Pojem funkcie mnohých premenných

Nech je n-premenných a každému x 1, x 2 ... x n z určitej množiny x je priradená definícia. číslo Z, potom je na množine x daná funkcia Z = f (x 1, x 2 ... x n) mnohých premenných.

X - oblasť definície funkcie

x 1, x 2 ... x n – nezávislá premenná (argumenty)

Z – funkcia Príklad: Z=P x 2 1 *x 2 (Objem valca)

Uvažujme Z=f(x;y) – funkciu 2 premenných (x 1, x 2 nahradené x,y). Výsledky sa analogicky prenášajú na iné funkcie mnohých premenných. Oblasťou na určenie funkcie 2 premenných je celá šnúra (oh) alebo jej časť. Počet hodnôt funkcie 2 premenných je plocha v 3-rozmernom priestore.

Techniky vytvárania grafov: - Uvažujme prierez plochy v štvorcoch || súradnicové štvorce.

Príklad: x = x 0, zn. štvorec X || 0уz y = y 0 0хz Typ funkcie: Z=f(x 0 ,y); Z=f(x,y 0)

Napríklad: Z=x2 +y2-2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Parabola surround (stred (0,1)

Limity a spojitosť funkcií dvoch premenných

Nech je dané Z=f(x;y), potom A je limita funkcie v t.(x 0 ,y 0), ak pre ľubovoľne malú množinu. číslo E>0 je kladné číslo b>0, ktoré pre všetky x, y spĺňa |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z=f(x;y) je spojité v t (x 0, y 0), ak: - je definované v tomto t; - má finále limit v x, smerujúci k x 0 a y k y 0; - táto hranica = hodnota

funkcie v t (x 0 ,y 0), t.j. limf(x;y)=f(x 0, y 0)

Ak je funkcia spojitá v každom t.mn-va X, potom je v tejto oblasti súvislá

Diferenciálna funkcia, jej geomový význam. Aplikácia diferenciálu v približných hodnotách.

dy=f’(x)∆x – diferenciálna funkcia

dy=dx, t.j. dy=f '(x)dx, ak y=x

Z geologického hľadiska je diferenciál funkcie prírastok súradnice dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v bode s os x 0.

Dif-l sa používa pri výpočte cca. hodnoty funkcie podľa vzorca: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Čím bližšie je ∆x k x, tým je výsledok presnejší

Parciálne derivácie prvého a druhého rádu

Derivát prvého rádu (ktorý sa nazýva čiastočný)

A. Nech x, y sú prírastky nezávislých premenných x a y v určitom bode z oblasti X. Potom hodnota rovnajúca sa z = f(x+ x, y+ y) = f(x,y) sa nazýva súčet prírastok v bode x 0, y 0. Ak premennú x zafixujeme a premennej y dáme prírastok y, dostaneme zу = f(x,y,+ y) – f(x,y)

Parciálna derivácia premennej y sa určuje obdobne, t.j.

Parciálna derivácia funkcie 2 premenných sa zistí pomocou rovnakých pravidiel ako pre funkcie jednej premennej.

Rozdiel je v tom, že pri derivácii funkcie vzhľadom na premennú x sa y považuje za konšt. a pri derivácii vzhľadom na y, x sa považuje za konšt.

Izolované konštanty sú spojené s funkciou pomocou operácií sčítania/odčítania.

Viazané konšty sú spojené s funkciou operáciami násobenia/delenia.

Derivát izolovanej konšt = 0

1.4.Kompletná diferenciálna funkcia 2 premenných a jej aplikácie

Nech z = f(x,y), potom

tz = - nazývaný plný prírastok

Parciálna derivácia 2. rádu

Pre spojité funkcie 2 premenných sa zmiešané parciálne derivácie 2. rádu zhodujú.

Aplikácia parciálnych derivácií na určenie parciálnych derivácií max a min funkcií sa nazýva extrémy.

