Funkciu y=f(x) HORNÉ (DNO) budeme volať na množine A z definičného oboru D(f), ak také číslo existuje. M , že pre ľubovoľné x z tejto množiny je podmienka splnená

Pomocou logických symbolov možno definíciu zapísať takto:

f(x) – ohraničené vyššie na scéne

(f(x) – ohraničené zospodu na scéne

Do úvahy sa berú aj funkcie s obmedzeným modulom alebo jednoducho obmedzené.

Funkciu BOUNDED na množine A zavoláme z definičného oboru, ak existuje kladné číslo M také, že

V jazyku logických symbolov

f(x) – obmedzené na súprave

Funkcia, ktorá nie je ohraničená, sa nazýva neohraničená. Vieme, že definície dané negáciou majú malý obsah. Na formulovanie tohto tvrdenia ako definície používame vlastnosti kvantifikátorových operácií (3.6) a (3.7). Potom negovanie ohraničenosti funkcie v jazyku logických symbolov poskytne:

f(x) – obmedzené na súprave

Získaný výsledok nám umožňuje sformulovať nasledujúcu definíciu.

Funkcia sa nazýva NEOBMEDZENÁ na množine A patriacej do definičného oboru funkcie, ak na tejto množine pre ľubovoľné kladné číslo M existuje taká hodnota argumentu x , že hodnota bude stále prevyšovať hodnotu M, tzn.

Ako príklad zvážte funkciu

Je definovaný na celej reálnej osi. Ak vezmeme segment [–2;1] (množina A), bude na ňom ohraničený nad aj pod.

V skutočnosti, aby sme ukázali, že je ohraničený zhora, musíme zvážiť predikát

a ukážte, že existuje (existuje) také M, že pre všetky x prijaté na intervale [–2;1] bude platiť

Nájsť také M nie je ťažké. Môžeme predpokladať, že M = 7, kvantifikátor existencie zahŕňa nájdenie aspoň jednej hodnoty M. Prítomnosť takéhoto M potvrdzuje skutočnosť, že funkcia na intervale [–2;1] je zhora ohraničená.

Aby sme dokázali, že je ohraničený zdola, musíme zvážiť predikát

Hodnota M, ktorá zabezpečuje pravdivosť daného predikátu, je napríklad M = –100.

Dá sa dokázať, že funkcia bude obmedzená aj modulom: pre všetky x z intervalu [–2;1] sa hodnoty funkcie zhodujú s hodnotami , takže ako M môžeme brať napr. napríklad predchádzajúca hodnota M = 7.

Ukážme, že tá istá funkcia, ale na intervale, bude neobmedzená, tzn

Ak chcete ukázať, že takéto x existuje, zvážte tento výrok

Keď hľadáme požadované hodnoty x medzi kladnými hodnotami argumentu, dostaneme

To znamená, že bez ohľadu na to, aké kladné M vezmeme, hodnoty x zabezpečujú splnenie nerovnosti

sa získajú zo vzťahu .

Uvažovaním funkcie na celej reálnej osi možno ukázať, že je neobmedzená v absolútnej hodnote.

Naozaj, z nerovnosti

To znamená, že bez ohľadu na to, aké veľké je kladné M, alebo zabezpečí splnenie nerovnosti .

EXTRÉMNA FUNKCIA.

Funkcia má v bode s miestne maximum (minimum), ak existuje také okolie tohto bodu, že pre X¹ s z tohto susedstva platí nerovnosť

najmä, že extrémny bod môže byť iba vnútorným bodom intervalu a f(x) v ňom musí byť nevyhnutne definované. Možné prípady absencie extrému sú znázornené na obr. 8.8.

Ak sa funkcia v určitom intervale zvyšuje (klesá) a v určitom intervale klesá (zvyšuje sa), potom bod s je lokálny maximálny (minimálny) bod.

Absencia maxima funkcie f(x) v bode s možno formulovať takto:

_______________________

f(x) má maximum v bode c

To znamená, že ak bod c nie je lokálnym maximálnym bodom, potom bez ohľadu na okolie, ktoré zahŕňa bod c ako interný, bude existovať aspoň jedna hodnota x nerovná c, pre ktorú . Ak teda v bode c neexistuje maximum, potom v tomto bode nemusí byť extrém vôbec, alebo to môže byť minimálny bod (obr. 8.9).

Koncept extrému poskytuje porovnávacie hodnotenie hodnoty funkcie v akomkoľvek bode vo vzťahu k blízkym. Podobné porovnanie funkčných hodnôt je možné vykonať pre všetky body určitého intervalu.

MAXIMÁLNA (NAJMENŠIA) hodnota funkcie v množine je jej hodnota v bode z tejto množiny tak, že – v . Najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne vo vnútornom bode segmentu a najmenšia – na jeho ľavom konci.

Na určenie najväčšej (najmenšej) hodnoty funkcie špecifikovanej v intervale je potrebné vybrať najväčšie (najmenšie) číslo spomedzi všetkých hodnôt jej maxím (minimál), ako aj z akceptovaných hodnôt. na konci intervalu. Toto bude najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie. Toto pravidlo bude upresnené neskôr.

