Да се ​​даде представа за нов клас проблеми - изграждане геометрични фигурис помощта на пергел и линийка без деления на мащаба.

Въведете концепцията за GMT.

Дайте определението за медианния перпендикуляр, научете как да го изградите и докажете теоремата за средния перпендикуляр, както и неговата обратна.

Използване на компютърната система за рисуване "Compass-3D" за извършване на геометрични конструкции, които се препоръчват да се извършват в курса по геометрия с помощта на компас и линийка.

Материал за раздаване (Приложение № 1)

Задачите за изграждане с пергел и линийка без деления най-често се решават по определена схема:

аз Анализ: Начертайте схематично желаната форма и установете връзки между данните на задачата и желаните елементи.

II. Сграда: По предвидения план строителството се извършва с пергел и линийка.

III. Доказателство: Докажете, че построената фигура удовлетворява условията на задачата.

IV. Проучване: Извършете проучване, за дадени данни проблемът има решение и ако има, колко решения (те не се изпълняват във всички задачи).

Ето някои примери за основни строителни задачи, които ще разгледаме:

1. Отложете сегмента, равен на дадения (проучен по -рано).

2. Построяване на средната точка, перпендикулярна на отсечката:

• изграждане на средата на даден сегмент;
• изградете права линия, преминаваща през дадена точка и перпендикулярна на дадена права линия (точката може или не може да лежи на дадена права линия).

3. Построяване на ъглополовящата.

4. Построяване на ъгъл, равен на дадения.

Среда, перпендикулярна на сегмента.

Определение: Средната точка, перпендикулярна на отсечка, е права линия, преминаваща през средната точка на отсечка и перпендикулярна на нея.

Задача: „Постройте средната точка, перпендикулярна на сегмента на линията“. Презентация

О - средна АВ

Описание на строителството ( слайд номер 4):

Рей а; А - началото на лъча

Обиколка (A; r = m)

Обиколка a = B; AB = m

Кръг 1 (A; r 1> m / 2)

Кръг 2 (B; r 1)

Кръг 1 Кръг 2 =

MN; MN AB = 0, (МN = L)

където MN AB, O е средата на AB

III. Доказателство(слайд номер 5, 6)

1. Помислете за AMN и BNM:

AM = MB = BN = AN = r 2, следователно AM = BN, AN = BM MN - обща страна

(Фигура 3)

Следователно AMN = BNM (от 3 страни),

Следователно

1 = 2 (по дефиниция равно)

3 = 4 (по дефиниция равно)

2. MAN и NBM - равнобедрен (по дефиниция) ->

1 = 4 и 3 = 2 (по свойството на равнобедрен)

3. От точки 1 и 2 -> 1 = 3 следователно MO е ъглополовящата на равнобедрен AMB

4. Така доказахме, че MN е перпендикулярът на отсечката AB

IV. Проучване

Този проблем има единственото решение, тъй като всеки сегмент има само една средна точка и през дадена точка може да се направи една права линия, перпендикулярна на дадената.

Определение: Геометричен набор от точки (GMT) е набор от точки, които имат някакво свойство. (Приложение № 2)

GMT, известен ви:

1. Средната точка, перпендикулярна на отсечка от права, е набор от точки, еднакво отдалечени от краищата на отсечката.
2. Сисектриса на ъгъла - набор от точки, еднакво отдалечени от страните на ъгъла

И така, нека докажем теоремата:

Теорема: „Всяка точка от перпендикуляра на отсечката е еднакво отдалечена от краищата на този сегмент“.

(Фигура 4)

Дадено: AB; MO - среден перпендикуляр

Докажете: AM = BM

Доказателство: 1. MO - средна точка перпендикуляр (по условие) -> O - средна точка на сегмент AB, MOAB 2. Помислете за AMO и WMO - правоъгълни MO - общ крак

AO = VO (O -средна AB) -> AMO = BMO (на 2 крака) -> AM = BM (по дефиниция равни триъгълницикато съответните страни) Q.E.D

Домашна работа: „Докажете обратната теорема“

Теорема: „Всяка точка, равноотдалечена от краищата на отсечка, лежи върху перпендикуляра на този сегмент“.

(Фигура 5)

Дадено: AB; MA = MB

Докажи: Точка М лежи върху средния перпендикуляр

Доказателство:

Че. MO е средният перпендикуляр, съдържащ всички точки на равно разстояние от краищата на сегмента.

