Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C

A B C

точка 1, точка 2, точка 3

1 2 3

Можно нарисовать на листке бумаги три точки "А" и предложить ребёнку провести линию через две точки "А". Но как понять через какие? A A A

Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c

a b c

Линия может быть

1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены

замкнутые линии

разомкнутые линии

Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру. Какая линия получилась? Правильно, замкнутая. Ты вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.

1. самопересекающейся
2. без самопересечений

самопересекающиеся линии

линии без самопересечений

1. прямой
2. ломанной
3. кривой

прямые линии

ломанные линии

кривые линии

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a

a

прямая линия AB

B A

Прямые могут быть

1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
   • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.

параллельные линии

пересекающиеся линии

перпендикулярные линии

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a

a

луч AB

B A

Лучи совпадают, если

1. расположены на одной и той же прямой,
2. начинаются в одной точке,
3. направлены в одну сторону

лучи AB и AC совпадают

лучи CB и CA совпадают

C B A

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину. Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки

B A

прямая линия AB

B A

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками. ✂ B A ✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB

B A

Задача: где прямая , луч , отрезок , кривая ?

Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE

вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E

звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE

звено AB и звено BC являются смежными

звено BC и звено CD являются смежными

звено CD и звено DE являются смежными

A B C D E 64 62 127 52

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее , а у какой больше вершин ? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Многоугольник — это замкнутая ломанная линия

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: "пойти на все четыре стороны", "бежать в сторону дома", "с какой стороны стола сядешь?") — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF

многоугольник ABCDEF

вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F

вершина A и вершина B являются соседними

вершина B и вершина C являются соседними

вершина C и вершина D являются соседними

вершина D и вершина E являются соседними

вершина E и вершина F являются соседними

вершина F и вершина A являются соседними

сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF

сторона AB и сторона BC являются смежными

сторона BC и сторона CD являются смежными

сторона CD и сторона DE являются смежными

сторона DE и сторона EF являются смежными

сторона EF и сторона FA являются смежными

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т.д.

Здравствуйте, уважаемые читатели блога сайт. Одним из понятий геометрии, с которым знакомятся еще в начальной школе, является отрезок. Уйма задач по математике и геометрии строится на понятиях отрезка и прямой.

Понимание, что такое отрезок, поможет решать всевозможные задачи и примеры на уроках математики как в школе, так и в высших учебных заведениях.

Отрезок - это геометрическая фигура

Согласно определению в словаре, отрезком называют часть прямой , ограниченную двумя точками, находящимися на ней. Именно по обозначениям этих точек и дается название отрезка.

На рисунке, изображенном ниже, показан отрезок AB. Точки A и B являются концами отрезка. Длиной отрезка называют расстояние между его концами.

В математике принято обозначать точки, и соответственно отрезки, большими буквами латинского алфавита. Если нужно нарисовать отрезок, чаще всего его изображают без прямой, а лишь от одного конца до другого.

Также можно сказать, что отрезок - это совокупность всех точек , которые лежат на одной прямой и находятся между двумя заданными точками, которые являются концами данного отрезка.

Если на отрезке между его концами отметить еще одну точку, она разделит данный отрезок на два. Длину отрезка АВ можно посчитать, просуммировав длины отрезков АС и СВ.

Разница между отрезком, лучом и прямой

Школьники иногда путают понятия прямой, луча и отрезка. И вправду, эти понятия очень схожи между собой, однако имеют принципиальное различие:

1. Прямой называется линия, которая не искривляется, а также не имеет начала и конца.
2. Луч - это часть прямой, ограниченная одной точкой. Он имеет начало и не имеет конца.
3. ограничивается двумя точками. Он имеет и начало, и конец.

Точка, находящаяся на прямой, делит ее на два луча. Количество же отрезков на одной прямой может быть бесконечным.

Чтобы различать эти фигуры на рисунке, в начале и конце рисуемой линии ставятся или не ставятся точки. Рисуя луч, точка ставится в одном конце, а изображая отрезок - в обоих концах. Прямая не имеет концов, поэтому точки в конце линии не ставятся.

Направленный отрезок - это вектор

Отрезки бывают двух видов:

1. Ненаправленные.
2. Направленные.

Для ненаправленных отрезков, АВ и ВА - одинаковые отрезки, так как направление не имеет значения.

Если же говорить о направленных отрезках, порядок перечисления его концов имеет решающее значение. В таком случае, АВ ➜ и ВА ➜ - разные отрезки, так как они противоположно направленные.

Направленные отрезки называются векторами . Векторы могут обозначаться как двумя заглавными буквами латинского алфавита со стрелочкой над ними, так и одной маленькой буквой со стрелочкой.