Problém hľadania najväčších a najmenších hodnôt funkcie na otvorenom intervale nie je vždy ľahké vyriešiť. Napríklad funkcia

v intervale (obr. 8.11) ich nemá.

Uistime sa napríklad, že táto funkcia nemá najväčší význam. V skutočnosti, berúc do úvahy monotónnosť funkcie, možno tvrdiť, že bez ohľadu na to, ako blízko nastavíme hodnoty x naľavo od jednoty, bude existovať ďalšie x, v ktorom budú hodnoty funkcie byť väčšie ako jeho hodnoty v prevzatých pevných bodoch, ale stále menšie ako jedna.

Lekcia a prezentácia na tému: "Vlastnosti funkcie. Zvyšujúce a klesajúce funkcie"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Vzdelávacie pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 9. ročník
Interaktívna učebnica pre ročník 9 "Pravidlá a cvičenia z geometrie"
Elektronická učebnica "Pochopiteľná geometria" pre ročníky 7-9

Chlapci, pokračujeme v štúdiu číselných funkcií. Dnes sa zameriame na tému, akou sú vlastnosti funkcií. Funkcie majú veľa vlastností. Pamätajte si, aké vlastnosti sme nedávno študovali. Presne tak, doména definície a doména hodnôt, to sú jedna z kľúčových vlastností. Nikdy na ne nezabúdajte a pamätajte, že funkcia má tieto vlastnosti vždy.

V tejto časti definujeme niektoré vlastnosti funkcií. Odporúčam pri riešení problémov dodržiavať poradie, v akom ich budeme určovať.

Zvyšovanie a znižovanie funkcie

Prvá vlastnosť, ktorú si zadefinujeme, je rastúca a klesajúca funkcia.

Hovorí sa, že funkcia je rastúca na množine X⊂D(f), ak pre ľubovoľné x1 a x2 tak, že x1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
O funkcii hovoríme, že je klesajúca na množine X⊂D(f), ak pre ľubovoľné x1 a x2 tak, že x1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). To znamená, že väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

Pojmy „zvýšenie“ a „zníženie“ funkcie sú veľmi ľahko pochopiteľné, ak sa pozorne pozriete na grafy funkcie. Pre zvyšujúcu sa funkciu: zdá sa, že ideme do kopca, pre klesajúcu funkciu podľa toho klesáme. Celkový pohľad na rastúce a klesajúce funkcie je uvedený v grafoch nižšie.

Zvyšovanie a znižovanie funkcií sa všeobecne nazýva monotónnosť. To znamená, že našou úlohou je nájsť intervaly poklesu a nárastu funkcie. Vo všeobecnom prípade je to formulované takto: nájdite intervaly monotónnosti alebo preskúmajte funkciu monotónnosti.

Preskúmajte monotónnosť funkcie $y=3x+2$.
Riešenie: Skontrolujeme funkciu pre ľubovoľné x1 a x2 a necháme x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Vzhľadom k tomu, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Obmedzená funkcia

O funkcii $y=f(x)$ sa hovorí, že je zdola ohraničená na množine X⊂D(f), ak existuje číslo a také, že pre každé хϵХ platí nerovnosť f(x)< a.

O funkcii $y=f(x)$ sa hovorí, že je zhora ohraničená na množine X⊂D(f), ak existuje číslo a, že pre ľubovoľné хϵХ platí nerovnosť f(x)< a.

Ak interval X nie je špecifikovaný, potom sa funkcia považuje za obmedzenú v celej oblasti definície. Funkcia, ktorá je ohraničená nad aj pod, sa nazýva ohraničená.

Obmedzenie funkcie je ľahko čitateľné z grafu. Je možné nakresliť nejakú priamku
$у=а$, a ak je funkcia vyššia ako tento riadok, potom je ohraničená zdola. Ak nižšie, potom podľa toho vyššie. Nižšie je uvedený graf funkcie ohraničenej nižšie. Chlapci, skúste si sami nakresliť graf obmedzenej funkcie.

Preskúmajte ohraničenosť funkcie $y=\sqrt(16-x^2)$.
Riešenie: Druhá odmocnina určitého čísla je väčšia alebo rovná nule. Je zrejmé, že naša funkcia je tiež väčšia alebo rovná nule, teda ohraničená zdola.
Odmocninu môžeme extrahovať iba z nezáporného čísla, potom $16-x^2≥0$.
Riešením našej nerovnosti bude interval [-4;4]. Na tomto segmente $16-x^2≤16$ alebo $\sqrt(16-x^2)≤4$, ale to znamená ohraničené zhora.
Odpoveď: naša funkcia je obmedzená na dve rovné čiary $y=0$ a $y=4$.

Najvyššia a najnižšia hodnota

Najmenšia hodnota funkcie y= f(x) na množine X⊂D(f) je nejaké číslo m také, že:

b) Pre každé хϵХ platí $f(x)≥f(x0)$.

Najväčšia hodnota funkcie y=f(x) na množine X⊂D(f) je nejaké číslo m také, že:
a) Existuje nejaké x0 také, že $f(x0)=m$.
b) Pre každé хϵХ platí $f(x)≤f(x0)$.

Najväčšie a najmenšie hodnoty sú zvyčajne označené y max. a y meno .

