Picardova metóda Picard Charles Emile (1856-1941) bol francúzsky matematik.

Táto metóda umožňuje získať približné riešenie diferenciálnej rovnice (1) vo forme analyticky prezentovanej funkcie.

Nech podmienky existencie vety vyžadujú nájsť riešenie rovnice (1) s počiatočnou podmienkou (2). Integrujme ľavú a pravú stranu rovnice (1) v medziach od do:

Riešenie integrálnej rovnice (9) bude spĺňať diferenciálnu rovnicu (1) a počiatočnú podmienku (2). V skutočnosti, keď, dostaneme:

Integrálna rovnica (9) zároveň umožňuje aplikovať metódu postupných aproximácií. Pravú stranu vzorca (9) budeme považovať za operátor, ktorý mapuje akúkoľvek funkciu (z triedy funkcií, pre ktorú existuje integrál zahrnutý v (9)) do inej funkcie tej istej triedy:

Ak je tento operátor kontrakčný (čo vyplýva z podmienok Picardovej vety), potom je možné zostrojiť postupnosť aproximácií, ktorá konverguje k presnému riešeniu. Ako počiatočná aproximácia sa prijme a nájde sa prvá aproximácia

Integrál na pravej strane obsahuje iba premennú x; po nájdení tohto integrálu dostaneme analytický výraz pre aproximáciu ako funkciu premennej x. Ďalej nahradíme y na pravej strane rovnice (9) nájdenou hodnotou a získame druhú aproximáciu

atď. Vo všeobecnom prípade má iteračný vzorec tvar

(n=1, 2…) (10)

Cyklická aplikácia vzorca (10) dáva postupnosť funkcií

konvergujúce k riešeniu integrálnej rovnice (9) (a následne aj diferenciálnej rovnice (1) s počiatočnými podmienkami (2)). To tiež znamená, že k-tý člen postupnosti (11) je aproximáciou presného riešenia rovnice (1) s určitým kontrolovaným stupňom presnosti.

Upozorňujeme, že pri použití metódy postupných aproximácií nie je potrebná analyticita pravej strany diferenciálnej rovnice, preto je možné túto metódu použiť aj v prípadoch, keď nie je možné rozšírenie riešenia diferenciálnej rovnice do mocninového radu. .

Chyba metódy Picard

Odhad chyby pre k-tu aproximáciu je daný vzorcom

kde y(x) je presné riešenie a je Lipschitzova konštanta z nerovnosti (4).

V praxi sa Picardova metóda používa veľmi zriedkavo. Jedným z dôvodov je, že integrály, ktoré je potrebné vypočítať pri konštrukcii postupných aproximácií, sa najčastejšie analyticky nenachádzajú a ich použitie na výpočet numerických metód komplikuje riešenie natoľko, že je oveľa pohodlnejšie priamo použiť iné metódy, ktoré sú pôvodne číselné.

Príklady riešenia problému v Maple

Úloha č. 1: Metódou postupných aproximácií nájdite hodnotu, kde je riešenie diferenciálnej rovnice: splnenie počiatočnej podmienky, na segmente, urobte krok (počítajte do druhej aproximácie).

Vzhľadom na to: - Diferenciálnej rovnice

Počiatočný stav

Interval

Nájsť: význam

Riešenie:

> y1:=zjednodušiť (1+int (x+1, x=0…x));

> y2:= zjednodušiť (1+int (x+zjednodušiť (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));

Nájdite hodnotu pri x = 0,5:

Úloha č. 2: Pomocou metódy postupných aproximácií nájdite približné riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku.

Vzhľadom na to: - Diferenciálnej rovnice

Počiatočný stav

Nájsť: význam

Riešenie:

Na segmente s krokom (ľubovoľne zvolenom) nájdeme približné riešenie daného DE.

Napíšme pre tento prípad vzorec v tvare (10)

> y1:=zjednodušiť (1+int (x*1, x=0…x));

>y2:=zjednodušiť (1+int (x*zjednodušiť (1+int (x*1, x=0...x)), x=0...x));

Podobne nájdeme tretiu aproximáciu:

>y3:=zjednodušiť (1+int (x*zjednodušiť (1+int (x*zjednodušiť) (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x)), x=0… X));

Nájdime približné riešenie danej diferenciálnej rovnice na, na tento účel v tretej aproximácii namiesto x, dosadíme a dostaneme:

Porovnajme získaný približný výsledok s presným riešením diferenciálnej rovnice:

Podľa výsledkov tabuľky je zrejmé, že chyba výpočtu je veľmi malá.

