Нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема

Нүктенің массасы тұрақты және оның үдеуі болғандықтан динамиканың негізгі заңын білдіретін теңдеуді формада көрсетуге болады

Теңдеу бір мезгілде нүктенің импульсінің өзгеруі туралы теореманы дифференциалды түрде көрсетеді: уақыт туындысы нүктенің импульсінен нүктеге әсер ететін күштердің геометриялық қосындысына тең.

Осы теңдеуді интегралдайық. Масса нүктесі болсын м, күш әсерінен қозғалады (15 -сурет), қазіргі уақытта бар т= 0 жылдамдық, және қазіргі уақытта т 1 - жылдамдық.

15 -сурет

Содан кейін біз теңдіктің екі жағын да көбейтеміз және олардан аламыз анықталған интегралдар... Бұл жағдайда интеграция уақытында болатын оң жақта интегралдардың шектері 0 және т 1, ал жылдамдық интегралданған сол жақта интегралдың шектері жылдамдықтың сәйкес мәндері болады ... Интегралынан бастап -ге тең , содан кейін біз мынаны аламыз:

.

Оң жақтағы интегралдар әрекет етуші күштердің импульсін білдіреді. Сондықтан бізде ақырында:

.

Теңдеу нүкте импульсінің өзгеруі туралы теореманы соңғы түрінде көрсетеді: белгілі бір уақыт кезеңінде нүктенің импульсінің өзгеруі сол уақыт кезеңінде нүктеге әсер ететін барлық күштердің импульсінің геометриялық қосындысына тең (күріш. 15).

Есептер шығару кезінде векторлық теңдеудің орнына проекциялардағы теңдеулер жиі қолданылады.

Ось бойымен түзу сызықты қозғалыс кезінде Отеоремасы осы теңдеулердің біріншісімен өрнектеледі.

Мысал 9.Қозғалыс заңын табыңыз материалдық нүктемассалар мось бойымен қозғалады NSабсолютті шамадағы тұрақты күштің әсерінен F(16 -сурет) бастапқы шарттары бар :, бар .

16 -сурет

Шешім.Жазайық дифференциалдық теңдеупроекциядағы нүктенің оське қозғалысы NS:. Бұл теңдеуді интегралдай отырып, біз мынаны табамыз: ... Тұрақтылық жылдамдықтың бастапқы шартынан анықталады және -ге тең. Соңында

.

Бұдан әрі v = екенін ескере отырып dx /дт, біз дифференциалдық теңдеуге келеміз: , біз алатын интеграция

Тұрақтылық нүктенің координатасының бастапқы жағдайынан анықталады. Ол тең. Демек, нүктенің қозғалыс заңының формасы бар

Мысал 10... Салмақ жүктемесі R(17 -сурет) күш әсерінен тегіс көлденең жазықтық бойымен тыныштық күйінен қозғала бастайды F = кт... Жүктің қозғалу заңын табыңыз.

17 -сурет

Шешім.Координаталар жүйесінің шығу тегін таңдайық O v бастапқы позицияосьті жүктеңіз және бағыттаңыз NSқозғалыс бағытында (17 -сурет). Содан кейін бастапқы шарттар келесідей: x(t = 0) = 0, v ( t = 0) = 0. Күштер жүктемеде әрекет етеді F,Пжәне жазықтықтың реакция күші Н.... Бұл күштердің оське проекциясы NSмәселе Fx = F = кт, Rx = 0, N x= 0, сондықтан сәйкес қозғалыс теңдеуін былай жазуға болады :. Осы дифференциалдық теңдеудегі айнымалыларды бөліп, содан кейін интегралдай отырып, мынаны аламыз: v = gкт 2 /2П + C 1. Бастапқы деректерді алмастыру ( v(0) = 0), біз мұны табамыз C 1 = 0, және біз жылдамдықтың өзгеру заңын аламыз .

Соңғы өрнек, өз кезегінде, дифференциалдық теңдеу, оны интегралдау арқылы біз материалдық нүктенің қозғалыс заңын табамыз: ... Мұнда кіретін тұрақты екінші бастапқы шарттан анықталады NS(0) = 0. Мұны көру оңай. Соңында

Мысал 11.Көлденең тегіс жазықтықта (17 -суретті қараңыз) қашықтықта тұрған жүктемеде ашыққаннан бастап осьтің оң бағытында әрекет ете бастайды xкүш F = k 2 (П/g)x, қайда R -жүк салмағы. Жүктің қозғалу заңын табыңыз.

Шешім.Оське проекцияда қарастырылатын жүктеменің (материалдық нүктенің) қозғалыс теңдеуі NS

(1) теңдеудің бастапқы шарттары келесідей: x(t = 0) = а, v ( t = 0) = 0.

Біз (1) теңдеудегі жылдамдықтың уақыт туындысын келесі түрде ұсынамыз:

.

Бұл өрнекті (1) теңдеуге ауыстыру және (арқылы жою) П/g), Біз алып жатырмыз

Соңғы теңдеудегі айнымалыларды бөле отырып, біз оны табамыз. Соңғысын біріктіру арқылы бізде :. Бастапқы шарттарды қолдану , біз аламыз, демек,

, . (2)

Күш жүктің осіне оң бағытта әсер ететіндіктен NS, онда ол бір бағытта қозғалуы керек екені түсінікті. Сондықтан (2) шешімінде қосу белгісін таңдау керек. (2) өрнегін әрі қарай ауыстыра отырып, біз жүктің қозғалыс заңын анықтайтын дифференциалдық теңдеу аламыз. Айнымалыларды бөле отырып, бізде бар

.

Соңғысын біріктіріп, біз мынаны табамыз: ... Тұрақтылықты тапқан соң, ақырында аламыз

Мысал 12.Доп М.массалар м(18 -сурет) құлап түседі бастапқы жылдамдықауырлық күші бойынша Құлаған кезде доп қай жерде қарсылық көрсетеді – тұрақты қарсылық коэффициенті. Доптың қозғалыс заңын табыңыз.

