Účel služby. Maticová kalkulačka určené na riešenie maticových výrazov, ako sú 3A-CB 2 alebo A -1 +B T .

Inštrukcie. Pre online riešenie musíte zadať maticový výraz. V druhej fáze bude potrebné objasniť rozmer matíc. Platné operácie: násobenie (*), sčítanie (+), odčítanie (-), inverzná matica A^(-1), umocňovanie (A^2, B^3), transpozícia matice (A^T).

Platné operácie: násobenie (*), sčítanie (+), odčítanie (-), inverzná matica A^(-1), umocňovanie (A^2, B^3), transpozícia matice (A^T).
Ak chcete vykonať zoznam operácií, použite oddeľovač bodkočiarku (;). Ak chcete napríklad vykonať tri operácie:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B)-1
budete to musieť napísať takto: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Matica je obdĺžniková numerická tabuľka s m riadkami a n stĺpcami, takže maticu možno schematicky znázorniť ako obdĺžnik.
Nulová matica (nulová matica) je matica, ktorej všetky prvky sú rovné nule a sú označené 0.
Matica identity sa nazýva štvorcová matica formulára

Dve matice A a B sú rovnaké, ak majú rovnakú veľkosť a ich zodpovedajúce prvky sú rovnaké.
Singulárna matica je matica, ktorej determinant sa rovná nule (Δ = 0).

Poďme definovať základné operácie s maticami.

Pridanie matice

Definícia . Súčet dvoch matíc A=||a i k || a B=||b i k || rovnakej veľkosti sa nazýva matica C=||c i k || rovnakých rozmerov, ktorých prvky nájdeme podľa vzorca c i k =a i k +b i k. Označené ako C=A+B.

Príklad 6. .
Operácia sčítania matice sa rozširuje na prípad ľubovoľného počtu členov. Samozrejme A+0=A .
Zdôraznime ešte raz, že možno pridávať len matice rovnakej veľkosti; Pre matice rôznych veľkostí nie je operácia sčítania definovaná.

Odčítanie matíc

Definícia . Rozdiel B-A matíc B a A rovnakej veľkosti je matica C taká, že A+C=B.

Maticové násobenie

Definícia . Súčin matice A=||a i k || číslom α je matica C=||c i k ||, získaná z A vynásobením všetkých jej prvkov α, c i k =α·a i k.

Definícia . Nech dve matice A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) a B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p) a počet stĺpcov A sa rovná počtu riadkov B. Súčin A a B je matica C=||c i k ||, ktorej prvky nájdeme podľa vzorca .
Označené ako C=A·B.
Schematicky môže byť operácia násobenia matice znázornená nasledovne:

a pravidlo na výpočet prvku v produkte:

Zdôraznime ešte raz, že súčin A·B má zmysel vtedy a len vtedy, ak sa počet stĺpcov prvého faktora rovná počtu riadkov druhého a súčin vytvára maticu, ktorej počet riadkov je rovný počet riadkov prvého faktora a počet stĺpcov sa rovná počtu stĺpcov druhého faktora. Výsledok násobenia môžete skontrolovať pomocou špeciálnej online kalkulačky.

Príklad 7. Dané matice A . Nájdite matice C = A·B a D = B·A.
Riešenie. Najprv si všimnite, že produkt A·B existuje, pretože počet stĺpcov A sa rovná počtu riadkov B.

Všimnite si, že vo všeobecnom prípade A·B≠B·A, t.j. súčin matríc je antikomutatívny.
Nájdime B·A (násobenie je možné).

Príklad 8. Daná matica . Nájdite 3A 2 – 2A.
Riešenie.

.
; .
.
Všimnime si nasledujúci zaujímavý fakt.
Ako viete, súčin dvoch nenulových čísel sa nerovná nule. Pre matice nemusí nastať podobná okolnosť, to znamená, že súčin nenulových matíc sa môže ukázať ako rovný nulovej matici.

Táto téma bude pokrývať operácie, ako je sčítanie a odčítanie matíc, násobenie matice číslom, násobenie matice maticou a transpozícia matice. Všetky symboly použité na tejto stránke sú prevzaté z predchádzajúcej témy.

Sčítanie a odčítanie matíc.

