IV. Архимедово свойство ("cÎR)($nÎN) : (n>c).

Каково бы ни было число сÎR, существует nÎN, что n>c.

V. Свойство непрерывности действительных чисел. Пусть два непустых множества АÌR и BÌR таковы, что любой элемент а ÎА будет не больше (a £b ) любого элемента bÎB. Тогда принцип непрерывности по Дедекинду утверждаетсуществование такого числа с, что для всех а ÎА и bÎB имеет место условие a £c£b :

(" AÌR, BÌR):("a ÎA, bÎB ® a £b)($cÎR): ("a ÎA, bÎB®a £c£b).

Будем отождествлять множество R с множеством точек числовой прямой, а вещественные числа называть точками.

Комплексные числа

Основные понятия

Первоначальные данные о числе относятся к эпохе каменного века – палеомелита. Это «один», «мало» и «много». Записывались они в виде зарубок, узелков и т.д. Развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия. Первыми появились натуральные числа N , получаемые при счете предметов. Затем, наряду с необходимостью счета, у людей появилась потребность измерять длины, площади, объемы, время и другие величины, где приходилось учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 веке. Множество целых чисел Z – это натуральные числа, натуральные со знаком минус и нуль. Целые и дробные числа образовали совокупность рациональных чисел Q, но и она оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Бытие снова показало несовершенство математики: невозможность решить уравнение вида х 2 = 3, в связи с чем появились иррациональные числа I. Объединение множества рациональных чисел Q и иррациональных чисел I – множество действительных (или вещественных) чисел R . В итоге числовая прямая заполнилась: каждому действительному числу соответствовала на ней точка. Но на множестве R нет возможности решить уравнение вида х 2 = – а 2 . Следовательно, снова возникла необходимость расширения понятия числа. Так в 1545 году появились комплексные числа. Их создатель Дж. Кардано называл их «чисто отрицательными». Название «мнимые» ввел в 1637 году француз Р. Декарт, в 1777 году Эйлер предложил использовать первую букву французского числа i для обозначения мнимой единицы. Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу.

В течение 17 – 18 веков продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, их геометрического истолкования. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой, а вектором, идущим в эту точку из начала координат.

Лишь к концу 18 – началу 19 века комплексные числа заняли достойное место в математическом анализе. Первое их использование – в теории дифференциальных уравнений и в теории гидродинамики.

Определение 1. Комплексным числом называется выражение вида , где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица, .

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда , .

Если , то число называют чисто мнимым ; если , то число является действительным числом, это означает, что множество R С , где С – множество комплексных чисел.

Сопряженным к комплексному числу называется комплексное число .

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Любое комплексное число можно изобразить точкой М (x , y ) плоскости Oxy. Парой действительных чисел обозначаются и координаты радиус-вектора , т.е. между множеством векторов на плоскости и множеством комплексных чисел можно установить взаимно-однозначное соответствие: .

Определение 2. Действительной частью х .

Обозначение:x = Rez (от латинского Realis).

Определение 3. Мнимой частью комплексного числа называется действительное число y .

Обозначение: y = Imz (от латинского Imaginarius).

Rez откладывается на оси (Ох) , Imz откладывается на оси (Оy ), тогда вектор , соответствующий комплексному числу – это радиус-вектор точки М (x , y ), (или М (Rez , Imz )) (рис. 1).

Определение 4. Плоскость, точкам которой поставлено в соответствие множество комплексных чисел, называется комплексной плоскостью . Ось абсцисс называется действительной осью , так как на ней лежат действительные числа . Ось ординат называется мнимой осью , на ней лежат чисто мнимые комплексные числа . Множество комплексных чисел обозначается С .

Определение 5. Модулем комплексного числа z = (x , y ) называется длина вектора : , т.е. .

Определение 6. Аргументом комплексного числа называется угол между положительным направлением оси (Ох ) и вектором : .

§1.1. Действительные числа
Первое знакомство с действительными числами происходит в школьном курсе математики. Всякое действительное число представляется конечной или бесконечной десятичной дробью.

