Lekcia a prezentácia na tému: "Vlastnosti funkcie. Zvyšujúce a klesajúce funkcie"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Vzdelávacie pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 9. ročník
Interaktívna učebnica pre ročník 9 "Pravidlá a cvičenia z geometrie"
Elektronická učebnica "Pochopiteľná geometria" pre ročníky 7-9

Chlapci, pokračujeme v štúdiu číselných funkcií. Dnes sa zameriame na tému, akou sú vlastnosti funkcií. Funkcie majú veľa vlastností. Pamätajte si, aké vlastnosti sme nedávno študovali. Presne tak, doména definície a doména hodnôt, to sú jedna z kľúčových vlastností. Nikdy na ne nezabúdajte a pamätajte, že funkcia má tieto vlastnosti vždy.

V tejto časti definujeme niektoré vlastnosti funkcií. Odporúčam pri riešení problémov dodržiavať poradie, v akom ich budeme určovať.

Zvyšovanie a znižovanie funkcie

Prvá vlastnosť, ktorú si zadefinujeme, je rastúca a klesajúca funkcia.

Hovorí sa, že funkcia je rastúca na množine X⊂D(f), ak pre ľubovoľné x1 a x2 tak, že x1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
O funkcii hovoríme, že je klesajúca na množine X⊂D(f), ak pre ľubovoľné x1 a x2 tak, že x1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). To znamená, že väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

Pojmy „zvýšenie“ a „zníženie“ funkcie sú veľmi ľahko pochopiteľné, ak sa pozorne pozriete na grafy funkcie. Pre zvyšujúcu sa funkciu: zdá sa, že ideme do kopca, pre klesajúcu funkciu podľa toho klesáme. Celkový pohľad na rastúce a klesajúce funkcie je uvedený v grafoch nižšie.

Zvyšovanie a znižovanie funkcií sa všeobecne nazýva monotónnosť. To znamená, že našou úlohou je nájsť intervaly poklesu a nárastu funkcie. Vo všeobecnom prípade je to formulované takto: nájdite intervaly monotónnosti alebo preskúmajte funkciu monotónnosti.

Preskúmajte monotónnosť funkcie $y=3x+2$.
Riešenie: Skontrolujeme funkciu pre ľubovoľné x1 a x2 a necháme x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Vzhľadom k tomu, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Obmedzená funkcia

O funkcii $y=f(x)$ sa hovorí, že je zdola ohraničená na množine X⊂D(f), ak existuje číslo a také, že pre každé хϵХ platí nerovnosť f(x)< a.

O funkcii $y=f(x)$ sa hovorí, že je zhora ohraničená na množine X⊂D(f), ak existuje číslo a, že pre ľubovoľné хϵХ platí nerovnosť f(x)< a.

Ak interval X nie je špecifikovaný, potom sa funkcia považuje za obmedzenú v celej oblasti definície. Funkcia, ktorá je ohraničená nad aj pod, sa nazýva ohraničená.

Obmedzenie funkcie je ľahko čitateľné z grafu. Je možné nakresliť nejakú priamku
$у=а$, a ak je funkcia vyššia ako tento riadok, potom je ohraničená zdola. Ak nižšie, potom podľa toho vyššie. Nižšie je uvedený graf funkcie ohraničenej nižšie. Chlapci, skúste si sami nakresliť graf obmedzenej funkcie.

Preskúmajte ohraničenosť funkcie $y=\sqrt(16-x^2)$.
Riešenie: Druhá odmocnina určitého čísla je väčšia alebo rovná nule. Je zrejmé, že naša funkcia je tiež väčšia alebo rovná nule, teda ohraničená zdola.
Odmocninu môžeme extrahovať iba z nezáporného čísla, potom $16-x^2≥0$.
Riešením našej nerovnosti bude interval [-4;4]. Na tomto segmente $16-x^2≤16$ alebo $\sqrt(16-x^2)≤4$, ale to znamená ohraničené zhora.
Odpoveď: naša funkcia je obmedzená na dve rovné čiary $y=0$ a $y=4$.

Najvyššia a najnižšia hodnota

Najmenšia hodnota funkcie y= f(x) na množine X⊂D(f) je nejaké číslo m také, že:

b) Pre každé хϵХ platí $f(x)≥f(x0)$.