Súčet $A+B$ matíc $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ a $B_(m\krát n)=(b_(ij))$ sa nazýva matica $C_(m \krát n) =(c_(ij))$, kde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ pre všetky $i=\overline(1,m)$ a $j=\overline( 1, n) $.

Podobná definícia je zavedená pre rozdiel matíc:

Rozdiel medzi maticami $A-B$ $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ a $B_(m\krát n)=(b_(ij))$ je matica $C_(m\krát n)=( c_(ij))$, kde $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ pre všetky $i=\overline(1,m)$ a $j=\overline(1, n) $.

Vysvetlenie položky $i=\overline(1,m)$: show\hide

Zápis "$i=\overline(1,m)$" znamená, že parameter $i$ sa mení od 1 do m. Napríklad zápis $i=\overline(1,5)$ znamená, že parameter $i$ nadobúda hodnoty 1, 2, 3, 4, 5.

Stojí za zmienku, že operácie sčítania a odčítania sú definované len pre matice rovnakej veľkosti. Vo všeobecnosti sú sčítanie a odčítanie matíc operácie, ktoré sú intuitívne jasné, pretože v podstate znamenajú len sčítanie alebo odčítanie zodpovedajúcich prvkov.

Príklad č.1

Sú uvedené tri matice:

$$ A=\left(\začiatok(pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(pole) \vpravo)\;\; B=\left(\začiatok(pole) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(pole) \right); \;\; F=\left(\začiatok(pole) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(pole) \right). $$

Je možné nájsť maticu $A+F$? Nájdite matice $C$ a $D$, ak $C=A+B$ a $D=A-B$.

Matica $A$ obsahuje 2 riadky a 3 stĺpce (inými slovami, veľkosť matice $A$ je $2\krát 3$) a matica $F$ obsahuje 2 riadky a 2 stĺpce. Veľkosti matíc $A$ a $F$ sa nezhodujú, preto ich nemôžeme sčítať, t.j. operácia $A+F$ nie je pre tieto matice definovaná.

Veľkosti matíc $A$ a $B$ sú rovnaké, t.j. Údaje matice obsahujú rovnaký počet riadkov a stĺpcov, takže operácia sčítania sa na ne vzťahuje.

$$ C=A+B=\left(\začiatok(pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(pole) \right)+ \left(\začiatok(pole ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(pole) \right)=\\= \left(\begin(pole) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(pole) \right)= \left(\začiatok(pole) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(pole) \vpravo) $$

Poďme nájsť maticu $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\začiatok(pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(pole) \right)- \left(\začiatok(pole) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(pole) \right)=\\= \left(\začiatok(pole) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(pole) \right)= \left(\začiatok(pole) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(pole) \vpravo) $$

Odpoveď: $C=\left(\začiatok(pole) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(pole) \right)$, $D=\left(\začiatok(pole) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(pole) \right)$.

Násobenie matice číslom.

Súčin matice $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ číslom $\alpha$ je matica $B_(m\krát n)=(b_(ij))$, kde $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ pre všetky $i=\overline(1,m)$ a $j=\overline(1,n)$.

Jednoducho povedané, vynásobenie matice určitým číslom znamená vynásobenie každého prvku danej matice týmto číslom.

Príklad č.2

Matica je daná: $ A=\left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \right)$. Nájdite matice $3\cdot A$, $-5\cdot A$ a $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\začiatok(pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \vpravo) =\left(\začiatok( pole) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(pole) \right)= \left(\začiatok(pole) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(pole) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\začiatok (pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \right) =\left(\začiatok(pole) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(pole) \right)= \left(\začiatok(pole) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(pole) \vpravo). $$

Zápis $-A$ je skrátený zápis pre $-1\cdot A$. To znamená, že ak chcete nájsť $-A$, musíte vynásobiť všetky prvky matice $A$ (-1). V podstate to znamená, že znamienko všetkých prvkov matice $A$ sa zmení na opak:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\začiatok(pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \right)= \ left(\začiatok(pole) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(pole) \right) $$

Odpoveď: $3\cdot A=\left(\začiatok(pole) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \koniec(pole) \vpravo);\; -5\cdot A=\left(\začiatok(pole) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \koniec(pole) \vpravo);\; -A=\left(\začiatok(pole) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(pole) \right)$.