Свойството на центъра е перпендикулярно на страните на триъгълник

Те се пресичат в една точка и тази точка е центърът на описаната окръжност около триъгълника, ще учим в осми клас.

Работилница

Материално-техническо оборудване:

Разпределение: 29 574 KB

Операционна система: Windows 9x / 2000 / XP

Уебсайт: http://www.ascon.ru

Сега нека прехвърлим конструкцията в графичната среда на компютъра. (слайд номер 7)

Предишните знания и умения трябва да бъдат приложени към конкретна задача. Ще видите, че сградата няма да ви отнеме повече време, отколкото вграждането в тетрадка. Наред с други неща, интересно е да се види как компютърната среда изпълнява човешки команди за конструиране на равнинни фигури. Ето Приложение № 3, в което са описани подробно стъпките ви на изграждане. Заредете програмата и отворете нов чертеж ( слайд номер 8, 9).

Начертайте геометрични обекти, посочени в постановката на задачата: лъч азапочвайки от точката Аи сегментът е равен м- произволна дължина ( слайд номер 10).

Въведете обозначението на лъча, сегмента, началото на лъча в чертежа с помощта на раздела „Инструменти" текст.

Построете окръжност с радиус, равен на отсечката мцентрирана във върха на дадена точка А (слайд номер 11).

мцентриран във върха в дадена точка A ( слайд номер 12, 13).

Постройте окръжност с радиус, равен на отсечка, по -голяма от 1/2 мза да направите това, изберете елемента „ Между 2 точки" (слайд номер 14, 15, 16).

Чрез точките на пресичане на кръговете М и Н.начертайте права линия ( слайд номер 17.18).

Използвани книги:

1. Угринович Н. Д. „Информатика. Основен курс„7 клас. - М.: БИНОМ - 2008 - 175 стр.
2. Угринович Н. Д. „Работилница по информатика и информационни технологии”. Урок. - М.: БИНОМ, 2004-2006. -
3. Угринович Н. Д. „Преподаване на курса „Информатика и ИКТ“ в основното и гимназия 8-11 клас М .: Лаборатория на знания БИНОМ, 2008 .-- 180 с.
4. Угринович Н. Д. Компютърна работилница на CD-ROM. - М.: БИНОМ, 2004-2006.
5. Богуславски А.А., Третяк Т.М. Фарафонов А.А. "Компас - 3D v 5.11-8.0 Работилница за начинаещи" - М.: СОЛОН - ПРЕС, 2006 - 272 стр.
6. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., и др. „Геометрия 7-9. Учебник за средните училища ”- М: Образование 2006 - 384 стр.
7. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. „Изучаване на геометрия 7-9 клас. Методически препоръки към учебника ” - М: Образование 1997 - 255 с.
8. Афанасиева Т.Л., Тапилина Л.А. „Учебни планове за учебника за 8 клас Атанасян Л.С.“ - Волгоград „Учител“ 2010, 166 с.

Приложение No1

План за решаване на задачи за изграждане с пергел и линийка.

1. Анализ.
2. Строителство.
3. Доказателство.
4. Проучване.

Обяснение

1. При извършване на анализа се чертае схематично необходимата фигура и се установява връзка между данните за задачата и необходимите елементи.
2. Според планирания план строителството се извършва с пергел и линийка.
3. Докажете, че построената фигура удовлетворява условията на задачата.
4. Извършва се изследване: за дадени данни има ли решение проблемът и ако да, колко решения?

Примери за елементарни строителни задачи

1. Отложете сегмента, равен на дадения.
2. Конструирайте средната точка, перпендикулярна на отсечката от линията.
3. Начертайте средната точка на отсечката.
4. Постройте права линия, преминаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права линия (Точка може или не може да лежи на дадена права линия).
5. Построете ъглополовящата на ъгъла.
6. Постройте ъгъл, равен на дадения.

Приложение №2

Локус от точки (GMT) е набор от точки, които имат някакво свойство.

Примери за GMT:

1. Средната точка, перпендикулярна на отсечката, е набор от точки, равноотдалечени от краищата на отсечката.
2. Кръгът е набор от точки, еднакво отдалечени от дадена точка - центъра на окръжността.
3. Симетралата на ъгъла е набор от точки, еднакво отдалечени от страните на ъгъла.

Всяка точка на средната точка, перпендикулярна на отсечката, е на еднакво разстояние от краищата на този сегмент.