Действительные (вещественные) числа делятся на два класса: класс рациональных и класс иррациональных чисел. Рациональными называются числа, которые имеют вид , где m и n – целые взаимно простые числа, но
. (Множество рациональных чисел обознается буквой Q ). Остальные действительные числа называются иррациональными . Рациональные числа представляются конечной или бесконечной периодической дробью (то же, что обыкновенные дроби), тогда иррациональными будут те и только те действительные числа, которые можно представить бесконечными непериодическими дробями.

Например, число
– рациональное, а
,
,
и т.п. – иррациональные числа.

Действительные числа можно также разделить на алгебраические - корни многочлена с рациональными коэффициентами (к ним относятся, в частности, все рациональные числа – корни уравнения
) – и на трансцендентные – все остальные (например, числа
и другие).

Множества всех натуральных, целых, действительных чисел обозначаются соответственно так: N Z , R
(начальные буквы слов Naturel, Zahl, Reel).

§1.2. Изображение действительных чисел на числовой оси. Интервалы

Геометрически (для наглядности) действительные числа изображают точками на бесконечной (в обе стороны) прямой линии, именуемой числовой осью . С этой целью на рассматриваемой прямой берётся точка (начало отсчёта – точка 0), указывается положительное направление, изображаемое стрелкой (обычно направо) и избирается единица масштаба, которую откладывают неограниченно в обе стороны от точки 0. Так изображаются целые числа. Чтобы изобразить число с одним десятичным знаком, надо каждый отрезок разделить на десять частей и т.д. Таким образом, каждое действительное число изобразится точкой на числовой оси. Обратно, каждой точке
соответствует действительное число, равное длине отрезка
и взятое со знаком «+» или «–», в зависимости от того, лежит ли точка правее или левее от начала отсчёта. Таким образом устанавливается взаимнооднозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек числовой оси. Термины «действительное число» и «точка числовой оси» употребляются как синонимы.

Символом будем обозначать и действительное число, и точку, ему соответствующую. Положительные числа располагаются правее точки 0, отрицательные – левее. Если
, то на числовой оси точка лежит левее точки . Пусть точке
соответствует число , тогда число называется координатой точки , пишут
; чаще саму точку обозначают той же буквой , что и число. Точка 0 – начало координат. Ось обозначают тоже буквой (рис.1.1).

Рис. 1.1. Числовая ось.
Совокупность всех чисел, лежащих между данными числами и называется интервалом или промежутком; концы и ему могут принадлежать, а могут и не принадлежать. Уточним это. Пусть
. Совокупность чисел , удовлетворяющих условию
, называется интервалом (в узком смысле) или открытым интервалом, обозначается символом
(рис.1.2).

Рис. 1.2. Интервал
Совокупность чисел таких, что
называется замкнутым интервалом (отрезок, сегмент) и обозначается через
; на числовой оси отмечается так:

Рис. 1.3. Замкнутый интервал
От открытого промежутка он отличается лишь двумя точками (концами) и . Но это отличие принципиальное, существенное, как увидим в дальнейшем, например, при изучении свойств функций.

Опуская слова «множество всех чисел (точек) x таких, что» и т. п., отметим далее:

и
, обозначается
и
полуоткрытые, или полузамкнутые, интервалы (иногда: полуинтервалы);

или
означает:
или
и обозначается
или
;

или
означает
или
и обозначается
или
;

, обозначается
множество всех действительных чисел. Значки
символы «бесконечности»; их называют несобственными или идеальными числами.

§1.3. Абсолютная величина (или модуль) действительного числа
Определение. Абсолютной величиной (или модулем) числа называется само это число, если
или
если
. Обозначается абсолютная величина символом . Итак,

Например,
,
,
.

Геометрически означает расстояние точки a до начала координат. Если имеем две точки и , то расстояние между ними можно представить как
(или
). Например,
то расстояние
.

Свойства абсолютных величин.

1. Из определения следует, что

,
, то есть
.