Súčin dvoch matíc.

Definícia tejto operácie je ťažkopádna a na prvý pohľad nejasná. Preto najprv uvediem všeobecnú definíciu a potom podrobne rozoberieme, čo to znamená a ako s tým pracovať.

Súčin matice $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ maticou $B_(n\krát k)=(b_(ij))$ je matica $C_(m\krát k) )=(c_( ij))$, pre ktoré sa každý prvok $c_(ij)$ rovná súčtu súčinov zodpovedajúcich prvkov i-teho riadku matice $A$ prvkami j -ty stlpec matice $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Pozrime sa na násobenie matice krok za krokom na príklade. Mali by ste však okamžite poznamenať, že nie všetky matice sa dajú vynásobiť. Ak chceme maticu $A$ vynásobiť maticou $B$, tak sa najprv musíme uistiť, že počet stĺpcov matice $A$ sa rovná počtu riadkov matice $B$ (takéto matice sa často nazývajú dohodnuté). Napríklad maticu $A_(5\krát 4)$ (matica obsahuje 5 riadkov a 4 stĺpce) nemožno vynásobiť maticou $F_(9\krát 8)$ (9 riadkov a 8 stĺpcov), pretože číslo stĺpcov matice $A $ sa nerovná počtu riadkov matice $F$, t.j. $4\neq 9$. Maticu $A_(5\krát 4)$ však môžete vynásobiť maticou $B_(4\krát 9)$, pretože počet stĺpcov matice $A$ sa rovná počtu riadkov matice $ B$. V tomto prípade výsledkom vynásobenia matíc $A_(5\krát 4)$ a $B_(4\krát 9)$ bude matica $C_(5\krát 9)$ obsahujúca 5 riadkov a 9 stĺpcov:

Príklad č.3

Dané matice: $ A=\left(\začiatok(pole) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (pole) \right)$ a $ B=\left(\begin(pole) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(pole) \right) $. Nájdite maticu $C=A\cdot B$.

Najprv si okamžite určme veľkosť matice $C$. Keďže matica $A$ má veľkosť $3\krát 4$ a matica $B$ má veľkosť $4\krát 2$, potom veľkosť matice $C$ je: $3\krát 2$:

Takže ako výsledok súčinu matíc $A$ a $B$ by sme mali dostať maticu $C$ pozostávajúcu z troch riadkov a dvoch stĺpcov: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(pole) \vpravo)$. Ak označovanie prvkov vyvoláva otázky, tak si môžete pozrieť predchádzajúcu tému: "Matice. Typy matíc. Základné pojmy", na začiatku ktorej je vysvetlené označenie prvkov matice. Náš cieľ: nájsť hodnoty všetkých prvkov matice $C$.

Začnime prvkom $c_(11)$. Ak chcete získať prvok $c_(11)$, musíte nájsť súčet súčinov prvkov prvého riadku matice $A$ a prvého stĺpca matice $B$:

Na nájdenie samotného prvku $c_(11)$ je potrebné vynásobiť prvky prvého riadku matice $A$ zodpovedajúcimi prvkami prvého stĺpca matice $B$, t.j. prvý prvok k prvému, druhý k druhému, tretí k tretiemu, štvrtý k štvrtému. Zhrnieme získané výsledky:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Pokračujme v riešení a nájdime $c_(12)$. Aby ste to dosiahli, budete musieť vynásobiť prvky prvého riadku matice $A$ a druhého stĺpca matice $B$:

Podobne ako v predchádzajúcom máme:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Všetky prvky prvého riadku matice $C$ boli nájdené. Prejdime na druhý riadok, ktorý začína prvkom $c_(21)$. Aby ste to našli, budete musieť vynásobiť prvky druhého riadku matice $A$ a prvého stĺpca matice $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Ďalší prvok $c_(22)$ nájdeme vynásobením prvkov druhého riadku matice $A$ zodpovedajúcimi prvkami druhého stĺpca matice $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Ak chcete nájsť $c_(31)$, vynásobte prvky tretieho riadku matice $A$ prvkami prvého stĺpca matice $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

