Нүктелік қозғалыс санын өзгерту туралы теорема

Өйткені нүкте массасы тұрақты, ал оның үдеуі - бұл динамиканың негізгі заңын білдіретін теңдеу, оны ұсынуға болады

Теңдеу бір уақытта Дифференциалды нысандағы нүктенің қозғалысы санының өзгеруіндегі теоремамен бір уақытта білдіреді: уақытында туынды нүктелік қозғалыс мөлшері нүкте бойынша әрекет ететін күштердің геометриялық қосындысына тең.

Осы теңдеуді біріктіріңіз. Масса нүктесін жіберіңіз. м.Күш әсерінен көшу (Cурет.15) т.\u003d 0 жылдамдығы және қазіргі уақытта т. 1 жылдамдық.

1-сурет

Содан кейін теңдіктің екі бөлігін де, олардан алады кейбір интегралдар. Сонымен бірге, интеграция уақыт өткен кезде, интегралдардың шегі 0 және т. 1, ал жылдамдық біріктірілген, және сәйкес келетін жылдамдық мәндері және . Интегралдан бастап Қарға , Нәтижесінде біз:

.

Интегралдардың құқығында тұру қазіргі күштердің импульстарын білдіреді. Сондықтан бізде:

.

Теңдеу теореманы соңғы формадағы нүктедің санын өзгерту туралы айтады: белгілі бір уақыт аралығында нүктенің қозғалыс санын өзгерту осы уақыт аралығында көрсеткен барлық күштердің геометриялық қосындысына тең (Інжір. он бес).

Проблемаларды шешкен кезде, векторлық теңдеудің орнына, олар көбінесе проекциялардағы теңдеулерді жиі қолданады.

Ось бойында түзу қимыл болған жағдайда Отеорема осы теңдеулердің біріншісімен көрінеді.

9-мысал. Қозғалыс заңын табыңыз материалдық нүктесі масса м.ось бойымен жылжу сағ. Күш модулі үшін тұрақты әрекеттің астында F.(Cурет 16) бастапқы жағдайларда :, қашан .

16-сурет.

Шешім. Татуласу дифференциалдық теңдеу Біліктегі проекциядағы қозғалыс нүктесі сағ.:. Осы теңдеуді біріктіру, біз мыналарды табамыз: . Тұрақты түрде жылдамдық пен теңдіктің бастапқы күйінен анықталады. Соңында

.

Келесі, осы v деп ойлаймын dX /дест., Дифференциалдық теңдеуге келіңіз: біз оны біріктіру

Координаталық нүкте үшін бастапқы күйден тұрақты анықтама. Бұл тең. Демек, нүктенің қозғалыс нүктесі формасы бар

10-мысал.. Жүк салмағы Патрондылық (Cурет17) тынығу күйінен күш әсерінен тегіс көлденең жазықтықта жүре бастайды F \u003d kt.. Трафик заңын табыңыз.

1-сурет

Шешім. Координаталар жүйесінің басталуын таңдаңыз Жөнінде -да бастапқы позиция жүк және осьті жіберіңіз сағ. қозғалысқа қарай (17-сурет). Содан кейін бастапқы жағдайлар: х.(t \u003d.0) \u003d 0, v ( t \u003d.0) \u003d 0. Күштер тауарларға әсер етеді Е,П. және реакция күші Жоқ. Осьдегі осы күштердің болжамдары сағ. есім F. Х. = F. = кт., Патрондылық Х. = 0, N x. \u003d 0, сондықтан тиісті қозғалыс теңдеуі келесідей жазылуы мүмкін :. Айнымалыларды осы дифференциалдық теңдеуде бөліп, содан кейін біріктіреді, біз: v \u003d г.кт. 2 /2П. + C. бір . Бастапқы деректерді алмастыру ( в.(0) \u003d 0), мұны табыңыз C. 1 \u003d 0, және біз жылдамдықты өзгерту заңын аламыз .

Соңғы өрнек, өз кезегінде, бұл дифференциалдық теңдеу, ол материалдық теңдеу, ол материалдық нүктенің қозғалысы заңын таба аламыз: . Мұнда кіріс екінші жағдайдан тұрақты түрде анықталады сағ.(0) \u003d 0. Мұның бәрі оңай. Соңында

11-мысал. Көлденең тегіс ұшақта демалу кезінде орналасқан жүкте (17-суретті қараңыз) қашықтықта а. Координаттардың басынан бастап, осьтің оң бағытында әрекет ете бастайды х. күш F \u003d k. 2 (П./г.)х., Қайда R -жүк салмағы. Трафик заңын табыңыз.

Шешім. Қарастырылған тауарлардың (материалдық нүкте) осіндегі проекциядағы жылжу теңдеуі сағ.

(1) теңдеудің бастапқы шарттары: х.(t \u003d.0) = а., V ( t \u003d.0) = 0.

