Взаимно разположение на две прави линии в пространството.

Взаимното подреждане на две линии и пространство се характеризира със следните три възможности.

Правите лежат в една и съща равнина и нямат общи точки - успоредни прави.

Правите лежат в една и съща равнина и имат една обща точка - правите се пресичат.

В пространството две прави линии все още могат да бъдат разположени по такъв начин, че да не лежат в една и съща равнина. Такива прави се наричат ​​пресичащи се (не се пресичат и не са успоредни).

ПРИМЕР:

ЗАДАЧА 434 Триъгълник ABC лежи в равнината, a

Триъгълник ABC лежи в равнината, а точка D не е в тази равнина. Точки M, N и K, съответно, средните точки на отсечките DA, DB и DC

Теорема.Ако едната от двете прави лежи в определена равнина, а другата пресича тази равнина и точка, която не лежи на първата права, тогава тези прави се пресичат.

На фиг. 26 правата a лежи в равнината, а правата c се пресича в точка N. Правите a и c се пресичат.

Теорема.През всяка от двете пресичащи се прави минава само една равнина, успоредна на другата права.

На фиг. 26 линии a и b се пресичат. Черен права линия и начертана равнина a (алфа) || b (правата линия a1 || b е посочена в равнината B (бета).

Теорема 3.2.

Две прави, успоредни на трета, са успоредни.

Това свойство се нарича транзитивностпаралелни линии.

Доказателство

Нека правите a и b са едновременно успоредни на права c. Да приемем, че a не е успоредно на b, тогава правата a пресича права b в някаква точка A, която не лежи на права c по предположение. Следователно имаме две прави a и b, минаващи през точка A, която не лежи на дадената права c и едновременно успоредни на нея. Това противоречи на аксиома 3.1. Теоремата е доказана.

Теорема 3.3.

През точка, която не е на дадена права, може да се проведе една и само една права, успоредна на дадената права.

Доказателство

Нека (AB ) е дадена права и C е точка, която не лежи върху нея. Правата AC разделя равнината на две полуравнини. Точка Б се намира в един от тях. В съответствие с аксиома 3.2 е възможно да се отложи ъгълът (ACD), равен на ъгъла (CAB), от лъча С A към друга полуравнина. ACD и CAB са равни вътрешни напречно лежащи при правите AB и CD и секущата (AC ) Тогава, по силата на теорема 3.1 (AB ) || (CD). Като се вземе предвид аксиома 3.1. Теоремата е доказана.

Свойството на успоредните прави се дава от следната теорема, обратна на теорема 3.1.

Теорема 3.4.

Ако две успоредни прави се пресичат от трета права, тогава пресичащите се вътрешни ъгли са равни.

Доказателство

Нека (AB ) || (CD). Да приемем, че ACD ≠ BAC. Начертайте линия AE през точка A, така че EAC = ACD. Но тогава по теорема 3.1 (AE ) || (CD ), а по условие - (AB ) || (CD). Съгласно теорема 3.2 (AE ) || (AB). Това противоречи на теорема 3.3, според която през точка A, която не лежи на правата CD , може да се начертае една права, успоредна на нея. Теоремата е доказана.

Фигура 3.3.1.

Въз основа на тази теорема лесно се обосновават следните свойства.

Ако две успоредни прави се пресичат от трета права, тогава съответните ъгли са равни.

Ако две успоредни прави се пресичат от трета права, тогава сумата от вътрешните едностранни ъгли е 180°.

Следствие 3.2.

Ако една права е перпендикулярна на една от успоредните прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата.

Концепцията за паралелизъм ни позволява да представим следната нова концепция, която ще бъде необходима по-късно в глава 11.

Двата лъча се наричат еднакво насочени, ако има такава права, че, първо, те са перпендикулярни на тази права, и второ, лъчите лежат в една полуравнина спрямо тази права.

Двата лъча се наричат противоположни посоки, ако всеки от тях е еднакво насочен с лъч, допълващ другия.

Ще означаваме еднакво насочените лъчи AB и CD: и противоположно насочените лъчи AB и CD -

Фигура 3.3.2.

Знак за пресичащи се прави.

Ако една от двете прави лежи в определена равнина, а другата пресича тази равнина в точка, която не лежи на първата права, тогава тези прави са изкривени.

Случаи на взаимно подреждане на линиите в пространството.