Pojmy ohraničenosť a najväčšia s najmenšou hodnotou funkcie spolu úzko súvisia. Nasledujúce tvrdenia sú pravdivé:
a) Ak existuje minimálna hodnota funkcie, potom je ohraničená nižšie.
b) Ak má funkcia najväčšiu hodnotu, potom je ohraničená vyššie.
c) Ak funkcia nie je ohraničená vyššie, potom najväčšia hodnota neexistuje.
d) Ak funkcia nie je ohraničená nižšie, potom najmenšia hodnota neexistuje.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Riešenie: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5 $.
Pre $х=4$ $f(4)=5$, pre všetky ostatné hodnoty má funkcia menšie hodnoty alebo neexistuje, to znamená, že toto je najväčšia hodnota funkcie.
Podľa definície: 9-4x^2+16x≥0$. Nájdite korene kvadratického trinomu $(2x+1)(2x-9)≥0$. Pri $x=-0,5$ a $x=4,5$ funkcia zmizne, vo všetkých ostatných bodoch je väčšia ako nula. Potom sa podľa definície najmenšia hodnota funkcie rovná nule.
Odpoveď: y max. =5 a y meno. =0.

Chlapci, tiež sme študovali koncept konvexnosti funkcie. Pri riešení niektorých problémov môžeme túto vlastnosť potrebovať. Táto vlastnosť sa dá ľahko určiť aj pomocou grafov.

Funkcia je konvexná smerom nadol, ak sú akékoľvek dva body na grafe pôvodnej funkcie spojené a graf funkcie je pod čiarou spájania bodov.

Funkcia je konvexná smerom nahor, ak sú akékoľvek dva body na grafe pôvodnej funkcie spojené a graf funkcie je nad spojnicou bodov.

Funkcia je spojitá, ak graf našej funkcie nemá žiadne zlomy, napríklad ako graf funkcie vyššie.

Ak potrebujete nájsť vlastnosti funkcie, postupnosť vyhľadávania vlastností je nasledovná:
a) Oblasť definície.
b) Monotónnosť.
c) Obmedzenie.
d) Najväčšia a najmenšia hodnota.
d) Kontinuita.
e) Rozsah hodnôt.

Nájdite vlastnosti funkcie $y=-2x+5$.
Riešenie.
a) Definičná oblasť D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotónnosť. Skontrolujeme akékoľvek hodnoty x1 a x2 a necháme x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Od x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) Obmedzenie. Funkcia samozrejme nie je obmedzená.
d) Najväčšia a najmenšia hodnota. Keďže funkcia je neobmedzená, neexistuje žiadna maximálna ani minimálna hodnota.
d) Kontinuita. Graf našej funkcie nemá žiadne zlomy, potom je funkcia spojitá.
e) Rozsah hodnôt. E(y)=(-∞;+∞).

Úlohy o vlastnostiach funkcie na nezávislé riešenie

Nájdite vlastnosti funkcie:
a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.

1) Funkčná oblasť a funkčný rozsah.

Doména funkcie je množina všetkých platných hodnôt argumentov X(premenná X), pre ktoré je funkcia y = f(x) určený. Rozsah funkcie je množina všetkých reálnych hodnôt r, ktoré funkcia akceptuje.

V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel.

2) Funkčné nuly.

Funkcia nula je hodnota argumentu, pri ktorej sa hodnota funkcie rovná nule.

3) Intervaly konštantného znamienka funkcie.

Intervaly konštantného znamienka funkcie sú množiny hodnôt argumentov, v ktorých sú hodnoty funkcie iba kladné alebo záporné.

4) Monotónnosť funkcie.

Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.

Klesajúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšej hodnote argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšia hodnota funkcie.

5) Párna (nepárna) funkcia.

Párna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = f(x). Graf párnej funkcie je symetrický podľa ordináty.

Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície platí rovnosť f(-x) = - f(x). Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

6) Obmedzené a neobmedzené funkcie.

Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že |f(x)| ≤ M pre všetky hodnoty x. Ak takéto číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.

7) Periodicita funkcie.

Funkcia f(x) je periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z definičného oboru funkcie platí: f(x+T) = f(x). Toto najmenšie číslo sa nazýva perióda funkcie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické. (trigonometrické vzorce).

19. Základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy. Aplikácia funkcií v ekonomike.

Základné elementárne funkcie. Ich vlastnosti a grafy

1. Lineárna funkcia.

Lineárna funkcia sa nazýva funkcia tvaru , kde x je premenná, a a b sú reálne čísla.

číslo A nazývaná sklon priamky, rovná sa dotyčnici uhla sklonu tejto priamky ku kladnému smeru osi x. Graf lineárnej funkcie je priamka. Je definovaný dvoma bodmi.