(1) мерзімге қосалқы температураға қосылады, сондықтан жылдамдыққа ұсынылады

.

Бұл өрнекті (1) теңдеуіне ауыстыру және азайту ( П./г.), Біз алып жатырмыз

Айнымалыларды соңғы теңдеуде бөлу, оны табыңыз. Соңғысын біріктіру Бізде:. Бастапқы шарттарды қолдану , алу, және, сондықтан, демек,

, . (2)

Күштер Axis-тің оң бағыты бойынша жүкке әсер етеді сағ.Дәл сол бағытта ол керек және қозғалуы керек. Сондықтан, шешімде (2), қосу белгісін таңдаңыз. Екінші өрнектің орнын ауыстыру (2) ҚОСУЛЫ, біз жүктердің қозғалысы туралы заңнаманы анықтау үшін дифференциалдық теңдеу аламыз. Қайда, айнымалыларды бөліп, бізде бар

.

Соңғысын біріктіру, біз мыналарды табамыз: . Тұрақты тапқаннан кейін алыңыз

12-мысал. Доп М. масса м. (Cурет18) ауырлық күшіне енген алғашқы жылдамдықсыз түседі. Доп құлап болған кезде, қарсылық сезімі, қайда – тұрақты төзімділік коэффициенті. Доптың заңын табыңыз.

18-сурет.

Шешім. Біз координат жүйесін доптың орналасқан жері бойынша басталуымен таныстырамыз t \u003d.0, осьті жіберу в. тігінен төмен (Cурет 18). Біліктегі проекциядағы шардың дифференциалдық теңдеуі в. Содан кейін пайда болады

Доптың бастапқы шарттары келесідей жазылған: у.(t \u003d.0) \u003d 0, v ( t \u003d.0) = 0.

Айнымалыларды теңдеуде бөлу (1)

және интеграциялау, табу :, мұнда. Немесе тұрақты табылғаннан кейін

немесе. (2)

Бұл шектеу жылдамдығы, I.E. Жылдамдық тең.

Қозғалыс заңын табу үшін (2) v теңдеуінде ауыстырыңыз dy /дест.. Содан кейін алынған теңдеуді біріктіру, бастапқы жағдайды ескере отырып, біз ақыры табамыз

.

13-мысал.Сфералық пішінді және массаның сүңгуір қайықтары м. \u003d \u003d \u003d 1,5 × 10 5 кг Көлденең жылдамдығы бар, өшірулі қозғалтқыштармен сүңгуді бастайды Сағ. 0 = 30 хАНЫМ. және жағымсыз Патрондылық 1 = 0.01мг.қайда - Архимедан итермелі күштің векторлық қосындысы Q. Және ауырлық күші мг.қайықта жұмыс істеу (Cурет 20). Суға төзімділік күші , кг / с. Қайықтың қозғалыс теңдеулерін және оның траекториясын анықтаңыз.

Күш әсерінен материалдық нүктенің қозғалысының дифференциалдық теңдеуі F. Келесі векторлық формада ұсынылуы мүмкін:

Нүктенің массасы ретінде м. Тұрақты қабылданған, оны туындығының белгісімен жасауға болады. Содан кейін

Формула (1) теореманы дифференциалды формадағы нүкте қозғалысының санын өзгерту туралы білдіреді: нүктелік қозғалыс көлеміне бірінші рет туындысы ағымдағы күшке тең.

Координаталық осіндегі проекцияларда (1) ретінде көрсетілуі мүмкін

Егер екі бөлік (1) көбейсе дест., Мен дәл сол теореманың тағы бір түрін аламын - дифференциалды түрдегі импульстік теорема:

анау. нүктенің қозғалыс мөлшерінен дифференциал нүктеде әрекет ететін күштің қарапайым импульсіне тең.

Координаталық осьтерде екі бөлікті (2) жобалау біз аламыз

Нөлден t-ге дейінгі екі бөлікті (2) біріктіру (1-сурет), бізде бар

Қайда - қазіргі уақытта нүктенің жылдамдығы т. ; - жылдамдық т. = 0;

С. - уақыт ішінде күшке серпін беру т..

Пішіндегі (3) формадағы өрнек көбінесе соңғы (немесе интегралдық) формадағы импульстік теорема деп аталады: кез-келген уақыт аралығындағы қозғалыс санын өзгерту сол уақыт аралығында күш импульсіне тең.

Координаттар осіндегі проекцияларда бұл теореманы келесідей ұсынуға болады:

Кез келген нысандағы қозғалыс көлемінің өзгеруі туралы теореманың маңызды нүктесі үшін, айтарлықтай қозғалыс нүктесінің дифференциалдық теңдеулерінен ерекшеленбейді.