Доказателства на теореми за свойствата на окръжност, описана около триъгълник

Средно перпендикулярно на линейния сегмент

Определение 1. Средна перпендикулярна на отсечкатанаричана права линия, перпендикулярна на този сегмент и преминаваща през средата му (фиг. 1).

Теорема 1. Всяка точка от средната точка, перпендикулярна на отсечката от линията, е на същото разстояние от краищата този сегмент.

Доказателство. Помислете за произволна точка D, лежаща върху перпендикуляра на отсечката AB (фиг. 2), и докажете, че триъгълниците ADC и BDC са равни.

Всъщност тези триъгълници са правоъгълни триъгълници, в които катетите AC и BC са равни, а катетът DC е често срещан. Равенството на триъгълниците ADC и BDC предполага равенството на сегментите AD и DB. Теорема 1 е доказана.

Теорема 2 (Обратно на теорема 1)... Ако дадена точка е на същото разстояние от краищата на отсечка, тя лежи в средата на перпендикуляра на този участък.

Доказателство. Нека докажем теорема 2 чрез противоречие. За тази цел да предположим, че някаква точка E е на същото разстояние от краищата на сегмента, но не лежи в средата на перпендикуляра на този сегмент. Нека доведем това предположение до противоречие. Нека първо разгледаме случая, когато точки E и A лежат заедно различни страниот средния перпендикуляр (фиг. 3). В този случай отсечката EA пресича средната точка, перпендикулярна в някаква точка, която обозначаваме с буквата D.

Нека докажем, че сегментът AE е по -дълъг от сегмента EB. Наистина ли,

По този начин в случая, когато точките E и A лежат на противоположни страни на перпендикуляра, сме получили противоречие.

Сега помислете за случая, когато точки E и A лежат от една и съща страна на перпендикуляра на средната точка (фиг. 4). Нека докажем, че отсечката EB е по-дълга от отсечката AE. Наистина ли,

Това противоречие завършва доказателството на теорема 2.

Кръг около триъгълник

Определение 2. Чрез кръг около триъгълник, се нарича окръжност, преминаваща през трите върха на триъгълника (фиг. 5). В този случай триъгълникът се нарича триъгълник, вписан в кръг,или вписан триъгълник.

Свойства на окръжност, описана около триъгълник. Синусова теорема

Фигура	Рисуване	Имот
Средни перпендикуляри към страните на триъгълника		се пресичат в една точка .
Център описано около остроъгълен триъгълник на окръжност		Центърът е описан за остроъгълни вътре триъгълник.
Център описано около правоъгълен триъгълник на окръжност		Центърът, описан за правоъгълна средна хипотенуза .
Център описано за тъп триъгълниккръгове		Центърът е описан за тъп триъгълникът на окръжността лежи навън триъгълник.
		,
Квадрат триъгълник		S = 2R 2 грях Агрях Бгрях ° С ,
Радиус на описаната окръжност		За всеки триъгълник равенството е вярно:

Средни перпендикуляри на страните на триъгълника

Всички средни перпендикуляри изтеглени към страните на произволен триъгълник, се пресичат в една точка .

Кръг около триъгълник

Окръжност може да бъде описана около всеки триъгълник ... Центърът на окръжност, описана около триъгълник, е точката, в която всички перпендикуляри на страните на триъгълника се пресичат.

Центърът на окръжност, описан около остроъгълен триъгълник

Центърът е описан за остроъгълни триъгълникът на окръжността лежи вътре триъгълник.

Центърът на окръжност, описана около правоъгълен триъгълник

Центърът, описан за правоъгълна триъгълникът на окръжността е средна хипотенуза .

Центърът на окръжност, описан около тъп триъгълник

Центърът е описан за тъп триъгълникът на окръжността лежи навън триъгълник.

За всеки триъгълник равенствата са верни (синусовата теорема): , където a, b, c са страните на триъгълника, A, B, C са ъглите на триъгълника, R е радиусът на описаната окръжност.

Площ на триъгълник

За всеки триъгълник равенството е вярно: S = 2R 2 грях Агрях Бгрях ° С , където A, B, C са ъглите на триъгълника, S е площта на триъгълника, R е радиусът на описаната окръжност.

Радиус на описаната окръжност

За всеки триъгълник равенството е вярно: където a, b, c са страните на триъгълника, S е площта на триъгълника, R е радиусът на описаната окръжност.

Доказателства на теореми за свойствата на окръжност, описана около триъгълник

Теорема 3. Всички перпендикуляри на страните на произволен триъгълник се пресичат в една точка.