2. Абсолютная величина суммы и разности не превосходит суммы абсолютных величин:
.

1) Если
, то
. 2) Если
, то . ▲

3.
.

, тогда по свойству 2:
, т.е.
. Аналогично, если представить
,то придём к неравенству
▲

4.
– следует из определения: рассмотреть случаи
и
.

5.
, при условии, что
Так же следует из определения.

6. Неравенство
,
, означает
. Этому неравенству удовлетворяют точки, которые лежат между
и
.

7. Неравенство
равносильно неравенству
, т.е. . Это есть интервал с центром в точке длины
. Он называется
окрестностью точки (числа) . Если
, то окрестность называется проколотой: это или
. (Рис.1.4).

8.
откуда следует, что неравенство
(
) равносильно неравенству
или
; а неравенство
определяет множество точек, для которых
, т.е. это точки, лежащие вне отрезка
, именно:
и
.

§1.4. Некоторые понятия, обозначения
Приведём некоторые широко применяемые понятия, обозначения из теории множеств, математической логики и других разделов современной математики.

1 . Понятие множества является одним из основных в математике, исходным, всеобщим – а потому не поддаётся определению. Его можно лишь описать (заменить синонимами): это есть собрание, совокупность каких-то объектов, вещей, объединённых какими-либо признаками. Объекты эти называются элементами множества. Примеры: множество песчинок на берегу, звёзд во Вселенной, студентов в аудитории, корней уравнения, точек отрезка. Множества, элементы которых суть числа, называются числовыми множествами . Для некоторых стандартных множеств вводятся специальные обозначения, например, N , Z , R - см. § 1.1.

Пусть A – множество и x является его элементом, тогда пишут:
; читается «x принадлежит A » (
знак включения для элементов). Если же объект x не входит в A , то пишут
; читается: «x не принадлежит A ». Например,
N ; 8,51N ; но 8,51R .

Если x является общим обозначением элементов множества A , то пишут
. Если возможно выписать обозначение всех элементов, то пишут
,
и т. п. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом ; например, множество корней (действительных) уравнения
есть пустое.

Множество называется конечным , если оно состоит из конечного числа элементов. Если же какое бы натуральное число N ни взяли, во множестве A найдётся элементов больше, чем N, то A называется бесконечным множеством: в нём элементов бесконечно много.

Если всякий элемент множества ^ A принадлежит и множеству B , то называется частью или подмножеством множества B и пишут
; читается «A содержится в B » (
есть знак включения для множеств). Например, N Z R. Если и
, то говорят, что множества A и B равны и пишут
. В противном случае пишут
. Например, если
, а
множество корней уравнения
, то .

Совокупность элементов обоих множеств A и B называется объединением множеств и обозначается
(иногда
). Совокупность элементов, принадлежащих и A и B , называется пересечением множеств и обозначается
. Совокупность всех элементов множества ^ A , которые не содержатся в B , называется разностью множеств и обозначается
. Схематично эти операции можно изобразить так:

Если между элементами множеств можно установить взаимно-однозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны и пишут
. Всякое множество A , эквивалентное множеству натуральных чисел N = называется счётным или исчислимым. Иначе говоря, множество называется счётным, если его элементы можно пронумеровать, расположить в бесконечную последовательность
, все члены которой различны:
при
, и его можно записать в виде . Прочие бесконечные множества называются несчётными . Счётными, кроме самого множества N, будут, например, множества
, Z. Оказывается, что множества всех рациональных и алгебраических чисел – счётные, а эквивалентные между собой множества всех иррациональных, трансцендентных, действительных чисел и точек любого интервала – несчётные. Говорят, что последние имеют мощность континуума (мощность – обобщение понятия количества (числа) элементов для бесконечного множества).

2 . Пусть есть два утверждения, два факта: и
. Символ
означает: «если верно , то верно и » или «из следует », « имплицирует есть корень уравнения обладает свойством от английского Exist – существовать.

Запись:

, или
, означает: существует (по крайней мере один) предмет , обладающий свойством . А запись
, или
, означает: все обладают свойством . В частности, можем записать:
и .