Жүйелік қозғалыс санының өзгеруі туралы теорема

Жүйелік қозғалыстың саны векторлық көлемді деп аталады Q.Жүйенің барлық нүктелер қозғалысының геометриялық мөлшеріне (негізгі векторына) тең.

Тұратын жүйені қарастырыңыз жоқ материалдық нүктелер. Біз бұл жүйеге дифференциалдық теңдеулер енгізіп, оларды осы уақытқа дейін жатырмыз. Содан кейін біз:

Ішкі күштердің мүліктерінің соңғы сомасы нөлге тең. Оның үстіне,

Соңында:

Теңдеу (4) теореманы дифференциалды түрдегі жүйелік қозғалыс санын өзгерту туралы айтады: Жүйе қозғалысының мөлшері бойынша туынды уақыт жүйеде әрекет ететін барлық сыртқы күштердің геометриялық қосындысына тең.

Теореманың тағы бір көрінісін табыңыз. Қазіргі уақытта рұқсат етіңіз т.= 0 Жүйе қозғалысының саны тең Q 0 , және уақытында t 1. Ол тең болады 1-сұрақ. Содан кейін теңдіктің екі бөлігін (4) көбейту дест. Және интеграциялау, біз:

Немесе, мұнда:

(S-импульстік күш)

оң жақта тұрған интегралдар сыртқы күштердің импульстарына,

теңдеу (5) теореманы интегралдық формадағы жүйелік қозғалыс санын өзгерту туралы айтады: белгілі бір уақыт аралығында жүйелік қозғалыс көлемінің өзгеруі сол уақыт аралығында сыртқы күш жүйесіндегі эмульстардың қосындысына тең.

Ось координаттарындағы болжамдарда бізде:

Қозғалыс санын сақтау заңы

Теоремадан жүйелік қозғалыстың санын өзгерту кезінде сіз келесі маңызды салдарларды ала аласыз:

1. Жүйеде әрекет ететін барлық сыртқы күштердің сомасы нөлге тең берсін:

Содан кейін (4) теңдеуінен (4) Q \u003d const.

Осылайша, егер жүйеде әрекет ететін барлық сыртқы күштердің қосындысы нөлге тең болса, онда жүйенің қозғалыс мөлшері 10MODE және бағыт бойынша тұрақты болады.

2. 01 Жүйеде әрекет ететін сыртқы күштер олардың кейбір осіндегі болжамдарының қосындысы (мысалы, OH) нөлге тең болуы мүмкін:

Содан кейін теңдеулерден (4`) -ден (4`) Q \u003d const.

Осылайша, егер кейбір осьтегі барлық ағымдағы сыртқы күштердің болжамдары нөлге тең болса, онда осы осьте жүйелік қозғалыс санының проекциясы тұрақты болып табылады.

Бұл нәтижелер және экспресс жүйелік қозғалыстың санын сақтау заңы. Ішкі күштер жүйенің қозғалысының жалпы санын өзгерте алмайды.

Кейбір мысалдарды қарастырайық:

· Мен л және e o t t d a h және l және o t k a t a. Егер біз мылтық пен оқты бір жүйе ретінде қарастыратын болсақ, онда түсірілім кезінде ұнтақ газдардың қысымы ішкі қуат болады. Бұл күш жүйелік қозғалыстың жалпы санын өзгерте алмайды. Бірақ оқтап, оқтың әсерінен болатын ұнтақ газдары оған алдағы белгілі бір қозғалыс туралы айтады, олар бір мезгілде виктордың виклогын сол қозғалыс көлемін бір уақытта хабарлауы керек кері бағыт. Бұл мылтықтың қозғалысына себеп болады, Қайтып оралу. Ұқсас құбылыс мылтықтан түскен кезде алынады (Rollback).

· R a b o t a r e b n o g o g o v n t a (p r o p e l l l e r a). Бұрандалы бұранданы бұрандалы ауа (немесе су) қозғалысының массасы, бұрандалы ось бойымен, бұл массаны артқа бұраңыз. Егер тасталған масса мен ұшақтарды (немесе кемені) бір жүйе ретінде қарастыратын болсақ, онда бұранданың және ортаның ішкі жағы осы жүйенің қозғалысының жалпы мөлшерін өзгерте алмайды. Сондықтан, ауа массасын (су) артқа тастаған кезде, әуе кемесі (немесе кеме) алға жылжытылған кезде, қарастырылып отырған жүйенің қозғалысының жалпы саны нөлге тең болады, себебі ол нөлге тең болады қозғалыс басталуы.

Ұқсас әсерге көңілді немесе есу доңғалақтарының әрекеті арқылы қол жеткізіледі.

E d e-ге және e d және f және e. Реактивті снарядта (зымыран) газ тәрізді өнімдер Жанармайдың жоғары жылдамдықпен жануы зымыранның құбырының (реактивті қозғалтқыштың саптамасынан) тесіктен лақтырылады. Бір уақытта әрекет ететін қысым күштері ішкі және олар зымыран-ұнтақ газдарының қозғалысының жалпы санын өзгерте алмайды. Алынатын газдарда белгілі бір қозғалыс мөлшері бар, себебі розеткасы алға жылжу жылдамдығын алады.