Pripomeňme si známe Picardove a Peanove teorémy o existencii a jedinečnosti riešenia tohto problému (Cauchyho problém).

PEANO veta tvrdí, že riešenie Cauchyho úlohy existuje v určitom okolí bodu X o, ak funkcia f(x,Y) je spojitá v okolí bodu (X 0 ,Y 0).

PICARDOVA veta hovorí, že ak nielen funkcia f(x,Y), ale aj jej parciálna derivácia f"y (x,Y) je spojitá aj v okolí bodu (X 0,Y 0), potom riešenie Cauchyho problém je jedinečný na určitom segmente, ktorý obsahuje bod X 0.

Dôkaz Picardovej vety vyplýva zo všeobecného princípu zobrazovania kontrakcií, je veľmi náročný, ale má významnú výhodu – je konštruktívny. Navyše postupnosť funkcií Y n (x), ktorá je v nej zostrojená, konverguje k riešeniu rovnomerne na segmente rýchlosťou geometrického postupu. V Picardovej metóde je postupnosť funkcií Y n (x) konštruovaná pomocou opakujúceho sa vzorca:

S n= 0,1,2,...,

a konštanta Y 0 sa berie ako nulová aproximácia: Y 0 (x)ºY 0 .

Aby sme pochopili pôvod tohto vzorca opakovania, všimneme si, že integrálna rovnica

je ekvivalentná pôvodnej Cauchyho úlohe, keďže akákoľvek funkcia Y(x), ktorá je jej riešením, spĺňa počiatočnú podmienku Y(X o)=Y o a rovnicu Y"(x)=f(x,Y(x) ) a naopak.

Otázka: Prečo je to naozaj tak?

Príklad 4.1 Aplikujme Picardovu metódu na vyriešenie rovnice Y"=Y s počiatočnou podmienkou Y(0)=1. Tento problém je ekvivalentný nájdeniu riešenia integrálnej rovnice Y=1+òY(t)dt.

Ako počiatočnú aproximáciu berieme funkciu Y ® =1.

Potom Y 1 = 1+òY o (t)dt= 1+òdt= 1+x.

Y3 = 1+òY2(t)dt= 1+ò(1+t+t2/2)dt= 1+x+x2/2+x3/6.

Môžete sa uistiť, že Y n = 1+x+x 2 /2+ ... +x n /n!.

Cvičenie 4.1 Dokážte poslednú rovnosť striktne na princípe matematickej indukcie.

Cvičenie 4.2 V príklade 4.1 nájdite presné riešenie Y(X) a odhadnite mieru rovnomernej konvergencie Y n (x) -> Y(X) na segmente .

Vo všeobecnosti možno približné metódy riešenia obyčajných diferenciálnych rovníc rozdeliť do 3 typov:

· analytické, čo nám umožňuje získať približné riešenie Y(x) vo forme vzorca,

· grafický, čím je možné aproximovať graf riešenia Y(x), t.j. integrálna krivka,

· číselné, v dôsledku čoho sa získa tabuľka približných hodnôt funkcie Y(x),

hoci toto rozdelenie je do istej miery svojvoľné.

Okrem Picardovej metódy zahŕňajú aj analytické metódy

metóda rozšírenia neznámej funkcie Y(x) do radu,

na ktoré sa teraz zameriame.

Napíšme formálne rozšírenie Y(X) v Taylorovom rade v bode a:

Táto rovnosť zahŕňa derivácie neznámej funkcie Y(X) v bode a, avšak práve v tomto bode môžeme pomocou podmienok úlohy postupne nájsť ľubovoľný počet derivácií a získať potrebnú aproximáciu riešenia. Vo všeobecnosti to vyzerá takto: Y o (a) = Y (a) = Y o; Y"(a)=f(a,Y(a))= f(a,Yo)

Diferencovaním rovnice, ktorá nám bola daná vzhľadom na X, dostaneme

Y""(X)=f" x (x,Y(x))+f" y (x,Y(x))*Y"(x), odkiaľ Y""(a)= f" x (a ,Y®)+f" y (a,Y®)*f(a,Y®).