A nakoniec, aby ste našli prvok $c_(32)$, budete musieť vynásobiť prvky tretieho riadku matice $A$ zodpovedajúcimi prvkami druhého stĺpca matice $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Všetky prvky matice $C$ boli nájdené, ostáva už len napísať, že $C=\left(\begin(pole) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( pole) \vpravo)$ . Alebo napísať celé:

$$ C=A\cdot B =\left(\začiatok(pole) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(pole) \right)\cdot \left(\začiatok(pole) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(pole) \right) =\left(\začiatok(pole) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(pole) \vpravo). $$

Odpoveď: $C=\left(\začiatok(pole) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \koniec(pole) \vpravo)$.

Mimochodom, často nie je dôvod podrobne popisovať umiestnenie každého prvku výslednej matice. Pre matice, ktorých veľkosť je malá, môžete urobiť toto:

$$ \left(\begin(pole) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(pole)\right)\cdot \left(\begin(pole) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(pole) \right) =\left(\začiatok(pole) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(pole) \right) =\vľavo (\začiatok(pole) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(pole) \vpravo) $$

Za zmienku tiež stojí, že maticové násobenie je nekomutatívne. To znamená, že vo všeobecnom prípade $A\cdot B\neq B\cdot A$. Len pre niektoré typy matíc, ktoré sú tzv permutabilné(alebo dochádzanie), platí rovnosť $A\cdot B=B\cdot A$. Práve na základe nekomutatívnosti násobenia musíme presne uviesť, ako násobíme výraz konkrétnou maticou: vpravo alebo vľavo. Napríklad fráza „vynásobte obe strany rovnosti $3E-F=Y$ maticou $A$ vpravo“ znamená, že chcete získať nasledujúcu rovnosť: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transponovaná vzhľadom na maticu $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ je matica $A_(n\krát m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, pre prvky, ktoré $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Jednoducho povedané, aby ste získali transponovanú maticu $A^T$, musíte nahradiť stĺpce v pôvodnej matici $A$ zodpovedajúcimi riadkami podľa tohto princípu: bol prvý riadok - bude prvý stĺpec ; bol druhý riadok - bude druhý stĺpec; bol tam tretí riadok - bude tam tretí stĺpec a tak ďalej. Napríklad nájdime transponovanú maticu na maticu $A_(3\krát 5)$:

Ak teda pôvodná matica mala veľkosť $3\krát 5$, potom transponovaná matica má veľkosť $5\krát 3$.

Niektoré vlastnosti operácií s maticami.

Tu sa predpokladá, že $\alpha$, $\beta$ sú nejaké čísla a $A$, $B$, $C$ sú matice. Pre prvé štyri vlastnosti som uviedol mená, ostatné možno pomenovať analogicky s prvými štyrmi.

Problémy lineárnej algebry. Pojem matice. Typy matríc. Operácie s maticami. Riešenie problémov s transformáciou matice.

Pri riešení rôznych úloh z matematiky sa často musíte zaoberať tabuľkami čísel, ktoré sa nazývajú matice. Pomocou matíc je vhodné riešiť sústavy lineárnych rovníc, vykonávať mnohé operácie s vektormi, riešiť rôzne problémy počítačovej grafiky a iné inžinierske problémy.

Matica sa nazýva obdĺžniková tabuľka čísel obsahujúca množstvo m riadkov a určitý počet P stĺpci. čísla T A P sa nazývajú maticové objednávky. Ak T = P, matica sa nazýva štvorec a číslo m = n - jej príkaz.

V budúcnosti sa na písanie matíc budú používať buď dvojité pomlčky alebo zátvorky:

Alebo

Na stručné označenie matice sa často používa buď jedno veľké písmeno (napríklad A) alebo symbol || a ij || a niekedy aj s vysvetlením: A = || a ij || = (a ij), Kde (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n).

čísla aij, zahrnuté v tejto matici sa nazývajú jej prvky. V nahrávaní a ij prvý index і znamená číslo riadku a druhý index j- číslo stĺpca. V prípade štvorcovej matice

(1.1)

Zavádzajú sa pojmy hlavná a vedľajšia uhlopriečka. Hlavná uhlopriečka matice (1.1) sa nazýva uhlopriečka od 11 do 12 … ann z ľavého horného rohu tejto matice do jej pravého dolného rohu. Bočná uhlopriečka tej istej matice sa nazýva uhlopriečka a n 1 a (n-1)2… a 1 n, prechádza z ľavého dolného rohu do pravého horného rohu.