Vlastnosti lineárnej funkcie

1. Definičný obor - množina všetkých reálnych čísel: D(y)=R

2. Množina hodnôt je množina všetkých reálnych čísel: E(y)=R

3. Funkcia nadobúda nulovú hodnotu, keď alebo.

4. Funkcia rastie (klesá) v celom definičnom obore.

5. Lineárna funkcia je spojitá v celom definičnom obore, diferencovateľná a .

2. Kvadratická funkcia.

Volá sa funkcia tvaru, kde x je premenná, koeficienty a, b, c sú reálne čísla kvadratický

Odds a, b, c určiť umiestnenie grafu na súradnicovej rovine

Koeficient a určuje smer vetiev. Graf kvadratickej funkcie je parabola. Súradnice vrcholu paraboly sa nachádzajú pomocou vzorcov:

Vlastnosti funkcie:

2. Súbor hodnôt pre jeden z intervalov: alebo.

3. Funkcia nadobúda nulové hodnoty, keď , kde sa diskriminant vypočíta podľa vzorca:.

4. Funkcia je spojitá cez celý definičný obor a derivácia funkcie sa rovná .

Pojem funkcie. Obmedzené funkcie.

Definícia funkcie: Ak je každé číslo x z množiny čísel D spojené s jedným číslom y, potom hovoria, že na množine D je daná funkcia f a napíšeme y= f(x), kde x sa nazýva nezávislá premenná alebo argument tejto funkcie a množina D je doménou definície tejto funkcie.

Obmedzené a neobmedzené funkcie. Funkcia sa volá obmedzené, ak je takéto kladné číslo Mčo | f(X) | M pre všetky hodnoty X. Ak takéto číslo neexistuje, potom funkcia existuje neobmedzené.

PRÍKLADY.

Funguje párne, nepárne, monotónne.

Párne a nepárne funkcie. Ak pre ľubovoľné x z oblasti definície funkcie platí: f(- X) = f (X), potom sa zavolá funkcia dokonca; ak sa to stane: f(- X) = - f (X), potom sa zavolá funkcia zvláštny. Graf párnej funkcie symetrické okolo osi Y(obr. 5), graf nepárnej funkcie symetrický o pôvodu(obr. 6).

Monotónna funkcia. Ak pre ľubovoľné dve hodnoty argumentu X 1 a X 2 podmienky X 2 >X 1 nasleduje f(X 2 ) >f(X 1), potom funkcia f(X) volal zvyšujúci sa; ak pre nejaké X 1 a X 2 podmienky X 2 >X 1 nasleduje f(X 2 ) <f(X 1 ), potom funkciu f(X) sa nazýva klesajúci. Volá sa funkcia, ktorá iba zvyšuje alebo iba znižuje monotónna.

3. Číselné postupnosti. Definícia a príklady.

Povieme, že premenná X Existuje objednaná premenná, ak je známa oblasť jeho zmeny a pre každú z jeho dvoch hodnôt možno povedať, ktorá z nich je predchádzajúca a ktorá je nasledujúca. Špeciálnym prípadom objednaného variabilného množstva je variabilné množstvo, ktorého hodnoty tvoria číselný rad x 1 , x 2 ,…,x n ,… Pre takéto hodnoty pri i< j, i, j Î N , čo znamená x i sa považuje za predchádzajúci, a x j- následne bez ohľadu na to, ktorá z týchto hodnôt je väčšia. Číselná postupnosť je teda premenná, ktorej po sebe idúce hodnoty možno prečíslovať. Číselnou postupnosť budeme označovať . Jednotlivé čísla v postupnosti sa nazývajú jeho prvkov.

Napríklad číselná postupnosť je tvorená nasledujúcimi veličinami:

3. , kde a, d- konštantné čísla.

Limit číselnej postupnosti.

číslo a volal limit sekvencie X = {x n), ak pre ľubovoľne vopred určené ľubovoľne malé kladné číslo ε také prirodzené číslo existuje Nže pred všetkými n>N nerovnosť |x n - a|< ε.

Ak číslo a existuje limit sekvencie X = {x n), potom to hovoria x n usiluje o a a napíšte.

Aby sme túto definíciu sformulovali v geometrických pojmoch, zavedieme nasledujúci koncept. Okolie bodu x 0 sa nazýva ľubovoľný interval ( a, b), obsahujúci tento bod v sebe. Často sa uvažuje o susedstve bodu x 0, pre ktoré x 0 je teda stred x 0 volal stred okolie a hodnota ( b–a)/2 – polomer susedstve.

Poďme teda zistiť, čo pojem limita číselnej postupnosti znamená geometricky. Aby sme to dosiahli, napíšeme poslednú nerovnosť z definície ako Táto nerovnosť znamená, že všetky prvky postupnosti s číslami n>N musí ležať v intervale (a – ε; a + ε).

Preto konštantný počet a existuje obmedzenie číselnej postupnosti ( x n), ak ide o akúkoľvek malú štvrť so stredom v bode a polomer ε (ε je okolie bodu a) existuje taký prvok postupnosti s číslom Nže všetky nasledujúce prvky sú očíslované n>N sa bude nachádzať v tejto blízkosti.

Príklady.

1. Nech je premenná byť X nadobúda hodnoty postupne

Dokážme, že limita tohto číselného radu je rovná 1. Vezmite ľubovoľné kladné číslo ε. Musíme nájsť také prirodzené číslo Nže pred všetkými n>N nerovnosť platí | x n - 1| < ε. Действительно, т.к.

potom na splnenie vzťahu |x n - a|< ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве N akékoľvek prirodzené číslo, ktoré spĺňa nerovnosť, dostaneme to, čo potrebujeme. Ak si teda zoberieme napríklad putovanie N= 6, pre všetkých n>6 budeme mať .