Доказателство. Разгледайте два перпендикуляра на страните AC и AB на триъгълник ABC и означете точката на тяхното пресичане с буквата O (фиг. 6).

Тъй като точката O лежи върху средната точка, перпендикулярна на отсечката AC, то по силата на теорема 1 важи равенството.

Средно перпендикулярно (среден перпендикулярили медиатриса) е права линия, перпендикулярна на този сегмент и минаваща през средата му.

Имоти

$p\_a\; =\; \backslash \; tfrac\; (2aS)\; (a\; ^\; 2\; +\; b\; ^\; 2-c\; ^\; 2),\; p\_b\; =\; \backslash \; tfrac\; (2bS)\; (a\; ^\; 2\; +\; b\; ^\; 2-c\; ^\; 2),\; p\_c\; =\; \backslash \; tfrac\; (2cS)\; (\; a\; ^\; 2-b\; ^\; 2\; +\; c\; ^\; 2),$където индексът обозначава страната, към която е изтеглен перпендикулярът, $С$е площта на триъгълника и също се приема, че страните са свързани чрез неравенствата $a\; \backslash \; geqslant\; b\; \backslash \; geqslant\; c.$ $p\_a\; \backslash \; geq\; p\_b$и $p\_c\; \backslash \; geq\; p\_b.$С други думи, триъгълникът има най -малката средна точка, перпендикулярна на средния сегмент.

Напишете преглед на статията "Перпендикулярна централна линия"

Бележки (редактиране)

Откъс, характеризиращ средния перпендикуляр

Кутузов, като спря да дъвче, се вторачи във Волцоген изненадан, сякаш не разбираше какво му казват. Волцоген, забелязал вълнението на des alten Herrn, [старият джентълмен (немец)] каза с усмивка:
- Не смятах, че имам право да скрия от Ваше господарство това, което видях ... Войските са в пълен безпорядък ...
- Виждал ли си? Видяхте ли? .. - извика Кутузов, намръщен, бързо стана и стъпи на Волцоген. „Как… как се осмеляваш!..” извика той, правейки заплашителни жестове с ръкостискане и задавяне. - Как можеш, скъпи господине, да ми кажеш това. ти нищо не знаеш. Кажете на генерал Баркли от мен, че информацията му е невярна и че действителният ход на битката е известен на мен, главнокомандващия, по-добре, отколкото на него.
Волзоген искаше да възрази нещо, но Кутузов го прекъсна.
- Врагът е отблъснат отляво и победен от десния фланг. Ако сте видели лошо, сър, тогава не си позволявайте да казвате това, което не знаете. Моля, отидете при генерал Барклай и му предайте на следващия ден необходимото ми намерение да атакувам противника - каза строго Кутузов. Всички мълчаха и се чу едно тежко дишане на задъхания стар генерал. - Отблъснат навсякъде, за което благодаря на Бог и нашата храбра армия. Врагът е победен и утре ще го изгоним от свещената руска земя — каза Кутузов, прекръствайки се; и изведнъж изхлипа от идващите сълзи. Волцоген сви рамене и изви устни, мълчаливо отстъпи встрани, удивен на uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [към тази тирания на стария господар. (Немски)]
„Да, ето го, моят герой“, каза Кутузов на пълния красив чернокос генерал, който по това време влизаше в могилата. Беше Раевски, който прекара целия ден на главната точка на Бородиното поле.
Раевски съобщи, че войските са здраво на мястото си и че французите не смеят да атакуват повече. След като го изслуша, Кутузов каза на френски:
- Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes задължава de nous пенсионер? [Значи не мислите, както другите, че трябва да отстъпим?]

В предишния урок разгледахме свойствата на ъглополовящата на ъгъл, както затворена в триъгълник, така и свободна. Триъгълникът включва три ъгъла и за всеки от тях се запазват разглежданите свойства на бисектрисата.

Теорема:

Бисектрисите AA 1, BB 1, CC 1 на триъгълника се пресичат в една точка O (фиг. 1).

Ориз. 1. Илюстрация към теоремата

доказателство:

Да разгледаме първите две ъглополовящи BB 1 и CC 1. Те се пресичат, точката на пресичане O съществува. За да докажем това, предположим обратното: нека дадените бисектриси не се пресичат, в този случай те са успоредни. Тогава линията BC е секанс и сумата от ъглите , това противоречи на факта, че целият триъгълник е сумата от ъглите.

