Zmiešaný súčin vektorov je číslo rovné skalárnemu súčinu vektora a vektorovému súčinu vektora. Označuje sa zmiešaný produkt.

1. Modul zmiešaného produktu nekoplanárnych vektorov sa rovná objemu kvádra postaveného na týchto vektoroch. Súčin je pozitívny, ak je trojica vektorov pravotočivá, a záporná, ak je trojica ľavotočivá, a naopak.

2. Zmiešaný súčin je nula vtedy a len vtedy, ak sú vektory koplanárne:

vektory sú koplanárne.

Dokážme prvú vlastnosť. Nájdime podľa definície zmiešaný súčin: , kde je uhol medzi vektormi a. Modul vektorového produktu (podľa geometrickej vlastnosti 1) sa rovná ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch: . Preto. Algebraická hodnota dĺžky priemetu vektora na os určenú vektorom sa v absolútnej hodnote rovná výške kvádra postaveného na vektoroch (obr. 1.47). Preto sa modul zmiešaného produktu rovná objemu tohto rovnobežnostenu:

Znamienko zmiešaného produktu je určené znamienkom kosínusu uhla. Ak je trojité správne, potom je zmiešaný produkt pozitívny. Ak je trojnásobný, potom je zmiešaný produkt negatívny.

Dokážme druhú vlastnosť. Rovnosť je možná v troch prípadoch: buď (t.j.), alebo (t.j. vektor patrí do vektorovej roviny). V každom prípade sú vektory koplanárne (pozri časť 1.1).

Zmiešaný súčin troch vektorov je číslo rovné vektorovému súčinu prvých dvoch vektorov, vynásobené skalárne vektorom. Vo vektoroch to môže byť znázornené takto

Keďže vektory sú v praxi špecifikované v súradnicovej forme, ich zmiešaný súčin sa rovná determinantu vytvorenému na ich súradniciach Vzhľadom na skutočnosť, že vektorový produkt je antikomutatívny a skalárny produkt je komutatívny, cyklické preskupovanie vektorov v zmiešanom produkte nemení jeho hodnotu. Preusporiadanie dvoch susedných vektorov zmení znamienko na opačné

Zmiešaný súčin vektorov je pozitívny, ak tvoria pravú trojicu a negatívny, ak tvoria ľavú trojku.

Geometrické vlastnosti zmiešaného produktu 1. Objem kvádra postaveného na vektoroch sa rovná modulu zmiešaného produktu týchto storočí torov.2. Objem štvorhrannej pyramídy sa rovná tretine modulu zmiešaného produktu 3. Objem trojuholníkovej pyramídy sa rovná jednej šestine modulu zmiešaného produktu 4. Rovinné vektory vtedy a len vtedy V súradniciach podmienka koplanarity znamená, že determinant sa rovná nule Pre praktické pochopenie sa pozrime na príklady. Príklad 1

Určte, ktorá trojica (pravá alebo ľavá) sú vektory

Riešenie.

Nájdite zmiešaný súčin vektorov a podľa znamienka zistime, ktorú trojicu vektorov tvoria

Vektory tvoria pravotočivú trojicu Vektory tvoria pravú trojkuVektory tvoria ľavú trojku Tieto vektory sú lineárne závislé. Zmiešaný súčin troch vektorov. Zmiešaný súčin troch vektorov je číslo

Geometrické vlastnosti zmiešaného produktu:

Veta 10.1. Objem kvádra postaveného na vektoroch sa rovná modulu zmiešaného produktu týchto vektorov

alebo objem štvorstenu (pyramídy) postaveného na vektoroch sa rovná jednej šestine modulu zmiešaného produktu

Dôkaz. Z elementárnej geometrie je známe, že objem rovnobežnostena sa rovná súčinu výšky a plochy základne

Plocha základne rovnobežnostena S rovná ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch (pozri obr. 1). Použitím

Ryža. 1. Aby sme dokázali vetu 1. geometrický význam vektorového súčinu vektorov, získame to

Z toho dostaneme: Ak je trojica vektorov ľavotočivá, potom vektor a vektor smerujú opačným smerom, potom alebo Je teda súčasne dokázané, že znamienko zmiešaného súčinu určuje orientáciu trojice vektorov. (trojka je pravák a trojka je ľavák). Dokážme teraz druhú časť vety. Z obr. 2 je zrejmé, že objem trojbokého hranola postaveného na troch vektoroch sa rovná polovici objemu kvádra postaveného na týchto vektoroch, tj.
Ryža. 2. K dôkazu 1. vety.