18 -сурет

Шешім.Шар орналасқан нүктеде координаттар жүйесін енгізейік t = 0 осьті бағыттау арқылы кезіндетігінен төмен қарай (18 -сурет). Доптың оське проекциядағы қозғалысының дифференциалдық теңдеуі кезіндесодан кейін формасы болады

Доптың бастапқы шарттары былай жазылады: ж(t = 0) = 0, v ( t = 0) = 0.

Айнымалыларды теңдеуге бөлу (1)

және интегралдау арқылы біз :, қайдан табамыз. Немесе тұрақты табылғаннан кейін

немесе. (2)

Демек, шектеу жылдамдығы, яғни. жылдамдығы, -ге тең.

Қозғалыс заңын табу үшін (2) v теңдеуіне ауыстырамыз dy /дт... Содан кейін алынған теңдеуді бастапқы шартты ескере отырып интегралдай отырып, ақырында табамыз

.

Мысал 13.Сфералық пішіні мен массасы бар сүңгуір қайықты зерттеу м= = 1,5 × 10 5 Кгкөлденең жылдамдыққа ие қозғалтқыштар сөндірілген кезде суға түсе бастайды NS 0 = 30 Ханымжәне теріс көтерілу R 1 = 0.01мг, қайда Жүзу күшінің векторлық қосындысы Qжәне ауырлық күші мгқайықта әрекет ету (20 -сурет). Суға төзімділік күші , кг / с... Қайықтың қозғалыс теңдеулерін және оның траекториясын анықтаңыз.

Нүктенің массасы тұрақты және оның үдеуі болғандықтан динамиканың негізгі заңын білдіретін теңдеуді формада көрсетуге болады

Теңдеу бір мезгілде нүктенің импульсінің өзгеруі туралы теореманы дифференциалды түрде көрсетеді: уақыт туындысы нүктенің импульсінен нүктеге әсер ететін күштердің геометриялық қосындысына тең.

Осы теңдеуді интегралдайық. Масса нүктесі болсын м, күш әсерінен қозғалады (15 -сурет), қазіргі уақытта бар т= 0 жылдамдық, және қазіргі уақытта т 1 - жылдамдық.

15 -сурет

Содан кейін біз теңдіктің екі жағын да көбейтеміз және олардан белгілі интегралдарды аламыз. Бұл жағдайда интеграция уақытында болатын оң жақта интегралдардың шектері 0 және т 1, ал жылдамдық интегралданған сол жақта интегралдың шектері жылдамдықтың сәйкес мәндері болады ... Интегралына тең болғандықтан , содан кейін біз мынаны аламыз:

.

Оң жақтағы интегралдар әрекет етуші күштердің импульсін білдіреді. Сондықтан бізде ақырында:

Теңдеу нүкте импульсінің өзгеруі туралы теореманы соңғы түрінде көрсетеді: белгілі бір уақыт кезеңінде нүктенің импульсінің өзгеруі сол уақыт кезеңінде нүктеге әсер ететін барлық күштердің импульсінің геометриялық қосындысына тең (күріш. 15).

Есептер шығару кезінде векторлық теңдеудің орнына проекциялардағы теңдеулер жиі қолданылады.

Ось бойымен түзу сызықты қозғалыс кезінде Отеоремасы осы теңдеулердің біріншісімен өрнектеледі.

Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар

Механиканың негізгі заңдарын тұжырымдаңыз.

Қандай теңдеу динамиканың негізгі теңдеуі деп аталады?

Қатты денелердің айналу қозғалысы кезіндегі инерттілігінің өлшемі қандай?

Дене салмағы дененің Жердегі орналасуына байланысты ма?

Қандай санақ жүйесі инерциялық деп аталады?

Материалдық нүктенің инерциялық күші қай денеге қолданылады және оның модулі мен бағыты қандай?

«Инерция» мен «инерция күші» ұғымдарының айырмашылығын түсіндіріңіз?

Инерция күші қандай денелерге қолданылады, ол қалай бағытталған және оны қандай формуламен есептеуге болады?

Кинетостатиканың принципі қандай?

Материалдық нүктенің инерциясының тангенциалды және қалыпты күштерінің модульдері мен бағыттары қандай?

Дене салмағы қалай аталады? SI массасының өлшем бірлігі қандай?

Дененің инерциясының өлшемі қандай?

Динамиканың негізгі заңын векторлық және дифференциалдық түрінде жазыңыз?

Тұрақты күш материалдық нүктеге әсер етеді. Нүкте қалай қозғалады?

Егер нүктеге ауырлық күшінен екі есе көп күш әсер етсе, қандай үдеуді алады?

Массалармен екі материалдық нүкте соқтығысқаннан кейін м 1 = 6 кг және м 2 = 24 кг, бірінші нүкте 1,6 м / с үдеу алды. Екінші нүктемен алынған үдеу қандай?

Материалдық нүктенің қандай қозғалысында оның тангенциалды инерция күші нөлге тең, ал қалыпты жағдайда қандай?

Қозғалмайтын ось айналасында айналатын қатты денеге жататын нүктенің инерцияның айналу және центрден тепкіш күштерінің модульдерін есептеу үшін қандай формулалар қолданылады?

Нүктелік динамиканың негізгі заңы қалай тұжырымдалған?

Күштер әрекетінің тәуелсіздік заңының тұжырымын беріңіз.

Материалдық нүктенің қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін вектор мен координат түрінде жазыңыз.

Нүктелік динамиканың бірінші және екінші негізгі міндеттерінің мәнін тұжырымдаңыз.

Материалдық нүктенің қозғалыс дифференциалдық теңдеулерінің интегралдық тұрақтылары анықталатын шарттарды беріңіз.

Динамиканың қандай теңдеулері материалдық нүктенің қозғалысының табиғи теңдеулері деп аталады?

Материалдық нүктенің дифференциалды қозғалысының көмегімен шешілетін нүкте динамикасының негізгі екі мәселесі қандай?

Еркін материалдық нүктенің қозғалысының дифференциалдық теңдеулері.

Материалдық нүктенің қозғалыс дифференциалдық теңдеулерін интегралдау кезінде тұрақтылар қалай анықталады?

Материалдық нүктенің қозғалыс дифференциалдық теңдеулерін интегралдау кезінде пайда болатын ерікті тұрақтылардың мәндерін анықтау.