Základné operácie s maticami a ich vlastnosti.

Prejdime k definovaniu základných operácií s maticami.

Pridanie matice. Súčet dvoch matíc A = || a ij || , Kde A B = || b ij || , Kde (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n) rovnaké príkazy T A P nazývaná matica C = || c ij || (i = 1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n) rovnaké príkazy T A P, prvkov s ij ktoré sú určené vzorcom

, Kde (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.2)

Na označenie súčtu dvoch matíc sa používa zápis C = A + B. Operácia skladania súčtu matíc sa nazýva ich sčítanie. Takže podľa definície:

+ =

Z definície súčtu matíc, presnejšie zo vzorcov (1.2) hneď vyplýva, že operácia sčítania matíc má rovnaké vlastnosti ako operácia sčítania reálnych čísel, a to:

1) komutatívna vlastnosť: A + B = B + A,

2) asociatívna vlastnosť: ( A + B) + C = A + (B + C).

Tieto vlastnosti umožňujú nestarať sa o poradie maticových členov pri pridávaní dvoch alebo viacerých matíc.

Násobenie matice číslom. Súčin matice A = || a ij || , kde (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) reálnym číslom l, sa nazýva matica C = || c ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), ktorého prvky sú určené vzorcom:

, Kde (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.3)

Na označenie súčinu matice a čísla sa používa zápis C = 1 A alebo C = Al. Operácia skladania súčinu matice číslom sa nazýva násobenie matice týmto číslom.

Priamo zo vzorca (1.3) je zrejmé, že vynásobenie matice číslom má tieto vlastnosti:

1) asociatívna vlastnosť týkajúca sa číselného násobiteľa: (l m) A = l (m A);

2) distribučná vlastnosť vzhľadom na súčet matíc: 1 (A + B) = 1 A + 1 B;

3) distributívna vlastnosť týkajúca sa súčtu čísel: (l + m) A = lA + mA

Komentujte. Rozdiel dvoch matíc A A IN identické objednávky T A P je prirodzené nazývať takú matricu S rovnaké príkazy T A P,čo sa sčíta s maticou B dáva maticu A. Na označenie rozdielu dvoch matíc sa používa prirodzený zápis: C = A - B.

Je veľmi ľahké overiť tento rozdiel S dve matrice A A IN možno získať podľa pravidla C = A + (–1) V.

Súčin matríc alebo násobenie matice.

Matrixový produkt A = || a ij || , kde (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) majúce objednávky zodpovedajúco rovnaké T A n, do matice B = || b ij || , Kde (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., p), majúce objednávky zodpovedajúco rovnaké n A R, nazývaná matica C = || c ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p) so zodpovedajúcimi rovnakými objednávkami T A R ktorých prvky sú určené vzorcom:

Kde (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

Na označenie súčinu matice A do matice IN použiť nahrávanie C = A × B. Operácia skladania matricového produktu A do matice IN sa nazýva násobenie týchto matíc.

Z vyššie formulovanej definície vyplýva, že Maticu A nemožno vynásobiť každou maticou B, je potrebné, aby počet stĺpcov matice A sa rovnalo počtu riadkov matice IN.

Vzorec (1.4) je pravidlom pre skladanie prvkov matice C, ktorá je súčinom matice A do matice IN. Toto pravidlo možno formulovať slovne: prvok c i j stojaci v priesečníku i-teho riadku a j-tého stĺpca matice C = A B sa rovná súčtu párových súčinov zodpovedajúcich prvkov i-teho riadku matice A a j-tého stĺpca. matice B.

Ako príklad aplikácie tohto pravidla uvádzame vzorec na násobenie štvorcových matíc druhého rádu.

× =

Zo vzorca (1.4) vyplývajú nasledujúce vlastnosti matricového produktu: A na matricu IN:

1) asociatívna vlastnosť: (AB) C = A (BC);

2) distributívna vlastnosť vo vzťahu k súčtu matíc:

(A + B) C = AC + B C alebo A (B + C) = A B + AC.