Hranol však pozostáva z troch pyramíd rovnakého objemu OABC, A B C D A ACDE. Vskutku, objemy pyramíd A B C D A ACDE sú rovnaké, pretože majú rovnaké základné plochy BCD A CDE a tá istá výška klesla zhora A. To isté platí pre výšky a základne pyramíd OABC a ACDE. Odtiaľ

V tejto lekcii sa pozrieme na ďalšie dve operácie s vektormi: vektorový súčin vektorov A zmiešaný súčin vektorov (okamžitý odkaz pre tých, ktorí to potrebujú). To je v poriadku, niekedy sa stane, že pre úplné šťastie, navyše skalárny súčin vektorov, sú potrebné ďalšie a ďalšie. Toto je vektorová závislosť. Môže sa zdať, že sa dostávame do džungle analytickej geometrie. Toto je nesprávne. V tejto časti vyššej matematiky je vo všeobecnosti málo dreva, možno až na Pinocchia. V skutočnosti je materiál veľmi bežný a jednoduchý - sotva komplikovanejší ako ten istý skalárny produkt, bude dokonca menej typických úloh. Hlavná vec v analytickej geometrii, ako sa mnohí presvedčia alebo už presvedčili, je NEROBIŤ CHYBY VO VÝPOČTOCH. Opakujte ako kúzlo a budete šťastní =)

Ak niekde ďaleko zažiaria vektory, ako blesky na obzore, nevadí, začnite s lekciou Vektory pre figuríny obnoviť alebo znovu získať základné vedomosti o vektoroch. Pripravenejší čitatelia sa môžu s informáciami zoznámiť selektívne; Snažil som sa zhromaždiť čo najkompletnejšiu zbierku príkladov, ktoré sa často nachádzajú v praktickej práci

Čo vás hneď poteší? Keď som bol malý, vedel som žonglovať s dvoma a dokonca aj s tromi loptičkami. Dobre to dopadlo. Teraz už nebudete musieť vôbec žonglovať, pretože zvážime iba priestorové vektory a ploché vektory s dvoma súradnicami budú vynechané. prečo? Takto sa zrodili tieto akcie – vektor a zmiešaný súčin vektorov sú definované a fungujú v trojrozmernom priestore. Už je to jednoduchšie!

Táto operácia, rovnako ako skalárny súčin, zahŕňa dva vektory. Nech sú to nezničiteľné písmená.

Samotná akcia označené nasledujúcim spôsobom: . Existujú aj iné možnosti, ale ja som zvyknutý označovať vektorový súčin vektorov týmto spôsobom v hranatých zátvorkách s krížikom.

A hneď otázka: ak je v skalárny súčin vektorov sú zapojené dva vektory a tu sa teda dva vektory tiež vynásobia v čom je rozdiel? Zjavný rozdiel je predovšetkým vo VÝSLEDKU:

Výsledkom skalárneho súčinu vektorov je ČÍSLO:

Výsledkom krížového súčinu vektorov je VEKTOR: , čiže vektory vynásobíme a opäť dostaneme vektor. Uzavretý klub. Odtiaľ vlastne pochádza aj názov operácie. V rôznej náučnej literatúre sa môžu označenia tiež líšiť, budem používať písmeno.

Definícia krížového produktu

Najprv bude definícia s obrázkom, potom komentáre.

Definícia: Vektorový produkt nekolineárne vektory, prijaté v tomto poradí s názvom VECTOR, dĺžkačo je číselne rovná ploche rovnobežníka, postavené na týchto vektoroch; vektor ortogonálne k vektorom a je nasmerovaný tak, aby základ mal správnu orientáciu:

Poďme si rozobrať definíciu, je tu veľa zaujímavých vecí!

Preto je možné zdôrazniť nasledujúce dôležité body:

1) Pôvodné vektory označené červenými šípkami podľa definície nie kolineárne. O niečo neskôr bude vhodné zvážiť prípad kolineárnych vektorov.

2) Zoberú sa vektory v presne stanovenom poradí: – "a" sa vynásobí "byť", nie „byť“ s „a“. Výsledok násobenia vektorov je VEKTOR, ktorý je označený modrou farbou. Ak sa vektory vynásobia v opačnom poradí, získame vektor rovnakej dĺžky a opačného smeru (malinová farba). To znamená, že rovnosť je pravdivá .

3) Teraz sa zoznámime s geometrickým významom vektorového súčinu. Toto je veľmi dôležitý bod! DĹŽKA modrého vektora (a teda karmínového vektora) sa číselne rovná PLOHE rovnobežníka postaveného na vektoroch. Na obrázku je tento rovnobežník zatienený čiernou farbou.

Poznámka : výkres je schematický a nominálna dĺžka vektorového produktu sa prirodzene nerovná ploche rovnobežníka.

Pripomeňme si jeden z geometrických vzorcov: Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu susedných strán a sínusu uhla medzi nimi. Preto na základe vyššie uvedeného platí vzorec na výpočet DĹŽKY vektorového produktu:

Zdôrazňujem, že vzorec je o DĹŽKE vektora, a nie o vektore samotnom. Aký je praktický význam? A význam je, že v problémoch analytickej geometrie sa oblasť rovnobežníka často nachádza prostredníctvom konceptu vektorového produktu:

Získame druhý dôležitý vzorec. Uhlopriečka rovnobežníka (červená bodkovaná čiara) ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky. Preto oblasť trojuholníka postavená na vektoroch (červené tieňovanie) možno nájsť pomocou vzorca:

4) Nemenej dôležitým faktom je, že vektor je k vektorom ortogonálny, tzn . Opačný vektor (malinová šípka) je samozrejme tiež ortogonálny k pôvodným vektorom.