Hodnoty tretej a ďalšej derivácie v bode a sa získajú podobne - pôvodnú rovnicu diferencujeme potrebný počet krát a dosadíme predtým získané hodnoty derivácií v bode a.

Príklad 4.2 Vypíšme prvé členy radu rozšírenia funkcie Y(x) spĺňajúce rovnicu Y"=2xY a počiatočnú podmienku Y(0)=1.

Y"""(x)=2 Y"(x)+2 Y"(x)+2x*Y""(x)= 4Y"(x)+2xY""(x), odkiaľ Y""" (0)=0.

Y (4) (x) = 4Y"" (x) + 2xY""" (x), odkiaľ Y (4) (0) = 6.

Získame približné riešenie Y(x)»1+x 2 +0,5x 4.

Cvičenie 4.3 Pomocou Leibnizovho vzorca na nájdenie n-tej derivácie súčinu funkcií napíšte rozšírenie funkcie hľadanej v príklade 4.2 do Taylorovho radu.

Cvičenie 4.4 Nájdite presné riešenie v príklade 4.2 a zhodnoťte kvalitu aproximácie v príklade 4.2 na intervale [-0,5,0,5].

Vyššie opísané metódy sa v praxi často nepoužívajú, pretože v Picardovej metóde je potrebné v každom kroku vypočítať integrál, čo komplikuje výpočty a zhoršuje presnosť, a pri metóde sériovej expanzie je extrémne ťažké formalizovať jazyk proces hľadania derivátov vyššieho rádu as malým počtom členov expanzie táto metóda poskytuje dobrú aproximáciu len blízko bodu a.

Medzi GRAFICKÉ budeme uvažovať

1
18.01.2018

Formulácia problému
Diferenciál
rovnice
nadviazať spojenie medzi nezávislými
premenné, požadované funkcie a ich
deriváty. Ak požadovaná funkcia
závisí teda od jednej premennej
diferenciálna rovnica sa nazýva
obyčajný.

Formulácia problému
Napríklad rovnovážna podmienka pre elastické médium
opísané obyčajným diferenciálom
rovnica:
dTx
Fx 0
dx
Tx – mechanická súčiastka
stres, F - pôsobiace na
nepretržitá stredná sila per
jednotka hmotnosti
Tu je požadovaná funkcia (mechanická
napätie) T(x) závisí od jednej premennej
x (súradnica).

Formulácia problému

V prípade, že požadovaná funkcia závisí od
viaceré premenné, diferenciálna rovnica
bude parciálna diferenciálna rovnica.
Napríklad možno opísať pohyb elastického média
parciálna diferenciálna rovnica:
2u x Tx
2
t
X
ux – výtlak média, ρ – hustota
prostredia, Tx – zložka stresu
V tejto rovnici funkcia u(t,x) závisí od času
(t) a smer posunu média (x).

Formulácia problému
Obyčajné diferenciálne rovnice
(ODE) sú rovnice, ktoré obsahujú jeden resp
niekoľko derivácií požadovanej funkcie y = y(x):
F (x, y, y,..., y (n)) 0 ,
kde x je nezávislá premenná.
Najvyšší rád n vyskytujúci sa v rovnici
derivácia sa nazýva rád diferenciálu
rovnice
Napríklad:
F (x, y, y") 0 rovnica prvého poriadku;
F (x, y, y " , y") 0 rovnica druhého rádu

Formulácia problému
Zo všeobecného zápisu diferenciálnej rovnice
Derivát môžete vyjadriť explicitne:
y " f (x, y),
y" f (x, y, y")
Derivačná rovnica má nekonečno
veľa riešení. Ak chcete získať jediné
je potrebné špecifikovať ďalšie riešenia
podmienky, ktoré musí spĺňať požadované
riešenia.