1. Има четири различни случая на местоположението на две линии в пространството:

   
   

   - пряко пресичащо се, т.е. не лежат в една и съща равнина;

   – линиите се пресичат, т.е. лежат в една и съща равнина и имат една обща точка;

   - права успоредна, т.е. лежат в една и съща равнина и не се пресичат;

   - линиите съвпадат.

   
   

   Нека получим знаци за тези случаи на взаимно подреждане на линиите, дадени от каноничните уравнения

   
   
   където са точки, принадлежащи на правии съответно а- вектори на посоката (фиг. 4.34). Означете свектор, свързващ дадените точки.
   
   

   Горните случаи на взаимно подреждане на линиите отговарят на следните характеристики:

   
   

   – директните и пресичащите вектори не са компланарни;

   
   

   – линиите и пресичащите се вектори са компланарни, но векторите не са колинеарни;

   
   

   – прави и успоредни вектори са колинеарни, но векторите не са колинеарни;

   
   

   са прави линии и съвпадащите вектори са колинеарни.

   
   

   Тези условия могат да бъдат записани с помощта на свойствата на смесените и векторни продукти. Припомнете си, че смесеното произведение на вектори в дясната правоъгълна координатна система се намира по формулата:

   
   
   и пресича детерминантата е равна на нула, а вторият и третият й ред не са пропорционални, т.е.
   

   - прави линии и успоредни втори и трети ред на определителя са пропорционални, т.е. и първите два реда не са пропорционални, т.е.

   
   

   са прави и съвпадат; всички редове на детерминантата са пропорционални, т.е.

Доказателство за критерия за изкривени линии.

Ако едната от двете прави лежи в равнина, а другата пресича тази равнина в точка, която не принадлежи на първата права, тогава тези две прави се пресичат.

Доказателство

Нека a принадлежи на α, b пресича α = A, A не принадлежи на a (чертеж 2.1.2). Да приемем, че правите a и b не се пресичат, тоест се пресичат. Тогава съществува равнина β, на която принадлежат правите a и b. Правата a и точката A лежат в тази равнина β. Тъй като правата a и точката A извън нея дефинират уникална равнина, то β = α. Но b води β и b не принадлежи на α, така че равенството β = α е невъзможно.

Прави l1 и l2 се наричат ​​пресичащи се, ако не лежат в една и съща равнина. Нека a и b са векторите на посоката на тези линии, а точките M1 и M2 принадлежат съответно на правите и l1 и l2

Тогава векторите a, b, M1M2> не са компланарни и следователно тяхното смесено произведение не е равно на нула, т.е. (a, b, M1M2>) =/= 0. Обратното също е вярно: ако (a, b, M1M2> ) =/= 0, то векторите a, b, M1M2> не са компланарни и следователно правите l1 и l2 не лежат в една и съща равнина, т.е. се пресичат. Така две прави се пресичат, ако и само ако условие (a, b, M1M2>) =/= 0, където a и b са векторите на посоката на правите, а M1 и M2 са точките, принадлежащи съответно на дадените прави. Условието (a, b, M1M2>) = 0 е необходимо и достатъчно условие правите да лежат в една и съща равнина. Ако линиите са дадени от техните канонични уравнения

тогава a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) и условие (2) се записва, както следва:

Разстояние между пресичащи се линии

това е разстоянието между една от изкривените линии и равнината, успоредна на нея, минаваща през другата права.Разстоянието между изкривените линии е разстоянието от някаква точка на една от изкривените линии до равнина, минаваща през другата права, успоредна на първия ред.

26. Определение на елипса, канонично уравнение. Извеждане на каноничното уравнение. Имоти.

Елипса е мястото на точките в равнина, за която сумата от разстоянията до две фокусирани точки F1 и F2 от тази равнина, наречени фокуси, е постоянна стойност. Това не изключва съвпадението на фокусите на елипсата. координата система, така че елипсата ще бъде описана с уравнението (каноничното уравнение на елипсата):

Той описва елипса, центрирана в началото, чиито оси съвпадат с координатните оси.