2. Pomocou definície limity číselného radu dokážte, že .

Zoberme si ľubovoľné ε > 0. Uvažujme Potom , ak alebo , t.j. . Zvolíme si preto ľubovoľné prirodzené číslo, ktoré vyhovuje nerovnici.

Príklady.

3. Uvažujme. O x→1čitateľ zlomku má tendenciu k 1 a menovateľ k 0. Ale keďže, t.j. je nekonečne malá funkcia at x→ 1, potom

Veta 4. Nech sú dané tri funkcie f(x), u(x) A v(x), uspokojovanie nerovností u (x)≤f(x)≤ v(x). Ak funkcie u(x) A v(x) mať rovnaký limit pri x→a(alebo x→∞), potom funkciu f(x) inklinuje k rovnakej hranici, t.j. Ak

Veta 5. Ak pri x→a(alebo x→∞) funkciu y=f(x) akceptuje nezáporné hodnoty y≥0 a zároveň inklinuje k limitu b, potom tento limit nemôže byť záporný: b≥0.

Dôkaz. Dôkaz vykonáme protirečením. Predstierajme to b<0 , Potom |y – b|≥|b| a preto rozdielový modul nemá tendenciu k nule, keď x→a. Ale potom r nedosahuje limit b pri x→a, čo odporuje podmienkam vety.

Veta 6. Ak dve funkcie f(x) A g(x) pre všetky hodnoty argumentu X uspokojiť nerovnosť f(x)≥ g(x) a majú hranice, potom nerovnosť platí b≥c.

Dôkaz. Podľa podmienok vety f(x)-g(x) >0, teda vetou 5, alebo .

6. Zverejnenie neistoty (0/0), ∞ -∞

ja Neistota.

Pri faktorizácii čitateľa sme použili pravidlo delenia polynómu polynómom „uhlom“. Od čísla X=1 je koreň polynómu x 3 – 6x 2 + 11X– 6, potom pri delení dostaneme

7. Limit sekvencie . Koncept prirodzeného logaritmu.

DRUHÝ VÝZNAMNÝ LIMIT

Príklady:

Logaritmus na základňu e (e- nazýva sa transcendentálne číslo približne rovné 2,718281828...). prirodzený logaritmus. Prirodzený logaritmus čísla X označené ln X. Prirodzené logaritmy sú široko používané v matematike, fyzike a technických výpočtoch.

Logaritmy sú široko používané

základ, nazývaný prírodný. Prirodzené logaritmy sú označené symbolom

Pojem limity funkcie.

Pojem spojitosti funkcie priamo súvisí s pojmom limita funkcie.

Číslo A sa nazýva limita funkcie f v bode a, limita množiny E, ak pre ľubovoľné okolie V(A) bodu A existuje prepichnuté okolie bodu a také, že jeho obraz pod zobrazenie f je podmnožinou daného okolia V(A) bodu A.

Limita funkcie f v bode a, limita pre množinu E, sa označí takto: alebo, ak zmienku o množine E možno vynechať.

Pretože každé okolie môže byť spojené s vlastným pravidelným (symetrickým) okolím, definícia limity môže byť formulovaná v jazyku -δ, ako je obvyklé v matematickej analýze:

Limita funkcie v bode f v bode a, limita množiny E, priamo súvisí s limitou postupnosti.

Budeme brať do úvahy všetky možné postupnosti bodov množiny E, ktoré majú bod a ako svoju hranicu, a zodpovedajúce postupnosti funkčných hodnôt v bodoch postupnosti. Ak existuje limita funkcie f v bode a, potom táto limita bude limitou každej postupnosti.

Platí to aj naopak: ak všetky postupnosti konvergujú k rovnakej hodnote, funkcia má limit rovný tejto hodnote.

PRVÝ VÝZNAMNÝ LIMIT

Funkcia nie je definovaná kedy X=0, pretože čitateľ a menovateľ zlomku sa stanú nulou. Graf funkcie je znázornený na obrázku.

Hranicu tejto funkcie je však možné nájsť na X→0.

Dajme dôkaz napísanej formuly. Uvažujme kružnicu s polomerom 1 a predpokladajme, že uhol α, vyjadrený v radiánoch, je obsiahnutý v rámci 0< α < π/2. (Так как четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α >0.) Z obrázku je zrejmé, že

SΔOAC .

Pretože uvedené oblasti sú v tomto poradí rovnaké

SΔOAC=0,5∙O.C.∙O.A.∙hriech α= 0,5 sinα, S sekta. OAC = 0,5∙O.C. 2 ∙α=0,5α, SΔOBC=0,5∙O.C.∙BC = 0,5 tgα.

teda

hriech α< α < tg α.

Rozdeľme všetky členy nerovnosti sin α > 0: .

Ale . Preto na základe vety 4 o limitách usudzujeme, že odvodený vzorec sa nazýva prvá pozoruhodná limita.

Prvý pozoruhodný limit teda slúži na odhalenie neistoty. Upozorňujeme, že výsledný vzorec by sa nemal zamieňať s limitmi Príklady.