5) Vektor smeruje tak, že základ Má správny orientácia. V lekcii o prechod na nový základ Hovoril som dostatočne podrobne o rovinná orientácia a teraz zistíme, aká je orientácia v priestore. Vysvetlím na vašich prstoch pravá ruka. Mentálne kombinovať ukazovák s vektorom a prostredník s vektorom. Prstenník a malíček stlačte ho do dlane. Ako výsledok palec– vektorový produkt sa vyhľadá. Toto je správne orientovaný základ (je to tento na obrázku). Teraz zmeňte vektory ( ukazovákom a prostredníkom) na niektorých miestach sa palec otočí a vektorový súčin sa už bude pozerať nadol. Toto je tiež správne orientovaný základ. Môžete mať otázku: ktorý základ opustil orientáciu? „Priradiť“ rovnakým prstom ľavá ruka vektory a získajte ľavú základňu a ľavú orientáciu priestoru (v tomto prípade bude palec umiestnený v smere spodného vektora). Obrazne povedané, tieto základy „krútia“ alebo orientujú priestor v rôznych smeroch. A tento koncept by sa nemal považovať za niečo pritiahnuté za vlasy alebo abstraktné - napríklad orientácia priestoru sa zmení najbežnejším zrkadlom a ak „vytiahnete odrazený objekt zo zrkadla“, potom to vo všeobecnosti nebude možné kombinovať s „originálom“. Mimochodom, držte tri prsty hore k zrkadlu a analyzujte odraz ;-)

...aké je dobré, že o tom teraz viete orientované vpravo a vľavo základy, lebo vyjadrenia niektorých lektorov o zmene orientácie sú desivé =)

Krížový súčin kolineárnych vektorov

Definícia bola podrobne prediskutovaná, zostáva zistiť, čo sa stane, keď sú vektory kolineárne. Ak sú vektory kolineárne, potom môžu byť umiestnené na jednej priamke a náš rovnobežník sa tiež „zloží“ do jednej priamky. Oblasť takých, ako hovoria matematici, degenerovať rovnobežník sa rovná nule. To isté vyplýva zo vzorca - sínus nuly alebo 180 stupňov sa rovná nule, čo znamená, že plocha je nula

Teda ak , tak A . Upozorňujeme, že samotný vektorový súčin sa rovná nulovému vektoru, ale v praxi sa to často zanedbáva a píše sa, že sa tiež rovná nule.

Špeciálnym prípadom je krížový súčin vektora so sebou samým:

Pomocou vektorového súčinu môžete skontrolovať kolinearitu trojrozmerných vektorov a okrem iného budeme analyzovať aj tento problém.

Na riešenie praktických príkladov budete možno potrebovať trigonometrická tabuľka nájsť z neho hodnoty sínusov.

No, zapálime oheň:

Príklad 1

a) Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov ak

b) Nájdite oblasť rovnobežníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nie, toto nie je preklep, schválne som urobil počiatočné údaje vo vetách rovnaké. Pretože dizajn riešení bude iný!

a) Podľa stavu musíte nájsť dĺžka vektor (krížový produkt). Podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď:

Ak sa vás pýtali na dĺžku, tak v odpovedi uvádzame rozmer – jednotky.

b) Podľa stavu treba nájsť námestie rovnobežník postavený na vektoroch. Plocha tohto rovnobežníka sa číselne rovná dĺžke vektorového produktu:

Odpoveď:

Upozorňujeme, že odpoveď vôbec nehovorí o vektorovom produkte, na čo sme boli požiadaní oblasť postavy, teda rozmer je štvorcových jednotiek.

Vždy sa pozeráme na to, ČO potrebujeme nájsť podľa podmienky a na základe toho formulujeme jasný odpoveď. Môže sa to zdať ako doslovnosť, ale medzi učiteľmi je dosť doslovníkov a zadanie má veľkú šancu vrátiť sa na prepracovanie. Aj keď to nie je príliš pritiahnutá hádka – ak je odpoveď nesprávna, človek má dojem, že daný človek nerozumie jednoduchým veciam a/alebo nepochopil podstatu úlohy. Tento bod treba mať vždy pod kontrolou pri riešení akéhokoľvek problému vo vyššej matematike, ale aj v iných predmetoch.

Kam zmizlo veľké písmeno „en“? V zásade to mohlo byť dodatočne priložené k riešeniu, ale v záujme skrátenia zápisu som to neurobil. Dúfam, že to každý chápe a je to označenie pre to isté.

Populárny príklad riešenia DIY:

Príklad 2

Nájdite oblasť trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka cez vektorový produkt je uvedený v komentároch k definícii. Riešenie a odpoveď sú na konci lekcie.

V praxi je táto úloha naozaj veľmi bežná, trojuholníky vás dokážu vo všeobecnosti potrápiť.

Na vyriešenie ďalších problémov budeme potrebovať:

Vlastnosti vektorového súčinu vektorov

Niektoré vlastnosti vektorového súčinu sme už zvážili, do tohto zoznamu ich však zaradím.

Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:

1) V iných zdrojoch informácií táto položka zvyčajne nie je zvýraznená vo vlastnostiach, ale z praktického hľadiska je veľmi dôležitá. Tak nech je.