Оське қатысты сәттер теоремасы.

Массаның материалдық нүктесін қарастырыңыз м.Қуаттың әсерінен көшу F.. Біз бұл үшін векторлар моменті арасындағы байланыс табамыз м.В. және F.кез келген бекітілген осьге қатысты.

m z (f) \u003d xf - uf (7)

Маңыздыға ұқсас m (MV)қайта орнатылса м. Артында кронштейн болады

м. z (MV) \u003d M (XV - ультра)(7`)

Уақытында уақыт өткен уақыттың осы теңдігінен екі бөліктен шығу, біз табамыз

Алынған өрнектің оң жағында бірінші кронштейн 0, содан бері dx / dt \u003d v және du / dt \u003d v , формула бойынша екінші жақшаға (7) сәйкес келеді

m z (f)Себебі спикерлердің негізгі заңына сәйкес:

Бізде бар (8)

Алынған теңдеу оське қатысты сәттердің теоремасын білдіреді: кез-келген оське қатысты нүктенің қозғалыс саны бір сәтке алынған уақыт сол оське қатысты ағымдағы күштің сәтіне тең. Ұқсас теорема кез-келген орталыққа қатысты сәттер үшін өтеді.

Векторлық мән ретінде жүйелік қозғалыстың саны формулалармен анықталады (4.12) және (4.13).

Теорема. Уақыт бойынша уақыт мөлшеріндегі туынды сомасы ол бойынша әрекет ететін барлық сыртқы күштердің геометриялық қосындысына тең.

Проекцияларда, картельдік осьтер біз скалярлық теңдеулерді аламыз.

Сіз вектор жаза аласыз

(4.28)

және скалярлық теңдеулер

Қай теореманы жүйелік қозғалыс санын өзгерткен теораны қандай-да бір экспрессивті түрде білдіреді: жүйелік қозғалыстың мөлшерін белгілі бір уақыт аралығында өзгерту сол кезеңдегі импульстің сомасына тең. Тапсырмаларды шешу кезінде теңдеулер (4.27) жиі қолданылады

Қозғалыс санын сақтау заңы

Теореманы өзгерту кинетикалық сәт

Орталықтан туысқан нүктелік қозғалыс санын өзгерту туралы теорема: Мерзімі: Тіркелген орталыққа қатысты нүктенің қозғалысы бір сәтінен алынған уақыт күшке қатысты күш-жігерге тең әрекет ететін векторлық моментке тең сол орталық.

Немесе (4.30)

Салыстыру (4.23) және (4.30) және (4.30), векторлардың сәттері векторлардың өздері қосылғанына бірдей тәуелділікпен байланысты екенін көреміз (Cурет 4.1). Егер біз осьте теңдікті дизайн жасасақ, онда біз осьт арқылы өтіп кетсек, онда біз аламыз

(4.31)

Бұл теңдік сәтсіздікке қатысты нүктенің осіне байланысты бір сәтке мән бермейді.

Інжір. 4.1.

Орталыққа қатысты қозғалыс санының негізгі сәтін немесе механикалық жүйенің кинетикалық моменттің өзгеруіне қатысты теорема: жүйенің кинетикалық моменттен туындайтын уақыт сәттердің қосындысына тең. сол орталықтағы барлық сыртқы күштердің.

(4.32)

Егер біз O осіндегі өрнекті (4.32) дизайнды (4.32) дизайнын жасасақ, мысалы, біз теореманы оське қатысты кинетикалық моменттің өзгеруі туралы сипаттайтын теңдікті аламыз.

(4.33)

Теңдікке (4.10) (4.10) теңдікке (4.33), айналмалы қатты (доңғалақтар, осьтер, біліктер, роторлар, роторлар, роторлар және т.б.) теңдікті жаза аласыз.

(4.34)

(4.35)

(4.36)

Осылайша, кинетикалық сәттің өзгеруіне қатысты теорема қатты дененің техникасында өте жиі кездесетін, оның стационарлық осіндегі айналуы үшін қолданған жөн.

Жүйенің кинетикалық моменті сақтау заңы

1. Өрнекте (4.32) болсын.

Содан кейін (4.32) теңдеуінен (4.32), И.Е. Егер барлық сәттердің қосындысы болса, жара күші жүйесіне қатысты осы орталықтың Бірдей нөлге тең, осы орталыққа қатысты жүйенің кинетикалық моменті сандық және бағытта тұрақты болады.

2. Егер, содан кейін. Осылайша, егер кейбір оське қатысты жүйеде әрекет ететін сыртқы күштердің моменттерінің қосындысы нөлге тең болса, онда осы оське қатысты жүйенің кинетикалық моменті тұрақты болады.