Otázka o komutatívnej vlastnosti súčinu matice A do matice IN má zmysel ho nastaviť len pre štvorcové matice A a B rovnaké poradie.

Uveďme dôležité špeciálne prípady matíc, pre ktoré platí aj permutačná vlastnosť. Dve matice, ktorých súčin má vlastnosť komutácie, sa zvyčajne nazývajú komutačné.

Medzi štvorcovými maticami vyzdvihujeme triedu takzvaných diagonálnych matíc, z ktorých každá má prvky umiestnené mimo hlavnej uhlopriečky rovné nule. Každá diagonálna matica poriadku P vyzerá ako

D= (1.5)

Kde d 1, d 2,… ,dn- ľubovoľné čísla. Je ľahké vidieť, že ak sú všetky tieto čísla navzájom rovnaké, t.j. d1 = d2 =… = d n potom pre ľubovoľnú štvorcovú maticu A objednať P rovnosť je pravda A D = D A.

Medzi všetkými diagonálnymi maticami (1.5) so zhodnými prvkami d1 = d2 =… = dn= = d Dve matrice zohrávajú obzvlášť dôležitú úlohu. Prvá z týchto matíc sa získa pomocou d = 1, nazývaná matica identity n E. Druhá matica sa získa, keď d = 0, sa nazýva nulová matica n-tého rádu a označuje sa symbolom O. teda

E= O=

Vzhľadom na to, čo bolo dokázané vyššie A E = E A A A O = O A. Navyše je ľahké to ukázať

AE = E A = A, A O = O A = 0. (1.6)

Prvý zo vzorcov (1.6) charakterizuje špeciálnu úlohu matice identity E, podobnú úlohu, akú hrá číslo 1 pri násobení reálnych čísel. Čo sa týka špeciálnej úlohy nulovej matice O, potom to prezrádza nielen druhý zo vzorcov (1.7), ale aj elementárna overiteľná rovnosť

A + 0 = 0 + A = A.

Na záver poznamenávame, že pojem nulová matica možno zaviesť aj pre neštvorcové matice (nula je tzv. akýkoľvek matica, ktorej všetky prvky sú rovné nule).

Blokové matice

Predpokladajme, že nejaká matica A = || a ij || pomocou vodorovných a zvislých čiar sa rozdelí na samostatné obdĺžnikové bunky, z ktorých každá je maticou menších veľkostí a nazýva sa blok pôvodnej matice. V tomto prípade je možné zvážiť pôvodnú maticu A ako nejaká nová (tzv. bloková) matica A = || A a b ||, ktorého prvkami sú označené bloky. Tieto prvky označujeme veľkým písmenom, aby sme zdôraznili, že vo všeobecnosti ide o matice a nie čísla a (ako bežné číselné prvky) poskytujeme dva indexy, z ktorých prvý označuje číslo riadku „bloku“ a druhý - číslo stĺpca „blok“.

Napríklad matica

možno považovať za blokovú maticu

ktorých prvkami sú tieto bloky:

Pozoruhodným faktom je, že hlavné operácie s blokovými maticami sa vykonávajú podľa rovnakých pravidiel, podľa ktorých sa vykonávajú s bežnými numerickými maticami, iba bloky fungujú ako prvky.

Pojem determinantu.

Uvažujme ľubovoľnú štvorcovú maticu ľubovoľného rádu P:

A= (1.7)

S každou takouto maticou spájame dobre definovanú číselnú charakteristiku, nazývanú determinant, zodpovedajúcu tejto matici.

Ak je objednávka n matica (1.7) sa rovná jednej, potom táto matica pozostáva z jedného prvku a ja j determinant prvého rádu zodpovedajúci takejto matici, nazveme hodnotu tohto prvku.

potom determinant druhého rádu zodpovedajúci takejto matici je číslo rovné od 11 do 22 - od 12 do 21 a označené jedným zo symbolov:

Takže podľa definície

(1.9)

Vzorec (1.9) je pravidlom na zostavenie determinantu druhého rádu z prvkov zodpovedajúcej matice. Slovná formulácia tohto pravidla je nasledovná: determinant druhého rádu zodpovedajúci matici (1.8) sa rovná rozdielu medzi súčinom prvkov na hlavnej diagonále tejto matice a súčinom prvkov na jej vedľajšej diagonále. Determinanty druhého a vyššieho rádu sa široko používajú pri riešení sústav lineárnych rovníc.