A. Body sa nazývajú max alebo min z = f(x,y), ak existujú také segmenty, že pre všetky x a y z tohto okolia f(x,y)

T. Ak je daný extrémny bod funkcie 2 premenných, potom je hodnota parciálnych derivácií v tomto bode rovná 0, t.j. ,

Body, v ktorých parciálne derivácie prvého rádu sa nazývajú stacionárne alebo kritické.

Preto sa na nájdenie extrémnych bodov funkcie 2 premenných používajú dostatočné extrémne podmienky.

Nech je funkcia z = f(x,y) dvakrát diferencovateľná a stacionárny bod,

1) a maxA<0, minA>0.

1.4.(*)Úplný diferenciál. Geometrický význam diferenciálu. Aplikácia diferenciálu v približných výpočtoch

A. Nech je funkcia y = f(x) definovaná v určitom okolí v bodoch. O funkcii f(x) sa hovorí, že je diferencovateľná v bode, ak je jej prírastok v tomto bode , kde sa uvádza vo forme (1)

Kde A je konštantná hodnota nezávislá od , v pevnom bode x a je nekonečne malá v . Relatívne lineárna funkcia A sa nazýva diferenciál funkcie f(x) v bode a označuje sa df() alebo dy.

Teda výraz (1) možno písať ako ().

Diferenciál funkcie vo výraze (1) má tvar dy = A. Ako každá lineárna funkcia je definovaná pre akúkoľvek hodnotu pričom prírastok funkcie treba uvažovať len pri tých, pre ktoré + patrí do definičného oboru funkcie f(x).

Pre zjednodušenie zápisu diferenciálu je prírastok označený dx a nazýva sa diferenciál nezávislej premennej x. Preto sa diferenciál zapíše ako dy = Adx.

Ak je funkcia f(x) diferencovateľná v každom bode určitého intervalu, potom jej diferenciál je funkciou dvoch premenných - bodu x a premennej dx:

T. Aby bola funkcia y = g(x) v určitom bode diferencovateľná, je potrebné a postačujúce, aby v tomto bode mala deriváciu a

(*) Dôkaz. Nevyhnutnosť.

Nech je funkcia f(x) v bode diferencovateľná, t.j. . Potom

Preto existuje derivácia f’() a rovná sa A. Preto dy = f’()dx

Primeranosť.

Nech existuje derivácia f’(), t.j. = f'(). Potom krivka y = f(x) je dotyčnicový segment. Ak chcete vypočítať hodnotu funkcie v bode x, zoberte bod v nejakom jej susedstve, takže nie je ťažké nájsť f() a f’()/

Definícia. Parciálne derivácie funkcie druhého rádu sú parciálne derivácie jej parciálnych derivácií prvého poriadku.

Zápis parciálnych derivátov druhého rádu:

Pre praktické príklady platí nasledujúca rovnosť:

Prostredníctvom zmiešaných derivácií druhého rádu je teda veľmi vhodné kontrolovať správnosť nájdenia parciálnych derivácií prvého rádu.

Príklady.

A) Nájdite parciálne derivácie druhého rádu funkcie

Riešenie.

1. Počítame premennú r

2. Výslednú funkciu opäť diferencujme vzhľadom na „x“, t.j. Nájdite druhú deriváciu vzhľadom na „x“:

3. Počítame premennú X konštanta, aplikujeme pravidlo pre derivovanie súčtu, pravidlo pre umiestnenie konštantného faktora mimo znamienka derivácie a tabuľkovú deriváciu mocninnej funkcie:

4. Výslednú funkciu ešte raz diferencujme vzhľadom na „y“, t.j. Nájdite druhú deriváciu vzhľadom na „y“:

5. Nájdite zmiešanú deriváciu „x by y“. Aby sme to dosiahli, diferencujeme prvú deriváciu vzhľadom na „x“ vzhľadom na „y“.