2) – o majetku sa hovorí aj vyššie, niekedy je tzv antikomutatívnosť. Inými slovami, na poradí vektorov záleží.

3) – priraďovacie resp asociatívne zákony o vektorových produktoch. Konštanty sa dajú ľahko presunúť mimo vektorového súčinu. Ozaj, čo by tam mali robiť?

4) – distribúcia resp distributívny zákony o vektorových produktoch. Problémy nie sú ani s otváraním držiakov.

Aby sme to demonštrovali, pozrime sa na krátky príklad:

Príklad 3

Nájdite ak

Riešenie: Podmienka opäť vyžaduje zistenie dĺžky vektorového súčinu. Namaľujeme našu miniatúru:

(1) Podľa asociatívnych zákonov berieme konštanty mimo rozsah vektorového súčinu.

(2) Konštantu vezmeme mimo modulu a modul „zožerie“ znamienko mínus. Dĺžka nemôže byť záporná.

(3) Zvyšok je jasný.

Odpoveď:

Je čas pridať viac dreva do ohňa:

Príklad 4

Vypočítajte obsah trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nájdite oblasť trojuholníka pomocou vzorca . Háčik je v tom, že samotné vektory „tse“ a „de“ sú prezentované ako súčty vektorov. Algoritmus je tu štandardný a trochu pripomína príklady č. 3 a 4 z lekcie Bodový súčin vektorov. Pre prehľadnosť rozdelíme riešenie do troch etáp:

1) V prvom kroku vyjadríme vektorový produkt prostredníctvom vektorového produktu, v skutočnosti, vyjadrime vektor pomocou vektora. O dĺžkach zatiaľ ani slovo!

(1) Nahraďte výrazy vektorov.

(2) Pomocou distributívnych zákonov otvárame zátvorky podľa pravidla násobenia polynómov.

(3) Pomocou asociatívnych zákonov presunieme všetky konštanty za vektorové súčiny. S trochou skúseností možno kroky 2 a 3 vykonať súčasne.

(4) Prvý a posledný člen sa rovnajú nule (nulový vektor) kvôli vlastnosti nice. V druhom člene využívame vlastnosť antikomutatívnosti vektorového súčinu:

(5) Uvádzame podobné výrazy.

V dôsledku toho sa ukázalo, že vektor je vyjadrený prostredníctvom vektora, čo bolo potrebné na dosiahnutie:

2) V druhom kroku nájdeme dĺžku vektorového súčinu, ktorý potrebujeme. Táto akcia je podobná ako v príklade 3:

3) Nájdite oblasť požadovaného trojuholníka:

Fázy 2-3 riešenia mohli byť napísané v jednom riadku.

Odpoveď:

Uvažovaný problém je v testoch celkom bežný, tu je príklad, ako ho vyriešiť sami:

Príklad 5

Nájdite ak

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny. Pozrime sa, ako pozorní ste boli pri štúdiu predchádzajúcich príkladov ;-)

Krížový súčin vektorov v súradniciach

, špecifikované na ortonormálnom základe, vyjadrené vzorcom:

Vzorec je naozaj jednoduchý: do horného riadku determinantu napíšeme súradnicové vektory, do druhého a tretieho riadku „dáme“ súradnice vektorov a dáme v prísnom poradí– najprv súradnice vektora „ve“, potom súradnice vektora „double-ve“. Ak je potrebné vektory vynásobiť v inom poradí, riadky by sa mali vymeniť:

Príklad 10

Skontrolujte, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:
A)
b)

Riešenie: Kontrola je založená na jednom z tvrdení v tejto lekcii: ak sú vektory kolineárne, ich vektorový súčin sa rovná nule (nulový vektor): .

a) Nájdite vektorový súčin:

Vektory teda nie sú kolineárne.

b) Nájdite vektorový súčin:

Odpoveď: a) nie kolineárne, b)

Tu sú snáď všetky základné informácie o vektorovom súčine vektorov.

Táto časť nebude príliš veľká, pretože existuje len málo problémov, kde sa používa zmiešaný súčin vektorov. V skutočnosti bude všetko závisieť od definície, geometrického významu a niekoľkých pracovných vzorcov.

Zmiešaný súčin vektorov je súčinom troch vektorov:

Zoradili sa teda ako vlak a nevedia sa dočkať, kedy budú identifikovaní.

Najprv opäť definícia a obrázok:

Definícia: Zmiešaná práca nekoplanárne vektory, prijaté v tomto poradí, volal objem rovnobežnostenu, postavené na týchto vektoroch, vybavené znamienkom „+“, ak je základ pravý, a znamienkom „–“, ak je základ vľavo.

Urobme kresbu. Pre nás neviditeľné čiary sú nakreslené bodkovanými čiarami:

Poďme sa ponoriť do definície:

2) Zoberú sa vektory v určitom poradí, to znamená, že preskupenie vektorov v produkte, ako by ste mohli hádať, neprebehne bez následkov.