Заңдары қандай еркін құлаудене?

Көкжиекке бұрышпен лақтырылған дененің көлденең және тік қозғалыстарын реттейтін заңдар қандай? Оның қозғалыс траекториясы қандай және дененің ұшу қашықтығы қандай бұрышта?

Шектелген уақыт кезеңінде айнымалы күш импульсін қалай есептеуге болады?

Материалдық нүктенің қозғалыс мөлшері қалай аталады?

Күштің қолданылу нүктесінің қарапайым жолы арқылы күштің қарапайым жұмысын қалай білдіруге болады және осы нүктенің доға координатасының өсуі арқылы қалай?

Қандай ығысу бойынша ауырлық күшінің жұмысы: а) оң, ә) теріс, в) нөлге тең?

Қозғалмайтын осьтің айналасында бұрыштық жылдамдықпен айналатын материалдық нүктеге түсірілген күштің күшін қалай есептеуге болады?

Материалдық нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теореманы тұжырымдаңыз.

Қандай жағдайларда материалдық нүктенің импульсі өзгермейді? Қандай жағдайларда оның белгілі бір оське проекциясы өзгермейді?

Материалдық нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманың формуласын дифференциалды және ақырлы түрде беріңіз.

Материалдық нүктенің бұрыштық импульсі қалай аталады: а) центр, ә) ось?

Центрге және оське қатысты нүктенің бұрыштық импульсінің өзгеруі туралы теорема қалай тұжырымдалған?

Қандай жағдайда оське қатысты нүктенің бұрыштық импульсі өзгеріссіз қалады?

Материалдық нүктенің центрге және оське қатысты бұрыштық импульс моменттері қалай анықталады? Олардың арасында қандай байланыс бар?

Материалдық нүкте импульсінің векторының қай орнында оның осіне қатысты моменті нөлге тең?

Неліктен орталық күштің әсерінен қозғалатын материалдық нүктенің траекториясы бір жазықтықта жатыр?

Нүктенің қандай қозғалысы түзу деп аталады? Материалдық нүктенің түзу сызықты қозғалысының дифференциалдық теңдеуін жазыңыз.

Материалдық нүктенің жазықтықтағы қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін жазыңыз.

Бірінші түрдегі Лагранж дифференциалдық теңдеулері материалдық нүктенің қандай қозғалысын сипаттайды?

Қандай жағдайларда материалдық нүкте еркін емес деп аталады және осы нүктенің қозғалыс дифференциалдық теңдеулері қандай?

Стационарлық және стационарлық емес, голономиялық және голономды емес байланыстарға анықтама беріңіз.

Қандай байланыстар екі жақты деп аталады? Біржақты?

Облигациялардан босату принципінің мәні неде?

Лагранж түріндегі бос емес материалдық нүктенің қозғалысының дифференциалдық теңдеулерінің формасы қандай? Лагранж мультипликаторы қалай аталады?

Кориолис динамикалық теоремасының тұжырымын беріңіз.

Галилей-Ньютон салыстырмалық принципінің мәні неде?

Кориолис инерция күші нөлге тең болатын қозғалыстарды атаңыз.

Модуль дегеніміз не және инерцияның тасымалдаушы және Кориолис күштері қандай бағытта болады?

Материалдық нүктенің салыстырмалы және абсолюттік қозғалыстарының дифференциалдық теңдеулерінің айырмашылығы неде?

Әр түрлі ауыспалы қозғалыста инерцияның ауысатын және Кориолис күштері қалай анықталады?

Классикалық механиканың салыстырмалылық принципінің мәні неде?

Қандай санақ жүйелері инерциялық деп аталады?

Материалдық нүктенің салыстырмалы демалуының шарты қандай?

Қандай нүктелерде жер бетіауырлық күші ең үлкенге ие және ең кіші мән?

Құлаған денелердің шығысқа қарай ауытқуын не түсіндіреді?

Тігінен жоғары лақтырылған дене қандай бағытта ауытқиды?

Шелек шахтаға үдеумен түсіріледі а= 4 м / с 2. Шөміштің ауырлық күші Г.= 2 кН. Шелекті тірейтін арқанның созылу беріктігін анықтаңыз?

Екі материалдық нүкте тұрақты сызықпен 10 және 100 м / с жылдамдықпен қозғалады. Бұл нүктелерге күштердің эквивалентті жүйелері қолданылады деп айтуға бола ма?

1) мүмкін емес;

Дәл осындай күштер салмағы 5 және 15 кг болатын екі материалдық нүктеге қолданылады. Осы нүктелердің үдеуінің сандық мәндерін салыстырыңыз?

1) үдеулер бірдей;

2) массасы 15 кг нүктенің үдеуі массасы 5 кг нүктенің үдеуінен үш есе аз.

Динамикалық есептерді тепе -теңдік теңдеулер көмегімен шешуге бола ма?

Материалдық нүктенің қозғалыс мөлшерівекторлық шама деп аталады мВ,жылдамдық векторы бойынша нүкте массасының көбейтіндісіне тең. Вектор мВқозғалатын нүктеге бекітілген.

Жүйе қозғалысының көлемівекторлық шама деп аталады Qжүйенің барлық нүктелерінің қозғалыс шамаларының геометриялық қосындысына (негізгі векторына) тең:

Вектор Qеркін вектор болып табылады. SI бірліктерінде импульс модулі кг м / с немесе N с өлшенеді.

Әдетте, жүйенің барлық нүктелерінің жылдамдықтары әр түрлі болады (мысалы, 6.21 суретте көрсетілген дөңгелек дөңгелектің нүктелерінің жылдамдықтарының таралуын қараңыз), демек оң жақтағы векторлардың тікелей қосындысы- теңдіктің қол жағы (17.2) қиын. Мәні бар формуланы табайық Qесептеу әлдеқайда жеңіл. Бұл теңдіктен (16.4) шығады

Уақыт туындысын екі жақтан да аламыз Демек, теңдікті (17.2) ескере отырып, біз мұны табамыз

яғни жүйенің импульсі оның массасының центрінің жылдамдығына бүкіл жүйенің массасының көбейтіндісіне тең.

Векторға назар аударыңыз Q,Статикадағы күштердің негізгі векторы сияқты, бұл жалпы қозғалыстың сипаттамасы механикалық жүйе... Жүйенің жалпы қозғалысы жағдайында оның импульсі Qжүйе массасының центрімен бірге қозғалыстың трансляциялық бөлігінің сипаттамасы ретінде қарастыруға болады. Егер жүйенің (дененің) қозғалысы кезінде массаның центрі қозғалыссыз болса, онда жүйенің импульсі нөлге тең болады. Бұл, мысалы, дене массасының центрі арқылы өтетін тұрақты ось бойымен айналатын қозғалыстың шамасы.

Мысал.Механикалық жүйенің қозғалыс мөлшерін анықтаңыз (17.1 -сурет, а),жүктерден тұрады Aмассасы t A - 2 кг, біртекті блок Vсалмағы 1 кг және дөңгелектер Dмассасы м D - 4кг. Жүк Aжылдамдықпен қозғалады V A - 2 м / с, доңғалақ Dсырғып кетпей домалайды, жіп созылмайтын және салмақсыз. Шешім. Денелер жүйесінің қозғалыс мөлшері

Дене Aбіртіндеп қозғалады және Q A = m A V A(сандық Q A= 4 кг м / с, векторлық бағыт Q Aбағытпен сәйкес келеді V A).Блоктау Vміндеттейді айналмалы қозғалысоның массалық центрі арқылы өтетін қозғалмайтын ось айналасында; демек, Q B - 0. Дөңгелек Dжазықтық-параллельді орындайды

трафик; нүктеде оның лездік жылдамдық орталығы КІМдемек, оның массасының центрінің жылдамдығы (нүкте E)-ге тең V E = V A / 2 = 1 м / с. Дөңгелектің қозғалыс мөлшері Q D - m D V E - 4 кг м / с; вектор Q Dкөлденеңінен солға бағытталған.

Векторларды салу арқылы Q Aжәне Q Dкүріште 17.1, б, қозғалыс мөлшерін табамыз Q(а) формуласына сәйкес жүйелер. Шамалардың бағыттары мен сандық мәндерін ескере отырып, біз аламыз Q ~ ^ Q A + Q E= 4л / 2 ~ кг м / с, векторлық бағыт Qсуретте көрсетілген 17.1, б.

Соны ескере отырып -dV / dt,динамиканың негізгі заңының (13.4) теңдеуін көрсетуге болады

(17.4) теңдеу нүкте импульсінің өзгеруі туралы теореманы дифференциалды түрде көрсетеді: уақыттың әрбір сәтінде нүктенің импульсінің уақыт туындысы нүктеге әсер ететін күшке тең. (Негізінде бұл Ньютон бергенге жақын динамиканың негізгі заңының тағы бір тұжырымы.) Егер бірнеше күш нүктеде әрекет етсе, онда теңдіктің оң жағында (17.4) қолданылатын күштердің нәтижесі болады. материалдық нүктеге дейін.

Егер теңдіктің екі жағы да көбейтілсе дт,Біз алып жатырмыз

Бұл теңдіктің оң жағындағы векторлық шама қарапайым уақыт кезеңінде денеге әсер ететін әрекетті сипаттайды. дтбұл мән белгіленеді dSжәне қоңырау шалды күштің негізгі импульсі,яғни

Пульс С.күш Fшекті уақыт интервалында /, - / 0 сәйкес элементарлық импульстардың интегралдық қосындысының шегі ретінде анықталады, яғни.

Белгілі бір жағдайда, егер күш Fтұрақты модуль мен бағыт S = F (t| - / 0) және S- F (t l -/ 0). Жалпы жағдайда күш импульсінің модулін оның проекцияларынан координат осіне есептеуге болады:

Енді теңдіктің екі жағын біріктіру (17.5) үшін Т.= const, біз аламыз

(17.9) теңдеуі нүкте импульсінің өзгеруі туралы теореманы соңғы (интегралды) түрде көрсетеді: белгілі бір уақыт кезеңінде нүктенің импульсінің өзгеруі сол уақыт ішінде нүктеге әсер ететін күштің импульсіне (немесе оған қолданылатын барлық күштердің нәтижесінің импульсіне) тең.

Есептер шығарғанда бұл теореманың теңдеулері координат осьтеріндегі проекцияларда қолданылады

Енді тұратын механикалық жүйені қарастырайық NSматериалдық нүктелер. Содан кейін, әрбір нүкте үшін нүктеге қолданылатын сыртқы және ішкі күштерді ескере отырып, импульстің өзгеруі туралы теореманы (17.4) қолдануға болады:

Осы теңдіктерді қорытындылай келе және туындылардың қосындысы соманың туындысына тең екенін ескере отырып, біз аламыз

Ішкі күштердің меншігі болғандықтан HF к= 0 және қозғалыс мөлшерінің анықтамасы бойынша ^ fn k V / c = Q, содан кейін біз табамыз

(17.11) теңдеуі жүйенің импульсінің өзгеруі туралы теореманы дифференциалды түрде көрсетеді: уақыттың әрбір сәтінде жүйенің импульсінің уақыттық туындысы жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің геометриялық қосындысына тең.

Координат осьтеріне теңдікті (17.11) проекциялай отырып, біз аламыз

(17.11) екі жағын көбейту дтжәне біріктіру, біз аламыз

мұнда 0, Q 0 -уақыт моменттеріндегі жүйенің импульсі сәйкесінше және / 0.

(17.13) теңдеуі жүйенің импульсінің өзгеруі туралы теореманы интегралды түрде көрсетеді: кез келген уақытта жүйенің импульсінің өзгеруі бір уақытта жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің импульсінің қосындысына тең.

Координат осьтеріне проекцияларда біз аламыз

Жүйенің импульсінің өзгеруі туралы теоремадан келесі маңызды нәтижелерді алуға болады, олар өрнектеледі жүйенің импульсінің сақталу заңы.

• 1. Егер жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің геометриялық ^ уммасы нөлге тең болса (LF к= 0), онда бұл жағдайда (17.11) теңдеуінен шығады Q= const, яғни жүйенің импульсінің векторы шамасы мен бағыты бойынша тұрақты болады.
• 2. Егер жүйеге әсер ететін сыртқы күштер олардың оське проекцияларының қосындысы нөлге тең болатындай болса (мысалы, Мен e kx = 0), онда бұл жағдайда (17.12) теңдеулерден шығады Q x = const, яғни осы осьте жүйенің импульсінің проекциясы өзгеріссіз қалады.

Жүйенің ішкі күштері жүйенің импульсінің өзгеруі туралы теореманың теңдеуіне қатыспайтынын ескеріңіз. Бұл күштер жүйенің жекелеген нүктелерінің қозғалыс мөлшеріне әсер еткенімен, тұтастай жүйенің қозғалыс мөлшерін өзгерте алмайды. Осы жағдайды ескере отырып, мәселелерді шешкен кезде белгісіз күштер (олардың барлығын немесе бір бөлігін) ішкі күйге келтіру үшін қарастырылатын жүйені таңдаған жөн.

Импульстің сақталу заңы жүйенің басқа бөлігінің жылдамдығын жүйенің бір бөлігінің жылдамдығының өзгеруінен анықталуы қажет болған жағдайда қолдануға ыңғайлы.

Тапсырма 17.1. КІМарбаның салмағы t x- Бір нүктеде тегіс көлденең жазықтықта 12 кг Aцилиндрлік топсаның көмегімен салмақсыз штанга бекітіледі ADұзындығы / = 0,6 м жүктемемен Dмассасы t 2 -Соңында 6 кг (17.2 -сурет). Уақыт сәтінде / 0 = 0, троллейбус жылдамдығы және () - 0,5 м / с, таяқша ADосінің айналасында айнала бастайды A,сызық жазықтығына перпендикуляр, заң бойынша φ = (n / 6) (3 ^ 2 - 1) рад ( / -секундтарда). Анықтаңыз: u = f

§ 17.3. Масса центрінің қозғалысы туралы теорема

Механикалық жүйенің импульсінің өзгеруі туралы теореманы массаның центрінің қозғалысы туралы теорема деп аталатын басқа формада көрсетуге болады.

(17.11) теңдеуді алмастыру теңдікті Q = MV C,алу

Егер массасы М.жүйе тұрақты, содан кейін біз аламыз

қайда және -жүйенің масса орталығының үдеуі.

(17.15) теңдеу жүйенің масса центрінің қозғалысы туралы теореманы білдіреді: оның массасы центрінің үдеуі бойынша жүйе массасының көбейтіндісі жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің геометриялық қосындысына тең.

Координат осьтеріне теңдікті (17.15) проекциялай отырып, біз аламыз

қайда x c, y c, z c -жүйенің масса орталығының координаттары.

Бұл теңдеулер декарттық координаталар жүйесіндегі осьтердегі проекциялардағы массалар центрінің қозғалысының дифференциалдық теңдеулері болып табылады.

Алынған нәтижелерді талқылайық. Алдымен еске түсірейік, жүйе массасының орталығы - бұл геометриялық нүкте, кейде дененің геометриялық шекарасынан тыс орналасқан. Механикалық жүйеге әсер ететін күштер (сыртқы және ішкі) жүйенің барлық материалдық нүктелеріне қолданылады. Теңдеулер (17.15) жүйенің жеке нүктелерінің қозғалысын анықтамай, жүйенің массасы центрінің қозғалысын анықтауға мүмкіндік береді. Масса центрінің қозғалысы туралы теореманың (17.15) теңдеулерін және Ньютонның екінші заңының теңдеулерін (13.5) материалдық нүктеге салыстыра отырып, біз мынадай қорытындыға келеміз: механикалық жүйенің массалық орталығы материалдық нүкте тәрізді қозғалады, оның массасы бүкіл жүйенің массасына тең, және осы нүктеге жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштер әсер ететін сияқты.Осылайша, біз алатын шешімдер, бұл денені материалдық нүкте ретінде қарастыра отырып, осы дененің масса центрінің қозғалыс заңын анықтайды.

Атап айтқанда, егер дене трансляциялық қозғалыста болса, онда дененің барлық нүктелерінің кинематикалық сипаттамалары мен оның массалық центрі бірдей. Сондықтан трансляциялық қозғалыстағы денені әрқашан массасы бар материалдық нүкте деп санауға болады, тең массабүкіл дененің.

(17.15) -тен көрініп тұрғандай, жүйенің нүктелеріне әсер ететін ішкі күштер жүйенің масса центрінің қозғалысына әсер етпейді. Ішкі күштер олардың әсерінен сыртқы күштер өзгерген жағдайда масса орталығының қозғалысына әсер етуі мүмкін. Бұған мысалдар төменде келтірілетін болады.

Масса центрінің қозғалысы туралы теоремадан жүйенің масса центрінің қозғалысының сақталу заңын білдіретін келесі маңызды салдарларды алуға болады.

1. Егер жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің геометриялық қосындысы нөлге тең болса (LF к= 0), онда (17.15) теңдеуінен мыналар шығады

бұл бір уақытта және с = 0 немесе V с = const, яғни бұл жүйенің массалық орталығы

абсолюттік шамада және бағытта тұрақты жылдамдықпен қозғалады (әйтпесе біркелкі және түзу сызықты). Белгілі бір жағдайда, егер бастапқыда массаның орталығы тыныштықта болса ( V c= 0), онда ол тыныштықта қалады; қайда

трек оның ғарыштағы орны өзгермейтінін біледі, яғни r c =конст.

2. Егер жүйеге әсер ететін сыртқы күштер олардың оське проекцияларының қосындысы болатындай болса (мысалы, ось) NS)нөлге тең (? F e kx= 0), онда бұл жағдайда (17.16) теңдеуінен шығады x көмегімен= 0 немесе V Cx = x c = const, яғни жүйенің масса центрінің жылдамдығының оське проекциясы тұрақты шама болып табылады. Белгілі бір жағдайда, егер бастапқы сәтте Vex= 0 болса, онда кез келген келесі сәтте бұл мән сақталады және осыдан координат шығады x көмегіменжүйенің массалық орталығы өзгермейді, яғни. x c -конст.

Массалар центрінің қозғалыс заңын бейнелейтін мысалдарды қарастырайық.

Мысалдар. 1. Белгіленгендей, масса центрінің қозғалысы тек сыртқы күштерге тәуелді, ішкі күштердің әсерінен масса центрінің орнын өзгерту мүмкін емес. Бірақ жүйенің ішкі күштері сыртқы әсерлерді тудыруы мүмкін. Сонымен, адамның көлденең беткейдегі қозғалысы оның аяқ киімі мен жол жамылғысы арасындағы үйкеліс күштерінің әсерінен болады. Бұлшық еттерінің күші (ішкі күштер) адамды аяғымен жолдың бетінен итереді, сол себепті жолдың жанасу нүктесінде оның бағытына бағытталған үйкеліс күші (адамға сыртқы) пайда болады. қозғалыс

• 2. Машина дәл осылай қозғалады. Оның қозғалтқышындағы ішкі қысым күштері дөңгелектерді айналдырады, бірақ соңғысы жолға жабысқақ болғандықтан, нәтижесінде пайда болатын үйкеліс күштері машинаны алға «итереді» (нәтижесінде дөңгелектер айналмайды, бірақ жазық параллель қозғалады) ). Егер жол мүлдем тегіс болса, онда автомобиль массасының орталығы стационар болады (нөлдік бастапқы жылдамдықта), ал дөңгелектер үйкеліс болмаған жағдайда сырғып кетеді, яғни айналмалы қозғалыс жасайды.
• 3. Пропеллер, винт, ескектер көмегімен қозғалыс ауаның (немесе судың) белгілі бір массасынан бас тартуға байланысты болады. Егер тасталған массаны және қозғалатын денені бір жүйе ретінде қарастыратын болсақ, онда олардың арасындағы өзара әсерлесу күштері ішкі жүйенің қозғалысының жалпы мөлшерін өзгерте алмайды. Алайда, бұл жүйенің әрбір бөлігі, мысалы, қайық алға қарай жылжиды, ал ескектер лақтырған су артқа қарай жылжиды.
• 4. Ауасы жоқ кеңістікте, зымыран қозғалғанда, «тасталған массаны» «сізбен бірге» алу керек: реактивті қозғалтқыш зымыранға жанармай құйылған жанармайдың жану өнімдерін кері лақтыру арқылы зымыранға қозғалыс береді.
• 5. Парашютпен түсу кезінде адам-парашют жүйесінің масса орталығының қозғалысын басқаруға болады. Егер адам бұлшықет күштерімен парашют сызықтарын өзінің шатырының пішіні немесе ауа ағынының шабуыл бұрышы өзгеретін етіп тартса, бұл ауа ағынының сыртқы әсерінің өзгеруіне әкеледі және осылайша қозғалысына әсер етеді. бүкіл жүйе.

17.2 -тапсырма. V 17.1 тапсырмасына (17.2 суретті қараңыз) анықтаңыз: 1) троллейбустардың қозғалыс заңы NS (= /) ( /) егер уақыттың бастапқы сәтінде белгілі болса t 0 =Жүйе тыныштық күйде болды және координаты x 10 = 0; 2) қалыпты реакцияның жалпы мәнінің уақыт бойынша өзгеру заңы N (Н. = N «+ N»)көлденең жазықтық, яғни N = f 2 (t).

Шешім. Мұнда, 17.1 есептегідей, арба мен жүктемеден тұратын жүйені қарастырайық D,оған қолданылатын сыртқы күштердің әсерінен ерікті жағдайда (17.2 суретті қараңыз). Координаталық осьтер Ообіз x осін көлденең және осьтік етіп саламыз кезінденүктеден өтті A 0,яғни нүктенің орналасуы AҚазір t -t 0 - 0.

1. Арбаның қозғалыс заңын анықтау. X, = /, (0) анықтау үшін біз жүйенің массасы центрінің қозғалысы туралы теореманы қолданамыз. Оның х осіне проекциядағы қозғалысының дифференциалдық теңдеуін құрайық:

Барлық сыртқы күштер тік болғандықтан, онда T, F e kx = 0, сондықтан

Бұл теңдеуді интегралдай отырып, біз оны табамыз Mx c = B,яғни жүйенің массасы центрінің х осіне жылдамдығының проекциясы тұрақты мән болып табылады. Уақыттың алғашқы сәтінен бастап

Теңдеуді интегралдау арқылы Mx c= 0, біз аламыз

яғни координат x көмегіменжүйенің массалық орталығы тұрақты.

Өрнекті жазайық Mx cескере отырып, жүйенің ерікті орналасуы үшін (17.2 суретті қараңыз) x A - x { , x D - x 2және x 2 - x ( - Менкүнә f. Бұл жағдайда жүйе массасының центрінің координатасын анықтайтын (16.5) формулаға сәйкес Mx c - t (x ( + t 2 x 2 «.

уақыттың ерікті сәтіне

уақыт моменті үшін / () = 0, NS (= 0 және

(B) теңдігіне сәйкес координата x көмегіменбүкіл жүйенің массалық орталығы өзгеріссіз қалады, яғни xD ^,) = x c (t).Демек, (c) және (d) өрнектерін теңестіре отырып, біз х координатының уақытқа тәуелділігін аламыз.

Жауап: NS - 0,2 м, қай жерде t -секундтарда.

2. Реакцияның анықтамасы Н.Анықтау үшін N = f 2 (t) біз вертикаль оське проекцияланған жүйенің массасы центрінің қозғалыс дифференциалдық теңдеуін құрамыз кезінде(17.2 суретті қараңыз):

Демек, білдіреді N = N + N «,алу

Ординатты анықтайтын формула бойынша баржүйенің массалық орталығы, Му с = t (y x + м 2 ж 2,мұнда y, = С1 -де,2 -де= y D. = Бара ~ 1 cos Ф «аламыз

Бұл теңдікті уақытында екі рет саралау (осыны ескере отырып) С1 -дежәне А.мәндер тұрақты, сондықтан олардың туындылары нөлге тең), біз табамыз

Бұл өрнекті (e) теңдеуге ауыстыра отырып, біз қажетті тәуелділікті анықтаймыз Н.бастап т.

Жауап: N- 176,4 + 1,13,

мұнда φ = (π / 6) (3 / -1), t - секундтарда, N- Ньютондарда.

Тапсырма 17.3.Электр қозғалтқышының массасы t x іргетастың көлденең бетіне бекітілген (сурет 17.3). Қозғалтқыш білігінде айналу осіне тік бұрыштарда ұзындығы салмақсыз шыбық бекітілген / бір ұшында нүктелік салмақ бекітілген. A массасы t 2. Білік c бұрыштық жылдамдықпен біркелкі айналады. Бұрандалардағы көлденең қозғалтқыш қысымын табыңыз. Шешім. Қозғалтқыш пен нүктелік салмақтан тұратын механикалық жүйені қарастырайық A, ерікті жағдайда. Жүйеге әсер ететін сыртқы күштерді бейнелейік: ауырлық күштері P x, P 2, тік күш түріндегі іргетас реакциясы Н. және көлденең күш Р. Х осін көлденеңінен сызайық.

Қозғалтқыштың болттарға көлденең қысымын анықтау үшін (және ол сан бойынша реакцияға тең болады R және векторға қарама -қарсы бағытталған R ), біз көлденең х осіне проекциядағы жүйенің импульсінің өзгеруі туралы теореманың теңдеуін құрамыз:

Қозғалтқыш денесінің импульсі нөлге тең екенін ескере отырып, қарастырылатын жүйе өз еркінде Q x = - t 2 U A com. Соны ескере отырып V A = a s /, f = w / (қозғалтқыштың айналуы біркелкі), біз аламыз Q x - - м 2 co / cos co /. Дифференциациялау Q x уақытында және теңдікті (а) алмастыра отырып, біз табамыз R- м 2 co 2 / sin co /.

Дәл осындай күштер мәжбүр ететінін ескеріңіз (14.3 § қараңыз); олар әрекет еткен кезде құрылымдардың мәжбүрлі дірілдері пайда болады.

Өз бетімен жұмыс жасауға арналған жаттығулар

• 1. Нүкте мен механикалық жүйенің қозғалыс шамасы қалай аталады?
• 2. Шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалатын нүктенің қозғалыс мөлшері қалай өзгереді?
• 3. Күш импульсі немен сипатталады?
• 4. Жүйенің ішкі күштері оның импульсіне әсер ете ме? Оның массалық центрінің қозғалысы туралы?
• 5. Оған қолданылатын жұп күштер жүйенің масса центрінің қозғалысына қалай әсер етеді?
• 6. Қандай жағдайда жүйе массасының орталығы тыныштық күйде болады? біркелкі және түзу сызық бойынша қозғалады?

7. Тұрақты қайықта, су ағыны болмаған кезде ересек адам артқы жағында, ал бала қайықтың садағында отырады. Егер олар орын ауыстырса, қайық қай бағытта қозғалады?

Бұл жағдайда қайықты жылжытуға арналған модуль үлкен болады: 1) егер бала ересек адамға артқы жағына ауысса; 2) егер ересек балаға қайықтың садақында барса? Бұл қозғалыстар кезінде «қайық пен екі адам» жүйесінің массалық орталығының ығысуы қандай болады?

Құрамынан nматериалдық нүктелер. Осы жүйеден бір нүктені таңдап алайық M jмассамен m j... Өздеріңіз білетіндей, бұл нүктеге сыртқы және ішкі күштер әсер етеді.

Біз нүктеге жүгінеміз M jбарлық ішкі күштердің нәтижесі F j iжәне барлық сыртқы күштердің нәтижесі F j e(2.2 -сурет). Таңдалған материалдық нүкте үшін M j(бос нүктеге келетін болсақ) біз импульстің өзгеруі туралы теореманы дифференциалды түрде жазамыз (2.3):

Механикалық жүйенің барлық нүктелері үшін ұқсас теңдеулерді жазайық (j = 1,2,3, ..., n).

2.2 сурет

Барлығын мерзімді түрде қосайық nтеңдеулер:

∑d (m j × V j) / dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑ (m j × V j) / dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Мұнда ∑m j × V j = Q- механикалық жүйенің қозғалыс мөлшері;
∑F j e = R e- механикалық жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің негізгі векторы;
∑F j i = R i = 0- жүйенің ішкі күштерінің негізгі векторы (ішкі күштердің қасиеті бойынша ол нөлге тең).

Ақыр соңында, механикалық жүйе үшін біз аламыз

dQ / dt = R e. (2.11)

Өрнек (2.11) - дифференциалды түрде (векторлық өрнекте) механикалық жүйенің импульсінің өзгеруі туралы теорема: механикалық жүйе импульсінің векторының уақыт туындысы жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің негізгі векторына тең.

Векторлық теңдікті (2.11) декарттық координат осіне проекциялай отырып, координаталық (скалярлық) өрнекте механикалық жүйенің импульсінің өзгеруі туралы теоремаға өрнектер аламыз:

dQ x / dt = R x e;

dQ y / dt = R y e;

dQ z / dt = R z e, (2.12)

анау. кез келген оське механикалық жүйенің импульсінің проекциясының уақыттық туындысы осы механикалық жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің негізгі векторының осы осіндегі проекциясына тең..

Теңдіктің екі жағын (2.12) көбейту дт, біз теореманы басқа дифференциалды түрде аламыз:

dQ = R e × dt = δS e, (2.13)

анау. механикалық жүйенің импульсінің дифференциалдылығы жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің негізгі векторының (импульстардың қосындысының) элементарлы импульсіне тең.

Теңдікті (2.13) 0 -ден уақытқа дейінгі ауытқу кезінде біріктіру т, біз механикалық жүйенің импульсінің өзгеруі туралы теореманы соңғы (интегралды) түрде аламыз (векторлық өрнекте):

Q - Q 0 = S e,

анау. механикалық жүйенің импульсінің белгілі бір уақыт аралығында өзгеруі сол уақыт ішінде жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің негізгі векторының жалпы импульсіне (жалпы импульстардың қосындысына) тең.

Векторлық теңдікті (2.14) декарттық координат осьтеріне проекциялау арқылы біз проекциялардағы теоремаға өрнектер аламыз (скалярлық өрнекте):

анау. механикалық жүйенің импульсінің кез келген оське соңғы уақыт аралығында өзгеруі барлық сыртқы күштердің негізгі векторының толық импульсінің осіне проекциясына тең (жалпы импульстардың қосындысы) сол уақыт аралығында механикалық жүйеге әсер етеді.

Қарастырылған теорема (2.11) - (2.15) келесі қорытындыларды білдіреді:

1. Егер R e = ∑F j e = 0, онда Q = тұрақтылық- бізде механикалық жүйенің импульсінің векторының сақталу заңы бар: егер негізгі вектор болса R eМеханикалық жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштер нөлге тең, ал бұл жүйенің импульсінің векторы шамасы мен бағыты бойынша тұрақты болып қалады және оған тең бастапқы мән Q 0, яғни Q = Q 0.
2. Егер R x e = ∑X j e = 0 (R e ≠ 0), онда Q x = тұрақтылық- бізде механикалық жүйенің импульс осінің проекциясының сақталу заңы бар: егер кез келген оське механикалық жүйеге әсер ететін барлық күштердің негізгі векторының проекциясы нөлге тең болса, онда сол оське проекциясы осы жүйенің импульсінің векторы тұрақты болады және осы осьте импульстің бастапқы векторына проекцияға тең болады, яғни. Q x = Q 0x.

Материалдық жүйенің импульсінің өзгеруі туралы теореманың дифференциалды формасы үздіксіз орта механикасында маңызды және қызықты қосымшаларға ие. Эйлер теоремасын (2.11) -ден алуға болады.

Материалдық нүкте үшін динамиканың негізгі заңы ретінде ұсынылуы мүмкін

Бұл қатынастың екі жағын радиустың векторына векторлық бағытта көбейтсек (3.9 -сурет) аламыз

(3.32)

Бұл формуланың оң жағында О нүктесіне қатысты күш моменті бар. Біз векторлық туынды формуласын қолдану арқылы сол жағын түрлендіреміз.

Бірақ параллель векторлардың көлденең туындысы ретінде Осыдан кейін аламыз

(3.33)

Кез келген центрге қатысты нүктенің бұрыштық импульсінің алғашқы туындысы сол центрге қатысты күш моментіне тең.

Жүйенің бұрыштық импульсін есептеуге мысал. Массасы M = 20 кг және радиусы R = 0,5 м цилиндрлік біліктен және массасы m = 60 кг төмен түсетін жүктемеден тұратын жүйенің О нүктесіне қатысты бұрыштық импульсін есептеңіз (3.12 -сурет). Білік Оз осінің айналасында ve = 10 с -1 бұрыштық жылдамдықпен айналады.

3.12 -сурет

; ;

Берілген кіріс деректері үшін жүйенің бұрыштық импульсі

Жүйенің бұрыштық импульсінің өзгеруі туралы теорема.Біз сыртқы және ішкі күштерді жүйенің әр нүктесіне қолданамыз. Жүйенің әр нүктесі үшін бұрыштық импульс өзгерісі туралы теореманы қолдануға болады, мысалы, (3.33) түрінде

Жүйенің барлық нүктелерін қорытындылай келе және туындылардың қосындысы қосынды туындысына тең екенін ескере отырып, біз аламыз

Жүйенің кинетикалық моменті мен сыртқы және ішкі күштер қасиетінің анықтамасы бойынша

сондықтан алынған қатынасты келесі түрде ұсынуға болады

Кез келген нүктеге қатысты жүйенің бұрыштық импульсінің алғашқы туындысы сол нүктеге қатысты жүйеге әсер ететін сыртқы күштердің негізгі моментіне тең.

3.3.5. Күш жұмысы

1) Күштің қарапайым жұмысы дифференциал бойынша күштің скаляр көбейтіндісіне, күштің қолданылу нүктесінің векторының радиусына тең (3.13 -сурет).

3.13 -сурет

Өрнек (3.36) келесі эквивалентті формаларда да жазылуы мүмкін

бұл жерде күштің әсер ету нүктесінің жылдамдығына бағытталған проекциясы.

2) Ақырғы орын ауыстырудағы күш жұмысы

Күштің қарапайым жұмысын интегралдай отырып, А нүктесінен В нүктесіне дейінгі соңғы орын ауыстырудағы күштің жұмысы үшін келесі өрнектерді аламыз.

3) Тұрақты күштің жұмысы

Егер күш тұрақты болса, онда ол (3.38) -ден шығады

Тұрақты күштің жұмысы траекторияның формасына тәуелді емес, тек күштің әсер ету нүктесінің орын ауыстыру векторына тәуелді.

4) ауырлық күшінің жұмысы

Ауырлық күші үшін (3.14 -сурет) және (3.39) -дан аламыз

3.14 -сурет

Егер қозғалыс В нүктесінен А нүктесіне дейін жүрсе, онда

Жалпы алғанда

«+» Белгісі күш қолдану нүктесінің төмен қарай жылжуына сәйкес келеді, « -» белгісі жоғары.

4) Серпімділік күшінің жұмысы

Серіппенің осі х осінің бойымен бағытталсын (3.15-сурет), ал серіппенің ұшы 1-ші нүктеден 2-ші нүктеге жылжиды, содан кейін (3.38) -ден аламыз

Егер бұлақтың қаттылығы болса бар, сол кезде

A (3.41)

Егер серіппенің соңы 0 нүктеден 1 нүктеге ауысса, онда біз бұл өрнекте ,, ауыстырамыз ,, онда серпімділік күшінің формасы болады

(3.42)

бұлақтың созылуы қайда.

3.15 -сурет

5) Айналатын денеге әсер ететін күштің жұмысы. Қазіргі жұмыс.

Күріш. 3.16 ерікті күш қолданылатын айналатын денені көрсетеді. Айналу кезінде бұл күштің қолданылу нүктесі шеңбер бойымен қозғалады.