Najväčšia hodnota funkcie y=f(x) na množine X⊂D(f) je nejaké číslo m také, že:
a) Existuje nejaké x0 také, že $f(x0)=m$.
b) Pre každé хϵХ platí $f(x)≤f(x0)$.

Najväčšie a najmenšie hodnoty sú zvyčajne označené y max. a y meno .

Pojmy ohraničenosť a najväčšia s najmenšou hodnotou funkcie spolu úzko súvisia. Nasledujúce tvrdenia sú pravdivé:
a) Ak existuje minimálna hodnota funkcie, potom je ohraničená nižšie.
b) Ak má funkcia najväčšiu hodnotu, potom je ohraničená vyššie.
c) Ak funkcia nie je ohraničená vyššie, potom najväčšia hodnota neexistuje.
d) Ak funkcia nie je ohraničená nižšie, potom najmenšia hodnota neexistuje.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Riešenie: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5 $.
Pre $х=4$ $f(4)=5$, pre všetky ostatné hodnoty má funkcia menšie hodnoty alebo neexistuje, to znamená, že toto je najväčšia hodnota funkcie.
Podľa definície: 9-4x^2+16x≥0$. Nájdite korene kvadratického trinomu $(2x+1)(2x-9)≥0$. Pri $x=-0,5$ a $x=4,5$ funkcia zmizne, vo všetkých ostatných bodoch je väčšia ako nula. Potom sa podľa definície najmenšia hodnota funkcie rovná nule.
Odpoveď: y max. =5 a y meno. =0.

Chlapci, tiež sme študovali koncept konvexnosti funkcie. Pri riešení niektorých problémov môžeme túto vlastnosť potrebovať. Táto vlastnosť sa dá ľahko určiť aj pomocou grafov.

Funkcia je konvexná smerom nadol, ak sú akékoľvek dva body na grafe pôvodnej funkcie spojené a graf funkcie je pod čiarou spájania bodov.

Funkcia je konvexná smerom nahor, ak sú akékoľvek dva body na grafe pôvodnej funkcie spojené a graf funkcie je nad spojnicou bodov.

Funkcia je spojitá, ak graf našej funkcie nemá žiadne zlomy, napríklad ako graf funkcie vyššie.

Ak potrebujete nájsť vlastnosti funkcie, postupnosť vyhľadávania vlastností je nasledovná:
a) Oblasť definície.
b) Monotónnosť.
c) Obmedzenie.
d) Najväčšia a najmenšia hodnota.
d) Kontinuita.
e) Rozsah hodnôt.

Nájdite vlastnosti funkcie $y=-2x+5$.
Riešenie.
a) Definičná oblasť D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotónnosť. Skontrolujeme akékoľvek hodnoty x1 a x2 a necháme x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Od x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) Obmedzenie. Funkcia samozrejme nie je obmedzená.
d) Najväčšia a najmenšia hodnota. Keďže funkcia je neobmedzená, neexistuje žiadna maximálna ani minimálna hodnota.
d) Kontinuita. Graf našej funkcie nemá žiadne zlomy, potom je funkcia spojitá.
e) Rozsah hodnôt. E(y)=(-∞;+∞).

Úlohy o vlastnostiach funkcie na nezávislé riešenie

Nájdite vlastnosti funkcie:
a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.

Funkciu y=f(x) HORNÉ (DNO) budeme volať na množine A z definičného oboru D(f), ak také číslo existuje. M , že pre ľubovoľné x z tejto množiny je podmienka splnená

Pomocou logických symbolov možno definíciu zapísať takto:

f(x) – ohraničené vyššie na scéne

(f(x) – ohraničené zospodu na scéne

Do úvahy sa berú aj funkcie s obmedzeným modulom alebo jednoducho obmedzené.

Funkciu BOUNDED na množine A zavoláme z definičného oboru, ak existuje kladné číslo M také, že

V jazyku logických symbolov

f(x) – obmedzené na súprave

Funkcia, ktorá nie je ohraničená, sa nazýva neohraničená. Vieme, že definície dané negáciou majú malý obsah. Na formulovanie tohto tvrdenia ako definície používame vlastnosti kvantifikátorových operácií (3.6) a (3.7). Potom negovanie ohraničenosti funkcie v jazyku logických symbolov poskytne:

f(x) – obmedzené na súprave

Získaný výsledok nám umožňuje sformulovať nasledujúcu definíciu.