3) Pred komentovaním geometrického významu si všimnem zrejmú skutočnosť: zmiešaný súčin vektorov je ČÍSLO: . V náučnej literatúre môže byť dizajn mierne odlišný, zvyknem označovať zmiešaný produkt a výsledok výpočtov písmenom „pe“.

A-priorstvo zmiešaný produkt je objem kvádra, postavený na vektoroch (postava je nakreslená červenými vektormi a čiernymi čiarami). To znamená, že číslo sa rovná objemu daného rovnobežnostena.

Poznámka : Výkres je schematický.

4) Netrápme sa znova konceptom orientácie základne a priestoru. Význam záverečnej časti je, že k objemu možno pridať znamienko mínus. Jednoducho povedané, zmiešaný produkt môže byť negatívny: .

Priamo z definície vyplýva vzorec na výpočet objemu kvádra postaveného na vektoroch.

Zmiešaný (alebo vektorovo-skalárny) súčin tri vektory a, b, c (v uvedenom poradí) sa nazývajú skalárny súčin vektora a a súčin vektora b x c, teda číslo a(b x c), alebo, čo je rovnaké, (b x c)a.
Označenie: abc.

Účel. Online kalkulačka je určená na výpočet zmiešaného súčinu vektorov. Výsledné riešenie sa uloží do súboru programu Word. Okrem toho sa v Exceli vytvorí šablóna riešenia.

Znaky koplanarity vektorov

Tri vektory (alebo väčší počet) sa nazývajú koplanárne, ak sú zredukované na spoločný počiatok a ležia v rovnakej rovine.
Ak je aspoň jeden z troch vektorov nula, potom sa tieto tri vektory tiež považujú za koplanárne.

Znak koplanarity. Ak je sústava a, b, c pravotočivá, potom abc>0 ; ak vľavo, tak abc Geometrický význam zmiešaného produktu. Zmiešaný súčin abc troch nekoplanárnych vektorov a, b, c sa rovná objemu rovnobežnostenu postaveného na vektoroch a, b, c so znamienkom plus, ak je systém a, b, c pravotočivý. a so znamienkom mínus, ak je tento systém ľavák.

Vlastnosti zmiešaného produktu

1. Pri kruhovom preusporiadaní faktorov sa zmiešaný produkt nemení; pri preusporiadaní dvoch faktorov sa znamienko obráti: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Vyplýva to z geometrického významu.
2. (a+b)cd=acd+bcd (distributívna vlastnosť). Rozširuje sa na ľubovoľný počet termínov.
   Vyplýva z definície zmiešaného produktu.
3. (ma)bc=m(abc) (kombinačná vlastnosť vzhľadom na skalárny faktor).
   Vyplýva z definície zmiešaného produktu. Tieto vlastnosti umožňujú aplikovať transformácie na zmiešané produkty, ktoré sa líšia od bežných algebraických iba tým, že poradie faktorov možno meniť len s prihliadnutím na znamienko produktu.
4. Zmiešaný produkt, ktorý má aspoň dva rovnaké faktory, sa rovná nule: aab=0.

Príklad č.1. Nájdite zmiešaný produkt. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc.

Príklad č.2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca. Všetky členy okrem dvoch extrémnych sa rovnajú nule. Tiež bca=abc . Preto (a+b)(b+c)(c+a)=2abc.

Príklad č.3. Vypočítajte zmiešaný súčin troch vektorov a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
Riešenie. Na výpočet zmiešaného súčinu vektorov je potrebné nájsť determinant systému zloženého z vektorových súradníc. Napíšeme systém do formulára.

Definícia.Číslo [, ] sa nazýva zmiešaný súčin usporiadanej trojice vektorov, .

Označujeme: (,) = = [, ].

Keďže vektor a skalárne produkty sú zahrnuté v definícii zmiešaného produktu, ich spoločnými vlastnosťami sú vlastnosti zmiešaného produktu.

Napríklad () = ().

Veta 1. Zmiešaný súčin troch koplanárnych vektorov je nula.

Dôkaz. Ak je daná trojica vektorov koplanárna, potom je pre vektory splnená jedna z nasledujúcich podmienok.

• 1. V danej trojici vektorov je aspoň jeden nulový vektor. V tomto prípade je dôkaz vety zrejmý.
• 2. V danej trojici vektorov je aspoň jeden pár kolineárnych vektorov. Ak ||, potom [, ] = 0, pretože [, ]= . Ak

|| , potom [, ] a [, ] = 0. Podobne, ak || .

3. Nech je táto trojica vektorov koplanárna, ale prípady 1 a 2 neplatia. Potom bude vektor [, ] kolmý na rovinu, s ktorou sú všetky tri vektory rovnobežné.

Preto [, ] a (,) = 0.

Veta 2. Nech sú vektory (), (), () špecifikované v základe (). Potom

Dôkaz. Podľa definície zmiešaného produktu

(,) = [, ] = с 1 - с 2 + с 3 =.

Vzhľadom na vlastnosti determinantu máme:

Veta je dokázaná.

Veta 3. (,) = [, ].

Dôkaz. Pretože

a vďaka vlastnostiam determinantu máme:

(,) = = = [, ] = [, ].

Veta je dokázaná.