Бұл нәтижелер кинетикалық моментті сақтау заңымен көрсетілген.

Теңдіктен (4.34) айналмалы қатты болған жағдайда, егер ол болса, келесідей болады. Осы жерден біз келесі тұжырымдарға келеміз:

Егер жүйе өзгермейтін болса (өте қатты), сондықтан қатты бұрыштық осьтің айналасында тұрақты бұрыштық жылдамдықпен айналады.

Егер жүйе өзгеретін болса, онда. Көбейтумен (содан кейін жүйенің жеке элементтері айналу осінен алынады) Бұрыштық жылдамдық азаяды, өйткені , және төмендеген кезде ол көбейіп, ішкі күштердің көмегімен ауыспалы жүйе жағдайында бұрыштық жылдамдықты өзгертуге болады.

Екінші тапсырма D2. тест жұмысы Теореманы оське қатысты жүйенің кинетикалық моменттің өзгеруіне қатысты.

D2 тапсырысы.

Біртекті көлденең платформа (R немесе 2R, R және 2R, мұндағы R және 2R, мұндағы r \u003d 1,2M) тік осьтің айналасындағы бұрыштарымен бұрышты, масса центрінен бастап, платформаның ортасынан бөліп \u003d B (-сурет D2.0 - D2.9, кесте. D2); Барлық төртбұрышты платформалар үшін өлшемдер суретте көрсетілген. D2,0A (жоғарғы көрініс).

Саясат платформасында, D жүктері D басталады (отандық күштердің әсерінен), кг салмақ заңмен, мұнда s есептегіштермен, T - секундпен. Сонымен қатар, жұп күштер платформада M моментімен жұмыс істей бастайды (Ньютометрлерде); m-де< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).

Біліктің массасын елемеу, тәуелділік I.e. Бұрыштық жылдамдық платформа уақыт функциясы ретінде.

Барлық сызбаларда D жүктемесі D\u003e 0 (S) көрсетілетін позицияда көрсетілген< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.

Нұсқаулар.D2 міндеті - теореманы жүйенің кинетикалық моменттің өзгеруіне қолдану. Теореманы платформадан және жүктен тұратын жүйеге қолданған кезде, Z осіне қатысты жүйенің кинетикалық моменті платформаның және жүктің қосындысы ретінде анықталады. Айта кету керек, жүктің абсолютті жылдамдығы салыстырмалы және портативті жылдамдықтардан тұрды деп атап өткен жөн. . Сондықтан, осы жүктің қозғалысы . Содан кейін сіз Вариньон теоремасын (статикалық) қолдана аласыз, оған сәйкес; Бұл сәттер күштердің сәттерімен бірдей есептеледі. Толығырақ Шешім D2 мысалында анықталады.

Мәселені шешкен кезде, сурет салу бойынша сурет салуды суретте көрсетілгендей, платформаның көрінісі (Z соңынан) бейнелеу пайдалы. D2,0, A - D2.9, a.

CZ осіне, перпендикулярлы табаққа, перпендикулярлық табаққа және оның массасы орталығымен өтетін инерция плиталарының моменті: екі жағынан тікбұрышты табақ үшін және

;

Дөңгелек радиуар тақтасы үшін

Жағдай нөмірі	В.	S \u003d f (t)	М.
	R r / 2 r / 2 r / 2 r / 2 r / 2 r / 2	-0,4 0,6 0,80 Т 0.4 -0.5T -0,6T -0,6T -0,6T-0.4.4 0,4 \u200b\u200b0.5	4T -6 -8T -9T -9 6 -10 12

	Інжір. D2.0.		Інжір. D2.0A

	Інжір. D2.1.		Інжір. D2.1A.

	Інжір. D2.2.		Інжір. D2.2A.

	Інжір. D2.3.		Інжір. D2.3A.

	Інжір. D2.4.
		Інжір. D2.4A.

		Інжір. D2.5A.
	Інжір. D2.5.

	Інжір. D2.6.		Інжір. D2.6A.

	Інжір. D2.7		Інжір. D2.7A.

	Інжір. D2.8.		Інжір. D2.8A.

	Інжір. D2.9.		Інжір. D2.9A.

	Інжір. D 2

Мысал D2.. Біртекті көлденең платформа (2L және l жақтарымен тікбұрышты 2 және L), массасы бар тік білікпен тығыз байланыс орнатылып, осьтің айналасында бұрылады з.бұрыштық жылдамдықпен (D2A сурет) ). Уақыт өте келе, момент момент керісінше әрекет ете бастады ; сонымен бірге жүк D.Қоқыс жәшігінде табылған масса Унүктеде ,groove-да (ішкі күштердің әсерінен) өтуді бастайды (ішкі күштердің әрекеті), s \u003d cd \u003d F (t).