Formulácia problému
V závislosti od typu takýchto podmienok
zvážte tri typy problémov, pri ktorých sa to osvedčilo
existenciu a jedinečnosť riešení.
Prvým typom sú problémy s iniciálom
podmienky.
Pre
taký
úlohy
okrem
originálny
diferenciálna rovnica v nejakom bode x0
musia byť špecifikované počiatočné podmienky, t.j.
hodnoty funkcie y (x) a jej derivácií: y (x0) =
y0
y" (x0) = y"0, . . . y(n-1) (x0) = yn-10.

Formulácia problému
Druhým typom úloh sú tzv
hranica, alebo hrana, v ktorej
ďalšie podmienky sú uvedené vo formulári
funkčné
pomerov
medzi
hľadané riešenia.
Tretí typ problémov pre obyčajných
diferenciálne rovnice zahŕňajú problémy
vlastné hodnoty.

Formulácia problému
Sformulujme Cauchyho problém.
Nájdite riešenie bežného diferenciálu
rovnica prvého poriadku (ODR), vyriešená
vzhľadom na derivát
y " f (x, y),
splnenie počiatočnej podmienky
y(x0)y0

10.

Formulácia problému
Je potrebné nájsť na segmente napr
nepretržitá funkcia
y = y(x), ktoré
vyhovuje diferenciálnej rovnici
y" f (x, y) a počiatočná podmienka y (x0) y0
tie.
Nájsť
Riešenie
diferenciál
rovnice Nájdenie takéhoto riešenia je tzv
riešenie Cauchyho problému. Numerické riešenie tohto
úlohou je zostaviť približnú tabuľku
hodnoty y1,y2,...,yn riešenia rovnice y(x) v bodoch
x1,x2,...,xn s nejakým krokom h.
xi x0 i h,
i=1,2,...,n.

11.

Obyčajný
diferenciálne rovnice
Rovnice v kvocientoch
deriváty
z z
D Y
0
2 (y 3)
2
2
X
r
dx
2
D Y
2
2
t
1
2
z
z
dt
3 2 2 4
X
r
3
xdy=y dx
2
y'=x
2
11
2
18.01.2018

12.

Rovnice prvého poriadku
D Y
2 (y 3)
dx
Rovnice druhého rádu
2
D Y
t
1
2
dt
z z
0
2
2
X
r
2
3
xdy=y dx
z z
3 2 2 4
x y
2
2
y′=x
12
2
2
18.01.2018

13.

Príklad 1. Pre diferenciálnu rovnicu
D Y
2x
dx
y0 = 2 pri x0 = 1
všeobecné riešenie: y = x2 +
S
2 = 1 + C, teda C = 1
M0 (1; 2)
13
18.01.2018

14.

Lipschitzov stav
R[ a ,b ] (| x x0 | a, | y y0 | b)
f (x, y) f (x, y) N y y
14
18.01.2018

15.

Metódy na približné riešenie diferenciálu
rovnice
Analytické metódy
Numerické metódy
Sekvenčná metóda
aproximácie - metóda
Picara
Eulerova metóda a jej
modifikácií
Integračná metóda
diferenciál
pomocou rovníc
mocninný rad
Metóda Runge-Kutta
Extrapolačná metóda
Adams
15
18.01.2018

16.

18.01.2018

17.

Riešiť diferenciálnu rovnicu
у′=f(x, y) numerickou metódou –
to znamená pre daný
sekvencie argumentov
x0, x1,…, xn a čísla y0,
bez definovania funkcie y=F(x),
nájsť také hodnoty y1, y2, …, yn,
že yi=F(xi) a F(x0)=y0.
h=xk-xk-1
18.01.2018

18.

Nech je daná diferenciálna rovnica
prvá objednávka
y'= f (x, y)
s počiatočným stavom
x=x0, y(x0)=y0
b a
h
n
integračný krok
18.01.2018

19.

19
18.01.2018

20.

xk 1
xk 1
f (x, y) y" dx y (x)
xk
xk 1
xk
y (xk 1) y (xk) yk 1 yk
xk
to jest
yk 1 yk
xk 1
f (x, y) dx
xk
18.01.2018

21.

xk 1
f (x, y) dx f (x, y) x
k
k
xk 1
xk
f (xk, yk)(xk 1 xk) y "h
xk
yk 1 yk y"k h
yk 1 yk y"k h
Označme
yk 1 yk yk
yk h y"k
yk 1 yk yk
18.01.2018

22.

r
h
0
x0
x1
x2
X
18.01.2018

23.