Veta 4. Modul zmiešaného produktu nekoplanárnej trojice vektorov sa numericky rovná objemu rovnobežnostena postaveného na predstaviteľoch týchto vektorov so spoločným pôvodom.

Dôkaz. Vyberme si ľubovoľný bod O a vyčleňme z neho zástupcov týchto vektorov, : , . V rovine OAB zostrojíme rovnobežník OADB a pridaním hrany OS zostrojíme rovnobežnosten OADBCADB. Objem V tohto hranola sa rovná súčinu základnej plochy OADB a dĺžky výšky hranola OO.

Plocha rovnobežníka OADB je |[, ]|. Na druhej strane

|OO| = || |cos |, kde je uhol medzi vektormi a [, ].

Zvážte modul zmiešaného produktu:

|(,)| = | [, ]| = |[, ]||||cos | = |[, ]||OO| = V.

Veta bola dokázaná.

Poznámka 1. Ak sa zmiešaný súčin trojice vektorov rovná nule, potom je táto trojica vektorov lineárne závislá.

Poznámka 2. Ak je zmiešaný súčin danej trojice vektorov kladný, potom trojica vektorov je správna a ak je záporná, trojica vektorov je ľavá. Znamienko zmiešaného produktu sa totiž zhoduje so znamienkom cos a veľkosť uhla určuje orientáciu trojitého, . Ak je uhol ostrý, potom je trojka pravý a ak je to tupý uhol, potom trojka je ľavá.

Príklad 1 Daný rovnobežnosten ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 a súradnice nasledujúcich vektorov v ortonormálnej báze: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5).

Nájdite: 1) objem rovnobežnostena;

• 2) plochy plôch ABCD a CDD 1 C;
• 3) kosínus dihedrálneho uhla medzi rovinami ABC a CDD 1.

Riešenie.

Tento rovnobežnosten je postavený na vektoroch

Jeho objem sa teda rovná modulu zmiešaného produktu týchto vektorov, t.j.

Takže V para = 12 kubických jednotiek.

Pripomeňme, že plocha rovnobežníka sa rovná dĺžke vektorového súčinu vektorov, na ktorých je skonštruovaný.

Zavedme zápis: , teda

Preto (6; - 8; - 2), odkiaľ

To. štvorcových jednotiek

podobne,

Nech je to potom

odkiaľ (15; - 20; 1) a

To znamená jednotky štvorcových.

Uveďme nasledujúci zápis: pl. (ABC)=, pl. (DCC 1)=.

Podľa definície vektorového produktu máme:

To znamená, že platí nasledujúca rovnosť:

Z druhého bodu riešenia máme:

Dokážte, že ak sú a sú navzájom kolmé jednotkové vektory, potom pre ľubovoľné vektory platí nasledujúca rovnosť:

Riešenie.

Nech sú súradnice vektorov uvedené v ortonormálnom základe: ; . Keďže vlastnosťou zmiešaného produktu máme:

Rovnosť (1) teda môžeme zapísať v nasledujúcom tvare: , a to je jedna z overených vlastností vektorového súčinu vektorov a. Tým je dokázaná platnosť rovnosti (1).

Riešenie nultej verzie testovacej práce

Úloha č.1

Vektor tvorí uhly a so základnými vektormi resp. Určte uhol, ktorý zviera vektor s vektorom.

Riešenie.

Zostrojme rovnobežnosten na vektoroch a na diagonále tak, že vektory a sú rovnaké.

Potom v pravouhlom trojuholníku s pravým uhlom sa veľkosť uhla rovná kde.

Podobne v pravouhlom trojuholníku s pravým uhlom sa veľkosť rovná, odkiaľ.

V pravouhlom trojuholníku pomocou Pytagorovej vety zistíme:

V pravouhlom trojuholníku sú noha a prepona pravé uhly. Takže uhol je rovnaký. Ale uhol sa rovná uhlu medzi vektormi a. Tým je problém vyriešený.

Úloha č.2.

V základe sú uvedené tri vektory. Dokážte, že štvoruholník je plochý. Nájdite jeho oblasť.

Riešenie.

1. Ak sú vektory a koplanárne, potom ide o plochý štvoruholník. Vypočítajme determinant tvorený súradnicami týchto vektorov.

Keďže determinant je rovný nule, vektory a sú koplanárne, čo znamená, že štvoruholník je plochý.

2. Všimnite si, že štvoruholník je teda lichobežník so základňami AB a CD.

Podľa vlastnosti vektorového produktu máme:

Nájdenie vektorového súčinu

Úloha č.3. Nájdite vektor kolineárny s vektorom (2; 1; -2), ktorého dĺžka je 5.

Riešenie.

Označme súradnice vektora (x, y, z). Ako viete, kolineárne vektory majú proporcionálne súradnice, a preto máme:

x = 2t, y = t, z = ? 2t.

Podľa podmienok problému || = 5 a v súradnicovom tvare:

Vyjadrením premenných pomocou parametra t dostaneme:

4t2 +t2 +4t2 = 25,

teda

x =, y =, z =.

Dostali sme dve riešenia.