Ако от дясната страна има единица със знак минус, тогава полученото уравнение:

описва въображаема елипса. Не е възможно да се начертае такава елипса в реалната равнина.Нека означим фокусите като F1 и F2, а разстоянието между тях като 2c, а сумата от разстоянията от произволна точка на елипсата до фокусите като 2a

За да изведем уравнението на елипсата, избираме координатната система Oxy, така че фокусите F1 и F2 да лежат върху оста Ox, а началото на координатите съвпада със средата на отсечката F1F2. Тогава фокусите ще имат следните координати: u Нека M(x; y) е произволна точка от елипсата. Тогава, според определението за елипса, т.е.

Това всъщност е уравнението на елипсата.

27. Определение на хипербола, канонично уравнение. Извеждане на каноничното уравнение. Имоти

Хиперболата е локус от точки в равнина, за която абсолютната стойност на разликата между разстоянията до две фиксирани точки F1 и F2 на тази равнина, наречени фокуси, е константа. Нека M(x;y) е произволна точка на хиперболата. Тогава според дефиницията на хипербола |MF 1 – MF 2 |=2a или MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Определение на парабола, канонично уравнение. Извеждане на каноничното уравнение. Имоти. Параболата е GMT ​​на равнина, за която разстоянието до някаква неподвижна точка F на тази равнина е равно на разстоянието до някаква фиксирана права линия, също разположена в разглежданата равнина. F е фокусът на параболата; фиксираната права линия е директрисата на параболата. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2 ; x 2 -xp + p 2 / 4 + y 2 \u003d x 2 + px + p 2 / 4; г 2 =2px;

Имоти: 1. Параболата има ос на симетрия (оста на параболата); 2.Всички

параболата се намира в дясната полуравнина на Oxy равнината при p>0, а в лявата

ако п<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

В тази статия първо ще определим ъгъла между косите линии и ще дадем графична илюстрация. След това отговаряме на въпроса: "Как да намерим ъгъла между изкривените линии, ако са известни координатите на векторите на посоката на тези линии в правоъгълна координатна система"? В заключение ще практикуваме намирането на ъгъла между косите линии при решаване на примери и задачи.

Навигация в страницата.

Ъгъл между изкривени линии - определение.

Постепенно ще се приближим до дефиницията на ъгъла между пресичащите се прави.

Нека първо си припомним определението за коси линии: две линии в триизмерно пространство се наричат кръстосванеако не лежат в една и съща равнина. От това определение следва, че косите линии не се пресичат, не са успоредни и освен това не съвпадат, в противен случай и двете биха лежали в някаква равнина.

Представяме някои допълнителни спомагателни аргументи.

Нека в триизмерно пространство са дадени две пресичащи се прави a и b. Нека построим правите a 1 и b 1 така, че да са успоредни на косите прави a и b, съответно, и да минават през някаква точка от пространството M 1 . Така ще получим две пресичащи се прави a 1 и b 1 . Нека ъгълът между пресичащите се прави a 1 и b 1 е равен на ъгъла . Сега нека построим линии a 2 и b 2 , успоредни на изкривени линии a и b, съответно, минаващи през точката M 2 , която е различна от точката M 1 . Ъгълът между пресичащите се линии a 2 и b 2 също ще бъде равен на ъгъла. Това твърдение е вярно, тъй като линиите a 1 и b 1 ще съвпадат съответно с линиите a 2 и b 2, ако извършите паралелно прехвърляне, при което точката M 1 отива в точката M 2. По този начин мярката на ъгъла между две прави, пресичащи се в точка M, съответно успоредна на дадените коси линии, не зависи от избора на точка M.

Вече сме готови да дефинираме ъгъла между изкривените линии.

Определение.

Ъгъл между изкривените линиие ъгълът между две пресичащи се прави, които са съответно успоредни на дадените коси линии.

От определението следва, че ъгълът между косите линии също няма да зависи от избора на точка M . Следователно като точка M можете да вземете всяка точка, принадлежаща на една от косите линии.

Даваме илюстрация на определението на ъгъла между косите линии.

Намиране на ъгъла между изкривените линии.

Тъй като ъгълът между пресичащите се линии се определя чрез ъгъла между пресичащите се линии, намирането на ъгъла между пресичащите се прави се свежда до намиране на ъгъла между съответните пресичащи се линии в триизмерното пространство.

Несъмнено методите, изучавани в уроците по геометрия в гимназията, са подходящи за намиране на ъгъла между косите линии. Тоест, след като завършите необходимите конструкции, е възможно да свържете желания ъгъл с всеки ъгъл, известен от условието, въз основа на равенството или сходството на фигурите, в някои случаи това ще помогне косинусова теорема, а понякога води до резултат дефиниция на синус, косинус и тангенс на ъгълправоъгълен триъгълник.