Chyba metódy
hM
n
y (xn) y n
(1 hN) 1
2N
Kde
f (x1, y1) f (x1, y2) Ny1 y2
df
f
f
f
M
dx
X
r
18.01.2018

24.

Príklad 1. Riešte y’=y-x s iniciálou
podmienka x0=0, y0=1,5 na segmente, h=0,25
Riešenie
i
(1)
0
1
2
3
4
5
6
xi
(2)
0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
yi
(3)
1.5000
1.875
2.2812
2.7265
3.226
3.7758
4.4072
yi’=yi-xi
(4)
1.5000
1.6250
1.7812
1.9765
2.2206
2.5258
yi hy
"
i
(5)
0.3750
0.4062
0.4453
0.4941
0.5552
0.6314
18.01.2018

25.

Eulerova metóda
Zadajte x, y, h, b
Výstup x,y
y: y hf x, y
x: x h
+
x b
koniec
18.01.2018

26.

Vylepšená Eulerova metóda
yn+1 = yn + h/2
Vráťme sa k Taylorovmu radu rozšírenia funkcie
zvýšenie presnosti výpočtu možno dosiahnuť zachovaním
člen obsahujúci h2. y (t0) možno aproximovať konečným rozdielom:
Ak vezmeme do úvahy tento výraz, rozšírenie funkcie do Taylorovho radu má tvar
chyba je rádu h3
18.01.2018

27.

18.01.2018

28.

Úloha. Nech daný diferenciál
rovnica prvého poriadku
y’= f(x, y)
s počiatočným stavom
x=x0, y(x0)=y0
Nájdite riešenie rovnice na segmente
yi 1 yi yi
18.01.2018

29.

k1 hf (x, y)
h
k1
k 2 hf (x, y)
2
2
h
k2
k3 hf(x, y)
2
2
k4 hf (x h, y k3)
18.01.2018

30.

1
y (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
yi 1 yi yi
18.01.2018

31.

18.01.2018

32.

Chyba metódy Rn(h5)
18.01.2018

33.

Príklad 1. Riešte diferenciál
rovnica y′=y-x s iniciálom
podmienka x0=0, y(x0)=y0=1,5 metóda
Runge-Kutta. Vypočítajte s presnosťou na 0,01.
Riešenie
k1(0)=(y0-x0)h=1,5000*0,25=0,3750
k2(0)
k1(0)
h
x0 h (1,5000 0,1875) 0,125 0,25 0,3906
y0
2
2
18.01.2018

34.

k3(0)
k2(0)
h
x0 h (1,5000 0,1953) 0,125 0,25 0,3926
y0
2
2
k4(0)=[(y0+k3(0))-(x0+h)]h=[(1,5000+0,3926)0,125]*0,25=0,4106
1
y0 (0,3750 2 * 0,3906 2 * 0,3926 0,4106)
6
=0,3920
y1 = 1,50000 + 0,3920 = 1,8920
18.01.2018

35.

18.01.2018

36.

18.01.2018

37.

Runge-Kutta metóda na riešenie systémov
diferenciálne rovnice
,
y " f (x, y, z)
z
"
g
X
,
r
,
z
18.01.2018

38.

1(i)
(i)
(i)
(i)
yi (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
1(i)
(i)
(i)
(i)
zi (l1 2l2 2l3 l4)
6
, Kde
18.01.2018

39.

(i)
1
k
(i)
1
l
hf(xi, yi, zi)
hq(xi, yi, zi)
18.01.2018

40.

k
l
(i)
2
(i)
2
(i)
1
(i)
1
h
k
l
hf(xi, yi
, zi)
2
2
2
(i)
1
(i)
1
h
k
l
hq(xi, yi
, zi)
2
2
2
18.01.2018

41.

k
(i)
3
(i)
3
l
(i)
2
(i)
2
(i)
2
(i)
2
h
k
l
hf(xi, yi
, zi)
2
2
2
h
k
l
hq(xi, yi
, zi)
2
2
2
18.01.2018

42.

k
l
,
(i)
4
(i)
4
(i)
3
k
h
(i)
hf(xi, yi
, zi l3)
2
2
(i)
3
k
h
(i)
hq(xi, yi
, z i l3)
2
2
yi 1 yi yi
zi 1 zi zi
18.01.2018

43.