Funkcia sa nazýva NEOBMEDZENÁ na množine A patriacej do definičného oboru funkcie, ak na tejto množine pre ľubovoľné kladné číslo M existuje taká hodnota argumentu x , že hodnota bude stále prevyšovať hodnotu M, tzn.

Ako príklad zvážte funkciu

Je definovaný na celej reálnej osi. Ak vezmeme segment [–2;1] (množina A), bude na ňom ohraničený nad aj pod.

V skutočnosti, aby sme ukázali, že je ohraničený zhora, musíme zvážiť predikát

a ukážte, že existuje (existuje) také M, že pre všetky x prijaté na intervale [–2;1] bude platiť

Nájsť také M nie je ťažké. Môžeme predpokladať, že M = 7, kvantifikátor existencie zahŕňa nájdenie aspoň jednej hodnoty M. Prítomnosť takéhoto M potvrdzuje skutočnosť, že funkcia na intervale [–2;1] je zhora ohraničená.

Aby sme dokázali, že je ohraničený zdola, musíme zvážiť predikát

Hodnota M, ktorá zabezpečuje pravdivosť daného predikátu, je napríklad M = –100.

Dá sa dokázať, že funkcia bude obmedzená aj modulom: pre všetky x zo segmentu [–2;1] sa hodnoty funkcie zhodujú s hodnotami , takže ako M môžeme brať napr. napríklad predchádzajúca hodnota M = 7.

Ukážme, že tá istá funkcia, ale na intervale, bude neobmedzená, tzn

Ak chcete ukázať, že takéto x existuje, zvážte tento výrok

Keď hľadáme požadované hodnoty x medzi kladnými hodnotami argumentu, dostaneme

To znamená, že bez ohľadu na to, aké kladné M vezmeme, hodnoty x zabezpečujú splnenie nerovnosti

sa získajú zo vzťahu .

Uvažovaním funkcie na celej reálnej osi možno ukázať, že je neobmedzená v absolútnej hodnote.

Naozaj, z nerovnosti

To znamená, že bez ohľadu na to, aké veľké je kladné M, alebo zabezpečí splnenie nerovnosti .

EXTRÉMNA FUNKCIA.

Funkcia má v bode s miestne maximum (minimum), ak existuje také okolie tohto bodu, že pre X¹ s z tohto susedstva platí nerovnosť

najmä, že extrémny bod môže byť iba vnútorným bodom intervalu a f(x) v ňom musí byť nevyhnutne definované. Možné prípady absencie extrému sú znázornené na obr. 8.8.

Ak sa funkcia v určitom intervale zvyšuje (klesá) a v určitom intervale klesá (zvyšuje sa), potom bod s je lokálny maximálny (minimálny) bod.

Absencia maxima funkcie f(x) v bode s možno formulovať takto:

_______________________

f(x) má maximum v bode c

To znamená, že ak bod c nie je lokálnym maximálnym bodom, potom bez ohľadu na okolie, ktoré zahŕňa bod c ako interný, bude existovať aspoň jedna hodnota x nerovná c, pre ktorú . Ak teda v bode c neexistuje maximum, potom v tomto bode nemusí byť extrém vôbec, alebo to môže byť minimálny bod (obr. 8.9).

Koncept extrému poskytuje porovnávacie hodnotenie hodnoty funkcie v akomkoľvek bode vo vzťahu k blízkym. Podobné porovnanie funkčných hodnôt je možné vykonať pre všetky body určitého intervalu.

MAXIMÁLNA (NAJMENŠIA) hodnota funkcie v množine je jej hodnota v bode z tejto množiny tak, že – v . Najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne vo vnútornom bode segmentu a najmenšia – na jeho ľavom konci.

Na určenie najväčšej (najmenšej) hodnoty funkcie špecifikovanej v intervale je potrebné vybrať najväčšie (najmenšie) číslo spomedzi všetkých hodnôt jej maxím (minimál), ako aj z akceptovaných hodnôt. na koncoch intervalu. Toto bude najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie. Toto pravidlo bude upresnené neskôr.

