice A prečiarknutím prvého riadku a j-tého stĺpca.

Pre determinanty 2. a 3. rádu je ľahké získať jednoduché výrazy prostredníctvom prvkov matice.

determinant 2. poriadku:

determinant 3. poriadku:

2.1. Vedľajší a algebraický doplnok prvku

Definícia. Menší prvok maticového prvku je determinant matice získaný vymazaním riadku a stĺpca, v ktorom sa prvok nachádza. Označujeme: vedľajší prvok a ij - .

Definícia. Algebraický doplnok prvku matice je jeho vedľajší, vynásobený -1 na mocninu rovnajúcu sa súčtu čísel riadkov a stĺpcov, v ktorých sa prvok nachádza. Označujeme: algebraický doplnok prvku a ij - .

Môžeme teda preformulovať definíciu determinantu n-tého rádu:

determinant n-tého rádu, n>1, sa rovná súčtu súčinov prvkov prvého riadku a ich algebraických doplnkov.

Príklad.

Veta o výpočte determinantu expanziou cez ľubovoľný riadok

Veta. Determinant n-tého rádu, n>1, sa rovná súčtu súčinov prvkov ľubovoľného riadku (stĺpca) ich algebraických doplnkov.

Príklad. Vypočítajme determinant z predchádzajúceho príkladu rozšírením pozdĺž druhého riadku:

Dôsledok. Determinant trojuholníkovej matice sa rovná súčinu diagonálnych prvkov. (Dokážte to sami).