Metóda postupnej aproximácie
43
18.01.2018

44.

Prvý prístup:
Druhá aproximácia:
Tretia aproximácia:
…
n-tá aproximácia:
44
18.01.2018

45.

Veta. Nech v okolí bodu (x0; y0)
funkcia f(x, y) je spojitá a má
obmedzená parciálna derivácia f'y (x, y).
Potom v nejakom intervale obsahujúcom
bod x0, postupnosť ( yi(x))
konverguje k funkcii y(x), slúžiacej
diferenciálne riešenie
rovnice y’ = f(x, y) a
splnenie podmienky y (x0) = y0
45
18.01.2018

46.

Odhad chyby Picardovej metódy
n 1
h
| y yn | N M
(n 1)!
n
kde M = max |f(x, y)|
N = max |f ’y(x, y)|
b
h min a,
M
46
18.01.2018

47. Picardova metóda postupných aproximácií

Diferenciálna rovnica n-tého rádu
Zvážte diferenciálnu rovnicu prvej
objednať
y’ = f(x, y)
(1)
s počiatočnými podmienkami
y(x0) = y0
(2).
Predpokladá sa, že v nejakom susedstve bodu
M0(x0, y0) rovnica (1) spĺňa podmienky vety
existenciu a jedinečnosť riešenia.

48.

Pre hodnoty zostrojíme požadované riešenie y = y(x).
x x 0.
Prípad x x0 je podobný.
Integrácia pravej a ľavej strany rovnice (1) do
v rozsahu od x0 do x, dostaneme
X
y (x) y (x0) f (x, y) dx
x0
alebo vzhľadom na počiatočnú podmienku (2), budeme mať
X
y (x) y0 f (x, y) dx
x0
(3)

49.

Pretože požadovaná funkcia y = y(x) je pod
znamienko integrálu, potom rovnica (3) je
integrálne.
Je zrejmé, že riešenie integrálnej rovnice (3)
spĺňa diferenciálnu rovnicu (1) a
do počiatočného stavu (2).
Aby sme našli toto riešenie, použijeme metódu
postupné aproximácie.
Nahradenie neznámej funkcie y v rovnosti (3)
pri danej hodnote y0 získame prvú aproximáciu
X
y1 y0 f (x, y0)dx
x0

50.

Ďalej dosadzovanie v rovnosti (3) namiesto neznámeho
funkcia y nájdená funkcia y1, budeme mať druhú
aproximácia
X
y2 y0 f (x, y1)dx
atď.
x0
Všetky ďalšie aproximácie sú konštruované pomocou vzorca
X
yn y0 f (x, yn 1) dx
(n = 1, 2, ...)
x0
Geometricky
sekvenčné
blížiace sa
predstavujú krivky yn = yn(x) (n = 1, 2, ...),
prechádzajúci cez spoločný bod M0(x0, y0).

51.

r
0
x0
x x + h
X
Komentujte.
o
metóda
po sebe idúcich
aproximácie ako počiatočná aproximácia y0,
môžete si vybrať akúkoľvek funkciu, ktorá je dostatočne blízko
presné riešenie y.
Napríklad niekedy je výhodné brať y0 ako
posledný segment Taylorovho radu požadovaného riešenia.

52.

Poznač si to
Čo
pri
použitie
metóda
postupné aproximácie analyticita sprava
časť diferenciálnej rovnice je voliteľná,
Preto je možné túto metódu použiť aj v prípadoch, keď
Kedy
rozklad
riešenia
diferenciál
rovnice v mocninnom rade nie sú možné.
Príklad 1. Použitie metódy postupných aproximácií
nájsť približné riešenie diferenciálu
rovnice
y’ = x – y,
Splnenie počiatočnej podmienky y(0) = 1.

53.

Riešenie. Ako
zoberme y0(x) = 1. Keďže
primárny
blížiace sa
X
y 1 (x y) dx
0
potom budeme mať
X
x2
y1 1 (x 1) dx 1 x
2
0
Podobne
3
x2
X
dx 1 x x 2
y2 1 x 1 x
2
6
0
X

54.