5. Nájdite zmiešanú deriváciu „y vzhľadom na x“. Aby sme to dosiahli, diferencujeme prvú deriváciu vzhľadom na „y“ vzhľadom na „x“.

b) Nájdite parciálne derivácie prvého rádu funkcie Skontrolujte, či Napíšte celkový diferenciál prvého rádu dz.

Riešenie.

1. Nájdite parciálne derivácie prvého rádu pomocou pravidiel na výpočet derivácie súčinu, súčtu, umiestnenia konštantného faktora mimo znamienka derivácie a tabuľkových integrálov goniometrických funkcií:

2. Nájdite zmiešané deriváty druhého rádu:

3. Urobme úplný diferenciál prvého rádu:

V) Ukážte, že táto funkcia spĺňa rovnicu

Riešenie.

1. Nájdite parciálnu deriváciu danej funkcie vzhľadom na „x“:

2. Výsledný výraz vynásobte x 2 :

3. Z výslednej funkcie nájdeme parciálnu deriváciu vzhľadom na „x“:

4. Nájdite parciálnu deriváciu danej funkcie vzhľadom na „y“:

5. Vypočítajme druhú deriváciu vzhľadom na „y“:

6. Výslednú funkciu vynásobte o 2 :

7. Od výsledku získaného v kroku 5 odčítajte výsledok z kroku 6:

To bolo potrebné ukázať.

Súvisiace informácie:

1. V3: ((101)) 07/04/14. Lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi (všeobecné riešenie)

Nech je daná funkcia dvoch premenných. Dajme argumentu prírastok a argument ponechajme nezmenený. Potom funkcia dostane prírastok, ktorý sa nazýva čiastočný prírastok podľa premennej a označuje sa:

Podobne, opravou argumentu a zvýšením argumentu získame čiastočný prírastok funkcie podľa premennej:

Množstvo sa nazýva celkový prírastok funkcie v bode.

Definícia 4. Parciálna derivácia funkcie dvoch premenných vzhľadom na jednu z týchto premenných je hranica pomeru zodpovedajúceho čiastočného prírastku funkcie k prírastku danej premennej, keď táto má tendenciu k nule (ak táto hranica existuje). Čiastočná derivácia sa označuje takto: alebo, alebo.

Podľa definície teda máme:

Parciálne derivácie funkcií sa počítajú podľa rovnakých pravidiel a vzorcov ako funkcia jednej premennej, pričom sa berie do úvahy, že pri diferenciácii vzhľadom na premennú sa považuje za konštantnú a pri diferenciácii vzhľadom na premennú sa považuje za konštantnú. .

Príklad 3. Nájdite parciálne derivácie funkcií:

Riešenie. a) Aby sme to našli, považujeme to za konštantnú hodnotu a diferencujeme ju ako funkciu jednej premennej:

Podobne, za predpokladu konštantnej hodnoty, zistíme:

Definícia 5. Totálny diferenciál funkcie je súčet súčinov parciálnych derivácií tejto funkcie o prírastky zodpovedajúcich nezávislých premenných, t.j.

Vzhľadom na to, že diferenciály nezávislých premenných sa zhodujú s ich prírastkami, t.j. , vzorec pre celkový diferenciál možno zapísať ako

Príklad 4. Nájdite úplný diferenciál funkcie.

Riešenie. Keďže pomocou totálneho diferenciálneho vzorca nájdeme

Parciálne deriváty vyššieho rádu

Parciálne deriváty sa nazývajú parciálne derivácie prvého rádu alebo prvé parciálne derivácie.

Definícia 6. Parciálne derivácie funkcie druhého rádu sú parciálne derivácie parciálnych derivácií prvého poriadku.

Existujú štyri parciálne derivácie druhého rádu. Označujú sa takto:

Parciálne deriváty 3., 4. a vyšších rádov sú definované podobne. Napríklad pre funkciu máme:

Parciálne derivácie druhého alebo vyššieho rádu, brané s ohľadom na rôzne premenné, sa nazývajú zmiešané parciálne derivácie. Pre funkciu sú to derivácie. Všimnite si, že v prípade, keď sú zmiešané derivácie spojité, potom platí rovnosť.