Из огромного многообразия всевозможных множеств особый интерес представляют так называемые числовые множества , то есть, множества, элементами которых являются числа. Понятно, что для комфортной работы с ними нужно уметь их записывать. С обозначений и принципов записи числовых множеств мы и начнем эту статью. А дальше рассмотрим, как числовые множества изображаются на координатной прямой.

Навигация по странице.

Запись числовых множеств

Начнем с принятых обозначений. Как известно, для обозначения множеств используются заглавные буквы латинского алфавита. Числовые множества, как частный случай множеств, обозначаются также. Например, можно говорить о числовых множествах A , H , W и т.п. Особую важность имеют множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и т.п., для них были приняты свои обозначения:

• N – множество всех натуральных чисел;
• Z – множество целых чисел;
• Q – множество рациональных чисел;
• J – множество иррациональных чисел;
• R – множество действительных чисел;
• C – множество комплексных чисел.

Отсюда понятно, что не стоит обозначать множество, состоящее, к примеру, из двух чисел 5 и −7 как Q , это обозначение будет вводить в заблуждение, так как буквой Q обычно обозначают множество всех рациональных чисел. Для обозначения указанного числового множества лучше использовать какую-нибудь другую «нейтральную» букву, например, A .

Раз уж мы заговорили про обозначения, то здесь напомним и про обозначение пустого множества, то есть множества, не содержащего элементов. Его обозначают знаком ∅.

Также напомним про обозначение принадлежности и непринадлежности элемента множеству. Для этого используют знаки ∈ - принадлежит и ∉ - не принадлежит. Например, запись 5∈N означает, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а 5,7∉Z – десятичная дробь 5,7 не принадлежит множеству целых чисел.

И еще напомним про обозначения, принятые для включения одного множества в другое. Понятно, что все элементы множества N входят в множество Z , таким образом, числовое множество N включено в Z , это обозначается как N⊂Z . Также можно использовать запись Z⊃N , которая означает, что множество всех целых чисел Z включает множество N . Отношения не включено и не включает обозначаются соответственно знаками ⊄ и ⊅. Также используются знаки нестрогого включения вида ⊆ и ⊇, означающие соответственно включено или совпадает и включает или совпадает.

Про обозначения поговорили, переходим к описанию числовых множеств. При этом затронем лишь основные случаи, которые наиболее часто используются на практике.

Начнем с числовых множеств, содержащих конечное и небольшое количество элементов. Числовые множества, состоящие из конечного числа элементов, удобно описывать, перечисляя все их элементы. Все элементы-числа записываются через запятую и заключаются в , что согласуется с общими правилами описания множеств . Например, множество, состоящее из трех чисел 0 , −0,25 и 4/7 можно описать как {0, −0,25, 4/7} .

Иногда, когда число элементов числового множества достаточно велико, но элементы подчиняются некоторой закономерности, для описания используют многоточие. Например, множество всех нечетных чисел от 3 до 99 включительно можно записать как {3, 5, 7, …, 99} .

Так мы плавно подошли к описанию числовых множеств, число элементов которых бесконечно. Иногда их можно описать, используя все тоже многоточие. Для примера опишем множество всех натуральных чисел: N={1, 2. 3, …} .

Также пользуются описанием числовых множеств посредством указания свойств его элементов. При этом применяют обозначение {x| свойства} . Например, запись {n| 8·n+3, n∈N} задает множество таких натуральных чисел, которые при делении на 8 дают остаток 3 . Это же множество можно описать как {11,19, 27, …} .

В частных случаях числовые множества с бесконечным числом элементов представляют собой известные множества N , Z , R , и т.п. или числовые промежутки. А в основном числовые множества представляются как объединение составляющих их отдельных числовых промежутков и числовых множеств с конечным числом элементов (о которых мы говорили чуть выше).