Модулем вектора называется длина направленного отрезка. Обозначается как АВ ➜ . Модули векторов АВ ➜ и ВА ➜ равны.

Векторы часто рассматривают в системе координат. Модуль вектора равен квадратному корню суммы квадратов координат концов вектора.

Коллинеарными векторами называются те, что лежат на одной или на параллельных прямых.

Ломаная линия - это множество соединенных отрезков

Ломаная линия состоит из множества отрезков, которые называются ее звеньями. Эти отрезки соединены друг с другом своими концами и не расположены под углом 180°.

Вершинами ломаной являются следующие точки:

1. Точка, с которой началась ломаная.
2. Точка, которой ломаная закончилась.
3. Точки, в которых соединяются смежные звенья (отрезки ломаной).

Число вершин ломаной всегда на один больше, чем количество ее звеньев. Обозначается ломаная перечислением всех ее вершин начиная с одного конца и заканчивая другим.

Например, ломаная ABCDEF состоит из отрезков AB, BC, CD, DE и EF и вершин A, B, C, D, E и F. Звенья AB и BC являются смежными, так как имеют общий конец - точку В. Длина ломаной вычисляется как сумма длин всех ее звеньев.

Любая замкнутая ломаная является геометрической фигурой - многоугольником.

Сумма углов многоугольника кратна 180° и вычисляется по следующей формуле 180*(n-2), где n - количество углов или отрезков, составляющих данную фигуру.

Отрезок времени

Интересно, что слово отрезок применимо не только к геометрическим понятиям, но и как временной термин.

Отрезком времени называют период между двумя событиями, датами. Он может измеряться как секундами или минутами, так и годами или даже десятилетиями.

Время в целом в таком случае определяется как временная прямая.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога сайт

Вам может быть интересно

Биссектриса - это луч разрезающий угол пополам, а также отрезок в треугольнике обладающий рядом свойств Радиус - это важнейший элемент окружности Медиана - это золотое сечение треугольника Трапеция – это стол, который стал геометрической фигурой Средняя линия трапеции Прямоугольник - это одна из основ геометрии Диаметр - это золотое сечение окружности Окружность - это базовая фигура геометрии Ромб – между параллелограммом и квадратом Что такое постулат - просто о сложном Что такое тангенс угла и как его найти Длина окружности

>>Математика 7 класс. Полные уроки >>Геометрия: Отрезок. Полные уроки

Отрезок

Отрезком называется часть прямой, которая содержит две разные точки A и B этой прямой (концы отрезка) и все точки прямой, которые лежат между ними (внутренние точки отрезка).

Отрезок прямой - это множество (часть прямой), состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними. Отрезок прямой, соединяющий две точки A и B (которые называются концами отрезка), обозначается следующим образом - . Если в обозначении отрезка опускаются квадратные скобки, то пишут «отрезок AB». Любая точка, лежащая между концами отрезка, называется его внутренней точкой. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают как |AB|.

Для обозначения отрезка с концами в точках A и B будем использовать символ .

О точке C, принадлежащей отрезку AB, говорят также, что точка C лежит между точками A и B (если C – внутренняя точка отрезка), а также, что отрезок AB содержит точку C.

Свойство отрезка задается аксиомой:

Аксиома:
Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равняется сумме длин частей, на которые он разбивается любой своей внутренней точкой. AB = AC + CB.

Расстоянием между двумя точками A и B называется длина отрезка AB.
При этом, если точки A и B совпадают, будем считать, что расстояние между ними равно нулю.
Два отрезка называются равными, если равны их длины.

Отрезок АС=DE, CB=EF иАВ=DF

На рисунке 1 изображена прямая a и 3 точки на этой прямой: A, B, C. Точка B лежит между точками A и C, можно сказать, она разделяет точки A и C. Точки A и C лежат по разные стороны от точки B. Точки B и C расположены по одну сторону от точки A, точки A и B лежат по одну сторону от точки C.

рисунок 1

Отрезок – часть прямой, который состоит из всех точек этой прямой, лежащих между данными точками, которые называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его конечных точек. Когда говорят отрезок AB, т подразумевают отрезок с концами в точках A и B.

На данном рисунке 2 мы видим отрезок AB, он является частью прямой. Точка X лежит между точками A и B, поэтому она принадлежит отрезку AB, точка Y не лежит между точками A и B, поэтому она не принадлежит отрезку AB.

рисунок 2

Основное свойство расположения точек на прямой – из трех точек на прямой только одна лежит между двумя точками.

Точка А лежит между X и Y.

Точка X разделяет отрезок AB.

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки AB и BA представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление , то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Например, выше указанные направленные отрезки не совпадают. Особого обозначения у направленных отрезков нет - то, что у отрезка важно его направление обычно указывается особо.

Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора - класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

Кроссворд

1. Едет ручка вдоль листа. По линеечке, по краю. Получается черта, называется …
2. Древнегреческий ученый.
3. Результат мгновенного касания.
4. Учебная книга, состоящая из 13 томов, которая в течение многих веков являлась основным руководством по геометрии.
5. Древнегреческий ученый, автор собирательного труда «Начала».
6. Единица измерения длины.
7. Часть прямой, ограниченная двумя точками.
8. Единица измерения длины в Древнем Египте.
9. Древнегреческий математик, доказавший теорему, которая носит его имя.
10. Є математический знак.
11. Раздел геометрии.

Интересный факт:

В геометрии бумагу применяют для того чтобы: писать, рисовать; резать; сгибать. Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным.

Круги на полях – межгалактический язык общения инопланетных разумных существ
Круги на полях... Сколько разных мнений, сколько гаданий, сколько гипотез, но вразумительных объяснений, что это такое, не существует.
Круги на полях... Они завораживают людей своей лаконичной красотой, они раздражают нас непонятливостью происхождения и назначения.

Вопросы:

1) Что такое отрезок?

2) Чему равняется длина отрезка?

3) Разница между отрезком и вектором?

Список использованных источников:

1. Программа для общеобразовательных учреждений. Математика. Министерство образования Российской Федерации.
2. Федеральный общеобразовательный стандарт. Вестник образования. №12,2004.
3. Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия 7-9 классы. Авторы: С.А. Бурмистрова. Москва. «Просвещение», 2009 год.
4. Киселев А.П. "Геометрия" (планиметрия, стереометрия)

Отредактировано и выслано Потурнаком С.А.

Слово отрезок мы слышим, как правило, когда речь идет о геометрии или математическом анализе. И в той, и в другой области данное слово обозначает весьма схожие понятия, а именно часть прямой, которая ограничена двумя точками.

Отрезок в быту

Конечно, слово "отрезок" нам приходится слышать не только при обсуждении математических вопросов, применяется оно и в повседневной речи. Так что такое отрезок в бытовом смысле этого слова? Как правило, произнося слово "отрезок", человек имеет в виду кусочек того или иного материала, который нужно от чего-то отрезать. Например, нам может потребоваться отрезок ткани, отрезок скотча, отрезок ленты и много чего еще.

Отрезок в математике

Как мы уже говорили выше, в математике отрезок - это часть прямой, ограниченной двумя точками, однако иногда можно встретить и такой термин - множество чисел или точек на прямой между двумя числами или точками. Он звучит гораздо более научно и сложно, однако, если подумать, и то, и другое определения подразумевают одно и то же.

Другие значения

Слово "отрезок" произносят и тогда, когда хотят обозначить прохождение определенного этапа, например, "отрезок пути" или "отрезок времени". Вам, наверняка, приходилось видеть такие фразы в книгах.

Кроме того, отрезком после отмены крепостного права в России назывались земельные участки, которые захватывали помещики у крестьян.

Вот такие определения у слова "отрезок". Узнавайте значения новых слов в разделе .

Мы рассмотрим каждую из тем, а в конце будут даны тесты по темам.

Точка в математике

Что такое точка в математике? Математическая точка не имеет размеров и обозначается заглавными латинскими буквами: A, B, C, D, F и т.д.

На рисунке можно видеть изображение точек A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Отрезок в математике

Что такое отрезок в математике? На уроках математики можно услышать следующее объяснение: математический отрезок имеет длину и концы. Отрезок в математике - это совокупность всех точек, лежащих на прямой между концами отрезка. Концы отрезка - две граничные точки.

На рисунке мы видим следующее: отрезки ,,,, и , а также две точки B и S.

Прямая в математике

Что такое прямая в математике? Определение прямой в математике: прямая не имеет концов и может продолжаться в обе стороны до бесконечности. Прямая в математике обозначается двумя любыми точками прямой. Для объяснения понятия прямой ученику можно сказать, что прямая - это отрезок, который не имеет двух концов.

На рисунке изображены две прямые: CD и EF.

Луч в математике

Что же такое луч? Определение луча в математике: луч - часть прямой, которая имеет начало и не имеет конца. В названии луча присутствуют две буквы, например, DC. Причем первая буква всегда обозначает точку начала луча, поэтому менять местами буквы нельзя.

На рисунке изображены лучи: DC, KC, EF, MT, MS. Лучи KC и KD - один луч, т.к. у них общее начало.

Числовая прямая в математике

Определение числовой прямой в математике: прямая, точки которой отмечают числа, называют числовой прямой.

На рисунке изображена числовая прямая, а также луч OD и ED