Príklad 5. Nájdite parciálne derivácie druhého rádu funkcie

Riešenie. Parciálne derivácie prvého rádu pre túto funkciu nájdete v príklade 3:

Diferencovaním vzhľadom na premenné x a y dostaneme

Definícia 1.11 Nech je daná funkcia dvoch premenných z=z(x,y), (x,y)D . Bodka M 0 (X 0 ;y 0 ) - vnútorný bod oblasti D .

Ak v D existuje taká štvrť U.M. 0 bodov M 0 , čo pre všetky body

potom bod M 0 sa nazýva lokálny maximálny bod. A samotný význam z(M 0 ) - miestne maximum.

A ak za všetky body

potom bod M 0 sa nazýva lokálny minimálny bod funkcie z(x,y) . A samotný význam z(M 0 ) - miestne minimum.

Lokálne maximum a lokálne minimum sa nazývajú lokálne extrémy funkcie z(x,y) . Na obr. 1.4 vysvetľuje geometrický význam lokálneho maxima: M 0 - maximálny bod, keďže na povrchu z =z (x,y) jej zodpovedajúci bod C 0 je vyšší ako ktorýkoľvek susedný bod C (toto je lokalita maxima).

Všimnite si, že na povrchu sú vo všeobecnosti body (napr. IN ), ktoré sa nachádzajú vyššie C 0 , ale tieto body (napr. IN ) nie sú do bodky „susedné“. C 0 .

Najmä bod IN zodpovedá konceptu globálneho maxima:

Globálne minimum je definované podobne:

Hľadanie globálnych maxím a miním bude diskutované v časti 1.10.

Veta 1.3(nevyhnutné podmienky pre extrém).

Nech je funkcia daná z = z (x, y), (x, y) D . Bodka M 0 (X 0 ;y 0 D - lokálny extrémny bod.

Ak v tomto bode existujú z" X A z" r , To

Geometrický dôkaz je "zrejmý". Ak v bode C 0 nakreslite dotykovú rovinu (obr. 1.4), potom bude „prirodzene“ prechádzať horizontálne, t.j. pod uhlom 0° do osi Oh a na os OU .

Potom v súlade s geometrickým významom parciálnych derivácií (obr. 1.3):

čo bolo potrebné dokázať.

Definícia 1.12.

Ak v bode M 0 sú splnené podmienky (1.41), potom sa nazýva stacionárny bod funkcie z(x,y) .

Veta 1.4(dostatočné podmienky pre extrém).

Nech je to dané z = z (x, y), (x, y) D , ktorý má v niektorom okolí bodu parciálne derivácie druhého rádu M 0 (X 0 ,y 0 )D . Navyše M 0 - stacionárny bod (t. j. potrebné podmienky (1.41) sú splnené). Poďme počítať:

Dôkaz vety využíva témy (Taylorov vzorec pre funkcie viacerých premenných a teória kvadratických foriem), ktoré nie sú zahrnuté v tomto návode.

Príklad 1.13.

Preskúmajte extrémy:

Riešenie

1. Nájdite stacionárne body riešením systému (1.41):

to znamená, že sa nájdu štyri stacionárne body. 2.

podľa vety 1.4 v bode, kde je minimum. Navyše

podľa vety 1.4 v bode

Maximálne. Navyše

A nemusíte nič hľadať: v našom samostatnom článku sme už všetko pripravili, aby ste to mohli urobiť. A teraz budeme hovoriť o parciálnych derivátoch.

Vitajte na našom telegramovom kanáli, kde nájdete užitočné bulletiny a aktuálne študentské správy.