Podobným spôsobom dostaneme
3
4
X
X
y3 1 x x 2
3 24
3
4
5
X
X
X
y4 1 x x 2
3 12 120
atď.

55. Systém diferenciálnych rovníc (Picardova metóda)

Je daná sústava diferenciálnych rovníc
D Y
f(x,y)
dx
(4)
y(x0) y0
(5)
Kde
Zápis vektorovej rovnice (4) v integráli
formu, budeme mať

56.

X
y y0 f (x, y) dx
(6)
x0
kde pod integrálom vektorovej funkcie
sa chápe ako vektor
X
x0
X
f1 dx
x0
f dx
X
f n dx
x0
f1
f
fn

57.

Postupné aproximácie
sú určené vzorcom
X
r
(p)
y 0 f (x, y
(str. 1)
y (p) (p = 1, 2, ...)
)dx
x0
Okrem toho sa zvyčajne verí
y(0)y
Táto metóda je vhodná aj pre diferenciál
rovnica n-tého rádu, ak je napísaná v tvare
systémov.

58.

Príklad 2. Zostavte niekoľko po sebe idúcich
aproximácie na riešenie systému
dy1
dx x y1 y2
dy2 x 2 y 2
1
dx
spĺňajúce počiatočné podmienky
y1(0) = 1; y2(0) = 0

59.

Riešenie. Máme:
X
y1 1 (x y1 y2) dx
0
X
y2 (x2 y12)dx
0
Teda za predpokladu
y1(0) = 1;
y2(0) = 0
dostaneme
X
2
X
(1)
y1 1 (x 0) dx 1
2
0
X
3
X
(1)
y2 (x 2 1) dx x
3
0

60.

x 2
x 3
x 4 x 6
1 x 1 x dx 1
2
3
24 36
0
X
(2)
1
r
4
5
2
X
X
x 1 x 2 dx x
4
20
0
X
y2
(2)
atď.

61.

Koniec výpočtov
n 1
h
| y yn | N M
(n 1)!
n
61
18.01.2018

Budeme uvažovať obyčajnú diferenciálnu rovnicu (ODR) prvého rádu

s počiatočným stavom

y(x 0) = y 0, (2)

kde f(x) je nejaká daná, vo všeobecnom prípade, nelineárna funkcia dvoch premenných. Budeme predpokladať, že pre tento problém (1)-(2), nazývaný počiatočný problém alebo Cauchyho problém, sú splnené požiadavky na zabezpečenie existencie a jedinečnosti jeho riešenia y=y(x) na intervale [x 0 , b].

Napriek zjavnej jednoduchosti rovnicu (1) ju riešte analyticky, t.j. Je možné nájsť všeobecné riešenie y = y (x, C) a potom z neho izolovať integrálnu krivku y = y (x) prechádzajúcu daným bodom (x 0 ; y 0) len pre niektoré špeciálne typy takéto rovnice. Preto, ako v príbuznom probléme výpočtu integrálov pre (1)-(2), musíme sa pri riešení počiatočných úloh pre ODR spoliehať na približné metódy, ktoré možno rozdeliť do troch skupín:

1) približné analytické metódy;

2) grafické alebo strojové grafické metódy;

3)numerické metódy.

Metódy prvej skupiny zahŕňajú tie, ktoré umožňujú okamžite nájsť aproximáciu riešenia y(x) vo forme nejakej „dobrej“ funkcie. φ (X). Napríklad je všeobecne známy metóda mocninových radov, jedna z implementácií zahŕňa reprezentáciu požadovanej funkcie y(x) segmentom Taylorovho radu, kde Taylorove koeficienty obsahujúce derivácie vyšších rádov sa nachádzajú sekvenčnou diferenciáciou samotnej rovnice (1). Ďalším zástupcom tejto skupiny metód je metóda postupných aproximácií, ktorej podstata je uvedená nižšie.

názov grafické metódy hovorí o približnom zobrazení požadovaného riešenia y(x) na intervale vo forme grafu, ktorý možno zostrojiť podľa určitých pravidiel spojených s grafickou interpretáciou daného problému. Fyzikálna alebo, možno by bolo presnejšie povedať, elektrická interpretácia počiatočných problémov pre určité typy rovníc je základom strojovo-grafických metód na približné riešenia. Pri implementácii špecifikovaných elektrických procesov na fyzikálnej a technickej úrovni sa na obrazovke osciloskopu sleduje správanie riešení diferenciálnych rovníc, ktoré tieto procesy popisujú. Zmena parametrov rovnice vedie k adekvátnej zmene v správaní riešení, ktoré tvoria základ špecializovaných analógových počítačov (AVM).