Danched: m 1 \u003d 16 кг, t 2.\u003d 10 кг, л.\u003d 0,5 м, \u003d 2, S \u003d 0.4T 2 (S - метрге, T - секунд ішінде), М.= кТҚайда к.\u003d 6 нм / с. Анықтаңыз: - өзгерту заңы бұрыштық жылдамдық Платформалар.

Шешім. Қарау механикалық жүйеплатформа мен жүктерден тұрады D.W анықтау үшін біз теореманы оське қатысты жүйенің кинетикалық моментті өзгерту туралы қолданамыз z:

(1)

Біз жүйеде әрекет ететін сыртқы күш, реакцияның ауырлығы және момент м., м. және момент, Z, және реакциялар және реакциялар және бұл осьтер кесілген, олардың Z осіне қатысты сәттері нөлге тең. Содан кейін, дәл қазір оң бағыт (мысалы, сағат тіліне қарсы), біз аламыз (1) теңдеу (1) осы түрді қабылдайды.

Теоремада талқыланатын жүйе ретінде кез-келген органнан тұратын кез-келген механикалық жүйе әрекет ете алады.

Теореманың сөзі

Механикалық жүйенің қозғалыс саны (импульсі) жүйедегі барлық органдардың қозғалыс мөлшеріне тең (импульстің) мөлшеріне тең құндылық деп аталады. Жүйе органында әрекет ететін сыртқы күштердің импульсі - бұл жүйенің органында әрекет ететін барлық сыртқы күштердің импульстарының сомасы.

( кг / с)

Жүйе санының өзгеруі туралы теорема бекітілді

Белгілі бір уақыт аралығында жүйелік қозғалыс көлемінің өзгеруі осы уақыт аралығында жүйеде әрекет ететін сыртқы күштердің импульсіне тең.

Жүйелік қозғалыстың санын сақтау заңы

Егер жүйеде жұмыс істейтін барлық сыртқы күштердің қосындысы нөлге тең болса, онда жүйенің қозғалыс саны (импульсі) мәні тұрақты болып табылады.

, біз дифференциалды түрдегі жүйелік қозғалыс санын өзгерту туралы теореманың өрнегін аламыз:

Алынған теңдіктің екі бөлігін екіге де біршама уақыт аралығында біріктіру және, біз теореманың түрін біріктірілген формадағы жүйелік қозғалыс санын өзгерту туралы айтамыз:

Импульстің сақталу заңы (Қозғалыс санын сақтау заңыОл жүйенің барлық органдарының импульстарының векторлық стелласы, егер жүйеде әрекет ететін сыртқы күштердің векторлық қосындысы нөлге тең болса, онда барлық жүйенің векторлық қосындысы тұрақты болып табылады.

(Қозғалыс санының сәті М 2 · kg k · s -1)

Орталыққа қатысты қозғалыс санын өзгерту туралы теорема

тіркелген орталыққа қатысты Материалдық нүктенің қозғалысы сомасынан (кинетикалық момент) сәттен бастап мерзімі сол орталықтағы қазіргі күштің сәтіне тең.

dK. 0 /dT \u003d M. 0 (F. ) .

Білікке қатысты қозғалыс сомасын өзгерту туралы теорема

кез келген тұрақты оське қатысты қозғалыс сомасынан алынған уақыт (кинетикалық момент) осы нүктеде бірдей оське қатысты әрекет ету сәтіне тең.

dK. х. /dT \u003d M. х. (F. ); dK. у. /dT \u003d M. у. (F. ); dK. з. /dT \u003d M. з. (F. ) .

Материалдық нүктені қарастырыңыз М. Ғибадат м. Қуаттың әсерінен көшу F. (3.1-сурет). Біз қозғалыс сәтін жазып, құрамыз (кинетикалық момент) М. 0 Орталыққа қатысты материалдық нүкте О. :

Қозғалыс сомасының өрнегін ажырату (кинетикалық сәт) к. 0) уақыт бойынша:

Қалай доктор /дест. = В. , содан кейін векторлық жұмыс В. ⊗ м. ⋅ В. (Коллинарлы векторлар) В. және м. ⋅ В. ) Бірдей нөлге тең. Сол уақытта d (М. ⋅ V) /dt \u003d f. Материалдық нүктенің қозғалыс саны туралы теорема бойынша. Сондықтан біз бұны аламыз

dK. 0 /дест. = р. ⊗F. , (3.3)

Қайда р. ⊗F. = М. 0 (F. ) - қуаттың векторлық сәті F. Бекітілген орталыққа қатысты О. . Вектор к. 0 ⊥ ұшақтар ( р. , м. ⊗В. ) және вектор М. 0 (F. ) ⊥ ұшақтар ( р. ,F. ), соңында бізде бар

dK. 0 /dT \u003d M. 0 (F. ) . (3.4)

Теңдеу (3.4) теореманы орталыққа қатысты материалдық нүктенің қозғалыс мөлшері (кинетикалық момент) өзгергені туралы теореманы білдіреді: тіркелген орталыққа қатысты Материалдық нүктенің қозғалысы сомасынан (кинетикалық момент) сәттен бастап мерзімі сол орталықтағы қазіргі күштің сәтіне тең.