Funkcia dvoch alebo viacerých premenných

Predtým, ako hovoríme o parciálnych deriváciách, musíme sa dotknúť konceptu funkcie viacerých premenných, bez ktorej parciálna derivácia nemá zmysel. V škole sme zvyknutí narábať s funkciami jednej premennej:

Predtým sme uvažovali o derivátoch takýchto funkcií. Grafom funkcie jednej premennej je priamka v rovine: priamka, parabola, hyperbola atď.

Čo ak pridáme ďalšiu premennú? Získate nasledujúcu funkciu:

Je funkciou dvoch nezávislých premenných X A r. Grafom takejto funkcie je plocha v trojrozmernom priestore: guľa, hyperboloid, paraboloid alebo nejaký iný sférický kôň vo vákuu. Parciálne derivačné funkcie z X a Y sa píšu takto:

Existujú aj funkcie troch alebo viacerých premenných. Je pravda, že nie je možné nakresliť graf takejto funkcie: vyžadovalo by si to aspoň štvorrozmerný priestor, ktorý sa nedá zobraziť.

Čiastočná derivácia prvého rádu

Pripomeňme si hlavné pravidlo:

Pri výpočte parciálnej derivácie vzhľadom na jednu z premenných sa druhá premenná berie ako konštanta. V opačnom prípade sa pravidlá pre výpočet derivátu nemenia.

To znamená, že čiastočná derivácia sa v podstate nelíši od bežnej. Majte teda pred očami tabuľku derivácií elementárnych funkcií a pravidlá na výpočet obyčajných derivácií. Pozrime sa na príklad, aby to bolo úplne jasné. Povedzme, že potrebujeme vypočítať parciálne derivácie prvého rádu nasledujúcej funkcie:

Najprv si zoberme parciálnu deriváciu vzhľadom na x, pričom y považujeme za obyčajné číslo:

Teraz vypočítame parciálnu deriváciu vzhľadom na y, pričom x berieme ako konštantu:

Ako vidíte, nie je na tom nič zložité a úspech so zložitejšími príkladmi je len vecou cviku.

Čiastočná derivácia druhého rádu

Ako sa zistí parciálna derivácia druhého rádu? Rovnaký ako ten prvý. Ak chcete nájsť parciálne deriváty druhého rádu, jednoducho zoberte derivát derivátu prvého rádu. Vráťme sa k vyššie uvedenému príkladu a vypočítajme parciálne derivácie druhého rádu.

Podľa hráča:

Parciálne deriváty tretieho a vyššieho rádu sa v princípe výpočtu nelíšia. Poďme systematizovať pravidlá:

1. Pri diferenciácii jednou nezávisle premennou sa druhá berie ako konštanta.
2. Derivát druhého rádu je derivátom derivátu prvého rádu. Tretí rád – derivácia derivácie druhého rádu atď.

Parciálne derivácie a totálne diferenciálne funkcie

Bežnou otázkou v praktických úlohách je nájdenie totálneho diferenciálu funkcie. Pre funkciu niekoľkých premenných je celkový diferenciál definovaný ako hlavná lineárna časť malého celkového prírastku funkcie vo vzťahu k prírastkom argumentov.

Definícia znie ťažkopádne, ale s písmenami je všetko jednoduchšie. Celkový diferenciál prvého rádu funkcie niekoľkých premenných vyzerá takto:

Keďže vieme, ako sa počítajú parciálne deriváty, nie je problém s výpočtom celkového diferenciálu.

Parciálne deriváty nie sú až taká zbytočná téma. Napríklad parciálne diferenciálne rovnice druhého rádu sa široko používajú na matematický popis fyzikálnych procesov v reálnom živote.

Tu sme uviedli iba všeobecnú, povrchnú predstavu o čiastočných derivátoch prvého a druhého rádu. Zaujíma vás táto téma alebo máte konkrétne otázky? Opýtajte sa ich v komentároch a obráťte sa na odborníkov profesionálnych študentských služieb o kvalifikovanú a núdzovú pomoc pri štúdiu. S nami nezostanete s problémom sami!