Problém hľadania najväčších a najmenších hodnôt funkcie na otvorenom intervale nie je vždy ľahké vyriešiť. Napríklad funkcia

v intervale (obr. 8.11) ich nemá.

Uistime sa napríklad, že táto funkcia nemá najväčší význam. V skutočnosti, berúc do úvahy monotónnosť funkcie, možno tvrdiť, že bez ohľadu na to, ako blízko nastavíme hodnoty x naľavo od jednoty, bude existovať ďalšie x, v ktorom budú hodnoty funkcie byť väčšie ako jeho hodnoty v daných pevných bodoch, ale stále menšie ako jedna.

Veta o limite monotónnej funkcie. Dôkaz vety sa podáva dvoma spôsobmi. Uvádzajú sa aj definície prísne rastúcich, neklesajúcich, prísne klesajúcich a nezvyšujúcich sa funkcií. Definícia monotónnej funkcie.

Obsah

Funkcia nie je zhora obmedzená

1.1. Nech je číslo b konečné: .
1.1.2. Nech funkcia nie je ohraničená vyššie.

.

v .

Označme . Potom pre každého, kto tam je, tak
v .
To znamená, že limit vľavo v bode b sa rovná (pozri "Definície jednostranných nekonečných limitov funkcie v koncovom bode").

b skoré plus nekonečno

Funkcia je obmedzená zhora

1. Nech funkcia na intervale neklesá.
1.2.1. Nech je funkcia zhora ohraničená číslom M: pre .
Dokážme, že v tomto prípade existuje limit.

Keďže funkcia je ohraničená vyššie, existuje konečné supremum
.
Podľa definície presnej hornej hranice sú splnené tieto podmienky:
;
pre každé pozitívum existuje argument, pre ktorý
.

Keďže funkcia neklesá, tak keď . Potom o . Alebo
v .

Takže sme zistili, že pre každého existuje číslo, takže
v .
"Definície jednostranných limitov v nekonečne").

Funkcia nie je zhora obmedzená

1. Nech funkcia na intervale neklesá.
1.2. Nech sa číslo b rovná plus nekonečnu: .
1.2.2. Nech funkcia nie je ohraničená vyššie.
Dokážme, že v tomto prípade existuje limit.

Keďže funkcia nie je ohraničená vyššie, potom pre ľubovoľné číslo M existuje argument, pre ktorý
.

Keďže funkcia neklesá, tak keď . Potom o .

Takže pre každého existuje číslo, takže
v .
To znamená, že limit at sa rovná (pozri. "Definície jednostranných nekonečných limitov v nekonečne").

Funkcia sa nezvyšuje

Teraz zvážte prípad, keď sa funkcia nezvýši. Ako je uvedené vyššie, môžete zvážiť každú možnosť samostatne. Ale hneď ich zakryjeme. Na to používame. Dokážme, že v tomto prípade existuje limit.

Uvažujme konečné infimum množiny funkčných hodnôt:
.
Tu B môže byť buď konečné číslo, alebo bod v nekonečne. Podľa definície presnej dolnej hranice sú splnené tieto podmienky:
;
pre akékoľvek okolie bodu B existuje argument, pre ktorý
.
Podľa podmienok vety, . Preto .

Keďže funkcia sa nezvýši, tak keď . Odvtedy
v .
Alebo
v .
Ďalej si všimneme, že nerovnosť definuje ľavé prepichnuté okolie bodu b.

Zistili sme teda, že pre každé okolie bodu existuje prepichnuté ľavé okolie bodu b také, že
v .
To znamená, že limit vľavo v bode b je:

(cm. univerzálna definícia limity funkcie podľa Cauchyho).

Limit v bode a

Teraz si ukážeme, že v bode a je limita a zistíme jej hodnotu.

Zoberme si funkciu. Podľa podmienok vety je funkcia monotónna pre . Nahraďme premennú x za - x (alebo urobme substitúciu a potom nahraďme premennú t za x ). Potom je funkcia monotónna pre . Násobenie nerovností podľa -1 a zmenou ich poradia dospejeme k záveru, že funkcia je monotónna pre .