11. Limit as ním súvisiace limity.

DRUHÝ VÝZNAMNÝ LIMIT

Druhá pozoruhodná hranica slúži na odhalenie neistoty 1 ∞ a vyzerá takto:

Venujme pozornosť tomu, že vo vzorci pre druhú pozoruhodnú limitu musí exponent obsahovať výraz inverzný k výrazu, ktorý sa pridáva k jednotke v základe (keďže v tomto prípade je možné zaviesť zmenu premenných a znížiť hľadanú hranicu na druhú pozoruhodnú hranicu)

Príklady.

1. Funkcia f(x)=(X-1) 2 je nekonečne malé X→1, odkedy (pozri obrázok).

2. Funkcia f(x)= tg X– nekonečne malý pri X→0.

3. f(x)= log(1+ X) – nekonečne malý pri X→0.

4. f(x) = 1/X– nekonečne malý pri X→∞.

Vytvorte si nasledujúci dôležitý vzťah:

Veta. Ak je funkcia y=f(x) reprezentovateľné s x→a ako súčet konštantného čísla b a nekonečne malá veľkosť α(x): f (x)=b+ α(x) To .

Naopak, ak , tak f (x)=b+α(x), Kde a(x)– nekonečne malý pri x→a.

Dôkaz.

1. Dokážme prvú časť tvrdenia. Z rovnosti f(x)=b+α(x) by mal |f(x) – b|=| a|. Ale odvtedy a(x) je nekonečne malé, potom pre ľubovoľné ε existuje δ – okolie bodu a, pred všetkými X z ktorých, hodnoty a(x) uspokojiť vzťah |α(x)|< ε. Potom |f(x) – b|< ε. A to znamená, že.

2. Ak , potom pre ľubovoľné ε >0 pre všetkých X od nejakého δ – okolia bodu a bude |f(x) – b|< ε. Ale ak označíme f(x) – b= α, To |α(x)|< ε, čo znamená, že a– nekonečne malý.

Uvažujme o základných vlastnostiach infinitezimálnych funkcií.

Veta 1. Algebraický súčet dvoch, troch a vo všeobecnosti akéhokoľvek konečného počtu infinitezimálov je nekonečne malá funkcia.

Dôkaz. Dajme dôkaz na dve obdobia. Nechaj f(x)=α(x)+β(x), kde a . Musíme to dokázať pre ľubovoľné malé ε > 0 nájdených δ> 0, takže pre X, uspokojujúce nerovnosť |x – a|<δ , vykonané |f(x)|< ε.

Opravme teda ľubovoľné číslo ε > 0. Keďže podľa podmienok vety α(x) je infinitezimálna funkcia, potom existuje taká δ 1 > 0, čo je |x – a|< δ 1 máme |α(x)|< ε / 2. Rovnako tak od r β(x) je nekonečne malé, potom existuje také δ 2 > 0, čo je |x – a|< δ 2 máme | β(x)|< ε / 2.

Vezmime δ=min( 5 1 , δ2 } .Potom v blízkosti bodu a polomer δ každá z nerovností bude uspokojená |α(x)|< ε / 2 a | β(x)|< ε / 2. Preto v tejto štvrti bude

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

tie. |f(x)|< ε, čo je potrebné dokázať.

Veta 2. Súčin infinitezimálnej funkcie a(x) pre obmedzenú funkciu f(x) pri x→a(alebo kedy x→∞) je nekonečne malá funkcia.

Dôkaz. Od funkcie f(x) je obmedzená, potom je ich množstvo M také, že pre všetky hodnoty X z nejakého okolia bodu a|f(x)|≤M. Navyše od r a(x) je nekonečne malá funkcia at x→a, potom pre ľubovoľné ε > 0 je okolie bodu a, v ktorom bude nerovnosť platiť |α(x)|< ε /M. Potom v menšej z týchto štvrtí máme | αf|< ε /M= ε. A to znamená, že af– nekonečne malý. Pre túto príležitosť x→∞ dokazovanie sa vykonáva podobne.

Z overenej vety vyplýva:

Dôsledok 1. Ak a potom

Dôsledok 2. Ak c= const, teda .

Veta 3. Pomer infinitezimálnej funkcie α(x) za funkciu f(x), ktorej limita je iná ako nula, je infinitezimálna funkcia.

Dôkaz. Nechajte . Potom 1 /f(x) je tam obmedzená funkcia. Preto je zlomok súčinom infinitezimálnej funkcie a obmedzenej funkcie, t.j. funkcia je nekonečne malá.

Príklady.

1. Je jasné, že kedy x→+∞ funkciu y = x 2 + 1 je nekonečne veľký. Ale potom, podľa vety formulovanej vyššie, funkcia je nekonečne malá x→+∞, t.j. .

Dá sa dokázať aj opačná veta.

Veta 2. Ak je funkcia f(x)- nekonečne malý pri x→a(alebo x→∞) a potom nezmizne y= 1/f(x) je nekonečne veľká funkcia.

Vykonajte dôkaz vety sami.

Príklady.

3. , keďže funkcie a sú nekonečne malé pri x→+∞, potom, keďže súčet nekonečne malých funkcií je nekonečne malá funkcia. Funkcia je súčet konštantného čísla a infinitezimálnej funkcie. Následne vetou 1 pre infinitezimálne funkcie získame požadovanú rovnosť.