Napokon, najvýznamnejšie v súčasnosti, charakterizované rýchlym rozvojom a prenikaním digitálnej výpočtovej techniky do všetkých sfér ľudskej činnosti, sú numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc, ktoré zahŕňajú získanie číselnej tabuľky približných hodnôt y i požadované riešenie y(x) na určitej mriežke
hodnoty argumentu x. Tieto metódy budú predmetom ďalšej diskusie. Čo robiť s výslednými číselnými hodnotami riešenia závisí od použitej formulácie problému. Ak hovoríme o nájdení iba hodnoty y(b), tak bod b je zaradený ako konečný do systému vypočítaných bodov x i a zúčastňujú sa na ňom všetky približné hodnoty y i ≈y(x i), okrem poslednej. len ako medziľahlé, t.j. nevyžadujú zapamätanie ani spracovanie. Ak potrebujete mať približné riešenie y(x) v ktoromkoľvek bode x, potom na to môžete použiť jednu z metód aproximácie tabuľkových funkcií, o ktorých sme hovorili vyššie, na výslednú číselnú tabuľku hodnôt yi, napríklad interpoláciu. alebo spline interpoláciou. Možné sú aj iné použitia údajov numerického riešenia.

Dotknime sa jednej približnej analytickej metódy na riešenie počiatočnej úlohy (1)-(2), v ktorej požadované riešenie y=y(x) v nejakom pravom okolí bodu x 0 je limita postupnosti funkcií y n (x) získané určitým spôsobom.

Integrujme ľavú a pravú stranu rovnice (1) v medziach od x 0 do x:

Odtiaľ, ak vezmeme do úvahy skutočnosť, že jedna z primitív pre y"(x) je y(x), dostaneme

alebo pomocou počiatočnej podmienky (2),

(3)

Táto diferenciálna rovnica (1) s počiatočnou podmienkou (2) bola teda transformovaná na integrálnu rovnicu (neznáma funkcia je tu zahrnutá pod znamienkom integrálu).

Výsledná integrálna rovnica (3) má tvar úlohy s pevným bodom pre operátora
Formálne možno na tento problém použiť metódu jednoduchých iterácií

celkom dôkladne uvažované vo vzťahu k systémom lineárnych a nelineárnych algebraických a transcendentálnych rovníc. Ak vezmeme konštantu y 0 špecifikovanú v (2) ako počiatočnú funkciu y 0 (x), pomocou vzorca (4) pre n = 0 nájdeme prvú aproximáciu

Jeho substitúcia v (4) s n=1 dáva druhú aproximáciu

atď. Táto približná analytická metóda, nazývaná metóda postupných aproximácií alebo Picardova metóda, je teda definovaná vzorcom

(5)

kde n=0,1,2,...ayo(x)=y0.

Všimnime si dve charakteristiky Picardovej metódy postupných aproximácií, ktoré možno klasifikovať ako negatívne. Po prvé, kvôli známym problémom s účinným nájdením primitívnych derivátov je metóda (5) zriedkavo implementovateľná vo svojej čistej forme. Po druhé, ako je zrejmé z vyššie uvedeného tvrdenia, táto metóda by sa mala považovať za lokálnu, vhodnú na aproximáciu riešenia v malom pravom susedstve počiatočného bodu. Picardova metóda je dôležitejšia pre dokázanie existencie a jedinečnosti riešenia Cauchyho problému ako pre jeho nájdenie v praxi.

Lekcia č. 17. Eulerove metódy.

Cieľ - oboznámiť študentov s Eulerovými metódami riešenia Cauchyho úlohy pre obyčajné diferenciálne rovnice.