Покажем пример. Пусть числовое множество составляют числа −10 , −9 , −8,56 , 0 , все числа отрезка [−5, −1,3] и числа открытого числового луча (7, +∞) . В силу определения объединения множеств указанное числовое множество можно записать как {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такая запись фактически означает множество, содержащее в себе все элементы множеств {−10, −9, −8,56, 0} , [−5, −1,3] и (7, +∞) .

Аналогично, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, можно описать любое числовое множество (состоящее из действительных чисел). Здесь становится понятно, почему были введены такие виды числовых промежутков как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч: все они в купе с обозначениями множеств отдельных чисел позволяют описывать любые числовых множества через их объединение.

Обратите внимание, что при записи числового множества составляющие его числа и числовые промежутки упорядочиваются по возрастанию. Это не обязательное, но желательное условие, так как упорядоченное числовое множество проще представить и изобразить на координатной прямой. Также отметим, что в подобных записях не используются числовые промежутки с общими элементами, так как такие записи можно заменить объединением числовых промежутков без общих элементов. Например, объединение числовых множеств с общими элементами [−10, 0] и (−5, 3) есть полуинтервал [−10, 3) . Это же относится и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами, например, объединение (3, 5]∪(5, 7] представляет собой множество (3, 7] , на этом мы отдельно остановимся, когда будем учиться находить пересечение и объединение числовых множеств .

Изображение числовых множеств на координатной прямой

На практике удобно пользоваться геометрическими образами числовых множеств – их изображениями на . Например, при решении неравенств , в которых необходимо учитывать ОДЗ, приходится изображать числовые множества, чтобы найти их пересечение и/или объединение. Так что полезно будет хорошо разобраться со всеми нюансами изображения числовых множеств на координатной прямой.

Известно, что между точками координатной прямой и действительными числами существует взаимно однозначное соответствие, что означает, что сама координатная прямая представляет собой геометрическую модель множества всех действительных чисел R . Таким образом, чтобы изобразить множество всех действительных чисел, надо начертить координатную прямую со штриховкой на всем ее протяжении:

А часто даже не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

Теперь поговорим про изображение числовых множеств, представляющих собой некоторое конечное число отдельных чисел. Для примера, изобразим числовое множество {−2, −0,5, 1,2} . Геометрическим образом данного множества, состоящего из трех чисел −2 , −0,5 и 1,2 будут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:

Отметим, что обычно для нужд практики нет необходимости выполнять чертеж точно. Часто достаточно схематического чертежа, что подразумевает необязательное выдерживание масштаба, при этом важно лишь сохранять взаимное расположение точек относительно друг друга: любая точка с меньшей координатой должна быть левее точки с большей координатой. Предыдущий чертеж схематически будет выглядеть так:

Отдельно из всевозможных числовых множеств выделяют числовые промежутки (интервалы, полуинтервалы, лучи и т.д.), что представляют их геометрические образы, мы подробно разобрались в разделе . Здесь не будем повторяться.

И остается остановиться лишь на изображении числовых множеств, представляющих собой объединение нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел. Здесь нет ничего хитрого: по смыслу объединения в этих случаях на координатной прямой нужно изобразить все составляющие множества данного числового множества. В качестве примера покажем изображение числового множества (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ {log 2 5, 5}∪(17, +∞) :

И остановимся еще на достаточно распространенных случаях, когда изображаемое числовое множество представляет собой все множество действительных чисел, за исключением одной или нескольких точек. Такие множества частенько задаются условиями типа x≠5 или x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 и т.п. В этих случаях геометрически они представляют собой всю координатную прямую, за исключением соответствующих точек. Иными словами, из координатной прямой нужно «выколоть» эти точки. Их изображают кружочками с пустым центром. Для наглядности изобразим числовое множество, соответствующее условиям (это множество по сути есть ):

Подведем итог. В идеале информация предыдущих пунктов должна сформировать такой же взгляд на запись и изображение числовых множеств, как и взгляд на отдельные числовые промежутки: запись числового множества сразу должна давать его образ на координатной прямой, а по изображению на координатной прямой мы должны быть готовы с легкостью описать соответствующее числовое множество через объединение отдельных промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел.

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.