Najjednoduchšie vlastnosti nekonečne malých a nekonečne veľkých funkcií možno teda zapísať pomocou nasledujúcich podmienených vzťahov: A≠ 0

13. Infinitezimálne funkcie rovnakého rádu, ekvivalentné infinitezimály.

Infinitezimálne funkcie a nazývajú sa infinitezimálne rovnakého rádu maličkosti, ak , označujú . A nakoniec, ak neexistuje, potom sú nekonečne malé funkcie neporovnateľné.

PRÍKLAD 2. Porovnanie infinitezimálnych funkcií

Ekvivalentné infinitezimálne funkcie.

Ak , potom sa volajú infinitezimálne funkcie ekvivalent, označujú ~ .

Lokálne ekvivalentné funkcie:

Kedy ak

Niektoré ekvivalencie(na ):

Jednostranné limity.

Doteraz sme uvažovali o určení limity funkcie kedy x→a svojvoľným spôsobom, t.j. limit funkcie nezávisel od toho, ako bola umiestnená X smerom k a, naľavo alebo napravo od a. Je však celkom bežné nájsť funkcie, ktoré za tejto podmienky nemajú limit, ale majú limit if x→a, zostávajúce na jednej strane A, vľavo alebo vpravo (pozri obrázok). Preto sa zavádzajú koncepty jednostranných limitov.

Ak f(x) inklinuje k limitu b pri X tendenciu k určitému číslu a Takže X akceptuje iba hodnoty menšie ako a, potom píšu a volajú blimit funkcie f(x) v bode a vľavo.

Takže číslo b nazývaná limita funkcie y=f(x) pri x→a vľavo, ak je akékoľvek kladné číslo ε, existuje také číslo δ (menšie a

Rovnako tak, ak x→a a nadobúda veľké hodnoty a, potom píšu a volajú b limit funkcie v bode A napravo. Tie. číslo b volal limita funkcie y=f(x) ako x→a vpravo, ak je akékoľvek kladné číslo ε, existuje také číslo δ (väčšie A), že nerovnosť platí pre všetkých.

Všimnite si, že ak sú limity vľavo a vpravo v bode a pre funkciu f(x) nezhodujú, potom funkcia nemá v bode limitu (obojstrannú). A.

Príklady.

1. Zvážte funkciu y=f(x), definovaný na segmente nasledovne

Poďme nájsť limity funkcie f(x) pri x→ 3. Je zrejmé, že a

Inými slovami, pre ľubovoľne malý počet epsilon existuje delta číslo závislé od epsilon také, že zo skutočnosti, že pre akékoľvek x spĺňajúce nerovnosť vyplýva, že rozdiely v hodnotách funkcie v týchto bodoch budú svojvoľne malý.

Kritérium spojitosti funkcie v bode:

Funkcia bude nepretržitý v bode A práve vtedy, ak je spojitý v bode A vpravo aj vľavo, to znamená, že v bode A sú dve jednostranné limity, sú si navzájom rovné a rovné hodnote funkcia v bode A.

Definícia 2: Funkcia je nepretržitá na množine, ak je spojitá vo všetkých bodoch tejto množiny.

Derivácia funkcie v bode

Nech je dana definovaná v susedstve. Uvažujme

Ak táto hranica existuje, potom sa nazýva derivácia funkcie f v bode .

Derivácia funkcie– hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď je argument inkrementovaný.

Operácia výpočtu alebo nájdenia derivácie v bode sa nazýva diferenciácie .

Pravidlá diferenciácie.

Derivát funkcie f(x) v bode x = x 0 sa nazýva pomer prírastku funkcie v tomto bode k prírastku argumentu, keďže ten má tendenciu k nule. Nájdenie derivácie sa nazýva diferenciácie. Derivácia funkcie sa vypočíta podľa všeobecného pravidla diferenciácie: Označme f(x) = u, g(x) = v- funkcie diferencovateľné v bode X. Základné pravidlá diferenciácie 1) (derivácia sumy sa rovná súčtu jej derivácií) 2) (z tohto najmä vyplýva, že derivácia súčinu funkcie a konštanty sa rovná súčinu derivácie tejto funkcia a konštanta) 3) Derivácia kvocientu: , ak g  0 4) Derivácia komplexnej funkcie: 5) Ak je funkcia zadaná parametricky: , tak

Príklady.

1. r = X a je mocninová funkcia s ľubovoľným exponentom.

Implicitná funkcia

Ak je funkcia daná rovnicou y=ƒ(x), vyriešenou vzhľadom na y, potom je funkcia daná v explicitnom tvare (explicitná funkcia).

Pod implicitná úloha funkcie chápu definíciu funkcie v tvare rovnice F(x;y)=0, neriešenú vzhľadom na y.

Akákoľvek explicitne daná funkcia y=ƒ (x) môže byť zapísaná ako implicitne daná rovnicou ƒ(x)-y=0, ale nie naopak.

Nie je vždy ľahké a niekedy nemožné vyriešiť rovnicu pre y (napríklad y+2x+cozy-1=0 alebo 2y -x+y=0).

Ak je implicitná funkcia daná rovnicou F(x; y) = 0, potom na nájdenie derivácie y vzhľadom na x nie je potrebné riešiť rovnicu vzhľadom na y: stačí túto rovnicu diferencovať vzhľadom na x, pričom y považujeme za funkciu x, a potom vyriešte výslednú rovnicu pre y."