Бағалау теңдігі (3.4) Картрицалық координаттар осінде біз аламыз

dK. х. /dT \u003d M. х. (F. ); dK. у. /dT \u003d M. у. (F. ); dK. з. /dT \u003d M. з. (F. ) . (3.5)

Теңдік (3.5) оське қатысты материалдық нүктенің қозғалыс мөлшері (кинетикалық момень) өзгеруі туралы теораны білдіреді: кез келген тұрақты оське қатысты қозғалыс сомасынан алынған уақыт (кинетикалық момент) осы нүктеде бірдей оське қатысты әрекет ету сәтіне тең.

Теоремалардан (3.4) және (3.5) туындаған салдарларды қарастырыңыз.

Corlolary 1. Қуат болған кезде істі қарастырыңыз F. Әрдайым қозғалыс нүктесі бекітілген орталықтан өтеді О. (Орталық күш жағдайы), I.E. қашан М. 0 (F. ) \u003d 0. Содан кейін, теоремадан (3.4) одан кейін к. 0 = const. ,

анау. Орталық күш жағдайында осы күштің ортасына қатысты материалдық нүктенің қозғалыс мөлшері (кинетикалық моменті) модуль және бағыт бойынша тұрақты болып қалады (3.2-сурет).

Сурет 3.2

Жағдайынан к. 0 = const. Бұл қозғалатын нүктенің траекториясы - бұл жалпақ қисық, оның ұшағы осы күштің ортасынан өтеді.

Королари 2. Болсын М. з. (F. ) \u003d 0, i.e. Қуат осьті кесіп өтеді з. немесе оның параллель. Бұл жағдайда (3.5) теңдеулерінің үштен бірінен бастап, к. з. = const. ,

анау. Егер ағымдағы күштің сәті әрқашан күш тұрғысынан тең болса, онда осы оське қатысты қозғалыс сомасы (кинетикалық момень) тұрақты болып қалады.

Қозғалыс мөлшері бар OB I теоремасының дәлелі

Жүйе массалар мен үдеткіштермен материалдық нүктелерден тұрады. Жүйе органында әрекет ететін барлық күштер екі түрге бөліңіз:

Сыртқы күштер - қаралып отырған жүйеге кірмейтін органдар тарапынан әрекет ететін күштер. Материалдық нүктеде әрекет ететін сыртқы күштердің теңдігі санмен мен Белгілеңіз.

Ішкі күштер - олар дененің бір-бірімен өзара әрекеттесетін күштер. Санмен нүктеге дейін күш мен Сандармен әрекет етеді к., біз анықтаймыз және әсер ету күші менНүкте к.- нүкте -. Әлбетте, қашан, содан кейін

Енгізілген белгіні қолдану арқылы Ньютонның екінші заңын осы материалдық ұпайлар үшін жазыңыз

Мұны ескере отырып Ньютонның екінші заңының барлық теңдеулерін қорытындылай келе, аламыз:

Өрнек - бұл жүйеде жұмыс істейтін барлық ішкі күштердің қосындысы. Ньютонның үшінші заңына сәйкес, бұл мөлшерде әрбір күш, мысалы, бұл күшке сәйкес келеді Барлық сома осындай жұптан тұрады, оның мөлшері нөлге тең. Сондықтан сіз жаза аласыз

Жүйенің тағайындалуын пайдалану Жүйені жылжыту үшін біз аламыз

Сыртқы күштердің импульсінің өзгеруін ескеру , Біз дифференциалды түрдегі жүйелік қозғалыстың санын өзгерту туралы теореманың көрінісін аламыз:

Осылайша, алынған соңғы теңдеулердің әрқайсысы сендіре алады: жүйелік қозғалыс көлемінің өзгеруі сыртқы күштердің әсерінен пайда болады, ал ішкі күштер бұл шамаға әсер ете алмайды.

Алынған теңдіктің екі бөлігін екіге қарай біріктіру, кейбіреулер арасындағы еркін уақыт аралығында біріктіру және біз интегралдық формадағы жүйелік қозғалыстың санын өзгерту туралы теореманың көрінісін аламыз:

уақыт сәттеріндегі жүйелік қозғалыс көлемінің мәні және, сәйкесінше, уақыт аралығында сыртқы күштердің импульсі қайда. Жоғарыда айтылғандарға және белгілеушілерге сәйкес.