Въпреки това е много удобно да се реши проблемът с намирането на ъгъла между косите линии с помощта на координатния метод. Това е, което ще разгледаме.

Нека Oxyz бъде въведен в триизмерно пространство (въпреки това, в много проблеми той трябва да бъде въведен независимо).

Нека си поставим задачата: да намерим ъгъла между пресичащите се прави a и b, които отговарят на някои уравнения на правата в пространството в правоъгълната координатна система Oxyz.

Нека го решим.

Да вземем произволна точка от тримерното пространство M и да приемем, че през нея минават линиите a 1 и b 1, успоредни на пресичащите се прави a и b, съответно. Тогава необходимият ъгъл между пресичащите се прави a и b е равен на ъгъла между пресичащите се прави a 1 и b 1 по дефиниция.

По този начин остава да намерим ъгъла между пресичащите се прави a 1 и b 1 . За да приложим формулата за намиране на ъгъла между две пресичащи се прави в пространството, трябва да знаем координатите на векторите на посоката на линиите a 1 и b 1 .

Как можем да ги получим? И е много просто. Дефиницията на насочващия вектор на права линия ни позволява да заявим, че наборите от насочващи вектори на успоредни прави линии съвпадат. Следователно, като вектори на посоката на линиите a 1 и b 1, можем да вземем векторите на посоката и прави а и b, съответно.

Така, ъгълът между две пресичащи се прави a и b се изчислява по формулата
, където и са векторите на посоката на линиите a и b, съответно.

Формула за намиране на косинус на ъгъла между изкривени линии a и b има формата .

Позволява ви да намерите синуса на ъгъла между изкривените линии, ако косинусът е известен: .

Остава да анализираме решенията на примерите.

Пример.

Намерете ъгъла между изкривените линии a и b , които са определени в правоъгълната координатна система Oxyz от уравненията и .

Решение.

Каноничните уравнения на права линия в пространството ви позволяват незабавно да определите координатите на насочващия вектор на тази права линия - те се дават от числа в знаменателите на дроби, т.е. . Параметричните уравнения на права линия в пространството също дават възможност незабавно да се запишат координатите на вектора на посоката - те са равни на коефициентите пред параметъра, т.е. - вектор на посоката права . По този начин имаме всички необходими данни, за да приложим формулата, по която се изчислява ъгълът между косите линии:

Отговор:

Ъгълът между дадените изкривени линии е .

Пример.

Намерете синуса и косинуса на ъгъла между изкривените линии, върху които лежат ръбовете AD и BC на пирамидата ABCD, ако са известни координатите на върховете й:.

Решение.

Векторите на посоката на пресичащите линии AD и BC са векторите и . Нека изчислим техните координати като разлика между съответните координати на крайната и началната точка на вектора:

Според формулата можем да изчислим косинуса на ъгъла между дадените изкривени линии:

Сега изчисляваме синуса на ъгъла между изкривените линии:

Отговор:

В заключение разглеждаме решението на задача, в която се изисква да се намери ъгълът между косите линии, а правоъгълната координатна система трябва да се въведе независимо.

Пример.

Даден е правоъгълен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, в който AB=3 , AD=2 и AA 1 =7 единици. Точка E лежи на ръба AA 1 и го дели по отношение на 5 до 2, като се брои от точка A. Намерете ъгъла между изкривените линии BE и A 1 C.

Решение.

Тъй като ръбовете на кубоид в един връх са взаимно перпендикулярни, е удобно да се въведе правоъгълна координатна система и да се определи ъгълът между посочените коси линии, като се използва координатният метод през ъгъла между векторите на посоката на тези линии.

Нека представим правоъгълна координатна система Oxyz, както следва: нека началото съвпада с върха A, оста Ox съвпада с правата AD, оста Oy с правата AB, а оста Oz с правата AA 1.

Тогава точка B има координати, точка E - (ако е необходимо, вижте статията), точка A 1 - и точка C -. От координатите на тези точки можем да изчислим координатите на векторите и . Ние имаме , .

Остава да приложим формулата за намиране на ъгъла между изкривените линии според координатите на векторите на посоката:

Отговор:

Библиография.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Учебник за 10-11 клас на гимназията.
• Погорелов А.В., Геометрия. Учебник за 7-11 клас на образователните институции.
• Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: Елементи на линейната алгебра и аналитична геометрия.
• Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.