Pozrime sa, ako sa vykonávajú operácie s maticami v systéme MathCad . Najjednoduchšie operácie maticovej algebry sú v MathCade implementované vo forme operátorov. Písanie operátorov je významovo čo najbližšie k ich matematickej činnosti. Každý operátor je vyjadrený zodpovedajúcim symbolom. Zoberme si maticové a vektorové operácie v MathCad 2001. Vektory sú špeciálnym prípadom matíc dimenzií n x 1, preto pre nich platia všetky rovnaké operácie ako pre matice, pokiaľ nie sú špecificky uvedené obmedzenia (napríklad niektoré operácie sú použiteľné len pre štvorcové matice n x n). Niektoré akcie sú platné len pre vektory (napríklad skalárny súčin) a niektoré, napriek rovnakému pravopisu, pôsobia na vektory a matice odlišne.

V zobrazenom dialógovom okne zadajte počet riadkov a stĺpcov matice.

q Po stlačení tlačidla OK sa otvorí pole pre zadávanie maticových prvkov. Ak chcete zadať prvok matice, umiestnite kurzor na označené miesto a zadajte číslo alebo výraz z klávesnice.

Ak chcete vykonať akúkoľvek operáciu pomocou panela nástrojov, musíte:

q vyberte maticu a kliknite na tlačidlo operácie na paneli,

q alebo kliknite na tlačidlo v paneli a na označenú pozíciu zadajte názov matice.

Ponuka „Symboly“ obsahuje tri operácie - transponovať, inverzia, determinant.

To znamená, že napríklad spustením príkazu môžete vypočítať determinant matice Symboly/matice/determinant.

MathCAD ukladá číslo prvého riadku (a prvého stĺpca) matice do premennej ORIGIN. Štandardne sa počítanie začína od nuly. V matematickom zápise je bežnejšie počítať od 1. Aby MathCAD počítal čísla riadkov a stĺpcov od 1, musíte nastaviť hodnotu premennej ORIGIN:=1.

Funkcie určené na prácu s problémami lineárnej algebry sú zhromaždené v časti „Vektory a matice“ dialógového okna „Vložiť funkciu“ (pripomíname, že sa volá tlačidlom na paneli „Štandard“). Hlavné z týchto funkcií budú popísané neskôr.

Transponovať

Obr.2 Transponujúce matice

V MathCAD môžete pridávať matice a odčítavať ich od seba. Symboly používané pre tieto operátory sú <+> alebo <-> podľa toho. Matice musia mať rovnaký rozmer, inak sa vygeneruje chybové hlásenie. Každý prvok súčtu dvoch matíc sa rovná súčtu zodpovedajúcich prvkov maticových príkazov (príklad na obr. 3).
Okrem pridávania matíc podporuje MathCAD operáciu pridávania matice so skalárnou veličinou, t.j. číslo (príklad na obr. 4). Každý prvok výslednej matice sa rovná súčtu zodpovedajúceho prvku pôvodnej matice a skalárneho množstva.
Ak chcete zadať symbol násobenia, musíte stlačiť tlačidlo s hviezdičkou<*>alebo použite panel s nástrojmi Matrix stlačením tlačidla na ňom Bodový produkt (násobenie)(obr. 1). Maticové násobenie je štandardne označené bodkou, ako je znázornené v príklade na obrázku 6. Symbol násobenia matice je možné zvoliť rovnakým spôsobom ako v skalárnych výrazoch.
Ďalší príklad súvisiaci s násobením vektora riadkovou maticou a naopak riadku vektorom je na obr. 7. Druhý riadok tohto príkladu ukazuje, ako vyzerá vzorec, keď vyberiete zobrazenie operátora násobenia Žiadny priestor (Spolu). Rovnaký operátor násobenia však pôsobí odlišne na dva vektory .

Súvisiace informácie.