Материалдық нүкте күшімен қозғалсын F.. Бұл нүктенің жылжымалы жүйеге қатысты қозғалысын анықтау қажет. Оксик. (Материалдың кешенді қозғалысын қараңыз), ол белгілі бір тәсілмен белгіленген жүйеге қатысты. О. 1 х. 1 у. 1 з. 1 .

Тұрақты жүйедегі спикерлердің негізгі теңдеуі

Біз кориолис теоремасының абсолютті үдеуін жазамыз

Қайда а. абәрбу - абсолютті үдеу;

а. туыс - салыстырмалы үдеу;

а. әрқайсысына - портативті үдеу;

а. бұрыш - Кориолис жеделдету.

Есте сақтаңыз (25), (26)

Біз жазбаны ұсынамыз
- портативті инерма күші,
- Кориолис - инерцияның күші. Содан кейін (27) теңдеу көріністі алады

Салыстырмалы қозғалысты (28) зерттеу динамикасының негізгі теңдеуі абсолютті қозғалыс үшін жазылады, тек инерция қуатына арналған портативті және кориолис күштерге қосылуы керек.

Жалпы материал динамикалық теоремалар

Көптеген тапсырмаларды шешкен кезде сіз Ньютонның екінші заңы негізінде жасалған алдын-ала дайындықты қолдана аласыз. Мәселелерді шешудің осындай әдістері осы бөлімде біріктірілген.

Материалдық нүктенің мөлшерін өзгерту туралы теорема

Біз келесі динамикалық сипаттамаларды енгіземіз:

1. Материалдық нүктенің қозғалыс саны - векторлық магнитудасы оның жылдамдығы бойынша нүктенің өніміне тең

. (29)

2. Қуат импульсі

Элементтік қуат импульсі - векторлық көлемді бастауыш уақыт кезеңіндегі беріктік векторының жұмысына тең

(30).

Содан кейін толық импульс

. (31)

Үшін F.\u003d cont С.=Фут..

Ақырғы импульстің толық импульстеуі тек екі жағдайда ғана, қуат тұрақты немесе оған тәуелді болған кезде ғана есептеледі. Басқа жағдайларда, уақыт функциясы ретінде күш білдіру қажет.

Импульстің өлшемдерінің теңдігі (29) және қозғалыс сомасы (30) олардың арасында сандық байланыс орнатуға мүмкіндік береді.

Материалдық нүктедің қозғалысын еркін беріктің әсерінен қарастыру F. Еркін траектория бойынша.

Жөнінде UD:
. (32)

Біз (32) айнымалыларды бөліп, біріктіреміз

. (33)

Нәтижесінде, (31) ескере отырып, біз аламыз

. (34)

(34) теңдеу келесі теореманы білдіреді.

Теорема: Белгілі бір уақыт аралығында материалдық қозғалыстың мөлшерін өзгерту бір уақытта, сол уақыт аралығында әрекет ететін күштердің импульсіне тең.

Мәселелерді шешу кезінде (34) теңдеуі координаттар осіне арналған

Осы теореманы белгіленген және белгісіз құндылықтардың арасынан пайдалану ыңғайлы, ол көп нүкте, оның алғашқы және соңғы жылдамдығы, күші және қозғалыс уақыты бар.

Материалдық қозғалыс сәтінің өзгеруі туралы теорема

М.
материалдық нүктенің қозғалысы мөлшерінің миямасы Орталыққа қатысты иыққа бағыттың қозғалысы модулінің өніміне тең, яғни. Жылдамдық вектормен сәйкес келетін сызыққа дейінгі ең қысқа қашықтық (перпендикуляр)

, (36)

. (37)

Күш (себеп) және қозғалыс сомасының (салдары) арасындағы байланыс келесі теореманы белгілейді.

Берілген масса м нүктесі м. Қуаттың әсерінен көшу F..

,
,

, (38)

. (39)

Туынды есептеңіз (39)

. (40)

(40) және (38), ақыры алыңыз

. (41)

(41) теңдеу келесі теореманы білдіреді.

Теорема: Материалдық нүктенің материалдан жасалған сәттен бастап туындысы бір орталықтың бір сәтінен бастап сол орталықтағы күш нүктесіне тең.

Мәселелерді шешу кезінде (41) теңдеуі координаталық осьтерде жобалануы керек

Теңдеулерде (42), қозғалыс пен күш мөлшерінің сәттері координаталық осьтерге қатысты есептеледі.

Бастап (41) келесі Қозғалыс саны туралы моментті сақтау заңы (Кеплер заңы).

Егер кез-келген орталыққа қатысты материалдық нүктеде әрекет ететін күш бір сәт нөлге тең болса, онда осы орталыққа қатысты нүктенің қозғалыс саны оның көлемі мен бағытын сақтайды.

Егер а
Т.
.

Консервацияның теоремасы мен заңы, әсіресе орталық күштердің әрекеті аясында қисық сызықты қозғалыс проблемаларында қолданылады.