Aby bolo možné podrobne zvážiť takúto tému, je potrebné pokryť niekoľko ďalších častí. Téma priamo súvisí s pojmami ako bodový súčin a vektorový súčin. V tomto článku sme sa pokúsili poskytnúť presnú definíciu, uviesť vzorec, ktorý pomôže určiť produkt pomocou súradníc vektorov. Okrem toho článok obsahuje časti, v ktorých sú uvedené vlastnosti produktu a poskytuje podrobnú analýzu typických rovností a problémov.

Termín

Aby ste určili, čo je tento pojem, musíte vziať tri vektory.

Definícia 1

Zmiešaná práca a → , b → a d → je hodnota, ktorá sa rovná skalárnemu súčinu a → × b → a d → , kde a → × b → je násobenie a → a b → . Operácia násobenia a →, b → a d → sa často označuje ako a → · b → · d →. Vzorec môžete transformovať takto: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) .

Násobenie v súradnicovom systéme

Vektory môžeme násobiť, ak sú špecifikované v súradnicovej rovine.

Zoberme si i → , j → , k →

Súčin vektorov v tomto konkrétnom prípade bude mať nasledujúci tvar: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →

Definícia 2

Ak chcete urobiť bodový produkt v súradnicovom systéme je potrebné sčítať výsledky získané pri násobení súradníc.

Preto:

a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Môžeme tiež definovať zmiešaný súčin vektorov, ak daný súradnicový systém špecifikuje súradnice vektorov, ktoré sa násobia.

a → × b → = (a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y b z · d x - a x a z b y + z = x a x a z b y b x b y b z d x d y d z

Môžeme teda dospieť k záveru, že:

a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Definícia 3

Zmiešaný produkt možno prirovnať na determinant matice, ktorej riadky sú vektorové súradnice. Vizuálne to vyzerá takto: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Vlastnosti operácií na vektoroch Z vlastností, ktoré vynikajú v skalárnom alebo vektorovom súčine, môžeme odvodiť vlastnosti, ktoré charakterizujú zmiešaný súčin. Nižšie uvádzame hlavné vlastnosti.

1. (λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R;
2. a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
3. (a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1 ) → + b (2) →) d → = a → b (1) → d → + a → b (2) → d → a → b → (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →

Okrem vyššie uvedených vlastností je potrebné objasniť, že ak je multiplikátor nulový, potom výsledok násobenia bude tiež nulový.

Výsledok násobenia bude tiež nula, ak sú dva alebo viac faktorov rovnakých.

V skutočnosti, ak a → = b →, potom podľa definície vektorového súčinu [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 sa zmiešaný súčin rovná nule, keďže ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

Ak a → = b → alebo b → = d →, potom sa uhol medzi vektormi [a → × b →] a d → rovná π 2. Podľa definície skalárneho súčinu vektorov ([ a → × b → ], d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Vlastnosti operácie násobenia sa najčastejšie vyžadujú pri riešení úloh.
Aby sme túto tému mohli podrobne analyzovať, vezmime si niekoľko príkladov a podrobne ich opíšme.

Príklad 1

Dokážte rovnosť ([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →), kde λ je nejaké reálne číslo.

Aby sme našli riešenie tejto rovnosti, mala by sa zmeniť jej ľavá strana. Aby ste to dosiahli, musíte použiť tretiu vlastnosť zmiešaného produktu, ktorá hovorí:

([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
Videli sme, že (([ a → × b → ] , b →) = 0 . Z toho vyplýva, že
([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →) = = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →)

Podľa prvej vlastnosti ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ a →) = λ ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) a ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) = 0. Teda ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) . Preto,
([ a ⇀ × b ⇀ ], d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →)

Rovnosť bola preukázaná.

Príklad 2

Je potrebné dokázať, že modul zmiešaného súčinu troch vektorov nie je väčší ako súčin ich dĺžok.

Riešenie

Na základe podmienky môžeme príklad uviesť vo forme nerovnosti a → × b → , d → ≤ a → · b → · d → .

Podľa definície transformujeme nerovnosť a → × b → , d → = a → × b → · d → · cos (a → × b → ^ , d →) = = a → · b → · sin (a → , b → ^) d → cos ([ a → × b → ^ ] , d)

Pomocou elementárnych funkcií môžeme dospieť k záveru, že 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1, 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ], d →) ≤ 1.

Z toho môžeme vyvodiť záver
(a → × b → , d →) = a → · b → · hriech (a → , b →) ^ · d → · cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 d → 1 = a → b → d →

Nerovnosť bola preukázaná.

Analýza typických úloh

Aby ste mohli určiť, aký je súčin vektorov, musíte poznať súradnice vektorov, ktoré sa násobia. Na operáciu môžete použiť nasledujúci vzorec a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Príklad 3

V pravouhlom súradnicovom systéme sú 3 vektory s nasledujúcimi súradnicami: a → = (1, - 2, 3), b → (- 2, 2, 1), d → = (3, - 2, 5). Je potrebné určiť, čomu sa rovná súčin označených vektorov a → · b → · d →.