Derivácia implicitnej funkcie je vyjadrená pomocou argumentu x a funkcie y.

Príklad:

Nájdite deriváciu funkcie y, danú rovnicou x 3 + y 3 -3xy = 0.

Riešenie: Funkcia y je špecifikovaná implicitne. Podľa x diferencujeme rovnosť x 3 + y 3 -3xy = 0. Z výsledného vzťahu

3x 2 +3y 2y"-3(1y+xy")=0

z toho vyplýva, že y2y"-xy"=y-x2, teda y"=(y-x2)/(y2-x).

Deriváty vyššieho rádu

Je jasné, že derivát

funkcie y=f(x) je tam aj funkcia od X:

y" = f" (x)

Ak je funkcia f" (x) je diferencovateľný, potom sa jeho derivát označí symbolom y"" = f "" (x) x dvakrát.
Derivát druhého derivátu, t.j. funkcie y""=f""(x), volal tretia derivácia funkcie y=f(x) alebo derivácia funkcie f(x) tretieho rádu a je označené symbolmi

Vôbec n-i odvodený alebo odvodený n funkcia objednávky y=f(x) označené symbolmi

Phil Leibniz:

Predpokladajme, že funkcie a sú diferencovateľné spolu s ich deriváciami až do n-tého rádu vrátane. Aplikovaním pravidla na diferenciáciu súčinu dvoch funkcií dostaneme

Porovnajme tieto výrazy s mocnosťami dvojčlenky:

Zarážajúce je pravidlo korešpondencie: ak chcete získať vzorec pre deriváciu 1., 2. alebo 3. rádu súčinu funkcií a , musíte nahradiť mocniny a vo výraze pre (kde n= 1,2,3) deriváty zodpovedajúcich rádov. Okrem toho nulové mocniny veličín a mali by byť nahradené derivátmi nultého rádu, čo znamená funkcie a:

Zovšeobecnenie tohto pravidla na prípad derivátov ľubovoľného poriadku n, dostaneme Leibnizov vzorec,

kde sú binomické koeficienty:

Rolleho veta.

Táto veta umožňuje nájsť kritické body a potom za použitia dostatočných podmienok preskúmať funkciu pre extrémy.

Nech 1) f(x) je definované a spojité na nejakom uzavretom intervale; 2) existuje konečná derivácia, aspoň v otvorenom intervale (a;b); 3) na koncoch intervalu f-i nadobúda rovnaké hodnoty f(a) = f(b). Potom medzi bodmi a a b je bod c taký, že derivácia v tomto bode bude = 0.

Podľa vety o vlastnosti funkcií, ktoré sú spojité na intervale, funkcia f(x) nadobúda svoje maximálne a minimálne hodnoty na tomto intervale.

f(x 1) = M – max, f(x 2) = m – min; x 1 ; x 2 О

1) Nech M = m, t.j. m £ f(x) £ M

Þ f(x) bude nadobúdať konštantné hodnoty na intervale od a do b a Þ jeho derivácia sa bude rovnať nule. f'(x)=0

2) Nech M>m

Pretože podľa podmienok vety, f(a) = f(b) Þ nadobudne svoju najmenšiu alebo najväčšiu hodnotu nie na koncoch úsečky, ale Þ nadobudne M alebo m vo vnútornom bode tejto úsečky. Potom podľa Fermatovej vety f'(c)=0.

Lagrangeova veta.

Vzorec konečného prírastku alebo Lagrangeova veta o strednej hodnote uvádza, že ak funkcia f je spojitá na intervale [ a;b] a diferencovateľné v intervale ( a;b), potom je tu taký bod, že

Cauchyho veta.

Ak sú funkcie f(x) a g(x) spojité na intervale a diferencovateľné na intervale (a, b) a g¢(x) ¹ 0 na intervale (a, b), potom existuje aspoň jeden bod e, a< e < b, такая, что

Tie. pomer prírastkov funkcií na danom segmente sa rovná pomeru derivácií v bode e. Príklady riešenia úloh priebeh prednášok Výpočet objemu telesa zo známych oblastí jeho rovnobežných rezov Integrálny počet

Príklady kurzov Elektrotechnika

Na preukázanie tejto vety je na prvý pohľad veľmi vhodné použiť Lagrangeovu vetu. Napíšte vzorec konečného rozdielu pre každú funkciu a potom ich navzájom vydeľte. Táto myšlienka je však mylná, pretože bod e pre každú funkciu je vo všeobecnosti iný. Samozrejme, v niektorých špeciálnych prípadoch sa tento intervalový bod môže ukázať ako rovnaký pre obe funkcie, ale toto je veľmi zriedkavá zhoda okolností a nie pravidlo, a preto sa nedá použiť na dokázanie vety.

Dôkaz. Zvážte funkciu pomocníka

Ako x→x 0, hodnota c tiež smeruje k x 0; Poďme na limit v predchádzajúcej rovnosti:

Pretože , To .

Preto

(limita pomeru dvoch infinitezimál sa rovná limite pomeru ich derivátov, ak druhý existuje)

L'Hopitalovo pravidlo pri ∞/∞.