И така, съществува точка на пресичане на две бисектриси. Помислете за неговите свойства:

Точка O лежи върху ъглополовящата на ъгъла, което означава, че е на еднакво разстояние от неговите страни BA и BC. Ако OK е перпендикулярен на BC, OL е перпендикулярен на VA, тогава дължините на тези перпендикуляри са -. Също така точка O лежи върху бисектрисата на ъгъла и е на равно разстояние от страните й CВ и CA, перпендикулярите ОМ и ОК са равни.

Получаваме следните равенства:

, тоест и трите перпендикуляра, изпуснати от точка O към страните на триъгълника, са равни един на друг.

Интересуваме се от равенството на перпендикулярите OL и ОМ. Това равенство казва, че точка O е на еднакво разстояние от страните на ъгъла, от което следва, че лежи върху нейната бисектриса AA 1.

По този начин ние доказахме, че и трите бисектриси на триъгълник се пресичат в една точка.

Освен това триъгълникът се състои от три линейни сегмента, което означава, че трябва да вземем предвид свойствата на един сегмент.

Сегментът AB е зададен. Всеки сегмент има средна част и през нея може да се проведе перпендикуляр - ние го обозначаваме с p. По този начин p е перпендикулярът на средната точка.

Ориз. 2. Илюстрация към теоремата

Всяка точка, лежаща на средния перпендикуляр, е на равно разстояние от краищата на отсечката.

Докажете това (фиг. 2).

доказателство:

Помислете за триъгълници и. Те са правоъгълни и равни, тъй като имат общ крак OM, а краката AO и OB са равни по условие, така че имаме две правоъгълен триъгълникравни на два крака. От това следва, че хипотенузите на триъгълниците също са равни, тоест както се изисква за доказване.

Обратната теорема е вярна.

Всяка точка, равноотдалечена от краищата на отсечка, е разположена в средата, перпендикулярна на този участък.

Даден е сегмент AB, перпендикулярът на него е p, точка M, еднакво отдалечена от краищата на отсечката. Докажете, че точка M лежи в средната точка, перпендикулярна на отсечката (фиг. 3).

Ориз. 3. Илюстрация към теоремата

доказателство:

Помислете за триъгълник. Той е равнобедрен, както по условие. Помислете за медианата на триъгълника: точка O е средата на основата AB, OM е медианата. Според свойството на равнобедрен триъгълник медианата, изтеглена към неговата основа, е както височината, така и бисектрисата. Оттук следва, че. Но линията p също е перпендикулярна на AB. Знаем, че единственият перпендикуляр на отсечката АВ може да бъде изтеглен към точката О, което означава, че правите ОМ и р съвпадат, от което следва, че точката М принадлежи на правата р, което беше необходимо за доказване.

Директно и обратна теоремаможе да се обобщи.

Точка лежи в средата, перпендикулярна на сегмента, ако и само ако е на равно разстояние от краищата на този сегмент.

Така че, нека повторим, че има три отсечки в триъгълник и свойството на перпендикуляра на средната точка е приложимо за всеки от тях.

Теорема:

Средните перпендикуляри на триъгълника се пресичат в една точка.

Зададен е триъгълник. Перпендикуляри на страните му: Р 1 към страната BC, Р 2 към страната AC, Р 3 към страната AB.

Докажете, че перпендикулярите P 1, P 2 и P 3 се пресичат в точка O (фиг. 4).

Ориз. 4. Илюстрация към теоремата

доказателство:

Разгледайте два перпендикуляра P 2 и P 3, те се пресичат, пресечната точка O съществува. Нека докажем този факт чрез противоречие - нека перпендикулярите Р 2 и Р 3 да са успоредни. Тогава ъгълът се разгъва, което противоречи на факта, че сумата от трите ъгъла на триъгълник е. Така че, има точка на пресичане на две от трите средни перпендикуляри. Свойства на точка О: тя лежи в средата перпендикулярно на страната AB, което означава, че е на еднакво разстояние от краищата на отсечката AB :. Той също така лежи в средата перпендикулярно на AC страната, което означава. Получаваме следните равенства.

В предишния урок разгледахме свойствата на ъглополовящата на ъгъл, както затворена в триъгълник, така и свободна. Триъгълникът включва три ъгъла и за всеки от тях се запазват разглежданите свойства на бисектрисата.

Теорема:

Бисектрисите AA 1, BB 1, CC 1 на триъгълника се пресичат в една точка O (фиг. 1).

Ориз. 1. Илюстрация към теоремата

доказателство:

Да разгледаме първите две ъглополовящи BB 1 и CC 1. Те се пресичат, точката на пресичане O съществува. За да докажем това, предположим обратното: нека дадените бисектриси не се пресичат, в този случай те са успоредни. Тогава линията BC е секанс и сумата от ъглите , това противоречи на факта, че целият триъгълник е сумата от ъглите.

И така, съществува точка на пресичане на две бисектриси. Помислете за неговите свойства:

Точка O лежи върху ъглополовящата на ъгъла, което означава, че е на еднакво разстояние от неговите страни BA и BC. Ако OK е перпендикулярен на BC, OL е перпендикулярен на VA, тогава дължините на тези перпендикуляри са -. Също така точка O лежи върху бисектрисата на ъгъла и е на равно разстояние от страните й CВ и CA, перпендикулярите ОМ и ОК са равни.

Получаваме следните равенства:

, тоест и трите перпендикуляра, изпуснати от точка O към страните на триъгълника, са равни един на друг.

Интересуваме се от равенството на перпендикулярите OL и ОМ. Това равенство казва, че точка O е на еднакво разстояние от страните на ъгъла, от което следва, че лежи върху нейната бисектриса AA 1.

По този начин ние доказахме, че и трите бисектриси на триъгълник се пресичат в една точка.

Освен това триъгълникът се състои от три линейни сегмента, което означава, че трябва да вземем предвид свойствата на един сегмент.

Сегментът AB е зададен. Всеки сегмент има средна част и през нея може да се проведе перпендикуляр - ние го обозначаваме с p. По този начин p е перпендикулярът на средната точка.

Ориз. 2. Илюстрация към теоремата

Всяка точка, лежаща на средния перпендикуляр, е на равно разстояние от краищата на отсечката.

Докажете това (фиг. 2).

доказателство:

Помислете за триъгълници и. Те са правоъгълни и равни, тъй като имат общ катет OM, а катетите AO и OB са равни по условие, така че имаме два правоъгълни триъгълника, равни в два катета. От това следва, че хипотенузите на триъгълниците също са равни, тоест както се изисква.

Обратната теорема е вярна.

Всяка точка, равноотдалечена от краищата на отсечка, е разположена в средата, перпендикулярна на този участък.

Даден е сегмент AB, перпендикулярът на него е p, точка M, еднакво отдалечена от краищата на отсечката. Докажете, че точка M лежи в средната точка, перпендикулярна на отсечката (фиг. 3).

Ориз. 3. Илюстрация към теоремата

доказателство:

Помислете за триъгълник. Той е равнобедрен, както по условие. Помислете за медианата на триъгълника: точка O е средата на основата AB, OM е медианата. Според свойството на равнобедрен триъгълник медианата, изтеглена към неговата основа, е както височината, така и бисектрисата. Оттук следва, че. Но линията p също е перпендикулярна на AB. Знаем, че единственият перпендикуляр на отсечката АВ може да бъде изтеглен към точката О, което означава, че правите ОМ и р съвпадат, от което следва, че точката М принадлежи на правата р, което беше необходимо за доказване.

Преките и обратните теореми могат да бъдат обобщени.

Точка лежи в средата, перпендикулярна на сегмента, ако и само ако е на равно разстояние от краищата на този сегмент.

Така че, нека повторим, че има три отсечки в триъгълник и свойството на перпендикуляра на средната точка е приложимо за всеки от тях.

Теорема:

Средните перпендикуляри на триъгълника се пресичат в една точка.

Зададен е триъгълник. Перпендикуляри на страните му: Р 1 към страната BC, Р 2 към страната AC, Р 3 към страната AB.

Докажете, че перпендикулярите P 1, P 2 и P 3 се пресичат в точка O (фиг. 4).

Ориз. 4. Илюстрация към теоремата

доказателство:

Разгледайте два перпендикуляра P 2 и P 3, те се пресичат, пресечната точка O съществува. Нека докажем този факт чрез противоречие - нека перпендикулярите Р 2 и Р 3 да са успоредни. Тогава ъгълът се разгъва, което противоречи на факта, че сумата от трите ъгъла на триъгълник е. Така че, има точка на пресичане на две от трите средни перпендикуляри. Свойства на точка О: тя лежи в средата перпендикулярно на страната AB, което означава, че е на еднакво разстояние от краищата на отсечката AB :. Той също така лежи в средата перпендикулярно на AC страната, което означава. Получаваме следните равенства.