Podobným spôsobom sa dá ľahko ukázať, že ak neklesá, tak nerastie. Potom, podľa toho, čo bolo dokázané vyššie, existuje hranica
.
Ak sa nezvýši, nezníži sa. V tomto prípade existuje limit
.

Teraz zostáva ukázať, že ak existuje limita funkcie v , potom existuje limita funkcie v , a tieto limity sú rovnaké:
.

Predstavme si notáciu:
(1) .
Vyjadrime f pomocou g:
.
Zoberme si ľubovoľné kladné číslo. Nech existuje epsilonové okolie bodu A. Okolie epsilon je definované pre konečné aj nekonečné hodnoty A (pozri "Okolie bodu"). Keďže existuje limita (1), potom podľa definície limity pre každú existuje taká, že
v .

Nech a je konečné číslo. Vyjadrime sa ľavé prepichnuté okolie bodu-a pomocou nerovností:
v .
Nahradme x za -x a vezmime do úvahy, že:
v .
Posledné dve nerovnosti určujú prepichnuté pravé okolie bodu a. Potom
v .

Nech a je nekonečné číslo, . Zopakujeme odôvodnenie.
v ;
v ;
v ;
v .

Takže sme zistili, že pre každého existuje niečo také
v .
Znamená to, že
.

Veta bola dokázaná.

Pozri tiež:

1) Funkčná oblasť a funkčný rozsah.

Doména funkcie je množina všetkých platných hodnôt argumentov X(premenná X), pre ktoré je funkcia y = f(x) určený. Rozsah funkcie je množina všetkých reálnych hodnôt r, ktoré funkcia akceptuje.

V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel.

2) Funkčné nuly.

Funkcia nula je hodnota argumentu, pri ktorej sa hodnota funkcie rovná nule.

3) Intervaly konštantného znamienka funkcie.

Intervaly konštantného znamienka funkcie sú množiny hodnôt argumentov, v ktorých sú hodnoty funkcie iba kladné alebo záporné.

4) Monotónnosť funkcie.

Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.

Klesajúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšej hodnote argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšia hodnota funkcie.

5) Párna (nepárna) funkcia.

Párna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = f(x). Graf párnej funkcie je symetrický podľa ordináty.

Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície platí rovnosť f(-x) = - f(x). Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

6) Obmedzené a neobmedzené funkcie.

Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že |f(x)| ≤ M pre všetky hodnoty x. Ak takéto číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.

7) Periodicita funkcie.

Funkcia f(x) je periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z definičného oboru funkcie platí: f(x+T) = f(x). Toto najmenšie číslo sa nazýva perióda funkcie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické. (trigonometrické vzorce).

19. Základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy. Aplikácia funkcií v ekonomike.

Základné elementárne funkcie. Ich vlastnosti a grafy

1. Lineárna funkcia.

Lineárna funkcia sa nazýva funkcia tvaru , kde x je premenná, a a b sú reálne čísla.

číslo A nazývaná sklon priamky, rovná sa dotyčnici uhla sklonu tejto priamky ku kladnému smeru osi x. Graf lineárnej funkcie je priamka. Je definovaný dvoma bodmi.

Vlastnosti lineárnej funkcie

1. Definičný obor - množina všetkých reálnych čísel: D(y)=R

2. Množina hodnôt je množina všetkých reálnych čísel: E(y)=R

3. Funkcia nadobúda nulovú hodnotu, keď alebo.

4. Funkcia rastie (klesá) v celom definičnom obore.

5. Lineárna funkcia je spojitá v celom definičnom obore, diferencovateľná a .

2. Kvadratická funkcia.

Volá sa funkcia tvaru, kde x je premenná, koeficienty a, b, c sú reálne čísla kvadratický

Odds a, b, c určiť umiestnenie grafu na súradnicovej rovine

Koeficient a určuje smer vetiev. Graf kvadratickej funkcie je parabola. Súradnice vrcholu paraboly sa nachádzajú pomocou vzorcov:

Vlastnosti funkcie:

2. Súbor hodnôt pre jeden z intervalov: alebo.

3. Funkcia nadobúda nulové hodnoty, keď , kde sa diskriminant vypočíta podľa vzorca:.

4. Funkcia je spojitá cez celý definičný obor a derivácia funkcie sa rovná .