Лекция: Пресичащи се, успоредни и коси линии; перпендикулярност на линиите

пресичащи се линии

Ако в равнината има няколко прави линии, тогава рано или късно те ще се пресичат произволно, или под прав ъгъл, или ще бъдат успоредни. Нека да разгледаме всеки случай.

Пресичащи се линии са тези, които имат поне една пресечна точка.

Може да попитате защо поне една права не може да пресече друга права два или три пъти. Прав си! Но линиите могат напълно да съвпадат една с друга. В този случай ще има безкраен брой общи точки.

Паралелизъм

Паралелночовек може да назове онези прави, които никога няма да се пресичат, дори в безкрайност.

С други думи, паралелни са тези, които нямат една обща точка. Моля, имайте предвид, че това определение е валидно само ако правите са в една и съща равнина, но ако нямат общи точки, намиращи се в различни равнини, тогава те се считат за пресичащи се.

Примери за успоредни линии в живота: два противоположни ръба на екрана на монитора, линии в тетрадки, както и много други части от неща, които имат квадратна, правоъгълна и други форми.

Когато искат да покажат писмено, че една права линия е успоредна на втората, тогава се използва следната нотация a||b. Тази нотация казва, че правата a е успоредна на права b.

Когато изучавате тази тема, е важно да разберете още едно твърдение: през някаква точка от равнината, която не принадлежи на дадена права, може да се начертае една успоредна права. Но обърнете внимание, отново корекцията е в самолета. Ако разгледаме триизмерното пространство, тогава е възможно да се начертаят безкраен брой линии, които няма да се пресичат, но ще се пресичат.

Описаното по-горе твърдение се нарича аксиома на успоредните прави.

Перпендикулярност

Директните линии могат да бъдат извикани само ако перпендикулярноако се пресичат под ъгъл от 90 градуса.

В пространството през определена точка от права могат да се начертаят безкраен брой перпендикулярни линии. Ако обаче говорим за равнина, тогава през една точка на права може да се начертае една перпендикулярна права.

Кръстосани линии. Секант

Ако някои линии се пресичат в дадена точка под произволен ъгъл, те могат да бъдат извикани кръстосване.

Всички коси линии имат вертикални ъгли и съседни.

Ако ъглите, образувани от две пресичащи се прави, имат една обща страна, тогава те се наричат ​​съседни:

Сумата на съседните ъгли е 180 градуса.

ПРЕКИСВАНЕ НА ПРАВИ Голям енциклопедичен речник

пресичащи се линииса прави в пространството, които не лежат в една и съща равнина. * * * КРЕСЧАЩИ ДИРЕКТИ ПРЕСИКАЩИ ПРАВ, прави линии в пространството, не лежащи в една и съща равнина... енциклопедичен речник

Кръстосани линииса прави в пространството, които не лежат в една и съща равнина. Успоредни равнини могат да бъдат начертани през S. p., разстоянието между които се нарича разстоянието между S. p. То е равно на най-краткото разстояние между точките на S. p ... Голяма съветска енциклопедия

ПРЕКИСВАНЕ НА ПРАВИса прави в пространството, които не лежат в една и съща равнина. Ъгълът между S. p. всеки от ъглите между две успоредни прави, минаващи през произволна точка в пространството. Ако a и b са вектори на посоката на S. p., тогава косинусът на ъгъла между S. p ... Математическа енциклопедия

ПРЕКИСВАНЕ НА ПРАВИ- линии в пространството, които не лежат в една и съща равнина ... Естествени науки. енциклопедичен речник

Паралелни линии- Съдържание 1 В евклидова геометрия 1.1 Свойства 2 В геометрия на Лобачевски ... Wikipedia

Ултрапаралелни линии- Съдържание 1 В евклидова геометрия 1.1 Свойства 2 В геометрия на Лобачевски 3 Вижте също ... Wikipedia

ГЕОМЕТРИЯ НА РИМАН- елиптична геометрия, една от неевклидовите геометрии, т.е. геометрична, теория, базирана на аксиоми, изискванията за които са различни от изискванията на аксиомите на евклидовата геометрия. За разлика от евклидовата геометрия в R. g. ... ... Математическа енциклопедия