Na základe vyššie uvedenej teórie môžeme použiť pravidlo, že zmiešaný produkt možno vypočítať prostredníctvom determinantu matice. Bude to vyzerať takto: a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7

Príklad 4

Je potrebné nájsť súčin vektorov i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 · k → , kde i → , j → , k → sú jednotkové vektory pravouhlý karteziánsky súradnicový systém.

Na základe podmienky, ktorá hovorí, že vektory sa nachádzajú v danom súradnicovom systéme, možno odvodiť ich súradnice: i → + j → = (1, 1, 0) i → + j → - k → = (1, 1, - 1) i → + j → + 2 k → = (1, 1, 2)

Používame vzorec, ktorý bol použitý vyššie
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0

Je tiež možné určiť zmiešaný produkt pomocou dĺžky vektora, ktorá je už známa, a uhla medzi nimi. Pozrime sa na túto tézu na príklade.

Príklad 5

V pravouhlom súradnicovom systéme sú tri vektory a →, b → a d →, ktoré sú na seba kolmé. Sú to pravotočivé trojky a ich dĺžky sú 4, 2 a 3. Je potrebné vynásobiť vektory.

Označme c → = a → × b → .

Podľa pravidla je výsledkom násobenia skalárnych vektorov číslo, ktoré sa rovná výsledku násobenia dĺžok použitých vektorov kosínusom uhla medzi nimi. Dospeli sme k záveru, že a → · b → · d → = ([ a → × b → ], d →) = c → , d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) .

Použijeme dĺžku vektora d → zadanú v príklade podmienky: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . Je potrebné určiť c → a c → , d → ^ . Podľa podmienky a →, b → ^ = π 2, a → = 4, b → = 2. Vektor c → nájdeme pomocou vzorca: c → = [ a → × b → ] = a → · b → · sin a → , b → ^ = 4 · 2 · sin π 2 = 8
Môžeme konštatovať, že c → je kolmé na a → a b → . Vektory a → , b → , c → budú pravotočivé, preto sa používa karteziánsky súradnicový systém. Vektory c → a d → budú jednosmerné, teda c → , d → ^ = 0 . Pomocou odvodených výsledkov riešime príklad a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 .

a → · b → · d → = 24 .

Používame faktory a → , b → a d → .

Vektory a → , b → a d → pochádzajú z rovnakého bodu. Používame ich ako boky na stavbu postavy.

Označme, že c → = [ a → × b → ] . Pre tento prípad môžeme definovať súčin vektorov ako a → · b → · d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) = c → · n p c → d → , kde n p c → d → je numerický priemet vektora d → do smeru vektora c → = [ a → × b → ] .

Absolútna hodnota n p c → d → sa rovná číslu, ktoré sa tiež rovná výške postavy, pre ktorú sú vektory a → , b → a d → použité ako strany. Na základe toho by sa malo objasniť, že c → = [ a → × b → ] je kolmé na a → vektor aj vektor podľa definície násobenia vektorov. Hodnota c → = a → x b → sa rovná ploche rovnobežnostena postaveného na vektoroch a → a b →.

Dospeli sme k záveru, že modul produktu a → · b → · d → = c → · n p c → d → sa rovná výsledku vynásobenia plochy základne výškou postavy, ktorá je postavená na vektory a → , b → a d → .

Definícia 4

Absolútna hodnota krížového produktu je objem rovnobežnostena: V par l l e l e p i p i d a = a → · b → · d → .

Tento vzorec je geometrický význam.

Definícia 5

Objem štvorstenu, ktorý je postavený na a →, b → a d →, sa rovná 1/6 objemu rovnobežnostena.Dostaneme, V t e t r a e d a = 1 6 · V par l l e l e p i d a = 1 6 · a → · b → · d → .

Aby sme si upevnili vedomosti, pozrime sa na niekoľko typických príkladov.

Príklad 6

Je potrebné nájsť objem rovnobežnostena, ktorého strany sú A B → = (3, 6, 3), A C → = (1, 3, - 2), A A 1 → = (2, 2, 2) , špecifikované v pravouhlom súradnicovom systéme . Objem rovnobežnostena možno nájsť pomocou vzorca absolútnej hodnoty. Z toho vyplýva: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 - 3 · 3 · 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18

Potom V par l l e l e p e d a = -18 = 18.

V par l l e l e p i p i d a = 18

Príklad 7

Súradnicový systém obsahuje body A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3), D (- 2, 3, 1). Je potrebné určiť objem štvorstenu, ktorý sa nachádza v týchto bodoch.

Použime vzorec V t e t r a e d r a = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Súradnice vektorov vieme určiť zo súradníc bodov: A B → = (3 - 0, - 1 - 1, 5 - 0) = (3, - 2, 5) A C → = (1 - 0, 0 - 1 , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) ​​​​AD → = (- 2 - 0, 3 - 1, 1 - 0) = (- 2, 2, 1)

Ďalej určíme zmiešaný produkt A B → A C → A D → vektorovými súradnicami: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 - 5 · (- 1) · (- 2) - (- 2) · 1 · 1 - 3 · 3 · 2 = - 7 Objem V t et r a e d r a = 1 6 · - 7 = 7 6 .

V t e t r a e d r a = 7 6 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter