Дәріс 5. Кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теорема

5. 1. Биліктің жұмысы

Күш берсін - Р нүктесіне қолданылатын жүйенің барлық күштерінің нәтижесі және dx, dy, дз) - Р нүктесінің P 1 P 2 траекториясы бойынша элементарлы қозғалысы (5.1 -сурет). Бастауыш жұмыс dAкүштер нүктелік туынды деп аталады

Бастапқы жұмыс - скаляр. Егер күш пен ығысу бағыты арасындағы бұрыш болса, онда (5.1) өрнегін келесі түрде беруге болады

бұл жерде күштің элементарлы орын ауыстыру (немесе нүкте жылдамдығының бағыты) бойынша проекциясы.

Бастауыш жұмыстың белгісі функция белгісіне байланысты. Егер өткір бұрыш болса, онда - доғал бұрыш, сосын, егер, онда.

Нүкте болсын Rдоғаны сипаттай отырып, позициядан позицияға соңғы қозғалысты жасайды. Біз доғаны бөлдік nсанмен қиманың ұзындығын көрсететін ерікті шағын бөлімдер kбойынша. Содан кейін күштің қарапайым жұмысы k-бөлім жекелеген бөлімдердегі жұмыс көлеміне тең болады және оған дейін

Бөлімдердің санын ескере отырып, біз жұмыстың нақты мәнін аламыз nшексіз артады және әр бөлімнің ұзындығы қысқарады:

.

Мұндай шек доғаның бойындағы бірінші түрдегі қисық сызықты интеграл деп аталады және келесі түрде жазылады

. (5.3)

Интеграция нәтижесі - бұл толық жұмыс Aкүш Fжол бойындағы қарастырылған соңғы орын ауыстыру бойынша.

5. 1. 1. Ауырлық күші жұмысы

Болсын м - нүктелік массасы, g- үдеу еркін құлау... Содан кейін

Жұмысты (5.1) және (5.3) формулалары бойынша есептей отырып, бізде бар

нүктенің төмендеу биіктігі қайда.

Нүктені көтерген кезде, демек ,.

5. 1. 2. Сызықтық серпімділік күшінің жұмысы

Материалды көрсетейік Rось бойымен қозғалады О(5.3 -сурет) бекітілген серіппенің әсерінен. Егер , , онда серіппе деформацияланады және нүктенің кішкене ауытқуларында оған серіппе жағынан серпімді күш әсер етеді деп есептеуге болады. Содан кейін ығысу бойынша серпімділік күшінің жұмысы x 0 x 1 тең болады

. (5.5)

Серпімділік күші серіппенің бастапқы және соңғы созылуының квадраттарының айырмасы бойынша қаттылық коэффициентінің көбейтіндісінің жартысына тең.

5. 1. 3. Қатты денеге қолданылатын күштердің қарапайым жұмысы

Дененің жазықтықтағы қозғалысын қарастырайық. Болсын O- қатты денеде ерікті түрде таңдалған нүкте (5.4 -сурет). Оны полюс деп атайық. Сонда дененің жазықтықтағы қозғалысын ең қарапайымның қосындысы ретінде көрсетуге болады: полюспен бірге аудармалық қозғалыс және дененің полюс айналасында айналуы. Содан кейін нүктенің қозғалмайтын жүйеге қатысты жылдамдығы екі жылдамдықтың геометриялық қосындысы ретінде анықталады

бұл жерде полюстің жылдамдығы, қатты дененің бұрыштық жылдамдығының векторы, Эйлердің жылдамдығы, яғни полюстің айналуындағы нүктенің жылдамдығы.

Біз қатты денені механикалық жүйе ретінде ұсынамыз Н.жеке нүктелер, олардың арасындағы қашықтық өзгермейді.

Күш әсеріндегі нүктенің орын ауыстыруын есептейміз:

Содан кейін.

(5.1) сәйкес қарапайым жұмыс келесі түрде жазылады

Векторлардың аралас туындысының қасиеттерін қолдану , деп соңғы өрнекті қайта жазамыз

Дененің бір нүктесінде қолданылатын сыртқы және ішкі барлық күштердің нәтижесі болсын (5.4 -сурет), яғни.

.

Сонда (а) былай жазылады

(3.1 және 3.2) сәйкес негізгі вектор мен негізгі нүктежүйенің ішкі күштері нөлге тең, біз аламыз

Мұнда: Негізгі вектор болып табылады, - нүктеге қатысты сыртқы күштердің негізгі моменті O.

Ерекше жағдайлар

А. Қатты дененің трансляциялық қозғалысы... Дененің барлық нүктелері абсолюттік мәнде де, бағытта да бірдей ығысуға ие (5.5, а -сурет), содан кейін (5.6) -дан біз мына жерден аламыз:

. (5.7)

B. Қатты дененің қозғалмайтын ось айналасында айналуы... Ось болсын zполюстен өтеді O(2.5b -сурет). Содан кейін,; (5.6) -дан аламыз

. (5.8)

Мысал.Катушка массасы мжәне радиусы Rтұрақты күшпен басқарылады Fнүктеде қолданылады A(5.6 -сурет). Катушка кедір -бұдырға сырғып кетпей оңға қарай домалайды.

Барлық сыртқы күштердің жұмысын есептеңіз, егер катушканың центрі қашықтыққа қозғалса, үйкеліс үйкеліс коэффициенті, үйкеліс күші, r - катушка өзегінің радиусы, оған күш қолданылатын болады.

Шешім.Катушка тегіс қозғалады. Жылжу сырғанаусыз жүретіндіктен, жылдамдықтардың лездік орталығы катушка жазықтыққа тиетін нүктеде болады, яғни. нүктесінде R(5.6 -сурет). S осін көлденеңінен оңға қарай бағыттайық. Қозғалыс бағытына сәйкес бұрылу бұрышының оң бағытын сағат тіліне қарсы аламыз.

Катушканың ортасына рұқсат етіңіз БІЛЕкөшеді. Бұл катушканы бұрыш арқылы айналдырады. Содан кейін, қайдан

Нақты ескере отырып Rлездік айналу осі үшін (5.8) формуласы бойынша қарапайым жұмысты есептейміз:

(а)

Мұнда: күштердің әрекет ету сызықтары мен мгайналу осін кесіп өтеді, сондықтан; әрі қарай, қайда Н.- қалыпты реакцияның күші.

Қажетті жұмысты анықтау үшін оны алу керек анықталған интеграл(а) -дан 0 -ге дейінгі аралықта С.A... Біз алып жатырмыз

5. 2. Күш өрісі. Қуат функциясы. Потенциалды энергия

Нүкте қандай да бір кеңістікте қозғалады және оған күш ғарыш жағынан әсер етеді делік, бұл нүктенің осы кеңістіктегі орнына байланысты, бірақ нүктенің жылдамдығына тәуелді емес. Бұл жағдайда олар орын берілген деп айтады күш өрісісонымен қатар нүкте күш өрісінде қозғалады. Материалдық нүктелер жүйесі үшін сәйкес ұғымдар ұқсас.

Механикада оларды қолдану нүктелерінің орналасуына байланысты күштер жиі кездеседі. Мысалы, серіппенің әсерінен көлденең сызық бойымен қозғалатын материалдық нүктеге қолданылатын серпімділік күші. Ең маңызды мысалтабиғаттағы күш өрісі - бұл гравитациялық өріс: Күннің берілген массадағы планетаға әрекеті кеңістіктің әр нүктесінде заңмен анықталады әмбебап тартылыс.

Күш өрісі деп аталады потенциалегер скалярлық функция болса U, тек координаттарға, материалдық жүйенің нүктелік нүктесіне байланысты (мүмкін уақыт бойынша), осылайша

Функция деп аталады қуат функциясы.

Беріктік функциясының қасиеттерін қарастырыңыз.

Бастапқы жұмыс (5.1) беріктік функциясымен төмендегідей байланысты

Осылайша, әлеуетті күш өрісіндегі күштің қарапайым жұмысы тең толық дифференциалдықуат функциясынанинтерфейс

Нүктеден бастап сайттағы күштің толық жұмысы Нүктеге (5.1 -сурет)

анау. ... (5.10)

Бұл алынған өрнектерден шығады

1. кез келген тұйық жол бойындағы потенциалды күш өрісіндегі күш жұмысы нөлге тең;

2. күштің потенциалды өрістегі жұмысы тек соңғы және бастапқы позициясына байланысты нүктелер, бірақ қозғалыс жолының өзі маңызды емес.

Потенциалды энергия.Потенциалды энергия NSкүш өрісінің қарастырылған нүктесінде Rнүктеден қозғалған кезде материалдық нүктеге әсер ететін өріс күштерінің жұмысын атайды R 1 -ші нүктені бастау үшін, яғни.

NS= немесе NS=

Күш функциясын байланыстырыңыз Uпотенциалды энергиямен. Бізде бар

Потенциалдық энергияны есептеу мысалдары

1. Біртекті ауырлық күшінің өрісі... Болсын м- нүктелік массасы; g - ауырлық күшінің үдеуі. Содан кейін (5.2 -сурет)

2. Серпімді серіппелі өріс... Материалдық нүкте ось бойымен қозғалсын О(5.3 -сурет) бекітілген серіппенің әсерінен. Егер көктемде деформацияланбаса, онда (5.5) формуласында параметрді аламыз

.

5. 3. Кинетикалық энергия

5. 3. 1. Жүйенің кинетикалық энергиясы. Кениг теоремасы

Кинетикалық энергия материалдық нүктенүкте массасының көбейтіндісінің жартысын оның жылдамдығының квадраты деп атаймыз, яғни. . Кинетикалық энергия - скалярлық оң мән. SI жүйесінде кинетикалық энергияның өлшем бірлігі джоуль болып табылады: .

Кинетикалық энергия механикалық жүйе- бұл жүйеге кіретін барлық нүктелердің кинетикалық энергияларының қосындысы:

(5.11)

Жүйе нүктелерінің жылдамдығы (5.1) стационарлық анықтамаға қатысты анықталады.

Жүйенің массасының центріне шығу тегін сәйкестендірейік. Механикалық жүйе координат жүйесімен бірге стационарлық координат жүйесіне қатысты трансляциялық түрде қозғалады делік (5.7 -сурет). Нүкте - бұл жүйенің нүктесі.

Содан кейін жылдамдықтарды қосу теоремасына сүйене отырып, нүктенің абсолюттік жылдамдығы Rk. жүйе портативті және салыстырмалы жылдамдықтардың векторлық қосындысы ретінде жазылады:

, (а)

қайда қозғалатын координат жүйесінің шығу жылдамдығы (портативті жылдамдық, яғни жүйенің масса орталығының жылдамдығы); - нүктелік жылдамдық Rkқозғалатын координаталар жүйесіне қатысты Ооz (салыстырмалы жылдамдық).

(5.11) формуласына (а) ауыстыра отырып, біз аламыз

(5.12)

Бұл бүкіл жүйенің массасы.

Қозғалатын координаталар жүйесіндегі жүйе массасының орталығының радиус векторы анықталады, (2.1), - , қайда , яғни ... Өйткені шығу тегі Oжүйе массасының орталығы болып табылады, демек, б.а. (5.12) өрнегіндегі екінші қосынды нөлге тең.

Осылайша, жүйенің кинетикалық энергиясы (5.12) түрге ие

(5.13)

Бұл теңдікті анықтайды Кениг теоремасы.

Теорема. Жүйенің кинетикалық энергиясы жүйенің массасының орталығында орналасқан және массасы бар материалдық нүктесі болатын кинетикалық энергияның қосындысына тең. массасына теңжүйе, және массаның центріне қатысты жүйенің қозғалысының кинетикалық энергиясы.

5. 3. 2. Қатты дененің кинетикалық энергиясы

Қатты дене - бұл механикалық жүйенің ерекше жағдайы және үздіксіз таралған масса ретінде қарастырылады, содан кейін жүйенің кинетикалық энергиясының өрнегіне енгізілген барлық қосындылар интегралға өтеді. Сонымен, қатты дене үшін (5.11) формуласы форманы алады

. (5.14)

1. Қатты дененің кинетикалық энергиясы алға қарай жылжиды.

Бұл қозғалыс түрімен дененің барлық нүктелерінің жылдамдықтары бірдей (5.8 -сурет). (5.14) формуласында интегралды белгінің сыртында жүргізе отырып, біз аламыз

. (5.15)

Қатаң дененің кинетикалық энергиясы трансляциялық түрде қозғалады, дене массасының көбейтіндісінің жартысына теңМ.жылдамдығының квадраты бойынша.

2. Тұрақты ось айналасында айналатын қатты дененің кинетикалық энергиясы

Жылдамдық модулі VҚатты дененің қозғалмайтын ось айналасында айналатын кез келген нүктесі тең, бұл жерде қатты дененің бұрыштық жылдамдығының модулі нүктеден айналу осіне дейінгі қашықтыққа тең. z(5.9 -сурет). (5.14) формуласын алмастыра отырып, біз аламыз

Мұнда - оське қатысты қатты дененің инерция моменті z.

Қозғалмайтын ось айналасында айналатын қатты дененің кинетикалық энергиясы дененің бұрыштық жылдамдығының квадратына айналу осіне қатысты дененің инерция моментінің көбейтіндісінің жартысына тең.

3. Жазық параллель қозғалыстағы қатты дененің кинетикалық энергиясы

Жазық параллель қозғалыста дененің кез келген нүктесінің жылдамдығы полюстің жылдамдығы мен полюстің айналу нүктесінің жылдамдығының геометриялық қосындысынан тұрады. Дене жазықтықта тегіс қозғалсын Окси, онда

|| ... Полюс үшін дене массасының орталығын таңдаймыз, содан кейін (5.13) формуласында жылдамдық - нүктенің жылдамдығы kдене полюсте айналады (массаның орталығы) және оған тең қашықтық қайда k- полюске үшінші нүкте. Содан кейін (5.13) қайта жазуға болады

Осыны ескере отырып - дененің оське қатысты инерция моменті zполюстен өту БІЛЕ, соңғы өрнекті келесідей қайта жазуға болады

, (5.17)

Дененің жазық-параллель қозғалысы кезінде кинетикалық энергия массалық центрден өтетін және қозғалыс жазықтығына перпендикуляр ось айналасында айналатын кинетикалық энергиямен бірге айналмалы қозғалыстың кинетикалық энергиясынан тұрады.

5. 4. Кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теорема

5. 4. 1. Нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема

Жұмыс пен жылдамдықтың өзгеруі арасындағы байланысты табайық. Массасы бар материалдық нүкте болсын мось бойымен қозғалады Окүш әсерінде, мысалы, сығылған немесе босатылған серіппе, бастапқыда бекітілген, - нүкте O(5.10 -сурет). Нүктенің қозғалыс теңдеуінің формасы бар

Біз бұл теңдеудің екі жағын да көбейтеміз және осыны ескере отырып , Біз алып жатырмыз

. (5.19)

Бұл теңдіктің оң жағында ауыстырыңыз V xбойынша және көбейту дтоң және сол жақ. Содан кейін

. (5.20)

Бұл формада теңдік өте айқын мағынаға ие: нүкте арқылы ауысқанда dx, күш жұмыс істейді, нәтижесінде мән өзгереді нүктелік кинетикалық энергиянүктенің қозғалысын сипаттайтын және, атап айтқанда, оның жылдамдық модулі. Егер нүкте позициядан ауысса және оның жылдамдығы интегралдан (5.20) дейін өзгерсе, бізде

. (5.21)

Осыны ескере отырып , ақыры табамыз

. (5.22)

Кез келген қозғалыс кезінде материалдық нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі сол қозғалыстағы нүктеге әсер ететін күштің жұмысына тең.

Алдыңғы процедуралардың барлығын орындай отырып, біз аламыз

,

мұнда нүкте қозғалатын доға (5.11 -сурет).

5. 4. 2. Жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема

Массасы бар жүйенің нүктелері олардың инерциялық санақ жүйесіндегі радиус векторлары өсім алатындай қозғалсын. Бұл жағдайда кинетикалық энергия қалай өзгергенін білейік Т.жүйелер.

(5.11) бойынша жүйенің кинетикалық энергиясы

.

Біз жүйенің кинетикалық энергиясының дифференциалын есептейміз және алынған өрнекті түрлендіреміз

Мұнда

Соны ескере отырып , а нүктесінің үдеуі қайда және нүктеге қолданылатын сыртқы және ішкі күштер болса, біз соңғы теңдікті формада қайта жазамыз

Осылайша,

. (5.23)

Соңғы теңдік механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманы дифференциалды түрде көрсетеді: жүйенің кинетикалық энергиясының дифференциалдылығы жүйенің барлық күштерінің қарапайым жұмысына тең.

Жеке оқиға ... Абсолют қатты дене үшін жүйенің барлық ішкі күштерінің жұмысының қосындысы нөлге тең:

.

Демек, қатты дененің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманы (5.23) түрінде жазуға болады.

Кез келген элементарлы орын ауыстыру кезіндегі қатты дененің кинетикалық энергиясының өзгеруі денеге әсер ететін сыртқы күштердің қарапайым жұмысына тең.

Егер (5.24) екі жағы екі позиция арасында интеграцияланған болса - бастапқы және соңғы, онда сәйкесінше кинетикалық энергия мен

. (5.25)

Мысал 1... Диск массасы м= 5 кгжәне радиусы нүктеде қолданылатын тұрақты күшпен қозғалады A(5.6 -сурет). Диск тегіс емес бетке сырғып кетпей оңға домалайды. Масса центрінің жылдамдығын анықтаңыз БІЛЕкатушка қашықтықты жылжытқанда, сырғанау үйкеліс коэффициенті, дискінің айналу радиусы

Шешім.Диск тегіс қозғалады. Қатты дененің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманы жазайық

Дискінің кинетикалық энергиясын есептейік. Уақыттың бастапқы сәтінде диск тыныштық күйде болды, яғни. ... Дискінің соңғы күйіндегі кинетикалық энергия

Қозғалыстың тағы бір негізгі динамикалық сипаттамасы - кинетикалық энергия ұғымын енгізейік. Материалдық нүктенің кинетикалық энергиясы - нүкте массасының көбейтіндісінің жылдамдығының квадратына тең болатын скалярлық мән.

Кинетикалық энергияның өлшем бірлігі жұмыспен бірдей (СИ - 1 Дж). Осы екі шаманың тәуелділігін табайық.

Материалдық нүктені қарастырайық, ол жылдамдығы бар позициядан оның жылдамдығы болатын күйге ауысады

Қажетті тәуелділікті алу үшін динамиканың негізгі заңын білдіретін теңдеуге жүгінейік. Оның екі бөлігін де қозғалыс бағытына бағытталған М нүктесінің траекториясына жанамасына проекциялай отырып,

Мұнда кіретін нүктенің тангенциалды үдеуі формада көрсетілген

Нәтижесінде біз мұны табамыз

Біз бұл теңдіктің екі жағын да көбейтеміз және оларды дифференциалды белгісінің астына қосамыз. Содан кейін күштің қарапайым жұмысы қайда екенін байқай отырып, нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманың өрнегін дифференциалды түрде аламыз:

Енді осы теңдіктің екі жағын да нүктелердегі айнымалылардың мәндеріне сәйкес келетін шектерде біріктіре отырып, біз ақыры табамыз

(52) теңдеу нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманы соңғы түрінде көрсетеді: белгілі бір орын ауыстыруы бар нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі барлық күштердің жұмысының алгебралық қосындысына тең. сол орын ауыстыруға нүкте.

Еркін емес қозғалыс жағдайы. Нүктенің еркін қозғалысы жағдайында берілген (белсенді) күштердің жұмысы мен қосылу реакциясының жұмысы теңдіктің оң жағына түседі (52). Біз нүктенің қозғалмайтын тегіс (үйкеліссіз) беті немесе қисығы бойымен қозғалысын қарастырумен шектелеміз. Бұл жағдайда N реакциясы (233 -суретті қараңыз) нормаль бойымен нүктенің траекториясына бағытталады. Содан кейін (44) формулаға сәйкес, нүктенің кез келген ығысуы үшін бекітілген тегіс беттің (немесе қисықтың) реакция жұмысы нөлге тең болады, ал (52) теңдеуінен аламыз

Демек, бекітілген тегіс бет (немесе қисық) бойымен қозғалу кезінде нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі нүктеге қолданылатын белсенді күштердің осы қозғалысы бойынша жұмыстың жиынтығына тең болады.

Егер беті (қисық) тегіс болмаса, онда үйкеліс күшінің жұмысы белсенді күштердің жұмысына қосылады (§ 88 қараңыз). Егер бет (қисық) қозғалатын болса, онда M нүктесінің абсолюттік орын ауыстыруы N -ге перпендикуляр болмауы мүмкін, содан кейін N реакциясының жұмысы нөлге тең болмайды (мысалы, көтеру платформасының реакциясы) .

Мәселелерді шешу. Кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теорема [52 формула] нүктенің қалай қозғалатынын, оның жылдамдығы қалай өзгеретінін біле отырып, әрекет етуші күштердің жұмысын анықтауға мүмкіндік береді (динамиканың бірінші мәселесі) немесе әрекет етудің жұмысын білуге ​​мүмкіндік береді. қозғалыс кезінде нүктенің жылдамдығы қалай өзгеретінін анықтау үшін күштер (динамиканың екінші мәселесі). Екінші есепті шешкенде, күш берілгенде, олардың жұмысын есептеу керек. (44), (44) формулаларынан көріп отырғанымыздай, бұл күштер тұрақты болғанда немесе мысалы, серпімділік немесе ауырлық күштері сияқты қозғалатын нүктенің орнына (координаттарына) тәуелді болғанда ғана жүзеге асады. (§ 88 қараңыз).

Осылайша, (52) формуланы динамиканың екінші мәселесін шешу үшін тікелей қолдануға болады, егер есепте мәліметтер мен қажетті шамалар саны: әрекет етуші күштер, нүктенің орын ауыстыруы және оның бастапқы және соңғы жылдамдықтары (яғни шамалар), және күштер тұрақты болуы керек немесе тек нүктенің орнына (координаттарына) байланысты.

Дифференциалды формадағы [формула (51)] теоремасы, әрине, кез келген әсер етуші күштер үшін қолданылуы мүмкін.

Есеп 98. А нүктесінен жылдамдықпен лақтырылған, биіктікте орналасқан (235 -сурет) жүктің құлау нүктесіндегі жылдамдығы бар C Жүктемеде әсер ететін ауа кедергі күшінің жұмысы қандай тең екенін анықтаңыз. дейін

Шешім. Қозғалыс кезінде жүктеме P ауырлық күші мен ауа кедергісінің күші R әсер етеді. Кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теоремамен жүктемені материалдық нүкте ретінде қарастырамыз.

Бұл теңдіктен, өйткені формулаға сәйкес біз табамыз

Есеп 99. 96 -есеп шартында ([§ 84 -ті қараңыз), жүктің тоқтауға қандай жолмен өтетінін анықтаңыз (223 -суретті қараңыз, мұнда жүктің бастапқы орны, соңғы нүктесі).

Шешім. Жүктеме, 96 -есептегідей, P, N, F күштерінің әсерінен жүзеге асады, тоқтау қашықтығын анықтау үшін, бұл есептің шарттарына тұрақты F күші де кіретінін ескере отырып, кинетикалық өзгерістің теоремасын қолданамыз. энергия

Бұл жағдайда жүктеменің тоқтау сәтіндегі жылдамдығы). Сонымен қатар, P және N күштері орын ауыстыруға перпендикуляр болғандықтан, нәтижесінде біз тапқан жерге жетеміз.

96 -тапсырманың нәтижесі бойынша тежелу уақыты пропорционалды түрде артады бастапқы жылдамдық, және тежеу ​​қашықтығы, біз тапқандай, бастапқы жылдамдықтың квадратына пропорционал. Бұл жердегі көліктерге қолданылғанда, жылдамдықтың жоғарылауымен қауіптің қалай арта түсетінін көрсетеді.

Есеп 100. Р салмағының жүктемесі l ұзындықтағы жіпке ілінеді. Жіп жүктеменің көмегімен бұрыштан вертикальдан ауытқиды (236 -сурет, а) және бастапқы жылдамдықсыз шығарылады. Қозғалыс кезінде R қарсылық күші әсер етеді, ол шамамен оның орташа мәнімен ауыстырылады, бұл кезде жіп вертикальмен бұрыш құрған кездегі жүктеменің жылдамдығын табыңыз.

Шешім. Есептің шарттарын ескере отырып, біз қайтадан теореманы қолданамыз (52):

Жүктеме P ауырлық күшінің әсерінен жүзеге асады, қарсылық жіптің реакциясы, оның орташа мәні R арқылы, N күшінің (47) формуласы бойынша Р күші үшін, өйткені біз күш үшін ақырында аламыз. , өйткені (45) формула бойынша ол болады (доға ұзындығы s центрлік бұрыш бойынша туынды радиусына l тең). Сонымен қатар, есептің шарттарына сәйкес теңдік (а) мынаны береді:

Қарсылық болмаған жағдайда біз салмақ еркін түсетін жылдамдық үшін жарамды Галилей формуласын аламыз (236-сурет, б).

Қарастырылып отырған есепте Содан кейін, басқа белгі енгізе отырып - жүктің бірлігіне орташа қарсылық күші) біз ақыры аламыз

Есеп 101. Клапан серіппесінің пішіні өзгермеген күйдегі ұзындығы см.Клапан толық ашылғанда оның ұзындығы см, ал клапан көтеру биіктігі см (237 -сурет). Көктемгі клапанның салмағы кг. Ауырлық күші мен қарсылық күштерінің әрекетін елемей, клапанның жабылған сәттегі жылдамдығын анықтаңыз.

Шешуі, теңдеуді қолданайық

Есептің шарты бойынша жұмыс тек серіппенің серпімді күшімен орындалады. Содан кейін (48) формула бойынша болады

Бұл жағдайда

Сонымен қатар, осы мәндердің барлығын (а) теңдеуіне қойып, ақырында аламыз

Есеп 102. Серпімді арқалықтың ортасында жатқан жүктеме (238 -сурет) оны шамадан ауытқиды (сәуленің статистикалық ауытқуы) Сәуленің салмағын ескерместен, егер жүктеме жерге түссе, оның максималды ауытқуы қандай болатынын анықтаңыз. биіктіктен сәуле Н.

Шешім. Алдыңғы есептегідей, біз (52) теңдеуді шешеміз. Бұл жағдайда жүктеменің бастапқы жылдамдығы мен оның соңғы жылдамдығы (сәуленің максималды ауытқуы кезінде) нөлге тең болады және теңдеу (52) формасын алады.

Мұндағы жұмыс орын ауыстырудағы Р ауырлық күшімен және ығысу кезінде сәуленің F серпімділік күшімен орындалады.

Бірақ арқалыққа жүктеме тепе -теңдікте болғанда, тартылыс күші серпімділік күшімен теңестіріледі, сондықтан бұрынғы теңдікті де формада көрсетуге болады

Оны шешу квадрат теңдеужәне мәселенің шарттарына сәйкес біз табуымыз керек екенін ескере отырып

Бір қызығы, егер жүктеме көлденең сәуленің ортасына қойылса, онда оның жүктемені төмендету кезінде максималды ауытқуы статикалық шамадан екі есе көп болады. Болашақта жүктеме сәулемен бірге тепе -теңдік жағдайы туралы дірілдей бастайды. Кедергілер әсерінен бұл тербелістер суытады және жүйе баланстың иілуіне тең болатын күйде теңгеріледі.

Есеп 103. Дененің үстінен вертикаль бағытталған ең төменгі бастапқы жылдамдықты анықтаңыз, осылайша ол Жер бетінен берілген H биіктігіне көтеріледі (239 -сурет) .Тартылу күші квадратқа кері пропорционалды өзгереді деп есептеледі. Жердің орталығынан қашықтығы. Ауа кедергісін елемеу.

Шешім. Денені массасы бар материалдық нүкте ретінде қарастыра отырып, біз теңдеуді қолданамыз

Мұндағы жұмысты F гравитациялық күші орындайды. Содан кейін (50) формулаға сәйкес, бұл жағдайда R - Жердің радиусы болатын жағдайда, біз

Ең жоғары нүктеде, жұмыстың табылған мәнінде (а) теңдеуі беріледі

Ерекше жағдайларды қарастырайық:

а) H R -мен салыстырғанда өте кішкентай болсын. Содан кейін - нөлге жақын мән. Алынған сан мен бөлгішті бөлу

Осылайша, кіші Н үшін біз Галилео формуласына келеміз;

б) біз лақтырылған дененің шексіздікке қандай бастапқы жылдамдықпен баратынын табамыз, алушы мен бөлгішті А -ға бөлеміз, біз аламыз

Егер жүйенің массасы бар кейбір нүктесін қарастыратын болсақ , жылдамдыққа ие , онда бұл нүкте болады

,

қайда және - нүктеге әсер ететін сыртқы және ішкі күштердің қарапайым жұмысы. Жүйенің әр нүктесі үшін осындай теңдеулерді құрып, оларды мүше бойынша мүшеге қосып, біз аламыз

,

. (2)

Теңдік дифференциалды түрде жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманы білдіреді.

Егер алынған өрнек қарастырылған ығысу орын алған қарапайым уақыт интервалына қатысты болса, біз теореманың дифференциалдық формасы үшін екінші формуланы алуға болады: механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының уақыт туындысы қосындысына тең. барлық сыртқы () және ішкі () күштердің күштері, яғни

Кинетикалық энергияны өзгерту теоремасының дифференциалды формаларын құрастыру үшін қолдануға болады дифференциалдық теңдеулерқозғалыс, бірақ бұл өте сирек орындалады, өйткені ыңғайлы техникалар бар.

Теңдіктің екі жағын (2) жүйенің кинетикалық энергиясы тең болатын бастапқы күйден кинетикалық энергияның мәні тең болатын позицияға ауыстыруға сәйкес келетін шектерде интеграциялау. , бар болады

Алынған теңдеу кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теореманы соңғы түрінде көрсетеді: жүйенің кинетикалық энергиясының біршама ығысуымен өзгеруі жүйеге қолданылатын барлық сыртқы және ішкі күштердің осы орын ауыстыру бойынша жұмысының қосындысына тең.

Алдыңғы теоремалардан айырмашылығы, ішкі күштер теңдеулерде жоққа шығарылмайды. Шынында да, егер және нүктелер мен жүйе арасындағы өзара әрекеттесу күштері болса (51 -суретті қараңыз), онда. Бірақ сонымен бірге нүкте қарай жылжи алады, ал нүкте қарай. Әр күштің жұмысы оң болады және жұмыс көлемі нөлге тең болмайды. Мысал - кері қайтару феномені. Бұл жерде снарядқа да, айналмалы бөліктерге де әсер ететін ішкі күштер (қысым күштері) оң жұмыс жасайды. Бұл жұмыстардың нөлге тең емес қосындысы жүйенің кинетикалық энергиясын түсірілім басындағы мәннен соңындағы мәнге өзгертеді.

Тағы бір мысал: серіппемен қосылған екі нүкте. Нүктелер арасындағы қашықтық өзгерген кезде, нүктелерге қолданылатын серпімді күштер жұмысты орындайды. Бірақ егер жүйе абсолютті қатты денелерден тұрса және олардың арасындағы байланыстар өзгермейтін, серпімді емес, идеалды болса, онда ішкі күштердің жұмысы нөлге тең болады және оларды елемеуге болады және конструкторлық диаграммада мүлде көрсетілмейді.

Екі ерекше жағдайды қарастырыңыз.

1) Өзгермейтін жүйе. Өзгермейтінбіз жүйені қозғайтын кезде ішкі күштерді қолдану нүктелері арасындағы қашықтық өзгермейтін жүйені атаймыз. Атап айтқанда, мұндай жүйе - абсолютті қатаң дене немесе созылмайтын жіп.

51 -сурет

Бір -біріне күштер мен () әсер ететін екі нүкте мен өзгермейтін жүйе (51 -сурет) болсын осы сәтжылдамдық және. Содан кейін белгілі бір уақытқа дтбұл нүктелер қарапайым қозғалыстар жасайды және , векторлары бойымен бағытталған. Бірақ сегмент өзгермейтін болғандықтан, кинематиканың белгілі теоремасы бойынша векторлардың проекциясы мен , және, тиісінше, ығысу да, сегменттің бағыты да бір -біріне тең болады, яғни. ... Содан кейін күштердің қарапайым жұмысы шамасы бойынша бірдей және таңбасына қарама -қарсы болады, және олар нөлге тең болады. Бұл нәтиже жүйенің кез келген орын ауыстыруы үшін барлық ішкі күштер үшін жарамды.

Бұдан біз мынандай қорытындыға келеміз өзгермейтін жүйе үшін барлық ішкі күштердің жұмысының қосындысы нөлге теңжәне теңдеулер формасын алады

2) Керемет қосылған жүйе... Уақыт өте келе өзгермейтін қосылыстармен қапталған жүйені қарастырайық. Жүйенің нүктелеріне әсер ететін барлық сыртқы және ішкі күштерді бөлейік белсендіжәне байланыс реакциялары.Содан кейін

,

әрекет ететіндердің негізгі жұмысы қайда k-сыртқы және ішкі белсенді күштер жүйесінің үшінші нүктесі, а - сыртқы және ішкі байланыстардың бір нүктесіне салынған реакциялардың элементар жұмысы.

Көріп отырғаныңыздай, жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі байланыстың жұмысы мен белсенді күштері мен реакцияларына байланысты. Дегенмен, байланыстардың болуы оның қозғалысы кезінде жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруіне әсер етпейтін осындай «идеалды» механикалық жүйелер туралы түсінікті енгізуге болады. Мұндай байланыстар үшін келесі шарт міндетті түрде орындалуы керек:

Егер уақыт бойынша өзгермейтін қосылыстар үшін жүйенің элементарлы орын ауыстыруы бар барлық реакциялардың жұмысының қосындысы нөлге тең болса, онда мұндай қосылыстар деп аталады мінсізУақыт өте келе өзгермейтін идеалды шектеулер болатын механикалық жүйе үшін бізде міндетті түрде болады

Осылайша, идеалды, уақыт бойынша өзгермейтін байланыстары бар жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі оның кез келген ығысуы үшін сыртқы және ішкі жүйеге қолданылатын осы орын ауыстыру бойынша жұмыстың сомасына тең. белсенді күштер.

Механикалық жүйе деп аталады консервативті(оның энергиясы, сақталғандай, өзгермейді), егер энергетикалық интеграл

немесе (3)

Бұл бар механикалық энергияның сақталу заңы: жүйе потенциалды өрісте қозғалса, оның механикалық энергиясы (потенциалдар мен кинетиктердің қосындысы) өзгеріссіз қалады, тұрақты.

Механикалық жүйе консервативті болады, егер оған әсер ететін күштер потенциалды болса, мысалы, тартылыс күші, серпімділік күштері. Консервативті механикалық жүйелерде энергетикалық интегралды қолдана отырып, дифференциалды қозғалыс теңдеулерінің құрастырылуының дұрыстығын тексеруге болады. Егер жүйе консервативті болса, (3) шарты орындалмаса, онда қозғалыс теңдеулерін құрастыруда қате жіберілді.

Энергиялық интегралды теңдеудің дұрыстығын тексеру үшін және басқа жолмен, туынды есептеместен қолдануға болады. Ол үшін қозғалыс теңдеулерін сандық интегралдауды жүргізгеннен кейін, уақыт бойынша екі түрлі нүкте үшін, мысалы, бастапқы және соңғы нүктелер үшін, жалпы механикалық энергияның мәнін есептеңіз. Егер мәндердің айырмашылығы есептік қателіктермен салыстырылатын болып шықса, бұл қолданылатын теңдеулердің дұрыстығын көрсетеді.

Алдыңғы барлық теоремалар ішкі күштерді қозғалыс теңдеулерінен шығаруға мүмкіндік берді, бірақ барлық сыртқы күштер, оның ішінде сыртқы байланыстардың бұрын белгісіз реакциялары теңдеулерде қалды. Кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теореманың практикалық мәні мынада: уақыт бойынша өзгермейтін идеалды шектеулермен ол қозғалыс теңдеулерінен шығаруға мүмкіндік береді. барлықбұрын белгісіз байланыс реакциялары.

Бұл теорема күш (себеп) жұмысы мен материалдық нүктенің (әсердің) кинетикалық энергиясы арасындағы сандық байланысты орнатады.

Материалдық нүктенің кинетикалық энергиясынүкте массасының көбейтіндісінің жылдамдығының квадратына тең болатын скалярлық мән деп аталады

. (43)

Кинетикалық энергия күштің механикалық әсерін сипаттайды, оны энергияның басқа түріне, мысалы, жылуға түрлендіруге болады.

Күшті жұмысберілген ығысу оның сипаттамасы деп аталады күш әрекеті, бұл жылдамдық модулінің өзгеруіне әкеледі.

Күштің қарапайым жұмысыкүш векторының скаляр көбейтіндісі ретінде оның қолданылу нүктесіндегі элементарлы орын ауыстыру векторы ретінде анықталады

, (44)

қайда
- элементарлы қозғалыс.

Бастауыш жұмыс модулі формуламен анықталады

қайда  - күш векторы мен элементарлы орын ауыстыру векторы арасындағы бұрыш; - күш векторының тангенске проекциясы.

Кейбір шектеулі орын ауыстыру бойынша жалпы жұмыс интегралмен анықталады

. (46)

(46) -дан шығатын қорытынды, жұмыс тұрақты болғанда немесе орын ауыстыруға тәуелді болған жағдайда екі жағдайда есептелуі мүмкін.

Ат F= const біз аламыз
.

Есептерді шешкенде көбіне күшті есептеудің аналитикалық әдісін қолдану ыңғайлы

қайда F x , F ж , F z- күштің координат осьтеріндегі проекциясы.

Келесі теореманы дәлелдейік.

Теорема: Материалдық нүктенің кинетикалық энергиясының кейбір ығысуындағы өзгерісі сол орын ауыстырудағы нүктеге әсер ететін күштің жұмысына тең.

Материалдық нүкте массасы М болсын мкүшпен қозғалады F M 0 позициядан М 1 позициясына дейін.

OUD:
. (47)

Ауыстыруды енгізейік
және (47) тангенске проекциялайды

. (48)

Біз айнымалыларды (48) бөліп, интегралдаймыз

Нәтижесінде біз аламыз

. (49)

(49) теңдеу жоғарыдағы теореманы дәлелдейді.

Берілген және ізделетін параметрлер арасында нүктенің массасы, оның бастапқы және соңғы жылдамдығы, күштері мен орын ауыстыруы болған кезде теореманы қолдану ыңғайлы.

Сипаттық күштердің жұмысын есептеу.

1. Ауырлық күшінің жұмысыкүш модулінің туындысы ретінде есептеледі және оны қолдану нүктесінің тік ығысуы

. (50)

Жоғары көтерілгенде жұмыс оң болады, төмен қарай жылжытқанда теріс болады.

2. Серіппенің серпімділік күшінің жұмысы F=-cx-ге тең

, (51)

қайда x 0 - серіппенің бастапқы созылуы (қысылуы);

x 1 - серіппенің соңғы ұзаруы (қысылуы).

Ауырлық күші мен серпімділік күшінің жұмысы олардың қолдану нүктелерінің қозғалыс траекториясына тәуелді емес. Жұмысы траекторияға тәуелді емес мұндай күштер деп аталады потенциалды күштер.

3. Үйкеліс күшінің жұмысы.

Үйкеліс күші әрқашан қозғалыс бағытына қарама -қарсы бағытта бағытталғандықтан, оның жұмысы тең

Фрикционды жұмыс әрқашан теріс болады... Жұмысы әрқашан теріс болатын күштер деп аталады диссипативті.

Интегралды (соңғы) форма... Материалдық нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема: Материалдық нүктенің кинетикалық энергиясының оның біршама ығысуындағы өзгерісі сол нүктеде әрекет ететін барлық күштердің жұмысының алгебралық қосындысына тең.

Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема тұжырымдалған: механикалық жүйенің бір күйден екінші позицияға ауысқан кездегі кинетикалық энергиясының өзгеруі осы қозғалысқа жүйеге қолданылатын барлық сыртқы және ішкі кабельдердің жұмысының қосындысына тең:

Өзгермейтін жүйе жағдайында кез келген орын ауыстырудағы ішкі күштердің жұмысының қосындысы нөлге тең (),

Механикалық энергияның сақталу заңы.Механикалық жүйе потенциалы бар күштердің әсерінен қозғалса, жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі тәуелділіктермен анықталады:

Қайда,

Жүйенің кинетикалық және потенциалдық энергияларының қосындысы деп аталады толық механикалық энергияжүйелер.

Осылайша, механикалық жүйе стационарлық потенциалды өрісте қозғалса, қозғалыс кезінде жүйенің жалпы механикалық энергиясы өзгеріссіз қалады.

Тапсырма.Гравитация әсеріндегі механикалық жүйе тыныштық күйден қозғала бастайды. 3 -ші корпустың сырғанау үйкелісін ескере отырып, басқа қарсылық күштері мен жіптердің массасын елемей, 1 -дененің жылдамдығы мен үдеуін анықтаңыз, ол жүріп өткен жолға тең болады. с(3.70 -сурет).

Тапсырмада мыналарды қабылдаңыз:

Шешім.Механикалық жүйеге белсенді күштер әсер етеді ,,. Жүйені шектеулерден босату принципін қолдана отырып, біз топсалы бекітілген тіректің 2 реакциясын және өрескел көлбеу бетті көрсетеміз. Жүйе денелерінің жылдамдықтарының бағыттары 1 дененің төмен түсуін ескере отырып бейнеленген.

Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманы қолданып есепті шешеміз:

қайда Т.және - жүйенің бастапқы және соңғы позициядағы кинетикалық энергиясы; - жүйенің бастапқы күйден соңғы күйге қозғалысы бойынша жүйеге қолданылатын сыртқы күштердің жұмысының алгебралық қосындысы; - сол орын ауыстырудағы жүйенің ішкі күштерінің жұмысының жиынтығы.

Ұзартылмайтын жіптермен байланысқан абсолютті қатты денелерден тұратын қарастырылатын жүйе үшін:

Бастап бастапқы позицияонда жүйе тыныштық күйде болды. Демек:

Жүйенің кинетикалық энергиясы - 1, 2, 3 денелердің кинетикалық энергияларының қосындысы:

Трансляциялық қозғалыстағы жүктің 1 кинетикалық энергиясы тең:

Ось айналасында айналатын 2 -блоктың кинетикалық энергиясы Ozсурет жазықтығына перпендикуляр:

3 -дененің кинетикалық энергиясы оның айналу қозғалысында:

Осылайша,

Кинетикалық энергия өрнегі жүйенің барлық денелерінің белгісіз жылдамдықтарын қамтиды. Анықтауды бастау керек. Байланыс теңдеулерін құрастыру арқылы қажетсіз белгісіз нәрселерден арылайық.

Шектеу теңдеулері - жүйедегі нүктелердің жылдамдығы мен орын ауыстыруы арасындағы кинематикалық байланыстардан басқа ештеңе емес. Шектеу теңдеулерін құру кезінде біз жүктеме жылдамдығы мен орын ауыстыруы бойынша жүйе денелерінің барлық белгісіз жылдамдықтары мен орын ауыстыруларын өрнектейміз.

Шағын радиустың шеткі нүктесінің жылдамдығы 1 дененің жылдамдығына тең, сонымен қатар 2 дененің бұрыштық жылдамдығы мен айналу радиусының туындысы. r:

Осыдан біз дененің 2 бұрыштық жылдамдығын білдіреміз:

Үлкен радиусты блоктың шетінің кез келген нүктесінің айналу жылдамдығы, бір жағынан, блоктың бұрыштық жылдамдығы мен айналу радиусының туындысына тең, ал екінші жағынан дененің жылдамдығына тең. 3:

Бұрыштық жылдамдықтың мәнін алмастыра отырып, біз мынаны аламыз:

(A) және (b) өрнектерін бастапқы шарттарда біріктіріп, жүйе нүктелерінің орын ауыстыруларының қатынасын жазамыз:

Жүйе нүктелерінің жылдамдықтарының негізгі тәуелділіктерін біле отырып, кинетикалық энергияның өрнегіне оралып, (а) мен (б) теңдеулерін ауыстырайық:

2 дененің инерция моменті:

Дене массасы мен дененің инерция моментінің мәндерін 2 ауыстыра отырып, біз жазамыз:

Берілген орын ауыстырудағы жүйенің барлық сыртқы күштерінің жұмысының қосындысын анықтау.

Енді механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теоремаға сәйкес мәндерді теңестіреміз Т.және

1 дененің жылдамдығы (g) өрнегінен алынады

1 дененің үдеуін уақыт бойынша теңдікті (r) саралау арқылы анықтауға болады.